勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理的证明方法
勾股定理的证明方法勾股定理是初等几何中的一个基本定理.这个定理有十分悠久的历史,两千多年来,人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓,上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．下面结合几种图形来进行证明。
一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的.右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、,斜边为的直角三角形拼成的。
因为这两个正方形的面积相等（边长都是),所以可以列出等式，化简得。
在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的,但遗憾的是，他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易懂.二、赵爽弦图的证法(图2）第一种方法:边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形围在外面形成的。
因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。
第二种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为的角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为的正方形“小洞”.因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式，化简得.这种证明方法很简明，很直观,它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神,是我们中华民族的骄傲。
三、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。
因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得.这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话。
古希腊数学的伟大成就:1、使数学成为抽象性的一门科学；2、建立了演绎证明体系，希腊成为论证数学发祥地;3、创立了几何学、三角学，奠定了数论基础等；4、萌芽了一些高等数学，如数论、极限等;5、希腊人发现定理及证明，逻辑结构严密,论证认真细致，为后世树立了样板等；不足：如，重几何轻代数,认为几何方法是数学证明唯一方法，畏于无理数的存在，而不将算术应用于几何；几何作图严格限制规尺.古希腊的数学方法论泰勒斯最先提出数学方法论,数学命题要加以演绎证明，在数学中要建立一般的原理好人规则，数学命题的证明就是要借助一些公理或真实性已经确定的命题来论证某一命题真实性的思想过程.演绎证明的方法即演绎推理的方法，指从一般到特殊的推理方法,其核心是三段论法，即有两个已知判断,推出第三个判断，例如，平行四边形的对角线互相平分(第一个已知一般判断成为大前提），矩形是平行四边形（另一个已知较特殊的判断，成为小前提）,则矩形的对角线互相平分(推出新判断，即结论).用演绎法证明命题使几何由实验阶段,过渡到一门抽象的理论科学，使人类对自然的认识由感性(或经验)认识上升到理性认识，因此这是一个划时代的贡献。
毕达哥拉斯勾股定理证明
毕达哥拉斯勾股定理证明毕达哥拉斯勾股定理证明引言毕达哥拉斯勾股定理是数学史上一项重要的发现，它被广泛应用于几何学和物理学中。
本文将深入探讨毕达哥拉斯勾股定理的证明过程，并对其原理和应用进行全面评估。
让我们从简单的几何形状开始，逐步推导出这个定理的深刻意义。
1. 直角三角形的定义我们从直角三角形开始，这是研究毕达哥拉斯勾股定理的基础。
直角三角形是一种具有一个内角为90度的三角形。
我们将其三个边分别称为斜边、邻边和对边。
2. 毕达哥拉斯勾股定理的表述毕达哥拉斯勾股定理可以一句话概括为：直角三角形的斜边的平方等于邻边的平方与对边的平方之和。
用数学表达式来表示就是：a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是直角三角形的斜边。
3. 毕达哥拉斯勾股定理的第一个证明：几何方法我们以一个简单的正方形开始推导。
正方形的对角线可以作为两个直角边，那么根据勾股定理，对角线的平方等于两条直角边的平方和。
我们将正方形划分为四个直角三角形，每个直角三角形的两条直角边与两个直角边合并时构成一个直角边。
我们可以得出结论：正方形的对角线的平方等于四个直角三角形的两条直角边的平方和。
进一步，我们可以推广到其他几何形状，如长方形和正三角形。
这个证明方法是以简单的形状为基础，逐步推导出毕达哥拉斯勾股定理的普遍性。
4. 毕达哥拉斯勾股定理的第二个证明：代数方法我们还可以使用代数方法证明毕达哥拉斯勾股定理。
我们令直角三角形的直角边分别为a和b，斜边为c。
根据勾股定理，我们有a² + b² = c²。
接下来，我们将三条边的长度进行变换，假设每条边的长度为一个未知数x。
根据勾股定理，我们有x² + x² = c²，即2x² = c²。
我们可以将c²表示为2x²，并继续化简等式。
我们得到c² = 4(x²/2)，即c² = 4(x²/2)。
勾股定理简介与证明(3篇)
第1篇一、勾股定理简介勾股定理，又称为毕达哥拉斯定理，是数学中一个重要的几何定理。
它指出，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理不仅在我国古代数学著作《周髀算经》中有记载，而且在古希腊、印度、埃及等地的数学文献中也有所体现。
勾股定理是解决直角三角形问题的基础，也是许多数学领域的重要工具。
二、勾股定理的证明1. 证明方法一：几何证明如图所示，设直角三角形ABC中，∠C为直角，AC、BC分别为直角边，AB为斜边。
作辅助线CD，使得CD⊥AB于点D。
（1）证明AC²+BC²=AB²由于CD⊥AB，∠ACD和∠BCD都是直角。
因此，三角形ACD和三角形BCD都是直角三角形。
根据直角三角形的性质，有：AC² = AD² + CD²BC² = BD² + CD²将上述两个等式相加，得到：AC² + BC² = (AD² + CD²) + (BD² + CD²)AC² + BC² = AD² + BD² + 2CD²由于AD+BD=AB，将AD+BD替换为AB，得到：AC² + BC² = AB² + 2CD²由于CD是AB的一半，即CD=AB/2，代入上式，得到：AC²+ BC² = AB² + 2(AB/2)²AC² + BC² = AB² + AB²AC² + BC² = 2AB²由于2AB²=AB²，因此：AC² + BC² = AB²（2）证明结论根据上述证明，得出勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理） 是一个，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
是的一个特例。
约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的之一。
“”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a 2+b 2=c 2的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1如果的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2如果的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o，∴ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o.∴EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴∴.【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b ，所以面积相等.即，整理得.【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o.∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 ∴.∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
数学勾股定理公式大全勾股定理的证明方法
数学勾股定理公式大全勾股定理的证明方法数学勾股定理公式是asup2;+bsup2;=csup2;。
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
数学勾股定理公式大全数学勾股定理公式是asup2;+bsup2;=csup2;。
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
在中国，周朝时期的商高提出了勾三股四弦五的勾股定理的特例。
在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
勾股定理的证明方法做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成两个正方形。
可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.即a的平方加b的平方，加4乘以二分之一ab等于c的平方，加4乘以二分之一ab，整理得a的平方加b的平方等于c的平方。
勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
证明勾股定理的方法
证明勾股定理的方法勾股定理，也被称为毕达哥拉斯定理，是数学中的一条基本定理，它描述了直角三角形中直角边与斜边之间的关系。
证明勾股定理的方法有很多种，下面将介绍其中几种常见的方法。
方法一：几何证明法几何证明法是最常见的证明勾股定理的方法之一。
它通过构造几何图形，利用几何性质来证明定理的正确性。
下面以一种简单的几何证明法为例进行说明。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。
我们可以构造一个正方形，边长为a+b，如图所示。
[图1]根据正方形的性质，它的对角线相等，即对角线AC的长度等于对角线BD的长度。
又因为AC的长度等于a+b，BD的长度等于c，所以a+b=c。
这就证明了勾股定理。
方法二：代数证明法代数证明法是另一种常见的证明勾股定理的方法。
它通过代数运算和方程推导来证明定理的正确性。
下面以一种代数证明法为例进行说明。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。
根据勾股定理，我们有a²+b²=c²。
我们可以将这个方程转化为等价的形式进行证明。
首先，我们将c²展开，得到c²=a²+b²。
然后，我们将a²和b²分别展开，得到a²=(c-b)(c+b)和b²=(c-a)(c+a)。
将这两个等式代入c²=a²+b²中，得到c²=(c-b)(c+b)+(c-a)(c+a)。
我们可以进行简化运算，得到c²=2ac+2bc-2ab。
继续简化运算，得到c²+2ab=2ac+2bc。
再将等式两边同时除以2，得到(c²+2ab)/2=(2ac+2bc)/2。
化简得到c²+ab=ac+bc。
根据等式两边的相等性，我们可以得到a(c-b)=b(c-a)。
再将等式两边同时除以c-a，得到a=b。
同样的方法，我们可以得到b=a。
挑战思维极限 勾股定理的365种证明
挑战思维极限勾股定理的365种证明挑战思维极限：勾股定理的365种证明导语：挑战思维极限，是人类一直以来的追求。
人们通过不断突破自己的认知边界，探索未知的领域。
勾股定理作为数学领域里最基础、最经典的定理之一，几乎是每个学生在数学课堂上必须掌握的内容。
但是，你知道吗？这个定理有着超过365种不同的证明方法。
本文将以从简到繁的方式，逐步探索这个数学定理的多样性与美妙。
1.初级证明勾股定理，在数学中又被称为毕达哥拉斯定理，最早出现在古希腊。
一个简单的证明方法是利用几何图形。
我们将一条直角边的长度设为a，另一条直角边的长度设为b，斜边的长度设为c。
根据勾股定理，我们有a²+b²=c²。
那么，我们可以通过构造一个正方形，将边长分别设为a、b和c，再利用面积的计算方法得到这个定理的证明。
2.三角函数证明在勾股定理的证明中，三角函数是常见且重要的工具。
我们可以通过正弦定理和余弦定理来推导勾股定理。
利用正弦定理得到sin A / a = sin B / b = sin C / c。
将这个结果代入余弦定理，得到a²+b²-2abcosC=c²。
由于直角三角形中cosC=0，所以最终得到a²+b²=c²。
3.解析几何证明解析几何是通过代数方法来解决几何问题的一种方法。
在勾股定理的证明中，我们可以利用平面直角坐标系来进行推导。
假设A点坐标为(0,0)，B点坐标为(a,0)，C点坐标为(0,b)，则C点的坐标为(a,b)。
通过距离公式和勾股定理的关系，我们可以得到a²+b²=c²。
4.复数证明复数是数学中一种有趣而重要的概念，在勾股定理的证明中也有其应用。
我们可以将直角边的长度表示为实数，斜边的长度表示为纯虚数。
通过对勾股定理进行代数操作，将三个数的平方相加，并最终等于零，从而证明了勾股定理。
5.数学归纳法证明数学归纳法是一种证明数学命题的方法。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º. ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴ ∴.【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股定理及其证明方法
勾股定理及其证明方法勾股定理是数学中的重要定理之一，也是几何学中最基本的定理之一。
它是指直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的形式化表达为：设直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，则有a² + b² = c²。
勾股定理最早可以追溯到古希腊数学家毕达哥拉斯提出，因此也被称为毕达哥拉斯定理。
在古代，毕达哥拉斯学派将勾股定理作为其教义的核心内容之一，认为宇宙万物的运行都遵循着数学规律，而勾股定理则是这种规律的具体体现。
证明勾股定理有多种方法，下面将介绍几种常见的证明方法：1. 几何法证明：最经典的勾股定理证明方法就是几何法。
通过构造直角三角形，利用几何图形的性质和几何关系，可以清晰地展示出直角三角形中各边之间的关系。
其中最著名的一种构造方法就是利用正方形的四个顶点构造直角三角形，通过对角线的长度关系来证明勾股定理。
2. 代数法证明：代数法证明勾股定理则是通过代数运算来完成。
将直角三角形的三条边长代入勾股定理的公式中，进行平方运算和等式推导，最终得到等式两边相等的结果，从而证明了勾股定理的成立。
3. 数学归纳法证明：数学归纳法是一种数学证明方法，通过证明当n=k时命题成立，再证明n=k+1时命题也成立，从而推导出对于所有自然数n命题都成立的结论。
在证明勾股定理时，可以采用数学归纳法来证明直角三角形边长为任意正整数时勾股定理都成立。
4. 向量法证明：利用向量的性质和运算规律，也可以证明勾股定理。
通过向量的加法、数量积等运算，可以得到直角三角形中各边向量的关系，从而推导出勾股定理的成立。
以上是几种常见的勾股定理证明方法，每种方法都有其独特的思路和推导过程。
勾股定理作为数学中的基础定理，不仅在几何学中有着重要的应用，也在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
深入理解和掌握勾股定理及其证明方法，有助于提升数学思维能力和解决实际问题的能力。
10种勾股定理的证明方法
10种勾股定理的证明方法1什么是勾股定理勾股定理，又称勾股论，是基督教神学家和物理学家第乌里希（Pythagoras）在公元前6世纪提出的一个名言：在给定一个直角三角形中，直角两边的平法相加，等于直角边的平方。
也就是说，在一个直角三角形中，腰边的平方等于两个斜边的平方和。
2勾股定理的表示形式勾股定理可以用一下式子表示：a²+b²=c²，其中a和b是直角三角形的两个斜边，c是这个直角三角形的直角腰边。
3关于勾股定理的10种证明方法1.构造法：构造带有两个相等斜边a和b的两个直角三角形，以证明a²+b²=c²。
2.投影定理：利用投影定理将这些斜边投影，使两个三角形等同，从而证明勾股定理。
3.物理四边形法：采用正方形，梯形和菱形将这三角形组合成一个完整的四边形，证明了勾股定理。
4.三角不等式：根据直角三角形的三角不等式来证明a²+b²>c²。
5.毕达哥拉斯定理：该定理指出，在给定一个直角三角形时，斜边的平方和等于两个斜边相乘再乘以直角边的任何一个数字。
6.幂法：将a²+b²和c²都改写成几次幂的形式，然后将两个完整的当作可以对等的数字比较，从而证明勾股定理。
7.等差数列法：分别建立一个等差数列和一个等比数列，将它们相加，可以得到勾股定理的完整证明。
8.泰勒公式：根据勾股定理，a²+b²=c²,用泰勒公式解析勾股定理，就能得出正确的结论。
9.三角函数法：将勾股定理表示为正弦、余弦和正切的函数关系，根据不同的三角函数的关系证明勾股定理。
10.几何图表法：将斜边a、b、c绘制成一个两个直角三角形的示意图，并且两个三角形的直角边的和是刚好相等的，可以读出完整的证明。
4结论勾股定理是一个经典的定理，已被证明是绝对正确的，而证明它的方法也分多种。
从上面这10种证明方法中，我们可以看出，勾股定理可以通过计算、构造、投影和其它几何变换理论来证明。
勾股定理500种证明方法
勾股定理500种证明方法勾股定理是数学中一条非常重要的定理，它以毕达哥拉斯学派的希腊数学家毕达哥拉斯的名字命名。
勾股定理的数学表达式为a²+b²=c²，其中a、b、c分别代表一个直角三角形的两个短边和斜边的长度。
然而，勾股定理有许多不同的证明方法，超过500种的说法是不准确的。
这里我会介绍一些著名的证明方法，希望能给你一个对这个定理的全面认识。
1.几何证明法：通过利用几何图形中的属性和关系，可以推导出勾股定理。
其中最著名的几何证明方法是欧几里得的证明，他使用了面积相等和相似三角形的概念。
2.代数证明法：通过代数运算和方程的推导，可以证明勾股定理。
其中一种代数证明方法是使用平方差公式展开等式，然后化简并比较系数。
3.三角函数证明法：通过三角函数的性质和恒等式，可以得到勾股定理。
其中一种三角函数证明方法是使用正余弦函数的定义，将斜边的平方表示为两个边的平方和。
4.拆分法：通过将直角三角形拆分成若干个子三角形，然后通过这些子三角形的边长关系来推导勾股定理。
这种证明方法的关键是找到合适的子三角形。
5.向量证明法：通过向量的定义和运算，可以证明勾股定理。
其中一种向量证明方法是使用点乘和模的关系，将勾股定理转化为向量的相等关系。
还有许多其他的证明方法，如数学归纳法、复数证明法、递推证明法等等。
每一种证明方法都有其独特的思路和技巧，它们都可以用来证明勾股定理。
尽管有许多不同的证明方法，但它们都可以追溯到同一个基本的原理，即三角形的几何属性和数学关系。
通过不同的角度和方法来证明这个定理，可以加深我们对这个定理的理解，并且展示数学的多样性和美妙之处。
总结起来，勾股定理是一个有着丰富证明方法的重要定理。
尽管不存在500种证明方法，但每一种证明方法都是通过不同的思路和工具来推导这个定理。
通过学习这些证明方法，我们可以更加深入地理解和欣赏数学。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理） 是一个，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
是的一个特例。
约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的之一。
“”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴∴ .【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股定理十种证明
勾股定理十种证明勾股定理，也称为毕达哥拉斯定理，是最古老的几何定理之一，被公认为是其中最优雅之处。
在几何学中，勾股定理犹如一面旗帜，引领着数学探索的方向。
它对于理解平面几何，特别是直角三角形的形成，是不可缺少的。
勾股定理宣称：“一个直角三角形的两条斜边的平方和等于它的斜边的平方。
”历史上，许多杰出的数学家都曾试图用更多的方法来证明勾股定理，其中有些广为人知的证明有以下十种：第一种，极限法证明：把直角三角形拆分为无数个梯形，然后利用极限思想可以证明勾股定理。
第二种，边角定理证明：由边角定理可以简捷地证明勾股定理。
第三种，比例定理证明：利用比例定理和勾股定理的平方和来证明勾股定理。
第四种，向量法证明：通过直角三角形两条斜边的相加以及其面积的向量证明，可以证明勾股定理。
第五种，反证法证明：通过假设勾股定理不成立，然后反向推导至矛盾，从而证明勾股定理。
第六种，几何图形法证明：通过勾股定理相关的面积比和图形证明勾股定理。
第七种，数学归纳法证明：通过数学归纳法对勾股定理改写成一系列合取式，然后证明勾股定理。
第八种，三角函数法证明：通过三角函数求解勾股定理，从而证明勾股定理。
第九种，几何等价法证明：通过几何等价性的抽象表示和抽象证明，可以证明勾股定理。
第十种，代数法证明：通过把直角三角形的斜边和直角数进行代数处理，可以证明勾股定理。
以上十种证明方法，都可以从不同角度解释勾股定理，让我们更加深刻地理解它。
它首先可以从这样一个角度来理解：每个直角三角形都有一个完全统一的结构，其两条斜边平方和等于该斜边的平方。
从代数的角度来看，勾股定理可以用一个比较简单的方程式来表示：a2+b2=c2，这就是勾股定理的定义。
勾股定理被用于各种应用场景，其精髓在于它利用数学抽象的方式来解释实际的物理规律，并且它的证明方法多种多样，有能力深入地理解并把握它的精粹。
它是一个充满智慧的定理，深受各种学科的研究者和爱好者的喜爱，在现代科学中仍起着重要的作用。
勾股定理的证明方法十种过程
勾股定理的证明方法十种过程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是几何学中最基础的定理之一。
它表明在直角三角形中，直角的两边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的证明方法有很多种，下面我将介绍十种常用的证明过程。
一、几何证明法1. 利用相似三角形的性质，构造辅助线，将直角三角形分割成两个直角三角形，再利用勾股定理的定义证明斜边的平方等于直角两边的平方和。
2. 利用平行线的性质，构造辅助线，形成四边形，再利用四边形的性质推导出勾股定理。
二、代数证明法1. 利用代数方法将直角三角形的三边长度表示成a，b，c，利用勾股定理的定义列出等式a^2 + b^2 = c^2，再进行变形推导得到结论。
2. 利用向量法，将三角形的三个顶点表示成二维向量，用向量的性质证明直角三角形满足勾股定理。
三、三角函数证明法1. 利用正弦、余弦、正切等三角函数的关系，将直角三角形的三条边长和角度联系起来，通过三角函数的计算推导出勾股定理。
2. 利用三角函数的定义，将角度和边长关系转换成三角函数的等式，再通过化简和运算得到勾股定理。
五、解析几何证明法1. 利用直角三角形在坐标平面上的表示，用坐标的差和平方和表达斜边和直角两边之间的关系，进行运算保证两边相等。
2. 利用解析几何的方法，利用两直线间的距离公式和直线的斜率关系，推导出勾股定理成立的条件。
七、数学归纳法证明法1. 从一个特殊的直角三角形出发，比如3-4-5直角三角形，验证勾股定理成立。
然后假设勾股定理对于n=1的情况成立，推导出n=k+1的情况也成立，利用数学归纳法证明定理的普遍性。
2. 从勾股数列的性质入手，证明勾股定理的普遍性。
十、几何变换证明法1. 利用几何变换，比如平移、旋转等，将直角三角形变换成其他几何形状，再通过形状不变性证明勾股定理。
2. 利用相似性和对称性的变换，将直角三角形转化成其他几何形状，结合几何形状的性质证明勾股定理的成立。
勾股定理的九种证明方法(附图)
勾股定理的九种证明方法(附图)勾股定理的证明方法一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。
右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。
因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。
二、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。
因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。
三、相似三角形的证法：4.相似三角形的方法：在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原三角形相似。
CAD∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA =90 °，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴∠QBM = ∠ABC，又∵∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2六、欧几里德射影定理证法：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD是斜边BC上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下：1）（BD）^2;=AD·DC，（2）（AB）^2;=AD·AC ，（3）（BC）^2;=CD·AC 。
由公式（2）+（3）得：（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）^2;，即（AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2七、杨作玫证法：做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D 作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.∵∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，∴∠DAH = ∠BAC.又∵∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c，∴RtΔDHA ≌RtΔBCA.∴DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知，PBCA 是一个矩形，所以RtΔAPB ≌RtΔBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = b―a.987654321PQR HG Dabcaccc∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA. ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a . ∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为 543212S S S S S c ++++= ① ∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+=812SS b -- . ② 把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++== 922S S b ++ = 22a b +. ∴ 222c b a =+.八、陈杰证法：设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c. 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ， 则 AD = c. ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ， ∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b. 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ， ∠AED = 90º， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC. ∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c.∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE.连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE.BD F Gab ca b cac a b c 1234567∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a. ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中， ∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG.∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=， 732S S a +=， 76451S S S S S +===， ∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c ∴ 222c b a =+.九、辛卜松证法：设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c. 作边长是a+b 的正方形ABCD. 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.ab 21ab 21ab 21ab 212c 2b 2aAD B Bab aba bb a ccccb a ab ab ba b a。
勾股定理500种证明方法
勾股定理500种证明方法
勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是数学几何中最著名的定理之一、它表明，在一个直角三角形中，直角边的平方之和等于斜边的平方，即$a^2+b^2=c^2$。
据说有许多不同的证明方法，至少有500种不同的证明方法。
下面将简单介绍几种常见的证明方法：
1.欧几里得的证明：这是最早的证明方法之一，通过构造相似三角形和利用平行线的性质，证明三角形的内角和为180度。
由此可以得到
$a^2+b^2=c^2$。
2.利用面积的证明：可以将直角三角形划分成两个直角三角形，然后利用面积的性质证明等式的成立。
3.利用复数的证明：可以利用复数的平方模等于平方和的性质，将直角三角形的顶点表示为复数，然后利用复数运算的性质进行计算，最终得到$a^2+b^2=c^2$。
4.利用向量的证明：将三边向量化，将向量的长度平方与向量的点积进行计算，最终得到$a^2+b^2=c^2$。
5.利用相似三角形的证明：通过构造相似的三角形，可以通过比较对应边长的比例关系，推导出$a^2+b^2=c^2$。
这只是其中几种比较常见的证明方法，实际上还有很多其他的证明方法，包括利用解析几何、三角函数、几何画法等等。
每一种证明方法都有自己的特点和逻辑，通过研究和理解这些不同的证明方法，可以更好地理解勾股定理的本质和几何背后的原理。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º. ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴ ∴.【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股定理的证明方法简介
勾股定理的证明方法简介勾股定理可神奇啦，那啥是勾股定理呢？简单说就是直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
咱现在就来唠唠它的证明方法哈。
一、毕达哥拉斯证法毕达哥拉斯这人可牛了。
他的证明方法是这样的，假设有一个直角三角形，两条直角边为a和b，斜边为c。
他构造了好多个正方形。
先以直角三角形的三边分别向外作正方形。
然后他通过一些巧妙的面积计算和拼凑。
他发现两个小正方形的面积之和正好等于大正方形的面积。
这就证明了a² + b² = c²。
你看，就这么简单又巧妙，就像搭积木一样，把面积这个东西摆弄摆弄就得出结论了。
二、赵爽弦图证法咱们中国的赵爽也超厉害的。
他画了一个大正方形，这个大正方形是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的。
设直角三角形的两条直角边为a和b（a>b），斜边为c。
那这个大正方形的面积可以用两种方法表示。
一种是直接边长的平方，也就是c²。
另一种呢，是四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积。
四个直角三角形面积就是4×(1/2)ab，小正方形边长是(a - b)，那小正方形面积就是(a - b)²。
这样算出来也是a² + b² = c²。
感觉咱们老祖宗的智慧真是无穷啊，用这么个图形就把这定理证得明明白白的。
三、加菲尔德证法这个加菲尔德呢，他构造了一个梯形。
这个梯形的上底是a，下底是b，高是(a + b)。
梯形的面积公式大家都知道吧，就是(上底+下底)×高÷2。
那这个梯形面积就是(a + b)(a + b)/2。
然后这个梯形又是由三个直角三角形组成的，这三个直角三角形的面积之和是(1/2)ab+(1/2)ab+(1/2)c²。
把这两个式子相等起来，化简之后也能得到a² + b² = c²。
勾股定理的证明方法还有好多好多呢，这些不同的证明方法就像不同风格的艺术品一样，各有各的美妙之处，每一种都展现了人类智慧的光辉，是不是超级有趣呢？。
勾股定理的九种证明方法附图
勾股定理的证明方法一、传说中毕达哥拉斯的证法图1左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、;斜边为的直角三角形拼成的..右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、;斜边为的直角三角形拼成的..因为这两个正方形的面积相等边长都是;所以可以列出等式;化简得..二、美国第20任总统茄菲尔德的证法图3这个直角梯形是由2个直角边分别为、;斜边为 的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的..因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积;所以可以列出等式;化简得..三、相似三角形的证法：4.相似三角形的方法：在学习了相似三角形以后;我们知道在直角三角形中;斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原三角形相似..如图;Rt △ABC 中;∠ACB=90°..作CD ⊥AB;垂足为D..则 △BCD ∽△BAC;△CAD ∽△BAC..由△BCD ∽△BAC 可得BC 2=BD × BA; ① 由△CAD ∽△BAC 可得AC 2=AD × AB.. ② 我们发现;把①、②两式相加可得BC 2+AC 2=ABAD+BD;而AD+BD=AB;因此有 BC 2+AC 2=AB 2;这就是 a 2+b 2=c 2..这也是一种证明勾股定理的方法;而且也很简洁..它利用了相似三角形的知识.. 四、古人的证法：如图;将图中的四个直角三角形涂上深红色;把中间小正方形涂上白色;;以弦为边的正方形称为弦实;然后经过拼补搭配;“令出入相补;各从其类”;他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的..即“勾股各自乘;并之为弦实;开方除之;即弦也”.. 赵爽对勾股定理的证明;显示了我国数学家高超的证题思想;较为简明、直观..五、项明达证法：C A BD作两个全等的直角三角形;设它们的两条直角边长分别为a、bb>a ;斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形;使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC;交AC于点P.过点B作BM⊥PQ;垂足为M；再过点F作FN⊥PQ;垂足为N.∵∠BCA = 90°;QP∥BC;∴∠MPC = 90°;∵ BM⊥PQ;∴∠BMP = 90°;∴ BCPM是一个矩形;即∠MBC = 90°.∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA =90 °;∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°;∴∠QBM = ∠ABC;又∵∠BMP = 90°;∠BCA = 90°;BQ = BA = c;∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2六、欧几里德射影定理证法：如图;Rt△ABC中;∠ABC=90°;AD是斜边BC上的高;通过证明三角形相似则有射影定理如下：1BD^2;=AD·DC; 2AB^2;=AD·AC ; 3BC^2;=CD·AC ..由公式2+3得：AB^2;+BC^2;=AD·AC+CD·AC =AD+CD·AC=AC^2;;即AB^2;+BC^2;=AC^2七、杨作玫证法：做两个全等的直角三角形;设它们的两条直角边长分别为a、bb>a;斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC;AF交GT于F;AF交DT于R. 过B作BP⊥AF;垂足为P. 过D作DE与CB 的延长线垂直;垂足为E;DE交AF于H.∵∠BAD = 90o;∠PAC = 90o;∴∠DAH = ∠BAC.又∵∠DHA = 90o;∠BCA = 90o;AD = AB = c;∴RtΔDHA ≌RtΔBCA.∴DH = BC = a;AH = AC = b.由作法可知; PBCA 是一个矩形; 所以RtΔAPB ≌RtΔBCA. 即PB =987654321PQR HG DCabcacccCA = b;AP= a;从而PH = b ―a .∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ;Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a;∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90o;∠DHF = 90o;∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o; ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF;TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形;上底TF=b ―a;下底BP= b;高FP=a +b ―a . 用数字表示面积的编号如图;则以c 为边长的正方形的面积为 543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-; 985S S S +=;∴ 824321S ab b S S --=+=812SS b -- . ② 把②代入①;得=922S S b ++ = 22a b +. ∴ 222c b a =+. 八、陈杰证法：设直角三角形两直角边的长分别为a 、bb>a;斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形b>a;把它们拼成如图所示形状;使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号如图.在EH = b 上截取ED = a;连结DA 、DC; 则 AD = c . ∵ EM = EH + HM = b + a ; ED = a; ∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90o;CM = a; ∠AED = 90o; AE = b; ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC . ∴ ∠EAD = ∠MDC;DC = AD = c .∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o; ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90o; ∴ ∠ADC = 90o .∴ 作AB ∥DC;CB ∥DA;则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90o; ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB;在ΔABF 和ΔADE 中;∵ AB =AD = c;AE = AF = b;∠BAF=∠DAE; ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90o;BF = DE = a.∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中; ∵ AB = BC = c;BF = CG = a; ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=; 6212S S S b ++=;732S S a +=;76451S S S S S +===; ∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c ∴ 222c b a =+. 九、辛卜松证法：设直角三角形两直角边的长分别为a 、b;斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分;则正方形ABCD的面积为 ()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分;则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++;∴ 222c b a =+.。
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勾股定理（毕达哥拉斯定理）
勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理
命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）
以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于
2
1
ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º. ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于
.
∴ ∴
.
【证法2】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.
即， 整理得 .
【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.
∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴
AD∥BC.∴
ABCD是一个直角梯形，它的面积等于
∴ .∴.
【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，
有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。
由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。
只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。
于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。
”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。
”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。
他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。
”证法。
【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的
正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一
条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交
DE于点L.∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的
面积的一半，
∴ 矩形ADLM的面积 =.同理可证，矩形MLEB的面积 =.
∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ ，即.
【证法5】（利用相似三角形性质证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB
的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，
∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，∠CAD = ∠BAC，∴ ΔADC ∽ ΔACB.
∴AD∶AC = AC ∶AB，即.
同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，
从而有.∴ ，即
【证法6】（邹元治证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直
线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF.
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.
∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.
∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2.
∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴ ∠HGD = ∠EHA.
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.
又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.
∴ .∴ .
【证法7】（利用切割线定理证明）
在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c.
如图，以B为圆心a为半径作圆，
交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a.
因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，
所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得
=== ，
即，∴ .
【证法8】（作直角三角形的内切圆证明）
在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的
内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.
∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，
∴
= = r + r = 2r,即，∴ .
∴ ，
即，
∵ ，
∴ ，又∵ = = = = ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .。