幂的运算例题精讲
幂的运算专题
第一讲幂的运算【基本公式】a m ·a n =a m+na 0=1（a≠0）（a m ）n =am na -P=p a1（a ≠0，p ≠0）（ab）n =a n bna m ÷a n =a m –n【易错点剖析】:1.注意法则的拓展性对于含有三个或三个以上同底数幂相乘（除）、幂（积）的乘方等运算，法则仍然适用。
如：234a a a a ⋅⋅⋅=423()ab ⎡⎤=⎣⎦4()xyz -=2.注意法则的底数和指数的广泛性运算法则中的底数和指数，可取一个或几个具体的数；也可取单独一个字母或一个单项式或多项式。
如：()()()x y x y x y m n n m +÷+÷+++32222=3.注意法则的可逆性逆向应用运算法则，由结论推出条件，或将某些指数进行分解。
如：已知10m ＝4，10n ＝5，求103m +2n 的值．4.注意法则应用的灵活性在运用法则时，要仔细观察题目的特点，采取恰当、巧妙的解法，使解题过程简便。
如：125256255÷⨯÷nm=5.注意符号使用的准确性如：判断下列等式是否成立：①(-x )2＝-x 2，②(-x 3)＝-(-x )3，③(x -y )2＝(y -x )2，④(x -y )3＝(y -x )3，⑤x -a -b ＝x -(a +b )，⑥x +a -b ＝x -(b -a )．6、最后结果中幂的形式应是最简的.①幂的指数、底数都应是最简的；②底数中系数不能为负；③幂的底数是积的形式时，要再用一次积的乘方.【题型精讲】例1．计算：（1）a 3·a 2·a=________；（2）（-a）4·（-a）3·（-a）=________；（3）（a 2）3=______；（4）（a 3）2=______；（5）[（-5）2]3=______；（6）[（-5）3]2=_____；（7）（-2a ）3=______；（8）-（4ab 3）2=_________；（9）（x n+1y n-1）2=________；（10）（-1.3×102）2=_________．（11）（-19）1998·91999=______；(12)()()-⋅-a b ab 23223=________例2.已知２x ＋５y －３＝０，求y x 324∙的值．练一练如果a－4=－3b，求a 3×b27的值已知310=m ，.210=n 求12310-+-n m 的值．例3.已知4×23m ·44m =29，求m 的值．练一练已知723921=-+n n ，求n 的值．若10252x =，求101x +的值例4.若23,63==n m ，求n m 323-的值。
幂的运算 知识点总结及深度精讲
幂的运算 知识点总结及深度精讲一、运算法则精读（一）同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法的法则是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.用字母可以表示为：a m ×a n ＝a m+n （m 、n 都是正整数）.在这个表达式中，等式的左边是两个幂底数相同，且是乘积的关系；而右边是一个幂，与左边相比，底数不变，只是指数是左边的指数相加而得到.2、在同底数幂的乘法法则中的底数字母a 可以表示一个数，也可以表示一个单项式或一个多项式.如＝323131⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-.24313131532-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3、法则a m ×a n ＝a m+n 还可以推广使用，即当三个或三个以上的同底数相同时，底数仍然不变，只要将指数分别相加即可，如a m ×a n ×a p ＝a m+n+p （m 、n 、p 都是正整数）.如－a×a m+1×a m －1＝－a 1+m+1+m －1＝－a 2m+1.4、只有同底数的幂相乘时才能运用这个法则，千万不要出现形如y 5×(－y 4)＝y 9的这类错误，因为这里的两个底数并不相同.5、法则a m ×a n ＝a m+n 还可以逆向使用，即可以写成a m+n ＝a m ×a n ，如y 7＝y 2+5＝y 2×y 5；又如＝－1.()20052005200520055451421145145⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∙⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝－＝－（二）幂的乘方1，幂的乘方的法则是：幂的乘方，底数不变，指数相乘.用字母可以表示为：(a m )n ＝a mn （m 、n 都是正整数）.这个法则的最大特点就是将原来的乘方运算降次为乘法运算，即底数不变，指数相乘.2，同样这个法则也可以进行逆向运用，即a mn ＝(a m )n ＝(a n ) m .（三）积的乘方1、积的乘方的法则是：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 用字母可以表示为： (a×b)n ＝a n ×b n （n 是正整数）.2、法则可以推广使，即对于三个或三个以上的因式的积的乘方也适用这一法则.3、可以逆向运用这个法则，即a n ×b n ＝(a×b)n .（四）同底数幂的除法1、同底数幂的除法的法则是：同底数幂相除，底数不变，指数相减.用字母可以表示为：a m ÷a n ＝a m －n （a≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）.可见这个法则成立的条件是：同底数幂相除，结论是：底数不变，指数相减.2、法则中的底数a 要不等于0，因为若a ＝0了，则除数为0，除法就没有意义了，另外，法则中不说零指数和负指数的概念，所以在这个法则必须规定m 、n 都是正整数，且m ＞n.3、法则也可以推广运用，即a m ÷a n ÷a p ＝a m －n －p （m 、n 、p 都是正整数，m ＞n ＞p ）.如7272143333381.2222216--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（五）四个运算法则的异同点四个运算法则既有相同点又有不同点.它们的共同点是：①运算时底数不变，只对指数运算；②表达式中的底数具有普遍性，既可以是一个具体的数，也可以是一个单项式或多项式；③指数都是正整数.它们的不同点是：①同底数的幂相乘的指数是相加，而同底数的幂相除的指数是相减；②幂的乘方是指数相乘；③积的乘方是将每一个因式分别乘方.。
高中幂运算练习题及讲解
高中幂运算练习题及讲解题目1：基础幂运算计算以下表达式的值：1. \( a^3 \)2. \( b^2 \)3. \( (-2)^3 \)4. \( (-3)^4 \)答案：1. 需要知道 \( a \) 的值才能计算。
2. 需要知道 \( b \) 的值才能计算。
3. \( (-2)^3 = -8 \)4. \( (-3)^4 = 81 \)题目2：幂的乘法计算以下表达式的值：1. \( (x^2)^3 \)2. \( (y^3)^2 \)3. \( (-2)^2 \cdot (-2)^3 \)答案：1. \( (x^2)^3 = x^6 \)2. \( (y^3)^2 = y^6 \)3. \( (-2)^2 \cdot (-2)^3 = 4 \cdot (-8) = -32 \) 题目3：幂的除法计算以下表达式的值：1. \( \frac{x^6}{x^2} \)2. \( \frac{y^8}{y^4} \)3. \( \frac{(-3)^6}{(-3)^2} \)答案：1. \( \frac{x^6}{x^2} = x^4 \)2. \( \frac{y^8}{y^4} = y^4 \)3. \( \frac{(-3)^6}{(-3)^2} = 729 \) 题目4：幂的乘方计算以下表达式的值：1. \( (x^2)^4 \)2. \( (y^3)^3 \)3. \( (-2)^6 \)答案：1. \( (x^2)^4 = x^8 \)2. \( (y^3)^3 = y^9 \)3. \( (-2)^6 = 64 \)题目5：组合幂运算计算以下表达式的值：1. \( (x^2y^3)^2 \)2. \( (3a^2b^3)^2 \)3. \( (-4x^2y^3)^3 \)答案：1. \( (x^2y^3)^2 = x^4y^6 \)2. \( (3a^2b^3)^2 = 9a^4b^6 \)3. \( (-4x^2y^3)^3 = -64x^6y^9 \)题目6：零指数幂计算以下表达式的值：1. \( a^0 \)2. \( (-3)^0 \)3. \( (2x)^0 \)答案：1. \( a^0 = 1 \)（对于任何非零的 \( a \)）2. \( (-3)^0 = 1 \)3. \( (2x)^0 = 1 \)（对于任何非零的 \( x \)）题目7：负指数幂计算以下表达式的值：1. \( a^{-2} \)2. \( (-3)^{-1} \)3. \( (2x)^{-3} \)答案：1. \( a^{-2} = \frac{1}{a^2} \)2. \( (-3)^{-1} = -\frac{1}{3} \)3. \( (2x)^{-3} = \frac{1}{(2x)^3} \)幂运算讲解幂运算是代数学中的基础概念，它涉及到将一个数（称为底数）自身乘以自身若干次（称为指数）。
幂的运算知识梳理典型例题
(9)计算-x2·(-x)2等于[]
A．(-x)2+2=(-x)4=x4B．-x2·x2=-x2+2=-x4
C．-x2·(-x2)=-x2+2=-x4D．-x2·x2=-x2×2=-x4
3．计算题
(1)-2100×0.5100×(-1)999．
(4)x7等于[]
A．(-x)2(-x)5B．(-x2)(x5)
C．(-x)3(-x4)D．(-x)(-x)6
(5)在下面各式中的括号内填入a3的是[]
A．a12＝()2B．a12＝()3
C．a12＝()4D．a12＝()6
(6)在①(-c)3÷c2=-c2；②(-c)4÷(-c)2=c2；③54÷54=0；
④54÷54=1；⑤x3n÷xn=x2n；⑥x3n÷xn=x3各题计算中，正确的是[]
A．①③⑤B．②④⑤C．③④⑤D．④⑤⑥
(7)下列计算结果正确的是[]
A．(2x5)3=6x15B．(-x4)3=-x7C．(2x3)2=2x6D．[(-x)4]3=x12
(8)计算(-2.5a3)2·(-4a)3的结果应等于[]
例3、1ห้องสมุดไป่ตู้93+9319的个位数字是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
例4、（1）4m．8m-1÷2m= 512 ,则m =
（2）am·an= a4,且am÷an=a6则mn=
（3）1986500≈（保留三个有效数字）
（4）7．25×10-4＝（写出原数）
（5）－0.00000213＝（保留两个有效数字）
(6)(-xy2)5÷(-xy2)3=______；
二、选择题
七年级数学幂的运算讲解与例题
8.1 幂的运算1．了解幂的运算性质，会利用幂的运算性质进行计算．2．通过幂的运算性质的形成和应用，养成观察、归纳、猜想、论证的能力，提高计算和口算的能力．3．了解和体会“特殊—一般—特殊”的认知规律，体验和学习研究问题的方法，培养思维严谨性，做到步步有据，正确熟练，养成良好的学习习惯．1．同底数幂的乘法(1)同底数幂的意义“同底数幂”顾名思义，是指底数相同的幂．如32与35，(－5)2与(－5)6，(a＋b)4与(a＋b)3等表示的都是同底数的幂．(2)幂的运算性质1同底数幂相乘，底数不变，指数相加．用字母可以表示为：a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)．(3)性质的推广运用当三个或三个以上的同底数幂相乘时，也具有这一性质，如：a m·a n·a p＝a m＋n＋p(m，n，p是正整数)．(4)在应用同底数幂的乘法的运算性质时，应注意以下几点：①幂的底数a可以是任意的有理数，也可以是单项式或多项式；底数是和、差或其他形式的幂相乘，应把这些和或差看作一个“整体”．②底数必须相同才能使用同底数幂的乘法公式，若底数不同，则不能使用；注意：－a n 与(－a)n不是同底数的幂，不能直接用性质．③不要忽视指数是1的因数或因式．【例1－1】(1)计算x3·x2的结果是______；(2)a4·(－a3)·(－a)3＝__________.解析：(1)题中的底数都是x，是两个同底数幂相乘的运算式子，只需运用同底数幂相乘的性质进行运算，即x3·x2＝x3＋2＝x5；(2)应先把底数分别是a，－a的幂化成同底数的幂，才能应用同底数幂的乘法性质，原式＝a4·(－a3)·(－a3)＝a4·a3·a3＝a4＋3＋3＝a10.答案：(1)x5(2)a10正确运用幂的运算性质解题的前提是明确性质的条件和结论．例如同底数幂的乘法，条件是底数相同，且运算是乘法运算，结论是底数不变，指数相加．【例1－2】计算：(1)(x＋y)2·(x＋y)3；(2)(a－2b)2·(2b－a)3.分析：(1)把(x＋y)看作底数，可根据同底数幂的乘法性质来解；(2)题中(a－2b)2可转化为(2b－a)2，或者把(2b－a)3转化为－(a－2b)3，就是两个同底数的幂相乘了．解：(1)原式＝(x＋y)2＋3＝(x＋y)5；(2)方法一：原式＝(2b －a )2·(2b －a )3＝(2b －a )5；方法二：原式＝(a －2b )2·[－(a －2b )3]＝－(a －2b )5.本题应用了整体的数学思想，把(x ＋y )和(a －2b )看作一个整体，(2)题中的两种解法所得的结果实质是相等的，因为互为相反数的奇次幂仍是互为相反数． 2．幂的乘方(1)幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘．如(a 5)3是指三个a 5相乘，读作“a 的五次幂的三次方”，即有(a 5)3＝a 5·a 5·a 5＝a 5＋5＋5＝a 5×3；(a m )n 表示n 个a m 相乘，读作“a 的m 次幂的n 次方”，即有(a m )n ＝m m m n a a a ⋅⋅⋅L 1442443个＝m m m n a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L L L 142431424314243144444424444443个个个个＝a mn(m ，n 都是正整数) (2)幂的运算性质2幂的乘方，底数不变，指数相乘．用字母可以表示为：(a m )n ＝a mn(m ，n 都是正整数)．这个性质的最大特点就是将原来的乘方运算降次为乘法运算，即底数不变，指数相乘． (3)性质的推广运用幂的乘方性质可推广为： [(a m )n ]p ＝a mnp(m ，n ，p 均为正整数)．(4)注意(a m )n 与am n的区别 (a m )n 表示n 个a m 相乘，而am n 表示m n 个a 相乘，例如：(52)3＝52×3＝56,523＝58.因此，(a m )n ≠am n .【例2】(1)计算(x 3)2的结果是( )．A ．x 5B ．x 6C ．x 8D ．x 9(2)计算3(a 3)3＋2(a 4)2·a ＝__________.解析：(1)根据性质，底数不变，指数相乘，结果应选B ；(2)先根据幂的乘方、同底数幂相乘进行计算，再合并同类项得到结果．3(a 3)3＋2(a 4)2·a ＝3a 3×3＋2a 4×2·a ＝3a 9＋2a 8·a ＝3a 9＋2a 9＝5a 9.答案：(1)B (2)5a 9防止“指数相乘”变为“指数相加”，同时防止“指数相乘”变为“指数乘方”．如(a 4)2＝a 4＋2＝a 6与(a 2)3＝a 23＝a 8都是错误的．3．积的乘方(1)积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如(2ab )3，(ab )n等．(2ab )3＝(2ab )·(2ab )·(2ab )(乘方意义)＝(2×2×2)(a ·a ·a )(b ·b ·b )(乘法交换律、结合律) ＝23a 3b 3.(ab )n ＝n ab ab ab ()()()L 1442443个＝n a a a (⋅⋅⋅)L 14243个n b b b (⋅⋅⋅⋅)L 14243个＝a n b n(n 为正整数)．(2)幂的运算性质3积的乘方等于各因式乘方的积．也就是说，先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的结果相乘．用字母可以表示为：(ab )n ＝a n b n(n 是正整数)． (3)性质的推广运用三个或三个以上的乘方也具有这一性质，如(abc )n ＝a n b n c n(n 是正整数)．【例3】计算：(1)(－2x )3；(2)(－xy )2；(3)(xy 2)3·(－x 2y )2；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12ab 2c 34.分析：(1)要注意－2x 含有－2，x 两个因数；(2)－xy 含有三个因数：－1，x ，y ；(3)把xy 2看作x 与y 2的积，把－x 2y 看作－1，x 2，y 的积；(4)－12ab 2c 3含有四个因数－12，a ，b 2，c 3，先运用积的乘方性质计算，再运用幂的乘方性质计算．解：(1)(－2x )3＝(－2)3·x 3＝－8x 3；(2)(－xy )2＝(－1)2·x 2·y 2＝x 2y 2；(3)(xy 2)3·(－x 2y )2＝x 3(y 2)3·(－1)2·(x 2)2y 2＝x 3y 6·x 4y 2＝x 7y 8；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12ab 2c 34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－124a 4(b 2)4(c 3)4＝116a 4b 8c 12.(1)在计算时，把x 2与y 2分别看成一个数，便于运用积的乘方的运算性质进行计算，这种把某个式子看成一个数或字母的方法的实质是换元法，它可以把复杂问题简单化，它是数学的常用方法．(2)此类题考查积的乘方运算，计算时应特别注意底数含有的因式，每个因式都分别乘方，不要漏掉，尤其要注意系数及系数的符号，对系数是－1的不可忽略．负数的奇次方是一个负数，负数的偶次方是一个正数．4．同底数幂的除法 (1)幂的运算性质4同底数幂相除，底数不变，指数相减．用字母可以表示为：a m ÷a n ＝a m －n(a ≠0，m ，n 都是正整数，且m ＞n )．这个性质成立的条件是：同底数幂相除，结论是：底数不变，指数相减．和同底数幂的乘法类似，被除式和除式都是幂的形式且底数一定要相同，商也是一个幂，其底数与被除式和除式的底数相同，商中幂的指数是被除式的指数与除式的指数之差．因为零不能作除数，所以底数a ≠0.(2)性质的推广运用三个或三个以上的同底数幂连续相除时，该性质仍然成立，例如a m ÷a n ÷a p ＝a m －n －p(a ≠0，m ，n ，p 为正整数，m ＞n ＋p )．【例4】计算：(1)(－a )6÷(－a )3；(2)(a ＋1)4÷(a ＋1)2；(3)(－x )7÷(－x 3)÷(－x )2. 分析：利用同底数幂的除法性质进行运算时关键要找准底数和指数．(1)中的底数是－a ，(2)中的底数是(a ＋1)，(3)中的底数可以是－x ，也可以是x .解：(1)(－a )6÷(－a )3＝(－a )6－3＝(－a )3＝－a 3；(2)(a ＋1)4÷(a ＋1)2＝(a ＋1)4－2＝(a ＋1)2； (3)方法1：(－x )7÷(－x 3)÷(－x )2＝(－x )7÷(－x )3÷(－x )2＝(－x )7－3－2＝(－x )2＝x 2. 方法2：(－x )7÷(－x 3)÷(－x )2＝(－x 7)÷(－x 3)÷x 2＝x 7－3－2＝x 2.运用同底数幂除法性质的关键是看底数是否相同，若不相同则不能运用该性质，指数相减是指被除式的指数减去除式的指数；幂的前三个运算性质中字母a ，b 可以表示任何实数，也可以表示单项式和多项式；第四个性质即同底数幂的除法性质中，字母a 只表示不为零的实数，或表示其值不为零的单项式和多项式．注意指数是“1”的情况，如a 5÷a ＝a 5－1，而不是a 5－0.5．零指数幂与负整数指数幂(1)零指数幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.用字母可以表示为：a 0＝1(a ≠0)．a 0＝1的前提是a ≠0，如(x －2)0＝1成立的条件是x ≠2.(2)负整数指数幂：任何一个不等于零的数的－p (p 是正整数)次幂，等于这个数的p 次幂的倒数．用字母可以表示为：a －p＝1ap (a ≠0，p 是正整数)．a －p ＝1ap 的条件是a ≠0，p 为正整数，而0－2等是无意义的．当a ＞0时，a p 的值一定为正；当a ＜0时，a －p 的值视p 的奇偶性而定，如(－2)－3＝－18，(－3)－2＝19.规定了零指数幂和负整数指数幂的意义后，正整数指数幂的运算性质，就可以推广到整数指数幂了，于是同底数幂除法的性质推广到整数指数幂，即a m ÷a n ＝a m －n(a ≠0，m ，n 都是整数)．如a ÷a 2＝a 1－2＝a －1＝1a；正整数指数幂的某些运算，在负整数指数幂中也能适用．如a －2·a －3＝a－2－3＝a －5等．【例5】计算：(1)1.6×10－4；(2)(－3)－3；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－53－2；(4)(π－3.14)0；(5)⎝ ⎛⎭⎪⎫130＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1.分析：此题是负整数指数幂和零指数幂的计算，可根据a －p＝1ap (p 是正整数，a ≠0)和a 0＝1(a ≠0)计算．其中(1)题应先求出10－4的值，再运用乘法性质求出结果．解：(1)1.6×10－4＝1.6×1104＝1.6×0.000 1＝0.000 16.(2)(－3)－3＝1－33＝－127. (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－53－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝925. (4)因为π＝3.141 592 6…， 所以π－3.14≠0.故(π－3.14)0＝1.(5)原式＝1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－231＝1＋9－32＝812.只要底数不为零，而指数是零，不管底数多么复杂，其结果都是1.当一个负整数指数幂的底数是分数时，它等于底数倒数的正整数次幂，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a p .6．用科学记数法表示绝对值较小的数(1)绝对值小于1的数可记成±a ×10－n的形式，其中1≤a ＜10，n 是正整数，n 等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)，这种记数方法也是科学记数法．(2)把一个绝对值小于1的数用科学记数法表示分两步：①确定a,1≤a ＜10，它是将原数小数点向右移动后的结果；②确定n ，n 是正整数，它等于原数化为a 后小数点移动的位数．(3)利用科学记数法表示数，不仅简便，而且更便于比较数的大小，如：2.57×10－5显然大于2.57×10－8，前者是后者的103倍．【例6－1】2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延，我们应通过注意个人卫生加强防范．研究表明，甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.000 001 56 m ，用科学记数法表示这个数是( )．A ．0.156×10－5B ．0.156×105C．1.56×10－6 D．1.56×106解析：本题考查科学记数法，将一个数用科学记数法表示为±a×10－n(1≤a＜10)的形式，其中a是正整数数位只有一位的数，所以A、B不正确，n是正整数，n等于原数中第一个有效数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)，所以n＝6，即0.000 001 56＝1.56×10－6.故选C．答案：Cn的值也等于将原数写成科学记数法±a×10－n时，小数点移动的位数．如本题中将0.000 001 56写成科学记数法表示时，a为1.56，即将原数的小数点向右移动了6位，所以n的值是6.【例6－2】已知空气的单位体积质量为 1.24×10－3 g/cm3,1.24×10－3用小数表示为( )．A．0.000 124 B．0.012 4C．－0.001 24 D．0.001 24解析：因为a＝1.24，n＝3，因此原数是1前面有3个零(包括小数点前面的一个零)，即1.24×10－3＝0.001 24.答案：D本题可把1.24的小数点向左移动3位得到原数，也可利用负整数指数幂算出10－3的值，再与1.24相乘得到原数．7．幂的混合运算幂的四个运算性质是整式乘(除)法的基础，也是整式乘(除)法的主要依据．进行幂的运算，关键是熟练掌握幂的四个运算性质，深刻理解每个性质的意义，避免互相混淆．幂的混合运算顺序是先乘方，再乘除，最后再加减，有括号的先算括号里面的．因此，运算时，应先细心观察，合理制定运算顺序，先算什么，后算什么，做到心中有数．(1)同底数幂相乘与幂的乘方运算性质混淆，从而导致错误．如：①a3·a2＝a6；②(a3)2＝a5.解题时应首先分清是哪种运算：若是同底数幂相乘，应将指数相加；若是幂的乘方，应将指数相乘．正解：①a3·a2＝a5；②(a3)2＝a6.(2)同底数幂相乘与合并同类项混淆，从而导致错误．如：①a3·a3＝2a3；②a3＋a3＝a6.①是同底数幂相乘，应底数不变，指数相加；②是合并同类项，应系数相加作系数，字母和字母的指数不变．正解：①a3·a3＝a6；②a3＋a3＝2a3.【例7－1】下列运算正确的是( )．A．a4＋a5＝a9B．a3·a3·a3＝3a3C．2a4·3a5＝6a9D．(－a3)4＝a7解析：对于A，两者不是同类项，不能合并；对于B，结果应为a9；对于C，结果是正确的；对于D，(－a3)4＝a3×4＝a12.故选C．答案：C【例7－2】计算：(－2x2y)3＋8(x2)2·(－x)2·(－y)6÷y3.分析：按照运算顺序，先利用积的乘方化简，即(－2x2y)3＝－8(x2)3·y3,8(x2)2·(－x)2·(－y)6＝8x4·x2·y6，再利用幂的乘方及同底数幂的乘法化简乘方后的结果，最后合并同类项．解：(－2x2y)3＋8(x2)2·(－x)2·(－y)6÷y3＝－8(x2)3·y3＋8x4·x2·y6÷y3＝－8x6y3＋8x6y3＝0.8．幂的运算性质的逆用对于幂的运算性质的正向运用大家一般比较熟练，但有时有些问题需要逆用幂的运算性质，可以使问题化难为易、求解更加简单．(1)逆用同底数幂的乘法性质：a m ＋n ＝a m ·a n (m ，n 为正整数)．如25＝23×22＝2×24.当遇到幂的指数是和的形式时，为了计算的需要，往往逆用同底数幂的乘法性质，将幂转化成几个同底数幂的乘法．但是一定要注意，转化后指数的和应等于原指数．(2)逆用幂的乘方性质：a mn ＝(a m )n ＝(a n )m (m ，n 均为正整数)．逆用幂的乘方性质的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．如x 6＝(x 2)3＝(x 3)2，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析．(3)逆用积的乘方性质： a n b n ＝(ab )n (n 为正整数)．当遇到指数相差不大，且指数比较大时，可以考虑逆用积的乘方性质解题．注意，必须是同指数的幂才能逆用性质，逆用时一定要注意：底数相乘，指数不变．(4)逆用同底数幂的除法性质： a m －n ＝a m ÷a n (a ≠0，m ，n 为整数)．当遇到幂的指数是差的形式时，为了计算的需要，往往逆用同底数幂的除法性质，将幂转化成几个同底数幂的除法．但是一定要注意，转化后指数的差应等于原指数．【例8－1】(1)已知3a ＝2,3b ＝6，则33a －2b的值为__________；(2)若m p ＝15，m 2q ＝7，m r ＝－75，则m 3p ＋4q －2r的值为__________．解析：(1)因为3a ＝2,3b＝6，所以33a －2b ＝33a ÷32b ＝(3a )3÷(3b )2＝23÷62＝29.(2)m 3p ＋4q －2r ＝(m p )3·(m 2q )2÷(m r )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫153×72÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－752＝15.答案：(1)29 (2)15【例8－2】(1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×22 012×24 024；(2)已知10x ＝2,10y ＝3，求103x ＋2y的值．分析：(1)本题的指数较大，按常规方法计算很难，观察式子特点发现：4 024是2 012的两倍，可逆用幂的乘方性质，把24 024化为(22)2 012，这样再与22 012逆用积的乘方性质，此时发现与⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011底数互为倒数，但指数不相同，因此逆用同底数幂的乘法及逆用积的乘方性质，简化计算；(2)可逆用幂的乘方，把103x ＋2y化为条件中的形式．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×22 012×(22)2 012(逆用幂的乘方)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×(2×22)2 012(逆用积的乘方) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×82 012 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×82 011×8(逆用同底数幂的乘法) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18×8 2 011×8(逆用积的乘方) ＝8.(2)因为103x ＝(10x )3＝23＝8,102y ＝(10y )2＝32＝9，所以103x ＋2y ＝103x ·102y＝8×9＝72. 9．利用幂的运算性质比较大小 在幂的运算中，经常会遇到比较正整数指数幂的大小问题．对于一些幂的指数较小的问题，可以直接计算出幂进行比较；但当幂的指数较大时，若通过先计算出幂再比较大小，就会很繁琐甚至不可能．这时可利用幂的运算性质比较幂的大小．比较幂的大小，一般有以下几种方法：(1)指数比较法：利用乘方，将比较大小的各个幂的底数化为相同的底数，然后根据指数的大小关系确定出幂的大小．(2)底数比较法：利用乘方，将比较大小的各个幂的指数化为相同的指数，然后根据底数的大小关系确定出幂的大小．(3)作商比较法：当a ＞0，b ＞0时，利用“若a b ＞1，则a ＞b ；若a b ＝1，则a ＝b ；若a b＜1，则a ＜b ”比较．有关幂的大小比较的技巧和方法除灵活运用幂的有关性质外，还应注意策略，如利用特殊值法、放缩法等．【例9】(1)已知a ＝8131，b ＝2741，c ＝961，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．a ＜b ＜c D ．b ＞c ＞a(2)350,440,530的大小关系是( )．A ．350＜440＜530B ．530＜350＜440C ．530＜440＜350D ．440＜530＜350(3)已知P ＝999999，Q ＝119990，那么P ，Q 的大小关系是( )．A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．无法比较解析：(1)因为a ＝8131＝(34)31＝3124，b ＝2741＝(33)41＝3123，c ＝961＝(32)61＝3122，又124＞123＞122，所以3124＞3123＞3122，即a ＞b ＞c .故选A ．(2)因为350＝(35)10＝24310,440＝(44)10＝25610,530＝(53)10＝12510，而125＜243＜256，所以12510＜24310＜25610，即530＜350＜440.故选B ．(3)因为P Q ＝999999×990119＝9×119999×990119＝99×119999×990119＝1，所以P ＝Q .故选B ． 答案：(1)A (2)B (3)B10．幂的运算性质的实际应用利用幂的运算可以解决一些实际问题，所以要熟练掌握好幂的运算性质，能在实际问题中灵活地运用幂的运算性质求解问题．解决此类问题时，必须认真审题，根据题意列出相关的算式，进而利用幂的运算性质进行运算或化简，特别地，当计算的结果是比较大的数时，一般要写成科学记数法的形式．【例10】卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9×103m/s ，则卫星运行3×102s 所走的路程约是多少？分析：要计算卫星运行3×102s 所走的路程，根据路程等于时间乘以速度可解决问题．本题实际是一道同底数幂的乘法运算问题．解：因为7.9×103×3×102＝(7.9×3)×(103×102)＝23.7×105＝2.37×106，所以卫星运行3×102 s 所走的路程约为2.37×106m ． 11．幂的运算中的规律探究题探究发现型题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以总结．它不像传统的解答题或证明题，在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果导因的工作，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律．规律探索题是指在一定条件下，需要探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目，要解答此类问题，首先要仔细阅读，弄清题意，并从阅读过程中找出其规律，然后进一步利用规律进行计算．【例11】(1)观察下列各式：由22×52＝4×25＝100，(2×5)2＝102＝100，可得22×52＝(2×5)2；由23×53＝8×125＝1 000，(2×5)3＝103＝1 000，可得23×53＝(2×5)3；….请你再写出两个类似的式子，你从中发现了什么规律？(2)x2表示两个x相乘，(x2)3表示3个__________相乘，因此(x2)3＝__________，由此类推得(x m)n＝__________.利用你发现的规律计算：①(x3)15；②(x3)6；③[(2a－b)3]8.解：(1)如：34×54＝(3×5)4,45×55＝(4×5)5，等等．规律：a n·b n＝(ab)n，即两数n次幂的积等于这两个数的积的n次幂．(2)x2x2×3＝x6x mn①(x3)15＝x45；②(x3)6＝x18；③[(2a－b)3]8＝(2a－b)24.。
幂的运算例题精讲
幂的运算例题精讲【知识方法归纳】知识要点 主要内容友情提示 同底数幂相乘 m n mn a a a ⋅= (m 、n 是正整数)；a 可以多项式幂的乘方 ()m n mn a a = (m 、n 是正整数) mn m n n m a a a ==)()(积的乘方 ()n n n ab a b = (n 是正整数)n n n ab a )()(= 同底数幂的除法mm n n a a a-=(m 、n 是正整数，m >n) n m n m a a a ÷≠÷方法归纳 注意各运算的意义，合理选用公式注意：零指数幂的意义“任何不等于0的数的0次幂都等于1”和负指数幂的意义“任何不等于0的数的负次幂等于它正次幂的倒数”知识点1 同底数幂的意义及同底数幂的乘法法则（重点） 同底数幂的乘法法则：+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m nm n aa a +=⋅（,m n 都是正整数）.【典型例题】例1：计算.（1）234444⨯⨯； （2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+例2：辨析：下列运算是否正确？不正确的，请改为正确的答案。
(1)x 3·x 5= x 15( ) ； (2) b 7+ b 7=b 14( ) ；（3）a 5- a 2=a 3 ( ) (4) 2x 3+ x 3=2x 6( ) ；(5) (b- a)3=-(a- b)3 ( ) ； (6)(- a- b)4=(a- b)4( )练习计算（1）5323(3)(3)⋅-⋅-； （2）221()()p p p x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）； （3）232(2)(2)n ⨯-⋅-（n 为正整数）．1．计算（－2）2007+（－2）2008的结果是（ ） A ．22015B ．22007C ．－2D ．－220082．当a<0，n 为正整数时，（－a ）5·（－a ）2n的值为（ ）A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．非负数 3．（一题多解题）计算：（a －b ）2m －1·（b －a ）2m ·（a －b ）2m+1，其中m 为正整数．知识点2 逆用同底数幂的法则 逆用法则为：n m nm a a a •=+（m 、n 都是正整数）【典型例题】 例（1）如果21+x =16，求x 的值 （2）如果a m =3， a n =5， 求anm + 的值。
初中数学幂的运算专题讲解及典型题练习(含答案)
初中数学幂的运算专题讲解及典型题练习【知识点梳理】1．有理数的乘方定义求个相同因数的积的运算，叫做乘方．乘方运算的结果叫幂．n 一般地，，叫做底数，叫做指数，叫做幂。
n n a a a a a ⋅⋅⋅= 个a n n a 读作“的次幂”或读作“的次方”．n a a n a n 【注意】(1)乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法运算），幂是乘方运算的结果．(2)一个数可以看作是这个数本身的一次方，例如5就是，就是，指数是1通常省略15a 1a 不写．2．有理数幂的符号法则(1)正数的任何次幂都是正数．(2)负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．(3)特别地，．()11,00n n n ==为正整数【注意】“负幂”与“负数的幂”区别：“负幂”例如表示的相反数，其结果为负数．“负51()2-51()2数的幂”例如，结果要看指数，即负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数．1()2n -3．有理数的混合运算一个算式里含有有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中的两种或两种以上的运算，称为有理数的混合运算．【注意】加法、减法、乘法、除法有各自的运算法则，也有各自的运算技巧，减法可以统一成加法，除法可以统一成乘法，加法与乘法还有各自的运算律，乘方是乘法的特例，也有自己的符号法则，同时也要考虑整体的符号关系以及简便算法．4．有理数的混合运算顺序(1)先乘方，再乘除，最后加减．(2)同级运算，从左到右依次进行．(3) 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．【注意】(1)在加、减、乘、除、乘方这几种运算基本掌握的前提下，学习混含运算，首先应注意的就是运算顺序的问题．(2)通常把六种基本的代数运算分成三级：第一级运算是加和减，第二级运算是乘和除，第三级运算是乘方和开方（以后学习）．运算顺序的规定是先算高级运算，再算低级运算，同级运算在一起，按从左到右的顺序计算．对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的．(3)括号前带负号，去括号后要将括号内的各项都要变号，即．()(),a b a b a b a b -+=----=-+5．科学记数法把一个数写成（其中，是正整数）的形式，这种记数法称为科学记数10n a ⨯110a <≤n 法．【注意】(1)科学记数法是一种特定的记数方法，应明白其中包含的基本原理及其结构，即要掌握形式的结构特征： ，为正整数，且值等于原数的整数位数减1．10n a ⨯110a <≤n n (2)在把用科学记数法表示的数还原为原数时，根据其基本原理和结构，把的小数点向右a 移动位，中数字不够时，用补足．n a 0【典型例题讲解】【例1】计算：．2007200812()2⨯-【分析】直接进行各自的乘方运算非常困难，但根据乘方的意义可得．共200722222=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯2007个2相乘，2008200811()()22-=2007112008200722111111111222222222=⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=⨯个个（）利用乘法交换律和结合律，把2007个2与结合在一起相乘，利用互为倒数即可求出数12值．【解析】2007200812()2⨯-20072008122=⨯（）．20072007200711111222222=⨯⨯⨯⨯=（）（）=（2）【方法总结】此题主要应用互为倒数、乘法运算律及乘方的意义进行计算，事实上我们不难发现，当与互为倒数时，其值为1．计算时要注意符号的问题．多加理解与练()m m m a b ab = a b 习，最好能达到一看题目就可以得出结果的程度．【借题发挥】计算：、．2010201115()5⨯-200920102 2.55⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭【解析】．20102010201111115()55555⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-=⨯-⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．200920092009201020102252552.5 2.5552522⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-⨯=-⨯⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【例2】计算：．22135(13)(2)0.2⎡⎤---+-⨯÷-⎢⎥⎣⎦【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算，分清计算的先后顺序，还要注意去括号的时候要注意符号．【解析】22135(13)(2)0.2⎡⎤---+-⨯÷-⎢⎥⎣⎦[]135(13)435(1253)40.04⎡⎤=---+-⨯÷=---+-⨯÷⎢⎥⎣⎦[][]35(175)435(74)4=---+-÷=---+-÷．[]35(18.5)3(23.5)20.5=---+-=---=【借题发挥】计算：()()[]2243225.02115.01--⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-+-【解析】原式＝()[]()()2411110.52910.571167554162⎛⎫⎛⎫-+-÷⨯-=-+-÷⨯-=-+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【例3】已知，，求的值．12x =-13y =-432231x y x --【分析】把，的值分别代入要求的式子，按有理数混合运算顺序进行计算．x y 【解析】把，代入，得12x =-13y =-432231x y x -- 原式43211112()3()23()231627111()124⨯--⨯-⨯-⨯-==---11114141789()3893627544-==+⨯=+=【方法总结】此类题一方面代入要准确，即负数或分数代入时一般加上小括号，另一方面代入后计算必须准确，最后结果是分数时一定是最简分数．【借题发挥】求当时，代数式的值．2,1x y =-=-2222222x y x xy y x y x y--+++-【解析】将带入，得2,1x y =-=-2222222x y x xy y x y x y --+++-原式＝．()()()()()()()()()()2222221222113114221531521⨯-----⨯-⨯-+--+=+=⨯-+-----【例4】(1)补充完整下表：1323334353637383392781(2)从表中你发现3的方幂的个位数有何规律？(3)3251的个位数是什么数字？为什么？【分析】幂的个位上的数字3、9、7、l 交错重复出现，即每隔四个数，个位数字就重复一次，所以用251除以4所得的余数来确定．【解析】(1)132333435363738339278124372921876561(2)个位上的数字为3、9、7、1交错重复出现．(3)的个位数是7，因为除以4的余数是3．是重复出现时的第三个数．2513251【方法总结】此类题一般都是通过写出一些简单的幂，通过这些幂的结果总结出末位出现数字的种类及循环规律，进一步把指数按循环数进行分解，通过剩余指数求得最后答案．【借题发挥】的个位数是 ，的个位数是 ，253263的个位数是 ，的个位数是 ．273283【解析】3,9,7,1．【例5】怎样比较，，的大小呢？553444335【解析】本题如果通过硬算，数字太大，不可能，因此要观察此三个数的特点，经观察，我们发现55、44、33存在着最大公因数11，不妨利用这一点以及乘方的定义来入手解题．具体过程如下：5511115533333(33333)243=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= 个344111144444444(4444)256=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯= 个．33111133555555(555)125=⋅⋅⋅=⨯⨯= 个因为,所以256243125>>111111256243125>>即．445533435>>【借题发挥】1．试比较的大小．443322234、、【解析】因为：，则，即()()()111111444113331122211221633274416======，，11111627<．442233243<=2．你能比较和的大小吗？2004200320032004 为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和1n n +(1)n n +的大小（是自然数）．然后，我们从分析…这些简单情形人手，从中发现规n 1,2,3,n n n ===律，经过归纳，猜想出结论．(1)通过计算．比较下列各组中两个数的大小（填“>”，“<”或“”）．- ①___；②____；③ ；④____；⑤ ；…21123223433454456556 (2)从第(1)题的结果经过归纳，可以猜想出和的大小关系是 ．1n n +(1)n n + (3)根据上面归纳猜想后得到的一般结论，试比较下面两个数的大小：．2004200320032004【解析】经计算与分析可推出结论：当时，＜；当时，＞．3n <1n n +(1)n n +3n ≥1n n +(1)n n +(1)①＜；②＜；③＞；④＞；⑤＞ (2) 当时，＜；当时，＞3n <1n n +(1)n n +3n ≥1n n +(1)n n +(3)＞．(2)【借题发挥】比较下面各对数的大小：___； ； ．211243342010200920092010【解析】＜；＞；＞．【例6】比较与的大小．109.99810⨯111.00110⨯【分析】二者是用科学记数法表示的数，一方面可以把它们化成原数，通过比较原数大小来比较这两个数的大小；另一方面也可以把它化为相同指数，通过比较前面数（即）的大小来比a 较二者大小．【解析】解法一：，109.9981099980000000⨯=.111.00110100100000000⨯= 又,100100000000>99980000000．∴10119.99810 1.00110⨯<⨯ 解法二：,1110101.001l01. 0011010 10.0110⨯=⨯⨯=⨯ 又，10.019.998> ．∴10119.99810 1.00110⨯<⨯【方法总结】解法一是常规方法，但书写起来很麻烦，易出现错误；方法二较巧妙地转化了，容易比较大小．11101.0011010.0110⨯=⨯【借题发挥】试比较：和．20099.9810⨯20101.0510⨯【解析】．2010200920091.051010.5109.9810⨯=⨯>⨯【例7】 定义“”“”两种运算，对于任意的两个数、，都有，○+○－a b a ○+b 1a b =+-a ○－b 1ab =-．求[()()]的值．4○－3○+5○+6○－2【分解】按规定的“”与“”进行各自的运算，运算时先算士括号里的，再算中括号里的．○+○－【解析】由，，得a ○+b 1a b =+-a ○－b 1ab =-[()()]4○－3○+5○+6○－2[()()]4=○－351+-○+621⨯-()()4=○－7○+114=○－7111+-．4=○－174=⨯171-67=【方法总结】此类题按规定的运算关系进行计算，首先要读懂表达式的含义，会套用公式，计算时注意符号关系及准确性外，还要注意运算的先后顺序．【借题发挥】“△”表示一种新的运算符号，其意义是对于任意，都存在△，如果△△a b a b 2a b =-x (1,则 ．3)2=x =【解析】由△，得△△,即，则，所a b 2a b =-x (13)2=()()21312x x ⨯-=-=△△()212x --=以．12x =【例8】若尺布可做件上衣，则尺布能做多少件这样的上衣？619【解析】第题按计算件，但实际情况是只能做件，所以只能舍，不能入；961.5÷=105．【借题发挥】若每条船能载个人，则个人需要几条船？310【解析】按计算，但实际情况是条船不够，需要4条船，所以在这里应该入，取1103=33÷3134．【方法总结】在实际问题中，经常对药对一些数位上的数进行取舍，有的要求进行四舍五入，有的则按生活及生产实际进行取舍，千万不能遇及以上的数就入，遇以下的数就舍．555【随堂练习】1．计算： ．2008(1)-=【答案】1．2．计算： ．20102010201020104(0.25)(1)1-+-+= 【答案】原式＝．201020102010201014()(1)111114-+-+=-++= 3．若，则 ．21(2)0a b ++-=20102009()a b a ++=【答案】由题意知 得，代入原式可求结果为：0．1020a b +=⎧⎨-=⎩12a b =-⎧⎨=⎩4．如果那么的值为 ．214,,2x y ==222x y -【答案】．222112243122x y -=⨯-=5．现有一根长为1米的木条，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，照此截下去，那么六次后剩下的木条为 米．【答案】第一次截后剩下米，第二次后剩下米，第三次后剩下米，由此推下1221142⎛⎫= ⎪⎝⎭312⎛⎫ ⎪⎝⎭去，第次后剩下米．所以六次后剩下的木条为（米）．n 12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭611264⎛⎫= ⎪⎝⎭6．计算：（1）； （2）； （3）321()(1)33-÷-232(3)-⨯-32221(0.2)(1).3(0.3)-⨯÷-【答案】（1）；（2）108；（3）．290.002-7．（1）. （2）.451132131511÷⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯()1452515213⨯-÷+-（3）. （4）.()3432322⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-÷-()()()3428102-⨯---÷+-（5）.()[]2345.0813231325.01-----⨯÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---（6）.()54436183242113÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6）225-347-1111620-11147224-8．利用乘方的有关知识确定的末两位数字．20076【答案】9．已知“三角”表示运算“”，“正方形”表示的运算是“” ，试计a b c -+d f g e -+-算的值．【答案】原式＝．()()()199649551996281474116-+⨯-+-=-⨯=-9．计算：．111111111248163264128256512++++++++【答案】原式＝11111111111122448816128256256512⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．151********-=10．光年是天文学中使用的距离单位，指的是光在真空中经历一年所走的距离，若真空中光的速度为千米／秒，用科学记数法表示l 光年是多少？（1年按天计算）300000365【答案】已知：千米／秒，（秒）．300000v =365243600t =⨯⨯ 由（千米）．300000365243600s vt ==⨯⨯⨯9460800000000=129.460810=⨯所以，l 光年是千米．129.460810⨯11．阅读下列解题过程：计算：()632113115⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-解：()632113115⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-（第一步）()662515⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-=（第二步）()()2515-÷-=（第三步）53-=回答：（1）上面的解题过程中有两个错误，第一处是第 步，错误的原因是 ；第二处是第 步，错误原因是 ．（2）正确的结果是 ．【答案】（1）二，乘除为同一等级的计算，没有按照从前往后的顺序求解；（2）三，负数乘以负数得到正数，题中为负数． （2）．3215【课堂总结】【课后作业】一、填空题1． ．=---3232． ．()22533235-⨯-⨯+=3． ．()()()()()=-⨯---⨯---⨯++n n n 212211111014． ．()()=-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⨯-5214387165． ．()()()=-⨯-+⨯-03.716.016.4003.76． ．()()=-⨯+-÷-2333227．若、互为倒数，、互为相反数，，则 ．a b c d 2=m ()=-+⋅+23m ab ba d c 8．一个数用科学记数法表示为，则它是 位整数．10n a ⨯二、选择题9．下列公式计算正确的是（ ）A ．B ．()527527⨯--=⨯--31354453=÷=⨯÷C ． D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛÷÷=÷÷5454354543()932=--10．计算的值是（ ）()()2007200822-+-A ．1 B ． C ． D ．2-20072-2007211．下列各组数中，相等的一组是( )．A ．与B ．与23-2(3)-2(3)--3(2)-- C ．与 D ．与3(3)-33-223-⨯332-⨯12．用合理的方法计算：(1) ； (2) ；515635236767---1544 3.87 4.253495-+-+(3) ； (4) ； 1511342461832⎛⎫⎛⎫--+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()110.5678111-----+⎡⎤⎣⎦13．计算：（1）； （2）；63221⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷2131521（3）； （4）.⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--838712787431⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯1811351121961365514．用科学计数法表示下列计算结果：（1）一昼夜小时是多少秒？24 （2）50251002⨯15．(1)阅读短文《拆项计算》：拆项计算下面带分数的计算申，常把整数部分和分数部分拆开，以简化计算过程，举例如下：5231591736342⎛⎫⎛⎫-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5231591736342523159173634252315917363425213063241235644⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=----++--⎛⎫=--+-+--+- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭=-+=-(2)仿照第(1)小题的计算方法计算：5211200620054000116332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】1．－11 2．21 3．1 4．2 5．－281.2 6．－7 7．－1 8．1n +9．D 10．D 11．C12．(1) 515655163523325319867676677⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+-+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(2) 1541451454 3.87 4.253437437495459459-+-+=-+-+=(3) 151153424146183218⎛⎫⎛⎫--+--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (4) ()110.56781110.4321-----+=-⎡⎤⎣⎦13．(1) 121266612323⎛⎫⎛⎫-⨯=⨯+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2) ()2117216853255⎛⎫÷-=⨯-=- ⎪⎝⎭(3) 377733114812888⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(4).51111351936361853911366623518633519⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-÷-=⨯-⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭14．(1) 一昼夜小时是（秒）244246060864008.6410⨯⨯==⨯(2) ＝50251002⨯50505010025410010⨯==15．原式＝()5211352200620054000110.6332263⎛⎫⎛⎫--+++--++=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
七年级下册数学第8章《幂的运算》考点+易错讲义
第8章《幂的运算》考点+易错知识梳理重难点分类解析考点1 运用幂的基本性质进行运算【考点解读】掌握幂的基本性质是解决问题的关键，要根据算式的特点确定运算的顺序，并选择幂的基本性质进行正确计算，不要混淆同底数幂的乘法、积的乘方以及幂的乘方. 例1 (2017·江西)下列运算正确的是( )A. 5210()a a -=B. 22236a a a =gC. 23a a a -+=-D. 623623a a a -÷=-分析: 5210()a a -=，故选项A 正确；23236a a a =g，故选项B 错误；2a a a -+=-，故选项C 错误；624623a a a -÷=-，故选项D 错误.答案:A【规律·技法】根据合并同类项、幂的乘方及同底数幂的乘法的定义解答. 【反馈练习】1.下列计算正确的是( )A. 224x x x +=B. 3332x x x -=C. 236x x x =g D. 236()x x =点拨:正确应用各类计算法则计算. 2.计算:201320111(3)()3-⨯-= .点拨:应用积的乘方的逆运算，把2013(3)-折分成20112(3)(3)-⨯-.考点2 运用零指数、负整数指数幂的意义进行运算【考点解读】明确零指数、负整数指数幂的规定，同时区分一些形式上相似而实质上不一样的算式，如03与03-，12-与12--等. 例2 计算0112()2-+的结果是 . 分析:0112()1232-+=+=.答案:3 【规律·技法】本题考查了0次幂和负整数指数幂的意义，解答本题的关键是熟记相关法则. 【反馈练习】3.计算018()2---的结果是( )A. 7-B. 7C. 172D. 9 点拨:018()8172---=-=. 4.计算2133-⨯的结果是( )A. 3B. 3-C. 2D. 2- 点拨: 1133-=. 考点3 用科学记数法表示数【考点解读】要善于总结用科学记数法表示数的一般性规律，如:40.000110-=，50.0000110-=，60.00000110-=，70.000000110-=等.例3 (2017·济宁)某桑蚕丝的直径为0.000 016 m ，将0.000 016用科学记数法表示是() A. 41.610-⨯ B. 51.610-⨯ C. 61.610-⨯ D. 61610-⨯ 分析:绝时值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10na -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定，则50.000016 1.610-=⨯.答案:B【规律·技法】用科学记数法表示较小的数，一般形式为10na -⨯，其中110a ≤<，n 由原数左边起第一个非零数字前面0的个数所决定. 【反馈练习】5.生物学家发现了一种病毒，其长度为0.000 000 32 mm ，数据0.000 000 32用科学记数法表示正确的是( )A. 73.210⨯ B. 53.210-⨯ C. 73.210-⨯ D. 83.210-⨯ 点拨:确定科学记数法表示较小的数的一般形式10na -⨯中a 和n 的值.6.蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000 073 m ，将0.000 073用科学记数法表示为 .点拨:确定科学记数法表示较小的数的一般形式10na -⨯中a 和n 的值.考点4 幂的相关运算【考点解读】熟练掌握有关幂的运算法则. 例4 下列运算正确的是( )A. 320a a -=B. 23a a a =gC. 432a a a ÷= D. 325()a a =分析:32a a a -=，故选项A 不正确；23a a a =g ，故选项B 正确；43a a a ÷=，故选项C 不正确；326()a a =，故选项D 不正确.答案:B【规律·技法】本题考查了同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，这些运算很容易混淆，一定要记准不同的运算法则. 【反馈练习】7.下列计算结果正确的是( )A. 842a a a ÷=B. 236a a a =g C. 248()a a = D. 236(2)8a a -= 点拨mnm na a a-÷=；m n m na a a+⨯= ；()m n mna a=(m ，n 是整数).8.下列运算正确的是( )A. 5210()a a = B. 1644x x x ÷=C. 224235a a a +=D. 3332b b b =g点拨m n m na a a-÷=；m n m na a a+⨯= ；()m n mna a=(m ，n 是整数).易错题辨析易错点 1 运用同底数幂的乘法法则计算时，漏掉了指数是“1”的因式例1计算: 32m m m ∙g . 错误解答: 32325m m m mm +∙==g s.错因分析:本题错在忽视最后一个因式m 的指数是1，误认为它的指数是0. 正确解答:323216m m m mm ++∙==g .易错辨析:单个字母的指数是1而不是0，只不过指数为1时可以省略不写，但不能认为指数是0.易错点2 运算法则使用不当例2计算:(1) 43(3)xy -; (2) 22(3)a b . 错误解答:(1) 4312(3)3xy xy -=-. (2) 2242(3)6a b a b =.错因分析:积的乘方是将积中的每一个因式分别乘方，而(1)中只将最后一个因式乘方，忽略了3-，x 两个因式的乘方，而(2)中错误地将乘方的次数乘以系数了. 正确解答:(1) 43312(3)27xy x y -=-. (2) 2242(3)9a b a b =.易错辨析:运用积的乘方法则时，要注意不能遗漏因式.易错点3 错用合并同类项法则例3计算: 3223()()x x +.错误解答: 32236612()()x x x x x +=+=.错因分析:本题错在将合并同类项法则与同底数幂乘法法则相混淆，错解中既运用了合并同类项法则，又运用了同底数幂相乘的法则.本题实际上是合并同类项，利用合并同类项法则将系数相加作为和的系数，字母和字母指数不变. 正确解答:3223666()()2x x x x x +=+=. 易错辨析:正确区分合并同类项与同底数幕乘法.易错点4 错用同底数幂除法法则例4计算:62x x ÷. 错误解答: 62623x x xx ÷÷==.错因分析:上面的解法用错了法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，而不是相除. 正确解答: 62624x x xx -÷==.易错辨析:同底数幕除法法则为mnm na a a -÷= (其中m ，n 是整数)，注意m n -不能写成m n ÷.易错点5 运算中符号出错例5 计算:62()()y y -÷-. 错误解答:626244()()()()y y y y y --÷-=-=-=-.错因分析: 44444()(1)(1)y y y y -=-=-=g g . 正确解答:626244()()()()y y y y y --÷-=-=-=.易错辨析:当n 为奇数时，()nna a -=-;当n 为偶数时，()nna a -=.反馈练习1.给出下列算式:①43272()()a a c a c --=-g ；②326()a a -=-；③3342()a a a -÷=；④633()()a a a -÷-=-.其中正确的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 点拨:注意运算的顺序，正确运用法则运算.2.若20.3a =-，23b -=-，21()3c -=-，01()3d =-，则( )A. a b c d <<<B. b a d c <<<C. a d c b <<<D. c a d b <<<点拨:分别计算出,,,a b c d 的值，比较即可.3.给出下列各式:①523[()]a a --g；②43()a a -g ；③2332()()a a -g ；④43[()]a --.其中计算结果为12a -的有( )A.①和③B.①和②C.②和③D.③和④点拨:注意“偶次方”和“奇次方”的符号处理. 4.计算: 23()()p p --=g ；231()2a b -= . 点拨:正确运用法则计算，最后结果化为最简形式.5.计算: 2018201952()()25-⨯-= . 点拨:把20192()5-分解为201822()()55--g 即可。
幂的运算警示录(初中数学)
幂的运算警示录一、忽视幂的指数为1例1 计算：x·x3·x4.错解：原式=x3+4=x7.剖析：错解忽视了第一个因式x的指数是1，误以为它的指数是0，在求解时漏掉了.正解：_____________.二、混淆幂的运算法则例2 计算：（1）a3·a4；（2）a6·a6；（3）（a4）2；（4）a12÷a2.错解：（1）原式=a3×4=a12.（2）原式=（1+1）a6=2 a6.（3）原式=a4+2=a6.（4）原式=a12÷2=a6.剖析：错解（1）把“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”与“指数相乘”混淆；（2）把同底数幂的乘法与合并同类项的法则混淆；（3）把“幂的乘方，底数不变，指数相乘”与“指数相加”混淆；（4）把“同底数幂相除，底数不变，指数相减”误以为是“指数相除”.正解：_____________.三、混淆底数例3计算：-a5·（-a）3.错解：原式=- a5+3=-a8.剖析：原式中的幂底数不同，-a5的底数是a，（-a）3的底数是-a，应先将底数化为同底数，然后利用法则进行计算.正解：_____________.例4计算：（-x2）3.错解：原式=（-x）2×3=（-x）6=x6.剖析：错解将-x2与（-x）2看作相同的式子，实际上（-x）2=x2，而x2≠-x2，本题应先利用积的乘方，得到（-1）·（x2）3.正解：_____________.四、系数处理不当例5 计算：（-5ab2）3.错解：原式=-5a3b6，或原式=-15 a3b6.剖析：本题或只对底数a，b2分别进行了立方运算，忽略了系数-5，或错误地把（-5）3计算成了-3×5.正解：_____________.五、运算顺序出错例6计算：-x2·（x3）4.错解：原式=-（x2+3）4=-x20.剖析：-x2·（x3）4里包括两级运算，即乘法运算和乘方运算，错解把运算顺序颠倒了，正确的运算顺是应先乘方运算，后做乘法运算.正解：_____________.参考答案：例1 原式=x1+3+4=x8.例2 （1）原式=a3+4=a7；（2）原式==a6+6=a12.（3）原式= a4×2=a8.（4）原式=a12-2=a10.例3 原式= a5·a3= a8.例4 原式=-（x2）3=-x6.例5 原式=（-5）3 a3b6=-125 a3b6.例6 原式=-x2·x12=-x14.。
专题02 幂的运算压轴题四种模型全攻略(解析版)
专题02 幂的运算压轴题四种模型全攻略【类型一 混合运算问题】例1．计算：(1)2563()2x x x x -¸+×；(2)23322(927)(3)x y x y xy -¸．【答案】(1)9x (2)3-y x【解析】【分析】（1）先计算乘方，再计算除法，最后合并，即可求解；（2）先算乘方，再算除法，即可求解．(1)解：原式1092x x x =-¸+992x x =-+9x =；(2)原式233222(927)9x y x y x y =-¸2322322299279x y x y x y x y =¸-¸3y x =-．【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，多项式除以单项式，熟练掌握幂的混合运算法则，多项式除以单项式法则是解题的关键．【变式训练1】计算（1）()()12312π322--æö--+--ç÷èø．（2）()()354432321510205x y x y x y x y --¸．【答案】（1）354；（2）32324y xy --【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方，零次幂，负整指数幂，进行计算即可；（2）根据多项式除以单项式进行计算即可．【详解】（1）()()102312π322--æö--+--ç÷èø18124=-+-354=（2）()()354432321510205x y x y x y x y --¸3232325(324)5x y y xy x y =--¸32324y xy =--【点睛】本题考查了有理数的乘方，零次幂，负整指数幂，多项式除以单项式，掌握以上运算法则是解题的关键．【变式训练2】计算：(1)()3242a a a ×+-；(2)()()()345222a a a ׸-；(3)432()()()p q q p p q -¸-×-．【答案】(1)0(2)4a -(3)3()p q --【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法和幂的乘方以及合并同类项的计算法则求解即可；（2）根据幂的乘方和同底数幂的除法计算法则求解即可；（3）根据同底数幂的乘除法计算法则求解即可．(1)解：()3242a a a ×+-()66a a =+-66a a =-0=；(2)解：()()()345222a a a ׸-()6810a a a =׸-4a =-；(3)解：432()()()p q q p p q -¸-×-432()()()q p q p q p =-¸-×-3()q p =-()3p q =--．【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．【变式训练3】计算：（1）4()¸ab ab ； （2）331-+-¸m n yy ； （3）()522210.254æö-¸-ç÷èøx x ； （4）264(5)(5)éù-¸-ëûmn mn ； （5）84()()()-¸-×-x y y x x y ．【答案】（1）33a b ；（2）34---m n y ；（3）6164-x ；（4）44625m n ；（5）5()x y -．【解析】【分析】（1）先计算同底数幂的除法，然后计算积的乘方即可；（2）利用同底数幂的除法计算法则求解即可；（3）先得到()522210.254æö-¸-ç÷èøx x 51041144x x æö=-׸ç÷èø，然后利用同底数幂的除法计算法则求解即可；（4）先计算同底数幂的除法，然后计算积的乘方即可；（5）直接根据同底数幂的乘除法计算法则求解即可．【详解】解：（1）4()¸ab ab()41ab -=33a b =；（2）331-+-¸m n y y 331m n y ---=-34m n y --=-；（3）()522210.254æö-¸-ç÷èøx x 521041144x x éùæöæö=-׸êúç÷ç÷èøèøêúëû3614x æö=-×ç÷èø6164x =-；（4）264(5)(5)éù-¸-ëûmn mn ()225mn éù=-ëû()22225m n =44625m n =；（5）84()()()-¸-×-x y y x x y 4()()x y x y =-×-5()x y =-．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．【类型二 幂的运算逆用问题】例2．（1）已知3×9m ×27m ＝311，求m 的值．（2）已知2a ＝3，4b ＝5，8c ＝5，求8a ＋c －2b 的值．【答案】（1）m =2.（2）2725【解析】【分析】（1）直接运用同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则计算即可；（2）利用同底数幂的乘除法则以及幂的乘方法则将原式变形即可.【详解】（1）∵231511392733333m m m m m +´´=´´==，∴1511m +=，解得m =2；（2）∵23a =，45b =，85c =，∴23a =，2425b b ==，3825c c ==，∴()()332233233278222235525a cb ac b a c b +-+-==´¸=´¸= .【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法法则和幂的乘方的运算法则，熟练地掌握相关的运算法则是解题的关键.【变式训练1】（1）已知354x y +=，求582x y ×的值．（2）已知2139273m m ´´=，求m 的值．【答案】（1）16；（2）4m =【解析】【分析】（1）逆运用幂的乘方和同底数幂的乘法变形后，将354x y +=代入求解即可；（2）等式的左边逆运用幂的乘方和同底数幂的乘法变形后，根据底数相同指数相同的两个数相同可得m 的方程求解即可．【详解】解：（1）∵354x y +=，∴53535482222216x y x y x y +×=×===；（2）∵2139273m m ´´=，∴23213333m m ´´=，即512133m +=，∴5121m +=，解得4m =．【点睛】本题考查幂的乘方运算和同底数幂的乘法．熟练掌握公式，并能逆运用是解题关键．【变式训练2】(1)已知4m ＝a ，8n ＝b ，用含a ，b 的式子表示下列代数式：①求：22m +3n 的值②求：24m ﹣6n 的值(2)已知2×8x ×16＝223，求x 的值．【答案】（1）①ab ，②22a b（2）x =6【解析】【分析】（1）①根据题意分别将4m ，8n 化为底数为2的形式，然后代入求解；②根据题意分别将4m ，8n 化为底数为2的形式，然后代入求解（2）由题意将8x 化为23x ，将16化为24，列出方程求出x 的值．【详解】解：（1）∵4m =a ，8n =b ，∴22m =a ，23n =b ，①22m +3n =22m •23n =ab ；②24m -6n =24m ÷26n =（22m ）2÷（23n ）2=22a b ；（2）∵2×8x ×16=223，∴2×（23）x ×24=223，∴2×23x ×24=223，∴1+3x +4=23，解得：x =6．【点睛】本题考查同底数幂的除法以及幂的乘方和积的乘方，熟练掌握相关的运算法则是解答本题的关键．【变式训练3】（1）已知2,3m n a a ==，求23m n a -的值．（2）已知：23n x =，求()()4525n n n x x x +-的值．（3）已知354x y +=，求582x y ×的值．（4）已知2139273m m ´´=，求m 的值．【答案】（1）427；（2）261-；（3）16；（4）4m =【解析】【分析】（1）根据幂的除法运算法则再逆用幂的乘方即可求解；（2）利用幂的运算法则都化成底数为x 2n 的形式，即可求解；（3）把8x 化成底数为2的幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则计算即可；（4）都化成底数为3的幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则计算得到关于m 的一元一次方程，再解即可．【详解】解：（1）（1）∵2,3m n a a ==，∴()()2222333324327mm m n n n a a a a a -====；（2）∵x 2n =3，∴()()4525n n n x x x +-=()()232210n n x x -=233103-´=261-．（3）∵354x y +=，∴53535482222216x y x y x y +×=×===；（4）∵2139273m m ´´=，∴23213333m m ´´=，即512133m +=，∴5121m +=，解得4m =．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方的计算方法，根据式子的特点，灵活变形解决问题．【类型三 新定义型问题】例3．如果ac ＝b ，那么我们规定（a ，b ）＝c ．例如；因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定填空：（3，27）＝ ，（4，1）＝ ，（2，0.25）＝ ；（2）记（3，5）＝a ，（3，6）＝b ，（3，30）＝c ．判断a ，b ，c 之间的等量关系，并说明理由．【答案】（1）3，0，﹣2；（2）a +b ＝c ，理由见解析．【解析】【分析】（1）直接根据新定义求解即可；（2）先根据新定义得出关于a ，b ，c 的等式，然后根据幂的运算法则求解即可．【详解】（1）∵33＝27，∴（3，27）＝3，∵40＝1，∴（4，1）＝0，∵2﹣2＝14，∴（2，0．25）＝﹣2．故答案为：3，0，﹣2；（2）a +b ＝c ．理由：∵（3，5）＝a ，（3，6）＝b ，（3，30）＝c ，∴3a ＝5，3b ＝6，3c ＝30，∴3a ×3b ＝5×6＝3c ＝30，∴3a ×3b ＝3c ，∴a +b ＝c ．【点睛】本题考查了新定义运算，明确新定义的运算方法是解答本题的关键，本题也考查了有理数的乘方、同底数幂的乘法运算．【变式训练1】规定两正数a ，b 之同的一种运算，记作：E (a ，b )，如果a c ＝b ，那么E (a ，b )＝c ．例如23＝8，所以E (2，8)＝3（1）填空：E (3，27)＝ ，E 11,216æöç÷èø＝ （2）小明在研究这和运算时发现一个现象：E (3n ，4n )＝E (3，4)小明给出了如下的证明：设E (3n ，4n )＝x ，即(3n )x ＝4n ，即(3n ，4n )＝4n ，所以3x ＝4，E (3，4)＝x ，所以E (3n ，4n )＝E (3，4)，请你尝试运用这种方法说明下面这个等式成立：E (3，4)+E (3，5)＝E (3，20)【答案】（1）3；4；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则：知4311327,,216æö==ç÷èø 从而可得答案； （2）设E （3，4）=x ，E （3，5）=y ，根据定义得：34,35,x y ==利用同底数幂的乘法可得答案．【详解】解：（1）∵3327,=∴E （3，27）=3； ∵411,216æö=ç÷èø ∴11,4,216E æö=ç÷èø故答案为：3；4；（2）设E （3，4）=x ，E （3，5）=y ，则34,35,x y ==∴3334520,x y x y +=·=´=∴E （3，20）=x +y ，∴E （3，4）+E （3，5）=E （3，20）．【点睛】本题是利用新定义考查幂的运算的逆运算，掌握幂的运算，同底数幂的乘法运算是解题的关键．【变式训练2】一般地，若n a b =（0a >且1,0a b ¹>），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b ，即log a b n =．譬如：4381=，则4叫做以3为底81的对数，记为3log 81（即3log 81＝4）．（1）计算以下各对数的值：2log 4= ，2log 16= ，2log 64= ．（2）由（1）中三数4、16、64之间满足的等量关系式，直接写出2log 4、2log 16、2log 64满足的等量关系式；（3）由（2）猜想一般性的结论：log log a a M N += ．（0a >且1,0a M ¹>,0N >），并根据幂的运算法则：M N M N a a a +×=以及对数的含义证明你的猜想．【答案】（1）2，4，6；（2）2log 4＋2log 16＝2log 64；（3）猜想：log log a a M N +=log ()a MN ，证明见解析．【解析】【分析】（1）根据材料中给出的运算，数值就是乘方运算的指数；（2）由（1）可以得出；（3）根据（2）可以写出，根据材料中的定义证明即可．【详解】（1）2log 42=，2log 164=，2log 646=（2）222log 4log 16log 64+=（3）猜想：log log log ()a a a M N MN +=证明：设1log a M b =，2log a N b =，则1b a M =，2b a N =，故可得1212•b b b b MN a a a +==，12log ()a b b MN +=，即log log log ()a a a M N MN +=．【点睛】本题考查对阅读材料的理解，类似于定义新运算，需要根据已知的材料寻找规律．【变式训练3】规定两数a ，b 之间的一种运算，记作(),a b ，如果c a b =，则(),a b c =．我们叫(),a b 为“雅对”．例如：因为328=，所以(2,8)3=．我们还可以利用“雅对”定义说明等式(3,3)(3,5)(3,15)+=成立．证明如下：设(3,3),(3,5)m n ==，则33,35m n ==，故3333515m n m n +×==´=，则(3,15)m n =+，即(3,3)(3,5)(3,15)+=．（1）根据上述规定，填空：(2,0.25)=______；(5,1)=______；(____,16)4=．（2）计算(5,2)(5,7)+=_________，并说明理由．（3）利用“雅对”定义证明：()2,3(2,3)n n =，对于任意自然数n 都成立．【答案】（1）-2，0，2；（2）（5，14）；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据上述规定即可得到结论；（2）设（5，2）=x ，（5，7）=y ，根据同底数幂的乘法法则即可求解；（3）设（2n ，3n ）=x ，于是得到（2n ）x =3n ，即（2x ）n =3n 根据“雅对”定义即可得到结论．【详解】解：（1）∵2-2=0.25，∴（2，0.25）=-2；∵50=1，∴（5，1）=0；∵24=16，∴（2，16）=4，故答案为：-2，0，2；（2）设（5，2）=x ，（5，7）=y ，则5x =2，5y =7，∴5x +y =5x •5y =14，∴（5，14）=x +y ，∴（5，2）+（5，7）=（5，14），故答案为：（5，14）；（3）设（2n ，3n ）=x ，则（2n ）x =3n ，即（2x ）n =3n ，所以2x =3，即（2，3）=x ，所以（2n ，3n ）=（2，3）．【点睛】此题考查了有理数的运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，弄清题中的新运算是解本题的关键．【类型四 比较大小问题】例题4．比较下列各题中幂的大小：（1）已知31416181,27,9a b c ===，比较a 、b 、c 的大小关系；（2）比较554433222,3,5,6这4个数的大小关系；（3）已知9999909911,99P Q ==，比较P ，Q 的大小关系；【答案】（1）a ＞b ＞c ；（2）552244332635<<<；（3）P =Q【分析】（1）根据幂的乘方公式，化为底数是3的形式进行比较；（2）根据幂的乘方公式，化为指数是11的形式进行比较；（3）利用作商法，结合积的乘方法则计算，根据结果判断．【详解】解：（1）∵()314124313381a ===，()413123413327b ===，()61212261393c ===，∴a ＞b ＞c ；（2）()11511552232==，()11411443381==，()113113355125==，()11211226636==，∵11111111323681125<<<，∴552244332635<<<；（3）∵999909990999099999999119999119199911911P Q ´=¸=´=´=，∴P =Q ．【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，灵活运用运算法则是解题的关键．【变式训练1】将幂的运算逆向思维可以得到m n m n a a a +=g ，m n m n a a a -=¸，()=nmn m a a ，()=m m m a b ab ，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．（1）20212021155æö´=ç÷èø_________；（2）若1139273m m ´´=，求m 的值；（3）比较大小：554433222,3,5,6a b c d ====，则a b c d ,,,的大小关系是什么？（提示：如果0a b >>，n 为正整数，那么n n a b >）【答案】（1）1；（2）2m =；（3）a d b c <<<．【解析】（1）根据积的乘方公式，进行逆运算，即可解答；（2）转化为同底数幂进行计算，即可解答；（3）转化为指数相同，再比较底数的大小，即可解答．【详解】解：（1）2021202120212021115()(5×=1=155´=故答案为：1（2）∵1139273m m ´´=，∴()()23113333m m ´´=，∴23113333m m ´´=，即1231133m m ++=，∴12311m m ++=，解得2m =；（3）由题可得：()11555112232a ===，()11444113381b ===，()113331155125c ===，()11222116636d ===，∵323681125<<<，∴11111111323681125<<<，即a d b c <<<．【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是公式的逆运用．【变式训练2】阅读材料，解决问题．材料一：比较223和114的大小．解：因为()1111222422==，而32>，所以222232>，即122134>．小结：在指数相同的情况下，可通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小．材料二：比较82和28的大小．解：因为()2236822==，而86>，所以8622>，即8228>．小结：在底数相同的情况下，可以通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．（1）比较443，334，225的大小：（2）比较3181，4127，619的大小．【答案】（1）344＞433＞522；（2）8131＞2741＞961【解析】【分析】（1）根据幂的乘方法则的逆运算进行变形，再比较大小；（2）根据幂的乘方法则的逆运算进行变形，再比较大小．解：（1）∵344=（34）11=8111，433=（43）11=6411，522=（52）11=2511，∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131=（34）31=3124，2741=（33）41=3123，961=（32）61=3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961．【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法．【变式训练3】在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若32a =，53b =，则a ，b 的大小关系是a ______b （填“<”或“>”）；解：()51535232a a ===Q ，()31553327b b ===，且3227>1515a b \>a b\>类比阅读材料的方法，解答下列问题：（1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质______．A ．同底数幂的乘法；B ．同底数幂的除法；C 幂的乘方；D 积的乘方（2）试比较3181、4127、619的大小；【答案】（1）C ；（2）31416181279>>【解析】【分析】（1）根据幂的乘方法则判断即可；（2）根据幂的乘方法则的逆运算计算．【详解】解：（1）求解过程中，逆用了幂的乘方运算，故选C ；（2）∵()313141248133==，()414131232733==，()61612122933==，∴31416181279>>．【点睛】本题考查了幂的乘方的运算及逆运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方的运算法则及逆运算法则．【课后训练】1．计算：02202111(5)()(1).3p --+---+-【答案】8-【解析】【分析】先根据绝对值的性质，零指数幂，负整指数幂，负一的奇次幂运算法则进行计算，再根据有理数加减法法则进行计算即可求解.【详解】解：原式 =1191+--，=8-.【点睛】本题主要考查绝对值的性质，零指数幂，负整指数幂，负一的奇次幂运算法则，解决本题的关键是要熟练掌握对值的性质，零指数幂，负整指数幂，负一的奇次幂运算法则.2．计算：()()22020011π 3.142-æö-+--ç÷èø．【答案】-2【解析】【分析】先算乘方，零指数幂和负整数指数幂，再算加减法即可求解．【详解】原式=114+-=-2．【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂和负整数指数幂的性质是解题的关键．3．规定*33a b a b =´，求：（1）求1*2；（2）若2*(1)81x +=，求x 的值．【答案】（1）27；（2）1x =【解析】【分析】（1）根据规定即可完成；（2）根据规定及幂的运算，可得关于x 的方程，解方程即可．【详解】（1）33a b a b *=´Q ，1212333927\*=´=´=；（2）2(1)81x *+=Q ，214333x +\´=，3433x +\=则34x +=，解得：1x =．【点睛】本题是新定义运算问题，考查了同底数幂的运算，解方程等知识，理解新定义运算是解题的关键．4．规定22a b a b *=´，求：（1）求13*（2）若2(21)32x *-=，求x 的值．【答案】（1）16；（2）2x =【解析】【分析】（1）直接利用已知22a b a b *=´，将原式按定义式变形得出答案；（2）直接利用已知将原式变形得出等式，再利用同底数幂相等指数相等列方程求出答案即可．【详解】解：（1）13*＝1322´＝16；（2）∵()22132x *-=，∴2215222x -´=∴21522x +=∴215x +=∴2x =．【点睛】本题主要考查了新定义运算以及同底数幂的乘法运算，正确的将原式按照定义式变形是解题的关键．利用同底数幂的乘法法则时应注意：底数必须相同；指数是1时，不要误以为没有指数．5．（1）已知：2m a =-，5n a =，求m n a +的值；（2）已知：213x y ++=，求393x y ´´的值．【答案】（1）-10；（2）27【解析】【分析】（1）逆用同底数幂的乘法法则计算即可；（2）利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则变形，然后把x +2y =2代入计算【详解】解：（1）∵2m a =-，5n a =，∴2510m n m n a a a +=×=-´=-，（2）∵213x y ++=，∴x +2y =2，∴22133933333327x y x y x y ++´´=´´===；【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘．6．规定两个非零数a ，b 之间的一种新运算，如果a m ＝b ，那么a ∧b ＝m ．例如：因为52＝25，所以5∧25＝2；因为50＝1，所以5∧1＝0．（1）根据上述规定填空：2∧32＝ ；﹣3∧81＝ ．（2）在运算时，按以上规定请说明等式8∧9+8∧10＝8∧90成立．【答案】（1）5，4；（2）说明见解析．【解析】【分析】（1）结合新定义运算及有理数的乘方运算法则分析计算；（2）结合新定义运算及同底数幂的乘法运算法则进行分析说明．【详解】解：（1）∵25＝32，∴2∧32＝5，∵（−3）4＝81，∴−3∧81＝4，故答案为：5；4；（2）设8∧9＝a ，8∧10＝b ，8∧90＝c ，∴8a ＝9，8b ＝10，8c ＝90∴8a ×8b ＝8a ＋b ＝9×10＝90＝8c ，∴a ＋b ＝c ，即8∧9＋8∧10＝8∧90．【点睛】本题考查新定义运算，掌握有理数乘方运算法则，同底数幂的乘方运算法则是解题关键．7．如果c a b =，那么我们规定()a b c =，．例如：因为328=，所以（2，8）3=．（1）根据上述规定，填空：（4，16）= ，（2，32）= ．（2）记（3，5）a =，（3，6）b =，（3，30）c =．求证：a b c +=．【答案】（1）2，5；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）由新定义设()4,16,x =可得416,x = 从而可得答案，同理可得()2,32的结果；（2）由新定义可得：35a =，36b =，330c =，从而可得：333=30,a b a b +=g 从而可得33a b c +=，从而可得结论．【详解】解：（1）()a b c =，Q ，,c a b \=设()4,16,x =24164,x \==2,x \=()4,16=2\，设()2,32,y =52322,y \==5,y \=()2,32 5.\=故答案为：2，5．（2）证明：根据题意得：35a =，36b =，330c =∵5630´=∴333a b c ×= 则33a b c +=∴a b c +=．【点睛】本题考查的新定义情境下幂的运算，弄懂新定义的含义，掌握同底数幂的乘法，幂的含义是解题的关键．8．计算：(1)22012()272--+-；(2)2642135(2)5x x x x x ×--+¸(3)253()()[()]a b b a a b -×-¸--；(4)先化简，再求值：426223225(3)()(2)a a a a a éù×-¸¸-ëû，其中5a =-．【答案】(1)-1(2)82x (3)4()a b -(4)2a -，－25．【解析】【分析】（1）先根据零指数幂，负整数指数幂计算，再合并即可求解；（2）先算幂的乘方，再算乘除，最后计算加减即可求解；（3）把()a b - 作为一个整体，从左往右计算，即可求解；（4）先算括号内的，再计算除法，最后再代入求值，即可求解．(1)解：原式441=-+-1=-；(2)原式88845x x x =-+8(145)x =-+82x =；(3)原式253()()[()]a b a b a b =---¸--4()a b =-．(4)原式=()61264594a a a a-¸¸=6444a a -¸=2a -，当a =－5时，原式=－25．【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握幂的运算法则，零指数幂，负整数指数幂法则是解题的关键．9．若m n a a =（0a >且1a ¹，m 、n 是正整数），则m n =．利用上面结论解决下面的问题：（1）如果528162x x ¸×=，求x 的值；（2）如果212224x x +++=，求x 的值；（3）若53m x =-，425m y =-，用含x 的代数式表示y ．【答案】（1）4x =；（2）2x =；（3）265y x x =---【解析】【分析】（1）先,将底数都化为2，再利用同底数幂的乘除法法则计算；（2）利用积的乘方逆运算解答；（3）利用等式的性质及幂的乘方逆运算将式子变形为35m x +=，24255m m y -==，即可得到x 与y 的关系式，由此得到答案．【详解】解：（1）∵528162x x ¸×=，∴3452222x x ¸×=，∴1345x x -+=，解得4x =；（2）∵212224x x +++=，∴2222224x x ×+×=，2(42)24x +=，2242x ==，2x =；（3）∵53m x =-，425m y =-，∴35m x +=，24255m m y -==，∴243)(x y +-=，∴223)654(x y x x +=--=--．【点睛】此题考查整式的乘法公式：同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方以及幂的乘方的计算法则，熟记法则及其逆运算是解题的关键．10．阅读：已知正整数a 、b 、c ，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂b a 和b c ，当a c >时，则有b b a c >，根据上述材料，回答下列问题．（1）比较大小：205__________204（填写>、<或=）．（2）比较332与223的大小（写出比较的具体过程）．（3）计算202120202021202040.2580.125´-´．【答案】（1）＞；（2）332＜223；（3）-4【解析】【分析】（1）根据同指数的幂底数越大幂越大，可得答案；（2）根据幂的乘方，可得指数相同的幂，根据底数越大幂越大，可得答案；（3）先根据积的乘方逆运算进行运算，再进行减法运算即可得出答案．【详解】解：（1）∵5＞4，∴205＞204，故答案为：＞；（2）∵233=（23）11=811，322=（32）11=911，又∵8＜9，∴332＜223．（3）202120202021202040.2580.125´-´()()2020202048=40.2580.125´-´´´=48=-4-【点睛】本题考查了幂的乘方以及积的乘方，利用同指数的幂底数越大幂越大是解题关键．11．根据同底数幂的乘法法则，我们发现：m n m n a a a +=×（其中0a ¹，m ，n 为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m ，n 的一种新运算：()()()h m n h m h n +=×，请根据这种新运算解决以下问题：(1)若()11h =-，则()2h =______；()2019h =______；(2)若()7128h =，求()2h ，()8h 的值；(3)若()()442h h =，求()2h 的值；(4)若()()442h h =，直接写出()()()()()()()()2462123h h h h n h h h h n ++++L 的值．【答案】(1)1；-1(2)4；256(3)4(4)122n +-或()1223n +-+-【解析】【分析】（1）根据()()()h m n h m h n +=×即可得到()()()()211111h h h =×=-´-=；由()()201912018h h =+()()12018h h =×即可推出()()()1014201912h h h =×，由此即可得到答案；（2）根据()()771h h =即可求出()1h ，再由()()()211h h h =×，()()()()81717h h h h =+=×求解即可；（3）根据()()()()42222h h h h =+=×，()()442h h =，求解即可；（4）由()()()2h n h n h n =×（n 为正整数，()0h n ¹ ），得到()()()2h n h n h n =，则()()()()()()()()2462123h h h h n h h h h n ++++L ()()()()231111n h h h h =+++L ，从而推出()()()11111n h h S h +-=-再由（3）可以求出()24h =，则()12h =或()12h =-，由此求解即可．(1)解：∵()()()h m n h m h n +=×，∴()()()()211111h h h =×=-´-=，∴()()201912018h h =+()()12018h h =×()()()122016h h =××()()()()1222014h h h h =×××()()101412h h =×()101411=-×-=…1=-，故答案为：1；-1；(2)解：∵()()()716h h h =×()()()115h h h =××()()()()1114h h h h =×××()71h =，∴()71128h =，∴()12h =，∴()()()2114h h h =×=，()()()()81717256h h h h =+=×=；(3)解：∵()()()()42222h h h h =+=×，()()442h h =，∴()24h =；(4)解：∵()()()2h n h n h n =×（n 为正整数，()0h n ¹ ），∴()()()2h n h n h n =，∴()()()()()()()()2462123h h h h n h h h h n ++++L ()()()()123h h h h n =+++L ()()()()231111n h h h h =+++L 设()()()()231111n S h h h h =+++L ，则()()()()()234111111n S h h h h h +×=+++L ，∴()()()11111n S h h h +-=-éùëû∴()()()11111n h h S h +-=-，由（3）可知()24h =，∴()()()()211114h h h h =+=×=，∴()12h =或()12h =-，当()12h =时，11222221n n S ++-==--，当()12h =-时，()()112222213n n S ++-+-+==---．【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和数字类的规律型问题，解题的关键在于能够根据题意进行求解．12．阅读下列材料：小明为了计算22020202112222+++×××++的值，采用以下方法：设22020202112222S +++×××++=①则22021202222222S =++×××++②②-①得，2022221S S S -==-．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）220222++×××+=______；（2）求2501111222+++×××++=______；（3）求()()()2100222-+-+×××+-的和；（请写出计算过程）（4）求2323n a a a na +++×××+的和（其中0a ¹且1a ¹）．（请写出计算过程）【答案】（1）221−2；（2）2-5012；（3）101223-；（4）()121n a a a +--+11n na a +-【解析】【分析】（1）根据阅读材料可得：设s ＝220222++×××+①，则2s ＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果；（2）设s ＝2501111222+++×××+①，12s ＝2505111112222++×××++②，②−①即可得结果；（3）设s ＝()()()2100222-+-+×××+-①，-2s ＝()()()23101222-+-+×××+-②，②−①即可得结果；（4）设s ＝2323n a a a na +++×××+①，as ＝234123n a a a na ++++×××+②，②−①得as -s =-a -2341n n a a a a na +--×××-++，同理：求得-2314n a a a a ++--×××-，进而即可求解．【详解】解：根据阅读材料可知：（1）设s ＝220222++×××+①，2s ＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①得，2s −s ＝s ＝221−2；故答案为：221−2；（2）设s ＝2501111222+++×××+①，12s ＝2505111112222++×××++②，②−①得，12s −s ＝-12s ＝5112-1，∴s ＝2-5012，故答案为：2-5012；（3）设s ＝()()()2100222-+-+×××+-①-2s ＝()()()23101222-+-+×××+-②②−①得，-2s −s ＝-3s ＝()1012-+2∴s ＝101223-；（4）设s ＝2323n a a a na +++×××+①，as ＝234123n a a a na ++++×××+②，②-①得：as -s =-a -2341n n a a a a na +--×××-++，设m =-a -234n a a a a --×××-+③，am =-2314n a a a a ++--×××-④，④-③得：am -m =a -1n a +，∴m =11n a a a +--，∴as -s =11n a a a +--+1n na +，∴s =()121n a a a +--+11n na a +-．【点睛】本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算．。
初中数学幂的运算专题讲解及典型题练习(含答案)
n n a a a a a ⋅⋅⋅=个，“a 的n 次幂”或读作乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法运算），幂是乘方运算一个数可以看作是这个数本身的一次方，例如．有理数幂的符号法则1120082007222222222⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=个个利用乘法交换律和结合律，把2007个2与12结合在一起相乘，利用互为倒数即可求出数2008)20072008122=⨯（） 1111()m b ab =习，最好能达到一看题目就可以得出结果的程度．【借题发挥】计算：20105(⨯-【解析】20105⨯553333(3⋅⋅⋅=⨯个34444444(4⋅⋅⋅=⨯个3355555(55⋅⋅⋅=⨯个256243125>>,55335>．解法二： 1.001>又10.019.998⨯∴9.99810【方法总结】11⨯=1.0011010.012．计算：20102010201020104(0.25)(1)1-+-+= ．【答案】原式＝201020102010201014()(1)111114-+-+=-++=． 3．若21(2)0a b ++-=，则20102009()a b a ++= ．【答案】由题意知1020a b +=⎧⎨-=⎩ 得12a b =-⎧⎨=⎩，代入原式可求结果为：0．4．如果214,,2x y ==那么222x y -的值为 ． 【答案】222112243122x y -=⨯-=． 5．现有一根长为1米的木条，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，照此截下去，那么六次后剩下的木条为 米．【答案】第一次截后剩下12米，第二次后剩下21142⎛⎫= ⎪⎝⎭米，第三次后剩下312⎛⎫ ⎪⎝⎭米，由此推下去，第n 次后剩下12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭米．所以六次后剩下的木条为611264⎛⎫= ⎪⎝⎭（米）． 6．计算：（1）321()(1)33-÷-； （2）232(3)-⨯-； （3）32221(0.2)(1).3(0.3)-⨯÷- 【答案】（1）29；（2）108；（3）0.002-． 7．（1）451132131511÷⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯. （2）()1452515213⨯-÷+-. （3）()3432322⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-÷-. （4）()()()3428102-⨯---÷+-. （5）()[]2345.0813231325.01-----⨯÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---. （6）()54436183242113÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-. 【答案】（1）225- （2）347- （3）11116 （4）20- （5）1114 （6）7224- 8．利用乘方的有关知识确定20076的末两位数字．【答案】9．已知“三角”表示运算“a b c -+”，“正方形”表示的运算是“d f g e -+-” ，试计算的值．【答案】原式＝()()()199649551996281474116-+⨯-+-=-⨯=-．。
幂的运算精讲2
整式的乘除典型例题一、整式的乘法1、单项式乘以单项式一是先把各因式的__________相乘，作为积的系数；二是把各因式的_____ 相乘，底数不变，指数相加；三是只在一个因式里出现的________，连同它的________作为积的一个因式。
(2)单项式相乘的结果仍是 ．例1、下列计算不正确的是( )A 、33226)2)(3(b a ab b a =--B 、2)10)(1.0(m m m -=-C 、21054)1052)(102(n nn⨯=⨯⨯ D 、632106.1)108)(102(⨯=⨯-⨯-E 、633532x x x =+ F 、2322)2(4y x y x xy -=-⋅G 、7532281)21(b a ab b a -=⋅- H 、783223400)4()5.2(n m mn n m =-⋅-I 、23225)3(2b a ab a -=-⋅ J 、532)()()(xy xy xy -=-⋅-K 、85322108)3()2(b a ab ab -=-⋅- L 、y x y x y x 22227235=-例2、计算 （1）()b a abc c ab 3322123121⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛- （2）()()c a ab b a n n 21313-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+2、单项式乘以多项式单项式乘多项式法则：例1、判断题：（1）3a 3·5a 3＝15a 3（ ） （2）ab ab ab 4276=• （ ） （3）12832466)22(3a a a a a -=-• （ ） （4）－x 2(2y 2－xy)＝－2xy 2－x 3y （ ）例2、（1）ab ab ab 21)2(322•- （2）)6)(211012(3322xy y y x xy -+--3、多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，____________________________________________________________________ 例1、 计算：)2)(1()3)(2)(1(-+-++y x y x (2))2)(1(2)1(2+--+a a a a二、整式的除法1、单项式除以单项式的法则： 例题:计算（1）()3242321yx y x -÷- （2）()()56103106⨯÷⨯2、多项式除以单项式多项式除单项式的法则:多项式除以单项式，先把，再把 。
幂的运算例题精讲
幂的运算例题 ..精讲【知识方法归纳】知识要点同底数幂相乘幂的乘方积的乘方同底数幂的除法方法归纳主要内容a m a n a mn (m 、n 是正整数)；(a m )n a mn (m 、n 是正整数)(ab)n a n bn(n 是正整数)a m n (m 、n 是正整数， m >n) a n友情提示a 可以多项式(a m )n (a n )ma mn(a n )n(ab)na m a n a mn注意各运算的意义，合理选用公式注意：零指数幂的意义“任何 不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1”和负指数幂的意义 “任何不等于 0 的数的负次幂等于它正次幂的倒数”知识点 1 同底数幂的意义及同底数幂的乘法法则（重点） 同底数幂的乘法法则：a m a n a m n (其中m, n 都是正整数).即同 底数幂相乘，底数不变，指数相加 .要点诠释： （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式 .（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即 a m a n a pa m n p （m, n, p 都是正整数） .（3） 逆用公式： 把一个幂分解成两个或多 个同底数幂的积， 其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即 a mna m a n（ m, n 都是正整数） .【典型例题】例 1：计算.（1） 42 43 44 ； （2）2a 3 a 4 a 5 a 2 2a 6 a ；ma（3）(x y)n(x y)n1(x y)m1(x y)2n1(x y)m1例 2：辨析：下列运算是否正确？不正确的，请改为正确的答案。
(1)x3·x5=x15()；(2)b7+b7=b14()；（3）a5- a2=a3 ( ) (4) 2x3+ x3=2x6 ( ) ；(5) (b- a)3=-(a- b)3 ( ) ； (6)(- a- b)4=(a- b)4 ( ). 下载可编辑 ...练习计算（1）35(3)3(3)2；（2）x p(x)2p(x)2p1（p为正整数）；（3）32(2)2n(2)（n为正整数）．1．计算（－2）2007+ （－2）2008 的结果是（） A．22015 B．22007C．－2 D．－220082．当 a<0，n 为正整数时，（－a） 5 ·（－a）2n 的值为（）A．正数B．负数 C．非正数 D．非负数3．（一题多解题）计算：（a－b）2m－1·（b－a）2m·（a－b）2m+1，其中m为正整数．知识点 2 逆用同底数幂的法则逆用法则为：a m n a m •a n （m、n 都是正整数）【典型例题】例（1）如果 2 x 1 =16，求x 的值（2）如果 a m =3， a n =5，求a m n 的值。
初中数学幂的运算(含解析)
初中数学幂的运算考试要求：重难点：1． 理解各种运算方式的意义。
知道各个公式的推导过程；2． 会运用同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方等法则进行解题；能选择出合适的方法快速解题；3． 逆用各个运算法则解题；会进行整式乘法与整式加法的混合运算；4． 运用整体思想解决相关练习．例题精讲：模块一 同底数幂的乘法法则1. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即m n m n a a a +⋅=（m 、n 都是正整数）【例1】 计算：（1）231122⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）102a a a ⋅⋅（3）()()()854x y y x x y -⋅-⋅-【难度】1星【解析】（1）（2）是同底数幂的乘法，运用法则即可．需要注意的是（1）的底数是12⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）要将不同底数幂的乘法问题转化为同底数幂的乘法问题．即将()5y x -转化为()5x y --，再运用整体的思想将整式()x y -看作一个整体即可．整体思想是近年来中考考查的一个主要思想，也是整式乘除运算章节考查的一个主要的数学思想．【答案】（1）511232⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ （2）13a（3）()17x y --【总结】对于()m a b -，当m 奇数时，()()m m a b b a -=--；当m 偶数时，()()m m a b b a -=-．对于()m a b +不论m 为奇数还是偶数，都有()()mm a b b a +=+．【巩固】下列计算是否正确？错误的指出错误的原因，并加以改正．（1）339a a a ⋅=（2）4482a a a ⋅=（3）336x x x += （4）22y y y ⋅=（5）34x x x ⋅=（6）236x x x ⋅=【难度】1星【解析】正确理解同底数幂的乘法运算性质，正确区分合并同类项与乘法运算【答案】（1）不正确，指数应是相加而不是相乘，应改为336a a a ⋅=（2）不正确，错在将系数也相加了，应改为448a a a ⋅=（3）不正确，336x x x +=是整式的加法，应改为3332x x x +=（4）不正确，y 的指数是1而不是0，应改为23y y y ⋅=（5）正确（6）不正确，指数相加而不是相乘，应改为235x x x ⋅=【巩固】如果把()2x y -看作一个整体，下列计算正确的是（ ）A ．()()()235222x y y x x y -⋅-=-B ．()()()224222x y y x x y -⋅-=--C ．()()()()23272222x y y x x y x y -⋅--=-D ．()()()235222x y y x x y -⋅-=--【难度】2星【解析】整体思想在整式计算中的应用【答案】D【例2】 100010010⨯⨯的结果是【难度】1星【解析】结合初一的科学记数法【答案】610【巩固】计算：45371010101010⨯⨯+⨯【难度】2星【解析】同底数幂的乘法与合并同类项结合练习【答案】10210⨯【巩固】计算：32101010010⨯+⨯【难度】2星【解析】同底数幂的乘法与合并同类项、科学记数法结合练习【答案】4210⨯【例3】 已知：240x y +-=，求：1233x y -的值【难度】3星【解析】公式的应用以及整体思想在指数中的应用【答案】1221333x y x y -+-=240x y +-=24x y ∴+=2133327x y +-∴==【巩固】已知2350x y +-=，求：927x y ⋅的值【难度】3星【解析】公式的应用以及整体思想在指数中的应用，本题还要将底数化为一致【答案】2323927333x y x y x y +⋅=⋅=2350x y +-=∴原式53243==模块二 同底数幂的乘法法则的逆用【例4】 在()222m m y y y -+⋅⋅=中，括号中应填的代数式是【难度】2星【解析】同底数幂的乘法法则的逆用。
专题12幂的运算(解析版)
专题12幂的运算类型一正向运用幂的运算的性质1，都是正整数）、n m aa nm n m(a+=⋅2，()都是正整数）、n m mn (m a an=3，()都是正整数）、n m b annn(ab =【例1】（2021•海南）下列计算正确的是（）A ．a 3+a 3＝a 6B ．2a 3﹣a 3＝1C ．a 2•a 3＝a 5D ．（a 2）3＝a 5【答案】C【解答】解：A ．a 3+a 3＝2a 3，故本选项不合题意；B .2a 3﹣a 3＝a 3，故本选项不合题意；C ．a 2•a 3＝a 5，故本选项符合题意；D ．（a 2）3＝a 6，故本选项不合题意；故选：C ．【练1】（2020•黔南州）下列运算正确的是（）A．（a3）4＝a12B．a3•a4＝a12C．a2+a2＝a4D．（ab）2＝ab2【答案】A【解答】解：A、（a3）4＝a12，故原题计算正确；B、a3•a4＝a7，故原题计算错误；C、a2+a2＝2a2，故原题计算错误；D、（ab）2＝a2b2，故原题计算错误；故选：A．【例2】（2021春•广陵区校级期末）计算：（1）（x2y）3•（﹣2xy3）2；（2）（x n y3n）2+（x2y6）n；（3）（x2y3）4+（﹣x）8•（y6）2（4）a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣（﹣a）6．【答案】（1）4x8y9（2）2x2n y6n（3）2x8y12（4）4a6．【解答】解：（1）原式＝x6y3•4x2y6＝4x8y9；（2）原式＝x2n y6n+x2n y6n＝2x2n y6n；（3）原式＝x8y12+x8y12＝2x8y12；（4）原式＝a6+4a6﹣a6＝4a6．【练2】（2021春•新吴区月考）计算：（1）﹣t3•（﹣t）4•（﹣t）5；（2）（x﹣y）3•（y﹣x）2；（2）（﹣x）3+（﹣4x）2x．【答案】（1）t12（2）（x﹣y）5（3）15x3【解答】解：（1）﹣t3•（﹣t）4•（﹣t）5＝t3•t4•t5＝t 12；（2）（x ﹣y ）3•（y ﹣x ）2＝（x ﹣y ）3•（x ﹣y ）2＝（x ﹣y ）5；（3）（﹣x ）3+（﹣4x ）2x ＝﹣x 3+16x 3＝15x 3．【例3】（2021春•陈仓区期末）计算：（x 2）3•x 3﹣（﹣x ）2•x 9÷x 2．【答案】0【解答】解：原式＝x 6•x 3﹣x 2•x 9÷x 2＝x 9﹣x 9＝0．【练3】（2021春•莱山区期末）计算：（1）（﹣x 2）5÷x +2x 6x 3．（2）（9x 2y 3﹣27x 3y 2）÷（3xy ）2．【答案】（1）x 9（2）y ﹣3x【解答】解：（1）原式＝﹣x 10÷x +2x 9＝﹣x 9+2x 9＝x 9；（2）原式＝（9x 2y 3﹣27x 3y 2）÷9x 2y 2＝9x 2y 3÷9x 2y 2﹣27x 3y 2÷9x 2y 2＝y ﹣3x类型二逆向运用幂的运算性质方法：将指数相加二点幂转化为同底数幂的积，即a a nmnm ⋅=+a（m、n 都是正整数）；将指数相乘的幂转化为幂的乘方，即()a m nmn=a（m、n 都是正整数）；将相同指数幂的积转化为积的乘方，即()ab ba nn n=（n 为正整数）。
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逆用法则为： （m、n都是正整数）
【典型例题】
例（1）如果2 =16，求x的值（2）如果a =3，a =5，求a 的值。
练习
1．（一题多变题）
（1）已知xm=3，xn=5，求xm+n．（2）一变：已知xm=3，xn=5，求x2m+n；（3）二变：已知xm=3，xn=15，求xn-n
例2、已知 ，求 的值．
【变式1】已知 ， ．求 的值．【变式2】已知 ， ，求 的值．
练习
1．计算（-a2）5+（-a5）2的结果是（）
A．0 B．2a10C．-2a10D．2a7
2．下列各式成立的是（）
A．（a3）x=（ax）3B．（an）3=an+3C．（a+b）3=a2+b2D．（-a）m=-am
变式一、已知 ,求(1) ；(2) .变式二、若 ， ,则
练习
一、选择1．在下列运算中，正确的是（）
A．a2÷a=a2B．（－a）6÷a2=（－a）3=－a3C．a2÷a2=a2－2=0 D．（－a）3÷a2=－a
2．在下列运算中，错误的是（）
A．a2m÷am÷a3=am－3B．am+n÷bn=amC．（－a2）3÷（－a3）2=－1D．am+2÷a3=am－1
知识点1同底数幂的意义及同底数幂的乘法法则（重点）
同底数幂的乘法法则：
(其中 都是正整数).即同 底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即 （ 都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多 个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 （ 都是正整数）.
A． B． C． D．
8．（科内交叉题）已知（x－y）·（x－y）3·（x－y）m=（x－y）12，求（4m2+2m+1）－2（2m2－m－5）的值．
知识点5同底数幂的除法法则（重点）
法则： (m、n是正整数，m>n)即：同底数幂相除，底数不变，指数相减
归纳总结：规定a0=1（a≠0） 语言叙述：任何不等于0的数的0次幂都等于1．
警示：三个或者三个以上因数的积得乘方，也具备这一性质。
要点诠释：（1）公式的推广： ( 为正整数).
（2）逆用公式： 逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如 ：
【典型例题】
例1、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：
（1） ； （2） ； （3）
例2、计算：
a-n=1（a≠0）
注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中 是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要乘方.
2．( )5=(8×8×8×8×8)(a·a·a·a·a)
3．如果a≠b，且(ap)3·bp+q=a9b5成立，则p=______________，q=__________________。
4．若 ，则m+n的值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．-3
5． 的结果等于（ ）
A． B． C． D．
7．如果单项式 与 是同类项，那么这两个单项式的积进（ ）
【典型例题】
例1：计算.
（1） ； （2） ；
（3）
例2：辨析：下列运算是否正确？不正确的，请改为正确的答案。
(1)x3·x5=x15()；(2)b7+b7=b14()；
（3）a5- a2=a3()(4)2x3+x3=2x6()；
(5) (b- a)3=-(a- b)3( ) ； (6)(- a- b)4=(a- b)4( )
练习
计算
（1） ；（2） （ 为正整数）；（3） （ 为正整数．
1．计算（－2）2007+（－2）2008的结果是（）A．22015B．22007C．－2 D．－22008
2．当a<0，n为正整数时，（－a）5·（－a）2n的值为（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数
3．（一题多解题）计算：（a－b）2m－1·（b－a）2m·（a－b）2m+1，其中m为正整数．
知识点3幂的乘方的意义及运算法则（重点）
幂的乘方指几个相同的幂相乘。
幂的乘方的法则： (m、n是正整数)即：幂的乘方，底数不变，指数相乘
要点诠释：（1）公式的推广： ( ， 均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
【典型例题】
例1计算：
（1） ； （2） ； （3） ．
（1） （2） （3）222× 2511(4)
例3、已知xn= 5 ，yn= 3，求（x2y）2n的值。
变式一、已知xn=5，yn=3，求（xy）2n的值。变式二、已知16m=4×22n-2，27n=9×3m+3，求 的值。
练习
1．化简(a2m·an+1)2·(-2a2)3所得的结果为____________________________。
幂的运算例题精讲
幂的运算例题精讲
【知识方法归纳】
知识要点
主要内容
友情提示
同底数幂相乘
(m、n是正整数)；
a可以多项式
幂的乘方
(m、n是正整数)
积的乘方
(n是正整数)
同底数幂的除法
(m、n是正整数，m>n)
方法归纳
注意各运算的意义，合理选用公式
注意：零指数幂的意义“任何不等于0的数的0次幂都等于1”和负指数幂的意义“任何不等于0的数的负次幂等于它正次幂的倒数”
（5）灵 活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
【典型例题】
例1、计算：（1）x9÷x3； （2）m7÷m； （3）（xy）7÷（xy）2； （4）（m－n）8÷（m－n）4．
例2、（1）如果 ， ，则 的值 （2）已知3m=5，3n=2，求32m-3n+1的值．
3．如果（9n）2=312，则n的值是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．已知x2+3x+5的值为7，那么3x2+9x-2的值是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
6.计算：
（1） （2）
知识点4积的乘方意义及运算法则
积的乘方指底数是乘积的形式的乘方。
积的乘方运算法则： (其中 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.