信号、系统分析与控制 第9章 系统函数的零极点

U(s) _
+ 1/sC
sL R
k = 5.0000e+009 zs = 0 ps = 1.0e+005 *
I(s) -
-0.2500 + 4.9937i
（2）当所有的br都为0时（b0=1），H(z)为一个多项式：
1 H(z)
N
1 ak z k k 1
（9.1.5）
此时，系统的输出只与当前的输入和过去的输出有关，称为AR系统。由于系统函数H(z)只有极点（原点处的零 点除外），该系统也叫全极点系统。h(n)为无限长度序列，所以这类系统称为无限长单位脉冲响应系统（IIR）。
第9章 系统函数的零极点分析
LTI系统的系统函数H(.)在系统分析中有重 要地位，系统函数决定了系统在时域和频域的 一些基本特性。系统的时域、频域特性都集中 地以其系统函数或系统函数的零、极点分布表 现出来。
9.1 系统的零极点
9.1.1 系统的零极点
系统函数H(.)的零极点分布可以决定系统的性质，例如可以由极点分布求系统单位样值响应、由极点分布 确定系统稳定性、由零极点分布确定系统频率特性等。另外，也能按给定的要求通过H(.)求得系统的结构和 参数，LTI系统的设计问题实际上就是如何获取一个具有预期特性的系统的系统函数。具体来说，研究系统 零极点具有以下意义：
2. 使用多项式的roots()函数分别求出多项式和的根，获得系统函数的极点、零点。
3. 用用zero(sys)和pole(sys)函数直接计算零极点，sys表示系统传递函数。用法如下：
z = zero(sys)：返回 LTI模型 sys的零点z 的列向量。
[z,gain] = zero(sys)：同时返回增益gain。
a0
1 LC
b1
1 C
y=x;
hold on;
plot([-x x],[0 0]);
plot([0 0],[-y y]); plot(real(ps),
imag(ps),'X'); plot(real(zs),imag(zs),'O'); title('RLC并联电路零极点分布图') 程序运行结果，得出零点、极点为：
pole(sys)函数计算极点，使用方法相同。
例9-1-1 求连续系统零点、极点分布图
如图9-1-1所示为一个RLC并联电路，求其电路的阻抗函数和零点、极点，以及零点、极点分布图。
解：（1）该电路的阻抗函数（系统函数）为： （2）令R=100k，C=200pF，L=20mH，程序如下：
H(s) U(s) I (s)
果性和稳定性的只是极点分布。h(n)和H(z)为一对z变换对：
，
（1）当所有的ak都为0时，H(z)为一个多项式：
H (z) bn z n n
（9.1.4）
此时，系统的输出只与输入有关，称为MA系统。由于系统函数只有零点没有极点（原点处的极点除外），该系统
也叫全零点系统。
由此可求出系统的：
h(n) bn n 0,1,2,...... M 这类系统称为有限长单位脉冲响应系统（FIR）。
k
(1 br z r )
r 1
X (z)
N
(1 ak z k )
k 1
（9.1.3）
其中br为分子多项式的根，称为系统函数的零点；ak为分母多项式的根，称为系统函数的极点，k为比例常数。
k仅决定幅度大小，不影响频率特性的实质。系统函数的零、极点Z分h(布n)都 会H (影z) 响系统的h(n频) 率Z特1性H (，z)而影响系统的因
➢ 可预测系统的时域特性。确定系统函数H(s)、H(z)。 ➢ 可以用函数 [r,p,k]=residuez（num,den）完成部分分式展开计算系统函数的留数、极点和增益； ➢ 可以用函数sos=zp2sos（z,p,k）完成将高阶系统分解为2阶系统的串联。
➢ 描述系统的频响特性。从系统的零、极点分布可以求得系统的频率响应特性，从而可以分析系统的正弦稳态 响应特性。 使用h=freqz(num,den,w)函数可求系统的频率响应。
1
1
1
1 sC C s2
s 1 s
1
a=[1 5*10^4 2.5*10^11 ]; b=[0 5*10^9 0];
R sL
RC LC
[zs,ps,k]=tf2zp(b,a) ps=ps'; zs=zs'; x=max(abs([ps zs])); x=x+1;
s2
b1s a1s
a0
a1
1 RC
（3）一般情况下，ak、br都不为0，H(z)为一个有理多项式，有零点也有极点，称为ARMA系统，或零极点系统。 系统的h(n)为无限长度序列，所以这类系统仍为IIR系统。
9.1.2 求系统的零极点
1. 使用[z,p,k]=tf2zp(b,a)函数、[z,p,k]=tf2zpk（b,a），可求出连续系统系统、离散系统函数的零点、极点和增益。
m
H (s)
bmsm bm1sm1 ... b1s b0 ansn an1sn1 ... a1s a0
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B(s) A(s)
k
(s z j )
j 1
n
(s pi )
（9.1.1）
i 1
an、bm分别为分母和分子多项式的系数，m≤ n 。pi、zj、k分别为系统函数的极点、零点和增益。其意义如下： ➢ 分子多项式B(s)=0的解为零点zj，即零点使H(s)变为0。 ➢ 分母多项式A(s)=0的解为极点pi，即极点使H(s)变为无穷大。 ➢ 增益k=bm/an，为常数，如果分子阶数比分母小（m<n），则k为空向量。
2. 离散系统函数的零极点
M
离散系统函数的多项式形式为：
H (z)
B(z) A(z)
bj z j
j0
N
ai z i
b0 a0
b1z 1 ... bm z m a1z 1 ... an z n
（9.1.2）
将系统函数进行因式分解，可采用根的形式表示多项式，即 i0
M
H (z)
Y (z)
➢ 说明系统正弦稳态特性。
➢ 研究系统的稳定性。从系统函数的极点分布可以了解系统的固有频率，进而了解系统冲激响应的模式，也就 是说可以知道系统的冲激响应是指数型、衰减振荡型、等幅振荡型、还是几者的组合，从而可以了解系统的
响应特性及系统是否稳定。
1. 连续系统的零极点
系统函数一般以多项式形式出现，分子多项式和分母多项式都可以分解成线性因子的乘积，即连续系统函数：