结构力学[第五章力法]课程复习
结构力学》第5章：力法
【例5.1】如图5.4(a)所示单跨超静定梁的内力图。梁的
EI为常数。
解：(1)选择基本结构
图5.4
该结构为一次超静定，基本结构如图5.4(b)所示。
(2)建立力法典型方程
原结构A端为固定支座不能转动，故△1=0，则力法方程为
(3)计算系数和自由项 分别画出基本结构的荷载弯矩图(图5.4(d))和单位弯矩图(图 5.4(c))，由图乘法，得
2. 超静定结构的类型
超静定结构的应用范围很广，根据不同的需要，可有不同 的形式，概括起来主要有以下五种类型。 (1) 梁
(2) 拱
(3) 刚架
(4) 桁架
(5) 组合结构
3. 超静定次数的确定
超静定结构存在多 余约束。多余约束的数 目，称为原结构的超静 定次数。
图5.1超静定次数的确定
5.2 力 法 原 理
(4)求解多余未知力 将上述结果代入力法方程，得
(5)绘内力图
5.5 利用对称性简化计 算 用力法解算超静定结构时，结构的超静定次数越高，多
余未知力就越多，计算工作量就越大。但在实际的建筑结构工 程中，很多结构是对称的，可以利用结构的对称性，适当地选 取基本结构，使力法方程中尽可能多的副系数为零，从而使计 算量减少。
当结构的几何形状、支座情况、杆件的截面及弹性模量
等均对称于某一几何轴线时，则此结构为对称结构。
5.6 支座移动时超静定结构的计 【算例5.7】如图5.5(a)所示单跨超静定梁，由于支座发生转角θ。
求作梁的弯矩图。梁的EI为常数。
解：(1)选择基本结 构图5.5(b)所示
(2)建立力法典型方程
(3)计算系数和自由项
5.2 力 法 原 理 5.3 力法的典型方程 5.4 力法的应用举例
结构力学复习要点知识大纲
第一章绪论本章复习内容：结构、结构计算简图、铰结点、刚结点、滚轴支座、铰支座、定向支座、固定支座等基本概念。
1、首先必须深刻理解结构、结构计算简图的概念。
结构力学中的概念，都可在理解的基础上用自己的语言表达，不必死记教材上的原话，所谓理解概念，就是弄清其目的、条件、实现目的的手段、适用场合等。
结构是建筑物中承载的骨架部分，本课程研究的是狭义的结构，即杆件结构。
实际的结构是很复杂的，完全按照结构的实际情况进行力学分析是不可能的（可以断言，即使许多年后科学更发达，100％按照结构的实际情况进行力学分析仍然是不可能的！因为结构的复杂性是无穷尽的，科学的发展是无止境的），也是不必要的（次要因素的影响较小，抓住主要因素即可满足工程误差要求）。
因此，对实际结构去掉不重要的细节，抓住其本质的特点，得到一个理想化的力学模型，用一个简化的图形来代替实际结构，就是结构计算简图。
获得结构计算简图没有现成的公式可以套用，必须发挥研究者和工程师的智慧（正是在这点上体现他们水平的高低），经过长期研究和实践，他们总结出以下6方面的简化要点：结构体系的简化（由空间到平面）；杆件的简化（用轴线代替杆）；杆件间连接的简化（结构内部结点的简化）；结构及基础间连接的简化（结构外部支座的简化）；材料性质的简化（杆件材料物理力学特性的简化）；荷载的简化（结构受外部作用的简化）2、对支座的位移限制、约束反力的认识非常重要，因为土木工程结构都是非自由体，不可避免要处理各种支座。
特将本课程中常见的4种支座归纳如下：去掉对某方向平动的限制去掉对转动的限制第二章平面杆件体系的几何构成分析在绪论之后，第二章并没有一头扎进去计算各种结构，因为结构是多个杆件组成的系统，必须对此杆件系统进行几何构成分析，是否能作为结构承载，若是结构，它是怎样“搭”成的，为正确、简便地“拆”结构进行分析打下基础。
正如前面所述，本章非常重要，是结构力学分析的重要基础。
本章复习内容：深刻理解几何不变体系、刚片、自由度、约束、瞬铰、多余约束、二元体、瞬变体系等基本概念，深刻理解几何不变体系的组成规律；熟练掌握用几何不变体系的组成规律对平面杆件体系作几何构成分析。
结构力学第5章 力法0708
【例5-2】用力法计算图5-11a所示连续梁，并作出弯矩图。EI为常数。
解：（1）选取基本体系 原结构为三次超静定结构，以A、B、C三个支座处截面弯矩为基本未知量，
以“串联“在一起的三跨简支梁为基本结构，并得到基本体系如图b所示。 （2）建立力法典型方程
根据原结构支座A处转角为零，支座B、C左右两侧截面相对转角为零这 三个位移条件，建立力法典型方程
作出弯矩图如图f所示。
（6）讨论 本例中，当n为有限值时，柱端弯矩和梁左端弯矩（负弯矩）的数值随着n的增大而
任一截面的弯矩M可用下来计算：
M M1X1 M 2 X2 MP
同一结构可以选取不同的基本体系和基本未知量。如图a所示结构，基 本体系也可采用图a、b、c所示基本体系。
一个n次超静定结构用力法求解时，基本未知量是n个多余未知力即X1、 X2，…，Xn，相应的就有n个已知的位移条件，因此，可以建立n个方程求解这 n个多余未知力。当原结构中多余未知力方向的位移都等于零时，根据叠加原理，
l2 2EI
X3
5FPl 3 48EI
0
0
X1
l EA
X
2
0
X3
0
0
l2 2EI
X1
0 X2
l EI
X3
FPl 2 8EI
0
解方程组，得
X1
FP 2
X2 0
X3
FPl 8
（5）作内力图 利用叠加原理
M M1X1 M 2 X2 M 3X3 MP
FN F N1 X1 F N2 X 2 F Nn X n FNP
结构力学第五章 力法
超静定结构与静定结构 在计算方面的主要区别
• 静定结构的内力只要根据静力平衡条件即 可求出，而不必考虑其它条件，即：内力是 静定的。 • 超静定结构的内力则不能单由静力平衡
条件求出，而必须同时考虑变形协调条件，即： 内力是超静定的。
求解超静定结构的计算方法
• • 从方法上讲基本有两种：力法和位移法。 从历史上讲分传统方法和现代方法。
M1 M1 M 12 l 3 (图形自乘) • EI dx EI dx 3EI 11
•
1P
4 M1MP ql dx EI 8EI
• 代入变形条件， 得： • X1= - ⊿1P/δ11= 3ql/8 (↑) • 最后弯矩图可用叠加原理（也可将X1作用在基
•⊿2P=[(ql2/2×l)×l] =ql4/2EI
（3）、解方程 （求解未知量）
• 力法方程：（可消去 l3/EI） • 4/3 X 1 -X 2 - 5ql/8 = 0 • -X1+4/3X2+ ql/2 = 0 • 解出： • X 1 =3ql/7 • X2 = - 3ql/56
1nXn+
… … nnXn+ ⊿nP = 0
• (n次超静定结构在荷载作用下的力法典型方程） • 基本未知量：n个多余未知力X1 、X2、… Xn； • 基本体系：从原结构中去掉相应的n个多余约 束后所得的静定结构； • 基本方程：n个多余约束处的n个变形条件。
力法典型方程的讨论：
• （1）、可写成矩阵形式: 11 12 1n X 1 1P 0 • 22 2 n X 2 2 P 0 21 n1 n 2 nn X N nP 0 • [δ ]{X} + {⊿P } = {0} • [δ ]——系数矩阵、柔度矩阵 • （2）、力法方程主系数： δ ii≠0,恒为正 . • 因为δ ii是Xi=1作用在自身方向上，所产 生的位移系数，所以不为零，恒为正。
结构力学-第五章-力法1
Δ1P ——基本结构由荷载引起的竖向位移, Δ1X ——基本结构由未知力引起的竖向位移。
11表示单位力X1 X1 作用的位移，则： 若以 作用时，未知力
1X 11 X1 1 11 X1 1P 0
上式含多余未知力X1 的方程称为一次超静定的力 法基本方程。
§5-2 力法的基本概念
去掉几个约束后成为静 定结构,则为几次超静定
X 1 X2 X3 X1 X 2 X3
X 1 X2 X3
去掉一个链杆或切断一个链杆相 当于去掉一个约束
§5-1 超静定结构的概述和超静定次数的确定
（2）去掉一个铰支座或一个单铰，等于拆掉两个约束。
（3）去掉一个固定支座或切断一个梁式杆，等于拆掉 三个约束。
基本结构
基本体系
（1）力法基本未知量X1 与X2
l
§5-2 力法的基本概念
C' C B' B
△ 21
l
△ 11
C' C
B' B X2
△12
M
C C'
B
△ 1P
X1
l
A
l/ 2
A
l/2
A
l/ 2
（2）位移协调条件：基本结构在原有荷载M 和多余 力X1、X2共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与 原结构相应的位移相等。 基本体系在X1方向的位移为零，Δ1=0 （ a） 基本体系在X2方向的位移为零, Δ2=0
由：M X1 M 1 M P
ql 8 A
B
M图
思考：图示结构的力法基本方程？
A B
§5-2 力法的基本概念
二. 几个概念
力法的基本未知数:超静定结构多余约束的未知约束力 , 即超静定次数。 力法的基本结构:把原超静定结构的多余约束去掉, 所 得到的静定结构就称为原结构的基本结构。 力法的基本体系:在基本结构上加上外荷载及多余约束 力，就得到了基本体系。 力法的基本方程:根据原结构已知变形条件建立的力法 方程。对于线性变形体系，应用叠加原理将变形条件写 成显含多余未知力的展开式，称为力法的基本方程。 选取基本体系的原则：基本体系必须是几何不变的。 通常取静定的基本体系。在特殊情况下也可以取超静定 的基本体系。
结构力学-第五章-力法
支座1处
的转角
支座2处
1 0
的转角
21 23
§ 3-2 力法的基本原理及典型方程
上式即为变形协调条件。利用两端自由支持单跨 梁的弯曲要素表，可以得到转角与弯矩和外载荷之间 的关系式，并将他们代入到上式，得到：
M1 M2
1
m1l 3 EI
m 2l 6 EI
q 2
m 1l 6 EI
m2l 3 EI
目，即为超静定次数。
（2）确定超静定次数的方法——通过去掉多余约束来
确定。（去掉n个多余约束，即为n次超静定）。
（3）去掉（解除）多余约束的方式 a、撤去一个活动铰支座、去掉或切断一根链杆——去
掉1个约束（联系）；
X1
§ 5-1 超静定结构概述和力法基本概念
b、去掉一个单铰或一个固定铰支座—— 去掉2个约束；
几何特征:有多余约束的几何不变体系。
静力特征:仅由静力平衡方程不能求出所有内力和反力.
超静定问题的求解要同时考虑结构的“变形、本构、 平衡”.
§ 5-1 超静定结构概述和力法基本概念
1）超静定结构的类型
桁架
拱
超静定梁
刚架
桁架
组合结构
§ 5-2 超静定次数和力法基本概念
2）超静定次数确定 （1）超静定次数——结构多余约束或多余未知力的数
分析基本结构在单位基本未知力和外界因 素作用下的位移，建立位移协调条件——力 法方程。
从力法方程解得基本未知力，由叠加原理 获得结构内力。超静定结构分析通过转化为 静定结构获得了解决。
§ 3-3 刚性支座上连续梁与不可动节点简单刚 架计算
喜 迎 党 的 十九 大心得 体会及 感受 召 开 党 的十 九大是 我国全 面建成 小康社 会 ， 打 赢 扶 贫攻坚 战召开 的一次 十分重 要的大 会，是 党的政 治生活 中的一 件大事 、 喜 事 。 此 次代表 大会将 关系着 未来五 年党和 国家的 决策走 向，也 关系到 十三亿 中 国 人 民 的 福祉， 将会出 台一系 列政策 ，作为 作为一 名中国 人我们 都应该 好好关 注 此 次 代 表 大会的 召开。 从 党 的 xx大 大召 开以来 ，党中 央就强 调从严 治党， 如 今 五 年 过 去了， 我国在 反腐工 作上取 得了显 著成绩 ，而且 在经济 社会发 展方面 我 国 也 保 持 了十足 的劲头 。“一 带一路 ”战略 的实施 ，将增 加了我 国与沿 线国家 的 经 济 合 作 与贸易 往来， 中国在 世界的 影响力 也越来 越大。 神舟十 一号飞 船的成 功 发 射 ， 让 我过的 载人航 天技术 更加成 熟，让 我国在 探索太 空的道 路上更 进一步 。 取 得 的 一 系列成 绩，都 离不开 党的正 确领导 ，作为 一名中 国人， 我们应 该感到 自 豪 ， 因 为 我们有 这么一 个强大 的党和 国家。 落后就 要被挨 打，是 党让广 大人民 翻 身 做 了 主 人，我 们要牢 记历史 。实践 证明， 在党的 领导下 ，我国 经济社 会稳步 发 展 ， 每 年 都保持 着良好 的增长 势头， 全国人 民正逐 步实现 奔小康 。我们 要拥护 党 的 决 策 ， 在党的 领导下 ，尽好 自己的 义务， 去建设 自己的 祖国， 伟大的 中国梦
结构力学第五章力法
12kN/m
EI
2
2 M1 基本体系
24
2EI
2EI
4m
MP
6 216
6
d11 =
D1 P =
1 6 6 2 6 1 1 2 2 2 2 224 2 = 2 EI 2 3 EI 2 EI 2 3 3EI
M
1 6 216 3 6 2 EI 3 4 1 2 24 3 2 984 1 = 4 EI EI 2 EI 3
(A)
由上述，力法计算步骤可归纳如下： 1）确定超静定次数，选取力法基本体系； 2）按照位移条件，列出力法典型方程； 3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，用（A）式求系数和自由项； 4）解方程，求多余未知力； 5）叠加最后弯矩图。 M = M i X i M P
q=23kN/m
q=23kN/m
6m
=
撤除约束时需要注意的几个问题： （1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替， 撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。 （3）内外多余约束都要撤除。
（4）不要把原结构撤成几何可变或几何瞬变体系
4 5 1 2 外部一次，内部六次 撤除支杆1后体系成为瞬变 不能作为多余约束的是杆 1、2、 5 共七次超静定 1 3
力法基本体系的合理选择
1 1 2 1 1 1 21 aa qa2 21= 2a = d a = qa3 d12P = d 21 = D1d 11力法基本体系有多种选择，但必须是几何不变体系。同时应 == = ,22 D 2 P = 0 EI 3 3 624 EI EI EI2 28 32 3EI EI 尽量使较多的副系数、自由项为零或便于计算。所选基本体系应 含较多的基本部分，使Mi,MP尽可能分布局部。 qa 2 用力法解图示连续梁， 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 15 各跨EI=常数,跨度为a. 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 2kN/m 2a X1 qa 2 X2 d 11 = = d 22 ↓↓↓↓↓↓↓↓ 3EI 60 a d 12 = d 21 = X1=1 M1 6 EI qa3 D1P = , D2P = 0 1 24 EI X2=1 M 2
结构力学(I)-5力法
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第五章
练习
力法
FP
l
FP
l
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第五章
力法
2 非荷载因素作用下的结构分析
与荷载情况静力计算的区别在于自由项计算的不同。 t 温变情况自由项 it M t 0 N h iC Ri ci 支座移动自由项 由于基本结构是静定的，在温度改变或支座移动时不产生 内力，所以超静定结构的最终内力只与多余力的值有关。
(1)、集中荷载沿柱轴作用 (2)、等值反向共线集中荷载沿杆轴作用。 (3)、集中荷载作用在不动结点。
FP FP FP
FP
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第五章
判断方法:
力法
结构化成铰接体系后，若能在当前状态平衡 外力，则原体系无弯矩。
FP
FP FP FP
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第五章
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第五章
5-2-3 力法的解题步骤
Δ11
力法
Δ1 Δ11 Δ1P 0 Δ11 11 X1
力法 方程
X1
q
Δ1P
11 X1 Δ1P 0
其中11 和1P 可图乘法获得； 由此确定约束力X1，通过叠加求内力； 超静定问题变成静定问题。
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第五章
力法步骤:
力法
1. 确定基本体系； 2. 通过位移条件写出力法方程； 3. 作单位弯矩图，荷载弯矩图； 4. 求出系数和自由项； 5. 解力法方程求多余力； 6. 叠加法作弯矩图。
结构力学-第五章-力法2
§5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算
D X 1 =1 F E G H
X2=1 F EI1 EI1 H EI 2 EI2 B C G
D E
F
G H
15 kN
EI3
8 A B 8 C
A 11.2
11.2
A
B
C
120 kN m
●
M 1 ( kN m)
M 2 ( kN(e) m)
M P ( kN m)
M1
B
4
A
M2
B
4
4
60 kN
D C
E
240
M p (kN m)
A
B
1 1 2 4800 Δ2 P 5 240 4 ＝ EI 2 3 3EI
Δ1P 1 5 5400 240 ( 2 4 1) ＝ EI 6 3EI
§5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算
4、求多余未知力 将以上所得各位移系数和自由项代入力法典型方程即有
2l l ql 3 X1 X2 0 3EI 6 EI 24 EI l 2l X1 X2 0 思考：荷载作用下，超静定结构的 6 EI 3EI 反力与梁的刚度有关吗？ 解得：
1 2 X 1 ql 15
X2
1 2 ql 60
得两次超静定的力法基本方程
b 基本体系
X1
A
X2
11 X 1 12 X 2 Δ1p 0 21 X 1 22 X 2 Δ2 p 0
ij —— 位移系数，为基本结构在单位力
Xj=1单独作用下沿Xi方向产生的位移；
§5-2 力法的基本概念
力法的典型方程
结构力学 第五章 力法
（2）确定超静定次数的方法——通过去掉多余约束来
确定。（去掉n个多余约束，即为n次超静定）。
（3）去掉（解除）多余约束的方式 a、撤去一个活动铰支座、去掉或切断一根链杆——去
掉1个约束（联系）；
X1
§ 5-1 超静定结构概述和力法基本概念
b、去掉一个单铰或一个固定铰支座—— 去掉2个约束；
X 1 Δ1 p 0 X Δ n np
（3）最后弯矩
M X1 M 1 X 2 M 2 X n M n
§ 3-2 力法的基本原理及典型方程
力法基本思路小结
解除多余约束，转化为静定结构。多余约 束代以多余未知力——基本未知力。 分析基本结构在单位基本未知力和外界因 素作用下的位移，建立位移协调条件——力 法方程。
单独作用于基本结构时，所引起的沿Xi方向的位移，
可为正、负或零，且由位移互等定理：δi j =δj i 自由项ΔiP ——荷载FP单独作用于基本体系时， 所引起Xi方向的位移，可正、可负或为零。
§ 3-2 力法的基本原理及典型方程 （2）典型方程的矩阵表示
δ11 δn1
δ1n δnn
3
0.393ql
0.464ql 0.607ql
§ 3-2 力法的基本原理及典型方程
力法基本原理：把去掉原结构上的多 余联系后所得的静定结构作为基本结构， 以多余约束力作为基本未知量，根据原 结构在多余联系处的变形条件列力法方 程，解之即得多余约束力；而以后的计 算与静定结构相同。必须指出，基本结 构的选取虽然可以不同，但它必须是几 何不变的。否则不能用作计算超静定结 构的计算图形。支反力数 目）； j（节点数）
结构力学——5力法
系数行列式之值>0 主系数 ii 0
0 副系数 ij 0 0
5)最后内力
M M 1 X 1 M 2 X 2 .......... ... M n X n M
返回
P
作业： 第106页 5-1（a）、（b）（c）、 （f）、 （g）、（i）、 （j） 5-2 （a）、（b）（c）
静力特性
非荷载外因的影响
内力与刚度的关系
无关
返回
6. 力法解超静定结构的思路 首先以一个简单的例子，说明力法的思路和基本概 念。讨论如何在计算静定结构的基础上，进一步寻求计 算超静定结构的方法。 1判断超静定次数： n=1 2. 选择基本体系（结构） 3写出变形(位移)条件:
(a)
EI 原体系（原结构）
返回
（1）对称结构作用对 称荷载
11X1+12X2+△1P=0 21X1+22X2+△2P=0 33X3+△3P=0
MP图是正对称的，故△3P=0。 X3=0 。 则
返回
（1）力法方程的物理意义为： 基本结构在全部多余 未知力和荷载共同作用下，基本结构沿多余未知力方向 上的位移，应与原结构相应的位移相等。 （2）系数及其物理意义： 下标相同的系数 i i 称为主系数(主位移)，它是单位 单独作用时所引起的沿其自身方向上 多余未知力 的位移，其值恒为正。 系数 i j(i≠j)称为副系数(副位移)，它是单位多余未知力 单独作用时所引起的沿 Xi方向上的位移， 其值可能为正、为负或为零。据位移互等定理，有 i j= j i △i P称为常数项(自由项)它是荷载单独作用时所引起 的沿Xi方向的位移。其值可能为正、为负或为零。 返回 上述方程的组成具有规律性，故称为力法典型方程。
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第5章静定结构位移计算的虚力法
5.1复习笔记
本章重点介绍了虚力法的原理以及如何运用虚力法对不同结构在各种荷载作用下的指定位移进行求解。
遵循“化整为零、积零为整”的思想，对结构的局部位移公式进行了分项讨论，在虚力法的指导下叠加组成了结构的整体变形公式，随后将虚力法升华到了对广义单位荷载的设定以及对广义位移的求解；通过引入图乘法，结构的弯矩变形公式的求解变得更加快捷且精确；最后介绍了温度影响下结构的位移求解并归纳了线性变形体系的四个互等定理。
一、虚力法求刚体体系的位移（见表5-1-1）
表5-1-1虚力法求刚体体系的位移
二、虚力法求静定结构的位移（见表5-1-2）
表5-1-2虚力法求静定结构的位移
表5-1-3广义位移分类
三、两个对偶解法——虚力法求位移、虚位移法求内力（见表5-1-4）
表5-1-4两个对偶解法——虚力法求位移、虚位移法求内力
四、荷载作用时静定结构的弹性位移计算（见表5-1-5）
表5-1-5荷载作用时静定结构的弹性位移计算。
天津大学结构力学第五章
拆除约束法常要用到约束的约束数，现归纳如下： 1 2
切断一根二力杆或去掉一根支座链杆，相当于 去掉一个约束 切开一个单铰或去掉一个固定铰支座，相当 于去掉两个约束 于去掉三个约束
3 切断一根连续杆或去掉一个固定支座，相当 4
将固定端换成固定铰支座或在一根连续杆上加 一个单铰，相当于去掉一个约束
用拆除约束法判定结构的力法基本未知量， 应注意： ①结构上的多余约束一定要拆干净，即最 后应是一个无多余约束的几何不变体系； ②要避免将必要约束拆掉，即最后不应是 几何可变体系或几何瞬变体系。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱNP 图
B
13.333
E
16.667
F
13.333
20kN C 23.570 1.667 A 16.667
10kN 15 2.357 1.667 2.357
D
18.856
E
15
F
13.333
B
N 图
例6-4-2 用力法计算图(a)所示组合结构，求出各桁架 杆的轴力，并作梁式杆的弯矩图。已知梁式 杆的抗弯刚度EI=常数，各桁架杆的轴向刚度 EA=常数，且A=I/16。 q=10kN/m
A x1 x2 B x2 C
(b)基本结构1
(c)基本结构2
图6-1-3
一个超静定结构的多余约束数是一定的，但 是基本体系却不是唯一的。
力法基本未知量数 = 结构的多余约束数 = 结构的超静定次数
对于较复杂的超静定结构，可采用 拆除约束法 即，逐一拆除结构的约束，直到其成为静定 结构（力法基本结构），则拆除的约束就是 多余约束，其数量就是力法的基本未知量数。
(a)
简化为：
1 qL2 x1 x 2 0 2 8 1 qL2 x1 x 2 0 2 8
结构力学第五章 力 法
三、力法的典型方程
在上面方程组(5-4)中，多余未知力前面的系数组成了n行n列的 一个数表。从左上方到右下方对角线上系数δii(i=1，2，…，n) 称为主系数，它是单位多余未知力Xi=1单独作用所引起的沿自 身方向位移；其他系数δij(i≠j)称为副系数，它是单位多余未知 力Xj=1单独作用所引起的沿Xi方向位移；最后一项ΔiF称为自 由项，它是荷载单独作用时，所引起沿Xi方向位移。 显然，由物理概念可推知，主系数恒为正值，且不会为零；副 系数和自由项则可能为正、为负或为零。而且按位移互等定理， 有以下关系：δij=δji上述力法典型方程组具有一定规律性，无 论超静定结构是何种类型，所选择基本结构是何种形式，在荷 载作用下所建立的力法方程组都具有如式(5-4)相同的形式，故 称其为力法的典型方程。
(5) 绘内力图 最后弯矩图，可按叠加法求出，即M=M1X1+
M2X2+MF，M图已示于图5-15f中。剪力图和轴力图的作法， 只需把求得的多余未知力X1、X2代回基本体系(图5-15b)，
按一般静定刚架内力图作法即可求得，在此从略。
二、刚架
【例5-4】用力法计算图5-16a所示刚架，绘出弯矩M图。设EI
上式为正值，表示X1的实际方向与假定相同，即竖直向上。
二、力法的基本方程 多余未知力X1求出后，其余所有反力和内力从基本体系可看 出，都属于静定结构计算问题。绘制弯矩图可以应用已画出 的M1、MF图，应用叠加法较方便。 即有 例如，A截面弯矩值为
于是可作出M图(最后弯矩图)，如图5-11c所示。
二、力法的基本方程
图 5-11
三、力法的型方程 用图5-12a所示的二次超静定刚架为例，说明如何建立多次超静定 结构的力法基本方程，即力法典型方程。 撤除原结构B端约束，以相应的多余未知力X1、X2来代替原固定 铰支座约束作用，应用时考虑荷载作用，可得基本体系如图5-12b 所示。 图5-12原结构在支座B处是固定铰支座，将不会产生水平、竖向线 位移。因此，在基本体系上B点沿X1、X2方向位移也应为零，即 位移条件应为Δ1=0， Δ2=0和上面讨论一次单跨超静定梁相彷，设 单位多余未知力X1=1、X2=1和荷载F分别单独作用在基本结构上 时：B点沿X1方向产生位移记为δ11、δ12和Δ1F；沿X2方向产生的 位移记为δ21、δ22和Δ2F(图5-12c、d、e)。 按叠加原理，基本体系应满足的位移条件可表示为 δ11X1+δ12X2+Δ1F=0 δ21X1+δ22X2+Δ2F=0(5-3) 这就是求解多余未知力X1、X2所要建立力法典型方程式，求解该 线性方程组即可求得多余未知力。
结构力学第五章
第五章重点要求掌握
1.掌握力法的基本原理及解题思路，重点在正确地选择力法基本体系，明确力法方程
的物理意义。
2.熟练掌握在荷载作用下超静定梁、刚架、排架内力的求解方法。
3.掌握用力法求解在支座发生位移时梁和刚架内力的方法。
4.能利用对称性进行力法的简化计算。
5.能计算超静定结构的位移及进行变形条件的校核
作业题
5-1a确定超静定结构的次数
解：去掉三个链杆，变成静定的悬臂梁，所以本结构是3次超静定结构
5-1b确定超静定结构的次数
解：去掉A点链杆，结构变成静定组合梁，所以本结构是1次超静定结构
5-1c确定超静定结构的次数
解：去掉A点两个链杆约束，结构变成静定刚架，所以本结构是2次超静定结构
5-1d确定超静定结构的次数
解：去掉CF、CG、FG共3个链杆， A、B为固定支座改为铰支座，结构成为静定结构，所
以本结构是5次超静定结构
5-1e确定超静定结构的次数
解：将圆环截断，结构成为静定结构，所以本结构是3次超静定结构
5-1f确定超静定结构的次数
解：将两个方框截断，去掉其中3个固定支座，结构成为静定结构，所以本结构是15次
超静定结构
5-1g确定超静定结构的次数。
《结构力学》第5章：力法
03
对边界条件敏感
力法对边界条件的处理较为敏感， 边界条件的微小变化可能导致计 算结果的显著不同。
适用范围讨论
适用于线弹性结构
01
力法适用于线弹性结构，即结构在荷载作用下发生的
变形与荷载成正比，且卸载后能够完全恢复。
适用于静定和超静定结构
02 力法既适用于静定结构，也适用于超静定结构，但超
静定结构需要引入多余未知力和变形协调条件。
在传动系统的力学分析中，采用力法计算各部件的受力情况，
确保传动系统的正常运转。
案例分析与启示
力法应用广泛性
力法计算精确性
通过以上案例可以看出，力法在桥梁、建 筑和机械工程等领域具有广泛的应用价值 。
力法作为一种精确的计算方法，在解决超 静定问题方面具有显著优势。
力法在工程实践中的局限性
对未来研究的启示
《结构力学》第 力法典型方程及应用 • 力法计算过程与实例分析 • 力法优缺点及适用范围 • 力法在工程实践中应用 • 力法学习建议与拓展资源
01 力法基本概念与原理
力法定义及作用
力法是一种求解超静定结构的方法， 通过引入多余未知力，将超静定问题 转化为静定问题进行求解。
桁架结构应用
桁架结构由杆件组成，通过力法可以求解桁架结构中的多余未知力，进而分析 桁架的稳定性和承载能力。
组合结构应用
组合结构由不同材料或不同形式的构件组成，通过力法可以分析组合结构的内 力和变形，为结构设计提供优化建议。
复杂结构简化与力法应用
复杂结构简化
对于复杂结构，可以通过合理简化为静定结构或简单超静定结构，进而应用力法求解。
适用于简单和规则结构
03
对于简单和规则结构，力法能够较为方便地求解出结
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第五章力法
一、基本内容及学习要求
本章内容包括：力法的基本概念，超静定次数的确定和力法的典型方程，力法计算超静定刚架，超静定结构的位移计算和最后内力图校核，对称性的利用以及单跨超静定梁的杆端内力等。
重点是力法的基本原理。
作为解算超静定结构的基本方法之一，力法十分重要。
通过本章的学习应达到：
(1)掌握力法的基本原理。
对基本结构的作用和选取、力法典型方程的建立及其物理意义、方程系数和自由项的含义有清楚的理解。
(2)熟练掌握荷载作用下用力法计算超静定刚架的方法和步骤。
(3)掌握利用对称性简化计算的方法。
(4)掌握超静定结构的位移计算及最后内力图的校核方法。
二、学习指导
(一)超静定结构的两个特征
教材§5—1指出：超静定结构的静力特征是具有多余约束力(简称多余力)，即仅凭静力平衡条件无法求出结构的全部反力和内力；其几何组成特征是几何不变且具有多余约束。
这两个特征存在密切的内在联系。
由于约束和约束力
的对应关系，多余约束和多余力的数量相等，它的存在使
超静定结构独立未知量的数目大于独立平衡方程的数目。
图5．1所示结构为具有一个多余约束的超静定刚架，总计
4个支座反力仅能列出3个独立平衡方程，说明存在一个未
知的多余力，只用静力平衡方程不可能求出全部支座反力，也无法确定各截面内力。
超静定结构的静力特征由其几何组成决定。
为解算超静定结构必须先确定和求出多余力，这就要求除静力平衡方程外还需补充求解多余力的方程。
补充方程的数目等于多余力的个数，即具有n个多余力的n次超静定结构须补充n个方程方可求解。
(二)荷载作用下的力法典型方程
教材第三版§5—2(第四版§5—1)以一端固定一端铰支的单跨超静定梁为例，阐述了力法的基本原理和计算方法。
即以多余力为基本未知量，把求解荷载作用下的超静定结构(称为原结构)转化为对静定基本结构的计算。
转化的条件是基本结构在原荷载和所有多余力的共同作用下，沿各多余力方向的位移应与原结构的相应位移一致。
据此建立力法方程并求出多余力，此后的计算即与静定结构无异。
力法解算超静定结构的关键，是根据基本结构在去掉多余约束处的位移条件，建立力法方程以求解多余力。
反映位移条件的力法方程本质是变形协调方程(几何方程)，方程本身及其系数和自由项都有明确的物理意义。
下面以简例再加说明。
图5．2a所示一次超静定梁取图5．2b所示基本体系时，其力法方程为
δ11X1+△1P=0
综上所述，对力法方程应着重理解两点：
(1)无论哪类超静定结构，不管如何选取基本体系，只要超静定次数相等，力法方程一般都有相同的形式。
n次超静定结构的力法方程就是力法典型方程，
其系数δ
ü、δ
ik
和自由项△
iP
的含义详见教材。
方程右端项表示原结构沿多余力
方向的位移，该位移在荷载作用下通常等于零。
(2)同一原结构选取不同基本结构列出的力法方程形式虽然相同，但所代表
的位移条件及系数、自由项的物理意义各不一样。
用力法计算超静定结构时，必须结合基本结构的选取，对方程所表示的位移条件及系数、自由项的物理意义有全面理解。
*(三)支座位移影响下的力法方程
讨论支座位移影响下超静定结构的计算，除可用于工程外，还能加深对位移
条件的理解。
图5．4a所示单跨超静定梁，已知其支座B发生竖向位移△
B
，取图5．4b所示基本体系时力法方程为
δ
11X
1
+△
1△
=△
1
比较上述两式，除说明支座位移影响下不同基本结构的力法方程形式发生变化外，再次说明力法方程反映的位移条件及方程中系数、自由项的含义各不相同。
顺便指出，计算时一般将出现位移的支座作为多余约束去掉，可使自由项为零，有利简化计算，但方程右端项不会同时为零。
(四)力法基本结构的合理选择
力法基本结构必须是几何不变且无多余约束的静定结构。
同一原结构选取的多种基本结构虽计算结果(最后内力)必然相同，但求解过程的繁简却差别很大。
为使计算简化须注意以下问题。
(1)选取的基本结构必须几何不变，不能以瞬变体系作为基本结构。
如图5．5a 所示三次超静定刚架应去掉三个多余约束，选图5．5b、c、d中的基本结构都可以，但却不能选图5．5e所示的瞬变体系。
又如铰接排架(图5．7a)取图5．7b中的基本结构，各竖柱都是基本部分，绘出的弯矩图之间重叠部分较少，因而计算简便。
若取图5．7c中的基本结构(将两竖柱底端改为铰接)，只有竖柱Cc是基本部分，则图乘的计算量必然增大。
(4)对称结构除选取对称的基本结构外，还可采用教材第三版§5—6(第四版§5—4)所述的办法(荷载分组及半刚架法等)简化计算，其中以半刚架法应用最多。
半刚架法一般用在对称超静定结构，特别是刚架计算上。
根据对称结构在正(反)对称荷载作用下的受力和变形特性，以半边结构的计算简图代替原结构进行计算，也称为半结构法。
如图5．8a所示承受反对称竖向荷载作用的四跨连续梁，由于支座A的水平反力为零，可视为关于过C点竖轴的对称结构。
根据对称轴所在截面结构竖向位移等于零而角位移不为零，相应剪力不为零而弯矩等于零的特点(这和前面讲过“约束使位移为零，同时有相应约束力产生；无约束则出现位移，相应约束力为零”的概念一致)，可取图5．8b所示半结构计算。
作用于对称结构的一般荷载在分解为正对称和反对称两组后，可分别取相应半结构计算，但这样做是否简便要视具体情况而定，因为分开算出的结果还要叠加，有时反不如直接解算来得简单。
(五)用力法解题中需注意的问题
力法计算超静定刚架的步骤在教材第三版§5—5(第四版§5—3)中已作了详细介绍。
力法概念明确直观，但计算繁琐易错，须对每个步骤及时校核，以免小误酿成大错。
现对梁和刚架的计算提出几点供参考。
(1)多方比较，选取合理的基本结构以简化计算，切记磨刀不误砍柴工。
(2)正确绘制单位弯矩图和荷载弯矩图，要注意校核是否满足静力平衡条件。
(3)计算系数及自由项应注意图乘易发生的错误(如漏项、符号出错、竖标未在直线图形中取得及未注意各杆E，差别等)。
荷载作用下内力只与杆件E，的相对值有关，故可以E，的比值计算。
(4)两个以上多余力的力法方程组联立求解容易出错，应将求出的多余力回代检查是否正确。
(5)作最后内力图须注意多余力的实际方向。
多余力为正(负)，表明其实际方向与基本体系假设的方向相同(反)，作图最好按多余力实际方向绘制。
*(六)超静定结构的位移计算
超静定结构位移计算同样可采用单位荷载法。
由于可以把超静定结构的多余力和原荷载均视为作用于基本结构上的外力，并将该超静定结构的最后内力图(看作由多余力和原荷载在基本结构上引起)作为计算位移的实际状态内力图，从而把求超静定结构的位移转化为计算静定结构位移，因此虚拟状态的单位荷载可加在基本结构上，使问题得以简化。
这一方法具体应用时要注意两点。
(1)同一超静定结构解算可选取不同的基本结构，求位移时单位荷载可加在任一基本结构上。
为使计算简便，应选取虚拟内力图较简单的基本结构。
如图5．9a 所示两跨连续梁(EI=常数)，已用力法绘制出最后M图如图5．9b所示，求截面时取图5．9c、d所示虚拟状态均可。
其中图c与图b图乘，得D的竖向位移△
DV
结果相同但前者简单，故以图c作虚拟状态更合理。
显然，这是舍近求远的不合理做法。
(2)超静定结构不论用力法还是其他方法解算，计算位移时都可取其任一力
法基本结构作虚拟状态，用单位荷载法求解。
如图5．10a为刚架在水平均布荷载作用下的M图，欲求截面E的水平位移
△
EH
，可取图5．10b所示静定的虚拟状态。
忽略轴向变形时E、F两结点水平位移相同，取图5．10c所示虚拟状态亦可求得F点的水平位移
*(七)最后内力图校核
最后内力图都需要进行校核。
梁和刚架的内力图宜按M、F
Q 和F
N
的顺序进行，
其中M图应分别以静力平衡条件和位移条件校核，F
Q 、F
N
图一般只校核静力平衡
条件。
用位移条件对最后M图校核，不必拘泥于校核所取基本结构沿某多余力方向的位移，也可检查其他任一已知位移条件是否得到满足。
如左柱承受水平均布荷载的单跨刚架，将横梁中点截面切开作基本结构求得最后M图如图5．11 a所示。
位移条件校核时可取图5．11 b所示静定虚拟状态，计算B支座的竖向位移。