结构力学[第五章力法]课程复习

第五章力法

一、基本内容及学习要求

本章内容包括：力法的基本概念，超静定次数的确定和力法的典型方程，力法计算超静定刚架，超静定结构的位移计算和最后内力图校核，对称性的利用以及单跨超静定梁的杆端内力等。

重点是力法的基本原理。

作为解算超静定结构的基本方法之一，力法十分重要。通过本章的学习应达到：

(1)掌握力法的基本原理。对基本结构的作用和选取、力法典型方程的建立及其物理意义、方程系数和自由项的含义有清楚的理解。

(2)熟练掌握荷载作用下用力法计算超静定刚架的方法和步骤。

(3)掌握利用对称性简化计算的方法。

(4)掌握超静定结构的位移计算及最后内力图的校核方法。

二、学习指导

(一)超静定结构的两个特征

教材§5—1指出：超静定结构的静力特征是具有多余约束力(简称多余力)，即仅凭静力平衡条件无法求出结构的全部反力和内力；其几何组成特征是几何不变且具有多余约束。

这两个特征存在密切的内在联系。由于约束和约束力

的对应关系，多余约束和多余力的数量相等，它的存在使

超静定结构独立未知量的数目大于独立平衡方程的数目。

图5．1所示结构为具有一个多余约束的超静定刚架，总计

4个支座反力仅能列出3个独立平衡方程，说明存在一个未

知的多余力，只用静力平衡方程不可能求出全部支座反力，也无法确定各截面内力。

超静定结构的静力特征由其几何组成决定。为解算超静定结构必须先确定和求出多余力，这就要求除静力平衡方程外还需补充求解多余力的方程。补充方程的数目等于多余力的个数，即具有n个多余力的n次超静定结构须补充n个方程方可求解。

(二)荷载作用下的力法典型方程

教材第三版§5—2(第四版§5—1)以一端固定一端铰支的单跨超静定梁为例，阐述了力法的基本原理和计算方法。即以多余力为基本未知量，把求解荷载作用下的超静定结构(称为原结构)转化为对静定基本结构的计算。转化的条件是基本结构在原荷载和所有多余力的共同作用下，沿各多余力方向的位移应与原结构的相应位移一致。据此建立力法方程并求出多余力，此后的计算即与静定结构无异。

力法解算超静定结构的关键，是根据基本结构在去掉多余约束处的位移条件，建立力法方程以求解多余力。反映位移条件的力法方程本质是变形协调方程(几何方程)，方程本身及其系数和自由项都有明确的物理意义。下面以简例再加说明。图5．2a所示一次超静定梁取图5．2b所示基本体系时，其力法方程为

δ11X1+△1P=0

综上所述，对力法方程应着重理解两点：

(1)无论哪类超静定结构，不管如何选取基本体系，只要超静定次数相等，力法方程一般都有相同的形式。n次超静定结构的力法方程就是力法典型方程，

其系数δ

ü、δ

ik

和自由项△

iP

的含义详见教材。方程右端项表示原结构沿多余力

方向的位移，该位移在荷载作用下通常等于零。

(2)同一原结构选取不同基本结构列出的力法方程形式虽然相同，但所代表

的位移条件及系数、自由项的物理意义各不一样。用力法计算超静定结构时，必须结合基本结构的选取，对方程所表示的位移条件及系数、自由项的物理意义有全面理解。

*(三)支座位移影响下的力法方程

讨论支座位移影响下超静定结构的计算，除可用于工程外，还能加深对位移

条件的理解。图5．4a所示单跨超静定梁，已知其支座B发生竖向位移△

B

，取图5．4b所示基本体系时力法方程为

δ

11X

1

+△

1△

=△

1

比较上述两式，除说明支座位移影响下不同基本结构的力法方程形式发生变化外，再次说明力法方程反映的位移条件及方程中系数、自由项的含义各不相同。顺便指出，计算时一般将出现位移的支座作为多余约束去掉，可使自由项为零，有利简化计算，但方程右端项不会同时为零。

(四)力法基本结构的合理选择

力法基本结构必须是几何不变且无多余约束的静定结构。同一原结构选取的多种基本结构虽计算结果(最后内力)必然相同，但求解过程的繁简却差别很大。为使计算简化须注意以下问题。

(1)选取的基本结构必须几何不变，不能以瞬变体系作为基本结构。如图5．5a 所示三次超静定刚架应去掉三个多余约束，选图5．5b、c、d中的基本结构都可以，但却不能选图5．5e所示的瞬变体系。

又如铰接排架(图5．7a)取图5．7b中的基本结构，各竖柱都是基本部分，绘出的弯矩图之间重叠部分较少，因而计算简便。若取图5．7c中的基本结构(将两竖柱底端改为铰接)，只有竖柱Cc是基本部分，则图乘的计算量必然增大。

(4)对称结构除选取对称的基本结构外，还可采用教材第三版§5—6(第四版§5—4)所述的办法(荷载分组及半刚架法等)简化计算，其中以半刚架法应用最多。

半刚架法一般用在对称超静定结构，特别是刚架计算上。根据对称结构在正(反)对称荷载作用下的受力和变形特性，以半边结构的计算简图代替原结构进行计算，也称为半结构法。

如图5．8a所示承受反对称竖向荷载作用的四跨连续梁，由于支座A的水平反力为零，可视为关于过C点竖轴的对称结构。根据对称轴所在截面结构竖向位移等于零而角位移不为零，相应剪力不为零而弯矩等于零的特点(这和前面讲过“约束使位移为零，同时有相应约束力产生；无约束则出现位移，相应约束力为零”的概念一致)，可取图5．8b所示半结构计算。

作用于对称结构的一般荷载在分解为正对称和反对称两组后，可分别取相应半结构计算，但这样做是否简便要视具体情况而定，因为分开算出的结果还要叠加，有时反不如直接解算来得简单。

(五)用力法解题中需注意的问题

力法计算超静定刚架的步骤在教材第三版§5—5(第四版§5—3)中已作了详细介绍。力法概念明确直观，但计算繁琐易错，须对每个步骤及时校核，以免小误酿成大错。现对梁和刚架的计算提出几点供参考。

(1)多方比较，选取合理的基本结构以简化计算，切记磨刀不误砍柴工。