北师大版八年级数学上册 轴对称解答题(提升篇)(Word版 含解析)

北师大版八年级数学上册轴对称解答题（提升篇）（Word版含解析）

一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．

（1）求证：△DCE为等腰三角形；

（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝2，求GH的长；

（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（22

；（3）CE＝2GH，理由见解析.

【解析】【分析】

（1）根据题意可得∠CBD＝1

2

∠ABC＝

1

2

∠ACB，，由BD=DE，可得∠DBC＝∠E＝

1 2∠ACB，根据三角形的外角性质可得∠CDE＝

1

2

∠ACB＝∠E，可证△DCE为等腰三角

形；

（2）根据题意可得CH=DH=1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG=GC，2+1，即可求GH的值；

（3）CE=2GH，根据等腰三角形的性可得BG=GC，BH=HE，可得GH＝GC﹣HC＝GC﹣

（HE﹣CE）＝1

2

BC﹣

1

2

BE+CE＝

1

2

CE，即CE=2GH

【详解】

证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD＝1

2

∠ABC＝

1

2

∠ACB，

∵BD＝DE，

∴∠DBC＝∠E＝1

2

∠ACB，

∵∠ACB＝∠E+∠CDE，

∴∠CDE＝1

2

∠ACB＝∠E，

∴CD＝CE，

∴△DCE是等腰三角形

（2）

∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE2，

∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC，

∴∠HDC＝∠DCH＝45°

∴DH＝CH，

∵DH2+CH2＝DC2＝2，

∴DH＝CH＝1，

∵∠ABC＝∠DCH＝45°

∴△ABC是等腰直角三角形，

又∵点G是BC中点

∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG，

∵BD＝DE，DH⊥BC

∴BH＝HE2+1

∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH2+1∴1+2GH2+1

∴GH＝

2 2

（3）CE＝2GH

理由如下：∵AB＝CA，点G是BC的中点，∴BG＝GC，

∵BD＝DE，DH⊥BC，

∴BH＝HE，

∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝1

2

BC﹣

1

2

BE+CE＝

1

2

CE，

∴CE＝2GH

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.

2．如图，在△ABC 中，AB=BC=AC=20 cm ．动点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点P ，点Q 的速度都是2 cm/s ，当点P 第一次到达B 点时，P ，Q 两点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （s ）．

（1）∠A=______度；

（2）当0＜t ＜10，且△APQ 为直角三角形时，求t 的值；

（3）当△APQ 为等边三角形时，直接写出t 的值．

【答案】（1）60；（2）

103或203；（3）5或20 【解析】

【分析】

(1)根据等边三角形的性质即可解答；

（2）需分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况进行解答；

（3）需分以下两种情况进行解答：①由∠A=60°，则当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形；②当P 于B 重合，Q 与C 重合时，△APQ 为等边三角形.

【详解】

解：（1）60°．

（2）∵∠A=60°，

当∠APQ=90°时，∠AQP=90°－60°=30°．

∴QA=2PA ．

即2022 2.t t -=⨯

解得 10.3

t = 当∠AQP=90°时，∠APQ=90°－60°=30°．

∴PA=2QA ．

即2(202)2.t t -=

解得 20.3

t = ∴当0＜t ＜10，且△APQ 为直角三角形时，t 的值为

102033或． （3）①由题意得：AP=2t ，AQ=20-2t

∵∠A=60°

∴当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形

∴2t=20-2t ，解得t=5

②当P于B重合，Q与C重合，则所用时间为：4÷2=20

综上，当△APQ为等边三角形时，t=5或20．

【点睛】

本题考查了等边三角形和直角三角形的判定以及动点问题，解答的关键在于正确的分类讨论以及对所学知识的灵活应用.

3．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．

定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．

定理应用：

（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．

（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为．

【答案】（1）见解析；（2）5

【解析】

【分析】

定理证明：先证明△PAC≌△PBC，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可；

（1）连结AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答；

（2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可解答.

【详解】

解：定理证明：

∵MN⊥AB，

∴∠PCA＝∠PCB＝90°．

又∵AC＝BC，PC＝PC，

∴△PAC≌△PBC（SAS），