特征线法
第四节 水锤计算的特征线法
第四节水锤计算的特征线法前面介绍了水锤计算的解析法。
解析法的优点是应用简便，但难以求解较为复杂锤问题。
水锤计算的特征线法原则上可以解决任何形式的边界条件问题，可以较合理应水轮机的特性，能较方便地计人摩阻的影响，也便于用数字计算机计算。
特征线法有两种，一种以ζ-v（或H-V）为坐标场，一种以x-t为坐标场，两法的结果是一致的。
图14-12 简单管示意图一、以ζ-v为坐标场的特征线法图14-12表示一特性沿管长不变的水管，P为管中任意一点，距A点和B点的距离分为和。
根据基本方程式(14-5)和式(14-6)可导出求解P、B、A三点水锤压强时征线方程。
（一）任意断面P的水锤求解根据基本方程式（14-5）和式（15一6），P点在时刻t的压强和流速变化为式中上标“P”表示地点，下标“t”表示时间，例如，表示P点在时刻t的水头，余类推。
对于某一确定的断面P，为一常数，为便于书写，在波函数F和f中略去了。
对于A点，在时刻可写出下列相似的方程因F是由A向P传播的反向波，故。
由于水管特性不变，。
考虑以上关系，将式(a)和式(b)两组方程相减，得以上二式消去f，并将ζ=△H/Ho、v=V/Vmax和ρ=cVmax/2gHo。
对于B点，在时刻可以写出与式(b)相似的方程因f是由B向P传播的正向波，故，将式(c)与(a)两组方程相减，以上法处理，得从形式上看，式（14-35）是反x向写出的，称之为反向方程，在ζ-v坐标场上是一根斜率为2ρ的直线，如图14-13中的线；式（9-36）是顺x向写出的方程，成为正向方程，在ζ-v坐标场上是一根斜率为-2ρ的直线，如图14-13中的线。
图14-13 ζ-v坐标场上得特征线在式（14-35）和式（14-36）中，如已知A点在时刻和B点在时刻的压强和流速，即可求出P点在时刻t的压强和流速。
和为图14-13中Pt的坐标值，可用和两条直线的交点求出。
用特征线法求解压强和流速的方法就是过去广为采用的水锤计算的图解法。
偏微分方程的求解方法
偏微分方程的求解方法偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是一类重要的数学问题，其应用范围遍及自然科学、工程技术以及金融等领域。
如何求解偏微分方程是一个具有挑战性的问题，通常需要采用多种方法结合起来进行求解。
本文将简要介绍几种常见的偏微分方程求解方法。
1. 分离变量法分离变量法是一种简单而重要的偏微分方程求解方法。
该方法基于以下假设：偏微分方程的一个解可以写成一系列单一变量的函数乘积的形式。
具体地说，对于一个偏微分方程u(x, y) = 0（其中x, y为自变量），假设其解可以表示为u(x, y) = X(x)Y(y)，其中X(x)和Y(y)分别是关于x和y的单一变量函数。
将u(x, y)代入原方程，得到X(x)Y(y) = 0。
由于0的任何一侧都是0，因此可得到两个单一变量方程：X(x) = 0和Y(y) = 0。
这两个方程的部分解（即使其中一个变量为常数时的解）可以结合在一起，形成原偏微分方程的一般解。
2. 特征线法特征线法是另一种重要的偏微分方程求解方法。
该方法的基本思想是将原方程转化为常微分方程，进而求解。
具体地说，对于一个二阶线性偏微分方程：a(x, y)u_xx + 2b(x, y)u_xy + c(x, y)u_yy + d(x, y)u_x + e(x, y)u_y + f(x, y)u = g(x, y)，通过变量的代换，可以将该方程化为一个与一次微分方程组相关的形式。
进一步地，可以选择沿着特定的方向（例如x或y方向）进行参数化，从而得到关于变量的一阶微分方程。
该微分方程的解通常可以通过传统的常微分方程求解技巧来获得。
3. 数值方法数值方法是目前应用最广泛的偏微分方程求解方法之一。
由于大多数偏微分方程的解析解很难获得，因此数值方法成为了一种有效的、可行的替代方法。
常见的数值方法包括有限差分法、有限元法和边界元法等。
这些方法通过将偏微分方程离散化为一个有限维的计算问题，然后使用数值方法求解这个问题的解。
数学物理方程--- 6 特征线法 共28页PPT资料
数解之，得
第
学
物理又
u2t2ctc2 x3t c，则
六 章
方 程
u2 t2 (x 3 t)t (x 3 t)2
特 征
2 t2 x t 3 t2 x 2 6 x t 9 t2
线
x28t25xt
法
此解法关键之处是找到直线 x3t c ，偏微分方程转化为
常微分方程。直线 x3t c 称为一阶偏微分方程（1）的特征线
有
数学3u3(uu)ut 3ux xt
物
理 方
程所以
3u
3u
4
3
.
43
3
.
即
u
4
9
1.
9
对 两边积分，可得
第 六 章 特 征 线 法
u221g(),
99
其中，g ( ) 为一个可微函数。
由
u(,)221g(),
西安交通大学 数学与统计学院
例2 求解线性方法柯西问题
ut (xcost)ux0,t0,x (6)
数
u(x,0)11x2,x
(7) 第
学 物 理
解
方程(6)式的特征方程为 dx xcost 0, dt
而过点 ( , 0 )
六 章
方 的特征线就是下面问题的解
理
dt
第 六 章
方
程 称为(4)式的特征方程，其积分曲线称为(4)式的特征曲线。
特 征
注1 给出例1求解方法的一个几何解释。在该例中，使用了参数线
c，即为特征线的初始值x ( 0 ) 。当参数 c x(0) 在x 轴滑动时，法
一阶偏微分方程的解法
一阶偏微分方程的解法偏微分方程是数学里一个广泛应用的领域。
其中，一阶偏微分方程是最为基础的一类，也是最常见的一类偏微分方程。
本文将介绍一阶偏微分方程的解法，希望能够对学习和应用偏微分方程的人们提供一定的帮助。
一、基础概念在介绍一阶偏微分方程的解法之前，我们需要先了解一些基础概念。
偏微分方程中的“偏”表示该方程与多个变量有关，微分方程表示该方程中包含有未知函数的导数项，即该方程描述了一个函数在不同变量下的变化。
一阶偏微分方程中，未知函数的偏导数项最高只有一次，且只涉及到一个变量。
方程中的未知函数只依赖于某一个变量，它的解也只涉及到一个变量。
因此，一阶偏微分方程通常可以写成以下的形式：$$ F(u_x, u_y, u_{xx}, u_{yy}, u_{xy}, x, y) = 0 $$其中，$u_x, u_y, u_{xx}, u_{yy}, u_{xy}$分别表示未知函数在不同变量下的偏导数，$x, y$是独立变量。
为了解决该方程，需要找到一个函数 $u(x,y)$，使得它满足该方程。
二、解法分析接下来，我们将介绍一阶偏微分方程的解法。
我们将着重介绍三种解法，分别是：特征线法、变换法和分离变量法。
1. 特征线法特征线法是一种经典的解法，适用于一些特殊的偏微分方程。
特征线法的基本思路是寻找一些特殊的曲线，这些曲线上的函数值保持不变，可以将函数沿这些曲线推进求解。
以以下方程为例：$$ u_x + u_y = x $$我们可以通过特征线法求解。
我们先假设存在某个变换，将$x,y$变为$\xi,\eta$，使得方程能够写成：$$ u_\xi + u_\eta = 1 $$这时，可以通过对$\xi, \eta$求偏导数，得到：$$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \xi} +\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x} $$$$ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial \eta} $$接着，我们可以找到一条特殊的曲线$\xi = \eta$，使得沿着该曲线推进方程不变：$$ \frac{du}{d\xi} = \frac{\partial u}{\partial \xi} + \frac{\partial u}{\partial \eta} = 1 $$在这个方程中，$u$ 只与$\xi$有关，因此可以直接求解得到：$$ u = \frac{1}{2}\xi^2 + C $$将$\xi,\eta$变回$x,y$，得到：$$ u = \frac{1}{2}(x-y)^2 + C $$2. 变换法变换法是一种寻求自变量的新变换，使得原方程可以转化为一些已知的方程的方法。
各类微分方程的解法
各类微分方程的解法一、常微分方程的解法。
1. 分离变量法。
分离变量法是解常微分方程的一种常见方法，适用于一阶微分方程。
其基本思想是将微分方程中的变量分离开来，然后对两边分别积分得到解。
例如，对于形如dy/dx = f(x)g(y)的微分方程，可以将其化为dy/g(y) = f(x)dx，然后对两边积分得到解。
2. 积分因子法。
积分因子法适用于一阶线性微分方程，通过求解积分因子来将微分方程化为恰当微分方程，进而求解。
其基本思想是通过乘以一个适当的函数来使得微分方程的系数函数具有某种特殊的性质，使得微分方程变为恰当微分方程。
3. 特征方程法。
特征方程法适用于二阶线性常系数齐次微分方程，通过求解特征方程来得到微分方程的通解。
其基本思想是将二阶微分方程化为特征方程，然后求解特征方程得到微分方程的通解。
4. 变量替换法。
变量替换法是一种常见的解微分方程的方法，通过引入新的变量替换原微分方程中的变量，从而将原微分方程化为更简单的形式，然后求解。
例如，对于形如dy/dx = f(ax+by+c)的微分方程，可以通过引入新的变量u=ax+by+c来简化微分方程的形式，然后求解得到解。
二、偏微分方程的解法。
1. 分离变量法。
分离变量法同样适用于偏微分方程，其基本思想是将偏微分方程中的变量分离开来，然后对各个变量分别积分得到解。
例如，对于形如∂u/∂t = k∂^2u/∂x^2的一维热传导方程，可以将其化为∂u/∂t = k∂^2u/∂x^2，然后对各个变量分别积分得到解。
2. 特征线法。
特征线法适用于一些特殊的偏微分方程，通过引入特征线变量来化简偏微分方程的形式，然后求解。
例如，对于一维波动方程∂^2u/∂t^2 = c^2∂^2u/∂x^2，可以通过引入特征线变量ξ=x-ct和η=x+ct来化简方程的形式，然后求解得到解。
3. 分析法。
分析法是一种常见的解偏微分方程的方法，通过分析偏微分方程的性质和特征来求解。
数学物理方程- _特征线法 2014-12答案
2t2 xt 3t2 x2 6xt 9t2
x2 8t2 5xt 此解法关键之处是找到直线 x 3t c ，偏微分方程转化为
常微分方程。直线 x 3t c 称为一阶偏微分方程（1）的特征线
uut(
3ux x t, 0 t, x, 0) x2, x
x
(1) (2)
由方程（2）
99
u(x, 0) x2
得
x2 2 x2 1 x2 g(x), 99
即
8 x2 g(x),
所以
9
u(x,t) 2 x2 1 (x 3t)x 8 (x 3t)2,
99
9
2 x2 1 x2 3 tx 8 (x2 6x 9t2 ), 9 9 99
x2 5tx 8t2.
例1 求解线性方法Cauchy问题
uut(
3ux x t, 0 t, x, 0) x2, x
x
(1) (2)
解 方程（1）的左端 ut 3ux 是 u(x,t) 的一阶偏导数的线性
组合。特征线方法的基本思想就是将其转化为 u(x,t) 关于t的全
导数。
du dt
ut
uxx
x
定义1 考虑下面一阶线性微分方程
aut bux cu f
4
其中 a 、b、c 和 f 均为自变量 x 、t 的函数。
方程
a dx b 0
5
dt
称为(4)式的特征方程，其积分曲线称为(4)式的特征曲线。
注1 给出例1求解方法的一个几何解释。在该例中，使用了参数
c，即为特征线的初始值x(0) 。当参数 c x(0) 在x 轴滑动时，
dt
的特征线就是下面问题的解
dx
x
数学物理第六章-特征线法
x at c1, x at c2
解二 考虑弦振动方程的Cauchy问题
utt u(
x,
a2uxx 0,
0) (x),
x ut (x, 0)
,t 0
(x),
x
(1) (2)
特征线族
dx dt
2
a2
0
(3)
(3)称为特征方程。
即
dx a 0, dx a 0
dt
dt
:x (
x(s),t dx , dt , ds ds
t(s),u u(x(s),t
du ds
)
|P0
。显然，向量
(s)) n与
在点 P0 的切向量为 在点 P0 相互垂直。
记 (a(x, t, u), b(x, t, u), c(x, t, u)) |P0 , 则方程(9)式 恰好表示法向量 n 与 在点 P0 处相互垂直。因此，在曲面 u u(x,t) 上，以向量 为切向量且与曲线 相交，交点为
(x t 1)et 1
所以
u(x,t) 1 (x t 1) et 1 (x t 1)e2t
2
2
下面考虑一阶拟线性方程，即一阶导数的系数与未知函数 u 有关。
一阶拟线性方程柯西问题的一般形式为
a( u(
x, x,
t, u)ux
0)
b(x,t,u)ut c( (x), x
( , 0,( )) 的曲线方程为
dx
ds
a( x, t, u),
x(0)
dt
ds
b( x, t, u),
t(0) 0
(11)
du ds
c(
x,
t,
u),
特征线法 计算规则
特征线法计算规则特征线法是一种常用的数学计算方法，可以用于求解各种问题。
它的特点是将问题转化为特征线的形式，通过计算特征线的性质来解决问题。
特征线法的基本思想是将问题中的量与特征线相关联。
特征线是指问题中的某个参数随着时间或空间的变化而变化的曲线。
通过研究特征线的性质，可以得到问题的解。
特征线法的计算规则包括以下几个步骤：1. 确定特征线的方程。
根据问题的条件，确定特征线的方程。
特征线的方程可以是一阶或二阶偏微分方程，也可以是常微分方程。
2. 解特征线的方程。
根据特征线的方程，求解特征线。
解特征线的方法可以是分离变量法、变量代换法或其他方法。
3. 计算特征线的性质。
根据特征线的方程，计算特征线的性质。
特征线的性质包括斜率、曲率、曲率半径等。
4. 利用特征线的性质解决问题。
根据特征线的性质，可以求解问题的解。
求解方法可以是利用特征线的性质求解方程，或者利用特征线的性质求解边值问题。
特征线法的应用非常广泛。
它可以用于求解热传导方程、波动方程、电磁场方程等。
特征线法在工程、物理、数学等领域都有重要的应用。
例如，在热传导问题中，可以使用特征线法来求解温度分布。
首先，根据热传导方程确定特征线的方程。
然后，解特征线的方程，求解特征线。
接下来，计算特征线的性质，如斜率、曲率等。
最后，利用特征线的性质求解温度分布。
特征线法的优点是可以将复杂的问题转化为计算特征线的问题，简化了问题的求解过程。
特征线法的缺点是在某些情况下可能会引入误差，需要进行修正。
总的来说，特征线法是一种常用的数学计算方法，可以用于求解各种问题。
它的计算规则包括确定特征线的方程、解特征线的方程、计算特征线的性质和利用特征线的性质解决问题。
特征线法在工程、物理、数学等领域都有广泛的应用。
通过特征线法，可以简化问题的求解过程，提高计算效率。
偏微分方程的特解法初步
偏微分方程的特解法初步偏微分方程(Partial Differential Equation, PDE)是数学中的重要分支，广泛应用于物理、工程、金融等领域。
解决PDE问题的一种方法是求其特解，本文将初步介绍几种常见的偏微分方程特解法。
一、分离变量法分离变量法是求解线性齐次偏微分方程的一种常用方法，适用于具备一定对称性特征的方程。
其基本思想是将未知函数表示成各个变量的乘积形式，然后分别解各个变量的常微分方程，再将各个解叠加起来得到原方程的解。
以二维空间的波动方程为例，其形式为：∂²u/∂t² =c²(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)我们假设解可以表示为：u(x, y, t) = X(x)Y(y)T(t)将其代入原方程，可得分离后的方程：X''/X + Y''/Y = 1/(c²T²) * T''/T = -k²由此得到一个关于X和Y的常微分方程组，以及一个关于T的常微分方程。
将各个方程分别求解，再将解函数叠加起来，即可得到原方程的特解。
二、变量代换法变量代换法是将偏微分方程转化为简单的常微分方程，从而求解其特解。
该方法适用于通过变换后的方程能够得到特定解的情况。
以二维空间的热传导方程为例，其形式为：∂u/∂t = α²(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)我们假设通过变换可以将原方程化为一个具有常微分方程解的形式：v(η) = u(x, y, t)其中η为某个变换后的新变量。
对该变量进行合适的变换，可将方程化简为一个常微分方程，从而可以通过常微分方程的解函数得到原方程的特解。
三、特征线法特征线法是解决非线性偏微分方程的一种有效方法，适用于具有一定的对称性和可分离变量的特征的方程。
该方法的基本思想是通过指定特征曲线的参数方程，将原方程转化为一个只包含未知函数的常微分方程。
特征线法求
特征线法求特征线法是一种常用的图像处理方法，它可以通过检测图像中的特征线来实现图像的分割和识别。
本文将详细介绍特征线法的原理、应用和优缺点。
一、特征线法的原理特征线法是基于图像中的特征线进行图像处理的方法。
特征线是指图像中明显的、有一定特征的线条，如边缘线、轮廓线等。
特征线法通过提取图像中的特征线，并根据特征线的位置、形状、方向等信息进行分析和处理。
特征线法的主要步骤包括：1. 预处理：对图像进行去噪、平滑等预处理操作，以减少噪声对特征线提取的影响。
2. 特征线提取：通过边缘检测等算法提取图像中的特征线。
3. 特征线描述：对提取到的特征线进行描述，可以使用曲线拟合等方法将特征线表示为数学模型。
4. 特征线分析：根据特征线的位置、形状、方向等信息对图像进行分析和处理，如图像分割、目标识别等。
二、特征线法的应用特征线法在图像处理领域有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
1. 图像分割：特征线法可以通过提取图像中的边缘线或轮廓线来实现图像的分割。
通过对特征线进行分析和处理，可以将图像分割为不同的区域，方便后续的图像分析和处理。
2. 目标识别：特征线法可以通过提取图像中目标的特征线来实现目标的识别。
通过对特征线进行描述和比对，可以判断图像中是否存在目标，并进行相应的处理。
3. 图像重建：特征线法可以通过提取图像中的特征线来重建缺失的图像部分。
通过对特征线的分析和处理，可以推测图像中缺失部分的形状和位置，并进行图像的重建。
三、特征线法的优缺点特征线法作为一种图像处理方法，具有以下优点和缺点。
优点：1. 特征线法可以提取图像中的重要信息，如边缘、轮廓等，从而实现图像的分割和识别。
2. 特征线法不依赖于图像的灰度信息，对图像的亮度变化相对不敏感。
3. 特征线法可以通过对特征线的分析和处理，实现对图像的重建和修复。
缺点：1. 特征线法对图像中噪声的敏感性较高，噪声可能会干扰特征线的提取和描述。
2. 特征线法对特征线的选择和描述需要一定的经验和技巧，不同的特征线选择和描述方法可能会导致不同的结果。
14第六章波动方程的特征线法.pdf
u = u ( x, ϕ ( x, t ) )
一阶线性偏微分方程
∂u
∂u
( x, t ) f ( x, t ) , x ∈ R , t > 0
+ ϕ1 ( x, t ) + ϕ2 ( x, t ) u=
∂x
∂t
u ( x, 0 ) ϕ ( x ) , x ∈ R
=
dx
= ϕ1 ( x ( t ) , t )
Ψ (α )dα (6)
∫
2
2a x − at
显然，(6)满足方程(1)。为使其满足初始条件，只要 ≥ 时，
( x) ϕ ( x),
Φ=
( x) ψ ( x)
Ψ=
(7)
即可。最后，还要求(, )满足边界条件 , = ,于是得到
1
1 at
u= [ Φ (at ) + Φ (−at ) ] +
∫ ψ (α )dα =
0
从上述式子中解出()和()，有
1
1 x
1
ψ (α )dα + ( f (0) − g(0) )
f ( x) = ϕ ( x) −
∫
2
2a 0
2
1
1 x
1
g ( x) = ϕ ( x) +
ψ (α )dα − ( f (0) − g(0) )
∫
2
2a 0
2
1
Φ ( x) , ut ( x, 0) =
Ψ ( x)
u ( x, 0) =
(4)
(5)
其中 , ()为待定函数。
适当选取 , ()使(4)-(5)的解在 ≥ 范围内是(1)-(3)的
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是数学中的重要分支，在科学和工程领域具有广泛的应用。
解决偏微分方程的问题，可帮助我们理解自然界中的各种现象，如电磁场的传播、流体运动等。
本文将介绍几种常见的偏微分方程的解法。
一、分离变量法分离变量法是解偏微分方程最常见的方法之一。
我们以二阶线性偏微分方程为例，假设其形式为：A(x,y)u_{xx} + B(x,y)u_{xy} + C(x,y)u_{yy} + D(x,y,u,u_x,u_y) = 0其中u表示未知函数，A、B、C、D为已知函数。
为了使用分离变量法，我们假设解可以表示为两个函数的乘积形式：u(x,y) = X(x)Y(y)将上述形式代入方程，利用变量分离的性质，可将原方程化简为两个常微分方程。
解决这两个常微分方程，即可得到偏微分方程的解。
二、特征线法特征线法适用于一类特殊的偏微分方程，其中包含一阶偏导数和高阶偏导数的混合项。
我们以一维波动方程为例，其形式为：u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0其中c表示波速。
特征线法的思想是引入新的变量，使得原方程可以转化为一组常微分方程。
对于波动方程，我们引入变量ξ和η，定义如下：ξ = x + ctη = x - ct通过做变量替换后，原方程可以转化为常微分方程：u_{ξη} = 0这样，我们可以通过求解常微分方程得到偏微分方程的解。
三、变换方法变换方法包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等，通过引入新的变量，将原偏微分方程转化为代数方程，然后利用代数方程的解法解出未知函数。
变换方法的优势在于可以将一些常见的偏微分方程转化为代数方程，从而简化解法的步骤。
四、数值解法对于复杂的偏微分方程，解析解可能难以求得或不存在。
此时，数值解法就变得非常重要。
常用的数值解法包括差分法、有限元法、有限差分法等。
这些方法将连续的偏微分方程离散化，将其转化为差分方程或代数方程，然后使用计算机进行求解。
6.2 一维波动方程的特征线法
utt − a u xx = 0 ⇒ −4a uξη = 0 ⇒ uξη = 0
2
u (ξ ,η ) = f (ξ ) + g (η )
u ( x, t ) = f ( x − at ) + g ( x + at )
通解
u ( x, t ) = f ( x − at ) + g ( x + at )
2
作自 ξ = x − at 变量 特征 η = x + at 变换
u x = u ξ ξ x + uηη x = u ξ + uη 则 u xx = u ξξ + 2 u ξη + uηη u u u a u u = ξ + η = ( − ) t t t ξ η ξ η u = a 2 (u − 2 u + u ) ξξ ξη ηη tt
φ ( x ), 0 < x < +∞ ; Φ ( x ) = − φ ( − x ), − ∞ < x < 0. Ψ ( x ) = ψ ( x ), 0 < x < +∞ ; − ψ ( − x ), − ∞ < x < 0.
Φ ( x ), Ψ ( x )
沿特征线 x + at = c1 化简定解问题得
dv = 0, t > 0 dt v ( 0 ) = ψ ( c1 ) + a φ ′ ( c1 )
v(t ) = ψ (c1 ) + aφ ′(c1 )
v( x, t ) = ψ ( x + at ) + aφ ′( x + at )
数学物理方程--- 6 特征线法
第 六 章 特 征 线 法
定义1
考虑下面一阶线性微分方程
aut bu x cu f
数 学 物 理 方 程
4
第 方程 dx 六 a b 0 5 章 dt 称为(4)式的特征方程，其积分曲线称为(4)式的特征曲线。 特 征 注1 给出例1求解方法的一个几何解释。在该例中，使用了参数 线 法 c，即为特征线的初始值x (0) 。当参数 c x(0) 在 x 轴滑动时，
(3)式的解曲线就织成了(1)式--(2)式的解曲面。 为了避免和常数c混淆，下面用变量 代替参数c。请记住：
b t 其中 a 、 、c 和 f 均为自变量 x 、 的函数。
x(0) , 变化相当于 x (0) 在 x 轴上滑动。
西安交通大学 数学与统计学院
例2 求解线性方法柯西问题 ut ( x cos t )u x 0, t 0, x (6) 1 (7) u ( x, 0) 1 x 2 , x 数 第 学 dx x cos t 0, 而过点 ( , 0) 六 物 解 方程(6)式的特征方程为 章 dt 理 方 的特征线就是下面问题的解 特 程 dx 征 x cos t 0, t 0 线 dt 法 x(0) 解之可得 x esin t。沿此特征线原定解问题(6)-(7)简化为 du dt ut ( x cos t )u x 0, t 0 u (0) u ( , 0) 1 1 2 西安交通大学 数学与统计学院所以(11)源自第 六 章 特 征 线 法
1 1 t u ( x, t ) ( x t 1) e ( x t 1)e 2t 2 2
偏微分方程解法
偏微分方程解法一、概述偏微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
解决偏微分方程的方法有很多种，其中最常用的方法是数值解法和解析解法。
本文将重点介绍偏微分方程的解析解法。
二、基本概念1. 偏微分方程：含有多个自变量和它们的偏导数的方程。
2. 解析解：能够用一定的代数式或函数表示出来的解。
3. 常微分方程：只含一个自变量和它的导数的方程。
4. 偏微分方程分类：（1）线性偏微分方程：各项次数之和为1或2。
（2）非线性偏微分方程：各项次数之和大于2。
5. 解析解法分类：（1）可分离变量法（2）相似变量法（3）积分因子法（4）特征线法（5）变换法三、可分离变量法可分离变量法是求解一类特殊形式线性偏微分方程最常用的方法，其基本思想是将未知函数表示成各自变量之积，然后将其带入原偏微分方程中得到一组常微分方程，再求解这些常微分方程，最后将得到的解代回原方程中即可。
以一阶线性偏微分方程为例：$$\frac{\partial u}{\partial t}+a(t)u=b(t)$$其中$a(t)$和$b(t)$为已知函数，$u=u(x,t)$为未知函数。
将未知函数表示成各自变量之积：$$u=X(x)T(t)$$将其带入原方程中得到：$$XT'+aXT=bXt$$将$X$和$T$分离变量并整理得到：$$\frac{1}{X}\frac{dX}{dx}=\frac{1}{at+b}-\frac{c}{X}$$其中$c$为常数。
对上式两边同时积分得到：$$ln|X|=ln|at+b|-ct+D_1,D_1为常数。
$$即可得到$X(x)$的解析解。
同理，对于$T(t)$也可以通过可分离变量法求出其解析解。
最后将$X(x)$和$T(t)$的解代入原方程中即可得到未知函数$u=u(x,t)$的解析解。
四、相似变量法相似变量法是一种适用于非线性偏微分方程的方法，其基本思想是通过引入新的自变量和因变量，将原偏微分方程转化成一个形式相似但更简单的方程，从而求出原方程的解析解。
特征线法
t
则有：0
dU
t
0
2a
c2
a
' 2a
c2
d
U
t
U
0
1 2a
t 0
2a
c2
a
' 2a
c2
d
2a
c2
特征线法 2020-5-15
Huafeng Zhang
School of Physical Science and Technology, Yangtze University
U
t
U
0
1 2a
如果x=x(t)，则
u(x,t) u x(t),t U t
u
t
x,t u
x
x,t u
f
x,t
u t0 x
对上式求关于t的导数
dU u x u t u u dx dt x t t t t x dt
假设x(t)对t的依赖关系可以表示为：
dx dt
x t
, t
考虑方程 u x,t u x,t u f x,t ，得：
t
0
2a
c2
Байду номын сангаас
a
' 2a
c2
d
2a
c2
1 2a
2at c2 c2
a
'
d
1 2a
x at x at
a
'
d
1 2
x
at
x
at
1 2a
xat d
xat
利用 U t0 x at 可得：
u
x, t
U
t
1 2
x
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3
分解成两个一阶的方程:
∂u1 − a ∂u1 = v, ∂t ∂x ∂v ∂v
+ a = 0. ∂t ∂x
根据初值条件, 给出 u1 以 v 在 t = 0 上的初值条件
(1-1) (2-1)
u1(x, 0) = 0, v(x, 0) = ϕ(x).
(1-2) (2-2)
求得特征线, 它们分别是常微分方程 ∂x = −a, ∂t
微分算子可以分解为
∂ ∂∂ ∂
+a ∂t ∂x
−a ∂t ∂x
u1 = 0
(**)
可以把原方程
∂ ∂ ∂ ∂
+a
−a
∂t
∂x
∂t
∂x
u1(x, 0),
∂ ∂t
u1(x,
0)
=
ϕ(x),
u1 = 0,
−∞ < x < +∞, t > 0, −∞ < x < +∞, −∞ < x < +∞.
v(x, t) = ϕ(x − at).
4
再由另一个方程得
t
u1(x1(t), t) = ϕ(x1(τ ) − aτ )dτ.
0
从 x1(t) = c − at 推出
t
1 c−2at
1 x+at
u1(x, t) =
ϕ(c − 2aτ )dτ = −
0
2a
c
ϕ(ξ)dξ =
ϕ(ξ)dξ.
2a x−at
• 沿着特征线将原方程化为关于 u = u(x(t, c), t) 的常微分方程 (其中 c 为参数), 并求出 u = u0(t, c)
• 从特征线方程解出 c = ϕ(x, t), 所求的解为 u = u0(t, ϕ(x, t))
2
一维波动方程 考虑一个特殊的初值问题
∂2u
∂
t2
−
a2 ∂2u ∂x2
dx = a,
dt x(0) = c
的解 x(t, c) = at + c 为方程 (∗) 的特征线. 沿着特征线 x = x(t, c) = at + c, 函数 u(x(t, c), t) 满足
du ∂u ∂u dx ∂u ∂u
=+
= + a = 0,
dt ∂t ∂x dt ∂t ∂x
即 u(x(t, c), t) 沿特征线 x = x(t, c) 为常数.
的解, 也就是说 (1-1) 的特征线是
∂x =a
∂t
x = x1(t) = c − at,
方程 (2-1) 的特征线是
x = x2(t) = c + at,
其中 c 表示任意常数.
沿着特征线, 方程 (1-1) 以及 (2-1) 可以化为常微分方程, 沿着 x = x1(t),
方程 (1-1) 具有形式
1 特征线法
• 考虑一个简单的常微分方程
dx =a
dt
• 积分一次，得到它的解为
x(t) = at + c
其中 c 为任意的常数.
最简单的情况 在区域 {−∞ < x < +∞, t > 0} 上求解 Cauchy 问题
∂u ∂u
+ a = 0,
∂t ∂x
(*)
u(x, 0) = u0(x).
我们称下列常微分方程初值问题
这样
∂ 1 x+at
1
u(x, t) =
ϕ(ξ)dξ = (ϕ(x + at) + ϕ(x − at)).
∂t 2a x−at
2
5
• 在初始点 t = 0, x = c,
u(x(t, c), t) = u(x(0, c), 0) = u(c, 0) = u0(c)
• 从而
u(x(t, c), t) = u0(c).
1
注意到
u(x(t, c), t) = u0(c).
由特征方程得到 c = x − at, 代入上式得到
这就是特征线解法
=
0,
u(x, 0) = ϕ(x),
∂
u(x,
0)
=
0,
∂t
−∞ < x < +∞, t > 0, −∞ < x < +∞, −∞ < x < +∞.
上述问题的解为
∂ u = ∂t u1(x, t),
其中 u1(x, t) 为下面方程的解
∂2u1
∂t2
− a2 ∂2u1 ∂x2
=
0,
u1(x, 0) = 0,
du1(x1(t), t) dt
=
v(x1(t), t),
沿着 x = x2(t), 方程 (2-1) 具有形式
由初值条件得到
dv(x2(t), t) = 0. dt
v(x2(t), t) = v(x2(0), 0) = ϕ(x2(0)). 再由特征线方程 x2(t) = x, x2(0) = c = x − at, 从而求出
u(x, t) = u0(x − at).
• 从上述解的结构可以看出, 当 t ≤ 0, 初值只是简单的不变向右 (a > 0) 或者向左 (a < 0) 以速度 a 传播
• 解 u 在特征线 x − at = c 上为常数 u0(c).
特征线法 用特征线方程解一阶偏微分方程 • 求特征线 x = x(t, c)
∂ ∂t
u1(x,
0)
=
ϕ(x),
−∞ < x < +∞, t > 0, −∞ < x < +∞, −∞ < x < +∞.
这是因为
∂
∂
u(x, 0) = ∂t u1(x, t) t=0 = ϕ(x), ∂t
∂ u(x, 0) =
∂t
∂2 ∂t2 u1
t=0 =
a2
∂2 ∂x2
u1
t=0 = 0.