2019年朝阳区理科一模及答案

2019北京市朝阳区高三一模

数 学（理）

2019．3

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{|1}A x x =>，集合2{|4}B x x =<，则A

B =

A ．{|2}x x >-

B ．{|12}x x <<

C ．{|12}x x ≤<

D ．R

2．在复平面内，复数12i

i

z +=

对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

3．41

()x x

-的展开式中的常数项为

A ．12-

B ．6-

C ．6

D ． 12

4．若函数22,1,

()log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩,

则函数()f x 的值域是

A ．(,2)-∞

B ．(,2]-∞

C ．[0,)+∞

D ．(,0)(0,2)-∞

5．如图，函数()f x 的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则()f x 的解析式可以是

A ．()sin(2)3

f x x π

=+

π

1

y

7π

C ．()cos(2)3

f x x π

=+

D ．()cos(4)6

f x x π

=+

6．记不等式组0,3,y y x y kx ≥⎧⎪

≤+⎨⎪≤⎩

所表示的平面区域为D ．“点(1,1)D -∈”是“1k ≤-”的

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

7．某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为 A ．4

B ．2

C ．83

D ．43

8．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

9．双曲线2

214x y -=的右焦点到其一条渐近线的距离是 ．

10．执行如图所示的程序框图，则输出的x 值为

正（主）视图

俯视图

侧（左）视图

11．在极坐标系中，直线cos 1ρθ=与圆4cos ρθ=相交于,A B 两点，则AB =___．

12．能说明“函数()f x 的图象在区间[]0,2上是一条连续不断的曲线．若(0)(2)0f f ⋅>，则()f x 在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是 ．

13．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 ．

14．在平面内，点A 是定点，动点C B ,满足||||1AB AC ==，0AB AC ⋅=，则集合{=+,12}|P AP AB AC λλ≤≤所表示的区域的面积是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）

在ABC △

中，a 120A ∠=︒，ABC △

b c <． （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求cos2B 的值． 图

1

图

2

某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40]分组，制成频

率分布直方图：

假设乘客乘车等待时间相互独立．

（Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A ；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B .用频率估计概率，求“乘客A ,B 乘车等待时间都小于20分钟”的概率；

（Ⅱ）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X 表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X 的分布列与数学期望.

时间（分钟）

乙站

甲站

时间（分钟）

如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ．四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，

90BAD ∠=︒，1AB AD ==，3BC =． （Ⅰ）求证：AF CD ⊥；

（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；

（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线//CE 平面AFM ? 若存在，求

BM

BD

的值；若不存在，请说明理由．

E

D

C

B

A F