不等式性质复习
寒假必修五复习二---不等式
寒假必修五复习二---不等式1、 不等式的性质：（1） 同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2） 左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；（3） 左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；（4）若，，则；若，，则。
如（1）对于实数中，给出下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，则。
其中正确的命题是______（答：；（2）已知，，则的取值范围是______（3）、已知函数,满足,,那么的取值范围是 .（3）已知，且则的取值范围是______不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；(8)图象法。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
如（1）设，比较的大小2）设，，，试比较的大小（3）比较1+与的大小3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”如（1）下列命题中正确的是A、的最小值是2B、的最小值是2C、的最大值是D、的最小值是（2）若，则的最小值是______（答：）；（3）正数满足，则的最小值为______（答：）；4. 常用不等式有：（1） (根据目标不等式左右的运算结构选用)（2） （2）a、b、c R，（当且仅当时，取等号）；（3） 若，则（糖水的浓度问题）。
如如果正数、满足，则的取值范围是_________5、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。
).常用的放缩技巧有：如（1）已知，求证：；(2) 已知，求证：；（3）已知，且，求证：；(4) 若a、b、c是不全相等的正数，求证：；（5）若，求证：；(7) 已知，求证：；（8）求证：。
不等式及不等式的性质复习题
不等式及不等式的性质复习题不等式及不等式的性质中考要求不等式基本性质：基本性质１：不等式两边都加上(或减去) 同一个数(或式子) ，不等号方向不变．如果a >b ，那么a ±c >b ±c如果a基本性质２：不等式两边都乘以(或除以) 同一个正数，不等号的方向不变．a b 如果a >b ，并且c >0，那么ac >bc (或>) c ca b 如果a 0，那么ac基本性质３：不等式两边都乘以(或除以) 同一个负数，不等号的方向改变．a b 如果a >b ，并且c如果a bc (或ax >b )易错点：不等式两边都乘(或除以) 同一个负数，不等号的方向改变．在计算的时候符号方向容易忘记改变．另外，不等式还具有互逆性和传递性．不等式的互逆性：如果a>b，那么bb．不等式的传递性：如果a>b，b>c，那么a>c．注意：⑴在不等式两边都乘以(或除以) 同一个负数，要改变不等号的方向．⑵在不等式两边不能乘以０，因为乘以０后不等式将变为等式，以不等式３＞２为例，在不等式３＞２两边都乘同一个数a 时，有下面三种情形：①如果a>0，那么3a>2a；②如果a=0时，那么3a=2a；③如果a一、不等式的基本概念【例1】用不等式表示数量的不等关系．⑴ a 是正数⑵ a 是非负数⑶ a 的相反数不大于1 ⑷ x 与y 的差是负数⑸ m 的4倍不小于8 ⑹ q 的相反数与q 的一半的差不是正数1⑺ x 的3倍不大于x 的⑻ a 不比0大 3【例2】用不等式表示：12⑴ x 的与6的差大于2；⑵ y 的与4的和小于x ； 351⑶ a 的3倍与b 的的差是非负数；⑷ x 与5的和的30%不大于-2． 2【例3】下列各式中，是一元一次不等式的为( )1A ．5x =10 B ．5x +y >10 C ．5x 2>10 D ．>2 E ．5x >10 x【例4】关于x 的某个不等式组的解集在数轴上表示为如图，则不等式组的解集为__________．【例5】用不等式表示下列数量关系（1）代数式4x +3的值不大于2；（2）m 和n 的和是非负数。
高三一轮复习数学 不等式的性质
不等式的性质一、学习目标:1．会比较两个数(式)的大小．2．掌握不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用二、重难点：重点：理解不等式的性质难点：会解一元二次不等式中的恒成立问题三、知识梳理知识点一两个实数比较大小的方法方法关系作差法作商法a>b a－b>0>1(a，b>0)或<1(a，b<0)a＝b a－b＝0＝1(b≠0)a<b a－b<0<1(a，b>0)或>1(a，b<0)自查自测1．已知P＝a2＋3a＋3，Q＝a＋1，则P与Q的大小关系为()A．P<Q B．P＝Q C．P>Q D．不能确定2．已知x≠0，则(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小关系为．3．比较两数的大小：7+1014.知识点二不等式的性质自查自测1．已知实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是()A．＜1B．ax＞ay C．x＋a＞y＋a D．x2＞y22．下列命题中，是真命题的是()A．如果ac>bc，那么a>b B．如果ac2>bc2，那么a>b C．如果>，那么a>b D．如果a>b，c>d，那么a－c>b－d 3．已知－1<a+b<2，－3<a－b<5，则3a－b的取值范围是．知识点三一元二次不等式的解法有两个相异的实数自查自测1.设x Rx x+-<成立的x的取值范围为∈，使不等式23202.不等式2340--+>的解集为x x【常用结论】1．倒数性质(1)a＞b，ab＞0⇒1＜1．(2)a＜0＜b⇒1＜1．(3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒＞．(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒1＜1＜12.分数性质若a>b>0,m>0,则(1)真分数性质:<r r;>K K(b-m>0).(2)假分数性质:>r r;<K K(b-m>0).3.分式不等式的解法(1)op op>0⇔opop>0(2)op op≥0⇔opop>0op≠0(3)op op>o≠0)⇔op op−>0自查自测1.不等式2301xx ->-的解集为()A ．3(,4-∞B ．2(,3-∞C ．2(,)(1,)3-∞+∞ D ．2(,1)32.下列不等式中，与不等式28223x x x +<++解集相同的是()A ．2(8)(23)2x x x +++<B ．282(23)x x x +<++C ．212238x x x <+++D ．223182x x x ++>+四、典例分析考点一不等式的性质考向1利用不等式的性质比较大小1．(多选题)已知实数a ，b ，c 满足c <b <a 且ac <0，则下列不等式一定成立的是()A ．ab >acB ．c (b －a )>0C ．ac (a －c )<0D ．cb 2<ab 22．(多选题)设b >a >0，c ∈R ，则下列不等式中正确的是()A ．a 12<b12B ．1>1C ．r2r2>D ．ac 3<bc 33．(2024·潍坊调研)()A ．若1＜1，则a 3＞b 3B 2a ＜2bC ．若ln a 2＞ln b 2，则2|a |＞2|b |D ．若tan a ＞tan b ，则a ＞b 4.已知a，b，c，d∈R，则下列不等式中恒成立的是()A.若a>b，c>d，则ac>bdB.若a>b，则ac 2>bc2C.若a>b>0，则(a −b)c>0D.若a>b，则a +c>b +c考向2利用不等式的性质求取值范围5．若－2<a <b <3，－2<c <0，则c (a －b )的取值范围是．6．设x ，y 为实数，满足2≤xy 2≤3，3≤2≤4，则55的最大值是．考点二分式不等式及高次不等式1.不等式K1r1≤1)A.x x ≤−2或xB.x x >−2x ≤−2或x ≥− D.x −2≤x2.已知关于x 的不等式B−1r1>0的解集是x <−1或x >a =考点三含参及综合类问题1.已知关于x的不等式ax2+(a−2)x−2≥0(a∈R).（1）若不等式的解集为{x|x≤−1或x≥2}，求a的值；（2）若不等式的解集只包含一个元素，求a的值和该不等式的解集.2.已知关于x的不等式x2−ax+b<0的解集为{x|2<x<3}，则关于x的不等式x2−bx+a<0的解集为()A.{x|2<x<3}B.{x|1<x<5}C.{x|2<x<5}D.{x|1<x<3}3.设a∈R，解关于x的不等式2x2+ax+2>0.4.若关于x的不等式(m−1)x2+(m−1)x+2>0的解集为R，求实数m的取值范围随堂检测1.若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则()A．x＋y≤1B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2D．x2＋y2≥12.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0).3.若对于−2≤m≤2，不等式mx>−mx−1<−m+5恒成则实数x是.4.已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是(）A．{a|－1≤a≤4}B．{a|－1<a<4}C．{a|a≥4或a≤-1}D．{a|－4≤a≤1}5.函数f(x)＝x2＋ax＋3.若当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围是.若当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，则实数x的取值范围是.。
不等式的性质基本不等式课件高三数学一轮复习
举题说法
不等式的性质
1 (1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一
定成立的是
( BCD
)
A．ac(a－c)＞0
B．c(b－a)＜0
【解C析．】c因b2为＜aa，b2b，c满足c＜a＜b，且Dac．＜a0b，＞所a以c c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b
3．已知 x＞1，则 x＋x－1 1的最小值为 ( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】因为 x＞1，所以 x－1＞0，所以 x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 (x－1)·x－1 1 ＋1＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2(x＝0 舍去)时等号成立，此时 x＋x－1 1取最小 值 3.
4．(多选)下列说法正确的是
()
A．若
x＜1，则函数 2
y＝2x＋2x1－1的最小值为－1
B．若实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值
是3
C．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 2a＋b＋ab＝6，则 2a＋b 的最大值是 4
D．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 a＋b＝2，则a＋a21＋b＋b21的最小值是 1
【解析】设 2α－β＝m(α＋β)＋n(αห้องสมุดไป่ตู้β)，则mm＋ －nn＝ ＝2－，1， 解得mn＝＝3212，，
所以 2α－β
＝12(α＋β)＋32(α－β).
因为 π＜α＋β＜54π，－π＜α－β＜－π3，所以π2＜12(α＋β)＜58π，－32π＜32(α－β)＜－π2，所
以－π＜12(α＋β)＋32(α－β)＜π8，即－π＜2α－β＜π8，所以 2α－β 的取值范围是－π，π8.
不等式的性质
65
25
(2) 2 3
2 6
3 6
归纳 不等式性质2：不等式两边同时乘 (或除以)同一个正数，不等号的方 向不变。 如果 a b，c 0 ，那么 ac bcΒιβλιοθήκη a b )。 (或 c c
新授
例2、利用不等式性质把下列不等式 x a ”或“ xa 变形为 “ ”的最简 形式：
探究 1、用“>”或”<”填空： (1) 5 3
5 2
3 2
52
3 2
(2) 1 3
1 2
3 2
1 3
33
归纳 不等式性质1：不等式两边同时加 (或减)同一个数(或式子)，不等号 的方向不变。
如果 a b ，那么 a c b c 。
新授
例1、利用不等式性质把下列不等式 xa 变形为 “x a ”或“ ”的最简 形式：
(1) x 7 6
x7 6
移项
x77 67 x 67 x 13
x 67
巩固 1、利用不等式性质把下列不等式 x a ”的形式： 变形为:“ x a ”或“ (1) 3 2 x (2) 3 x 1 2 x 2
探究 2、用“>”或”<”填空： (1) 6 2
小结
1、你学会了什么知识？ 1：加减不变方向
不等式的性质 2：乘除正数不变方向 3：乘除负数要变方向 2、你有什么体会？ 不等式的性质与等式性质的联系
作业
课本
P134
5、 6
/ 福建惠安墓碑石材厂家
会在您身边の///嗯//邱亚潇重重地点咯下头/当晚/邱亚潇就给许文坷打咯电话//许哥哥/您明天有空吗？/许文坷老实地回答道：/我明天休息/怎么咯？/邱亚潇胡扯道：/我料
高二数学不等式的性质3
作业
N=
1 1 1. 已知x、y均为正数，设M = ， x y 4
2. 教材P8习题6.1中第5、6题．
3. 海淀《素质训练与检测》第六章练 习1中的解答题．
x y
，试比较M和N的大小．
；
/ 助孕
flp493bej
“在一个遥远的小山村，有一个天真无邪的女孩，她的儿提时代同大家一样也是在妈妈的怀抱里度过的。虽然家里很穷，妈妈的爱却使她感到 很充实，她自以为是世界上最富有的小公主，然而，有一天，妈妈又给她生了个妹妹，为了延续香火，她的妈妈竟然不要她了„„后来，在一 位好心大叔的帮助下，她来到了黄土高坡，她的阿爹阿妈收养了她„„在她失去母爱父爱、到了人生最低谷的时候，她也曾想到过死，也许只 有死才是最好的解脱„„是她的阿爹阿妈把她从死神手中拉了回来，含辛茹苦地把她养大，供她上学，教她怎么做人„„”老师的声音哽咽了， 沉默良久，“一年前，她的阿爹不幸病故了。临终前，阿爹怕女孩留在黄土高坡受苦，终于把女孩的身世告诉了她，让女孩回家找她的亲生父 母„„原来她的亲爸爸竟然是送她来这儿的好心大叔„„乍一听到，女孩几乎就要疯了，她怎么也没有想到自己会有这样狠心的爹娘！后来， 女孩还是毅然决然地回到了养育了她十几年的黄土高坡。为了阿妈不再为她操劳，她放弃了考大学的理想，做了一名幼儿教师。她非常热爱这 份工作，愿意把自己的青春奉献给这片黄土地„„” 教室里掌声雷动，孩子们拍着小手喊着：“老师„„老师，我爱你！”我和妻子默默地站在教室的门前，泪眼相对„„她，就是我的女儿荷花！ 我的女儿长大了，成熟了。 离学校不远处便是刘大嫂的家，院子里堆满了刚刚收获的玉米棒子。刘大嫂正坐在那儿扒玉米。一见面，她便扔下手中的活计，热情地把我们 让进屋里。 房子虽然不大，收拾得却井井有条。刘大嫂又是倒水又是沏茶，问长问短的，忙活着要给我们去做饭。 “大嫂，我们刚刚吃过午饭„„”肖艳 急忙去阻止她。 她便抓起电话拨了号码，话机里传来了“对不起，您的电话欠费已停机”的回音。刘大嫂一时没了辙儿，急得团团转„„ 我急忙把我的手机递给她，她摇摇头说：“这玩意在我们这儿用不上„„说是没有什么号？我记不得了，反正打不通„„自从她阿爹去了不久 这电话就欠费了，五妮子说最近就把钱交上„„看来，煤厂的工钱还是拖欠着„„” 她让我们坐下来歇着，说是有点事她要到镇子里去一趟，说完，她便拿着一个小提篮跑出家门。 闲来无事，肖艳便拿起马扎到院子里扒起玉米棒子来。旅途的疲劳却使我打起了盹儿，不知不觉坐在椅子上睡着了。 不知过了多久，一阵机械声把我惊醒。我急忙走出屋子，看了看天色，这时太阳离西边的山尖大约还有一竿子高，一辆农用三轮车载着满满的 一车玉米棒子开进了大院。 “妈„„我们回来了„„”她喊着，跳下车，看到我爽朗地笑了：“原来是六叔六婶儿来了。” 我诧异地望着眼前的女孩，真让人不相信这个开车的假小子竟然是五妮子！ “六叔，我妈呢？” “你妈说去镇子里有点事，去了有一阵子功 夫了。”我说着便去帮她们卸车。 “狙，我去看看„„妈妈一定是去镇子里买东西了。”六丫头刚要走，大门外便传来了刘大嫂的说话声。 “来了来了„„六丫头快来接着你大叔和大婶儿。”话音未落，他们一起说笑着走进院子。 抬头望去，原来他就是山坡上遇见的牧羊人。五妮子接过他们手中的礼物，刘大嫂把买来的肉和青菜递给六丫头，向我介绍道：“他们就是孩 子们的大叔和大婶儿，和你大哥是本族，又是同辈，这些年多亏他照顾。现在刘兄弟是村里的村长，荷花的工作就是他操的心„„” 我握着他的手，一句话也说不出„„„ “来得早不如来得巧，今天是中秋节，正好被苏老弟赶上了，今天晚上，我们好好聚一聚„„”刘村长陪我在屋里说话，刘大嫂做起饭菜来。 是啊，今天是中秋节，我是有备而来的，过了这个中秋节，我就要带荷花回家了，这种父女分离的日子也该画上个句号了。
2024版高考数学总复习：不等式的性质与基本不等式教师用书
第四节不等式的性质与基本不等式考试要求：1．理解不等式的概念，掌握不等式的性质．2．掌握基本不等式푎 ≤푎+2(a >0，b >0)，能用基本不等式解决简单的最值问题．一、教材概念·结论·性质重现1．两个实数比较大小的依据(1)a －b >0⇔a >b .(2)a －b ＝0⇔a ＝b .(3)a －b <0⇔a <b .2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a .(2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c .(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ，a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d .(同向可加性)(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ，a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .(正数同向可乘性)(5)可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．(6)可开方性：a >b >0푎(1)a ＞b ，ab ＞0⇒ 3．基本不等式푎 ≤푎+2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中푎+2称为正数a ，b 的算术平均数，푎 称为正数a ，b 的几何平均数．4．利用基本不等式求最值已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2�(简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是�24(简记：和定积最大)．1．使用基本不等式求最值时，2．“当且仅当(1)푎2+ 22≥(a ，b ∈R )．(2) 푎+푎≥2(ab ＞0)(当且仅当a ＝b 时取等号)．(3)21푎+1≤푎 ≤푎+2≤a ＞0，b ＞0)．(4)若a ＞b ＞0，m ＞0，则 푎＜+�푎+�； 푎＞−�푎−�(b －m ＞0)．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变．(×)(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(×)(3)不等式a 2＋b 2≥2ab 与푎+2≥푎 成立的条件是相同的．(×)(4)函数f (x )＝sinx ＋4sin �的最小值为4.(×)2．设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是()A．a －c <b －d B．ac <bd C．a ＋c >b ＋dD．a ＋d >b ＋cC 解析：由同向不等式具有可加性可知C 正确．3．当x >0时，函数f (x )＝2��2+1有()A．最小值1B．最大值1C．最小值2D．最大值2B 解析：f (x )＝2�+1�≤x ＝1�(x >0)，即x ＝1时取等号，所以f (x )有最大值1.4．已知a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是()A．P ≤Q B．P <Q C．P ≥Q D．P >QA解析：不妨取a ＝b ＝12，则P －Q ＝14(x ＋y )2－12x 2－12y 2＝－14(x －y )2≤0，所以P ≤Q .5．若0＜a＜b，且a＋b＝1，将a，b，12，2ab，a2＋b2从小到大排列为_______________．a＜2ab＜12＜a2＋b2＜b解析：令a＝13，b＝23，代入2ab＝49，a2＋b2＝59，所以a＜2ab＜12＜a2＋b2＜b.考点1不等式的性质——基础性1．下列命题正确的是()A．若a>b，则1푎<1B．若a>b，则a2>b2C．若a>b，c<d，则a－c>b－dD．若a>b，c>d，则ac>bdC解析：对于A，若a>b，取a＝1，b＝－1，则1푎<1 不成立；对于B，若a>b，取a＝0，b ＝－1，则a2>b2不成立；对于C，若a>b，c<d，则a－c>b－d，正确；对于D，若a>b，c>d，取a＝1，b＝－1，c＝1，d＝－2，则ac>bd不成立．2．(多选题)对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为()A．若a>b，则ac<bcB．若ac2>bc2，则a>bC．若a<b<0，则a2>ab>b2D．若a>0>b，则|a|<|b|BC解析：当c＝0时，ac＝bc，A为假命题；若ac2>bc2，则c≠0，c2>0，故a>b，B为真命题；若a<b<0，则a2>ab且ab>b2，即a2>ab>b2，C为真命题；当a＝1，b＝－1时，|a|＝|b|，故D为假命题．3．(2022·济南质量检测)已知实数a，b，c满足a<b<c，且ab<0，那么下列各式中一定成立的是()A．푎 >푎�B．a(c－b)<0C．ac2>bc2D．ab(b－a)>0B解析：因为a<b<c，且ab<0，所以a<0<b<c.所以c－b>0，a<0，可得a(c－b)<0，选项B 正确；取a＝－1，b＝1，c＝2，则푎 <푎�，ac2<bc2，ab(b－a)<0，即选项A，C，D都不正确．4．已知实数b>a>0，m<0，则mb________ma， −�푎−�______ 푎.(填“>”或“<”)＜＜解析：因为b >a >0，m <0，所以b －a >0.因为mb －ma ＝m (b －a )<0，所以mb <ma .因为−�푎−�−푎＝<0，所以 −�푎−�< 푎.解决这类问题一是要充分利用不等式的性质，作差法比较两个代数式的大小．考点2利用基本不等式求最值——综合性考向1配凑法求最值(1)已知0＜x ＜1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________；23解析：因为0＜x ＜1，所以4－3x >0，所以x (4－3x )＝13·3�4−3�≤13＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，等号成立．(2)当�+�+1x ＝_______．4解析：��＋1＋9－1＝5，当且仅当�＋1＝x ＝4时，等号成立．(1)依据：基本不等式．(2)技巧：通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式，即符合(1)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1푎+1的最小值为_________．4解析：因为a ＋b ＝1，所以1푎+1＝+a ＋b a ＝b ＝12时，等号成立．(2)已知x ＋2y ＝xy (x >0，y >0)，则2x ＋y 的最小值为_________．9解析：由x＋2y ＝xy 得2�+1�＝1，所以2x ＋y ＝(2x ＋y +＝5＋2��+2��≥5＋2＝9，当且仅当2��＝2��，即x ＝y 时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为9.(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)．(2)把确定的定值(常数)变形为(1)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则푎�2的最大值为()A．8B．2C．18D ．16C 解析：因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以푎�2＝푎�4푎2+4푎�+�2＝14푎�+�푎+4≤＝18，当且仅当c ＝2a ＞0时，等号成立．(2)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是_________．45解析：方法一：由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x2＝1−�45�2，由x 2≥0，可得y 2∈(0，1]，则x 2＋y2＝1−�45�2＋y 2＝1+4�45�2＝154�2+≥15·2＝45，当且仅当y 2＝12，x 2＝310时，等号成立，故x 2＋y 2的最小值为45.方法二：4＝(5x 2＋y 2)·4y 2＝254(x 2＋y 2)2，当且仅当5x 2＋y 2＝4y 2＝2，即y 2＝12，x 2＝310，等号成立，故x 2＋y 2≥45，即x 2＋y 2的最小值为45.(1)消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，(2)如果出现多元的问题，(多选题)设正实数m ，n 满足m ＋n ＝2，则()A．1�+2�的最小值为22B．�+�的最小值为2C．��的最大值为1D．m 2＋n 2的最小值为2CD 解析：因为正实数m ，n 满足m ＋n ＝2，所以1�+2�＝m ＋n )×12＝123+��+≥123+＝3+222，当且仅当��＝2��且m ＋n ＝2，即m ＝22－2，n ＝4－22时取等号，A 错误；(�+�)2＝m ＋n ＋2��＝2＋2��≤2＋2×�+�2＝4，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，所以�+�≤2,即最大值为2，B 错误；由mn＝1,当且仅当m ＝n ＝1时取等号，此时��2取最大值12，C 正确；m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4－2mn ≥2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，即m 2＋n 2的最小值为2，D 正确．考点3利用基本不等式解决实际问题——应用性某公司生产的商品A ，当每件售价为5元时，年销售10万件．(1)据市场调查，价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x 元，公司拟投入12(x 2＋x )万元作为技改费用，投入�4万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m 至少应达到多少万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？解：(1)设商品的单价提高a 元，则(10－a )·(5＋a )≥50，解得0≤a ≤5.所以商品的单价最多可以提高5元．(2)由题意知，技术革新后的销售收入为mx 万元，若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满足mx ＝12(x 2＋x )＋�4＋50(x ＞5)即可，此时m ＝12x ＋34+50�≥234＝434，当且仅当12x ＝50�，即x ＝10时等号成立．故销售量m 至少应达到434万件时，才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和．(1)利用基本不等式解决实际问题时，的函数关系式，然后用基本不等式求解．1．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析()A．甲合适B．乙合适C．油价先高后低甲合适D．油价先低后高甲合适B解析：设甲每次加m 升油，乙每次加n 元钱的油，第一次加油x 元/升，第二次加油y元/升．甲的平均单价为��+��2�＝�+�2，乙的平均单价为2���+��＝2���+�.因为x ≠y ，所以�+�22���+�＝�2+�2+2��4��>4��4��＝1，即乙的两次平均单价低，乙的方式更合适．2．(多选题)(2022·枣庄期末)如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km，从P 点沿海岸线正东方向12km 处有一个城镇．假设一个人驾驶小船的平均行进速度为3km/h，步行的平均速度为5km/h，时间t (单位：h)表示他从小岛到城镇的时间，x (单位：km)表示此人将船停在海岸距点P 处的距离．设u ＝�2+4＋x ，v ＝�2+4－x ，则()A．函数v ＝f (u )为减函数B．15t －u －4v ＝32C．当x ＝1.5时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D．当x ＝4时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h AC 解析：因为u ＝�2+4＋x ，v ＝�2+4－x ，所以�2+4＝�+�2，x ＝�−�2，uv ＝4，则v ＝4�，其在(0，＋∞)上是减函数，A 正确；t ＝�2+43+12−�5＝�+�6+125−�−�10，整理得15t ＝u ＋4v ＋36，B 错误；15t ＝u ＋16�＋36≥2�·16�＋36＝44，当且仅当u ＝16�，即u ＝4时等号成立，则4＝�2+4＋x ，解得x ＝1.5，C 正确；当x ＝4时，t ＝253+85，t －3＝253−75＝105−2115＝500−44115＞0，则t ＞3，D 错误．3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元．8解析：每台机器运转x 年的年平均利润为��＝18－�25�而x >0，故��≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元．拓展考点绝对值三角不等式定理1如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立定理2如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.证明：|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|≤3×16＋2×14＝1，即|x ＋5y |≤1.证明绝对值不等式的3种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．(2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明．(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A．x ＋y ≤1B．x ＋y ≥－2C．x 2＋y 2≤2D．x 2＋y 2≥1[四字程序]读想算思若实数x ，y 满足x 2＋y2－xy ＝1不等式的性质、基本不等式、配方法的应用x 2＋y 2，xy ，(x ±y )2的关系转化与化归x ＋y ≤1；x ＋y ≥－2；x 2＋y 2≤2；x 2＋y 2≥11．构造不等式．2．代数换元．3．三角换元1．构造关于所求代数式的不等式．2．令x ＋y ＝t 消y ，依据关于x 的方程有解列不等式．3．求xy 的范围，把x ＋y ，x 2＋y 2看作关于xy 的函数．4．三角换元1.利用基本不等式可以实现积化和、和化积、和化和．2．三角代换的适用条件和新变元范围的确定思路参考：利用xy ，xy ≤�2+�22构造关于x ＋y ，x 2＋y2的不等式，解不等式求范围．BC 解析：由x 2＋y 2－xy ＝1，得(x ＋y )2－1＝3xy ，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x＝y 时，取等号，即当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确．由x 2＋y 2－xy ＝1，得(x 2＋y 2)－1＝xy ≤�2+�22，解得x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时取等号，所以C 正确．当x y x 2＋y 2＝23<1，D 错误．故选BC.思路参考：令x ＋y ＝t 消y ，依据关于x 的方程有解列不等式．BC 解析：令x ＋y ＝t ，则y ＝t －x ，代入x 2＋y 2－xy ＝1得关于x 的方程3x 2－3tx ＋(t 2－1)＝0，则Δ＝(－3t )2－4×3×(t 2－1)≥0，解得－2≤t ≤2，即－2≤x ＋y ≤2.令x 2＋y 2＝m ，则由x 2＋y 2－xy ＝1得xy ＝m －1，于是有m ≥2|m －1|，解得23≤m ≤2，即x 2＋y 2232，所以AD 错误，BC 正确．故选BC.思路参考：求xy 的范围，把x ＋y ，x 2＋y 2看作关于xy 的函数，求函数的值域得范围．BC解析：由xy ＋1＝x 2＋y 2≥2|xy |得xy ∈−13，1，则x 2＋y 2＝xy 232，(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ＝3xy ＋1∈[0，4]，即x ＋y ∈[－2，2]，所以AD 错误，BC 正确．故选BC.1．利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值，是求解最值问题的常用方法.其中常见的变形手段有拆项、并项、配式及配系数等．2．基于新课程标准，求最值问题一般要有对代数式的变形能力、推理能力和表达能力，本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．已知x ＞0，y ＞1，且x ＋2y ＝xy ＋1，则x ＋y 的最小值为_________．5解析：令x ＋y ＝t ，则x ＝t －y .将x ＝t －y 代入x ＋2y ＝xy ＋1，得t ＋y ＝ty －y 2＋1，即y 2＋(1－t )y ＋t －1＝0，Δ＝(1－t )2－4(t －1)＝t 2－6t ＋5≥0，得t ≤1(舍去)或t ≥5.故x ＋y 的最小值为5.课时质量评价(四)A 组全考点巩固练1．(2023·日照模拟)若a ，b ，c 为实数，且a <b ，c >0，则下列不等关系一定成立的是()A．a ＋c <b ＋c B．1푎<1C．ac >bc D．b －a >cA解析：对于A，因为a <b ，c ＝c ，所以由不等式的性质可得，a ＋c <b ＋c ，故A 正确；对于B，令a ＝－2，b ＝－1，满足a <b ，1푎>1，故B 错误；对于C，令a ＝－2，b ＝1，c ＝1，满足a <b ，c >0，但ac <bc ，故C 错误；对于D，令a ＝1，b ＝2，c ＝1，满足a <b ，c >0，但b －a ＝c ，故D 错误．故选A.2．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22��”的一个充分不必要条件是()A．x ＝y B．x ＝2y C．x ＝2且y ＝1D．x ＝y 或y ＝1C 解析：因为x >0，y >0，所以x ＋2y ≥22��，当且仅当x ＝2y 时，等号成立．故“x ＝2且y ＝1”是“x ＋2y ＝22��”的一个充分不必要条件．3．(2022·滨州三校高三联考)已知a >0，b >0，若不等式4푎+1≥�푎+恒成立，则m 的最大值为()A．10B．12C．16D．9D解析：由已知a >0，b >0，若不等式4푎+1≥�푎+ 恒成立，则ma ＋b )恒成立，转化成求y a ＋b )的最小值．y a ＋b )＝5＋4 푎+푎≥5＋2当且仅当a＝2b 时，等号成立，所以m ≤9.故选D.4．(多选题)已知1푎<1<0，则下列结论正确的有()A．a <b B．a ＋b <ab C．|a |>|b |D．ab <b 2BD 解析：由1푎<1<0，得b <a <0，所以a ＋b <0<ab ，|b |>|a |，b 2>ab .因此BD 正确，AC 不正确．5．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示，在AB 上取一点C ，使得AC ＝a ，BC ＝b，过点C 作CD ⊥AB 交圆周于点D ，连接OD .作CE ⊥OD 交OD 于点E ，则下列不等式可以表示CD ≥DE 的是()A．푎 ≥2푎푎+(a ＞0，b ＞0)B．푎+2푎 (a ＞0，b ＞0)≥푎+2(a ＞0，b ＞0)D．a 2＋b 2≥2ab (a ＞0，b ＞0)A解析：连接DB ，因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB ＝90°.在Rt△ADB 中，中线OD ＝퐴2＝푎+2.由射影定理可得CD 2＝AC ·BC ＝ab .所以CD ＝푎 .在Rt△DCO 中，由射影定理可得CD 2＝DE ·OD ，即DE ＝��2푂�＝푎푎+ 2＝2푎푎+.由CD ≥DE 得푎 ≥2푎푎+.6．(2023·济南模拟)若正数a ，b 满足ab ＝4，则1푎+9的最小值为_________．3解析：因为a ＞0，b ＞0，且ab ＝4，所以1푎+9≥21푎·9 ＝2×푎＝2×4＝3，当且仅当1푎＝9，即a ＝23，b ＝6时取“＝”，所以1푎+9的最小值为3.7．若a >0，b >0，则1푎+푎2＋b 的最小值为_________．22解析：因为a >0，b >0，所以1푎+푎2＋b ≥21푎·푎 2＋b ＝2＋b ≥22· ＝22，当且仅当1푎＝푎2且2＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立，所以1푎+푎2＋b 的最小值为22.8．已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是_________．3解析：由x 2＋2xy －3＝0，得y ＝3−�22�＝32�−12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32�−12x ＝3�2+32�≥23�2·32�＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.9．(2022·唐山模拟)已知a >0，b >0，c >0，d >0，a 2＋b 2＝ab ＋1，cd >1.(1)求证：a ＋b ≤2；(2)判断等式푎�+ ＝c ＋d 能否成立，并说明理由．(1)证明：由题意得(a ＋b )2＝3ab 푎+ 2＋1，当且仅当a ＝b 时，等号成立．解得(a ＋b )2≤4.又a >0，b >0，所以a ＋b ≤2.(2)解：不能成立．理由：a >0，b >0，c >0，d >0，由基本不等式得푎�+ ≤푎+�2++2，当且仅当a ＝c 且b＝d 时等号成立．因为a ＋b ≤2，所以푎�+ ≤1＋�+2.因为c >0，d >0，cd >1，所以c ＋d ＝�+2+�+2≥�+2+� >�+2＋1≥푎�+ ，故푎�+ ＝c ＋d 不能成立．B 组新高考培优练10．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则11+푎+44+的最小值为()A．1B．78C．98D．2C解析：因为a＋b＝3，所以(1＋a)＋(4＋b)＝8，所以11+푎+44+＝18[(1＋a)＋(4＋b＝185+4+1+푎+≥18×(5＋4)＝98，当且仅当4＋b＝2(1＋a)，即2a－b＝2，即a＝53，b＝43时等号成立．11．(2022·滨州联考)已知a>0，b>0，若不等式4푎+1≥�푎+ 恒成立，则m的最大值为() A．10B．12C．16D．9D解析：由已知a>0，b>0，若不等式4푎+1 ≥�푎+ 恒成立，则ma＋b)恒成立，转化成求y a＋b)的最小值．y a＋b)＝5＋4 푎+푎 ≥5＋2当且仅当a ＝2b时，等号成立，所以m≤9.故选D.12．(多选题)(2023·重庆模拟)已知正实数a，b，c满足a2－ab＋4b2－c＝0，当�푎 取最小值时，下列说法正确的是()A．a＝4bB．c＝6b2C．a＋b－c的最大值为34D．a＋b－c的最大值为38BD解析：对于A，由a2－ab＋4b2－c＝0，得c＝a2＋4b2－ab，则�푎 ＝푎 +4 푎－1≥2－1＝3，当且仅当푎 ＝4푎，即a＝2b时等号成立，故A不正确；对于B，当�푎 取最小值时，由�푎 =3，푎=2 ，得c＝6b2，故B正确；对于C，D，a＋b－c＝2b＋b－6b2＝－6b2＋3b＝－6＋38≤38，当且仅当a＝12，b＝14，c＝38时等号成立，所以(a＋b－c)max＝38，故C不正确，D正确．13．若不等式1�+11−4�－m≥0对x∈0m的最大值为()A．7B．8C．9D．10C解析：将不等式化为1�+11−4�≥m，只需当x∈0m+即可．由1�+11−4�＝+x＋1－4x)＝4＋1−4��+4�1−4�＋1≥5＋2＝5＋4＝9，当且仅当x ＝16时，等号成立，故m ≤9.故m 的最大值为9.故选C.14．(2022·贵阳模拟)已知正实数x ，y 满足等式1�+3�＝2.(1)求xy 的最小值；(2)若3x ＋y ≥m 2－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)2＝1�+3�≥2xy ≥3，当且仅当x ＝1，y ＝3时等号成立，所以xy 的最小值为3.(2)3x ＋y ＝12(3x ＋y＝126+9��≥126+x ＝1，y ＝3时等号成立，即(3x ＋y )min ＝6，所以m 2－m ≤6，所以－2≤m ≤3.15．已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a 元时，生产x 件产品的销售收入是R (x )＝−14�2＋500x (单位：元)，P (x )为每天生产x 件产品的平均利润(平均利润＝总利润÷总产量)．销售商从工厂每件a 元进货后又以每件b 元销售，b ＝a ＋λ(c －a )，其中c 为最高限价(a ＜b ＜c )，λ为销售乐观系数．据市场调查，λ由当b －a 是c －b ，c －a 的比例中项时来确定．(1)每天生产量x 为多少时，平均利润P (x )取得最大值？求P (x )的最大值．(2)求乐观系数λ的值．(3)若c ＝600，当厂家平均利润最大时，求a 与b 的值．解：(1)依题意，总利润为－14x 2＋500x －100x －40000＝－14x 2＋400x －40000，所以P (x )＝−14�2+400�−40000�＝－14x －40000�＋400≤－200＋400＝200.当且仅当14x ＝40000�，即x＝400时，等号成立，故每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元．(2)由b ＝a ＋λ(c －a )得λ＝−푎�−푎.因为b －a 是c －b ，c －a 的比例中项，所以(b －a )2＝(c －b )(c －a )，两边除以(b －a )2，得−푎·�−푎−푎＝−1·�−푎−푎，所以−1·1�，解得λ＝5−12.(3)由(1)知，当x ＝400时，厂家平均利润最大，所以a ＝40000�＋100＋P (x )＝40000400＋100＋200＝400(元)．每件产品的利润为b －a ＝λ(c －a )＝100(5－1)，所以b ＝100(5＋3)，所以a ＝400，b ＝100(5＋3)．。
不等式的性质(复习课)
定理5 补充
若a＞b＞0 则n a ＞n b (n ∈N且 n＞1)
11
若a＞b且ab＞0 则 ＜
ab
定理：若a、b∈R，那么 a2+b2≥2ab （当且仅当a=b取“=”）
定理：如果是a、b正数，那么
a
2
b
≥
a b（当且仅当a=b取“=”）
（1） 两个定理中条件的区别 （2）两个定理的结构特征及应用 （3）要注意“=”的取到，事实上在“=”处是一种边界情况
v
2两火车的间距不得ຫໍສະໝຸດ 于 2 0 千米，那么这批物资全部到
达灾区最少需要 （ B ）小时
（A） 5 （B）10 （C）15 （D）20
；
安全柜 ；
之色/马开那双凌厉の眸子所过之处/这些人忍不住后退壹步/到最后开始溃败咯起来/马开就站在那里/以壹双眼睛/逼の这些人四处逃窜/这种威势/让为首の几佫人惊恐不已/就算荒原の最出名の凶人/都不可能凭借着目光让这些久经战斗の人溃败/可面前这佫少年做到咯/几佫人在见到马开目光落 在它们身上后/它们也再无战意/随着众人壹起逃离/钟薇见到这壹幕/忍不住向马开の侧脸/马开此刻の侧脸拾分坚毅/这种坚毅/让她の有些呆滞/感受到马开身体传来の温热/钟薇那绝美の脸蛋上/飘扬起无端の绯红/醉人美艳/"再坚持几滴/就能到器宗の实力范围咯/到时候/我们就安全咯/"马开背 着钟薇/对着她说道/"嗯/"钟薇点头道/"不过刀疤皇从那壹战后/就壹直没有出现/它见过你身上の不少好东西/肯定不会放过你/怕确定还有什么算计/它能有什么算计?无非确定找壹些强悍の人围杀我/"马开回答道/"它不来倒好/来の话先杀咯它/你不要轻敌/它见过你青莲の恐怖/要确定它还敢再来 /肯定会有把握/"钟薇对马开说道/&
2.1 不等式的基本性质课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第二章不等式
A．x2＞y2
B．ax＞ay
C．x＋5＞y＋5
D．x＋2y＞3y
【解析】 B选项中，当a＝0时，ax＝ay，故选项B不成立．
2．a、b、c 为实数，且 c≠0，下列命题中正确的是( D ) A．a＞b⇒ac＞bc B．ac＜bc⇒a＜b C．a＞b⇒1a＜1b D．a＞b⇒ca2＞cb2 【解析】 利用不等式的性质或举反例进行判断，取 a＝2、b＝－1、c＝－1 来检验，对 A 有ac＜bc，故 A 错；对 B 有 a＞b，故 B 错；对 C 有a1＞1b，故 C 错；对 D，∵ c≠0，∴ c12＞0，由不等式的性质知，选项 D 正确．
【融会贯通】 比较大小． (1)( 2＋ 3)2 与 4＋2 6； (2)2x2＋5x＋6 与(x＋3)(x＋2)，x∈R. 解：(1)∵( 2＋ 3)2－(4＋2 6)＝(5＋2 6)－(4＋2 6)＝1＞0，∴( 2＋ 3)2 ＞(4＋2 6)． (2)∵(2x2＋5x＋6)－(x＋3)(x＋2)＝(2x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋6)＝x2≥0， ∴(2x2＋5x＋6)≥(x＋3)(x＋2)．
2.1 不等式的基本性质
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5
1．不等式的概念 用不等号“≠、＞、＜、≥、≤”表示不等关系的式子叫做不等 式．如：f(x)＞g(x)，f(x)≤g(x)，等等．
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5
2．几个恒不等式 任意实数的平方不小于0，即a2≥0. 任意实数的绝对值不小于0，即|a|≥0.
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【解析】 根据不等式的性质可知，a＞3 且 b＞3⇒a＋b＞6 成立，a＞3 且 b
不等式的基本性质复习材料
不等式的基本性质复习材料概述本文档旨在复不等式的基本性质，包括不等式的定义、性质和解不等式的方法。
通过掌握这些基本概念和技巧，您将能够更好地应用不等式解题和问题分析。
不等式的定义不等式是数学中描述不等关系的符号集合。
通常使用的不等式符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
例如，如果一个数大于另一个数，则可以表示为$a > b$。
不等式的性质不等式具有以下基本性质：- 传递性：如果$a > b$且$b > c$，则必有$a > c$。
类似地，对于小于不等式也成立。
- 加法性：如果$a > b$，则对于任何正数$c$，都有$a + c > b +c$。
同样，对于小于不等式也成立。
- 乘法性：如果$a > b$且$c > 0$，则$a \cdot c > b \cdot c$。
同样，如果$a < b$且$c < 0$，则$a \cdot c > b \cdot c$。
解不等式的方法解不等式的方法取决于不等式的类型和条件。
以下是常见的解不等式方法：一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个变量的一次方程。
解这类不等式一般有以下步骤：1. 用基本性质将不等式转化为标准形式，即将所有项移到一边，使得不等式为0。
2. 判断不等式符号的转向，根据条件判断变号情况。
3. 根据不等式的解集表示形式（如区间表示法）给出最终解。
一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个变量的二次方程。
解这类不等式一般有以下步骤：1. 用基本性质将不等式转化为标准形式，即将所有项移到一边，使得不等式为0。
2. 将二次项系数归一化为1，保持方程不等号方向不变。
3. 求出二次方程的根，并将数轴划分为相应的区间。
4. 根据区间和不等式符号的转向，找出满足不等式的解集。
绝对值不等式绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
解这类不等式一般有以下步骤：1. 根据绝对值的定义将绝对值不等式转化为两个不等式。
不等式复习
4．用基本不等式求最值应注意：一“正”、二“定”、三 “相等”三个条件．一“正”是指函数式中，各项（必要时， 还要考虑常数项）必须都是正数，如不是，则进行变号转换； 二“定”是指函数式中，含变量的各项和或积必须是常数， 才能利用基本不等式求最值；如不是，则进行拆项或分解， 务必使不等式的一端的和或积为常数；三“相等”是指函数 式中，含变量的各项相等，才能利用基本不等式求最值．即 相等时，变量字母有实数解，且解在定义域内．否则说明拆 项、分解不当，应重新拆项、分解或改用其他方法．
(x 2)(3 x) 0
6、求不等式组 x 4 0
的解集.
10、对于任意实数x，不等式(a-2)x2 -2(a-2)x-4<0 恒成立，则实数a的取值范围是__________。
11、解关于x的不等式： (x+a)(x-2a+1)<0
5、求不等式 3(x 2 1) 10 x 的正整数解集；
a b a b 0； a b a b 0； a b a b 0
（2）作差比较法是比较两个实数（代数式）大小的基本 方法，它的一般步骤是：①作差；②变形；③判断．
4．用不等式的性质求变量的范围时，是通过同向不等式相 加或相乘来完成的．如果是有等号的，还应注意两端能否取 “=”．
一、不等式的基本性质
1、若a＜b＜0，则下列不等式中，不能成立的是 （）
（A）1＞
1
（B）
1 ＞ （C）|a|＞|b|（D）a2＞b2
a b ab
2、已知
a、b、c、d均为实数，且ab 0， c d ab
则下列不等式中成立的是（ ）
1．不等式的性质是进行不等式的证明和解不等式的依据，它 们都是不等式同解变形的基础．
不等式性质证明复习
不等式的性质和证明1. 不等式的性质是证明不等式和解不等式的依据.样 由不等式性质定理4的推论2和定理5可得: 如果a 、b ∈ R +, 那么a > b ⇔ a n > b n (n ∈N), 在比较分数指数幂或根式的值的大小时常用.2. 比较法是证明不等式最基本的方法. 比较法的主要步骤是: 作差、变形、判断符号. 变形中常用到因式分解和配方, 其目的是便于判断正负. 比较某些分式、指数式或绝对值等的大小有时用作商比较方便一些.3. 分析法与综合法是证明命题(包括不等式、恒等式、定理等)时常用的两种方法, 主要由证明的思路和表述方式来区分.(1) 分析法是从求证的结论J 出发, 逐步分析能使结论成立的充分条件, 直到所需条件可由题设T 判明正确时, 就可断定原结论正确, 即: J ⇐ …… ⇐ T ，∵T 为真，∴J 成立. 用分析法证题时要特别注意不能省略反映逻辑推理过程的连结字或符号. 如果每一步都是使结论成立的充要条件, 就可用符号“⇔”表述(参看教材22页例3).(2) 综合法是由已知条件T 出发, 利用定义、公理、定理(如基本不等式)等，推出要证明的结论J ，即：T ⇒ ……… ⇒ J.(3) 具体证题时常采用“分析法找(思)路, 综合法表述”的论证方式.4. 熟记三个重要不等式及其中字母的取值范围, 在证明其它不等式时若能直接引用则可简化论证过程. 特别要重视“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的灵活运用.5. 同向不等式两边分别相加或相乘是用综合法证明不等式的常用手段, 经常与应用重要不等式结合使用. 注意相乘时需要两边都是正数.6. 证明不等式的常用技巧有: 变量代换(例如三角代换), 同向放缩等.7. 证明不等式还可用数学归纳法、反证法等其它方法.8. 求函数f (x) 的最值的基本步骤是: (1) 论证f (x) ≥ m (或f (x) ≤ m );(2) 说明当x 取定义域内的某些值时相等能够成立. 9. 第10页例1中的结论是求最值的常用工具:(1) 如果两个正变量的和为常数, 那么当且仅当这两个变量相等时它们的积取最大值; (2) 如果两个正变量的积为常数, 那么当且仅当这两个变量相等时它们的和取最小值.例1 已知a > b 且ab ≠ 0, 比较a 1和b1的大小.解 ∵a 1 - b1 = ab a b -, 且a > b ⇔ b - a < 0,∴ 当ab > 0时ab a b -< 0, a 1 < b1;当ab < 0时ab a b -> 0, a 1 > b 1(也可由a > 0 > b 得a 1 > 0 > b1 ).综上所述, 当a > b > 0或b < a < 0时a 1 < b 1, 当a > 0且b < 0时a 1 > b1. 例2. 已知a ≠ b, a 、b 、m 、n ∈ R + 且m + n = 1, 试比较nb ma + 与a m + b n 的大小.解 设P =nb ma +, Q =a m + b n .∵a 、b 、m 、n ∈ R +, ∴ P > 0, Q > 0.∵m + n = 1, ∴P 2 = ma + nb = (ma + nb)(m + n),P 2 - Q 2 = (ma + nb)(m + n) - (a m + b n )2 = mn(a - b )2 ,∵ a ≠ b, ∴P 2 - Q 2 > 0, P > Q,nb ma + > a m + b n .例3. 若 a > 2, 证明 log a (a - 1) < log a+1 a .证明 设c = log a (a - 1) - log a+1 a = log a (a - 1) -)1(log 1+a a =)1(log 1)1(log )1(log +-+-a a a a a a ,∵a >2, log a (a + 1) > 0, log a (a - 1) > 0,log a (a - 1) log a (a + 1) = ()1(log )1(log +-a a a a )2 < (21( log a (a - 1) + log a(a + 1)))2= (21log a (a 2 - 1))2 < (21log aa 2 )2 (同向放缩) = 1,∴ c < 0, log a (a - 1) < log a+1 a . 也可用作商比较法.例4. 设a 、 b 、c ∈ R +, 且a + b + c = 1, 证明a +b +c ≤3 .证明 ∵a 、 b 、c ∈ R +, 且a + b + c = 1,要证a +b +c ≤ 3,只需证 a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ≤ 3, 即证 2ab + 2bc + 2ca ≤ 2(a + b + c),∴只需证 (a -b )2 + (b -c )2 + (c -a )2 ≥ 0 ①, ∵不等式①成立, ∴a +b +c ≤ 3.例5. 1. 已知x, y ∈ R + 且x + 2y = 1, 求 x1 + y 1 的最小值. 请指出下面两种解法中哪一种是错误的, 为什么?解法一 由1 = x + 2y ≥ 2xy 2得xy 1 ≥ 22, ∴ x 1 + y 1 ≥xy2 ≥ 42,∴x1 + y 1的最小值是42.解法二 ∵x, y ∈ R + 且x + 2y = 1, ∴ x 1 + y 1= (x + 2y)(x1 + y 1) = 3 + x y2 + y x ≥3 + 22, 当且仅当xy 2 = y x即x =2 - 1, y = 1 -22 时相等成立, ∴ x1 + y 1 的最小值是3 + 22.例6. 设lg x + lg y = 1, 求2x + 5y 的最小值.例6. 由题设知x > 0, y > 0且xy = 10, ∴2x + 5y ≥ 2xy 10 = 20, 当且仅当2x = 5y 时相等成立, 此时x ∙52x = 10, x = 5, y = 2. 高考题精选1.（03京春）设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是（ ） A.a +c >b +d B.a －c >b －d C.ac >bdD.cbd a > 2.（01京春）若实数a 、b 满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是（ ） A.18 B.6 C.23 D.243 6.（01上海春）若a 、b 为实数，则a >b >0是a 2>b 2的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件 3.（00全国）若a ＞b ＞1，P ＝b a lg lg ⋅，Q ＝21（lg a ＋lg b ），R ＝lg （2b a +），则（ ） A.R ＜P ＜Q B.P ＜Q ＜RC.Q ＜P ＜RD.P ＜R ＜Q4.（94上海）若0＜a ＜1，则下列不等式中正确的是（ ） A.（1－a ）31＞（1－a ）21 B.log 1－a （1＋a ）＞0 C.（1－a ）3＞（1＋a ）2D.（1－a ）)1(a +＞15.(04湖北) 若011<<ba ，则下列不等式: ①ab b a <+； ②|;|||b a > ③b a <； ④2>+baa b 中，正确的不等式有 （ ）BA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．(05重庆) 若x ，y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是 （ ）CA ．3B ．27 C ．4 D ．297. 设a = sin 15º + cos 15º, b = sin 16º + cos 16º, 下面各式中正确的一个是 ( )(A) a <222b a +< b (B) a < b < 222b a + (C) b < a <222b a + (D) b <222b a +< a .1.A ∵a >b ，c >d ，∴a +c >b +d .2.B 3a +3b ≥2b a b a +=⋅3233=6，当且仅当a =b =1时取等号.故3a +3b 的最小值是6.3.B ∵lg a ＞lg b ＞0，∴21（lg a ＋lg b ）＞b a lg lg ⋅，即Q ＞P ，又∵a ＞b ＞1，∴ab b a >+2，∴21lg )2lg(=<+ab b a （lg a ＋lg b ），即R ＞Q ，∴有P ＜Q ＜R ， 4. A. 因为0＜a ＜1，所以0＜1－a ＜1，而指数函数y =m x （m ＞0，m ≠1）在0＜m ＜1时，是减函数，则（1－a ）31＞（1－a ）21，故选A.1. 已知a 、 b 、c 是不全相等的正数, 求证：ab +bc +ca < a + b + c . 证明 ∵a 、 b 、c ∈ R +, ∴ab ≤ 2b a + ①,bc ≤ 2c b + ②,ca ≤ 2a c + ③ .又∵a 、 b 、c 不全相等, ①、②、③中的等号不能同时成立, ∴ab +bc +ca < a + b + c .。
高考数学一轮复习《不等式的性质》综合复习练习题(含答案)
高考数学一轮复习《不等式的性质》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．已知01,0a b <<<，则下列大小关系正确的是（ ） A ．21ab a b << B ．21ab a b << C ．21ab a b << D ．21a b ab <<2．如果a bc c>，那么下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．22ac bc >B ．a b >C ．a c b c ->-D ．ac bc >3．如果,,,R a b c d ∈，则正确的是（ ） A ．若a >b ，则11a b <B ．若a >b ，则22ac bc >C ．若a >b ，c >d ，则a +c >b +dD ．若a >b ，c >d ，则ac >bd4．若a >b ，c >d ，则下列不等式中一定正确的是（ ） A ．a d b c +>+ B ．a d b c ->- C ．ad bc >D ．a b d c> 5．若,R a b ∈，下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则22a b > B ．R c ∈，若a b >，则22ac bc > C ．若33a b ->-，则a b <D ．0a ≠，0b ≠，若a b >，则11a b <6．已知,a b R ∈且满足1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是（ ）A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]7．若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b<B ．ac bc >C ．()20a b c -≥D ．b c ba c a+>+ 8．设a ，b ∈R ，0a b <<，则（ ） A ．22a b <B ．b a a b> C ．11a b a>- D ．2ab b >9．若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．1423b b b b +≤+B ．4132b b b b ≤--C ．3124a a a a ≥D ．3124a a a a ≤10．设0a b <<，给出下列四个结论：①a b ab +<；②23a b <；③22a b <；④a a b b <.其中正确的结论的序号为（ ） A ．①②B ．①④C ．②③④D ．①②③11．若向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且222a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最大的是（ ） A ．a b ⋅B ．b c ⋅C ．a c ⋅D ．不能确定12．已知0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．n 0()l a b ->B2C ．a b b a >D ．114a b+>二、填空题13．已知25,21a b a b ≤+≤-≤-≤，则3a b -的取值范围是___________.14．若2312a b <<<<，，则2a b -的取值范围是____． 15．已知12,03a b ≤≤≤≤，则2+a b 的取值范围为__________． 16．若23a -<<，12b <<，则2a b -的取值范围是____________．三、解答题17．比较（x －2）（x －4）与（x －1）（x －5）的大小关系．18．求解下列问题：(1)已知a ∈R ，比较()()37a a ++和()()46a a ++的大小； (2)已知0x y <<，比较1x与1y 的大小.19．（1）已知022a b <-<，123a b <+<，求a b +的取值范围； （2）已知x ，y ，z 都是正数，求证：222x y z xy xz yz ++≥++．20．对于四个正数m n p q 、、、，若满足mq np <，则称有序数对(),m n 是(),p q 的“下位序列”． (1)对于2、3、7、11，有序数对()3,11是()2,7的“下位序列”吗？请简单说明理由；(2)设a b a d 、、、均为正数，且(),a b 是(),c d 的“下位序列”，试判断a c a c b d b d ++、、之间的大小关系．21．请选择适当的方法证明. (1)已知0a >，0b >，且ab ，证明：3322a b a b ab +>+；(2)已知x ∈R ，22a x =-，23b x =-+，证明：a ，b 中至少有一个不小于0.22．已知关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为A ，集合(2,3)B =． (1)若A B ⊆，求实数a 的取值范围； (2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围．23．求证下列问题：(1)已知a b c ，，均为正数，求证:bc ac aba b c++a b c ≥++. (2)已知0xy >，求证: 11x y>的充要条件是x y <.24．已知定义在R 的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足：()()3x f x g x +=． (1)求(),()f x g x ，并证明：22()()(2)f x g x f x +=；(2)若存在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式2(2)2()10f x ag x ++≤成立，求实数a 的取值范围。
高考数学总复习 不等式的概念与性质
高考数学总复习 不等式的概念与性质一．不等式的概念：1、 不等式的意义：a>b ⇔a-b>0；a=b ⇔a-b=0；a<b ⇔a-b<0.2、 同向不等式：如果两个不等式中，每一个的左边都大于（或小于）右边，则这两个不等式称为同向不等式。
3、 异向不等式：如果两个不等式中，一个是左边大于右边，一个是左边小于右边，则这两个不等式称为异向不等式。
二、不等式的性质：(1)反对称性：若a>b,则b<a ；若b<a,则a>b.(2) 传递性：若a>b,b>c,则a>c.(3)同加原理：若a>b,则a+c>b+c.(4)同向相加原理：若a>b,c>d,则a+c>b+d.(5）同乘原理：若a>b,c>0,则ac>bc ；若a>b,c<0,则ac<bc.(6)同向相乘原理：若a>b>0,c>d>0,则ac>bd.(7)乘方原理：若a>b>0,则a n >b n .(8)开方原理：若a>b>0,则n n b a >.(9)倒数原理：若a>b>0，则b a 11<；若b<a<0,则ba 11<. 注意：（1）不等式的性质是解（证）不等式的基础，对任意两实数a,b,有：a>b ⇔a-b>0；a=b ⇔a-b=0；a<b ⇔a-b<0.这既是比较大小的理论依据，也是学习不等式的基础。
（2）对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件与结论之间的相互联系。
（3）不等式的性质应用于证明不等式，往往是从条件推出结论的变换关系，而解不等式则要求等价变形。
第三章__不等式小结复习
当判别式△=b2-4ac>0时
不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为 {x | x x1或x x 2 } 不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集为 {x | x1 x x 2}
大于符号取两边
小于符号取中间
y
O
y
x1 x2 x
Ox 1
x2
x
例1. 解下列一元二次不等式
1）x2-3x+2>0 2）x2-x-1<0 3）-2x2+3x+20 4）x(1-x)>x(2x-3)+1
O
y
4
2x+y-4=0
2
x
二元一次不等式组表示的平面区域
二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等 式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平 面区域的公共部分. y 例2 画出不等式组 x-y+5=0 x+y=0 5
x y 5 0 x y 0 x 3
O
3
x
表示的平面区域. x=3
x 2 y 8, 4 x 16, 在线性约束条件 4 y 12, 下， x 0, y 0.
求（1）目标函数 z x 2 y 的最大值； （2）目标函数 z x y 的最大值和最小值.
y
4
x y 0
B
x 2y 0
2
O
x
ax+by+c>0 ax+by+c≥0
二元一次不等式ax+by+c≥0在 平面直角坐标系中表示的平面区域 包括边界，把边界画成实线.
高考数学(不等式)第一轮复习
高考数学（不等式）第一轮复习资料知识小结不等式的性质1．两个实数比较大小的依据：0a b -> ⇔ a b > 0a b -= ⇔ a b = 0a b -< ⇔ a b <2．反对称性：如果a b >，那么b a <；如果a b <，则b a >． 3．传递性：如果a b >，且b c >，那么a c >． 4．加法性质：如果a b >，那么a c b c +>+． 推论1：如果a b c +>，那么a c b >-． 推论2：如果a b >，c d >，那么a c b d +>+． 推论3：如果a b >，c d >，那么a d b c ->-． 5．乘法性质：如果a b >，0c >，那么ac bc >； 如果a b >，0c <，那么ac bc <． 推论1：如果0a b >>，0c d >>，那么ac bd >． 推论2：如果0a b >>，那么n n a b >(n N ∈，且1)n >．推论3：如果a b >，0ab >，那么11a b<． *推论4：如果0a b >>，0c d >>，那么a bd c>．6．开方性质：如果0a b >>>(n N ∈，且1)n >．7．222a b ab +≥(,)a b R ∈；a b +≥(,0)a b >． 注：⑴ 当且仅当a b =时取到等号；⑵ 222a b ab +≤；2()2a b ab +≤．8．绝对值不等式的性质：||||||||||-≤±≤+．a b a b a b不等式的解法：1．一元一次不等式：2、一元二次不等式：3.高次不等式：穿线法：例如：23()(3)(1)(1)(2)(5)0f x x x x x x =++--->第1步：将()f x 的最高次项的系数化为正数，并分解为若干一次因式的乘积，即： 0)5()2)(1()1)(3(32<---++x x x x x第2步：将方程()0f x =的根标在数轴上，并从右上方依次穿过各点画曲线，且奇穿过，偶回头。
2023年新高考数学一轮复习2-1 不等式的性质及常见不等式解法(知识点讲解)解析版
专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．结合集合，考查不等式的概念、性质，结合作差法，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．2．结合函数的图象，考查不等式的解法，凸显直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）不等式的性质1．实数的大小(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.2．不等关系与不等式我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式.3.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．*(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．4．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．5．求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时．一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．6.不等式性质(1)对称性：a>b⇔b<a.(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c.(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c.(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc.(5)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.(7)乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)．(8)开方法则：a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2)．（二）不等式的解法1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．*2．分式不等式的解法定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x 的多项式的不等式称为分式不等式.f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )__>__0，f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )__<__0. f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )g (x ) ≥ 0，g (x )≠0. ⇔f (x )·g (x )__>__0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )＝0g (x )≠0. f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )·g (x ) ≤ 0，g (x )≠0⇔f (x )·g (x )__<__0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝0g (x )≠0. 3．简单的高次不等式的解法高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.解法：穿根法①将f (x )最高次项系数化为正数；②将f (x )分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；④观察曲线显现出的f (x )的值的符号变化规律，写出不等式的解集．4．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．（三）绝对值不等式1．绝对值不等式的解法（1）形如|ax ＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．（2）形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式①绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集②|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax＋b≤c (c>0)，|ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)．2. 绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立．（四）几条常用结论1．倒数性质的几个必备结论(1)a >b ，ab >0⇒1a <1b. (2)a <0<b ⇒1a <1b. (3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a. 2．两个重要不等式若a >b >0，m >0，则(1)b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m(b －m >0)． (2)a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m >0)． 【常考题型剖析】题型一 用不等式表示不等关系例1. （2010·浙江·高考真题（文））某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值_______【答案】20【解析】【详解】把一月份至十月份的销售额相加求和,列出不等式,求解.七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2.所以一月份至十月份的销售总额为:3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2,所以x min =20.【规律总结】用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示． 题型二：比较数或式子的大小例2.（2022·全国·模拟预测（理））已知10a b a >>>，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b b a -⎛⎫> ⎪⎝⎭ B ．log log a a b ba b < C ．log log a b b a a b < D ．11b a a b-<- 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】 因为10a b a>>>，所以1a >， 对于A ：01b a <<，0a b ->，所以01a b b b a a -<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，故A 错误； 对于B ：1a b>，所以log a b y x =在(0,)+∞上为增函数， 又a b >，所以log log a a b b a b>，故B 错误； 对于C ：log log log log log a b a a a b a b b b b a b a ab -=+=， 因为1a b>，1ab >，所以log log 10a a b b ab =>， 所以log log a b b a a b >，故C 错误；对于D ：11111()ab b a b a a b a b b a ab -⎛⎫⎛⎫---=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0a b ->，1ab >， 所以111()0ab b a a b a b ab -⎛⎫⎛⎫---=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11b a a b -<-，故D 正确. 故选：D例3.比较大小：(1)比较x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的大小；(2)设a ∈R 且a ≠0，比较a 与1a的大小． 【答案】见解析【解析】 (1)x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0，∴x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)．(2)由a －1a ＝(a －1)(a ＋1)a当a ＝±1时，a ＝1a； 当－1＜a ＜0或a ＞1时，a ＞1a； 当a ＜－1或0＜a ＜1时，a ＜1a. 【领悟技法】1.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．题型三：不等式性质及其应用例4.（2022·上海·高考真题）已知a b c d >>>，下列选项中正确的是（ ）A ．a d b c +>+B ．a c b d +>+C ．ad bc >D ．ac bd >【答案】B【解析】【分析】用不等式的基本性质得解.【详解】3210>>>，但3021+=+，3021⨯<⨯，A 、C 错a b c d >>>，,a c b d ∴>>，所以a c b d +>+.B 正确.30212>>->-，但()()30122⨯-<⨯-，D 错.故选:B.例5.（2014·四川·高考真题（文））若0,0,a b c d >><<则一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c< 【答案】D【解析】【详解】本题主要考查不等关系．已知0,0a b c d >><<,所以110d c->->，所以a b d c ->-，故a b d c <．故选D 例6.【多选题】（2021·河北高三二模）若实数a ，b 满足43a a b <，则下列选项中一定成立的有（ ） A ．22a b <B ．33a b <C ．1a b e -<D ．ln 0a b ⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】AD【解析】根据条件，可得0a b >>或0b a >>，逐一分析四个选项，即可得答案.【详解】因为43a a b <，所以3()0a a b -<， 所以300a a b ⎧<⎨->⎩或300a ab ⎧>⎨-<⎩，所以0a b >>或0b a >>，所以22b a >，故A 正确；若0a b >>，则33a b >，故B 错误；若0a b >>，则0a b ->，所以1a b e ->，故C 错误；因为0a b >>或0b a >>，所以01a b <<， 所以ln 0a b ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD【规律总结】1．判断不等式的真假．(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例．2．证明不等式(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．3．求取值范围(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．4．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．题型四：不等式的解法例7．（2020·全国·高考真题（理））设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a -=，解得：2a =-. 故选：B.例8.（广东高考真题（理））不等式的解集为 . 【答案】.【解析】 令，则，(][),32,-∞-⋃+∞()12f x x x =-++()21,2{3,2121,1x x f x x x x --<-=-≤≤+>（1）当时，由得，解得，此时有；（2）当时，，此时不等式无解；（3）当时，由得，解得，此时有；综上所述，不等式的解集为. 例9．（2019·天津·高考真题（文）） 设x ∈R ，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为__________. 【答案】2(1,)3- 【解析】【分析】通过因式分解，解不等式．【详解】2320x x +-<，即(1)(32)0x x +-<， 即213x -<<， 故x 的取值范围是2(1,)3-． 例10.（2022·上海·高考真题）不等式10x x-<的解集为_____________.【答案】{}01x x << 【解析】【分析】 根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.【详解】10100x x x x -<⎧-<⇒⎨>⎩或100x x ->⎧⎨<⎩，解第一个不等式组，得01x <<，第二个不等式组的解集为空集. 故答案为：{}01x x <<【规律方法】1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．2x <-()5f x ≥215x --≥3x ≤-3x ≤-21x -≤≤()3f x =1x >()5f x ≥215x +≥2x ≥2x ≥(][),32,-∞-⋃+∞(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．2．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．【易错警示】忽视二次项系数的符号致误3.形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a|＋|x －b|≥|x－a －(x －b)|＝|a －b|.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a|＋|x －b|和y 2＝c 的图象，结合图象求解．题型五： 绝对值不等式的应用例11.（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知,x y R ∈，则“1x <且2y <”是“3x y +<”的（ ）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】A【解析】【分析】判断充分性可利用绝对值三角不等式，由3x y +<1,2x y <<可以举反例 【详解】 解：充分性：若1,2x y <<，则3x y x y +≤+<，充分性得证； 必要性：若3x y +<，取2x =，0.5y =满足条件，但不能得出1,2x y <<，故为非必要条件；综上所述，“1,2x y <<”是“3x y +<”的充分不必要条件，故选：A ．例12．（2022·浙江·高考真题）已知,a b ∈R ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x ∈-+---≥R ，则（ ） A ．1,3a b ≤≥ B ．1,3a b ≤≤ C ．1,3a b ≥≥ D ．1,3a b ≥≤【答案】D【解析】【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -≥---，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩， 即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示： 由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a≤≤-≤， 故选：D ．【总结提升】1.两类含绝对值不等式的证明问题 一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．2.含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．3.求f (x )＝|x ＋a |＋|x ＋b |和f (x )＝|x ＋a |－|x ＋b |的最值的三种方法(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.(2)利用绝对值三角不等式进行“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值.(3)利用绝对值的几何意义.。
2023高考数学二轮复习专题复习03 等式与不等式的性质 (解析版)
专题03等式与不等式的性质【考点预测】1.比较大小基本方法（1）基本性质bc【方法技巧与总结】1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.比较法又分为作差比较法和作商比较法.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.【题型归纳目录】 题型一：不等式性质的应用题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 题型四：不等式的综合问题【典例例题】题型一：不等式性质的应用例1．（2022·北京海淀·二模）已知,x y ∈R ，且0x y +>，则（ ）A ．110x y +>B ．330x y +>C ．lg()0x y +>D ．sin()0x y +>【答案】B 【解析】 【分析】取特殊值即可判断A 、C 、D 选项，因式分解即可判断B 选项. 【详解】对于A ，令11,2x y ==-，显然01112yx +=-<，错误；对于B ，()()()23322213024x y x y x xy y x y x y y ⎡⎤⎛⎫+=+-+=+-+≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又1,02x y y ==不能同时成立，故()2213024x y x y y ⎡⎤⎛⎫+-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，正确；对于C ，取1,0x y ==，则lg()0x y +=，错误； 对于D ，取1,3x y ==，则sin()sin 40x y +=<，错误. 故选：B.例2．（2022·山东日照·二模）若a ，b ，c 为实数，且a b <，0c >，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．a c b c +<+ B ．11a b< C ．ac bc > D ．b a c ->【答案】A【解析】 【分析】由不等式的基本性质和特值法即可求解. 【详解】对于A 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a b a c b c <⇒+<+，A 选项正确；对于B 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若2a =-，1b =-，则11a b>，B 选项错误； 对于C 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，0c >，0a b ac bc <<⇒<，C 选项错误；对于D 选项，因为0a b b a <⇒->，0c >，所以无法判断b a -与c 大小，D 选项错误. 例3．（2022·山西·模拟预测（文））若0αβ<<，则下列结论中正确的是（ ） A ．22αβ< B ．2βααβ+>C ．1122αβ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．sin sin αβ<【答案】B 【解析】 【分析】对于A ，利用不等式的性质判断，对于B ，利用基本不等式判断，对于C ，利用指数函数的性质判断，对于D ，举例判断 【详解】∵0αβ<<，∴0αβ->->，∴22αβ>，故A 错误；∵0αβ<<，∴0,0αββα>>，∴2βαααββ+≥=． ∵αβ≠，∴2βααβ+>，故B 正确； ∵101,2αβ<<<，∴1122αβ>⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故C 错误；令,2παπβ=-=-，此时sin 0,sin 1,sin sin αβαβ==->．故D 错误．故选：B ．（多选题）例4．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．221a b >+B ．122a b +>C ．24a b >D ．1ab b>+ 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用不等式的性质及特殊值法判断即可． 【详解】解：对于非零实数a ，b 满足||1a b >+，则()22||1a b >+，即2222||11a b b b >++>+，故A 一定成立； 因为1||1122a b a b b +>+≥+⇒>，故B 一定成立；又()2||10b -≥，即212||b b +≥，所以24||4a b b >≥，故C 一定成立； 对于D ：令5a =，3b =，满足||1a b >+，此时5143a b b =<+=，故D 不一定成立． 故选：ABC（多选题）例5．（2022·重庆八中模拟预测）已知0a >，0b >，且3ab a b ++=，则下列不等关系成立的是（ ） A ．1ab ≤ B ．2a b +≥ C ．1a b -> D ．3a b -<【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式以及适当的代数式变形即可判断. 【详解】对于A ，由3ab a b ++= ，a b +≥，当且仅当a b = 时等号成立，3ab ∴+≤ ，)310≤ ，1ab ∴≤ ，当且仅当1a b == 时等号成立，故A 正确； 对于B ，由3ab a b ++=，得()()4114,11a b b a ++=∴+=+ ， 由基本不等式得)44(1)(1)2122211a b a b a a a +=+++-=++-≥-=++ ，当且仅当a=b =1时成立；故B 正确；对于C ，若1,1,a b == 满足3ab a b ++=，01a b -=＜，故C 错误； 对于D ，∵3ab a b ++=，∴3ab a b a b =+++＞ ，由B 的结论得23a b ≤+＜ ，()()()()222949439a b a b ab a b a b --=+--=+--+-⎡⎤⎣⎦()()()()2421730a b a b a b a b =+++-=+++-＜ ，()29,3a b a b ∴--＜＜ ，故D 正确； 故选：ABD.（多选题）例6．（2022·广东汕头·二模）已知a ，b ，c 满足c <a <b ，且ac <0，那么下列各式中一定成立的是（ ） A ．ac （a -c ）>0 B ．c （b -a ）<0 C ．22cb ab < D ．ab ac >【答案】BCD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质求解. 【详解】解：因为a ，b ，c 满足c <a <b ，且ac <0， 所以0,0,0,0,0c a b a c b a <>>->->，所以ac （a -c ）<0 ，c （b -a ）<0，22cb ab <，ab ac >， 故选：BCD（多选题）例7．（2022·福建三明·模拟预测）设a b c <<，且0a b c ++=，则（ ） A ．2ab b < B ．ac bc < C ．11a c< D ．1c ac b-<- 【答案】BC 【解析】 【分析】根据条件可得0<<a c ，b 的符号不能确定，然后依次判断即可. 【详解】因为a b c <<，0a b c ++=，所以0<<a c ，b 的符号不能确定， 当0b =时，2ab b =，故A 错误，因为a b <，0c >，所以ac bc <，故B 正确， 因为0<<a c ，所以11a c<，故C 正确， 因为a b <，所以a b ->-，所以0c a c b ->->，所以1c ac b->-，故D 错误， 故选：BC【方法技巧与总结】1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明． 2．充分利用基本初等函数性质进行判断．3．小题可以用特殊值法做快速判断．题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式例8．（2022·全国·高三专题练习（文））设2312m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1312n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2315p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．m p n << B ．p m n <<C ．n m p <<D ．p n m <<【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性判断n m >，再由作商法判断m p >.【详解】因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，所以12331122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以n m > 2320323155212215⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以m p >， 所以n m p >> 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用指数函数的单调性比较大小，属于中档题. 例9．（2022·全国·高三专题练习）若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)． 【答案】＜ 【解析】 【分析】作商法比较大小，结合对数的运算律和性质，即得解 【详解】易知a ，b 都是正数，b a ＝232ln 3ln 3ln 93ln 2ln 2ln8==＝log 89＞1，所以b ＞a .故答案为：＜例10．（2022·全国·高一）（1）试比较()()15x x ++与()23x +的大小；（2）已知a b >，11a b<，求证：0ab >．【答案】（1）()()()2153x x x ++<+；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）()()15x x ++与()23x +作差，判断差的正负即可得出结论；（2）结合不等式的性质分析即可证出结论. 【详解】（1）由题意，()()()2153x x x ++-+ 22656940x x x x =++---=-<，所以()()()2153x x x ++<+． （2）证明：因为11a b<，所以110a b -<，即0b aab -<， 而a b >，所以0b a -<，则0ab >．得证．例11．（2022·湖南·高一课时练习）比较()()213a a +-与()()62745a a -++的大小． 【答案】()()213a a +-<()()62745a a -++ 【解析】 【分析】做差比较大小即可. 【详解】()()()()2221362745(253)(253)60a a a a a a a a +---++=----+=-<⎡⎤⎣⎦,∴()()213a a +-<()()62745a a -++.例12．（2022·湖南·高一课时练习）比较下列各题中两个代数式值的大小：(1))21与)21；(2)()()2211xx ++与()()2211xx x x ++-+．【答案】(1)221)1)≤(2)()()2211x x ++()()2211x x x x ≤++-+【解析】 【分析】利用作差法得出大小关系. (1)))()()221111m m -=--+=-因为0m ≥，所以221)1)0-≤，当且仅当0m =时，取等号.即221)1)≤ (2)()()2211xx ++()()2211x x x x -++-+()()2222222121x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+--+-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为0x ≥，所以()()2222221210x x x x ⎡⎤⎡⎤+--+-≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当且仅当0x =时，取等号.故()()2211x x ++()()2211x x x x ≤++-+.【方法技巧与总结】比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性. 比较法又分为作差比较法和作商比较法. 作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论. 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：若0,0a b >>，则1b b a a >⇔>；1b b a a <⇔<；1bb a a =⇔=；若0,0a b <<，则1b b a a >⇔<；1b b a a <⇔>；1bb a a=⇔=. 题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围例13．（2022·浙江·模拟预测）若实数x ，y 满足1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，则2x y +的取值范围（ ）A ．[1,)+∞B ．[3,)+∞C ．[4,)+∞D ．[9,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】设2()(52)x y m x y n x y +=+++，求出,m n ，再根据不等式的性质即可得出答案. 【详解】解：设2()(52)x y m x y n x y +=+++，则5221m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得13m n ==，故112()(52)33x y x y x y +=+++，又因1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，所以()()1112,523333x y x y +≥+≥， 所以21x y +≥. 故选：A.例14．（2022·全国·高三专题练习）已知12a ≤≤，14b -≤≤，则2a b -的取值范围是（ ） A ．724a b -≤-≤ B ．629a b -≤-≤ C ．629a b ≤-≤ D ．228a b -≤-≤【答案】A 【解析】 【分析】先求2b -的范围，再根据不等式的性质，求2a b -的范围. 【详解】因为14b -≤≤，所以822b -≤-≤， 由12a ≤≤，得724a b -≤-≤. 故选：A.例15．（2022·全国·高三专题练习）若,x y 满足44x y ππ-<<<，则x y -的取值范围是（ ）A ．(,0)2π-B ．(,)22ππ-C ．(,0)4π-D ．(),44ππ-【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，求得0x y -<，且22x y ππ-<-<，即可求解.【详解】由x y <，可得0x y -<， 又由44y ππ-<<，可得44y ππ-<-<，因为44x ππ-<<，可得22x y ππ-<-<，所以02x y π-<-<，即x y -的取值范围是(,0)2π-.故选：A.例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知－3<a <－2，3<b <4，则2a b的取值范围为（ ）A ．(1，3)B ．4934⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．2334⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【答案】A 【解析】 【分析】先求出a 2的范围，利用不等式的性质即可求出2a b的范围.【详解】因为－3<a <－2，所以a 2∈(4，9)，而3<b <4，故2a b的取值范围为(1，3)，故选：A ．例17．（2022·江西·二模（文））已知122x y ≤-≤，1231x y -≤+≤，则6x ＋5y 的取值范围为______． 【答案】[]1,4- 【解析】 【分析】由()652223x y x y x y +=-++结合不等式的性质得出答案. 【详解】解：()652223x y x y x y +=-++，即()()1212223221x y x y +⨯-≤-++≤+⨯ 故6x ＋5y 的取值范围为[]1,4-． 故答案为：[]1,4-例18．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数()()22,f x mx x n m n =-+∈R ，若函数()f x 的值域为[)0,∞+，且()12f ≤，则222211m n n m +++的取值范围为___________. 【答案】[1,13] 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m 与n 的关系，化简222211m n n m +++后利用不等式即可求出其范围. 【详解】二次函数f (x )对称轴为1x m=， ∵f (x )值域为[]0,∞+，∴0m >且21121001f m n n mn m m mm ⎛⎫⎛⎫=⇒⋅-+=⇒=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n ＞0.()12224f m n m n ≤⇒-+≤⇒+≤，∵()()()()2222224422222222221111111m m n n m n m n m n n m m n m n m n +++++++==+++++++ =()22222222222m n m n m n m n +-++++=()()222222222m n mn m n +++-++=()()222222212m n m n m n +++-++=221mn +-∴221211m n mn +-≥-=，22221()34313m n m n +-=+-≤-=， ∴222211m n n m +++∈[1,13]. 故答案为：[1,13].例19．（2022·全国·高三专题练习）已知有理数a ，b ，c ，满足a b c >>，且0a b c ++=，那么ca的取值范围是_________． 【答案】122c a -<<- 【解析】 【分析】根据不等式的性质求得ca的取值范围.【详解】由于a b c >>，且0a b c ++=，所以0,0a c ><，,,2,2cb ac a c a a c a=----<>->-， 1,2,2c a c c a c a -->-><-， 所以122c a -<<-. 故答案为：122c a -<<-例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()34f x x ax b =++，当[]1,1x ∈-时，()1f x ≤恒成立，则a b +=____________． 【答案】-3 【解析】 【分析】可以取特殊值112x x =±=±，时，()11f x -≤≤恒成立，从而求出a 和b ﹒【详解】当[]1,1x ∈-时，()1f x ≤恒成立，则()11f x -≤≤对任意[]1,1x ∈-恒成立， 则112x x =±=±，时，()11f x -≤≤恒成立1141x a b =-≤++≤，①1141141x a b a b =--≤--+≤⇒-≤+-≤，②1111222a xb =-≤++≤，③111111122222a a xb b =--≤--+≤⇒-≤+-≤，④①+②282253a a -≤+≤⇒-≤≤-：③+④21231a a -≤+≤⇒-≤≤： 3a ∴=-，代入①20b -≤≤： 代入③02b ≤≤： 0b ∴=，30a b ∴=-=，，3a b ∴+=-﹒证明()343f x x x =-满足题意：()343f x x x =-，则()()2112302f x x f x x ''=-=⇒=±，，由表可知，|f (x )|≤1在[-1，1]上恒成立满足题意﹒故答案为：-3. 【点睛】本题考察恒成立问题，根据函数和区间的特殊性，可取特殊值得到关于a 和b 的不等式组，求出a 和b 的范围，从而确定a 和b 的取值﹒例21．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b 满足5﹣3a ≤b ≤4﹣a ，ln b ≥a ，则ba的取值范围是___.【答案】[e ，7] 【解析】 【分析】 由题意可求得b a≤7；由ln b ≥a 可得b ba lnb ≥（b 12e ≥），设函数f （x ）x lnx =（x 12e ≥），利用其导数可求得f （x ）的极小值，也就是ba的最小值.【详解】∵正数a ，b 满足5﹣3a ≤b ≤4﹣a ， ∴5﹣3a ≤4﹣a ， ∴a 12≥. ∵5﹣3a ≤b ≤4﹣a ， ∴5a -34b a a ≤≤-1.从而ba≤7， ∵ln b ≥a ，∴b ba lnb≥（b 12e ≥）， 设f （x ）x lnx =（x 12e ≥），则f ′（x ）21lnx lnx -=（）， 当0＜x ＜e 时，f ′（x ）＜0，当x ＞e 时，f ′（x ）＞0，当x ＝e 时，f ′（x ）＝0， ∴当x ＝e 时，f （x ）取到极小值，也是最小值. ∴f （x ）min ＝f （e ）＝e . ∴ba≥e ， ∴ba的取值范围是[e ，7]. 故答案为：[e ，7].例22．（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 均为正实数，且111,,232425abbc ca a bb cc a+++，那么111a b c ++的大值为__________．【答案】4 【解析】 【分析】本题目主要考察不等式的简单性质，将已知条件进行简单变形即可 【详解】因为,,a b c 均为正实数，所以由题可得：22203,04,05a b b c a c b bc ac a +++<≤<≤<≤，即1203b a<+≤，1204c b <+≤，1205a c <+≤，三式相加得：1110312a b c ⎛⎫<++≤ ⎪⎝⎭，所以11104a b c <++≤所以111a b c++的最大值为4故答案为：4【方法技巧与总结】在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.题型四：不等式的综合问题例23．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知0,0a b >>，且2e1b aa b -+=+则下列不等式中恒成立的个数是（ ）①1122b a --< ②11b a a b -<- ③e e b a b a -<- ④5ln 5a b +<+A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】①，分析得到,a b <所以1122b a --<正确；②，构造函数举反例判断得解；③，构造函数利用函数单调性判断得解；④，转化为判断2ln(5)2ln(5)a b +<+再构造函数利用导数判断函数的单调性即得解. 【详解】解：①，若02,e e 1,11b aa ab b -+≥∴≤=∴>+，所以矛盾，所以,a b <所以1122b a --<正确； ②，1111b a a b a b a b -<-∴+<+，，设21(1)(1)(),(0),()x x f x x x f x x x +-'=+>∴=， 所以当(0,1)x ∈时，函数()f x 单调递减，当(1,+)x ∈∞时，函数()f x 单调递增，因为a b <，所以11a b ab+<+不恒成立，如1151,(),1,(1)2()2222a fb f f ====<，所以该命题错误；③，e e a b a b -<-，设()e ,()e 10,()x x g x x g x g x '=-∴=->∴在(0,)+∞单调递增，因为a b <，所以e e a b a b -<-恒成立，所以该命题正确；④，5ln2ln(5)2ln(5)5a a b b +<⇔+<++设()2ln(5)h x x =+所以2()h x '==所以函数()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减. 取131,e,(1)e 3e,1b b a b b -==∴+=+ 设()(1)e ,()(2)e 0x x k x x k x x '=+∴=+>，所以()k x 在(0,)+∞单调递增， (1)2e 3e k =<，2(2)3e 3e k =>，所以存在(1,2),(1)e 3e b b b ∈+>，此时2ln(5)2ln(5)a b +>+ 所以该命题错误. 故选：B例24．（2022·江西·临川一中高三期中（文））若实数a ，b 满足65a a b <，则下列选项中一定成立的有（ ） A ．a b < B ．33a b <C ．e 1a b ->D ．ln 0a b ⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】先由65a a b <得到0a b <<或0b a <<，再利用不等式的性质、函数的单调性进行判定. 【详解】因为65a a b <，所以655()0a a b a a b --=<， 显然0a ≠，所以()0a a b -<，所以00a a b >⎧⎨-<⎩或00a a b <⎧⎨->⎩，即0a b <<或0b a <<；若0a b <<，则a b <，33a b <，0e e 1a b -<=，ln ln10a b ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；若0b a <<，则a b >，33a b >，0>e e 1a b -=，ln ln10a b ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；即一定成立的是选项D. 故选：D.例25．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若m ，n ∈+N ，则下列选项中正确的是（ ） A ．()()1log 1log 2m m m m ++<+ B ．(n m m n mn ⋅≥C ．()()22sin 1sin 31n n n n n ππ⋅<+⋅>+ D ．1121111n n n n n n n n +++++<++ 【答案】C 【解析】 【分析】对于A ，作商比较，对于B ，令1,2m n ==判断，对于C ，利用在单位圆中，内接正n 边形的面积小于内接正()1n +边形的面积判断，对于D ，利用放缩法判断 【详解】解：对于A 选项，由于m ，n ∈+N ，故由对数的定义得2,N m m +≥∈，()()1log 10,log 20m m m m ++>+>， 所以()()()()211111log 2log 2log log 2log log 12m m m m m m m m m m m m ++++++++⎛⎫=+⋅≤ ⎪+⎝⎭()()()22211log 1log2144m m m m m ++⎡⎤++⎣⎦=<=，所以()()1log 1log 2m m m m ++>+，故A 错误； 对于B 选项，令1,2m n ==，则(21122,n m m n mn =⨯==⋅(n m m n mn <⋅B 错误；对于C 选项，因为，在单位圆中，内接正n 边形的面积小于内接正()1n +边形的面积， 所以()112π12π11sin 111sin 221n n S n S n n n +=⋅⋅⋅⋅<=+⋅⋅⋅⋅+，故C 正确；对于D 选项，由于112111,111n n n n n n n n n +++++===++，故D 错误． 故选：C（多选题）例26．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知0,0a b >>，直线2y x a =+与曲线1e 1x y b -=-+相切，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．19ab ≤B ．219a b+≥CD【答案】BCD 【解析】【分析】根据导数的几何意义得21a b +=，再根据基本不等式与柯西不等式可判断出答案. 【详解】设切点为00(,)x y ，因为1e x y -'=，所以01e 1x -=，得01x =， 所以122a b +=-，所以21a b +=， 对于 A，12a b =+≥18ab ≤，当且仅当11,42a b 时，等号成立，故A 不正确； 对于B，212122()(2)55b a a b a b a b a b+=++=++≥+9=，当且仅当13a b ==时，等号成立，故B 正确；对于C=25a =，15b =时，等号成立，故C 正确；对于D，22222(12⎡⎤⎡⎤≤+⋅+⎢⎥⎣⎦⎣⎦33(2)22a b =+⋅=， 所以，又21a b +=，即12,63a b ==时，等号成立. 故选：BCD（多选题）例27．（2022·辽宁辽阳·二模）已知0a >，0b >，且24a b +=，则（ ） A ．124a b ->B ．22log log 1a b +≤ C≥D ．412528a b +≥ 【答案】BD 【解析】 【分析】由不等式的性质与基本不等式对选项逐一判断 【详解】对于A ，02a <<，()()42344,2a b a a a -=--=-∈-，所以12416a b -<<，故A 错误，对于B ，420a b =+≥>，即0<02ab ，()222log log log 1a b ab +=≤，故B 正确，对于C，228a b =++≤C 错误，对于D，4122171725288488a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当825a b ==时，等号成立，故D 正确． 故选：BD（多选题）例28．（2022·重庆八中模拟预测）已知0a >，0b >，且3ab a b ++=，则下列不等关系成立的是（ ） A ．1ab ≤ B ．2a b +≥ C ．1a b -> D ．3a b -<【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式以及适当的代数式变形即可判断. 【详解】对于A ，由3ab a b ++= ，a b +≥，当且仅当a b = 时等号成立，3ab ∴+≤ ，)310≤ ，1ab ∴≤ ，当且仅当1a b == 时等号成立，故A 正确； 对于B ，由3ab a b ++=，得()()4114,11a b b a ++=∴+=+ ， 由基本不等式得)44(1)(1)2122211a b a b a a a +=+++-=++-≥-=++ ，当且仅当a=b =1时成立；故B 正确；对于C ，若1,1,a b == 满足3ab a b ++=，01a b -=＜，故C 错误； 对于D ，∵3ab a b ++=，∴3ab a b a b =+++＞ ，由B 的结论得23a b ≤+＜ ，()()()()222949439a b a b ab a b a b --=+--=+--+-⎡⎤⎣⎦()()()()2421730a b a b a b a b =+++-=+++-＜ ，()29,3a b a b ∴--＜＜ ，故D 正确； 故选：ABD.例29．（2022·全国·高三专题练习）若x ，y R ∈，设2223M x xy y x y =-+-+，则M 的最小值为__． 【答案】14-##0.25-【解析】 【分析】将M 化简可得2211224M x y y ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，由此即可求出结果.【详解】因为()()2222221121321344M x y x y y x y x y y y y y y ⎡⎤=-+++=-++++++---⎢⎥⎣⎦221112244x y y ⎛⎫=--+-≥- ⎪⎝⎭．当且仅当0y =，12x =时取等号． 所以M 的最小值为14-．故答案为：14-．例30.（2022·四川泸州·三模（理））已知x 、y ∈R ，且224x y +=，给出下列四个结论： ①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +≤；④448x y +≥． 其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)． 【答案】①④ 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断①和④，取特殊值x ＝0、y ＝2log 3可判断②，取特殊值y ＝12可判断③． 【详解】对于①，∵20,20x y >>，∴由224x y +=得，422x y =+≥即4≥，解得2x y +≤(当且仅当1x y ==时取等号)，故①一定成立； 对于②，当20,log x y ==3时，224x y +=成立，但1xy ≥不成立，故②不一定成立；对于③，当12y =时，由224x y +=得24x =则132343022xy +-=-=>，即23x y +>，故③不一定成立；④将224x y +=两边平方得144216x y x y ++++=， ∴144162x y x y +++=-，由①可知：131********x y x y x y x y +++++≤⇒++≤⇒≤=⇒-≥-11621688x y ++⇒-≥-=，∴448x y +≥，当且仅当1x y ==时取等号，因此④一定成立﹒ 故答案为：①④﹒ 【点睛】本题①和④利用基本不等式即可求解，需要熟练运用基本不等式求范围.对于②和③，取特殊值验算即可快速求解﹒【过关测试】一、单选题 1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为a ，从乙地到甲地的平均速度为(0)b a b >>，他往返甲乙两地的平均速度为v ，则（ ） A ．2a bv +=B．v =C2a bv +< D．b v <<【答案】D 【解析】 【分析】平均速度等于总路程除以总时间 【详解】设从甲地到乙地的的路程为s ，从甲地到乙地的时间为t 1，从乙地到甲地的时间为t 2，则 1s t a=，2s t b =，1222211s s v s s t t a b a b===+++，∴221111v ba bb b=>=++，2211ab v a b a b==<=++ 故选:D.2．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知0a b <<，则（ ） A ．110->a bB ．sin sin 0a b ->C ．0a b -<D ．ln()ln()0a b -+->【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊值法，结合已知逐一判断即可. 【详解】因为0a b <<，所以110b aa b ab--=>，选项A 正确； 当2π,πa b =-=-时，显然满足0a b <<，但sin sin 0a b -=，选项B 不正确； 当2π,πa b =-=-时，显然满足0a b <<，但0a b ->，选项C 不正确； 当1,123a b =-=-时，显然满足0a b <<，但是ln()ln()0a b -+-<，选项D 不正确， 故选：A3．（2022·陕西宝鸡·三模（理））若a b <，则下列结论正确的是（ ） A ．330a b -> B ．22a b < C ．()ln 0a b -> D ．a b <【答案】B 【解析】 【分析】对于A 、B ，构造函数，借助函数单调性比大小； 对于C ， ()ln a b -没有意义； 对于D ，取特值判断. 【详解】对于A ，构造函数3()f x x =，因为3()f x x =单调递增，又a b <，所以()()f a f b <，33a b ∴<，330a b ∴-<，故A 答案不对；对于B ，构造函数()2x f x =，因为()2x f x =单调递增，又a b <，所以()()f a f b <，22a b ∴<，故B 答案正确；对于C ，a b <，()ln a b ∴-没有意义，故C 答案不对；对于D ，取=11a b ，-=时，=a b ，故D 答案不对； 故选：B.4．（2022·重庆·二模）若非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11a b< B ．a b +>C ．22lg lg a b > D ．33a b >【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质、基本不等式的条件和对数的运算，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A 中，由11b aa b ab--=，因为a b >，可得0b a -<，当ab 不确定，所以A 错误；对于B 中，只有当0,0,a b a b >>，不相等时，才有a b +>B 错误； 对于C 中，例如1,2a b ==-，此时满足a b >，但22lg lg a b <，所以C 错误； 对于D 中，由不等式的基本性质，当a b >时，可得33a b >成立，所以D 正确. 故选：D.5．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．22a b >B ．11b b a a +<+ C ．22ac bc > D ．332a b -+>【答案】D 【解析】 【分析】对于A ，B ，C 可以取特殊值验证，对于D ，根据题意得330a b >>，3333a b b b --+>+，利用基本不等式求解即可. 【详解】对于A ：当2a =，4b =-时不成立，故A 错误；对于B ：当12a =-，1b =-，所以2b a =，101b a +=+，即11b b a a +>+，故C 错误；对于C ：当0c 时不成立，故C 错误；对于D ：因为a b >，所以330a b >>，又30b ->，所以33332b a b b --≥+>+=（等号成立的条件是0b =），故D 正确. 故选：D.6．（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（理））已知0a >，0b >，22a b m +=，则以下正确的是( ) A ．若1m =，则1a b + B ．若1m =，则331a b + C ．若2m =，则2a b +> D ．若2m =，则332a b +【答案】D 【解析】 【分析】A ：取特例a b ==B ：求出01a <<，01b <<，根据幂函数在(0，1)之间的性质即可判断；C ：根据不等关系2222a b a b ++ D ：构造33222()(())a b a b a b ++-+并判断其范围，表示出33+a b ，结合C 项范围即可判断. 【详解】A ：若221a b +=，取a b ==1a b +，故A 错误； B ：若221a b +=，则01a <<，01b <<，∴33221a b a b +<+=，故B 错误； C ：当222a b +=时，∵222a bab +，∴()222222a ba b ab +++，∴222()24a b a b ++，∴221222a b a b a b ++=⇒+，故C 错误；D ：当222a b +=时，3322233222()(()2()0)a b a b a b a b b a a b ab a b ++-+=+-=-， 22233()4a b a ba b a b+∴+=++，由C 知，2a b +，42a b∴+，332a b ∴+，故D 正确. 故选：D.7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知32a =，53b =，则下列结论正确的有（ ） ①a b < ②11a b a b+<+ ③2a b ab +< ④b a a a b b +<+ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】求出a 、b 的值，比较a 、b 的大小，利用指数函数的单调性、导数法、不等式的基本性质以及基本不等式逐项判断可得出合适的选项. 【详解】因为32a =，53b =，则3log 2a =，5log 3b =.对于①，3223<，则2323<，从而2333320log 1log 2log 33a =<=<=，3235>，则2335>，则235552log 5log 3log 513b =<=<=，即2013a b <<<<，①对；对于②，()()()11111a b ab a b a b a b a b ab --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为2013a b <<<<，则0a b -<，01ab <<，所以，11a b a b+>+，②错； 对于③，355522log 2log 32log 2log 4ab =⋅==，所以，355353542log 2log 3log 4log 2log log log 03a b ab +-=+-=->， 所以，2a b ab +>，③错； 对于④，构造函数()ln x f x x =，其中0e x <<，则()21ln xf x x -'=. 当0e x <<时，()0f x '>，则函数()f x 在()0,e 上单调递增， 因为01a b <<<，则()()f a f b <，即ln ln a ba b<，可得b a a b <，所以，b a a a b b +<+，④对. 故选：B.8．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．1423b b b b +≤+ B ．4132b b b b ≤-- C ．3124a a a a ≥ D ．3124a a a a ≤【答案】D 【解析】 【分析】对选项A ，令112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭即可检验；对选项B ，令2nn b =即可检验；对选项C ，令n a n =即可检验；对选项D ，设出等差数列的首项和公比，然后作差即可. 【详解】 若112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则12341111,,,248b b b b ==-==-可得：14237184b b b b +=>=-+，故选项A 错误； 若2nn b =，则12342,4,8,16b b b b ====可得：4132144b b b b -=>-=，故选项B 错误； 若n a n =，则12341,2,3,4a a a a ==== 可得：124346a a a a =<=，故选项C 错误； 不妨设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则有：()112411133a a a a d a a d =+=+()()22311121223a d a d a d a a d a =++=++则有：4223120a a a a d -=≥，故选项D 正确故选：D 二、多选题9．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a 和b ，满足1ab >，下列不等式正确的是（ ） A ．1ab a b +>+ B ．()2log 1a b +> C ．11a b ab+<+ D ．11a b a b+>+ 【答案】BD 【解析】 【分析】A 选项，利用()()1110a b ab a b --=+--<作出判断；B 选项，利用基本不等式即函数单调性求解；CD 选项，用作差法求解.由于两个不相等的正实数a 和b ，满足1ab >，所以a 和b 可取一个比1大，一个比1小，即()()1110a b ab a b --=+--<，故1ab a b +<+，A 错误；由题意得：2a b +>>，所以()2log 1a b +>，B 正确；()111111a b a b a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中110ab ->，但不知道a 和b 的大小关系，故当a b >时，11a b a b+>+，当a b <时，11a b a b +<+，C 错误；()1111a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中110ab ->，0a b +>，所以()11110a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+-+=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11a b a b+>+，D 正确. 故选：BD10．（2022·湖南省隆回县第二中学高三阶段练习）已知a b c >>，且0a b c ++=，则下列结论正确的是（ ） A ．2ab b > B ．ac bc <C ．11a c> D ．1a cb c->- 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质依次判断选项即可. 【详解】A ：由a b c >>且0a b c ++=，可知a >0，c <0，b 的值不确定， 故由a b >，不能推出2ab b >，故A 错误；B ：由0a b c ><，，得ac bc <，故B 正确；C ：由于0a >，0c <，得11a c>，故C 正确； D ：由a b c >>得0a c b c ->->.所以1a cb c->-，故D 正确， 故选：BCD.11．（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知实数a ，b ，c 满足1,01a b c >><<，则下列不等式一定成立的有（ ） A ．()()c c a c b c -<- B ．log (1)log (1)a b c c +<+ C ．log log 2a c c a +≥ D ．22224a c b c c >>【答案】BD 【解析】对于A ，利用幂函数的性质判断，对于BC ，利用对数函数的性质判断，对于D ，利用不等式的性质分析判断 【详解】对于A ，因为01c <<，所以c y x =在(0,)+∞上单调递增，因为,01a b c c >><<，所以0a c b c ->->，所以()()cca cbc ->-，所以A 错误，对于B ，因为1a b >>，所以当1x >时，log log a b x x <，因为01c <<，所以11c +>，所以log (1)log (1)a b c c +<+，所以B 正确，对于C ，因为1,01a b c >><<，所以log 0,log 0a c c a <<，所以log log 0a c c a +<，所以C 错误， 对于D ，因为1,01a b c >><<，所以22210a b c >>>>，所以22224a c b c c >>，所以D 正确， 故选：BD12．（2022·河北保定·一模）已知a 、b 分别是方程20x x +=，30x x +=的两个实数根，则下列选项中正确的是（ ）. A ．10b a -<<< B ．10a b -<<< C ．33a b b a ⋅<⋅ D ．22b a a b ⋅<⋅【答案】BD 【解析】 【分析】在同一直角坐标系中画出2,3,x x y y y x ===-的图象，可判断AB ，然后结合不等式的性质可判断CD. 【详解】函数2,3,x x y y y x ===-在同一坐标系中的图象如下：所以10a b -<<<，所以22,33,0a b a b b a<<<-<-所以()()22,33a b a bb a b a -⋅<-⋅-⋅<-⋅所以22b a a b ⋅<⋅，33a b b a ⋅⋅> 故选：BD 三、填空题13．（2022·四川泸州·三模（文））已知x ，R y ∈，满足224x y +=，给出下列四个结论：①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +<；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______（写出所有成立结论的编号）． 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据基本不等式，结合特殊值法逐一判断即可. 【详解】①：因为224x y +=，所以有4222422x y x y x y +=+≥≥≥⇒+≤，故本结论一定成立； ②：当20,log 3x y ==时，显然224x y +=成立，但是1xy ≥不成立，故本结论不一定成立； ③：当1x y ==时，显然224x y +=成立，但是23x y +<不成立，故本结论不一定成立； ④：因为224x y +=，所以114421644162x y x y x y x y ++++++=⇒+=-，由①可知： 1311213228281621688x y x y x y x y x y +++++++≤⇒++≤⇒≤=⇒-≥-⇒-≥-=，所以448x y +≥，因此本结论一定成立， 故答案为：①④14．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））已知实数x 、y 满足223x y -≤+≤，220x y -≤-≤，则34x y -的取值范围为______． 【答案】[7,2]- 【解析】 【分析】设34(2)(2)x y m x y n x y -=++-，利用待定系数法求出,m n 的值，然后根据不等式的性质即可求解. 【详解】解：设34(2)(2)x y m x y n x y -=++-，则2324m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得12m n =-⎧⎨=⎩，所以34(2)x y x y -=-++2(2)x y -， 因为223x y -≤+≤，220x y -≤-≤， 所以3(2)2x y -≤-+≤，42(2)0x y -≤-≤， 所以7342x y -≤-≤， 故答案为：[7,2]-.15．（2022·全国·高三专题练习）如果a >b ，给出下列不等式：①11a b<；②a 3>b 32ac 2>2bc 2；⑤ab >1；⑥a 2＋b 2＋1>ab ＋a ＋b .其中一定成立的不等式的序号是________． 【答案】②⑥ 【解析】 【分析】对,a b 分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立. 【详解】令1,1a b ==-，11a b>=11a b =-<，排除⑤.当0c 时，排除④.由于幂函数3y x =为R 上的递增函数，故33a b >，②是一定成立的.由于()()()()22222111102a b ab a b a b a b ⎡⎤++-++=-+-+->⎣⎦，故221a b ab a b ++>++.故⑥正确.所以一定成立的是②⑥. 【点睛】本小题主要考查实数比较大小，使用的方法较多，一个是特殊值比较法，也就是对问题中的,a b 举出一些具体的数值，然后对不等式的正确与否进行判断.第二个是用函数的单调性的方法来比较，即是如果要比较的两个数和某个函数有点接近，如本题中②，用幂函数的单调性来判断.第三个是用差比较法来判断，如本题中的⑥.16．（2022·全国·高三专题练习）设x ，y 为实数，满足238xy ≤≤，249x y≤≤，则3x y 的最小值是______.【答案】12 【解析】利用方程组形式，可得()223nm x x xy y y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，求得,m n 后结合不等式性质即可求得3x y 的最小值. 【详解】设()223nm x x xy y y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭即322m n m n xy x y -+-=⋅所以2123m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得11m n =-⎧⎨=⎩所以()2123x x xy y y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭因为238xy ≤≤，249x y≤≤， 所以()121183xy-≤≤ 由不等式性质可知()212132x xy y -⎛⎫≤⋅≤ ⎪⎝⎭即3132x y ≤≤，当且仅当()212418x yxy -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，解得74552,2x y ==. 综上可知，3x y的最小值为12. 故答案为：12. 【点睛】本题考查了不等式的化简变形应用，不等式性质求最值，关键是要求出两个不等式间的关系，属于中档题. 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）已知1a >，1b >，2222,1111a b b a M N a b a b =+=+----． （1）试比较M 与N 的大小，并证明； （2）分别求M ，N 的最小值．【答案】（1）M N ≤；证明见解析 ；（2） M ，N 的最小值都是8． 【解析】 【分析】（1）利用作差比较法，得到2()()0(1)(1)a b a b M N a b -+-=-≤--，即可求解； （2）化简1111411a b a M b =-++-++--，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）M 与N 的大小为M N ≤，证明：由22222()()1111(1)(1)a b b a a b a b M N a a b b a b -+-=-+-=-------， 因为1a >，1b >，所以0a b +>，10a ->，10b ->，2()0a b -≥，所以2()()0(1)(1)a b a b a b -+-≤--，所以M N ≤. （2）因为2222[(1)1][(1)1]1111a b a b M a b a b -+-+=+=+----111144811a b a b =-++-++≥=--， 当2a b ==时取等号，又由（1）N M ≥，所以M ，N 的最小值都是8．18．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b 均为正实数.试比较33+a b 与22a b ab +的大小； （2）已知a ≠1且a ∈R ，试比较11a-与1a +的大小. 【答案】（1）33+a b ≥22a b ab +；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）将目标代数式作差得2()()a b a b -+，即可知大小关系；（2）利用“作差法”有21(1)11a a a a-+=--，对a 分类讨论即可判断大小. 【详解】（1）∵a ，b 均为正实数，∴332222222()()()()()()()0a b a b ab a a b b a b a b a b a b a b +-+=---=--=-+≥，即33+a b ≥22a b ab +. （2）由21(1)11a a a a-+=--. ①当a =0时，21a a=-0，则11a =-1a +； ②当a <1且a ≠0时，21a a >-0，则11a >-1a +； ③当a >1时，21a a<-0，则11a <-1a +. 综上，当a =0时，11a =-1a +；当a <1且a ≠0时，11a >-1a +；当a >1时，11a<-1a +. 19．（2022·全国·高三专题练习）已知下列三个不等式：①0ab >；②c da b>；③bc ad >，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？并选取一个结论证明. 【答案】可组成3个正确命题，证明见解析. 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个分析每个命题的真假即可. 【详解】 （1）对②变形：0c d bc ad a b ab->⇔>，由0,ab bc ad >>得②成立，∴①③⇒②.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题：不等式的性质
【课前预习】
1、已知a>b,a+b<0,那么
A |a|>|b| B
3、若 a , b R ，则下列不等式(1) a 2 3 . 2a ( 2)a 2+b 2>2(a-b-1 )(3)a 5+b 5>a 3b 2+a 2b 3
1
(4)
a
2中一定成立的是
) )
a
A ( 1) (2) ( 3)
B (1) (2) (4)
C (1) (2)
D (2) ( 4) 4、 已知a b c ，且a b ^1，则下列不等式恒成立的是） ）
A ab bc
B ac bc
C ab ac
D a | b | c | b |
2
2
5、 已知0 ：：： a b , a+b=1，试比较b 与a +b 的大小
1 -
6、已知
，-
，求2
的取值范围
2 2
2
3
1 1
7、若x>0, y>0 , x+3y=1，贝V
的最小值为多少?
x y
1
1
一
a
b
(2) lg (b-a ) >0, (3) a <1
(4) a b >1
b
B 1
个
C 2
个 D 3
个
b 2、若a>b ，则下列不等式中，恒成立的个数是
(
（1） A 0个
a
：：：
b
8、设x, y ：= R，且满足x+4y=40,求Igx+lgy的最大值
【例题讲解】
b a b ■ m a ■ n
例1、设a b 0, m 0, n • 0,比较下列各式的大小：，一，一 , ----
a b a+m b+n
例3、已知直角三角形的周长为定值I , (1)求其面积的最大值;
(2)求其斜边最小值。
例4、已知直线I过点(3, 4),且与直角坐标系的正半轴都相交，求I与坐标轴围成的面积的最小值。
例5、在厶ABC中，/ C=90o, AC=3 BC=4, —条直线分△ ABC的面积为相等的两部分,
且夹在AB与BC之间的线段DE为最短一求DE的长。
【课后作业】
1、 下列命题正确的是
(
A 如果a b ，那么ac 2 - be 2
B 如果a b ， e d ，那么ae - bd
C 如果耳 2，那么a - b
e e
1 1
D 如果a b ，且ab -0，那么 ：::一
a b
2、 已知 m<0,n>0,且m+n>0,则下列各式中正确的是 ()
A -n<m<-m<n
B -n<m<n<-m
C m<-n<-m <n
D m<-n<n <-m
3、 已知0 ：：： X < 1,则x(3 -3x)取得最大值时X 的值为
A 16
B 8
5、设a , b R ，且a • b = 3，则2a 2的最小值为 A 6 B 4
.2 C 2 . 2 D 2.6
4、当X >1时, 2 )
D
3 -
4
c
1 16X
yy 厂的最小值为
不能确定
」1 1
6、若x, y . 0•且2x • y =1,贝V 的最小值为_____________________ c
x y
7、角ot, B满足——< ot <B < —则a - P的取值范围是
2 2
1 1
8、已知—丄<：丄<2，贝U a的取值范围是。
3 a
1 1
9、右a ■ b,且，贝U a, b必须满足的条件是_____________________ <
a b
10、求周长为,2+1的直角三角形的面积的最大值及斜边的最小值。
11、设实数x，y满足x+y-4=0，求x2+y2的最小值。
13、某商店准备两次降价促销，考虑两种方案：第一种是先打p折销售，再打q （q
工p ）折销售；第二种是两次均打p q
折销售。
问哪一种方案降价幅度教大？2。