2013广东省高考压轴卷 数学理试题 密押卷
2013年广东高考理科数学试题及答案解析(图片版)
2013年广东高考理科数学试题与答案解析2013年普通高等学校招生全国统一考试〔广东卷〕数学〔理科〕参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. DC CA BD BB二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分9. (-2,1) 10.k =-1 11. 7 12.20 13.614.sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭15.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．〔本小题满分12分〕[解析](Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭. 17．〔本小题满分12分〕[解析](Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.向量法图(Ⅲ) 设事件A:从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A=1148212C CC 1633=.18．〔本小题满分14分〕[解析](Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD===连结,OD OE,在OCD∆中,由余弦定理可得OD==由翻折不变性可知A D'=,所以222A O OD A D''+=,所以A O OD'⊥,理可证A O OE'⊥, 又OD OE O=,所以A O'⊥平面BCDE.(Ⅱ) 传统法:过O作OH CD⊥交CD的延长线于H,连结A H',因为A O'⊥平面BCDE,所以A H CD'⊥,所以A HO'∠为二面角A CD B'--的平面角.结合图1可知,H为AC中点,故2OH=,从而2A H'==所以cos5OHA HOA H'∠==',所以二面角A'的平面角的余弦值为.向量法:以O点为原点,建立空间直角坐标系O-则()0,0,3A',()0,3,0C-,()1,2,0D-所以(CA'=,(1,DA'=-设(),,n x y z=为平面A CD'的法向量,则n CAn DA⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020yx y⎧=⎪⎨-+=⎪⎩,解得yz=⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x=,得(1,1,n=-由(Ⅰ) 知,()0,0,3OA'=为平面CDB的一个法向量,所以3cos,3n OAn OAn OA'⋅'==⋅'即二面角A CD B'--19．〔本小题满分14分〕[解析](Ⅰ) 依题意,12122133S a=---,又111S a==,所以24a=；(Ⅱ) 当2n≥时,32112233n nS na n n n+=---,()()()()321122111133n nS n a n n n-=-------两式相减得()()()2112213312133n n na na n a n n n+=----+---整理得()()111n nn a na n n++=-+,即111n na an n+-=+,又21121a a-=故数列nan⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a=,公差为1的等差数列,所以()111n a n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<.20．〔本小题满分14分〕[解析](Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设A (x 1,y 1), B (x 2,y 2) (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点P (x 0,y 0),所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以(x 1,y 1),(x 2,y 2)为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点P (x 0,y 0)在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭ 所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 21．〔本小题满分14分〕 [解析](Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令f'(x )=0,得0x =,ln 2x = 当x 变化时, f'(x ), f (x )的变化如下表:f (x ) 极大值极小值右表可知,函数f (x )的递减区间为(0,ln2),递增区间为(-∞,0), (ln2,+∞). (Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-, 令f'(x )=0,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增,所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈所以当()()0,ln 2x k ∈时, f'(x )<0；当()()ln 2,x k ∈+∞时, f'(x )>0；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1kM f f k k e k ==--- 令()()311kh k k e k =--+,则()()3kh k k e k '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以φ(k )在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e e ϕϕ⎛⎫⎛⎫⋅=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, φ(k )>0, 当()0,1k x ∈时, φ(k )<0, 所以φ(k )在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减. 因为1170228h e ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=〞.综上,函数f (x )在[0,k ]上的最大值()31kM k e k =--.。
2013全国大纲版高考压轴卷 数学理试题 密押卷
2013全国大纲版高考压轴卷数学理试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．.．3.本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一.选择题 （1）若复数,12i iz -=则z 等于（ ） ()()()()212221D C B A(2) 若{}8222<≤∈=-x Z x A ，{}1log 2>∈=x R x B ，则()B C A R 的元素个数为（ ）(A) 0(B) 1(C) 2 (D)3（3）已知函数()y f x =与()x fy 1-=互为反函数，且函数()1y f x =+与函数()11+=-x f y 也互为反函数，若(),01=f 则()20101-f =（ ）()()()()2009201010--D C B A(4) 已知等比数列{}n a 中，公比,0<q 若,42=a 则321a a a ++ 有（ ）(A)最小值-4 (B)最大值-4 (C)最小值12 (D)最大值12(5) 一圆形餐桌依次有A 、B 、C 、D 、E 、F 共有6个座位.现让3个大人和3 个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总 数为（ ）（A ）6 （B ）12 （C ）72 （D ）144 (6) 已知函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如右图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（ ） （A ）10 （B ）8 （C ）87 （D ）47(7) 在正方形ABCD 中，,4=AB 沿对角线AC 将正方形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则点B 到直线CD 的距离为（ ）()()()()222322322+D C B A（8） 设,R a ∈函数()x x e a e x f -⋅+=的导函数是(),x f '且()x f '是奇函数，若曲线()x f y =的一条切线的斜率是,23则切点的横坐标为（ ）(A) 22ln -(B)2ln - (C) 2ln (D) 22ln (9) 已知()),,2,1,0(0,2log 0,112*∈≥≠>⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+-=N n n m m x x C x xx x f n n m 若()x f 在0=x 处连续，则m 的值为（ ） (A)81 (B)41 (C) 21(D) 2 （10）已知数列{}n a 的通项公式为13n a n =-，那么满足119102k k k a a a +++++= 的整数k （ ）（A ）有3个 （B ）有2个 （C ）有1个 （D ）不存在(11) 已知直线l 交椭圆805422=+y x 于N M ,两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若BMN ∆的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 的方程是（ ）(A) 02856=--y x (B)02856=-+y x (C) 02865=-+y x （D) 02865=--y xxA BP y O(12) 在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（ ）(A)()R 26- (B)()R 12- (C)R 41 (D)R31第Ⅱ卷注意事项:1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2013年高考数学选填压轴题(理科)含答案
高考理科数学选填压轴题训题型一：集合与新定义 (2013福建理10)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1＜x 2时，恒有f (x 1)＜f (x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )．D A ．A ＝N*，B ＝NB ．A ＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x|x ＝－8或0＜x≤10}C ．A ＝{x|0＜x ＜1}，B ＝RD ．A ＝Z ，B ＝Q(2013广东理8)设整数n ≥4，集合X ＝{1,2,3，…，n }，令集合S ＝{(x ，y ，z )|x ，y ，z ∈X ，且三条件x ＜y ＜z ，y ＜z ＜x ，z ＜x ＜y 恰有一个成立}．若(x ，y ，z )和(z ，w ，x )都在S中，则下列选项正确的是( )．BA ．(y ，z ，w)∈S ，(x ，y ，w)∉SB ．(y ，z ，w)∈S ，(x ，y ，w)∈SC ．(y ，z ，w)∉S ，(x ，y ，w)∈SD ．(y ，z ，w)∉S ，(x ，y ，w)∉S 提示：特殊值法，令x=1,y=2,z=3,w=4即得。
题型二：平面向量（2013北京理13）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若()c a b λμλμ=+∈R ，，则λμ= ．4 (2013湖南理6)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )．AA ．11] B ．12] C ．[11] D ．[12]解析：由题意，不妨令a ＝(0,1)，b ＝(1,0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |可看做(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．如图所示，当点(x ，y )在位置P 时到原点的距离最近，在位置P ′时最远，而PO1，P ′O1，故选A ．(2013重庆理10)在平面上，1AB ⊥2AB ，|1OB |＝|2OB |＝1，AP ＝1AB ＋2AB .若|OP|＜12，则|OA |的取值范围是( )．D A．0,2⎛ ⎝⎦ B．,22⎛ ⎝⎦ C．2⎛ ⎝ D．2⎛ ⎝ 解析：因为1AB ⊥2AB ，所以可以A 为原点，分别以1AB ，2AB 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设B 1(a,0)，B 2(0，b )，O (x ，y )， 则AP ＝1AB ＋2AB ＝(a ，b )，即P (a ，b )．由|1OB |＝|2OB |＝1，得(x －a )2＋y 2＝x 2＋(y －b )2＝1.所以(x －a )2＝1－y 2≥0，(y －b )2＝1－x 2≥0.由|OP |＜12，得(x －a )2＋(y －b )2＜14， 即0≤1－x 2＋1－y 2＜14.所以74＜x 2＋y 2≤2，即2<≤所以|OA |的取值范围是⎝，故选D ．(2013山东理15)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2，若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为__________．7/12(2013天津理12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, , E 为CD 的中点. 若1AC BE =, 则AB 的长为 .1/2（2013浙江理17）设12,e e 为单位向量，非零向量12,,b xe ye x y R =+∈，若12,e e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于________。
2013年广东高考(理科)数学及答案详解(word版)
绝密★启用前 试卷类型：A2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：球的体积34=3V R π，其中R 为球的半径.锥体的体积公式为1=3V Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。
参考公式：台体的体积公式h S S S S V )(312121++=，其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x |x 2+2x =0,x ∈R}，N={x |x 2-2x =0,x ∈R}，则N M ⋃=（ ） A ．{0} B ．{0，2} C ．{-2,0} D ．{-2,0,2}2．定义域为R 的四个函数y =x 3，y =2x ，y =x 2+1，y =2sin x 中，奇函数的个数是（ ） A ． 4 B ．3 C ．2 D ．13．若复数z 满足i z =2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ） A ．（2,4） B ．（2,-4） C ． (4,-2) D ．(4,2)4．已知离散型随机变量X 的分布列如右表，则X 的数学期望E （X ）=（ ） A ．23错误！未找到引用源。
2013年高考数学押题卷(最后一卷)试题及答案(理科数学)
2013高考数学押题卷(最后一卷)（ 理 科 数 学）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的） 1．若ii m -+1是纯m 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1 D2．已知集合}13|{},1|12||{>=<-=xx N x x M ，则N M ⋂=( )A ．φB ．}0|{<x xC ．}1|{<x xD ．}10|{<<x x3．若)10(02log ≠><a a a 且，则函数)1(log )(+=x x f a 的图像大致是( )4．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且1,422475==⋅a a a a ，则1a =( )A ．21 B ．22 C ．2 D ．2 5．已知变量x 、y 满足的约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x xy ，则y x z 23+=的最大值为( )A ．-3B ．25 C ．-5 D ．46．过点（0，1）且与曲线11-+=x x y 在点（3，2）处的切线垂直的直线的方程为( )A ．012=+-y xB ．012=-+y xC ．022=-+y xD ．022=+-y x 7．函数)sin (cos 32sin )(22x x x x f --=的图象为C ，如下结论中正确的是( ) ①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫- ⎪⎝⎭，内是增函数；④由x y 2sin 2=的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C （A ）①②③ （B ）②③④ （C ）①③④ （D ）①②③④8．已知620126(12)xa ax axa x-=+++⋅⋅⋅+，则0126a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1B ．1-C ．63 D ．629．若函数)(x f 的导函数34)('2+-=x x x f ，则使得函数)1(-x f 单调递减的一个充分不必要条件是x ∈( )A ．[0，1]B ．[3，5]C ．[2，3]D ．[2，4]10．设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰((1))1f f =，则a 的值是( ) A. -1 B. 2 C. 1 D.-211．△ABC 中，∠A=60°,∠A 的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB=3，且)(31R ∈+=λλ，则AD 的长为( )A ．1B ．3C ．32D ．312．在三棱锥S —ABC 中，AB ⊥BC,AB=BC=2,SA=SC=2,，二面角S —AC —B 的余弦值是33-，若S 、A 、B 、C 都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A ．68B ．π6C ．24πD ．6π二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分） 13．在△ABC 中，B=3π中，且34=⋅BC BA ,则△ABC 的面积是14．若函数1)(2++=mx mx x f 的定义域为R ，则m 的取值范围是15．已知向量,满足：2||,1||==，且6)2()(-=-⋅+b a b a ，则向量a 与b 的夹角是16．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是正视图 侧视图 俯视图三、解答题（本大题共6小题，共70分。
2013年广东高考数学理及答案(解析版)
⎛ ⎝
3 4 ⎛ 3π ⎞ ,θ ∈ ⎜ , 2π ⎟ ,所以 sin θ = − , 5 5 ⎝ 2 ⎠
24 7 2 2 , cos 2θ = cos θ − sin θ = − 25 25 π⎞ 7 ⎛ 24 ⎞ 17 ⎛ 所以 f ⎜ 2θ + ⎟ = cos 2θ − sin 2θ = − . −⎜− ⎟ = 3⎠ 25 ⎝ 25 ⎠ 25 ⎝
二、填空题：本题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 (9 ～13 题) (一)必做题 必做题(9 (9～
9．不等式 x + x − 2 < 0 的解集为___________． 【解析】 ( −2,1) ；易得不等式 x 2 + x − 2 < 0 的解集为 ( −2,1) . 10．若曲线 y = kx + ln x 在点 (1, k ) 处的切线平行于 x 轴,则 k = ______. 输入n
2013 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科）逐题详解
:台体的体积公式 V = 参考公式 参考公式:
积, h 表示台体的高.
1 下底面 S1 + S1S2 + S2 h ,其中 S1 , S2 分别是台体的上、 3
(
)
:本大题 共 8 小题 ,每小 题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中 , 一、 选择题 选择题: 本大题共 小题, 每小题 在每小题给出的四个选项中, . 只有一项是符合题目要求的 只有一项是符合题目要求的.
z < x < y …③三个式子中恰有一个成立； z < w < x …④， w < x < z …⑤， x < z < w …⑥
2013年组合教育密押三套卷理(一)参考答案
( AC + BC )
2
− 3 AC BC = AB = 3 ，
2
( AC + BC )
2
= 3 + 3 AC BC = 11 ，
1 2− 2 = 3 . 故选 B. tan ∠AOB = 1 4 1+ 2 × 2
6. A【解析】如图所示， PC =
所以 AC + BC = 11 . 10. 2 5 【解析】如图所示，连接 OP ，设 BC I OD = E ， 由 P 为 AD 的中点，得 AP = PD ， OP ⊥ AD ， 在 Rt △ OPD 中， OP = OE ⋅ OD ，
2013 年普通高等学校招生全国统一考试密押卷理（一） 参考答案
一、选择题 1. 2. 3. B【解析】 (1 − 2i )( a + i ) = a + i − 2ai − 2i = ( a + 2 ) + (1 − 2a ) i 为纯虚数，
2
8. B【解析】如图所示，取 SC 、 DC 的中点 P 、 M ，则动点 P 在四棱锥表面上 运动的轨迹为△ PME ，则动点 P 的轨迹的周长为 二、填空题 9.
因此 ∠AEF = 90o ， 即 AE ⊥ EF .且在 △ABE 中， 所以 AE + EF = AF ，
2 2 2
T π ⎛ 7π ⎞ π 2π = − − ⎜ − ⎟ = ，得 T = π = ，所以 ω = 2 ，…………（3 分） 4 3 ⎝ 12 ⎠ 4 ω 1 且 f (0) = 1 ，得 2 sin ϕ = 1 ， sin ϕ = ， ϕ < π ，且点 (0,1) 在函数 f ( x ) 的 2 π π π 因此 ϕ = ， ……………… （5 分） 递增
2013高考数学押题卷：高三理科数学高考押题卷（带答案）
2013年⾼考数学(理)押题精粹（课标版）（30道选择题+20道⾮选择题）⼀．选择题（30道）1.设集合，，若，则的值为（）A．0 B．1 C． D．2. 已知是实数集，集合，，则 ( )A. B.C. D.3.已知i为虚数单位，则复数等于（）A．-1-i B．-1+i C．1+i D．1—i4.复数在复平⾯上对应的点不可能位于A．第⼀象限 B．第⼆象限 C．第三象限 D．第四象限5. “ ”是“⽅程表⽰焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分⽽不必要条件 B．必要⽽不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6.若命题“ R，使得 ”为假命题，则实数m的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）7.⼀个算法的程序框图如右，则其输出结果是（）A.0B.C. D.8.下⾯的程序框图中，若输出的值为，则图中应填上的条件为（）A． B． C． D．9.右图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只需将的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变10.已知则的值（ ）A．随着k的增⼤⽽增⼤B．有时随着k的增⼤⽽增⼤,有时随着k的增⼤⽽减⼩C．随着k的增⼤⽽减⼩D．是⼀个与k⽆关的常数11.关于函数的四个结论:P1:值为 ;P2:最⼩正周期为 ;P3:单调递增区间为 Z;P4:图象的对称中⼼为 Z.其中正确的有（ ）A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个12. 是两个向量，，，且，则与的夹⾓为（）（A）（B）（C）（D）13.已知a,b是两个互相垂直的单位向量,且c•a=c•b=1,,则对任意正实数t, 的最⼩值是（ ）A． B． C． D．14.⼀个⼏何体的三视图如右图所⽰，则它的体积为（）A． B．15．正⽅形的边长为 ,中⼼为 ,球与正⽅形所在平⾯相切于点,过点的球的直径的另⼀端点为 ,线段与球的球⾯的交点为 ,且恰为线段的中点,则球的体积为（ ）A． B． C． D．16.不等式组表⽰⾯积为1的直⾓三⾓形区域，则的值为（）Ａ. B. C. D.17.设函数， . 若当时，不等式恒成⽴，则实数的取值范围是（）.A. B. C. D.18、⼀个盒⼦⾥有3个分别标有号码为1，2，3的⼩球，每次取出⼀个，记下它的标号后再放回盒⼦中，共取3次，则取得⼩球标号值是3的取法有（）A.12种B. 15种C. 17种D.19种19、⼆项式的展开式中常数项是（）A．28 B．-7 C．7 D．-2820、⾼三毕业时，甲，⼄，丙等五位同学站成⼀排合影留念，已知甲，⼄相邻，则甲丙相邻的概率为（） A. B. C. D.⼀、某苗圃基地为了解基地内甲、⼄两块地种植的同⼀种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗测量它们的⾼度，⽤茎叶图表⽰上述两组数据，对两块地抽取树苗的⾼度的平均数和中位数进⾏⽐较，下⾯结论正确的是（）A． B．C． D．22、公差不为0的等差数列{ }的前21项的和等于前8项的和．若，则k＝（）A．20 B．21 C．22 D．2323、已知数列为等⽐数列，，，则的值为（）A． B． C． D．24. 已知分别是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点,若是锐⾓三⾓形,则该双曲线离⼼率的取值范围是（ ）A． B． C． D．25．圆－2x＋my－2＝0关于抛物线＝4y的准线对称，则m的值为（）A.1B. 2C. 3D. 426．已知抛物线的焦点到准线的距离为 , 且上的两点关于直线对称, 并且 , 那么 =（ ）A． B． C．2 D．327．如果函数图像上任意⼀点的坐标都满⾜⽅程，那么正确的选项是（）(A) 是区间（0，）上的减函数，且(B) 是区间（1，）上的增函数，且(C) 是区间（1，）上的减函数，且(D) 是区间（1，）上的减函数，且28．定义在R上的奇函数，当 ≥0时，则关于的函数（0＜＜1）的所有零点之和为（）（A）1- （B）（C）（D）29．的展开式中, 的系数等于40,则等于（ ）A． B． C．1 D．30．已知函数 ,,设函数，且函数的零点均在区间内，则的最⼩值为（）A． B． C． D．⼆．填空题（8道）31.已知A ,B(0,1)),坐标原点O在直线AB上的射影为点C,则 = .32.在的展开式中，含项的系数是________.（⽤数字作答）33.若实数、满⾜，且的最⼩值为，则实数的值为__34.已知四⾯体的外接球的球⼼在上,且平⾯ , , 若四⾯体的体积为 ,则该球的体积为_____________35.已知是曲线与围成的区域，若向区域上随机投⼀点，则点落⼊区域的概率为．36.公⽐为4的等⽐数列中,若是数列的前项积,则有也成等⽐数列,且公⽐为；类⽐上述结论，相应的在公差为3的等差数列中，若是的前项和，则有⼀相应的等差数列，该等差数列的公差为_____________.37.在中,⾓所对的边分别为 ,且 ,当取值时,⾓的值为_______________38.已知抛物线的准线为 ,过点且斜率为的直线与相交于点 ,与的⼀个交点为 ,若 ,则等于____________三．解答题（12道）39、中，，，分别是⾓的对边，向量， , ．（1）求⾓的⼤⼩；（2）若，，求的值．40、已知等差数列的⾸项，公差．且分别是等⽐数列的．（Ⅰ）求数列与的通项公式；（Ⅱ）设数列对任意⾃然数均有 … 成⽴，求 … 的值.41、⼀次考试中，五名同学的数学、物理成绩如下表所⽰：学⽣（1）请在直⾓坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的回归⽅程；（2）要从名数学成绩在分以上的同学中选⼈参加⼀项活动，以表⽰选中的同学的物理成绩⾼于分的⼈数，求随机变量的分布列及数学期望的值．42、⼗⼀黄⾦周，记者通过随机询问某景区110名游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表：性别与对景区的服务是否满意 单位：名男⼥总计满意 50 30 80不满意 10 20 30总计 60 50 110(1)从这50名⼥游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取⼀个容量为5的样本，问样本中满意与不满意的⼥游客各有多少名？(2)从(1)中的5名⼥游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选到满意与不满意的⼥游客各⼀名的概率；(3)根据以上列联表，问有多⼤把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关附：P( )0.050 0.025 0.010 0.0053.841 5.024 6.635 7.87943、如图在四棱锥中,底⾯是边长为的正⽅形,侧⾯底⾯，且 ,设、分别为、的中点．(Ⅰ) 求证： //平⾯；(Ⅱ) 求证：⾯平⾯；(Ⅲ) 求⼆⾯⾓的正切值．44、已知椭圆 : 的焦距为 ,离⼼率为 ,其右焦点为 ,过点作直线交椭圆于另⼀点 .(Ⅰ)若 ,求外接圆的⽅程;(Ⅱ)若过点的直线与椭圆相交于两点、，设为上⼀点，且满⾜（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.45. 已知定点A(1，0), B为x轴负半轴上的动点，以AB为边作菱形ABCD,使其两对⾓线的交点恰好落在y轴上.(1) 求动点D的轨迹五的⽅程.(2) 若四边形MPNQ的四个顶点都在曲线E上，M，N关于x轴对称，曲线E在M点处的切线为l，且PQ//l①证明直线PN与QN的斜率之和为定值；②当M的横坐标为，纵坐标⼤于O, =60°时，求四边形MPNQ的⾯积46. 对于函数f（x）（x∈D），若x∈D时，恒有＞成⽴，则称函数是D上的J函数．（Ⅰ）当函数f（x）＝m lnx是J函数时，求m的取值范围；（Ⅱ）若函数g（x）为（0，＋∞）上的J函数，①试⽐较g（a）与 g（1）的⼤⼩；②求证：对于任意⼤于1的实数x1，x2，x3，…，xn，均有g（ln（x1＋x2＋…＋xn））＞g（lnx1）＋g（lnx2）＋…＋g（lnxn）．47. 设函数，．(Ⅰ)讨论函数的单调性；(Ⅱ）如果存在，使得成⽴，求满⾜上述条件的整数；（Ⅲ）如果对任意的，都有成⽴，求实数的取值范围．48.选修4-1:⼏何证明选讲.如图，过圆E外⼀点A作⼀条直线与圆E交B,C两点，且AB= AC,作直线AF与圆E相切于点F，连接EF交BC于点D,⼰知圆E的半径为2， =30.(1)求AF的长.(2)求证：AD=3ED.49. 在直⾓坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建坐标系.已知曲线 ,已知过点的直线的参数⽅程为：，直线与曲线分别交于两点.（1）写出曲线和直线的普通⽅程；（2）若成等⽐数列,求的值．50. 选修4-5：不等式选讲设（1）当，求的取值范围；（2）若对任意x∈R，恒成⽴，求实数的最⼩值．2013年⾼考数学(理)押题精粹（课标版）【参考答案与解析】⼆．选择题（30道）1.【答案】A2.【答案】D【点评】:集合问题是⾼考必考内容之⼀，题⽬相对简单.集合的表⽰法有列举法、描述法、图⽰法三种，⾼考中与集合的运算相结合，不外乎上述⼏种题型。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题 (理科) word解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =++,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N =U ( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【解析】D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以M N =U {}2,0,2-,故选D ．2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( ) A . 4 B ．3 C ．2 D ．1 【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ．3．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( ) A . ()2,4 B ．()2,4- C ．()4,2- D ．()4,2【解析】C ；2442iz i i+==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ．4．已知离散型随机变量X 的分布列为X 12 3 P35310110则X 的数学期望EX = ( )A . 32B ．2C ．52 D ．3【解析】A ；33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==,故选A ．5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( ) A . 4 B ．143C ．163D ．6 【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =⨯=,故选B ．6．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ．正视图 俯视图侧视图第5题图7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是( ) A . 214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -=D ．212x = 【解析】B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ．8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =L .令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( ) A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉ B .(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈【解析】B ；特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ．如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题) 9．不等式220x x +-<的解集为___________．【解析】()2,1-；易得不等式220x x +-<的解集为()2,1-.10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.【解析】1-；求导得1y k x'=+,依题意10k +=,所以1k =-.11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为【解析】7；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；第三次循环后:4,4s i ==；第四次循环后:7,5s i ==；故输出7.12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____. 【解析】20；依题意12910a d +=,所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=.或:()57383220a a a a +=+=13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈.AED CBO第15题图1 7 92 0 1 5是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______ 条不同的直线.【解析】6；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为()0,1,取得最大值时的整点为()0,4,()1,3,()2,2,()3,1及()4,0共5个整点.故可确定516+=条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.【解析】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；曲线C 的普通方程为222x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上, 延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若 6AB =,2ED =,则BC =_________.【解析】ABC CDE ∆∆:,所以AB BCCD DE=,又 BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-,所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=-所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭.17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.CD OBE 'AH(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD === 连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD ==由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O =I ,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.结合图1可知,H 为AC 中点,故OH =,从而A H '==所以cos OH A HO A H '∠=='所以二面角A CD '-向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '=u u u r ,(1,DA '=-u u u u r. C O BD E A C D OBE'A图1 图2设(),,n x y z =r为平面A CD '的法向量,则 00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩r u u u rr u u uu r ,即3020y x y ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y xz =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =-r 由(Ⅰ) 知,(OA '=u u u r为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,n OA n OA n OA '⋅'==='r u u u rr u u u r r u u u r ,即二面角A CD B '--.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<L . 【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =；(Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111n an n n=+-⨯=,所以2n a n =.(Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L 11171714244n n =++-=-<综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<L .20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,0c >, 解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.21．（本小题满分14分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞. (Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-, 令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>； 所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()311kh k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =,所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.。
2013广东高考卷(理科数学)试题及详解
2013广东高考卷(理科数学)模拟试卷一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若函数f(x)=x²2ax+a²+2在区间（∞，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. a≤1B. a≥1C. a≤0D. a≥03. 在等差数列{an}中，已知a1=1，a3+a5=14，则数列的公差d为（）A. 3B. 4C. 5D. 64. 若向量a=(2，1)，b=(1，2)，则2a+3b的模长为（）A. 5B. √5C. 10D. 2√55. 设函数f(x)=|x1|，则f(x)的图像在x=1处（）A. 连续B. 断开C. 可导D. 不可导二、判断题（每题1分，共5分）1. 若a，b为实数，且a≠b，则a²≠b²。
（）2. 两个平行线的斜率相等。
（）3. 在等差数列中，若m+n=2p，则am+an=2ap。
（）4. 若矩阵A的行列式为0，则A不可逆。
（）5. 任何两个实数的和都是实数。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=3x²4x+1，则f(1)=______。
2. 若向量a=(1，2)，b=(2，1)，则a·b=______。
3. 在等比数列{an}中，已知a1=2，公比q=3，则a4=______。
4. 二项式展开式(1+x)⁶的常数项为______。
5. 设平面直角坐标系中，点A(2，3)，则点A关于原点的对称点坐标为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述函数的单调性定义。
2. 请写出等差数列的通项公式。
3. 矩阵乘法的运算规律有哪些？4. 求解一元二次方程x²5x+6=0。
5. 简述平面向量的线性运算。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=2x²4x+3，求f(x)的最小值。
2013广东高考理科数学试卷及答案
2013年广东省高考数学试卷（理科）2013年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•广东）设集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}2．（5分）（2013•广东）定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（）A．4B．3C．2D．13．（5分）（2013•广东）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）4．（5分）（2013•广东）已知离散型随机变量X的分布列为X 1 2 3P则X的数学期望E（X）=（）A．B．2C．D．35．（5分）（2013•广东）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）A．4B．C．D．66．（5分）（2013•广东）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β7．（5分）（2013•广东）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．8．（5分）（2013•广东）设整数n ≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x ，y ，z ）|x ，y ，z ∈X ，且三条件x ＜y ＜z ，y ＜z ＜x ，z ＜x ＜y 恰有一个成立}．若（x ，y ，z ）和（z ，w ，x ）都在S 中，则下列选项正确的是（ ） A ． （y ，z ，w ）∈S ，（x ，y ，w ）∉S B ． （y ，z ，w ）∈S ，（x ，y ，w ）∈S C ． （y ，z ，w ）∉S ，（x ，y ，w ）∈S D ． （y ，z ，w ）∉S ，（x ，y ，w ）∉S二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9．（5分）（2013•广东）不等式x 2+x ﹣2＜0的解集为 _________ ． 10．（5分）（2013•广东）若曲线y=kx+lnx 在点（1，k ）处的切线平行于x 轴，则k= _________ ． 11．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为 _________ ．12．（5分）（2013•广东）在等差数列{a n }中，已知a 3+a 8=10，则3a 5+a 7= _________ ．13．（5分）（2013•广东）给定区域D ：．令点集T={（x 0，y 0）∈D|x 0，y 0∈Z ，（x 0，y 0）是z=x+y 在D上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定 _________ 条不同的直线． 14．（5分）（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题） 已知曲线C 的参数方程为（t 为参数），C 在点（1，1）处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 _________ ． 15．（2013•广东）（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC=CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E ．若AB=6，ED=2，则BC= _________ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2013•广东）已知函数，x∈R．（1）求的值；（2）若，，求．17．（12分）（2013•广东）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．18．（14分）（2013•广东）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O=．（1）证明：A′O⊥平面BCDE；（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．19．（14分）（2013•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．20．（14分）（2013•广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（14分）（2013•广东）设函数f（x）=（x﹣1）e x﹣kx2（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．2013年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•广东）设集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得，M={0，﹣2}，N={0，2}，进而求其并集可得答案．解答：解：分析可得，M为方程x2+2x=0的解集，则M={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，N为方程x2﹣2x=0的解集，则N={x|x2﹣2x=0}={0，2}，故集合M∪N={0，﹣2，2}，故选D．点评：本题考查集合的并集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的并集．2．（5分）（2013•广东）定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（）A．4B．3C．2D．1考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义及图象特征逐一盘点即可．解答：解：y=x3的定义域为R，关于原点对称，且（﹣x）3=﹣x3，所以函数y=x3为奇函数；y=2x的图象过点（0，1），既不关于原点对称，也不关于y轴对称，为非奇非偶函数；y=x2+1的图象过点（0，1）关于y轴对称，为偶函数；y=2sinx的定义域为R，关于原点对称，且2sin（﹣x）=﹣2sinx，所以y=2sinx为奇函数；所以奇函数的个数为2，故选C．点评：本题考查函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，要熟练掌握．3．（5分）（2013•广东）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为4﹣2i，从而求得z对应的点的坐标．解答：解：复数z满足iz=2+4i，则有z===4﹣2i，故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），故选C．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．4．（5分）（2013•广东）已知离散型随机变量X的分布列为X 1 2 3P则X的数学期望E（X）=（）A．B．2C．D．3考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：利用数学期望的计算公式即可得出．解答：解：由数学期望的计算公式即可得出：E（X）==．故选A．点评：熟练掌握数学期望的计算公式是解题的关键．5．（5分）（2013•广东）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）A．4B．C．D．6考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可．解答：解：几何体是四棱台，下底面是边长为2的正方形，上底面是边长为1的正方形，棱台的高为2，并且棱台的两个侧面与底面垂直，四楼台的体积为V==．故选B．点评：本题考查三视图与几何体的关系，棱台体积公式的应用，考查计算能力与空间想象能力．6．（5分）（2013•广东）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，再由n ∥β可得α⊥β．解答： 解：选项A ，若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则可能m ⊥n ，m ∥n ，或m ，n 异面，故A 错误；选项B ，若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ，或m ，n 异面，故B 错误；选项C ，若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C 错误； 选项D ，若m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，再由n ∥β可得α⊥β，故D 正确． 故选D点评： 本题考查命题真假的判断与应用，涉及空间中直线与平面的位置关系，属基础题．7．（5分）（2013•广东）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F （3，0），离心率等于，则C 的方程是（ ） A ．B ．C ．D ．考点： 双曲线的标准方程．专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：设出双曲线方程，利用双曲线的右焦点为F （3，0），离心率为 ，建立方程组，可求双曲线的几何量，从而可得双曲线的方程．解答：解：设双曲线方程为（a ＞0，b ＞0），则∵双曲线C 的右焦点为F （3，0），离心率等于 ， ∴，∴c=3，a=2，∴b 2=c 2﹣a 2=5∴双曲线方程为 ．故选B ．点评： 本题考查双曲线的方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 8．（5分）（2013•广东）设整数n ≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x ，y ，z ）|x ，y ，z ∈X ，且三条件x ＜y ＜z ，y ＜z ＜x ，z ＜x ＜y 恰有一个成立}．若（x ，y ，z ）和（z ，w ，x ）都在S 中，则下列选项正确的是（ ） A ． （y ，z ，w ）∈S ，（x ，y ，w ）∉S B ． （y ，z ，w ）∈S ，（x ，y ，w ）∈S C ． （y ，z ，w ）∉S ，（x ，y ，w ）∈S D ． （y ，z ，w ）∉S ，（x ，y ，w ）∉S考点： 进行简单的合情推理． 专题： 证明题；压轴题．分析： 特殊值排除法，取x=1，y=2，z=4，w=3，可排除错误选项，即得答案． 解答： 解：特殊值排除法，取x=1，y=2，z=4，w=3，显然满足（x ，y ，z ）和（z ，w ，x ）都在S 中， 此时（y ，z ，w ）=（2，4，3）∈S ，（x ，y ，w ）=（1，2，3）∈S ，故A 、C 、D 均错误； 只有B 成立，故选B点评： 本题考查简单的合情推理，特殊值验证法是解决问题的关键，属基础题．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9．（5分）（2013•广东）不等式x 2+x ﹣2＜0的解集为 （﹣2，1） ．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：先求相应二次方程x2+x﹣2=0的两根，根据二次函数y=x2+x﹣2的图象即可写出不等式的解集．解答：解：方程x2+x﹣2=0的两根为﹣2，1，且函数y=x2+x﹣2的图象开口向上，所以不等式x2+x﹣2＜0的解集为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．点评：本题考查一元二次不等式的解法，属基础题，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类题目的关键，解二次不等式的基本步骤是：求二次方程的根；作出草图；据图象写出解集．10．（5分）（2013•广东）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=﹣1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．解答：解：由题意得，y′=k+，∵在点（1，k）处的切线平行于x轴，∴k+1=0，得k=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．11．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为7．考点：程序框图．专题：图表型．分析：由已知中的程序框图及已知中输入4，可得：进入循环的条件为i≤4，即i=1，2，3，4．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．解答：解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，S=4+4﹣1=7；当i=5时，退出循环，输出S=7；故答案为：7．点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．12．（5分）（2013•广东）在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=20．考点：等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等差数列性质可得：3a5+a7=2（a5+a6）=2（a3+a8）．解答：解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，故答案为：20．点评：本题考查等差数列的性质及其应用，属基础题，准确理解有关性质是解决问题的根本．13．（5分）（2013•广东）给定区域D：．令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D 上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定6条不同的直线．考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据所给的可行域，利用几何意义求最值，z=x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最值即可，从而得出点集T中元素的个数，即可得出正确答案．解答：解：画出不等式表示的平面区域，如图．作出目标函数对应的直线，因为直线z=x+y与直线x+y=4平行，故直线z=x+y过直线x+y=4上的整数点：（4，0），（3，1），（2，2），（1，3）或（0，4）时，直线的纵截距最大，z最大；当直线过（0，1）时，直线的纵截距最小，z最小，从而点集T={（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），（0，4），（0，1）}，经过这六个点的直线一共有6条．即T中的点共确定6条不同的直线．故答案为：6．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14．（5分）（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得满分）．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：压轴题．分析：先求出曲线C的普通方程，再利用直线与圆相切求出切线的方程，最后利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得其极坐标方程即可．解答：解：由（t为参数），两式平方后相加得x2+y2=2，…（4分）∴曲线C是以（0，0）为圆心，半径等于的圆．C在点（1，1）处的切线l的方程为x+y=2，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入x+y=2，并整理得ρcosθ+ρsinθ﹣2=0，即或，则l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得满分）．…（10分）故答案为：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得满分）．点评：本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化．普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ．15．（2013•广东）（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=．考点：与圆有关的比例线段．专题：压轴题；直线与圆．分析：利用AB是圆O的直径，可得∠ACB=90°．即AC⊥BD．又已知BC=CD，可得△ABD是等腰三角形，可得∠D=∠B．再利用弦切角定理可得∠ACE=∠B，得到∠AEC=∠ACB=90°，进而得到△CED∽△ACB，利用相似三角形的性质即可得出．解答：解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC．∵CE与⊙O相切于点C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°．∴△CED ∽△ACB ． ∴，又CD=BC ，∴．点评： 本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等基础知识，需要较强的推理能力．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）（2013•广东）已知函数，x ∈R ．（1）求的值；（2）若，，求．考点：二倍角的正弦；两角和与差的余弦函数． 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 分析：（1）把x=﹣直接代入函数解析式求解． （2）先由同角三角函数的基本关系求出sin θ的值以及sin2θ，然后将x=2θ+代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果． 解答：解：（1）（2）因为，所以所以所以=点评： 本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合，要注意角的范围． 17．（12分）（2013•广东）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？ （3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．考点：众数、中位数、平均数；茎叶图；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）茎叶图中共同的数字是数字的十位，这是解决本题的突破口，根据所给的茎叶图数据，代入平均数公式求出结果；（2）先由（1）求得的平均数，再利用比例关系即可推断该车间12名工人中有几名优秀工人的人数；（3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，结合组合数利用概率的计算公式即可求解事件A的概率．解答：解：（1）样本均值为（2）抽取的6名工人中有2名为优秀工人，所以12名工人中有4名优秀工人（3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，所以，即恰有1名优秀工人的概率为．点评：本题主要考查茎叶图的应用，古典概型及其概率计算公式，属于容易题．对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，题目分别表示一组数据的特征，考查最基本的知识点．18．（14分）（2013•广东）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O=．（1）证明：A′O⊥平面BCDE；（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（1）连接OD，OE．在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，AD=AE=，CO=BO=3．分别在△COD与△OBE中，利用余弦定理可得OD，OE．利用勾股定理的逆定理可证明∠A′OD=∠A′OE=90°，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F．利用（1）可知：A′O⊥平面BCDE，根据三垂线定理得A′F⊥CD，所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在直角△OCF中，求出OF即可；方法二：取DE中点H，则OH⊥OB．以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．解答：（1）证明：连接OD，OE．因为在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，CO=BO=3．在△COD中，，同理得．因为，．所以A′O2+OD2=A′D2，A′O2+OE2=A′E2．所以∠A′OD=∠A′OE=90°所以A′O⊥OD，A′O⊥OE，OD∩OE=O．所以A′O⊥平面BCDE．（2）方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F因为A′O⊥平面BCDE．根据三垂线定理，有A′F⊥CD．所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在Rt△COF中，．在Rt△A′OF中，．所以．所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为．方法二：取DE中点H，则OH⊥OB．以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则O（0，0，0），A′（0，0，），C（0，﹣3，0），D（1，﹣2，0）=（0，0，）是平面BCDE 的一个法向量．设平面A′CD的法向量为n=（x，y，z），．所以，令x=1，则y=﹣1，．所以是平面A′CD的一个法向量设二面角A′﹣CD﹣B的平面角为θ，且所以所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为点评：本题综合考查了等腰直角三角形的性质、余弦定理、线面垂直的判定与性质定理、三垂线定哩、二面角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法，需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力．19．（14分）（2013•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．考数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．点：等差数列与等比数列．专题：分（1）利用已知a1=1，，n∈N*．令n=1即可求出；析：（2）利用a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）即可得到na n+1=（n+1）a n+n（n+1），可化为，．再利用等差数列的通项公式即可得出；（3）利用（2），通过放缩法（n≥2）即可证明．解解：（1）当n=1时，，解得a2=4答：（2）①当n≥2时，②①﹣②得整理得na n+1=（n+1）a n+n（n+1），即，当n=1时，所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列所以，即所以数列{a n}的通项公式为，n∈N*（3）因为（n≥2）所以=点评： 熟练掌握等差数列的定义及通项公式、通项与前n 项和的关系a n =S n ﹣S n ﹣1（n ≥2）、裂项求和及其放缩法等是解题的关键．20．（14分）（2013•广东）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离为，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． （1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （x 0，y 0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．考点：抛物线的标准方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的简单性质． 专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（1）利用焦点到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离建立关于变量c 的方程，即可解得c ，从而得出抛物线C 的方程； （2）先设，，由（1）得到抛物线C 的方程求导数，得到切线PA ，PB 的斜率，最后利用直线AB 的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB 的方程； （3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=4y 0，x 0=y 0+2，将它表示成关于y 0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值． 解答：解：（1）焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离，解得c=1所以抛物线C 的方程为x 2=4y（2）设，由（1）得抛物线C 的方程为，，所以切线PA ，PB 的斜率分别为，所以PA ：①PB ：②联立①②可得点P 的坐标为，即，又因为切线PA 的斜率为，整理得直线AB 的斜率所以直线AB 的方程为 整理得，即因为点P （x 0，y 0）为直线l ：x ﹣y ﹣2=0上的点，所以x 0﹣y 0﹣2=0，即y 0=x 0﹣2所以直线AB 的方程为 （3）根据抛物线的定义，有，所以=由（2）得x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=4y 0，x 0=y 0+2 所以=所以当时，|AF|•|BF|的最小值为点评： 本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．21．（14分）（2013•广东）设函数f （x ）=（x ﹣1）e x ﹣kx 2（k ∈R ）． （1）当k=1时，求函数f （x ）的单调区间； （2）当时，求函数f （x ）在[0，k ]上的最大值M ．考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 压轴题；导数的综合应用．分析： （1）利用导数的运算法则即可得出f ′（x ），令f ′（x ）=0，即可得出实数根，通过列表即可得出其单调区间；（2）利用导数的运算法则求出f ′（x ），令f ′（x ）=0得出极值点，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值．解答： 解：（1）当k=1时，f （x ）=（x ﹣1）e x ﹣x 2f'（x ）=e x +（x ﹣1）e x ﹣2x=x （e x ﹣2）令f'（x ）=0，解得x 1=0，x 2=ln2＞0 所以f'（x ），f （x ）随x 的变化情况如下表： x （﹣∞，0） 0 （0，ln2） ln2 （ln2，+∞） f'（x ） + 0 ﹣ 0 +f （x ） ↗ 极大值 ↘ 极小值↗ 所以函数f （x ）的单调增区间为（﹣∞，0）和（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2）（2）f （x ）=（x ﹣1）e x ﹣kx 2，x ∈[0，k ]，．f'（x ）=xe x ﹣2kx=x （e x ﹣2k ）f'（x ）=0，解得x 1=0，x 2=ln （2k ） 令φ（k ）=k ﹣ln （2k ），，所以φ（k ）在上是减函数，∴φ（1）≤φ（k ）＜φ，∴1﹣ln2≤φ（k ）＜＜k ．即0＜ln （2k ）＜k 所以f'（x ），f （x ）随x 的变化情况如下表： x （0，ln （2k ）） l n （2k ） （ln （2k ），k ） f'（x ） ﹣ 0 +f （x ） ↘ 极小值↗f（0）=﹣1，f（k）=（k﹣1）e k﹣k3f（k）﹣f（0）=（k﹣1）e k﹣k3+1=（k﹣1）e k﹣（k3﹣1）=（k﹣1）e k﹣（k﹣1）（k2+k+1）=（k﹣1）[e k﹣（k2+k+1）]因为，所以k﹣1≤0对任意的，y=e x的图象恒在y=k2+k+1下方，所以e k﹣（k2+k+1）≤0所以f（k）﹣f（0）≥0，即f（k）≥f（0）所以函数f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k﹣1）e k﹣k3.点评：熟练掌握导数的运算法则、利用导数求函数的单调性、极值与最值得方法是解题的关键．参与本试卷答题和审题的老师有：孙佑中；minqi5；wyz123；gongjy；wubh2011；caoqz；qiss；lincy（排名不分先后）菁优网2014年5月16日。
2013年高考押题最后一卷【数学试题1】(含答案)
2013年全国高考押题最后一卷数 学 试 题(一)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,将正确选项填涂在答题卡上． 1．设{}{},0,1,U R A x x B x x ==>=>则=⋂B C A UA ．[)1,0B ．(]1,0C ．()0,∞-D ．()+∞,12．已知函数f (x )=⎩⎨⎧≤>)0( 3)0( log 2x x x x ，则()()14-f f 的值是A. 9B. －9C.91 D. －91 3．已知正项数列{}n a 中， (),22,2,12121221≥+===-+n a a a a a n n n 则=6aA. 16B.8C.4D.224．已知,,R b a ∈且,0,0≠>b a 则“ba 1>”是“1>ab ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 5．把函数()12cos -=x y 的图像向左平移21个单位，再将所有点的横坐标伸长2倍（纵坐标不变）后可得函数A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+=23cos πx y B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos πx y C.3sin()2y x π=+ D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin πx y6．四面体ABC P -，面PAB 内有一点M ，在面PAB 内过点M 作直线，则下列叙述不正．．确．的是 A. 可能有无数条直线与PC 垂直 B. 可能存在两条直线与PC 垂直C. 可能存在唯一一条直线与PC 垂直D. 可能不存在与PC 垂直的直线 7．非零向量b a ,，下列正确的命题个数()0>=λλb a()0<=λλb a=a A. 0 B.1 C.2 D.8．如图，已知点P 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x F 1，F 2是双曲线的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线 相交于M ，N 两点，点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是A ．5B ．2C ．3D ．29．我们把有相同数字相邻的数称为“和数”（如1224是一个“和数”），现从由两个1，两个2，一个3，一个4这六个数字构成的所有不同的6位数中，抽出一个数字是“和数”的概率 A ．158 B ．157 C ．154 D ．152 10．记函数()()(),033,22≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=y y x y x y x F 则()y x F ,的最小值是 A ．512 B ．516 C ．518D ． 4 非选择题部分 (共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．若复数()3i,i 12ia a R -∈+为虚数单位是纯虚数， 则=a .12．如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何 体的体积是___ _．13．阅读右侧程序框图，输出的结果i 的值为 .14．设M 是平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-00203x y x y x 内的动点，()2,1=a ，则 a OM ⋅的最大值为 .15．已知n n n x a x a x a a ax ++++=+ 2210)1(（n N *∈），若7,421==a a ，则实数a = ．16．函数()1251,0,,44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩关于x 的方程()()()01222=++-m x f m x f 有7个不同的实数解，则=m .17．若关于x 的不等式022<+-a x ax 的解集为∅，则实数a 的取值范围为 ________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且a ，b ，c 成等比数列，()1),cos(C A m -=，()B n cos ,1=,满足.23=⋅n m （1）求sin sin A C 的值； （2）若,2=a 求△ABC 的面积.S19．(本题满分14分)袋中共有10个大小相同编号为1、2、3的小球，其中1号球有1个，2号球有m 个，3号球有n 个(m n ≤)．从袋中依次摸出2个小球，若第一次摸出3号球，再摸出一个2号球的概率是.51（1）求m ，n 的值；（2）从袋中任意摸出2个小球，设得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．20．(本题满分14分) 如图，在矩形ABCD 中，BC AB 2=，点M 在边CD 上，点F 在边AB 上，且AM DF ⊥，垂足为E ，若将ADM ∆沿AM 折起，使点D 位于D '位置，连接B D '，C D '得四棱锥ABCM D -'. （1）求证：F D AM '⊥；（2）若二面角C AM D --'的平面角为3π，直线F D '与平面ABCM 所成角为3π，求二面角A MC D --'平面角的正弦值.21．(本题满分15分) 如图，已知,A B 是椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的左,右顶点，B (2,0)，过椭圆C 的右焦点F 的直线交于其于点M , N , 交直线4x =于点P ，且直线PA ，PF ，PB 的斜率成等差数列．（1）求椭圆C 的方程； （2）若记,AMB ANB ∆∆的面积分别为12,S S 求12S Sx22．(本题满分15分) 已知函数ax x x f -=2)(，x x g ln )(=， （1）若)()(x g x f ≥对于定义域内的x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）设)()()(x g x f x h +=有两个极值点1x ，2x 且)21,0(1∈x ，求证：2ln 43)()(21->-x h x h .参考答案11． 6 12.13. 13 14 . 7 15. 1216. 2 17. a ≥18. (1)34(2) 19. (1) 3,6m n == (2)5E ξ= 20 . (1) 略 21.,439221+-=m y y ② ……………①2/②得,,434221221221y y t m m y y y y =+-=++令 …………11,433163104381011222+-=++=+=+m m m t t t t 则 .331,31012<<<+≤∴t t t 即 (13x),212121t y AB y AB S S ANB AMB ==∆∆ )3,31(∈∴∆∆ANB AMB S S ………15分22．解：（1）)()(x g x f ≥，xxx a ln -≤∴ )0(>x -------------4设x xx x ln )(-=ϕ，221ln )(xx x x -+='ϕ 当)1,0(∈x 时，)(x ϕ'0<，当),1(+∞∈x 时，)(x ϕ'0>1)1()(=≥∴ϕϕx ，(]1,∞-∈∴a ---------------------------------------7（2）x ax x x h ln )(2+-=xax x x h 12)(2+-='∴ （0>x ）-----------------------8解法（a ）2121=∴x x ， )21,0(1∈x ),1(2+∞∈∴x ，且122+=i i x ax （2,1=i ）--01' ∴)ln ()ln ()()(2222112121x ax x x ax x x h x h +--+-=- 212122222121ln)ln 1()ln 1(x x x x x x x x +-=+---+--= 2222222ln 41x x x --= （12>x ）---------------------------------------10 设2222ln 41)(x xx x --=μ )1(≥x ， 02)12()(322≥-='x x x μ 2ln 43)1()(-=>∴μμx 即2ln 43)()(21->-x h x h ------------------------------15 解法（b ）2121=∴x x ， )21,0(1∈x ),1(2+∞∈∴x ，且122+=i i x ax （2,1=i ）31222>+=∴x x a --------------------------------------------------12 由x ax x x h ln )(2+-=的极值点可得2ln 432ln 432)1()21()()(21->--=->-a h h x h x h ------------------15。
2013广东省高考压轴卷 数学文试题 密押卷
绝密★启用前试卷类型：B2013广东省高考压轴卷数学文试题本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高． 样本数据12,,,n x x x 的方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦ ,其中,x y 表示样本均值．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合{}1,0,1M =-和{}0,1,2,3N =的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合是 A ．{}0B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,2,3-2. 命题“存在实数x ，使2280x x +-=”的否定是A ．对任意实数x , 都有2280x x +-=B ．不存在实数x ，使2280x x +-≠C ．对任意实数x , 都有2280x x +-≠D ．存在实数x ，使2280x x +-≠3. 若复数1i 12i 2b +=+（i 是虚数单位，b 是实数），则b = A ．2- B ．12- C ．12D ．2图 1MN4. 已知平面向量(1,2)AB = ，(2,)AC y = ，且0AB AC ⋅= ，则23AB AC +=A ．(8,1)B ．(8,7)C ．()8,8-D ．()16,85. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≥时()f x 的图像如图2所示，则()2f -= A ．3- B ．2- C ．1-D ．26. 已知变量x ，y 满足约束条件20,2,0,x y y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最大值为 A ．2B ．3C ．4D ．67. 设函数()3xf x e x =-，则A ．3x e=为()f x 的极大值点 B ．3x e=为()f x 的极小值点 C ．ln3x =为()f x 的极大值点D ．ln3x =为()f x 的极小值点8. 已知直线0Ax y C ++=，其中,,4A C 成等比数列，且直线经过抛物线28y x =的焦点，则A C += A ．1-B ．0C ．1D ．49. 如图3所示，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该几何体体积为 A ．53B ．423C ．73D ．10310. 对于任意两个复数1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），定义运算“⊗”为：12z z ac bd ⊗=+．则下列结论错误的是A ．()()1i i -⊗-=B ．()1i i i ⊗⊗=C ．()122i i ⊗+=D ．()()112i i -⊗+=24 1正视图俯视图侧视图图31 3 2xyO 图2二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11. 函数1()lg(1)1f x x x =+-+的定义域是________． 12. 某公司为了了解员工们的健康状况，随机抽取了部分员工作为样本，测量他们的体重（单位：公斤），体重的分组区间为[50,55），[55,60），[60,65），[65,70），[70,75]，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．根据频率分布直方图，估计该公司员工体重的众数是_________；从这部分员工中随机抽取1位员工，则该员工的体重在[65,75]的概率是_________．13. 已知ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，3b =，2B A =，则A =_________．（二）选做题（14-15小题，考生只能从中选做一题） 14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系(,)ρθ 02πθ⎛⎫≤<⎪⎝⎭中，曲线sin 1ρθ=与4sin ρθ=的交点的极坐标为________．15. （几何证明选讲选做题）如图5所示，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，C ，且33PC PB ==，过点A 作BC 的垂线，垂足为D ，则AD =_______．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. （本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，36a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若110k S =，求k 的值； （3）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求2013T 的值． 17. （本小题满分13分）已知函数()sin 2x f x A ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0,0A ϕπ><<的最大值是1，且()01f =．（1）求函数()f x 的最小正周期；P AB C O D 图5 图4频率组距0.06 0.05 0.04 0.03 0.02体重50 55 60 65 70 75（2）求()f x 的解析式；（3）已知锐角ABC ∆的三个内角分别为A ，B ，C ，若()()3522513f A f B π=+=-，，求()2f C 的值．18. （本小题满分13分）某校高三年级在5月份进行一次质量考试，考生成绩情况如下表所示：[)0,400 [)400,480 [)480,550 [)550,750文科考生 67 35196理科考生53x yz已知用分层抽样方法在不低于550分的考生中随机抽取5名考生进行质量分析，其中文科考生抽取了2名．（1）求z 的值；（2）图6是文科不低于550分的6名学生的语文成绩的茎叶图，计算这6名考生的语文成绩的方差；（3）已知该校不低于480分的文科理科考生人数之比为1:2，不低于400分的文科理科考生人数之比为2:5，求x 、y 的值．19. （本小题满分14分）将棱长为a 正方体截去一半（如图7所示）得到如图8所示的几何体，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点． （1）证明：1AF ED ⊥；（2）求三棱锥1E AFD -的体积．20. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在x 轴上，半径为4的圆C 位于y 轴右侧，且与y 轴相切．（1）求圆C 的方程；（2）若椭圆222125x y b+=的离心率为45，且左右焦点为12,F F ．试探究在圆C 上是否存在点P ，使得12PF F ∆为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．21. （本小题满分14分）2 40 5 8 1 13 12 11 图6 A 1 B 1C 1D 1 ABCD 图7 D 1 DCBA 1AE F图8已知函数()323()=+112f x x a x ax x --3+∈R ， （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当3a =时，若函数()f x 在区间[,2]m 上的最大值为28，求m 的取值范围．2013广东省高考压轴卷 数学文试题答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCCABDDAAB答案详细解析：1．阴影部分所示的集合是{}0,1M N = ． 2．存在量词变成任意量词，结论变．3．∵()()()()()()1i 2i 221i 1i 12i 2i 2i 52b b b b +-++-+===++-，∴21522105b b +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得12b =． 4．∵0AB AC ⋅=，∴220y +=，解得1y =-，∴()()()232,46,38,1AB AC +=+-= ．5．()()222f f -=-=-．6．如图，作出可行域，当目标函数直线经过点A 时取得最大值．由2,0,y x y =⎧⎨-=⎩解得()2,2A ，∴max 2226z =⨯+=． 7．由()30xf x e '=-=，得ln3x =，又ln3x <时，()0f x '<，ln3x >时，()0f x '>，∴()f x 在ln3x =时取得极小值．8．∵,,4A C 成等比数列，∴24C A =①，∵直线经过抛物线28y x =的焦点()2,0，∴20A C +=②，由①②联立解得1,2A C ==-或0,0A C ==（舍去），∴1A C +=-．9．该几何体的直观图如图所示，由题意知该几何体可分割为两个等体积的四棱锥和一个直三棱xyOA柱．四棱锥的体积为112112323V =⨯⨯⨯=，直三棱柱的体积为2111212V =⨯⨯⨯=，∴该几何体的体积为12523V V +=．10．()10i i i i ⊗⊗=⊗=．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．11．()1,1-12．62.5，31013．π614．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭15．32说明：第12题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分．答案详细解析： 11．∵1010x x +>⎧⎨->⎩，∴11x -<<．∴函数的定义域是()1,1-．12．众数是606562.52+=，∵各分组频率分别为0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，∴该员工的体重在[65,75]的概率是0.20.13110+=．13．由正弦定理sin sin a b A B =，又∵2B A =，∴s i n 2s i n c o s a b A AA=，∴3c o s 22b A a ==，∴π6A =． 14．曲线sin 1ρθ=与4sin ρθ=分别转化为直角方程得1y =，224x y y +=。
2013年组合教育密押三套卷理(三)
k3 = 6 ，则 k4 = ________.
《洞穿高考数学解答题核心考点（2013 版） 》配套密押试卷（三）
《洞穿高考数学解答题核心考点（2013 版） 》配套密押试卷（三）
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组合教育 2013 年高考密押理科卷（三）
11.在 △ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a , b , c ，已知 c = 2 C = 积等于 3 ，则 a + b = ________. 12. 如图所示，已知
B.
3 4
B.
3 2
C.
1 2
答
D. 1
封 不 得
∀x > 1 ，x 2 − 1 > 0 ∃x > 1， x − 1-0
2
∀x > 1 ，x2 − 1-0
2
D. ∃x-1 ， x
− 1-0
准考证号
内
⎧x . 0 2 y − x +1 ⎪ ，则 的最大值是（ 7. 已知 x ， y 满足约束条件 ⎨ y . x x + 1 ⎪4 x + 3 y - 12 ⎩
{
}
）. D． {−1, 0,1, 2,3}
6. 已知极坐标系下两圆的极坐标方程分别为 ρ = cos θ ， ρ = （ A. ）.
3 sin θ ，则此两圆的圆心距为
题
考场号
A． {1,2,3} 2. 已知命题 A. C.
B． {0,1, 2,3}
C． {2} ）.
p : ∃x > 1， x 2 − 1 > 0 ，那么 ¬p 是（
x2 y 2 ⎛ 3⎞ + 2 = 1 ( a > b > 0) 经过点 M ⎜1, ⎟ , 其离心率 2 a b ⎝ 2⎠
2013年全国高考理科数学试题及答案-广东卷
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =+,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高、一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的、1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N = ( )A 、 {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【解析】D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以M N = {}2,0,2-,故选D ．2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A 、 4B ．3C ．2D ．1【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ． 3．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A 、 ()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,2【解析】C ；2442iz i i+==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ． 4．已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P35 310110则X 的数学期望EX = ( )A 、32B ．2C ．52D【解析】A；33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==,故选A ． 5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A 、 4B ．143C ．163D ．6【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为正视图 俯视图侧视图第5题图1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =+⨯=,,故选B ． 6．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A 、 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ．7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( ) A 、 2214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -= D ．2212x -= 【解析】B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ． 8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n = 、令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A 、 (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈【解析】B ；特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ．如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立、配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈、综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈、二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9．不等式220x x +-<的解集为___________．【解析】()2,1-；易得不等式220x x +-<的解集为()2,1-、第11题图1i i =+y.AED CBO第15题图10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______、 【解析】1-；求导得1y k x'=+,依题意10k +=,所以1k =-、11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______、【解析】7；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==； 第三次循环后:4,4s i ==；第四次循环后:7,5s i ==；故输出7、 12、 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____、 【解析】20；依题意12910a d +=,所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=、或:()57383220a a a a +=+=13、 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y=∈∈ 是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定条不同的直线、【解析】6；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为()0,1,取得最大值时的整点为()0,4,()1,3,()2,2,()3,1及()4,0共5个整点、故可确定516+=条不同的直线、（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14、(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________、 【解析】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 的普通方程为222x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 15、 (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,1 7 92 0 1 53 0第17题图延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E 、若6AB =,2ED =,则BC =_________、【解析】ABC CDE ∆∆ ,所以AB BCCD DE=,又 BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、 16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R 、(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭、 17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数、(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人、 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀 工人的概率、【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人、C D OBE'AH(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=、 18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,DE 分别是,A C A B 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点、将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值、 【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===连结,OD OE,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD 由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O = ,所以A O '⊥平面BCDE 、 (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角、 结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =,从而A H '==所以cos OH A HO A H '∠==',所以二面角A CD B '--向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -.CO BDEA CDOBE'A图1图2所以(CA '=,(1,DA '=-设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则 00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y xz =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,n OA n OA n OA '⋅'===',即二面角A CD B '--的平面角的余弦值为、 19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S 、已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N 、 (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< 、 【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---, ()()()()321122111133n n S n a n n n -=------- 两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+--- 整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-= 故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列, 所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =、 (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< 、 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=、设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点、(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值、 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >, 解得1c =、所以抛物线C 的方程为24x y =、(Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解、 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=、 (Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92、 21．（本小题满分14分）设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R )、(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M 、 【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞、(Ⅱ)()()()1222x x x xf x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, 令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---令()()311k h k k e k =--+,则()()3kh k k e k '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>, 当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减、因为17028h ⎛⎫=>⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”、 综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31kM k e k =--、。
2013届全国各地高考押题数学(理科)精选试题分类汇编11：概率
2013届全国各地高考押题数学（理科）精选试题分类汇编11：概率一、选择题1 ．（2013届湖北省高考压轴卷 数学（理）试题）如图,设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域,E 是D 内位于函数1(0)y x x =>图象下方的区域 (阴影部分),从D 内随机取一个点M ,则点M 取自E 内的概率为（ ）A ．ln 22 B ．1ln 22- C ．1ln 22+ D ．2ln 22- 【答案】C 【解析】:将1y x =与2y =图象交点记为A ,则1(,2)2A ,∴阴影部分E 的面积1121121ln 22S dx x=+⨯=+⎰,而D 的面积为122⨯=,∴所求概率1ln 22P +=.故选 C ．2 ．（2013届安徽省高考压轴卷数学理试题）投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字记为a ,又()n A 表示集合的元素个数,{}2||3|1,A x x ax x R =++=∈,则()4n A =的概率为 （ ）A ．31B ．21 c.32 D ．61 【答案】A 【解析】由()4n A =知,函数2|3|yx ax =++和1y =的图像有四个交点,所以23y x ax =++的最小值21214a -<-,解得4(4)a a ><-舍去,所以a 的取值是5,6.又因为a 的取值可能是6种,故概率是2163=,故选 （ ）A ．3 ．（2013届海南省高考压轴卷理科数学）如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 （ ）A ．21π-B ．112π-C ．2πD ．1π【答案】答案:A考点分析:本题考察几何概型及平面图形面积求法.解析:令1=OA ,扇形OAB 为对称图形,ACBD 围成面积为1S ,围成OC 为2S ,作对称轴OD ,则过C 点.2S 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积,82212121212122-=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππS .在扇形OAD 中21S 为扇形面积减去三角形OAC 面积和22S ,()1622811812221-=--=ππS S ,4221-=+πS S ,扇形OAB 面积π41=S ,4 ．（2013届江西省高考压轴卷数学理试题）已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ,若(2)0.023P ξ>=,则(22)P ξ-=≤≤ （ ）A ．0.477B ．0.625C ．0.954D ．0.977【答案】C 【解析】由随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ可知正态密度曲线关于y 轴对称,而(2)0.023P ξ>=,则(2)0.023P ξ<-=,故(22)1(2)(2)0.954P P p ξξξ-=->-<-=≤≤,故选C5 ．（2013届广东省高考压轴卷数学理试题）已知(){}1,1,≤≤=Ωy x y x ,A 是曲线2x y =与21xy =围成的区域,若向区域Ω上随机投一点P,则点P 落入区域A 的概率为 （ ）A ．31 B ．41 C ．81 D ．121 【答案】D 区域A面积为)31231200211|333x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰ 11/4312P ==第8题图二、填空题6 ．（2013届上海市高考压轴卷数学（理）试题）已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ,且(4)0.8P ξ<=,则(02)P ξ<<等于_____________.【答案】0.3【解析】(4)0.8P ξ<=,则2.0)4(=>ξP ,又分布图像关于直线2=x 对称,2.0)4()0(=>=<ξξP P ,则6.0)40(=<<ξP ,3.0)20(=<<ξP7 ．（2013届江苏省高考压轴卷数学试题）从集合{-1,1,2,3}中随机选取一个数记为m,从集合{-1,1,2}中随机选取一个数记为n,则方程22x y m n+=1表示双曲线的概率为________.【答案】5128 ．（2013届上海市高考压轴卷数学（理）试题）将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组,使得每组至少有一个数,则两组中各数之和相等的概率是_______________.【答案】463【解析】将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组,使得每组至少有一个数则有123456777777722126C C C C C C +++++=-=种,因为123456728++++++=,所以要使两组中各数之和相,则有各组数字之和为14.则有7615432++=+++;7526431++=+++;7436521++=+++;7421653+++=++;5432761+++=++;6431752+++=++;6521743+++=++;6537421++=+++共8种,所以两组中各数之和相等的概率是8412663=9 ．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）设不等式组22,42x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤， 表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点,则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是________【答案】925【解析】不等式对应的区域为三角形DEF,当点D 在线段BC 上时,点D 到直线+2=0y 的距离等于2,所以要使点D 到直线的距离大于2,则点D 应在三角形BCF 中.各点的坐标为(20)(40)(62)(42)(43)B C D E F ----，，，，，，，，，,所以105DE EF ==，，6BC =，3CF =,根据几何概型可知所求概率为163921251052BCFDEFS P S ∆∆⨯⨯===⨯⨯.三、解答题10．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）(2013日照二模)“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路 ”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路 人进行了问卷调查,得到了如下列联表:男性 女性 合计反感 10不反感 8 合计 30已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是158. (Ⅰ)请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程),并据此资料分析反感“中国式过马路 ”与性别是否有关?(Ⅱ)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X,求X的分布列和数学期望. 【答案】由已知数据得:2230(10866) 1.158 3.84116141614χ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯,所以,没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关 (Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2.282144(0),13C C P X === 116821448(1),91C C C P X ===2621415(2),91C C P X ===所以X X 的数学期望为:012.1391917EX =⨯+⨯+⨯=11．（2013届天津市高考压轴卷理科数学）袋中有8个大小相同的小球,其中1个黑球,3个白球,4个红球.(I)若从袋中一次摸出2个小球,求恰为异色球的概率;(II)若从袋中一次摸出3个小球,且3个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记此时红球的个数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E ξ.【答案】解: (Ⅰ)摸出的2个小球为异色球的种数为11C 11173419C C C +=从8个球中摸出2个小球的种数为2828C = 故所求概率为1928P =5 分 (Ⅱ)符合条件的摸法包括以下三种: 一种是有1个红球,1个黑球,1个白球,共有11C 114312C C =种一种是有2个红球,1个其它颜色球,共有214424C C =种,一种是所摸得的3小球均为红球,共有344C =种不同摸法,故符合条件的不同摸法共有40种由题意知,随机变量ξ的取值为1,2,3.其分布列为:3319123105105E ξ=⨯+⨯+⨯= 北京市高考压轴卷理科数学）本小题共14分 12．（2013届加2012年全省高中篮球比赛,某中学决定从四为了参个篮球较强的班级中选出12人组成男子篮球队代表所在地区参赛,队员来源人数如下表:(II)该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军.若要求选出两位队员代表冠军队发言,设其中来自高三(7)班的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE .【答案】解:(I)“从这18名队员中随机选出两名,两人来自于同一班级”记作事件A ,则2222423321213()66C C C C P A C +++== 6' (II)ξ的所有可能取值为0,1,2 7'则02112048484822212121214163(0),(1),(2)333333C C C CC C P P P C C C ξξξ========= ∴ξ的分布列为:10'∴1416320123333333E ξ=⨯+⨯+⨯= 14' 13．（2013届江西省高考压轴卷数学理试题）现有4个人去参加春节联欢活动,该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢,掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢,掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢. (I)求这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率;(II)求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率;(III)用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数,记X Yξ=-,求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.【答案】解:依题意,这4个人中,每个人去参加甲项目联欢的概率为13,去参加乙项目联欢的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲项目联欢”为事件i A ,(0,1,2,3,4)i =,则4412()()()33i i ii P A C -=.(Ⅰ)这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率22224128()()()3327P A C ==(Ⅱ)设“这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件B ,34B A A =⋃, 故334434441211()()()()()()3339P B P A P A C C =+=+=. ∴这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为19(III)ξ的所有可能取值为0,2,4.28(0)()27P P A ξ===,1340(2)()(),81P P A P A ξ==+=0417(4)()(),81P P A P A ξ==+= 所以ξ的分布列是14881E ξ=14．（2013届海南省高考压轴卷理科数学）中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒后驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q (简称血酒含量,单位是毫克/100毫升),当20≤Q ≤80时,为酒后驾车;当Q >80时,为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门于2012年1月的某天晚上8点至11点在市区昌隆饭店设点进行一次拦查行动,共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者,如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图(其中Q ≥140的人数计入120≤Q <140人数之内).(1)求此次拦查中醉酒驾车的人数;(2)从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究,再从抽取的8人中任取3人,求3人中含有醉酒驾车人数X 的分布列和数学期望. 【答案】解:(Ⅰ) (0.0032+0.0043+0.0050)×20=0.25,0.25×60=15, 所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人.(Ⅱ) 易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人;所以x 的所有可能取值为0,1,2;P(x =0)=3836C C =145,P(X=1)=381226C C C =2815,P(x =2)=382216C C C =283X 的分布列为432832281511450)(=⨯+⨯+⨯=X E . 15．（2013届湖北省高考压轴卷 数学（理）试题）我省某示范性高中为推进新课程改革,满足不同层次学生的要求,决定从高一年级开始,在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科目的辅导讲座(规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否则称为不满座).统计数据表明,各学科讲座各天的满座概率如下表:(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; 各辅导讲座满座的科目数为ξ,(2)设周三量ξ的分布列和数学期望.求随机变【答案】(1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A ,则1221()(1)(1)(1)23318P A =---=.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.4121(0)(1)(1)2348P ξ==-⋅-=; 1344112121(1)(1)(1)(1)223238P C ξ==⋅⋅-⋅-+-⋅=;22213441121127(2)()(1)(1)()(1)22322324P C C ξ==⋅⋅-⋅-+⋅⋅-⋅=; 33222441121121(3)()(1)(1)()(1)2232233P C C ξ==⋅⋅-⋅-+⋅⋅-⋅=;.4334121123(4)()(1)()(1)2322316P C ξ==⋅-+⋅⋅-⋅=;4121(5)()2324P ξ==⋅=. 所以,随机变量ξ的分布列如下:故117131801234548824316243E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 16．（2013届广东省高考压轴卷数学理试题）生产A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为正品,小于82为次品.现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下:(Ⅰ)试分别估计元件A,元件B 为正品的概率;(Ⅱ)生产一件元件A,若是正品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件元件B,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元 .在(Ⅰ)的前提下,(ⅰ)记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润,求随机变量X 的分布列和数学期望;(ⅱ)求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率.【答案】【答案】(Ⅰ)解:元件A 为正品的概率约为4032841005++=元件B 为正品的概率约为4029631004++=(Ⅱ)解:(ⅰ)随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-433(90)545P X ==⨯=; 133(45)5420P X ==⨯=; 411(30)545P X ==⨯=; 111(15)5420P X =-=⨯=所以,随机变量X 的分布列为:3311904530(15)66520520EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=(ⅱ)设生产的5件元件B 中正品有n 件,则次品有5n -件.依题意,得 5010(5)140n n --≥, 解得 196n ≥.所以 4n =,或5n =设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ,则 445531381()C ()()444128P A =⨯+=17．（2013新课标高考压轴卷（一）理科数学）某校从6名学生会干部(其中男生4人,女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者.(Ⅰ)所选3人中女生人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望. (Ⅱ)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率【答案】解:(I)ξ得可能取值为 0,1,2;由题意P(ξ=0)=343615C C =, P(ξ=1)=21423635C C C =, P(ξ=2)=12423615C C C = ∴ξ的分布列、期望分别为:E ξ=0×15+1×35+2 ×15=1 (II)设在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的事件为C男生甲被选中的种数为2510C =,男生甲被选中,女生乙也被选中的 种数为144C =∴P(C)=142542105C C ==在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为2518．（2013届辽宁省高考压轴卷数学理试题）袋中有大小相同的10个编号为1、2、3的球,1号球有1个,2号球有m 个,3号球有n 个.从袋中依次摸出2个球,已知在第一次摸出3号球的前提下,再摸出一个2号球的概率是13. (Ⅰ)求m 、n 的值;(Ⅱ)从袋中任意摸出2个球,记得到小球的编号数之和为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ.【答案】解:(1)记“第一次摸出3号球”为事件A ,“第二次摸出2号球”为事件B ,则31110)/(=-=m A B P , 解得6,3==n m ;(2)随机变量ξ的取值为6,5,4,3,ξ的分布列为所以,数学期望5=ξE 19．（2013届新课标高考压轴卷（二）理科数学）某校中学生篮球队假期集训,集训前共有6个篮球,其中3个是新球(即没有用过的球),3个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练,都从中任意取出2个球,用完后放回. (Ⅰ)设第一次训练时取到的新球个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望; (Ⅱ)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.【答案】解:(1)ξ的所有可能取值为0,1,2.设“第一次训练时取到i 个新球(即i =ξ)”为事件i A (=i 0,1,2).因为集训前共有6个篮球,其中3个是新球,3个是旧球,所以51)0()(26230====C C P A P ξ, 53)1()(2613131====C C C P A P ξ,51)2()(26232====C C P A P ξ.所以ξ的分布列为(注:不列表,不扣分)ξ3 4 5 6P151 51 52 31ξ的数学期望为1512531510=⨯+⨯+⨯=ξE .(2)设“从6个球中任意取出2个球,恰好取到一个新球”为事件B . 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件B A B A B A 210++. 而事件B A 0、B A 1、B A 2互斥,所以,)()()()(210210B A P B A P B A P B A B A B A P ++=++. 由条件概率公式,得253535151|()()(261313000=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）, 2581585353|()()(261412111=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）, 151315151|()()(261511222=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）.所以,第二次训练时恰好取到一个新球的概率为7538151258253)(210＝++=++B A B A B A P . 20．（2013届重庆省高考压轴卷数学理试题）(本小题满分13分,其中(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问9分)某单位有三辆汽车参加某种事故保险,单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金,对在一年内发生此种事故的每辆汽车,单位可获9000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次),设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19,110,111,且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中: (Ⅰ)获赔的概率;(Ⅱ)获赔金额ξ的分布列与期望.【答案】解:设k A 表示第k 辆车在一年内发生此种事故,123k=，，.由题意知1A ,2A ,3A 独立, 且11()9P A =,21()10P A =,31()11P A =. (Ⅰ)该单位一年内获赔的概率为123123891031()1()()()19101111P A A A P A P A P A -=-=-⨯⨯=.(Ⅱ)ξ的所有可能值为0,9000,18000,27000.12312389108(0)()()()()9101111P P A A A P A P A P A ξ====⨯⨯=,123123123(9000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++19108110891910119101191011=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2421199045==, 123123123(18000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++ 123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++1110191811910119101191011=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 273990110==, 123123(27000)()()()()P P A A A P A P A P A ξ===111191011990=⨯⨯=. 综上知,ξ的分布列为求ξ的期望有两种解法: 解法一:由ξ的分布列得811310900018000270001145110990E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯299002718.1811=≈(元). 解法二:设k ξ表示第k 辆车一年内的获赔金额,123k =，，, 则1ξ有分布列故11900010009E ξ=⨯=. 同理得21900090010E ξ=⨯=,319000818.1811E ξ=⨯≈.综上有1231000900818.182718.18E E E E ξξξξ=++≈++=(元).21．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 在进行一项掷骰子放球的游戏中规定:若掷出1点或2点,则在甲盒中放一球;否则,在乙盒中放一球.现在前后一共掷了4次骰子,设x 、y 分别表示甲、乙盒子中球的个数. (Ⅰ)求13y x ≤-≤的概率;【答案】解:依题意知,掷一次骰子,球被放入甲盒、乙盒的概率分别为12,.33(Ⅰ)若13,y x ≤-≤则只能有1,3,x y ==即在4次掷骰子中,有1次在甲盒中放球,有3次在乙盒中放球,因此所求概率3141232.3381P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭(Ⅱ)由于,x y ξ=-所以ξ的可能取值有0,2,4()222412240,3381P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()33134********,333381P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()44444111743381P C C ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以随机变量ξ的分布列为:故随机变量ξ的数学期望为244017148024.81818181E ξ=⨯+⨯+⨯= 22．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）如图,已知面积为1的正三角形ABC 三边的中点分别为D 、E 、F,从A,B,C,D,E,F 六个点中任取三个不同的点,所构成的三角形的面积为X(三点共线时,规定X=0)(1)求1()2P X ≥;(2)求E(X)CB【答案】【解析】解:⑴从六点中任取三个不同的点共有36C 20=个基本事件,事件“12X ≥”所含基本事件有2317⨯+=,从而17()220P X =≥. ⑵X 的分布列为:X 014 12 P3201020620120则311016113()01204202202040E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 答:17()220P X =≥,13()40E X =. 23．（2013届湖南省高考压轴卷数学（理）试题）( 本小题满分12分)某次体能测试中,规定每名运动员一开始就要参加且最多参加四次测试.一旦测试通过,就不再参加余下的测试,否则一直参加完四次测试为止.已知运动员甲的每次通过率为7.0(假定每次通过率相同). (1) 求运动员甲最多参加两次测试的概率;(2) 求运动员甲参加测试的次数 的分布列及数学期望(精确到0.1).【答案】⑴因为运动员甲参加一次测试的概率是0.7运动员甲参加两次测试的概率是0.7×0.3=0.21所以运动员甲最多参加两次测试的概率是0.21+0.7=0.91 ⑵ξ的可能取值是1,2,3,4 P(ξ=1)=0.7;P(ξ=2)=0.21; P(ξ=3)=0.063; P(ξ=4)=0.027;24．（2013届陕西省高考压轴卷数学（理）试题）选聘高校毕业生到村任职,是党中央作出的一项重大决策,这对培养社会主义新农村建设带头人,引导高校毕业生面向基层就业创业具有重大意义.为响应国家号召,某大学决定从符合条件的6名(其中男生4名,女生2名)报名大学生中选择3人到某村参加村主任应聘考核.(1)设所选3人中女生人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望; (2)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.【答案】【解析】(Ⅰ):ξ的所有可能取值为0,1,2.依题意得:3436C 1(0)C 5P ξ===,214236C C 3(1)C 5P ξ===,124236C C 1(2)C 5P ξ===. ∴ξ的分布列为∴ 10121555E ξ=⨯+⨯+⨯=. (Ⅱ):设“男生甲被选中”为事件A ,“女生乙被选中”为事件B ,则()2536C 1C 2P A ==, ()1436C 1C 5P AB ==,∴()()()25P AB P B A P A ==.故在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为25. 25．（2013届福建省高考压轴卷数学理试题）已知甲箱中只放有x 个红球与y 个白球(,0,x y ≥且6)x y +=,乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外,无其它区别). 若甲箱从中任取2个球, 从乙箱中任取1个球.(Ⅰ)记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P ,求当P 取得最大值时,x y 的值; (Ⅱ)当2x =时,求取出的3个球中红球个数ξ的期望()E ξ.【答案】【解析】(I)由题意知203)2(60160.211=+≤=⋅=γx xy Cx C C P L r , 当且仅当y x =时等号成立,所以,当P 取得最大值时3==y x .(II)当2=x 时,即甲箱中有2个红球与4个白球,所以ξ的所有可能取值为3,2,1,0则51)0(14261124===C C C C P ξ,157)1(14261224121412=+==C C C C C C C P ξ,103)2(14261214121222=+==C C C C C C C p ξ, 301)3(142612===C C C P ξ,所以红球个数ξ的分布列为于是67=ξE . 26．（2013届安徽省高考压轴卷数学理试题）,获得如下数据:试销结束后(假设商品的日销售量的分布规律不变),在试销期间,每天开始营业时商品有5件,当天营业结束后,进行盘点存货,若发现存量小于3件,则当天进货补充到5件,否则不进货. (1)求超市进货的概率(2)记ξ为第二天开始营业时该商品的件数,求ξ的分布列和数学期望.【答案】【解析】(1)10642()(3)(4)(5)3030303P P P P =++=++=进货销售件销售件销售件 (2)ξ的取值是345.，， 61317(3)(4)(5)305301010P P P ξξξ========，，，即分布列是: 所以数学期望是345 4.551010E ξ=⨯+⨯+⨯=。
2013广东高考理科数学试卷及答案
2013年广东省高考数学试卷〔理科〕2013年广东省高考数学试卷〔理科〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．〔5分〕〔2013•广东〕设集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=〔〕A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}2．〔5分〕〔2013•广东〕定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是〔〕A．4B．3C．2D．13．〔5分〕〔2013•广东〕假设复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是〔〕A．〔2，4〕B．〔2，﹣4〕C．〔4，﹣2〕D．〔4，2〕4．〔5分〕〔2013•广东〕已知离散型随机变量X的分布列为X 1 2 3P则X的数学期望E〔X〕=〔〕A．B．2C．D．35．〔5分〕〔2013•广东〕某四棱台的三视图如下图，则该四棱台的体积是〔〕A．4B．C．D．66．〔5分〕〔2013•广东〕设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，以下命题中正确的选项是〔〕A．假设α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．假设α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．假设m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．假设m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β7．〔5分〕〔2013•广东〕已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F〔3，0〕，离心率等于，则C的方程是〔〕A．B．C．D．8．〔5分〕〔2013•广东〕设整数n ≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={〔x ，y ，z 〕|x ，y ，z ∈X ，且三条件x ＜y ＜z ，y ＜z ＜x ，z ＜x ＜y 恰有一个成立}．假设〔x ，y ，z 〕和〔z ，w ，x 〕都在S 中，则以下选项正确的选项是〔 〕A ． 〔y ，z ，w 〕∈S ，〔x ，y ，w 〕∉SB ． 〔y ，z ，w 〕∈S ，〔x ，y ，w 〕∈SC ． 〔y ，z ，w 〕∉S ，〔x ，y ，w 〕∈SD ． 〔y ，z ，w 〕∉S ，〔x ，y ，w 〕∉S二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分．9．〔5分〕〔2013•广东〕不等式x 2+x ﹣2＜0的解集为 _________ ．10．〔5分〕〔2013•广东〕假设曲线y=kx+lnx 在点〔1，k 〕处的切线平行于x 轴，则k= _________ ．11．〔5分〕〔2013•广东〕执行如下图的程序框图，假设输入n 的值为4，则输出s 的值为 _________ ．12．〔5分〕〔2013•广东〕在等差数列{a n }中，已知a 3+a 8=10，则3a 5+a 7= _________ ．13．〔5分〕〔2013•广东〕给定区域D ：．令点集T={〔x 0，y 0〕∈D|x 0，y 0∈Z ，〔x 0，y 0〕是z=x+y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定 _________ 条不同的直线．14．〔5分〕〔2013•广东〕〔坐标系与参数方程选做题〕已知曲线C 的参数方程为〔t 为参数〕，C 在点〔1，1〕处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 _________ ．15．〔2013•广东〕〔几何证明选讲选做题〕如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC=CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E ．假设AB=6，ED=2，则BC= _________ ．三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．〔12分〕〔2013•广东〕已知函数，x∈R．〔1〕求的值；〔2〕假设，，求．17．〔12分〕〔2013•广东〕某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如下图，其中茎为十位数，叶为个位数．〔1〕根据茎叶图计算样本均值；〔2〕日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？〔3〕从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．18．〔14分〕〔2013•广东〕如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O=．〔1〕证明：A′O⊥平面BCDE；〔2〕求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．19．〔14分〕〔2013•广东〕设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．〔1〕求a2的值；〔2〕求数列{a n}的通项公式；〔3〕证明：对一切正整数n，有．20．〔14分〕〔2013•广东〕已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F〔0，c〕〔c＞0〕到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．〔1〕求抛物线C的方程；〔2〕当点P〔x0，y0〕为直线l上的定点时，求直线AB的方程；〔3〕当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．〔14分〕〔2013•广东〕设函数f〔x〕=〔x﹣1〕e x﹣kx2〔k∈R〕．〔1〕当k=1时，求函数f〔x〕的单调区间；〔2〕当时，求函数f〔x〕在[0，k]上的最大值M．2013年广东省高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．〔5分〕〔2013•广东〕设集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=〔〕A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得，M={0，﹣2}，N={0，2}，进而求其并集可得答案．解答：解：分析可得，M为方程x2+2x=0的解集，则M={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，N为方程x2﹣2x=0的解集，则N={x|x2﹣2x=0}={0，2}，故集合M∪N={0，﹣2，2}，故选D．点评：此题考查集合的并集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的并集．2．〔5分〕〔2013•广东〕定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是〔〕A．4B．3C．2D．1考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义及图象特征逐一盘点即可．解答：解：y=x3的定义域为R，关于原点对称，且〔﹣x〕3=﹣x3，所以函数y=x3为奇函数；y=2x的图象过点〔0，1〕，既不关于原点对称，也不关于y轴对称，为非奇非偶函数；y=x2+1的图象过点〔0，1〕关于y轴对称，为偶函数；y=2sinx的定义域为R，关于原点对称，且2sin〔﹣x〕=﹣2sinx，所以y=2sinx为奇函数；所以奇函数的个数为2，故选C．点评：此题考查函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，要熟练掌握．3．〔5分〕〔2013•广东〕假设复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是〔〕A．〔2，4〕B．〔2，﹣4〕C．〔4，﹣2〕D．〔4，2〕考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为4﹣2i，从而求得z对应的点的坐标．解答：解：复数z满足iz=2+4i，则有z===4﹣2i，故在复平面内，z对应的点的坐标是〔4，﹣2〕，故选C．点评：此题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．4．〔5分〕〔2013•广东〕已知离散型随机变量X的分布列为X 1 2 3P则X的数学期望E〔X〕=〔〕A．B．2C．D．3考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：利用数学期望的计算公式即可得出．解答：解：由数学期望的计算公式即可得出：E〔X〕==．故选A．点评：熟练掌握数学期望的计算公式是解题的关键．5．〔5分〕〔2013•广东〕某四棱台的三视图如下图，则该四棱台的体积是〔〕A．4B．C．D．6考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可．解答：解：几何体是四棱台，下底面是边长为2的正方形，上底面是边长为1的正方形，棱台的高为2，并且棱台的两个侧面与底面垂直，四楼台的体积为V==．故选B．点评：此题考查三视图与几何体的关系，棱台体积公式的应用，考查计算能力与空间想象能力．6．〔5分〕〔2013•广东〕设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，以下命题中正确的选项是〔〕A．假设α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．假设α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．假设m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．假设m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析： 由α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，可推得m ⊥n ，m ∥n ，或m ，n 异面；由α∥β，m ⊂α，n ⊂β，可得m ∥n ，或m ，n异面；由m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，再由n ∥β可得α⊥β． 解答： 解：选项A ，假设α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则可能m ⊥n ，m ∥n ，或m ，n 异面，故A 错误；选项B ，假设α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ，或m ，n 异面，故B 错误；选项C ，假设m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C 错误；选项D ，假设m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，再由n ∥β可得α⊥β，故D 正确．故选D点评： 此题考查命题真假的判断与应用，涉及空间中直线与平面的位置关系，属基础题．7．〔5分〕〔2013•广东〕已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F 〔3，0〕，离心率等于，则C 的方程是〔 〕A ．B ．C ．D ．考点： 双曲线的标准方程．专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 设出双曲线方程，利用双曲线的右焦点为F 〔3，0〕，离心率为 ，建立方程组，可求双曲线的几何量，从而可得双曲线的方程．解答：解：设双曲线方程为 〔a ＞0，b ＞0〕，则∵双曲线C 的右焦点为F 〔3，0〕，离心率等于 ，∴，∴c=3，a=2，∴b 2=c 2﹣a 2=5∴双曲线方程为 ．故选B ．点评： 此题考查双曲线的方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．8．〔5分〕〔2013•广东〕设整数n ≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={〔x ，y ，z 〕|x ，y ，z ∈X ，且三条件x ＜y ＜z ，y ＜z ＜x ，z ＜x ＜y 恰有一个成立}．假设〔x ，y ，z 〕和〔z ，w ，x 〕都在S 中，则以下选项正确的选项是〔 〕A ． 〔y ，z ，w 〕∈S ，〔x ，y ，w 〕∉SB ． 〔y ，z ，w 〕∈S ，〔x ，y ，w 〕∈SC ． 〔y ，z ，w 〕∉S ，〔x ，y ，w 〕∈SD ． 〔y ，z ，w 〕∉S ，〔x ，y ，w 〕∉S考点： 进行简单的合情推理．专题： 证明题；压轴题．分析： 特殊值排除法，取x=1，y=2，z=4，w=3，可排除错误选项，即得答案．解答： 解：特殊值排除法，取x=1，y=2，z=4，w=3，显然满足〔x ，y ，z 〕和〔z ，w ，x 〕都在S 中，此时〔y ，z ，w 〕=〔2，4，3〕∈S ，〔x ，y ，w 〕=〔1，2，3〕∈S ，故A 、C 、D 均错误；只有B 成立，故选B点评： 此题考查简单的合情推理，特殊值验证法是解决问题的关键，属基础题．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分．9．〔5分〕〔2013•广东〕不等式x2+x﹣2＜0的解集为〔﹣2，1〕．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：先求相应二次方程x2+x﹣2=0的两根，根据二次函数y=x2+x﹣2的图象即可写出不等式的解集．解答：解：方程x2+x﹣2=0的两根为﹣2，1，且函数y=x2+x﹣2的图象开口向上，所以不等式x2+x﹣2＜0的解集为〔﹣2，1〕．故答案为：〔﹣2，1〕．点评：此题考查一元二次不等式的解法，属基础题，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类题目的关键，解二次不等式的基本步骤是：求二次方程的根；作出草图；据图象写出解集．10．〔5分〕〔2013•广东〕假设曲线y=kx+lnx在点〔1，k〕处的切线平行于x轴，则k=﹣1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．解答：解：由题意得，y′=k+，∵在点〔1，k〕处的切线平行于x轴，∴k+1=0，得k=﹣1，故答案为：﹣1．点评：此题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．11．〔5分〕〔2013•广东〕执行如下图的程序框图，假设输入n的值为4，则输出s的值为7．考点：程序框图．专题：图表型．分析：由已知中的程序框图及已知中输入4，可得：进入循环的条件为i≤4，即i=1，2，3，4．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．解答：解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，S=4+4﹣1=7；当i=5时，退出循环，输出S=7；故答案为：7．点评：此题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．12．〔5分〕〔2013•广东〕在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=20．考点：等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等差数列性质可得：3a5+a7=2〔a5+a6〕=2〔a3+a8〕．解答：解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+〔a5+a7〕=2a5+〔2a6〕=2〔a5+a6〕=2〔a3+a8〕=20，故答案为：20．点评：此题考查等差数列的性质及其应用，属基础题，准确理解有关性质是解决问题的根本．13．〔5分〕〔2013•广东〕给定区域D：．令点集T={〔x0，y0〕∈D|x0，y0∈Z，〔x0，y0〕是z=x+y在D 上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定6条不同的直线．考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据所给的可行域，利用几何意义求最值，z=x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最值即可，从而得出点集T中元素的个数，即可得出正确答案．解答：解：画出不等式表示的平面区域，如图．作出目标函数对应的直线，因为直线z=x+y与直线x+y=4平行，故直线z=x+y过直线x+y=4上的整数点：〔4，0〕，〔3，1〕，〔2，2〕，〔1，3〕或〔0，4〕时，直线的纵截距最大，z最大；当直线过〔0，1〕时，直线的纵截距最小，z最小，从而点集T={〔4，0〕，〔3，1〕，〔2，2〕，〔1，3〕，〔0，4〕，〔0，1〕}，经过这六个点的直线一共有6条．即T中的点共确定6条不同的直线．故答案为：6．点评：此题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14．〔5分〕〔2013•广东〕〔坐标系与参数方程选做题〕已知曲线C的参数方程为〔t为参数〕，C在点〔1，1〕处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0〔填或也得总分值〕．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：压轴题．分析：先求出曲线C的普通方程，再利用直线与圆相切求出切线的方程，最后利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得其极坐标方程即可．解答：解：由〔t为参数〕，两式平方后相加得x2+y2=2，…〔4分〕∴曲线C是以〔0，0〕为圆心，半径等于的圆．C在点〔1，1〕处的切线l的方程为x+y=2，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入x+y=2，并整理得ρcosθ+ρsinθ﹣2=0，即或，则l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0〔填或也得总分值〕．…〔10分〕故答案为：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0〔填或也得总分值〕．点评：此题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化．普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ．15．〔2013•广东〕〔几何证明选讲选做题〕如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．假设AB=6，ED=2，则BC=．考点：与圆有关的比例线段．专题：压轴题；直线与圆．分析：利用AB是圆O的直径，可得∠ACB=90°．即AC⊥BD．又已知BC=CD，可得△ABD是等腰三角形，可得∠D=∠B．再利用弦切角定理可得∠ACE=∠B，得到∠AEC=∠ACB=90°，进而得到△CED∽△ACB，利用相似三角形的性质即可得出．解答：解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC．∵CE 与⊙O 相切于点C ，∴∠ACE=∠ABC ．∴∠AEC=∠ACB=90°． ∴△CED ∽△ACB ．∴，又CD=BC ，∴．点评： 此题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等基础知识，需要较强的推理能力．三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．〔12分〕〔2013•广东〕已知函数，x ∈R ．〔1〕求的值； 〔2〕假设，，求．考点：二倍角的正弦；两角和与差的余弦函数． 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 分析：〔1〕把x=﹣直接代入函数解析式求解． 〔2〕先由同角三角函数的基本关系求出sin θ的值以及sin2θ，然后将x=2θ+代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果． 解答：解：〔1〕〔2〕因为，所以所以所以=点评： 此题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合，要注意角的范围． 17．〔12分〕〔2013•广东〕某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如下图，其中茎为十位数，叶为个位数．〔1〕根据茎叶图计算样本均值；〔2〕日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？〔3〕从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．考点：众数、中位数、平均数；茎叶图；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：〔1〕茎叶图中共同的数字是数字的十位，这是解决此题的突破口，根据所给的茎叶图数据，代入平均数公式求出结果；〔2〕先由〔1〕求得的平均数，再利用比例关系即可推断该车间12名工人中有几名优秀工人的人数；〔3〕设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，结合组合数利用概率的计算公式即可求解事件A的概率．解答：解：〔1〕样本均值为〔2〕抽取的6名工人中有2名为优秀工人，所以12名工人中有4名优秀工人〔3〕设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，所以，即恰有1名优秀工人的概率为．点评：此题主要考查茎叶图的应用，古典概型及其概率计算公式，属于容易题．对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，题目分别表示一组数据的特征，考查最基本的知识点．18．〔14分〕〔2013•广东〕如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O=．〔1〕证明：A′O⊥平面BCDE；〔2〕求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：〔1〕连接OD，OE．在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，AD=AE=，CO=BO=3．分别在△COD与△OBE中，利用余弦定理可得OD，OE．利用勾股定理的逆定理可证明∠A′OD=∠A′OE=90°，再利用线面垂直的判定定理即可证明；〔2〕方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F．利用〔1〕可知：A′O⊥平面BCDE，根据三垂线定理得A′F⊥CD，所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在直角△OCF中，求出OF即可；方法二：取DE中点H，则OH⊥OB．以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．解答：〔1〕证明：连接OD，OE．因为在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，CO=BO=3．在△COD中，，同理得．因为，．所以A′O2+OD2=A′D2，A′O2+OE2=A′E2．所以∠A′OD=∠A′OE=90°所以A′O⊥OD，A′O⊥OE，OD∩OE=O．所以A′O⊥平面BCDE．〔2〕方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F因为A′O⊥平面BCDE．根据三垂线定理，有A′F⊥CD．所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在Rt△COF中，．在Rt△A′OF中，．所以．所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为．方法二：取DE中点H，则OH⊥OB．以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则O〔0，0，0〕，A′〔0，0，〕，C〔0，﹣3，0〕，D〔1，﹣2，0〕=〔0，0，〕是平面BCDE 的一个法向量．设平面A′CD的法向量为n=〔x，y，z〕，．所以，令x=1，则y=﹣1，．所以是平面A′CD的一个法向量设二面角A′﹣CD﹣B的平面角为θ，且所以所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为点评：此题综合考查了等腰直角三角形的性质、余弦定理、线面垂直的判定与性质定理、三垂线定哩、二面角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法，需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力．19．〔14分〕〔2013•广东〕设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．〔1〕求a2的值；〔2〕求数列{a n}的通项公式；〔3〕证明：对一切正整数n，有．数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．考点：等差数列与等比数列．专题：分〔1〕利用已知a1=1，，n∈N*．令n=1即可求出；析：〔2〕利用a n=S n﹣S n﹣1〔n≥2〕即可得到na n+1=〔n+1〕a n+n〔n+1〕，可化为，．再利用等差数列的通项公式即可得出；〔3〕利用〔2〕，通过放缩法〔n≥2〕即可证明．解解：〔1〕当n=1时，，解得a2=4答：〔2〕①当n≥2时，②①﹣②得整理得na n+1=〔n+1〕a n+n〔n+1〕，即，当n=1时，所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列 所以，即所以数列{a n }的通项公式为，n ∈N *〔3〕因为〔n ≥2〕所以=点评： 熟练掌握等差数列的定义及通项公式、通项与前n 项和的关系a n =S n ﹣S n ﹣1〔n ≥2〕、裂项求和及其放缩法等是解题的关键．20．〔14分〕〔2013•广东〕已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F 〔0，c 〕〔c ＞0〕到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离为，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． 〔1〕求抛物线C 的方程；〔2〕当点P 〔x 0，y 0〕为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； 〔3〕当点P 在直线l 上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．考点：抛物线的标准方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的简单性质． 专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：〔1〕利用焦点到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离建立关于变量c 的方程，即可解得c ，从而得出抛物线C 的方程； 〔2〕先设，，由〔1〕得到抛物线C 的方程求导数，得到切线PA ，PB 的斜率，最后利用直线AB 的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB 的方程； 〔3〕根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由〔2〕得x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=4y 0，x 0=y 0+2，将它表示成关于y 0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值． 解答：解：〔1〕焦点F 〔0，c 〕〔c ＞0〕到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离，解得c=1所以抛物线C 的方程为x 2=4y〔2〕设，由〔1〕得抛物线C 的方程为，，所以切线PA ，PB 的斜率分别为，所以PA ：①PB ：②联立①②可得点P 的坐标为，即，又因为切线PA 的斜率为，整理得直线AB 的斜率所以直线AB 的方程为 整理得，即因为点P 〔x 0，y 0〕为直线l ：x ﹣y ﹣2=0上的点，所以x 0﹣y 0﹣2=0，即y 0=x 0﹣2 所以直线AB 的方程为 〔3〕根据抛物线的定义，有，所以=由〔2〕得x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=4y 0，x 0=y 0+2 所以=所以当时，|AF|•|BF|的最小值为点评： 此题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．21．〔14分〕〔2013•广东〕设函数f 〔x 〕=〔x ﹣1〕e x ﹣kx 2〔k ∈R 〕． 〔1〕当k=1时，求函数f 〔x 〕的单调区间； 〔2〕当时，求函数f 〔x 〕在[0，k ]上的最大值M ．考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 压轴题；导数的综合应用．分析： 〔1〕利用导数的运算法则即可得出f ′〔x 〕，令f ′〔x 〕=0，即可得出实数根，通过列表即可得出其单调区间；〔2〕利用导数的运算法则求出f ′〔x 〕，令f ′〔x 〕=0得出极值点，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值．解答： 解：〔1〕当k=1时，f 〔x 〕=〔x ﹣1〕e x ﹣x 2f'〔x 〕=e x +〔x ﹣1〕e x ﹣2x=x 〔e x ﹣2〕令f'〔x 〕=0，解得x 1=0，x 2=ln2＞0 所以f'〔x 〕，f 〔x 〕随x 的变化情况如下表： x 〔﹣∞，0〕 0 〔0，ln2〕 ln2 〔ln2，+∞〕 f'〔x 〕 + 0 ﹣ 0 +f 〔x 〕 ↗ 极大值 ↘ 极小值↗ 所以函数f 〔x 〕的单调增区间为〔﹣∞，0〕和〔ln2，+∞〕，单调减区间为〔0，ln2〕〔2〕f〔x〕=〔x﹣1〕e x﹣kx2，x∈[0，k]，．f'〔x〕=xe x﹣2kx=x〔e x﹣2k〕f'〔x〕=0，解得x1=0，x2=ln〔2k〕令φ〔k〕=k﹣ln〔2k〕，，所以φ〔k〕在上是减函数，∴φ〔1〕≤φ〔k〕＜φ，∴1﹣ln2≤φ〔k〕＜＜k．即0＜ln〔2k〕＜k所以f'〔x〕，f〔x〕随x的变化情况如下表：x 〔0，ln〔2k〕〕l n〔2k〕〔ln〔2k〕，k〕f'〔x〕﹣0 +f〔x〕↘极小值↗f〔0〕=﹣1，f〔k〕=〔k﹣1〕e k﹣k3f〔k〕﹣f〔0〕=〔k﹣1〕e k﹣k3+1=〔k﹣1〕e k﹣〔k3﹣1〕=〔k﹣1〕e k﹣〔k﹣1〕〔k2+k+1〕=〔k﹣1〕[e k﹣〔k2+k+1〕]因为，所以k﹣1≤0对任意的，y=e x的图象恒在y=k2+k+1下方，所以e k﹣〔k2+k+1〕≤0所以f〔k〕﹣f〔0〕≥0，即f〔k〕≥f〔0〕所以函数f〔x〕在[0，k]上的最大值M=f〔k〕=〔k﹣1〕e k﹣k3.点评：熟练掌握导数的运算法则、利用导数求函数的单调性、极值与最值得方法是解题的关键．参与本试卷答题和审题的老师有：孙佑中；minqi5；wyz123；gongjy；wubh2011；caoqz；qiss；lincy〔排名不分先后〕菁优网2014年5月16日。
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2013广东省高考压轴卷数学理试题本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =（S 是锥体的底面积，h 是锥体的高） 球体体积公式：343V R π=球(R 是半径)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1、设全集R ，{|(2)0},{|ln(1)},A x x x B x y x =-<==- 则A U （C B ）= （ ） A ．(2,1)- B ．[1,2) C ．(2,1]- D ．(1,2)2、已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz= （ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i -- D ． 2i -+3、已知a ∈R ，则“2a <”是“|2|||x x a -+>恒成立”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4、函数()sin ()f x x x x R =+∈ （ ） A ．是偶函数，且在(,)-∞+∞上是减函数； B ．是偶函数，且在(,)-∞+∞上是增函数； C ．是奇函数，且在(,)-∞+∞上是减函数； D ．是奇函数，且在(,)-∞+∞上是增函数；5、已知(){}1,1,≤≤=Ωy x y x ，A 是曲线2x y =与21x y =围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 （ ） A.31 B.41 C.81 D.121 6、图1是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1，A 2，…，A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 （ ）A ．i ＜6B ．i ＜7C ．i ＜8D ．i ＜97、2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 （ ） A. 60 B. 48 C. 42 D. 368、称(,)||d a b a b =- 为两个向量,a b 间的距离。
若a b 、满足：①||=1;b②a b ≠ ； ③对任意的,t R ∈恒有(,)(,)d a tb d a b ≥，则 （ ） A. ()()a b a b +⊥- B. ()b a b ⊥- C.a b ⊥ D. ()a a b ⊥-二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
(一）必做题（9-13题）9、某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人,为了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为7人,则样本容量为___________10、设,x y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩,则z x y =-的最大值是_________.11 、已知某棱锥的三视图如右图所示，则该棱锥 的体积为 .12、若23*0123(1)()n n n x a a x a x a x a x n N -=++++⋅⋅⋅+∈，且13:1:7a a =，则5_____a = 13、定义映射:f A B →，其中{(,),}A m n m n =∈R ，B =R ，已知对所有的有序正整数对(,)m n 满足下述条件:①(,1)1f m =；②若n m >，(,)0f m n =；③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+-， 则(2,2)f = ，(,2)f n = ． 选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题） 14、已知曲线1C 的参数方程为（0≤θ＜π），直线l 的极坐标方程为4πθ=，()R ρ∈，则它们的交点的直角坐标为 _____ ．15、如图，直线PC 与 O 相切于点C ，割线PAB 经过 圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，4PC =，8PB =，则CE =第11题图图乙图甲DNCBMAB DCNM A yxO -1654321-1-21三、解答题：本大题共6小题，满分80分。
解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．（本小题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R （其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图所示． (1) 求函数()f x 的解析式；(2) 已知横坐标分别为1-、1、5的三点M 、N 、P 都在函数()f x 的图像上，求sin MNP ∠的值．17. （本小题满分13分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100]元件A 8 1240 32 8 元件B71840296（Ⅰ）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； （ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率． 18．（本题满分13分）如图甲，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，2DAB π∠=，点M 、N分别在AB ，CD 上，且MN AB ⊥，MC CB ⊥，2BC =，4MB =，现将梯形ABCD 沿MN 折起，使平面AMND 与平面MNCB 垂直（如图乙）． （Ⅰ）求证：//AB 平面DNC ；（Ⅱ）当DN 的长为何值时，二面角D BC N --的大小为30︒？19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2+3=,2=1+1n n S S S ()1,2,3n = ． （I ）求证：数列{}1+n S 为等比数列； （Ⅱ）设2nnn S a b =,求证：1...21<+++n b b b ．20．（本小题满分14分）动圆P 在x 轴上方与圆F ：()2211x y +-=外切,又与x 轴相切.（1）求圆心P 的轨迹C 的方程；（2）已知A 、B 是轨迹C 上两点，过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，两条切线的交点为M, 设线段AB 的中点为N ，是否存在R λ∈使得MN OF λ=（F 为圆F 的圆心）；（3）在(2)的条件下，若轨迹C 的切线BM 与y 轴交于点R ，A 、B 两点的连线过点F,试求△ABR 面积的最小值．Ks5u21.（本小题满分14分） ()()0ln >--=a x a x x f . (1)若,1=a 求()x f 的单调区间及()x f 的最小值; (2)若0>a ,求()x f 的单调区间; Ks5u(3)试比较222222ln 33ln 22ln n n +++ 与()()()12121++-n n n 的大小.()2≥∈*n N n 且,并证明你的结论.2013广东省高考压轴卷 数学理试题答案一．选择题（每题5分，共40分） 二．填空题（每题5分，共30分）9、 15 10、____ __ 0 11、 212. 56- 13、 2 22n-14. 3030(,)6615.1251、()()0,2,,1,A B ==-∞[)1,,U C B =+∞2、12z i =-+，()()()5125510521212125i i i i ii z i i i ---====--+-+-- 3、2x x a -+>恒成立等价于()min2x xa -+>，即2a >4、()()()sin sin f x x x x x f x -=-+-=--=-，得()f x 为奇函数 ()/1cos 0fx x =+>得()f x 在R 上为增函数 5、区域A 面积为()3123120211|333x x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰ 11/4312P == 6、160~180是4A 到7A ，参与循环的是7i =，循环结束 是8i =7、先把两个女生选好在捆绑在一起22326C A =题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 BACDDCBB假设捆在一起的女生记为A,B ，另一个女生记为C ，两个男生记为甲乙，从左到右编号1~5 （一）A,B 排在1,2号，那么甲可以选3,4.若甲选3，则C,乙无要求，有2种；如果甲选4号，则C 只能选5号，有一种。
则共3种情形（二）A,B 排在2,3号，那么甲只能选4号， C 只能选5号，有一种。
（三）A,B 排在3,4号，那么甲只能选2号， C 只能选1号，有一种。
（二）A,B 排在4,5号，情形同（一）共3种 则总数为N=6*8=48种8、考察向量减法的三角法则，以及向量模的几何意义。
对任意的,t R ∈恒有(,)(,)d a tb d a b ≥ ，表明(,)||d a b a b =-是所有(,)||d a tb a tb =- 中最短的一个，而垂线段最短，故有()b a b ⊥-9、7750350n =得n=15 10、线性规划，三角形区域，最优解（1,1） 11、四棱锥底面是直角梯形，面积为()122132⨯⨯+=，高为2，则体积为2 12、()()1133111276n n C a n n n a C -===---得n=8，55856a C =-=- 13、解：根据定义得(2,2)(11,2)2[(1,2)(1,1)]2(1,1)212f f f f f =+=+==⨯=。
3(3,2)(21,2)2[(2,2)(2,1)]2(21)622f f f f =+=+=⨯+==-， 4(4,2)(31,2)2[(3,2)(3,1)]2(61)1422f f f f =+=+=⨯+==-， 5(5,2)(41,2)2[(4,2)(4,1)]2(141)3022f f f f =+=+=⨯+==-，所以根据归纳推理可知(,2)22nf n =-。