2017北京中考数学二模28几何综合专题

28. 取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：

第一步：如图1，先把正方形ABCD 对折，折痕为MN ；

第二步：点G 在线段MD 上，将△GCD 沿GC 翻折，点D 恰好落在MN 上，记为点P ，连接

BP .

（1）判断△PBC 的形状，并说明理由；

（2）作点C 关于直线AP 的对称点C ′，连PC ′，D C ′， ①在图2中补全图形，并求出∠APC ′的度数； ②猜想∠PC ′D 的度数，并加以证明.

（温馨提示：当你遇到困难时，不妨连接A C ′，C C ′，研究图形中特殊的三角形）

2【2017西城二模】

28．△ABC 是等边三角形，以点C 为旋转中心，将线段CA 顺时针方向旋转60°得到线段CD ，连接BD 交AC 于点O ． （1）如图1，

①求证：AC 垂直平分BD ；

②点M 在BC 的延长线上，点N 在线段CO 上，且ND =NM ，连接BN ，判断△MND 的形状，并加以证明；

（2）如图2，点M 在BC 的延长线上，点N 在线段AO 上，且ND =NM ，补全图2．

求证：NA = MC ．

G

P N

M

B

C

A

D

D

P

B C

A

28．在锐角△ABC 中，AB=AC ，AD 为BC 边上的高，E 为AC 中点．

（1）如图1，过点C 作CF ⊥AB 于F 点，连接EF ．若∠BAD =20°，求∠AFE 的度数； （2）若M 为线段BD 上的动点（点M 与点D 不重合），过点C 作CN ⊥AM 于N 点，射线EN ，

AB 交于P 点． ①依题意将图2补全；

②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M 运动的过程中，始终有∠APE =2∠MAD ． 小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：连接DE ，要证∠APE =2∠MAD ，只需证∠PED =2∠MAD ．

想法2：设∠MAD =α，∠DAC =β，只需用α，β表示出∠PEC ，通过角度计算得∠APE =2α． 想法3：在NE 上取点Q ，使∠NAQ =2∠MAD ，要证∠APE =2∠MAD ，只需证

△NAQ ∽△APQ ． ……

请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE =2∠MAD ．（一种方法即可）

E

F

B D C

A

A

E

B D

4【2017朝阳二模】

28.在△ABC 中，∠ACB =90°，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABD ，且点D 与点C 在直线AB 的两侧，连接CD ．

(1) 如图1，若∠ABC =30°，则∠CAD 的度数为 ． (2)已知AC =1，BC =3. ①依题意将图2补全； ②求CD 的长；

小聪通过观察、实验、提出猜想，与同学们进行交流，通过讨论，形成了求CD 长的几种想法： 想法1:延长CB ，在CB 延长线上截取BE =AC ，连接DE .要求CD 的长，需证明 △ACD ≌△BED ，△CDE 为等腰直角三角形.

想法2:过点D 作DH ⊥BC 于点H ，DG ⊥CA ，交CA 的延长线于点G ，要求CD 的长，需证明△BDH ≌△ADG ，△CHD

为等腰直角三角形. ……

请参考上面的想法，帮助小聪求出CD 的长（一种方法即可）. (3)用等式表示线段AC ，BC ，CD 之间的数量关系（直接写出即可）．

28．已知正方形ABCD ，点E ，F 分别在射线AB ，射线BC 上，AE =BF ，DE 与AF 交于点O .

（1）如图1，当点E ，F 分别在线段AB ，BC 上时，则线段DE 与AF 的数量关系是 ，

位置关系是 .

（2）如图2，当点E 在线段AB 延长线上时，将线段AE 沿AF 进行平移至FG ，连接DG .

①依题意将图2补全；

②小亮通过观察、实验提出猜想：在点E 运动的过程中，始终有2

2

2

22AE AD DG +=. 小亮把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：连接EG ，要证明2

2

2

22AE AD DG +=，只需证四边形F AEG 是平行四边形及△DGE 是等腰直角三角形.

想法2：延长AD ，GF 交于点H ，要证明2

2

2

22AE AD DG +=，只需证△DGH 是直角三角形.

图1 图2

请你参考上面的想法，帮助小亮证明2

2222AE AD DG +=.（一种方法即可）

6【2017石景山二模】

28．已知在Rt BAC △中，90BAC ∠=°，AB AC =，点D 为射线BC 上一点（与点B 不重合），过

点C 作CE ⊥BC 于点C ，且CE BD =（点E 与点A 在射线BC 同侧），连接AD ，ED ． （1）如图1，当点D 在线段BC 上时，请直接写出ADE ∠的度数.

（2）当点D 在线段BC 的延长线上时，依题意在图2中补全图形并判断（1）中结论是否成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（3）在（1）的条件下，ED 与AC 相交于点P ，若2AB =，直接写出CP 的最大值．

图 1 图 2 备

E

A

B C

D A

B C

D P

E

A

B C

D O F E

D

C B

A

A

E

B F

C

D

O