三角函数概念与公式的应用-课件
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2024年度高中数学必修四三角函数PPT课件
建筑设计
在建筑设计中，利用三角函数计算建筑物的角度、高度和距离等 参数，确保设计的准确性和美观性。
机械设计
在机械设计中，三角函数用于计算齿轮、轴承等机械元件的尺寸和 角度，保证机械传动的精确性和稳定性。
航空航天工程
在航空航天工程中，利用三角函数分析飞行器的姿态、航向和速度 等参数，确保飞行安全。
21
2024/3/24
32
THANKS
感谢观看
2024/3/24
33
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
29
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
2024/3/24
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
04
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
30
解三角形问题：利用正 弦定理、余弦定理求解 边或角
易错知识点剖析及防范措施
混淆三角函数定义域和值域
注意定义域和值域的区别，避免混淆
忽视三角函数的周期性
在解题时要考虑周期性，避免漏解或 多解
2024/3/24
错误使用三角恒等变换公式
注意公式的适用条件和变形方式，避 免误用
忽视解三角形的限制条件
在解三角形时要注意边和角的限制条 件，避免得出不符合题意的解
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正 。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
2024/3/24
7
02 三角函数诱导公 式与变换
2024/3/24
8
诱导公式及其应用
2024/3/24
诱导公式的基本形式
三角函数的概念(第二课时)+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
新高考人教版(2019)必修第一册
§5.2.1 三角函数的概念(第二课时)
一 情景引入
三角函数推广的定义：一般地，对于任意角α，角α终边上的任意一点
P的坐标为(x,y),它到原点O的距离为r=OP= 2 + 2 =
那么 = , = , = .
2 + 2,
；
练一练
例5 求下列三角函数值：
9
11
)
（3）tan(
4
6
解：（1） sin 1480 10 sin (40 10 4 360 ) sin 40 10 0.645
sin
1480
10(精确到 0.001 );（2） cos
（1）
9
2
（2）cos cos( 2 ) cos
sin 0 .
4
（3）因为 tan(672) = tan(48 2 360) tan 48 ，
而 48是第一象限角，所以 tan(672) 0 ；
（4）因为 tan 3 = tan( 2 ) tan
，
而 的终边在 x 轴上，所以 tan 0
求 0到2 或0到360 角的三角函数值 .
练一练
例4 确定下列三角函数值的符号：
解：
（1）cos 250 （2）sin （3）tan(672) （4） tan 3
4
（1）因为 250 是第三象限角，所以 cos250 0；
（2）因为
4
是第四象限角，所以
§5.2.1 三角函数的概念(第二课时)
一 情景引入
三角函数推广的定义：一般地，对于任意角α，角α终边上的任意一点
P的坐标为(x,y),它到原点O的距离为r=OP= 2 + 2 =
那么 = , = , = .
2 + 2,
；
练一练
例5 求下列三角函数值：
9
11
)
（3）tan(
4
6
解：（1） sin 1480 10 sin (40 10 4 360 ) sin 40 10 0.645
sin
1480
10(精确到 0.001 );（2） cos
（1）
9
2
（2）cos cos( 2 ) cos
sin 0 .
4
（3）因为 tan(672) = tan(48 2 360) tan 48 ，
而 48是第一象限角，所以 tan(672) 0 ；
（4）因为 tan 3 = tan( 2 ) tan
，
而 的终边在 x 轴上，所以 tan 0
求 0到2 或0到360 角的三角函数值 .
练一练
例4 确定下列三角函数值的符号：
解：
（1）cos 250 （2）sin （3）tan(672) （4） tan 3
4
（1）因为 250 是第三象限角，所以 cos250 0；
（2）因为
4
是第四象限角，所以
高中数学必修一(人教版)《5.2.1 三角函数的概念》课件
答案：负
题型三 诱导公式一的应用 【学透用活】
对诱导公式一的三点说明 (1)公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等． (2)公式一的结构特征： ①左、右为同一三角函数； ②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α. 注意公式一中的条件k∈Z不可遗漏． (3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°) 范围内的角的三角函数值．
[方法技巧] 利用三角函数的定义求角的三角函数值的类型
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各 三角函数值．
(2)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)为单位圆上的点，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝xy.
(3)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则 sin α＝yr， cos α＝xr，tan α＝xy(r＝ x2＋y2)．
(2)若sin α＝sin β，则α＝β.
答案：(1)√ (2)×
2．sin(－315°)的值是
A．－
2 2
B．－12
C.
2 2
D.12
解析：sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin
45°＝
2 2.
答案：C
() ()
()
3．tan235π＝________. 解析：tan235π＝tan8π＋π3＝tanπ3＝ 3. 答案： 3
sin
α＝
2 ＝2 5
5
5，cos
α＝
1＝ 5
55，tan
α＝21＝2.
当角 α 的终边在第三象限时，在角 α 的终边上取点 Q(－1，－2)，由 r＝|OQ|
＝ －12＋－22＝ 5，
题型三 诱导公式一的应用 【学透用活】
对诱导公式一的三点说明 (1)公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等． (2)公式一的结构特征： ①左、右为同一三角函数； ②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α. 注意公式一中的条件k∈Z不可遗漏． (3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°) 范围内的角的三角函数值．
[方法技巧] 利用三角函数的定义求角的三角函数值的类型
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各 三角函数值．
(2)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)为单位圆上的点，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝xy.
(3)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则 sin α＝yr， cos α＝xr，tan α＝xy(r＝ x2＋y2)．
(2)若sin α＝sin β，则α＝β.
答案：(1)√ (2)×
2．sin(－315°)的值是
A．－
2 2
B．－12
C.
2 2
D.12
解析：sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin
45°＝
2 2.
答案：C
() ()
()
3．tan235π＝________. 解析：tan235π＝tan8π＋π3＝tanπ3＝ 3. 答案： 3
sin
α＝
2 ＝2 5
5
5，cos
α＝
1＝ 5
55，tan
α＝21＝2.
当角 α 的终边在第三象限时，在角 α 的终边上取点 Q(－1，－2)，由 r＝|OQ|
＝ －12＋－22＝ 5，
三角函数认识ppt课件
辅助角公式
总结词
用于将三角函数式化为单一三角函数的形式。
详细描述
辅助角公式是三角函数中常用的化简工具，它可以将复杂的三角函数式化为单一三角函数的形式，便于计算和理 解。具体公式如下：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
三角函数认识ppt课件
目录
• 三角函数的定义 • 三角函数的图像与性质 • 三角函数的应用 • 三角函数的变换公式 • 三角函数的特殊值
01
三角函数的定义
角度与弧度的关系
角度制
以度（°）为单位，规定一周为 360度，每度分为60分，每分为 60秒。
弧度制
以弧度（rad）为单位，规定圆的 周长为2π弧度。角度与弧度的转 换公式为：1° = π/180 rad。
三角函数的基本恒等式
正弦、余弦、正切之间的基本恒等式。
利用这些恒等式，可以方便地进行三角函数的转换和化简，对于解决三角函数问 题非常有用。
THANK YOU
积的和差公式
总结词
用于计算两个角的三角函数值的乘积之和或之差。
详细描述
积的和差公式也是三角函数中常用的公式之一，它可以计算两个角的三角函数值 的乘积之和或之差。具体公式如下：sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny，cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny，tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)。
详细描述
和差角公式是三角函数中非常重要的公式之一，它可以将两个角的三角函数值 相加或相减，得到新的三角函数值。具体公式如下： sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
5.2.1三角函数的概念课件高一数学(人教A版必修第一册)
【解析】射线 = − 3 < 0 经过第二象限，
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
高中数学必修一课件：三角函数的概念
(3)sin αcoห้องสมุดไป่ตู้ α(α是第二象限角)．
【分析】 先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数值的符号．
【解析】 (1)∵105°，－230°均为第二象限角， ∴sin 105°>0，cos(－230°)<0.于是sin 105°cos(－230°)<0. (2)∵π2 <78π<π，∴78π是第二象限角， 则sin 78π>0，tan 78π<0.∴sin 78πtan 78π<0.
1
2
4．sin 390°＝____2____；cos(－315°)＝____2____；tan
8π 3 ＝__－___3___．
5．判断sin 3cos 4tan－234π的符号． 解析 ∵π2 <3<π，π<4<3π 2 ，∴sin 3>0，cos 4<0.
∵－234π＝－6π＋π4 ，∴tan－234π>0.
1．对三角函数概念的理解应注意什么？ 答：①三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终 边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值大小只与角有关．
②符号sin α，cos α，tan α各自是一个整体，离开“α”，“sin” “cos”“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘
课时学案
题型一 利用定义求值
例1 (1)求4π 3 的正弦值、余弦值和正切值．
【解析】
①sin
4π 3 ＝sinπ＋π3 ＝－sin
π 3 ＝－
23，
②cos 4π 3 ＝cosπ＋π3 ＝－cos π3 ＝－12，
③tan
4π 3 ＝tanπ＋π3 ＝tan
【分析】 先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数值的符号．
【解析】 (1)∵105°，－230°均为第二象限角， ∴sin 105°>0，cos(－230°)<0.于是sin 105°cos(－230°)<0. (2)∵π2 <78π<π，∴78π是第二象限角， 则sin 78π>0，tan 78π<0.∴sin 78πtan 78π<0.
1
2
4．sin 390°＝____2____；cos(－315°)＝____2____；tan
8π 3 ＝__－___3___．
5．判断sin 3cos 4tan－234π的符号． 解析 ∵π2 <3<π，π<4<3π 2 ，∴sin 3>0，cos 4<0.
∵－234π＝－6π＋π4 ，∴tan－234π>0.
1．对三角函数概念的理解应注意什么？ 答：①三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终 边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值大小只与角有关．
②符号sin α，cos α，tan α各自是一个整体，离开“α”，“sin” “cos”“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘
课时学案
题型一 利用定义求值
例1 (1)求4π 3 的正弦值、余弦值和正切值．
【解析】
①sin
4π 3 ＝sinπ＋π3 ＝－sin
π 3 ＝－
23，
②cos 4π 3 ＝cosπ＋π3 ＝－cos π3 ＝－12，
③tan
4π 3 ＝tanπ＋π3 ＝tan
三角函数的和与差课件
加法性质，即对于任意两个函 数f(x)和g(x)，其和可以定义为
f(x) + g(x)。
三角函数和在三角函数图像上表 现为多个函数的叠加，其图像特 征与单个三角函数的图像特征相
似。
三角函数差的定义
三角函数差是指两个三角函数 之间的差值，其结果仍为一个 三角函数。
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny
推导过程
利用三角函数的加法公式，将sin(x+y)拆分为sinx 和cosy的乘积加上cosx和siny的乘积，得到 sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny。
应用场景
在求解三角形角度、弧长等问题时，可以利用三 角函数和的公式进行计算。
三角函数具有周期性，因此当两个角 度相加时，其和的周期是两个角度周 期的最小公倍数。
三角函数差的性质
角度相减
当两个角度相减时，其三角函数 差等于两个角度三角函数的线性
组合。例如，sin(x-y) = sin x cos y - cos x sin y。
周期性
同样地，三角函数差的周期也是 两个角度周期的最小公倍数。
在利用三角函数和与差 进行计算时，需要注意 计算的精度问题，防止 因为计算误差导致结果 的失真。
近似计算
对于一些近似问题，可 以利用三角函数和与差 的近似公式进行计算， 但需要注意近似公式的 适用范围和精度要求。
三角函数的和与差 ppt课件
xx年xx月xx日
• 三角函数和与差的定义 • 三角函数和与差的性质 • 三角函数和与差的应用 • 三角函数和与差的公式 • 三角函数和与差的证明 • 三角函数和与差的实际问题解决
目录
01
三角函数和与差的定义
f(x) + g(x)。
三角函数和在三角函数图像上表 现为多个函数的叠加，其图像特 征与单个三角函数的图像特征相
似。
三角函数差的定义
三角函数差是指两个三角函数 之间的差值，其结果仍为一个 三角函数。
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny
推导过程
利用三角函数的加法公式，将sin(x+y)拆分为sinx 和cosy的乘积加上cosx和siny的乘积，得到 sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny。
应用场景
在求解三角形角度、弧长等问题时，可以利用三 角函数和的公式进行计算。
三角函数具有周期性，因此当两个角 度相加时，其和的周期是两个角度周 期的最小公倍数。
三角函数差的性质
角度相减
当两个角度相减时，其三角函数 差等于两个角度三角函数的线性
组合。例如，sin(x-y) = sin x cos y - cos x sin y。
周期性
同样地，三角函数差的周期也是 两个角度周期的最小公倍数。
在利用三角函数和与差 进行计算时，需要注意 计算的精度问题，防止 因为计算误差导致结果 的失真。
近似计算
对于一些近似问题，可 以利用三角函数和与差 的近似公式进行计算， 但需要注意近似公式的 适用范围和精度要求。
三角函数的和与差 ppt课件
xx年xx月xx日
• 三角函数和与差的定义 • 三角函数和与差的性质 • 三角函数和与差的应用 • 三角函数和与差的公式 • 三角函数和与差的证明 • 三角函数和与差的实际问题解决
目录
01
三角函数和与差的定义
(2024年)三角函数的诱导公式说课完整版PPT课件
三角函数的诱导公式说课完整版PPT课件•课程介绍与目标•三角函数基本概念回顾•诱导公式推导与理解目录•典型例题分析与解答•学生自主练习与互动环节•课程总结与拓展延伸课程介绍与目标说课内容01020304知识与技能过程与方法情感态度与价值观030201教学目标教学方法与手段教学方法教学手段三角函数基本概念回顾三角函数定义及性质三角函数值的范围三角函数的定义正弦、余弦函数值在正切函数值在全体实数范围内。
三角函数的周期性三角函数在各象限的符号规律正弦、余弦、正切函数均为正值。
正弦函数为正值，余弦、正切函数为负值。
正弦、余弦函数为负值，正切函数为正值。
余弦函数为正值，正弦、正切函数为负值。
第一象限第二象限第三象限第四象限三角函数线及其应用三角函数线的定义三角函数线的性质三角函数线的应用诱导公式推导与理解角度制与弧度制转换关系角度制与弧度制的定义及关系角度与弧度的互化方法特殊角的弧度表示诱导公式推导过程口诀记忆法通过编口诀或顺口溜等方式帮助记忆规律记忆法根据公式间的内在联系和规律进行记忆图像记忆法结合三角函数图像进行记忆和理解诱导公式记忆方法典型例题分析与解答例题1例题2分析解答解答分析利用诱导公式求三角函数值例题3例题4分析解答解答分析判断三角函数符号问题学生自主练习与互动环节学生自主完成练习题练习题一01练习题二02练习题三03小组内成员相互激励和讨论，共同探究解题方法和思路。
通过交流和比较，发现自身在解题过程中的不足和错误，并及时进行纠正和改进。
小组代表向全班汇报讨论结果和解题思路，促进全班同学的共同进步。
小组讨论与交流解题思路教师点评与总结教师针对学生在自主练习和小组讨论中的表现进行点评，肯定学生的优点和进步，指出需要改进的地方。
教师总结本节课的重点和难点，强调诱导公式在三角函数求解中的重要性和应用广泛性。
教师引导学生对本节课所学内容进行回顾和反思，帮助学生加深对知识点的理解和记忆。
课程总结与拓展延伸本节课重点内容回顾三角函数的定义及基本性质三角函数的诱导公式推导与记忆方法诱导公式在三角函数计算中的应用举例三角函数在其他领域的应用举例物理学中的应用振动、波动等物理现象中，三角函数可描述周期性变化。
《高中数学必修三课件：三角函数的应用》
高中数学必修三课件：三 角函数的应用
本课件将带你深入探索《高中数学必修三课件：三角函数的应用》的各个方 面，包括三角函数的基本性质、公式和在实际问题中的应用。
三角函数的概念和基本性质
1 三角函数定义
正弦、余弦和正切是三角函数的基本定义，它们可以表示角度和边长的关系。
2 三角函数的周期
正弦和余弦函数的周期是360度或2π弧度，正切函数的周期是180度或π弧度。
3
机械振动
正弦函数和余弦函数可以描述机械振动， 如弹簧振子和摆锤。
周期函数的概念与性质
1 周期函数定义
周期函数是在指定区间内具有重复模式的函数。
2 周期函数的性质
周期函数的图像在每个周期内相同，可以通过平移、伸缩和翻转进行变换。
正弦函数和余弦函数的合成、差、倍角公 式
公式 合成角公式 差角公式 倍角公式
正弦函数和余弦函数的解析式
正弦函数的解析式
y = A*sin(Bx + C) + D
余弦函数的解析式
y = A*cos(Bx + C) + D
正弦函数和余弦函数在实际问题中的应用
1
声音的波动
正弦函数和余弦函数可以描述声音的波
电流的变化
2
动，如频率和振幅。
正弦函数和余弦函数可以描述交流电流
的变化，用于电力传输和电器工程。
2 余切函数定义
余切函数是正切函数的倒数，表示角度的斜 率的倒数。
正切函数、余切函数的图像及其变换
正切函数
正切函数在坐标平面中呈现出连续的周期性图像， 具有无穷多个渐近线。
余切函数
余切函数在坐标平面中呈现出连续的周期性图像， 具有无穷多个渐近线。
3 三角函数的对称性
本课件将带你深入探索《高中数学必修三课件：三角函数的应用》的各个方 面，包括三角函数的基本性质、公式和在实际问题中的应用。
三角函数的概念和基本性质
1 三角函数定义
正弦、余弦和正切是三角函数的基本定义，它们可以表示角度和边长的关系。
2 三角函数的周期
正弦和余弦函数的周期是360度或2π弧度，正切函数的周期是180度或π弧度。
3
机械振动
正弦函数和余弦函数可以描述机械振动， 如弹簧振子和摆锤。
周期函数的概念与性质
1 周期函数定义
周期函数是在指定区间内具有重复模式的函数。
2 周期函数的性质
周期函数的图像在每个周期内相同，可以通过平移、伸缩和翻转进行变换。
正弦函数和余弦函数的合成、差、倍角公 式
公式 合成角公式 差角公式 倍角公式
正弦函数和余弦函数的解析式
正弦函数的解析式
y = A*sin(Bx + C) + D
余弦函数的解析式
y = A*cos(Bx + C) + D
正弦函数和余弦函数在实际问题中的应用
1
声音的波动
正弦函数和余弦函数可以描述声音的波
电流的变化
2
动，如频率和振幅。
正弦函数和余弦函数可以描述交流电流
的变化，用于电力传输和电器工程。
2 余切函数定义
余切函数是正切函数的倒数，表示角度的斜 率的倒数。
正切函数、余切函数的图像及其变换
正切函数
正切函数在坐标平面中呈现出连续的周期性图像， 具有无穷多个渐近线。
余切函数
余切函数在坐标平面中呈现出连续的周期性图像， 具有无穷多个渐近线。
3 三角函数的对称性
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
2024/1/26
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
三角函数的概念 课件(39张)
tan cos = × +1× = .
数学
方法总结
诱导公式一的实质是:终边相同的角,其同名三角函数的值相等.因为这些
角的终边都是同一条射线,根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值
相等.其作用是可以把任意角转化为0°～360°之间的角.
因为 a<0,所以 a=- ,所以 P 点的坐标为( ,- ),
所以 sin α=- ,cos α= ,
所以 sin α+2cos α=- +2× = .
数学
[变式训练1-1] 若将本例中“a<0”删掉,其他条件不变,结果又是什么?
解:因为点 P 在单位圆上,则|OP|=1,即 (-) + () =1,解得 a=± .
②若 a<0,则 r=-5a,且 sin α=
-
-
-
=- ,cos α=
所以 sin α+2cos α=- +2× = .
= .
数学
方法总结
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值
(1)已知角α的终边在直线上时,常用的解题方法有以下两种:
①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正弦函数、余
弦函数、正切函数的定义求出相应三角函数值.
②在α的终边上任选一点 P(x,y),P 到原点的距离为 r(r>0),则 sin α= ,
5.7三角函数的应用(教学课件)高一数学(人教A版必修第一册)
次数；
ωx+φ称为相位；x＝０时的相位φ 称为初相．
问题2 图5.7 2(1)是某次实验测得的交变电流i (单位：A)随时间t (时间：s )
变化的图象. 将测得的图象放大, 得到图5.7 2(2).
(1) 求电流i随时间t 变化的函数解析式;
由交变电流的产生原理可知, 电流i随时间t的变化规律可用i A sin( t )
【解析】
【答案】 B
由题图可知，该质点的振幅为 5 cm.
)
2．与图中曲线对应的函数解析式是(
)
A．y＝|sin x|
B．y＝sin |x|
C．y＝－sin |x|
D．y＝－|sin x|
【解析】
注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项 A，D.
当 x∈(0，π)时，sin |x|>0，而图中显然是小于零，因此排除选项
来刻画, 其中
表示频率, A表示振幅 , 表示初相.
2
由图5.7 2(2)可知, 电流最大值为5 A, 因此A 5; 电流变化的周期为
频率为50 Hz , 即
50, 解得 100
2
再由初始状态 ( t 0)的电流约为4.33 A,
可得 sin 0.866,因此 约为
31
5
5
交点A, B , 因此 sin
x 0.2014或
x 0.2014
31
31
如图, 在区间[0,12]内, 函数y 2.5sin
解得x A 0.3975, xB 5.8025
由函数的周期性易得 :
xC 12.4 0.3975 12.7975,
x D 12.4 5.8025 18.2025
ωx+φ称为相位；x＝０时的相位φ 称为初相．
问题2 图5.7 2(1)是某次实验测得的交变电流i (单位：A)随时间t (时间：s )
变化的图象. 将测得的图象放大, 得到图5.7 2(2).
(1) 求电流i随时间t 变化的函数解析式;
由交变电流的产生原理可知, 电流i随时间t的变化规律可用i A sin( t )
【解析】
【答案】 B
由题图可知，该质点的振幅为 5 cm.
)
2．与图中曲线对应的函数解析式是(
)
A．y＝|sin x|
B．y＝sin |x|
C．y＝－sin |x|
D．y＝－|sin x|
【解析】
注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项 A，D.
当 x∈(0，π)时，sin |x|>0，而图中显然是小于零，因此排除选项
来刻画, 其中
表示频率, A表示振幅 , 表示初相.
2
由图5.7 2(2)可知, 电流最大值为5 A, 因此A 5; 电流变化的周期为
频率为50 Hz , 即
50, 解得 100
2
再由初始状态 ( t 0)的电流约为4.33 A,
可得 sin 0.866,因此 约为
31
5
5
交点A, B , 因此 sin
x 0.2014或
x 0.2014
31
31
如图, 在区间[0,12]内, 函数y 2.5sin
解得x A 0.3975, xB 5.8025
由函数的周期性易得 :
xC 12.4 0.3975 12.7975,
x D 12.4 5.8025 18.2025
三角函数定义课件(角度、弧度及基本关系式)
倍角公式
$sin 2theta = 2sin theta cos theta$
半角公式
$sin frac{theta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos theta}{2}}$
03 弧度制下三角函数关系式
弧长与圆心角关系
弧长公式
$l = rtheta$，其中 $l$ 是弧长，$r$ 是半径，$theta$ 是圆心角的弧度。
正切函数 $tan x$
定义域为 $x neq frac{pi}{2} + kpi, k in Z$，值域为全体实数 $R$。
弧度制下三角函数图像变换
01
平移变换
02
伸缩变换
函数 $y = Asin(omega x + varphi)$ 或 $y = Acos(omega x + varphi)$ 的图像可以通过平移 $varphi$ 个单 位得到。
最值问题和极值点求解
最值问题
余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在 $x = frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最大值，在 $x = -frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最小值。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
3
记忆常用弧度的角度值
与角度转弧度类似，也可以记忆一些常用弧度的 角度值。
转换过程中注意事项和技巧
保持单位一致
在进行角度和弧度转换时，要确保所使用的单位是一致的，避免出 现混淆。
注意精度问题
由于π是一个无理数，因此在转换过程中可能会遇到精度问题。在 需要高精度计算时，可以使用专门的数学软件或库来进行转换。
$sin 2theta = 2sin theta cos theta$
半角公式
$sin frac{theta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos theta}{2}}$
03 弧度制下三角函数关系式
弧长与圆心角关系
弧长公式
$l = rtheta$，其中 $l$ 是弧长，$r$ 是半径，$theta$ 是圆心角的弧度。
正切函数 $tan x$
定义域为 $x neq frac{pi}{2} + kpi, k in Z$，值域为全体实数 $R$。
弧度制下三角函数图像变换
01
平移变换
02
伸缩变换
函数 $y = Asin(omega x + varphi)$ 或 $y = Acos(omega x + varphi)$ 的图像可以通过平移 $varphi$ 个单 位得到。
最值问题和极值点求解
最值问题
余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在 $x = frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最大值，在 $x = -frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最小值。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
3
记忆常用弧度的角度值
与角度转弧度类似，也可以记忆一些常用弧度的 角度值。
转换过程中注意事项和技巧
保持单位一致
在进行角度和弧度转换时，要确保所使用的单位是一致的，避免出 现混淆。
注意精度问题
由于π是一个无理数，因此在转换过程中可能会遇到精度问题。在 需要高精度计算时，可以使用专门的数学软件或库来进行转换。
高中数学5-2三角函数的概念5-2-1三角函数的概念第2课时三角函数值的符号及公式一课件新人教A版必
π
3
3
2
3
2
π
6
＋tan
1
2
3
3
＝ ．
2
2
π
−4π +
4
5
4
＝sin cos ＋tan cos ＝ × ＋1× ＝ ．
cos 4π +
π
3
•
•
•
•
反思领悟 利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z．
(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．
• ＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2ab cos 0°
• ＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2．
• 3．化简下列各式：
• (2)sin
[解]
11π
−
6
sin
11
− π
6
＝sin −2π
＝sin
＋cos
π
+
6
π
1
＋0＝ ．
6
2
12
π·tan
5
＋cos
＋cos
4π．
12
π·tan
5
2
π·tan
5
0
4π
03
学习效果·课堂评估夯基础
1．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是(
)
A．第一象限角
B．第二象限角
√
C．第三象限角
D．第四象限角
B
[由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限
角．故选B．]
1
2
3
4
2．sin (－315°)的值是(
数学人教A版必修第一册5.2.1三角函数的概念课件
(3) y 叫做的正切,记作 y tan(x 0);
x
x
注 : 当x 0,即 k (k Z )时, y tan无意义.
2
x
正弦函数 : y sin x , x R x为角的弧度
三角函数 余弦函数 : y cos x , x R y为角的三角函数值
正切函数 :
y
tan
x
,
x
2
k
(2)
cos2
1 2 sin2
的值是
___
.
分子为1
(3)5cos2 3sin2 的值是 ____ . 暗含：分母为1
1 sin2 cos2
(4)sin cos的值是 ____ . 暗含：分母为1
原式
sin cos sin2 cos2
tan tan2 1
2 5
[变式]已知 sin 2 cos 2,则sin cos的值为 ____ . sin cos
(其中k Z )
公式一（角度制）
sin( k 360) sin cos( k 360) cos tan( k 360) tan
(其中k Z )
巩固：公式一的运用（求值）
[例5]求下列三角函数值 :
(1) cos 9 ; (2) tan 3 (3)sin ( 11 ) (4) tan(1050)
新知：同角三角函数的基本关系
sin2 cos2 1 cos2 1 sin2 (1 sin )(1 sin )
tan sin cos
(sin cos )2 1 2sin cos sin4 cos4 sin2 cos2
求5cos 4 tan的值.
解 : 由sin2 cos2 1得 cos2 1 sin2 1 ( 3)2 16 .
三角函数的概念(第一课时)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
10
终边相同的角的三角函数值
如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？
终边相同
终边与单位圆
交点坐标相同
角的同一三角
函数值相同
终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)
P(x,y)
公式一（弧度制）
公式一（角度制）
y
sin( k 2 ) sin
sin( k 360) sin
5
解 : 如图, 在直角坐标系中, 作AOB
,
3
1
3
易知AOB的终边OB与单位圆的交点坐标为B( ,
).
2
2
5
3 cos 5 1 , tan 5 3.
sin
,
3 2
3
3
2
7
1
3 1
7
3
7
3
sin
,
(
, )
cos
, tan
.
6
2
2
2
6
2
6
3
cos x
§5.2.1 三角函数的概念
情景引入
抽象为
问题：匀速圆周运动是生活中周期现象的代表，我们知道函数是刻画世界
变化规律的重要教学模型，那么匀速圆周运动应该用什么模型来刻画它？
任务：建立一个函数模型，来刻画P点的位置变化？
以原点为圆心，以单位长度1为半径的圆，称为单位圆.
如图，单位圆上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，射线从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位
据初中所学过的三角函数的定义，有
y
P(a,b)
0
1
α
终边相同的角的三角函数值
如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？
终边相同
终边与单位圆
交点坐标相同
角的同一三角
函数值相同
终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)
P(x,y)
公式一（弧度制）
公式一（角度制）
y
sin( k 2 ) sin
sin( k 360) sin
5
解 : 如图, 在直角坐标系中, 作AOB
,
3
1
3
易知AOB的终边OB与单位圆的交点坐标为B( ,
).
2
2
5
3 cos 5 1 , tan 5 3.
sin
,
3 2
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7
1
3 1
7
3
7
3
sin
,
(
, )
cos
, tan
.
6
2
2
2
6
2
6
3
cos x
§5.2.1 三角函数的概念
情景引入
抽象为
问题：匀速圆周运动是生活中周期现象的代表，我们知道函数是刻画世界
变化规律的重要教学模型，那么匀速圆周运动应该用什么模型来刻画它？
任务：建立一个函数模型，来刻画P点的位置变化？
以原点为圆心，以单位长度1为半径的圆，称为单位圆.
如图，单位圆上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，射线从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位
据初中所学过的三角函数的定义，有
y
P(a,b)
0
1
α
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三角函数概念与公式的应用 第一课时
例1 将下列角度化为弧度，并在 0～2π内找出其终边相同的角. （1）-570°； （2）750°.组卷网
例2 写出终边在直线 y 3x 上的 角的集合S，并把S中在-2π～2π范围 内的元素写出来.
例3
已知一个扇形的周长为
8 9
4，
圆心角为80°，求这个扇形的面积.
例4 已知一个扇形的周长为定值a， 求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积 最大？并求这个最大值.
例5 已知角α的终边在直线3x+4y=0 上，求2sinα+cosα的值.
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/272021/2/27Saturday, February 27, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
•
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年2月27日星期 六2021/2/272021/2/272021/2/27
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年2月2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021 12:12:55 PM
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/272021/2/272021/2/27Feb-2127-Feb-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/272021/2/272021/2/27Satur day, February 27, 2021
例1 将下列角度化为弧度，并在 0～2π内找出其终边相同的角. （1）-570°； （2）750°.组卷网
例2 写出终边在直线 y 3x 上的 角的集合S，并把S中在-2π～2π范围 内的元素写出来.
例3
已知一个扇形的周长为
8 9
4，
圆心角为80°，求这个扇形的面积.
例4 已知一个扇形的周长为定值a， 求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积 最大？并求这个最大值.
例5 已知角α的终边在直线3x+4y=0 上，求2sinα+cosα的值.
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