齐次线性方程组
齐次线性方程组
２．齐次线性方程组解的性质
的解， （1）若 x = ξ1 , x = ξ 2 为 Ax = 0 的解，则 的解. 也是 Ax= 0 的解.
x = ξ1 + ξ 2
证明 ∵ Aξ1 = 0 , Aξ 2 = 0
∴ A(ξ1 + ξ 2 ) = Aξ1 + Aξ 2 = 0
故 x = ξ1 + ξ 2 也是 Ax = 0的解 .
一、齐次线性方程组解的性质
１．解向量的概念
设有齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = 0 a x + a x +⋯+ a x = 0 21 1 22 2 2n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ am 1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn = 0
2 7 3 7 5 7 , 4 7 , 即得基础解系 ξ 1 = ξ2 = 0 1 0 1
7 3 及 x1 2 7 3 7 x2 5 7 4 7 = c1 + c2 , (c1 , c 2 ∈ R ). x3 1 0 0 1 x4
S = {x = k 1ξ 1 + ⋯ + k n− r ξ n− r k 1 ,⋯, k n− r ∈ R}.
特别的，当R( A) = n时，方程组只有零解 因而没有基础解系 ， 。此时 解空间只有一个零向量，为零维子空间 。 推论。齐次线性方程组有非零解的充分必要 1 条件是系数矩阵的秩小于未知量个数。 推论2，对于m = n, 齐次线 性方程组有非零解充分必要条件系数矩阵的行 列式为 。 0
线性代数 3-1-齐次方程组
a2 T (a1 , a2 , , an ) 是方程组的解，则称为非零解， 也称为非零解向量。 a n
问题：除了零解外，有没有其它的解？
在什么条件下有非零解？ 当齐次方程有非零解时，如何求出全部的解？ 为了研究齐次线性方程组解集合的结构，我们 先来讨论这些解的性质，给出基础解系的概念。
x r 1 , x r 2 , , x n
真未知量
自由未知量
x1 , x2 , , xr 由自由未知量 xr 1 , xr 2 , , xn 惟一确定
显然： （xr 1 , x r 2 , , xn） 构成一向量空间， V
其基含有n r个向量，最简单的一组基为 : e1 , e2 , , en r 取： 0 0 x r 1 1 0 1 xr 2 0 , , 0 1 x 0 n
故 .
即 r 11 r 2 2 n n r .
所以 1 , , n r 是齐次线性方程组解空间的一个基， 也就是一组基础解系. 说明 １．解空间的基不是唯一的,但所含向量个数相 等，都等于 n - r(A). 2．若 1 , 2 , , n r 是 Ax 0 的基础解系，则 x k11 k2 2 kn r n r . 其通解为 其中k1 , k 2 ,, k n r 是任意常数. 3 当r(A)=n 时方程组只有零解故没有基础解
由于与都是方程Ax 0的解,而Ax 0又等价于
方程组
x1 c11 xr 1 c1,n r xn x c x c r 1 r 1 r ,n r xn r
线性代数齐次线性方程组
x11 x2 2 xn n 0 有非零解
, , 线性相关 矩阵 A ( , ,, )的秩 R( A) n
1 2 n
2 1 n
于是我们得到下面的一个非常重要的判定定理 定理1 齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解的 充要条件是它的系数矩阵的秩小于未知量的个 数，即 R A n.
由于系数行列式为零，所以有非零解
方法二
对系数矩阵A作初等行变换
1 1 5 1 0 2 7 4 0 2 7 4 0 4 14 8
1 1 5 1 r2 r1 1 1 2 3 r 3r 3 1 A 3 1 8 1 r4 r1 1 3 9 7 1 1 5 1 r3 r2 0 2 7 4 r4 2r2 0 0 0 0 0 0 0 0
由于与都是方程Ax 0的解, 而Ax 0又等价于
x1 b11 x r 1 b1,n r x n x b x b r 1 r 1 r ,n r x n r
方程组
而方程组的前r个未知量的值由后面n－r个 未知量唯一确定
（1）
若记
a11 a12 a21 a22 A a m 1 am 2
a1n a2 n , amn
x1 x2 x x n
则上述方程组（1）可写成矩阵方程
Ax 0.
x 1 2
齐次线性方程 组的解对于加 法运算封闭
证明 A1 0 , A 2 0
A1 2 A1 A 2 0
故 x 1 2 也是Ax 0的解.
（2）若 x 为 Ax 0的解， k 为实数，则 x k 也是 Ax 0 的解． 齐次线性方程 证明
齐次线性方程组
定理:齐次线性方程组 ① ,如果它的系数矩阵的秩 R(A)=n,那么它只有零解,没有基础解系,如果 R(A)<n,那么它有无穷多解,存在基础解系,且它的 基础解系所含的解向量的个数为n-r个(其中=R(A)). 定理: a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n 有非零解 A 0 an1 x1 an 2 x2 ann xn 0 证明:
b12 2 b1,n r n r br 2 br ,n r 无关 0 , , 0 . 1 0 无关 0 1
1 1 1 1 r2 r1 0 0 2 4 r3 r1 0 0 1 2
20
返回
1 r3 r2 ( ) 2
1 1 1 1 0 0 2 4 0 0 0 0
1 r2 ( ) 2
1 1 1 1 0 0 . 1 2 0 0 0 0
§2 齐次线性方程组
一、齐次线性方程组解的性质 二、齐次线性方程组的非零解
1
返回
一、齐次线性方程组解的性质
齐次线性方程组
a11 x1 a1n xn 0 am1 x1 amn xn 0 AX = 0 ②
①
x1 c1 记 [註]: 1. 若 X ξ, 则 x n cn
x2 x2
x4 2 x4 x4
则
x2 1 令 , x4 0
线性代数——齐次线性方程组
综上可知方程组 Ax = 0与( AT A) x = 0同解, 因此 R( AT A) = R( A).
�
例1 求齐次线性方程组 x 1 + x 2 x 3 x 4 = 0, 2 x 1 5 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0, 7x 7x + 3x + x = 0 1 2 3 4 的基础解系与通解. 解 对系数矩阵 A作初等行变换,变为行最简矩 阵,有
1 1 1 1 A = 2 5 3 2 7 7 3 1 1 0 2 7 3 7 ~ 0 1 5 7 4 7 , 0 0 0 0
b1,n r x n br , n r x n
所以 ξ 与 η 都是此方程组的解 , λ1 c1 λ c r r 由 ξ = λ r + 1 η = λ r + 1 λ1 = c1 , λ λ r+2 r+2 λ λ n n
现对 x r +1 ,
, x n 取下列 n r 组数:
0 1 , 0 0 0 , . 1
b1 ,n r xn br ,n r xn
xr +1 1 xr + 2 0 = , x 0 n
x1 = b11 xr +1 分别代入 x = b x r 1 r +1 r
=
2 7 5 7 ,ξ 1 0
2
=
3 7 4 7 , 0 1
2 7 3 7 x1 x2 5 7 4 7 = c 1 1 + c 2 0 , ( c 1 , c 2 ∈ R ). x3 0 1 x4
例2 解线性方程组
+ ktη t
, k n r 是任意常数 .
的一组基础解系, 那么, Ax = 0 的通解可表示为
齐次线性方程组
齐次线性方程组(2)X b=A 它可写作矩阵形式：的方程组形如)(122112222212111212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn m n m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 称为线性方程组n m ij a A ⨯=)(是系数矩阵其中T m T n b b b x x x ),,(),,(2121 ==b X 称)(b A B =为增广矩阵,通常写成),()|(b A b A 或一、线性方程组的概念b=0时所对应的方程组为齐次线性方程组b≠0时所对应的方程组为非齐次线性方程组当,k x ,,k x ,k x ,,k ,,k ,k x ,,x ,x nn 2211n21n 21=== 则我们称变成恒等式若能使得每一个等式都每一个方程后代入方程组中的分别用数是方程组的一个解方程组的解的全体组成一个集合，我们称这集合为方程组的解集合。
所谓解方程组实际上就是求出它的解集合。
)1(221122221211212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n m n m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a齐次线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x 21X 若令,a a a a aa a a a A mn m m n n ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 212222111211则（1）可写成矩阵形式:(2)0X =A 一、齐次线性方程组则(1) 也可写成向量形式:nj a a a mj j j j ,,2,121 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α若令系数矩阵的列向量组）的为齐次线性方程组（即向量组1,,21n ααα 那么齐次线性方程组在什么条件下有非零解？当方程组有非零解时，如何求出其所有的解？是齐次线性方程组的解，称为零解.T )0,0,0( =X 显然(3)0...n 2211=+++αααn x x x由(3)式可知:如果方程组(2)只有零解,即等式AX =0有非零解⇔R （A ）< n齐次线性方程组AX =0只有零解⇔R （A ）= n齐次线性方程组n ααα ,,21线性无关,那么R(A)=n 。
齐次线性方程组
0
0
1
,
,
0 .
0
1
分别
代入
x1 b11 xr1 b1,nr xn
xr
br1 xr1
br ,nr xn
依次得x1 Fra bibliotekb11
,
b12
,
,
b1 ,n r
.
xr br1 br 2
br
,n r
从而求得原方程组的 n r 个解：
b11
Ax 0只 有 零 解 A 0; Ax 0有 非 零 解 A 0.
证 （1）Ax 0只 有 零 解 V 0 dimV n r( A) 0
n r( A).
Ax 0有 非 零 解 V 0 dimV n r( A) 0
n r( A).
当m n时 ， 必 有r( A) minm, n m n,此 时Ax 0必 有
br 1
1 1 ,
0
解 系 ， 证 明 ：1 2 3 , 2 1 32 23 , 3 21
一
2
定
是Ax
0的
基
础
解
系.
证 根 据 已 知 条 件 可 以 写 出矩 阵 等 式 ：
1 1 2
（1， 2， 3）（1，2，3）1 3 1，
0 2 0 记 为B A.因 为 表 出 矩 阵 的 行 列 式
112 P 1 3 1 2 0，
是Ax
0
的基础解系。证毕。
２.齐次线性方程组的通解的求法
设齐次线性方程组的系数矩阵为 A ，并不妨 设A的前 r 个列向量线性无关．于是 A通过初等变换可化为
1
0
b11
b1,n r
0 A~
2.4齐次线性方程组
19
3 0 5 0 1 1 2 r2 r1 2 1 3 1 2 1 3 1 1 2 1 3 0 5
1 1 2 1 r3 r2 0 3 1 3 0 3 1 3
n r i 1
证明 系数矩阵 Amn 初等行变换 行阶梯形
(P61定理2.10)
初等行变换
行最简形
c1r 1 c1n 1 1 c2 r 1 c2 n 1 c c rr 1 rn 0 0 0 0 0 其中 xr 1 , xn 为自由未知量 （共有 n r 个） ，
1 1 1 r r 1 1 1 r32 r11 A 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0
可得方程组（2.12）的解
其中 x 2 , x3 可取任意数。
x1 x 2 x3 x2 x2 x x 3 3
x1 x 3 x 2 x3 x x 3 3
其中 x3 可取任意数。
9
(3)当 2 时，方程组（2.12）的系数矩阵为
1 1 1 A 1 1 1 1 1 1
显然 R( A) 1 n(这里n=3)
此时方程组（*）也有无穷多个解。对A施行初等行变换
1 (5, 1,3,0)T , 2 (0,1,0,1)T ,因此, (2.15)的通解为:
x1 5 0 x 1 2 k k k k 1 , 其中k , k 可取任意数. 1 1 2 x3 1 1 2 2 3 2 0 0 1 x4
齐次方程组
一、齐次线性方程组
a11x1 a12x2 a21 x1 a22 x2
a1nxn 0, a2n xn 0,
am1x1 am2 x2 amn xn 0
未
称为齐次线性方程组。
a11
A
a21
a12 a22
am1 am2
系
知
a1n
数 矩
向
x1
量
a2n
阵
若齐次线性方程组的解空间存在一组基 1,2, ,s , 则方程组的全 部解就是 k11 k22 kss , 这称为方程组的通解。
由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。
定义：若齐次方程组的有限个解 1,2 , ,s , 满足： (i) 1,2 , ,s线性无关 (ii) 方程组的任一解都可由1,2, ,s线性表示 则称 1,2 , ,s是齐次方程组的一个基础解系。
也就是说，我们将解空间的基称为基础解系，此时，通解就是 基础解系的线性组合，即为：
k11 k22 kss .
基础解系 怎么求？
定义：若齐次方程组的有限个解1,2 , ,s , 满足：
(i) 1,2 , ,s线性无关
(ii) 方程组的任一解都可由1,2, ,s线性表示 则称 1,2 , ,s是齐次方程组的一个基础解系。
X
x2
amn
xn
a11 x1 a12 x2 a21x1 a22 x2
am1x1 am2 x2
a1nxn 0, a2n xn 0,
amn xn 0.
AX O 方程组的矩阵形式
方程组的 代数形式
引
a11
a12
进 向
1
a 21
,
2
齐次线性方程组
x1 2x2 2x3 x4 0 , 例1 求齐次线性方程组 2x1 x2 2x3 2x4 0 , 通解和基础解系 x1 x2 4x3 3x4 0.
1 2 2 A 2 1 2 1 1 4 1 r 2 r 1 2 0 0 1 r 2 1 2 r 2 r3 r 1 3 5 0 2 3 4 1 2 3 0 0 0
我们有Cramer法则：当且仅当 det( A )0有唯一解，而且解为：
a a a 11 1 i 1 b 1 a 1 i 1 1 n D i x D det( A ), D det i , i D a a b a a n 1 n 1 i n n 1 i n n
把上式记作
x c c c 1 1 2 2 n r n r
发现： 1 . , , , Ax 0 的解向量 1 2 n r是
2 . , , , . 1 2 n r线性无关
3 . 任一解向量 x 能由 , , , 线性表 1 2 n r
系数矩阵的秩 R ( A ) n
下面我们用向量组线性 相关性理论来讨论齐 线性方程 .
二.齐次线性方程组解的结 构
设有齐次线性方程组
a 11 a 12 a 21 a 22 记 A a a 1 m 2 m
x a x a 0 , a 11 1 12 2 1 nx n a x a x a 0 , 2 11 2 2 2 2 nx n ( 1 ) a x a a x 0 , m 1 1 m 2x 2 mn n a x 1 n 1 a x 2 n 2 则 (1)式可写成矩阵方程 , x Ax 0 ( 2 ) x a mn n 则 ( 1 ) 写成向量方程
线性代数 齐次方程组
⎛1 − 1 0 − 1⎞ ⎜ ⎟ → ⎜0 0 1 − 2⎟ ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠
−1 −1 1 ⎞ ⎟ 0 1 − 2⎟ 0 0 0 ⎟ ⎠
x1 = x2 + x4 同解方程组为 { x3 = 2 x 4
⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ x2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎜2⎟ ⎟ ⎜1⎟ ⎟ ⇒⎜ ⎜0⎟ ⎟, ⎜ ⎜0⎟ ⎟, ⎜ ⎜x ⎟ ⎟=⎜ ⎜x ⎟ ⎟=⎜ ⎝ 4⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ T T 通解为k1ξ1 + k 2ξ 2 基础解系为： ξ1 = (1,1,0,0) ξ 2 = (1,0,2,1) ∀k , k 1 2
在该题中，若取
⎛ x2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎜0⎟ ⎟, ⎜x ⎟ ⎟=⎜ ⎝ 4⎠ ⎝ ⎠
⎧ x1 = −(b11 xr +1 + ⎪ x2 = −(b21 xr +1 + ⎨ ⎪ x = −(b x + r 1 r +1 ⎩ r
+ b1( n − r ) xn = 0 + b2( n − r ) xn = 0 + br ( n − r ) xn = 0
+ b1( n − r ) xn ) + b2( n − r ) xn ) + br ( n − r ) xn )
,0)T 显然是方程组的解；称为零解或平凡解。
⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a2 ⎟ T 若非零向量 ξ = ⎜ ⎟ = ( a1 , a2 , , a n ) 是方程组的解，则称为非零解， ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ 也称为非零解向量。 ⎝ n⎠
问题
• 齐次问题除零解外,还存在其他解? 在什么条件下,有非零解? • 若存在非零解,如何求出全部的解?
1.3齐次线性方程组
二、齐次线性方程组解的性质
设 (a1 , a2 ,, an ) (b1 , b2 ,bn ) 均是 齐次线性方程组的解，则 ⑴ (a1 b1 , a2 b2 ,, an bn ) 也是齐次线性方程 组的解；
⑵ (ka1 , ka2 ,, kan )也是齐次线性方程组的解.
例2：当 c 取何值时？齐次线性方程组有非零解.
第一章 线性方程组与矩阵
1.3 齐次线性方程组
一、齐次线性方程组的定义ห้องสมุดไป่ตู้
如果线性方程组中的常数项为均为0，则称此
线性方程组为齐次线性方程组，即：
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n am1 x1 am 2 x2 amn xn 0
注：①齐次线性方程组一定有解（零解）； ②除了零解，齐次线性方程组有非零解的充要 条件是齐次线性方程组有无穷多解.
例1：解下列齐次线性方程组
2 x1 3x2 0 ① x1 x2 0
x1 2 x2 x3 x4 0 ② 3 x1 6 x2 2 x3 x4 0 x 2 x x 7 x 0 2 3 4 1
2 x1 3x2 0 cx1 x2 0
三、齐次线性方程组有非零解的条件
定理：对齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n am1 x1 am 2 x2 amn xn 0
若 m n ，那么它必有非零解.
例3：不求出方程的解，判断下列齐次线性方程 组是否有非零解.
3.4 齐次线性方程组
解:对矩阵 A 作初等行变换,化为行简化阶梯形矩阵:
1 2 1 1 1 1 2 4 3 1 1 0 A= → → 1 2 1 3 3 0 0 0 2 4 2 0 2 0 1 0 1 0 0 1 ห้องสมุดไป่ตู้ 0 0 0 0 2 0 0
x1 = 2 x2 2 x5 得 x3 = x5 ( x2 , x5为自由未知量) x = 0 4
xr +1 1 0 0 xr + 2 0 1 , , ,0 = 1 xn 0 0
共n r个
代入上述一般解公式,即求得AX = O 的基础解系.
3. 齐次线性方程组的结构式通解 定理 设 A 是一个 m × n 矩阵,若秩( A) = r < n ,
而有 b1 = b2 = = bm = 0 ,故有 AX 0 = O ,即 X 0 也是 方程组 AX = O 的解.因此,方程组 AT AX = O 的基 础解系可由方程组 AX = O 的基础解系线性表示, 从而有 n r ( AT A) ≤ n r ( A) ,所以 r ( AT A) ≥ r ( A) . 综上述可得 r ( AT A) = r ( A) .再用 AT代替 A 就可得
复习
3.4 齐次线性方程组有非零解的条件 及解的结构
齐次线性方程组的三种形式: 齐次线性方程组的三种形式: 一般形式 a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0
a x + a x + + a x = 0 21 1 22 2 2n n am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn = 0
程组 AT AX = O的解都是齐次线性方程组AX = O的解. 事实上,设 X 0 ∈ n 是方程组 AT AX = O 的一个解, 令 AX 0 = [b1 , b2 , , bm ]T,则 AX 0 = [b1 , b2 , , bm ]T ∈ m.
第二节 齐次线性方程组
如果1,2,,k是齐次线性方程组
AX=0的一个基础解系,则对任意常数
1,2,,k, 11+22++kk也是AX=0
的解,称这种形式的解为AX=0的通解.
注: 解齐次线性方程组的关键即求其基础 解系,进而求出通解.
若齐次线性方程组AX=0只有零解,则 它没有基础解系
定理一 设n元齐次方程组AX=0的系数矩阵 的秩R(A)=r,则齐次线性方程组AX=0的基 础解系含有nr个向量.
0 0
5x1 x2 11x3 0
1 2 4
设A
（1T
,
T 2
,
T 3
)
2 -1
-1 1
3 -1
5 1 11
R(
A
A)
2
1
0
0 0
3
2 4 -5 -5
1 2 4 0 1 1
1 0 2 0 1 1
未-知39 量-个 39数（向量00 个00数）,00齐次线00性方00 程00组 有非零解
0)T
c2
(
3 7
,
4 7
,
0, 1)T
(c1 , c2 R)
25
返回
例2 求方程组的通解
x1 x2 x3 x4 0 x1 x2 x3 3x4 0
x1
x2
2x3
3x4
0
1
A 1
1
1 1 1
1 1 2
1 1
3 0
3
0
1 0 0
1 2 1
1 1
4 0
2
A1 O, A2 O, A(1 2 ) A1 A O
性质2 若若1 ,是2解 是解向向量量，，则则k1也 是2也解是向解量向。 量。的A解x 空 0间
4-2.齐次线性方程组
第二节齐次线性方程组齐次线性方程组解的存在性 齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的存在性o x A n m =×021===n x x x 必有零解有无非零解？方程组用向量形式表示o x x x n n =+++ααα 2211显然，有非零解n ααα ,,21⇔线性相关nR A R n <=⇔),,()(21ααα 定理（P89）o x A n m =×齐次线性方程组有非零解nA R <⇔)(只有零解nA R =⇔)(推论：当A 为方阵时o x A n n =×有非零解0=⇔A 只有零解0≠⇔A 例1==⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=t o Ax t A 有非零解，则，且已知313121014二、齐次线性方程组解的结构性质1（P90）若12,ξξ是o Ax =的两个解，则12ξξ+也是它的解.性质2（P90）若ξ是o Ax =的一个解，则()k k R ξ∈也是它的解.即若12,,,n ξξξ 都是o Ax =的解，则也是它的解.1122n n k k k ξξξ+++ 由性质1和性质2可知：齐次线性方程组Ax o =解的线性组合仍是它的解.由此可知，若齐次线性方程组有非零解必有无穷多非零解；如何表示出所有非零解呢？若将齐次线性方程组的每个解看成向量（解向量），则所有解就是一个n 维向量组；若找出其最大线性无关组即可用其线性组若找出其最大线性无关组，即可用其线性组合来表示齐次线性方程组所有的解；此最大线性无关组在线性方程组的理论中称为基础解系。
定义（P91）设s ξξξ,,,21 是齐次线性方程组o Ax =的解，且满足：s ξξξ,,,21 (1)线性无关；(2)=的任一解 则称s ξξξ,,,21 为o Ax =的一个基础解系；()o Ax 的任解x 都可由sξξξ,,,21线性表示；即n n k k k x ξξξ+++= 2211为o Ax =的通解公式.n n k k k x ξξξ+++= 2211定理（P91）若n 元齐次线性方程组o Ax =的系数矩阵的秩,)(n r A R <=则此方程组的基础解系含有r n −个解向量.简证注(1)基础解系不唯一，但所含向量个数确定()(2) 若,)(n A R =方程组只有零解，没有基础解系.任意r n −个线性无关的解向量都是其基础解系；例1求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=−−−=−−+=+++0340222022432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系和通解.注意书写格式齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；1221⎟⎞⎜⎛−−5201r r −⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=341122121221A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−463046301221解13122r r r r −−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛000034210⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎜⎜⎜⎜⎜⎝0000342103r −32213212r r −故基础解系有4-2=2个解向量.,42)(<=A R ∵行最简形矩阵同解方程组为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧−−=+=432431342352xx x x x x x x ==33⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−00003421035201行最简形矩阵左边未知量补齐右边未知量对齐⎩.103435012221⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=k k x x x 44故基础解系为：.103435,012221⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=∴ξξ通解为：),(21R k k ∈例2（练习）求齐次线性方程组⎪⎪⎨⎧=−+−−=+++=−−+05420332032432143214321x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎩=−++032324321x x x x 的基础解系和通解.解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=3232542131321321A 122r r −13r r +24r r −⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−6100610057101321r r −⎤⎢⎡−19021r ⎡75001故基础解系有4-3=1个解向量.,43)(<=A R ∵327r r −313r r +34⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣−−0000610047010212r +)1(2−×r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣−−000610047010同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==−=43424164775x x xx x x 44x x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−000061004701075001.1647751⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=k x 故基础解系为：⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=∴1647751ξ通解为：)(1R k ∈例3⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=2510322189523221A .2)(2489523221==×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=B R O AB B A ，且使，的矩阵，求一个设解的解向量的列向量是O Ax B =⇒⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−→25101801x x x x x x xx x x=+⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩于是1342343344852个解向量，故基础解系有因22442)(=−<=A R 所以基础解系为⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1021 ,015821ξξ()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==1001251821ξξB 取.2)(==B R O AB ，且则齐次线性方程组0=Ax ()n A R =⇔;0只有零解=Ax 小结()n A R <⇔.0有非零解=Ax 且基础解系含有r n −个解向量.。
齐次线性方程组
齐次线性方程组概念：右端全为0的线性方程组叫做齐次线性方程组： , 01212111=+++n n x a x a x a, 02222121=+++n n x a x a x a。
02211=+++n mn m m x a x a x a她的矩阵形式为 AX= 0，其中, 212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 。
21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x xx X也可以用向量来表示齐次线性方程组, , , , 记21222122121111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n m m a a a a a a a a a ααα则齐次线性方程组可表示为。
02211=+++n n x x x ααα常用的齐次线性方程组的表示方法还有。
) , ,2 ,1 ( 01m i x a njj j i ==∑=齐次线性方程组的性质性质1：齐次线性方程组的两个解之和任然是该齐次方程组的解证明如下：是齐次线性方程组 ) ,, ,( 和 ) ,, ,( 设2121n n ηηηξξξ02211=+++n n x x x ααα则有 , 的两个解)()()(222111n n n αηξαηξαηξ±++±+±)()(22112211n n n n αηαηαηαξαξαξ+++±+++=, 000=±=即两个解的和仍是该齐次方程组的解性质2：齐次方程组的解与任意实数的乘积仍是该齐次方程组的解。
证明：是齐次线性方程组 ) ,, ,( 设21n ξξξ02211=+++n n x x x ααα有 , 则对任意实数 , 的一个解k)()()(2211n n k k k αξαξαξ+++ , 0)(2211=+++=n n k αξαξαξ 。
4.2 齐次线性方程组
推论 n个方程n个未知数的齐次线性方程组只有零解的 充要条件是系数行列式不等于零.
由上面的定理4.1自然可以得到齐次线性方程组有非
零解的如下结论： 定理4.2 对于齐次线性方程组, 下列命题等价:
(1) 方程组有非零解;
(2) 向量组 1 , 2 , , n 线性相关;
(3) 系数矩阵的秩 r ( A) n. 推论 n个方程n个未知数的齐次线性方程组有非零解充要
得到同解方程组
x1 b1,r 1 x r 1 b1n x n , x 2 b2,r 1 x r 1 b2 n x n , x r br ,r 1 x r 1 brn x n .
0 1 0
条件是系数行列式等于零.
2、齐次线性方程组的通解 我们写出齐次方程组的矩阵形式
Ax 0
(4.5)
定理4.3
(1) 若 x1 、x 2是齐次线性方程组(4.5)的两个
解, 则 x1 x2 也是(4.5)的解; (2) 若 x 是齐次线性方程组(4.5)的解, k 为任意常数,
则 kx 也是(4.5)的解.
基础解系。
若 1 , 2 ,, r 是方程组(4.5)的一个基础解系，由向 量空间的知识我们可以知道： (1) 1 , 2 ,, r 是方程组(4.5)的r个解向量； (2) 1 , 2 ,, r 线性无关； (3) 方程组(4.5)的每个解 向量都可由 1 , 2 ,, r 线性 表示，且表示方式是唯一的，即
,,
nr
例1 求齐次线性方程组
x1 x 2 x3 x 4 0, x1 x 2 x3 3 x 4 0, x x 2 x 3x 0 2 3 4 1
§2.3齐次线性方程组
x r +1 , x r + 2 ,", x n
（3）求一组特解
xr +1 = 1, xr + 2 = 0, ", xn = 0 ⇒ X 1 xr +1 =0, xr + 2 = 1, ", xn = 0 ⇒ X 2 " " " "
xr +1 = 0, ", xn−1 = 0, xn = 1 ⇒ X n− r
1 2 ⎞ 1 2 ⎞ ⎛a 1 ⎛1 1 ⎟ ⎟ 行 ⎜ ⎜ ⎯ →⎜ 0 a − 1 2a − 2 3a − 3⎟ A = ⎜ 2 a + 1 2a 3a + 1⎟ ⎯ ⎟ ⎟ ⎜1 1 ⎜0 0 − − 1 2 a 1 a 1 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝
故得，a = 1。 ▌
性质 设 X 1 , X 2是齐次线性方程组 AX = 0的任意 两个解向量，k1是任意常数，则有 （1） X 1 + X 2 是此方程组的解向量 （2） k1 X 1是此方程组的解向量 定义 设 X1 , X 2 ,..., X t 是齐次线性方程组AX=0的 t 个解向量。若它们满足 （1） X1 , X 2 ,..., X t 线性无关 （2）X1 , X 2 ,..., X t 可线性表出 AX=0 的任一解向量 则称 X1 , X 2 ,..., X t 是齐次线性方程组 AX=0 的一个 基础解系。
2 1 x3 = 1 ⇒ X 1 =（− ，− ，0 ） 3 3
∴ 一般解为 k1 X 1（ k1 是任意常数） 。 ▌
例 设A是m×n矩阵,且 秩(A) = r < n，则齐次线 性方程组AX=0的任意 n - r个线性无关的解向量均构 成一个基础解系。
第二节 齐次线性方程组 齐次线性方程组的概念
定义
设1,2 , r 是齐次线性方程组 AX 0
的一组解向量，若它满足下列条件：
（1） 1 ,2 , r 线性无关；
（2）方程组 AX 0 的任一解向量都可由1 ,2 , r 线性表出 则称向量组 1 ,2 , r是齐次线性方程组
AX 0 的一个基础解系。
如果 1,2 , r 是齐次线性方程组 AX 0 的一个基础解系 那么，对任意常数 k1, k2 , kr ,
若令
A
a21
am1
a12 a22 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
X
x2 xn
则 （1）可写成矩阵形式: AX 0 (2)
a1 j
若令
aj
a2 j
j 1,2, , n
amj
即向量组 a1 , a2 , an为齐次线性方程组（1）的
系数矩阵的列向量组
第二节 齐次线性方程组
齐次线性方程组的概念 齐次线性方程组的解空间 齐次线性方程组的基础解系
一、齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
齐次线性方程组
a21 x1
a22 x2
a2n xn
0
(1)
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
a11
的基础解系，即证明了当 R（A）= r〈 n 时齐次
线性方程组 AX 0 中有n- r个自由变量，
使基础解系由n- r个解向量组成。
说明１．方程组的基础解系不是唯一的． ２．方程组的基础解系又称为解空间的基．
３．若1 ,2 , ,nr 是 Ax 0 的基础解系，
则其通解为
x k11 k22 knrnr .
第三节 齐次线性方程组
第三节 齐次线性方程组定理 n 元齐次线性方程组Ax=0()R A n ⇔<(1) 有非零解秩 ()R A n ⇔=(2) 没有非零解秩一:齐次线性方程组Ax=0解的结构(一) 齐次线性方程组Ax=0解的结构记S={x |Ax =0}表示齐次线性方程组Ax =0解的全体，则集合S 具有如下性质 ： （1） 若ξ1，ξ2∈S ，那么ξ1＋ξ2∈S 。
即两个解的和还是方程组的解 （2） 若ξ∈S ，k ∈R ，那么 k ξ∈S 。
即一个解的倍数还是方程组的解定理1 ： n 个未知量的齐次线性方程组Ax=0的解向量集S 构成R n 的一个子空间 。
(二) 相关概念:解空间、基础解系、通解定义1: 称子空间S 是齐次线性方程组Ax=0的解空间。
解空间S 的任意一个基（即S 的极大无关组）称为齐次线性方程组Ax=0的基础解系。
注: (1) 齐次线性方程组Ax=0解的个数情况? 齐次线性方程组Ax=0有非零解,其解是否必有无穷个?(2) 设12,,,r ξξξ 是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,则对任意常数12,,,r k k k ,其线性组合1122r r k k k ξξξ+++是方程的解,12,,,r ξξξ 的所有线性组合就为方程所有解.定义2: 称1122r r k k k ξξξ+++ 为齐次线性方程组Ax=0的通解,其中12,,,r ξξξ 是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系, 12,,,r k k k 为任意常数.(三) 齐次线性方程组Ax=0的主要定理定理2 设齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A 是m ×n 阶矩阵，且R(A)=r ，则方程组Ax=0的基础解系中有n-r 个向量，即解空间S 的维数dim S=n-r 。
证明 (1)对矩阵A 作初等行变换得到矩阵 A，两个方程组0Ax =与0Ax = 是同解的方程组 .(2) 因为R(A)=r ，利用矩阵的初等行变换将A 化为阶梯形矩阵，进一步化为简单阶梯形矩阵，不妨有111212121~n n m mn a a a a a A a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 111,212,1,100010010000000000n r n r r r n r b b b b b b ---⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭称简单阶梯矩阵每一行的第一个非零元所对应的未知数(这里为12,,r x x x 称为非自由变量),其余的成为自由变量.故方程组同解于11111221,22112222,1122, 0(3) 0r r n r n r r n r n r r r r r r n r n x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x ++-++-++-++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩把上式改写为11111221,221122221122, (4) r r n r n r r ,n r nr r r r r r n r n x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x ++-++-++-=----⎧⎪=----⎪⎨⎪⎪=----⎩令12r r n x x x ++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 分别取n r -组数100010, , ....,001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭代入(4)可依次确定12r x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 为1,11122,2122,12, , ..., n r n r r n r r r b b b b b b b b b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而得到0Ax =的n-r 个解1,11122,212212,12 - , , , 1 0 0 0 1 0 0 0 1n r n r r r r n r n r b b b b b b b b b ξξξ-----⎛--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ,⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭显然12,,,n r ξξξ- 为齐次线性方程组Ax=0的n-r 个线性无关解 (3)最后，证明Ax=0的任意一个解都可由12,,,n rξξξ- 线性表示。
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