高中数学第一章导数及其应用1.2.1几个常用函数的导数学案无答案新人教A版(1)
2021年高中数学1..1几个常用函数的导数教学案新人教A版选修
2021年高中数学1.2.1几个常用函数的导数教学案新人教A版选修2-2一．预习目标1．会由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．二．预习内容1.用导数定义求函数在一点处的导数的一般步骤是：（1）（2）（3）2．利用上述步骤求函数当时的导数，并说明其几何意义。
.三．提出疑惑课内探究学案一．学习目标1．会应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数二．学习过程（一）。
复习回顾用导数定义求函数在一点处的导数的一般步骤是：（1）（2）（3）（二）。
提出问题，展示目标我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．（三）、合作探究1．利用导数定义求函数的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。
2．利用导数定义求函数的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。
3．利用导数定义求函数的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。
4．利用导数定义求函数的导数。
5．利用导数定义求函数的导数。
6．你能从一般角度推广函数的导数吗？（四）例题精析例题：在同一坐标系中画出函数的图像，并根据导数的定义，求出它们的导数。
（1）从图像上看，它们的导数分别是什么？（2）这三个函数中哪一个增加的最快？哪一个增加的最慢？（3）函数增（减）的快慢与什么有关？三．反思总结1.几个常用的函数的导数为：2.可以推广的一般结论为：四．当堂检测：画出函数的图像，根据图像描述它的变化情况，并求出曲线在点处的切线方程。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 常见函数的导数(1)学案(无答案)新人教A版选修2-2
江苏省扬州市宝应县高中数学第一章导数及其应用1.1.2 常见函数的导数（1）学案（无答案）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省扬州市宝应县高中数学第一章导数及其应用1.1.2 常见函数的导数（1）学案（无答案）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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常见函数的导数（1）一、学习目标1. 能由导数的定义三个步骤推导如y kx b =+、y c =、y x =、2y x =、1y x=等最简单函数的导数公式。
2。
熟记幂函数、指数对数函数、正弦余弦函数的导数公式。
3。
初步会利用导数公式求简单函数的导数.导 学 过 程学 习体 会二、课前预习 1。
导数的定义：，。
导数的几何意义 .2。
求函数的导数的基本步骤是什么？并画出流程图3。
求下面两个函数的导数(1）2y x =； (2）2y x =三、课堂研讨例1：求函数()=+的导函数f x kx b几个常见函数的导数的求导公式：①②③④展示：基本初等函数的导数公式 ①幂函数②指数函数③对数函数④正弦函数、余函数例2:利用求导公式求下列函数导数①5y x -=； ②23y x =-+； ③5y x =+； ④4t y =；⑤3log n m =; ⑥y x x =； ⑦sin 3y π=； ⑧sin()2y x π=+例3:①已知3y x =，求(2)f ';②已知13x y =，求(0)f ';③已知cos(2)y x π=-,求()3f π'4 利用定义推导y x =的导数5. 求下列函数的导数①4y x =; ②y t =（t 为常数)； ③sin()y t π=-；④10x y =； ⑤2log y x =。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 第3课时 导数的运算法则学案 新人教A版选修2-2-新人教A
1.2.2 第三课时 导数的运算法则一、课前准备 1.课时目标1. 能运用函数四则运算的求导法则，求常见函数四则运算的导数；2. 能运用复合函数的求导法则，求简单的复合函数的导数；3. 能综合利用导数的公式和运算法则解决简单的综合问题。
2.基础预探1.(1)[f (x )±g (x )]′＝________. (2)[f (x )·g (x )]′＝________. (3)[f (x )g (x )]′＝________.2.由几个函数复合而成的函数，叫复合函数，函数y ＝f [φ(x )]是由________和________复合而成的．3．设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′x ＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u ＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数，且y ′x ＝________，或写作f ′x [φ(x )]＝________.二、学习引领1．对导数的运算法则的理解(1) [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．(2) [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．特别的，[cf (x )]′＝cf ′(x ) 即常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数．(3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2即需记忆如下几个特征：两个函数商的导数，其分母为原分母的平方；分子类似乘法公式，中间用减号链接，f ′(x )g (x )减去含分母导数f (x )g ′(x )的式子。
高中数学第一章导数及其应用1.2.1_2几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课件新
1. 能根据定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x， y＝ x的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导 数.
自主学习 基础认识
|新知预习|
1．几个常用函数的导数
函数 导数 函数
导数
f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1
f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝1x f′(x)＝－x12
3．函数 f(x)＝sinx，则 f′(6π)＝________.
解析：f′(x)＝cosx，所以 f′(6π)＝1. 答案：1
【解析】 (1)因为 y＝sinx，所以 y′＝cosx，
曲线在点 Pπ6，12处的切线斜率是
y′|x＝π6＝cosπ6＝
3 2.
所以过点
P
且与切线垂直的直线的斜率为－
2， 3
故所求的直线方程为 y－12＝－ 23x－π6，
即 2x＋ 3y－ 23－π3＝0.
(2)因为 y′＝(x2)′＝2x， 设切点为 M(x0，y0)， 则 y′|x＝x0＝2x0， 又因为直线 PQ 的斜率为 k＝42－ ＋11＝1，而切线平行于直线 PQ，
切线方程为 y－14＝－x＋12， 即 4x＋4y＋1＝0.
|素养提升|
1．基本初等函数的导数公式可分为四类 第一类为幂函数，y′＝(xα)′＝αxα－1(注意幂指数 α 可推广到全体 非零实数)； 第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函 数的导数为正弦函数的相反数； 第三类为指数函数，y′＝(ax)′＝axlna，当 a＝e 时，y＝ex 的导 数是指数函数的导数的一个特例； 第四类为对数函数，y′＝(logax)′＝xl1na，也可写为(logax)′＝ 1x·logae，当 a＝e 时，y＝lnx 的导数是对数函数的导数的一个特例．
高中数学 第一章 导数及其应用 1_1_3 导数的几何意义教案 新人教A版选修2-21
§1.1.3导数的几何意义教学目标：1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？二．新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图 3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？们发现,当点n P 沿着曲线无限接我近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线. 图3.1-2问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？⑵切线PT 的斜率k 为多少？容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆ 说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x ∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.（二）导函数： 由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，即: 0()()()lim x f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆ 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．（三）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算(第1课时)教案 新人教A版选修2-2(2021
江苏省铜山县高中数学第一章导数及其应用1.2 导数的计算（第1课时）教案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省铜山县高中数学第一章导数及其应用1.2 导数的计算（第1课时）教案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省铜山县高中数学第一章导数及其应用1.2 导数的计算（第1课时）教案新人教A 版选修2-2的全部内容。
导数的计算（第1课时）一、教学目标:1．能应用由定义求导数的三个步骤推导几种常见函数的导数公式,熟记正弦余弦函数的导数．2．掌握并能运用四个函数导数公式求函数的导数．3．在公式（2)的推导过程中，培养学生的创新能力．二、教学重点：利用前面已学的求导数的三个步骤对公式（1）、(2）进行证明，同时能运用这四个公式解决一些初等数学不能解决的曲线的切线问题．教学难点:公式（2)的推导过程．三、教学用具：投影仪四、教学过程：(一）复习提问l ．按定义求导数有哪几个步骤？2．用导数的定义求下列各函数的导数．(1）5x y =；(2）C y =.目的,练习（1）为推导公式(2)作准备．在求分值时，启发学生应用二项式定理展开5)(x x ∆+．练习（2）推导前,首先指出这里C y =称为常数函数，可设C x f y ==)(,说明不论自变量取何值，对应的函数值均为C ，以避免如下错误：.)()(x C x x x f x x f y ∆=-∆+=-∆+=∆略解：1．55)()()(x x x x f x x f y -∆+=-∆+=∆ .)()(5)(10)(10)(5554322345x x x x x x x x x x x -∆+∆+∆+∆+∆+=∴.)()(5)(10)(10)(55432234x x x x x x x x x y ∆+∆+∆+∆+∆=∆ ∴xx x x x x x x x y ∆∆+∆+∆+∆=∆∆54234)()(5)(10)(5432234)()(5)(10)(105x x x x x x x x ∆+∆+∆+∆+=则.5))()(5)(10)(105(lim 44322340x x x x x x x x x y x =∆+∆+∆+∆+='→∆ ∴.54x y ='(二）新课1．引言：由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限．这在运算上很麻烦，有时甚至很困难．为了能够较快地求出某些函数的导数．这一节我们将研究比较简捷的求导数的方法,本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式．2．几个常见函数的导数公式公式1 0='C (C 为常数）．此公式前面已证，见教科书第116页．下面,我们还可以用几何图象，对公式加以说明：因为C y =的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0．公式1可叙述为：常数函数的导数为零．公式2 )Q ()(1∈⋅='-n x n x n n这个公式的证明可在教师的指导下进行．由于前面已有5x y =这道题的基础，可由学生只就*N ∈n 的情况进行独立证明．详细证明过程见教科书第117页．注意：教学时要引导学生认真观察此公式的特点：函数的导数等于指数n 与自变量的)1(-n 次方的乘积．公式3 .cos )(sin x x ='公式4 .sin )(cos x x -='公式3、4可叙述为：正弦函数的导数等于余弦函数，余弦函数的导数等于正弦函数前添一个负号．3．例题精讲例1 求下列函数的导数：(1)5x y =，（2）21xy =,（3）.x y = （1)解:.55)(4155x x x y =='='-注意：与前面的复习提问衔接起来，说明牢记和应用导数公式解题的重要性。
高中数学第一章几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则含解析新人教A版选修2
课时作业3 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题 1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3； ③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝⎛⎭⎫－1x ′＝12x x其中正确的个数是( B ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：(cos x )′＝－sin x ，所以①错误； sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误； ⎝⎛⎭⎫1x 2′＝0－(x 2)′x 4＝－2x x4＝－2x －3，所以③错误；所以④正确．2．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( B ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x解析：y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x .3．f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 013(x )＝( C ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos xD ．－cos x解析：因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x, f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ，所以循环周期为4，因此f 2 013(x )＝ f 1(x )＝cos x .4．对任意的x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数解析式为( B )A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝x 4－2C ．f (x )＝x 3＋1D ．f (x )＝x 4－1解析：由f ′(x )＝4x 3知，f (x )中含有x 4项，然后将x ＝1代入选项中验证可得． 5．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( A )A ．3B ．2C ．1D.12解析：因为y ′＝x 2－3x ，所以根据导数的几何意义可知，x 2－3x ＝12，解得x ＝3(x ＝－2不合题意，舍去)．6．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( B ) A ．－12B.12 C ．－22D.22解析：y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin2x ，把x ＝π4代入得导数值为12，即为所求切线的斜率．7．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切，则a 的值为( A ) A ．1 B ．±1 C ．－1D ．－2解析：设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝3x 0＋1，且y 0＝ax 30＋3，所以3x 0＋1＝ax 30＋3 ①.对y ＝ax 3＋3求导得y ′＝3ax 2，则3ax 20＝3，ax 20＝1 ②，由①②可得x 0＝1，所以a ＝1.8．已知函数f (x )＝12x 2＋4ln x ，若存在满足1≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( B )A ．[5，＋∞)B ．[4,5]C ．[4，138]D ．(－∞，4)解析：f ′(x )＝x ＋4x ，当1≤x 0≤3时，f ′(x 0)∈[4,5]，又k ＝f ′(x 0)＝m ，所以m ∈[4,5]．二、填空题9．已知f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝1.解析：f ′(x )－g ′(x )＝2x －1x ＝1，即2x 2－x －1＝0.解得x ＝－12或x ＝1，又x >0，∴x ＝1.10．若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝－1.解析：y ′＝k ＋1x ，由题意知，y ′|x ＝1＝0，即当x ＝1时，k ＋1x ＝k ＋1＝0，解得k ＝－1.11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝2.解析：由f (e x )＝x ＋e x ，可得f (x )＝ln x ＋x ，得f ′(x )＝1x ＋1，故f ′(1)＝1＋1＝2.三、解答题12．求下列函数的导数： (1)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (2)y ＝1＋cos xx 2；(3)y ＝(4x －x )(e x ＋1)．解：(1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2， ∴y ′＝3x 2－2x3.(2)y ′＝(1＋cos x )′·x 2－(1＋cos x )(x 2)′x 4＝－x sin x －2cos x －2x 3.(3)法1：∵y ＝(4x －x )(e x ＋1)＝4x e x ＋4x －x e x －x ，∴y ′＝(4x e x ＋4x －x e x －x )′＝(4x )′e x ＋4x (e x )′＋(4x )′－[x ′e x ＋x (e x )′]－x ′＝e x 4x ln4＋4x e x ＋4x ln4－e x －x e x －1＝e x (4x ln4＋4x －1－x )＋4x ln4－1.法2：y ′＝(4x －x )′(e x ＋1)＋(4x －x )(e x ＋1)′＝(4x ln4－1)(e x ＋1)＋(4x －x )e x ＝e x (4x ln4＋4x －1－x )＋4x ln4－1.13．已知点P 是曲线y ＝e x 上任一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离． 解：设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如右图，则在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1.∵y ′＝(e x )′＝e x .∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)， 利用点到直线的距离公式得d ＝|0－1|12＋(－1)2＝22.故点P 到直线y ＝x 的最小距离为22.——能力提升类——14．已知A 、B 、C 三点在曲线y ＝x 上，其横坐标依次为1、m 、4(1<m <4)，当△ABC 的面积最大时，m 的值等于94.解析：如图，在△ABC 中，边AC 是确定的，要使△ABC 的面积最大，则点B 到直线AC 的距离应最大，可以将直线AC 作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当过B 点的切线平行于直线AC 时，△ABC 的面积最大．f ′(m )＝12m ，A 点坐标为(1,1)，C 点坐标为(4,2)，∴k AC ＝2－14－1＝13，∴12m ＝13，∴m ＝94.15．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．解：f (x )＝ax 2＋1(a >0)，则f ′(x )＝2ax ，从而k 1＝2a ； g (x )＝x 3＋bx ，则g ′(x )＝3x 2＋b ，从而k 2＝3＋b ， 由题意得，2a ＝3＋b .①又f (1)＝a ＋1，g (1)＝1＋b ，∴a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，代入①式可得a ＝b ＝3.。
高中数学(人教A版,选修22)1.2 导数的计算 课件+同步练习(9份)22 1.2.1
求函数y＝1x在点－3，－13处的切线方程．
[解析] y′＝1x′＝－x12， 切线的斜率k＝y′|x＝－3＝－19. 又切线过点－3，－13. 所以切线方程为y－－13＝－19(x＋3)， 即x＋9y＋6＝0.
∴－x120＝－1 x20＝b
，解得xb0＝＝21 或xb0＝＝－－21 .
即当b＝2时，切点为(1,1)；
当b＝－2时，切点为(－1，－1)．
典例探究学案
常用函数的导数
(1)求函数f(x)＝π的导数． (2)求函数y＝1x在点(1,1)处的切线方程．
[解析] (1)∵π为常数，∴f ′(x)＝0. (2)∵k＝y′＝－x12， 当x＝1时，k＝－1， ∴切线方程为：y－1＝－(x－1)， 即x＋y－2＝0.
5．若直线 y＝－x＋b 为函数 y＝1x的图象的切线，求 b 及 切点坐标．
[解析] 设切点坐标为(x0，y0)， 因为 y′＝1x′＝－x12，所以切线斜率为 k＝－x120. 所以切线方程为 y－x10＝－x120(x－x0) 即 y＝－x120x＋x20 .
又切线方程为y＝－x＋b，
∴切线与x轴交点为(32，0)，与直线x＝2的交点为(2,2)．
∴S＝12×(2－32)×2＝12.
规范答题样板
如图，已知曲线f(x)＝2x2＋a(x≥0)与曲线g(x)＝ x(x≥0)相切于点P，且在点P处有相同的切线l.求点P的坐标 及a的值．
[解题思路探究] 第一步，审题． 一审结论探索解题方向．求点P坐标和a值，需利用条件建 立坐标及a的方程求解； 二审条件找解题突破口．两曲线相切于点P，在点P处有相 同切线表明切点是关键，切点在两曲线上和切线上，这是解题 的突破口． 第二步，建联系确定解题步骤． 只要设出切点坐标，则过点P的两曲线切线的斜率相等， 由此可求出切点坐标，代入f(x)解析式中可求出a. 第三步，规范解答．
高中数学第一章导数及其应用1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用学案新人教B选修2
1．2.1 常数函数与幂函数的导数1．2.2 导数公式表及数学软件的应用明目标、知重点 1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x，y ＝x 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．1．几个常用函数的导数原函数导函数f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x2.原函数导函数y ＝c y ′＝0 y ＝x n (n ∈N ＋)y ′＝nx n －1 y ＝x μ(x >0，μ≠0且μ∈Q )y ′＝μx μ－1 y ＝sin x y ′＝cos_x y ＝cos x y ′＝－sin_x y ＝a x (a >0，a ≠1)y ′＝a x ln_a y ＝e xy ′＝e x y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)y ′＝1x ln ay ＝ln xy ′＝1x[情境导学]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题． 探究点一 几个常用函数的导数思考1 类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义法求函数y ＝f (x )的导函数？利用定义求下列常用函数的导数： ①y ＝c ，②y ＝x ，③y ＝x 2，④y ＝1x，⑤y ＝x .答 (1)计算ΔyΔx，并化简； (2)观察当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值； (3)ΔyΔx趋近于的定值就是函数y ＝f (x )的导函数． ①y ′＝0，②y ′＝1，③y ′＝2x ，④y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝ lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0 －1x x ＋Δx ＝－1x2(其它类同)，⑤y ′＝12x.思考2 在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的图象，并根据导数定义，求它们的导数．(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ (3)函数y ＝kx (k ≠0)增(减)的快慢与什么有关？答 函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的图象如图所示，导数分别为y ′＝2，y ′＝3，y ′＝4.(1)从图象上看，函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的导数分别表示这三条直线的斜率． (2)在这三个函数中，y ＝4x 增加得最快，y ＝2x 增加得最慢．(3)函数y ＝kx (k >0)增加的快慢与k 有关系，即与函数的导数有关系，k 越大，函数增加得越快，k 越小，函数增加得越慢．函数y ＝kx (k <0)减少的快慢与|k |有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k |越大，函数减少得越快，|k |越小，函数减少得越慢．思考3 画出函数y ＝1x的图象．根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程．答 函数y ＝1x 的图象如图所示，结合函数图象及其导数y ′＝－1x2发现，当x <0时，随着x 的增加，函数y ＝1x减少得越来越快；当x >0时，随着x 的增加，函数减少得越来越慢．点(1,1)处切线的斜率为－1，过点(1,1)的切线方程为y ＝－x ＋2. 探究点二 基本初等函数的导数公式思考 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？答 可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度． 例1 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x)′＝5xln 5；(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x3′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝(4x 3)′＝(34x )′＝1434x -＝344x；(5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. 反思与感悟 对于教材中出现的基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin π3＝32是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现⎝⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可转化为指数式，然后利用公式求导．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝(12)x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝(12)x ln 12＝－(12)xln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝1232x ；(4)y ′＝1x ln13＝－1x ln 3. 例2 判断下列计算是否正确．求y ＝cos x 在x ＝π3处的导数，过程如下：y ′|x ＝π3＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π3′＝－sin π3＝－32. 解 错误．应为y ′＝－sin x ， ∴y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.反思与感悟 函数f (x )在点x 0处的导数等于f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将x 0代入导函数求解，不能先代入后求导．跟踪训练2 求函数f (x )＝ln x 在x ＝1处的导数． 解 f ′(x )＝(ln x )′＝1x，∴f ′(1)＝1，∴函数f (x )在x ＝1处的导数为1. 探究点三 导数公式的综合应用例3 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧¼AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大． 解 设P (x 0，y 0)为切点，过点P 与AB 平行的直线斜率k ＝ y ′＝2x 0，∴k ＝2x 0＝2， ∴x 0＝1，y 0 ＝1. 故可得P (1,1)，∴切线方程为2x －y －1＝0.由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，所以|AB |为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，故P(1,1)点即为所求弧¼AOB上的点，使△ABP的面积最大．反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3 曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，求斜率最小的切线方程．解由题意知：y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当x＝－1时，y′取最小值为3，即最小的斜率为3.此时切点坐标为(－1，－14)．∴斜率最小的切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.1．给出下列结论：①若y＝1x3，则y′＝－3x4；②若y＝3x，则y′＝133x；③若y＝1x2，则y′＝－2x－3；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3. 其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析①y＝1x3＝x－3，则y′＝－3x－4＝－3x4；②y＝3x＝13x，则y′＝13·23x ≠133x；③y＝1x2＝x－2，则y′＝－2x－3；④由f(x)＝3x，知f′(x)＝3，∴f′(1)＝3.∴①③④正确．2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C.12xD.32答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．[0，π4]∪[3π4，π)B ．[0，π)C ．[π4，3π4]D ．[0，π4]∪[π2，3π4]答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ， ∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1，∴αl ∈[0，π4]∪[3π4，π)． 4．曲线y ＝e x在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2.[呈重点、现规律]1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．。
高中数学《第一章 导数及其应用》复习学案 新人教A版
第一章导数及其应用（复习） 学习目标 提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力.学习过程一、课前准备108109，找出疑惑之处）复习1：已知点P 和点Q 是曲线223y x x =--上的两点，且点P 的横坐标是1，点Q 的横坐标是4，求：（1）割线的P Q 斜率；（2）点P 处的切线方程.复习2：求下列函数的导数：（1）2tan y x x =； （2）ln x y e x =.二、新课导学学习探究探究任务一：本章知识结构问题：本章学过哪些知识点?新知：试试：一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降，温度T （单位：℃）与时间t （单位：min ）间的关系，由函数()T f t =给出.请问：（1）()f t '的符号是什么？为什么？（2）(3)4f '=-的实际意义是什么？若(3)65f =℃，你能画出函数在点3t =时图象的大致形状吗？反思：1、导数的概念是：2、导数的几何意义是：3、导数的物理意义是：典型例题例1 已知函数2()()f x x x c=-在2x=处有极大值，求c的值.变式：已知函数22(),[1,)x x af x xx++=∈+∞,若()0f x>恒成立,试求实数a的取值范围.小结：例2 如图：过点(1,1)P作直线AB，分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于,A B两点，当直线AB在什么位置时，ABC∆的面积最小，最小面积是多少？变式：用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？动手试试练1. 如图，直线l和圆C，当l从l开始在平面上绕O点按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）.练2. 某旅行社在暑假期间推出如下组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元.如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人.如何组团，可使旅行社的收费最多？三、总结提升学习小结运用导数的知识解决有关函数问题的方法步骤.知识拓展导数是研究函数的有力工具，也是解决函数最（极）值问题，从而是解决优化问题的一种通法.虽然用配方法求二次函数极值的方法很漂亮，但它只是特殊情况下的特殊解法，并不能解决三次函数等一般函数的极值问题，利用导数，我们可以求出满足方程()0f x '=的点，然后根据此点附近两侧导数的符号求出极值.这同时体现了导数这个工具的力量.学习评价当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈，则000()()lim h f x h f x h h→+-- 的值为（ ） A ．0()f x ' B ．02()f x ' C ．02()f x '- D ．02. 32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值为（ ）A ．19/3 B.16/3 C.13/3 D. 10/33. 设28ln y x x =-，则此函数在区间1(0,)4和1(,1)2内分别为（ ） A.单调递增，单调递减 B.单调递增，单调递增C.单调递减，单调递增D.单调递减，单调递减4. 曲线32y x x =+- 在点0P 处的切线平行于直线41y x =-，则点0P 的坐标是5. 函数y=x+2cosx 在区间[0，21]上的最大值是课后作业1. 已知某养殖场每年的固定成本是20000元，每年最大规模的养殖量是400头牛，.每养1头牛，成本增加100元.如果收入函数是21()4002R q q q =-+（q 是猪的数量），每年多少头牛可使总利润最大？总利润是多少？（可使用计算器）。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 导数的概念教案 新人教A版选修2-2(2021年整理)
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导数的概念本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时．教学内容分析1．导数的地位、作用导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时,导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具。
2．本课内容剖析教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因,一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想,这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面,函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型,并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率,我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．教学目的1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验;5．通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．教学重点通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．教学难点使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．教学准备1．查找实际测速中测量瞬时速度的方法;2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训；3．制作《数学实验记录单》及上课课件．教学流程框图教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．教学的主要过程设计如下：复习准备理解平均速度与瞬时速度的区别与联系．体会模型感受当△t→0时，平均速度逼近于某个常数．提炼模型从形式上完成从平均速度向瞬时速度的过渡．形成概念由物体运动的瞬时速度推广到函数瞬时变化率，并由此得出导数的定义．应用概念理解导数概念，熟悉求导的步骤，应用计算结果解释瞬时变化率的意义．小结作业通过师生共同小结，使学生进一步感受极限思想对人类思维的重大影响．教学过程设计5分钟1．复习准备设计意图：让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系,感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度．（1）提问：请说出函数从x1到x2的平均变化率公式．（2)提问：如果用x1与增量△x表示平均变化率的公式是怎样的？(3）高台跳水的例子中，在时间段]4965,0[里的平均速度是零，而实际上运动员并不是静止的．这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 第2课时 基本初等函数的导数公式学案 新人教A版选修22
1.2.2 第二课时 基本初等函数的导数公式一、课前准备 1.课时目标1.熟练记忆基本初等函数的导数公式;2.能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数;3.能利用基本初等函数的导数公式解决简单的综合问题。
2.基础预探1.基本初等函数的导数公式(1)若f (x )＝c ，则f ′(x )＝________.(2)若f (x )＝x n，则f ′(x )＝________. (3)若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝________. (4)若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝________.(5)若f (x )＝a x，则f ′(x )＝________.(6)若f (x )＝e x，则f ′(x )＝________. (7)若f (x )＝log a x 则f ′(x )＝________.(8)若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝________. 二、学习引领1.对基本初等函数的导数公式的理解(1)基本初等函数的求导公式只要求记住公式的形式，学会使用公式解题即可，对公式的推导不要求掌握．(2)要注意幂函数与指数函数的求导公式的区别。
(3)基本初等函数的导数公式，虽然在高考中单独考查该知识点的题目不多，但却是解决其他导数问题的重要基础，必需熟练记忆并掌握。
2.利用导数公式求曲线切线方程的步骤(1)先利用基本初等函数的导数公式求出函数的导数．(2)判断切线所经过的定点(x 0，y 0)是否在已知曲线上，当点在曲线上时，k ＝f ′(x 0)．当点不在曲线上时，应设切点为(x 1，y 1)，k ＝f ′(x 1)＝y 1－y 0x 1－x 0，求出切点．(3)利用点斜式方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)或y －y 0＝f ′(x 1)(x －x 0) 求得切线． 三、典例导析题型一 利用基本初等函数的公式求导数例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y (4)y ＝log 2x 2－log 2x ；思路导析：运用对数性质及三角变换公式，先将问题中不能直接利用公式的问题转化为基本初等函数，再求导数．解析：(1)y ′＝(x x )′＝(32x )′＝32312x -＝32x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)y ′＝(35x )′＝35315x -＝3525x -。
高中数学第一章导数及其应用学案无答案新人教A版(1)
第一章导数及其应用【学习目标】1. 理清本章知识结构.2. 体会重要的思想方法.【重点难点】重点：理解导数，定积分的概念.难点：用导数的及定积分解决一些代数问题及实际问题. 【学法指导】学会对常见解题方法的总结【学习过程】一.本章知识结构回顾二．课堂学习与研讨1：探究点一 利用导数的几何意义解决切线问题1.导数的几何意义:函数()y f x 在点x 0处导数就是____________________,即k =______.这使得导数与解析几何有了密切的联系,一般地,与曲线的切线有关的问题,都可以借助导数来解决.2.利用导数研究曲线的切线问题,务必要注意所给点是否在曲线上.若点在曲线上,__________________________ ,如果所给点不在已知曲线上,则_____________________________________________________.【变式训练】探究点二利用导数研究函数的单调性1.求函数单调区间的步骤如下:(1)确定f(x)的定义域;(2)求导数f'(x);(3)由f'(x)>0(或f'(x)<0)解出相应的x的范围.当f'(x)>0时,f(x)在相应区间上是增函数;当f'(x)<0时f(x)在相应区间上是减函数.2.已知f(x)在区间I上单调递增(递减),等价于f'(x)≥0(≤0)在区间I上恒成立,由此可根据不等式恒成立求得函数解析式中所含参数的取值范围.3.利用导数求函数的单调区间,其实质就是解不等式,不等式的解集就是单调区间,但要注意两点:一是不能忽视函数的定义域,应在定义域的前提下解决问题;二是注意单调区间的写法,如果一个函数有多个增区间(或减区间),一般不能将这几个增(减)区间用符号“∪”连接起来.【变式训练】求函数y ＝13x 3－12(a ＋a 2)x 2＋a 3x ＋a 2的单调减区间．探究点三 利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值与最值1.应用导数求函数极值的一般步骤:(1)确定函数f (x )的定义域;(2)解方程f'(x )=0的根;(3)检验f'(x )=0的根的两侧f'(x )的符号.若左正右负,则f (x )在此根处取得极大值;若左负右正,则f (x )在此根处取得极小值;否则,此根不是f (x )的极值点.2.求函数f (x )在闭区间上的最大值、最小值的方法与步骤:(1)求f (x )在(a ,b )内的极值;(2)将①求得的极值与f (a ),f (b )相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个值为最小值.特别地,当f (x )在上单调时,其最小值、最大值在区间端点处取得;当f (x )在(a ,b )内只有一个极值点时,若在这一点处f(x)有极大(或极小)值,则可以判定f(x)在该点处取得最大(或最小)值,这里(a,b)也可以是(-∞,+∞).【例3】已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f (x)在闭区间上的最大值和最小值.【变式训练】探究点四利用导数研究方程与不等式问题用导数解决不等式问题主要是指运用导数求解不等式,比较大小,证明不等式等;用导数研究方程问题,主要是指根据方程,构造函数,然后利用导数,研究得到函数的单调性、极值、最值情况,从而结合函数图象来研究方程的根的个数问题、大小问题等.这是导数的重要应用之一,是高考的重点和热点内容.【变式训练】求函数f(x)＝x3－3ax＋2的极值，并说明方程x3－3ax＋2＝0何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根(其中a>0)?探究点五函数与方程思想【例5】请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.（1）若广告商要求包装盒侧面积S (cm2)最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．【变式训练】某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3 700x＋45x2－10x3(单位：万元)；成本函数为C(x)＝460x＋5 000(单位：万元)．又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本)（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？【课后作业】训练测评p16---p17。
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.2.1、2(1)
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求简单函数的导函数有两种基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导 ，可以简化运算过程、降低运算难 度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调 整，再选择合适的求导公式．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
A．(0,0)
B．(0,1)
C．(1,0)
D．以上都不是
解析： (x3)′＝3x2，若切线平行或重合于x轴则切线斜率k
＝0，即3x2＝0得x＝0，
∴y＝0，即切点为(0,0)．故选A.
答案： A
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第一章 导数及其应用
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3．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________. 解析： f′(x)＝cos x，所以f′(6π)＝1. 答案： 1
6分 8分
10 分 12 分
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第一章 导数及其应用
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1.求过点P的切线方程时应注意，P点在曲线 上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的．
2．解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系： 一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线 的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值．
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第一章 导数及其应用
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(1)y′＝－3x－4.(2)y′＝3xln 3.
(4)y′＝xln1 5.(5)y＝sin x，y′＝cos x. (6)y′＝0.(7)y′＝1x.(8)y′＝ex.
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1.2.1 几个常用函数的导数
【学习目标】
1.能根据导数定义，求函数21,,,y c y x y x y x
====的导数. 2.熟记基本初等函数：幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式，
并会运用它们进行求导运算.
【重点难点】
重点：求导公式的记忆与应用.
难点：用定义推导常见函数的导数公式．
【学法指导】
熟练八个导数公式。
【学习过程】
一．课前预习
1.2节的内容，记下困惑处并完成下列问题．
1.函数的增量=∆y ；平均变化率y x
∆=∆ ． 2.导数的概念：函数()y f x =的导数()f x '，就是当0x ∆→时，函数的增量y ∆与自
变量的增量x ∆的比y x
∆∆的 ， 即()f x '＝ ＝ ．
3.八个基本求导公式：
()C '= ；（C 为常数） ()n x '= ；(n Q ∈)
(sin )x '= ； (cos )x '= ；
()x e '= ； ()x a '=
(ln )x '= ； (log )a x '= ．
二．课堂学习与研讨1
例1.根据导数定义求下面几个函数的导数．
(1)()f x C =（C 为常数） (2)y x = (3)2y x = (4)x
y 1=
例2.求下列函数的导（函）数
（1）5-=x y ( 2）x y 4= （3）x x x y = (4)x
y 3log = （5）sin()2y x π=+ （6）sin 3y π
= （7）cos(2)y x π=－
动动手：求下列函数的导数
（1）15x y = ； （2）3-=x y )0(≠x ；
（3）)0(45
>=x x y ； （4）cos(
)2y x π=-．
小结：利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为八个基本函数中的某一个，再套用公式求导数．
例3.（1） 求曲线2
y x =在点(1,1)处的切线方程；
（2）求曲线2y x =过点(0,1)-的切线方程；
（3）已知直线1y x =-，点P 为2y x =上任意一点，求P 在什么位置时到直线距离最短．
小结：本题也可以用直线与抛物线的位置关系的方法解决，即用点斜式设出切线方程，
代入抛物线方程中，由判别式等于零，求出斜率，即可求得切线方程和切点坐标．
动动手：
（1）求曲线x y 1
=在点(1,1)处的切线方程；
（2）求曲线2x y =过点(2,3)的切线方程．
【当堂检测】
1．函数x y lg =的导数为 ( )
A ． x 1
B ．10ln 1
x C ．10ln 1
x D ．e x lg 1
2．函数)1,0()1(≠>=a a a y x
且的导数为 ( )
A ．a a x
ln )1( B ．a a x ln -- C ．a
a x ln - D
． a a x 1ln
3． 已知3()f x x =，则(1)f '= ．
4．设y =，则它的导函数为 ．
【课堂小结】
1. 导数的几何意义：设函数y ＝)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的切线的斜率．
2．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、瞬时速度、加速度等问题打下理论基础.
3．在求一类曲线的切线方程时，若有切点，则可以直接通过导数得到斜率，若没有切点，则需要设出切点，求出切点坐标，再求切线方程（如例3）．
【课后作业】
2．设y=e 3,则y'等于( )
A.3e 2
B.e 2
C.0
D.以上都不是 3. 下列曲线中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )
A.f (x )=e x
B.f (x )=x 3
C.f (x )=ln x
D.f (x )= sin x
4. 已知在曲线y=上存在一点P ,曲线在点P 处的切线的倾斜角为135°,则点P 的坐标为 .
5. 求 函数)0,4(2cos π
在点x y =处的切线方程是。