考研数学-概率上
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(A)C B A (B)C . 3o分 配 律 (A B ) C(A C ) (B C )A C B,C (A B ) C(A C ) (B C )(A C )B ( C ).
4 o 德 摩 : A B A 根 B ,A B A 律 B .
概率的定义
设E是随机,S试 是验 它的样.对 本于 E空 的间 每一事 A赋件 予一个 ,记实 为 P(A 数 ),称为事 A 件 的概,如 率果集合 P()函 满数 足下列 : 条件 10非负 : 对 性于每一 A,有 个 P(A)事 0;件 20规范 : 对 性于必 S,有 然 P(S事 )1;件 30可列可:设 加A1性 ,A2,是两两互不相 事件 ,即对i于 j,AiAj ,i,j1,2,,则有
n 个事件和的情况
n
P ( A 1 A 2 A n ) P(Ai) P(AiAj)
i1
1ijn
P ( A iA jA k ) ( 1 ) n 1 P ( A 1 A 2 A n ).
1 i j k n
等可能概型 (古典概型)
定义 (1) 试验的样本空间有 只限 包个 含元; 素 (2 )试验中每个基本生 事的 件可 发能性.相同 具有以上两个特验 点称 的为 试等可能概典 型或古 概型.
P(A) SA . S
(其中 S是样本空间, S的 A是度构量成A事 的件 子 区域的)度 .这量 样借助于几量 何来 上合 的理 度 定的概率 几称 何为 概 . 型
条件概率
(1) 条件概率的定义
设A,B是两个,且 事P件 (A)0,称 P(BA)P(AB ) P(A)
为在事 A发 件生的条件B发 下生 事条 的 件件概 . 率 同理可得 P(AB)P(AB),
3 o 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.
随机事件
1 o 随机试验E的所有可能结果组成的集合称 为样本空间,记为 S.
2 o 样本空间的元素 ,即试验E 的每一个结果, 称 为样本点.
3 o 随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的随机事件, 简称事件.
重要的随机事件
基本事件 由一个样本点组成的单点集. 必然事件 随机试验中必然会出现的结果.
古典概型中事件概率的计算公式
设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成, A 为E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点, 则事 件 A 出现的概率记为:
P(A)
m n
A所包 样含 本样 点本 总点 数的 . 个数
称此为概率的古典定义.
几何概型
当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意 一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域是 等可能的,则事件A的概率可定义为
概率的有限可加性 30设 A ,B 为两,且 个 A B 事 ,则件
P (A )P (B ),P (B A )P (B )P (A ). 40对于任一 A,P事 (A)件 1.
5 0设 A 是 A 的对 ,则 立 P (A ) 事 1P (A 件 ).
60(加法)公 对式 于任意A,两 B有 事件 P(AB)P(A)P(B)P(AB ).
不对
可立
能 事
事
件件
概率
定性 义质
条件
事件的
事件的关系和运算
概率
独立性
全概率公式与贝叶斯公式
古典 概型
几何 概率
乘法 定理
随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象.
随机试验
在概率论中，把具有以下三个特ห้องสมุดไป่ตู้的试验称 为随机试验.
1 o 可以在相同的条件下重复地进行;
2 o 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果;
P ( A 1 A 2 ) P ( A 1 ) P ( A 2 ) 概率的可列可加性
概率的性质
10 P()0. 20若 A 1,A2, ,An是两两互不 ,则 相 有 容
P ( A 1 A 2 A n ) P ( A 1 ) P ( A 2 ) P ( A n ).
第一讲 随机事件与概率复习
一、重点与难点 二、主要内容
一、重点与难点
1.重点
随机事件的概念 古典概型的概率计算方法 概率的加法公式 条件概率和乘法公式的应用 全概率公式和贝叶斯公式的应用
2.难点
古典概型的概率计算 全概率公式的应用
二、主要内容
随机 现象
随机 试验
随机事件
复基 必 合本 然 事事 事 件件 件
不可能事件 随机试验中不可能出现的结果. 必然事件的对立面是不可能事件,不可能事件 的对立面是必然事件,它们互称为对立事件.
事件的运算性质
设 A ,B,C为事 ,则 件 有 1 o 交 A B 换 B A ,A 律 B . B A 2 o结合 (A B 律 ) C A (B C ),
P ( A i 1 A i 2 A i k ) P ( A i 1 ) P ( A i 2 ) P ( A i k ),
(3)三事件相互独立
设 A, B,C 是三个事件,如果满足等式
P(AB) P(A)P(B), P(BC) P(B)P(C), P(AC) P(A)P(C), P(ABC) P(A)P(B)P(C), 则称事件A, B,C 相互独立. 注意
三个事件相互独立
三个事件两两相互独立
推广 设A1,A2, ,An是n个事 ,如 件果对于 意k(1kn),任1 意 i1i2ik n,具 有等式
P(B) 为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.
乘法定理
设 P ( A ) 0 , 则 P ( A ) 有 P ( B B A ) P ( A ). 设 A ,B ,C 为 ,且 事 P (A ) 件 B 0 ,则有
P ( A ) P B ( C A ) C P ( B B A ) P ( A ).
事件的相互独立性
(1)两事件相互独立 设A, B是两事,如 件果满足等式
P(AB)P(A)P(B). 则称事A件 ,B相互独,简立称A, B独立 .
说明 事件 A 与 B 相互独立是指事件 A 的概率与事 件 B 是否出现无关.
(2)三事件两两相互独立
设 A,B,C 是三个事件 ,如果满足等式
P(AB) P(A)P(B), P(BC) P(B)P(C), P(AC) P(A)P(C), 则称事件A, B, C 两两相互独立 .
4 o 德 摩 : A B A 根 B ,A B A 律 B .
概率的定义
设E是随机,S试 是验 它的样.对 本于 E空 的间 每一事 A赋件 予一个 ,记实 为 P(A 数 ),称为事 A 件 的概,如 率果集合 P()函 满数 足下列 : 条件 10非负 : 对 性于每一 A,有 个 P(A)事 0;件 20规范 : 对 性于必 S,有 然 P(S事 )1;件 30可列可:设 加A1性 ,A2,是两两互不相 事件 ,即对i于 j,AiAj ,i,j1,2,,则有
n 个事件和的情况
n
P ( A 1 A 2 A n ) P(Ai) P(AiAj)
i1
1ijn
P ( A iA jA k ) ( 1 ) n 1 P ( A 1 A 2 A n ).
1 i j k n
等可能概型 (古典概型)
定义 (1) 试验的样本空间有 只限 包个 含元; 素 (2 )试验中每个基本生 事的 件可 发能性.相同 具有以上两个特验 点称 的为 试等可能概典 型或古 概型.
P(A) SA . S
(其中 S是样本空间, S的 A是度构量成A事 的件 子 区域的)度 .这量 样借助于几量 何来 上合 的理 度 定的概率 几称 何为 概 . 型
条件概率
(1) 条件概率的定义
设A,B是两个,且 事P件 (A)0,称 P(BA)P(AB ) P(A)
为在事 A发 件生的条件B发 下生 事条 的 件件概 . 率 同理可得 P(AB)P(AB),
3 o 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.
随机事件
1 o 随机试验E的所有可能结果组成的集合称 为样本空间,记为 S.
2 o 样本空间的元素 ,即试验E 的每一个结果, 称 为样本点.
3 o 随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的随机事件, 简称事件.
重要的随机事件
基本事件 由一个样本点组成的单点集. 必然事件 随机试验中必然会出现的结果.
古典概型中事件概率的计算公式
设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成, A 为E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点, 则事 件 A 出现的概率记为:
P(A)
m n
A所包 样含 本样 点本 总点 数的 . 个数
称此为概率的古典定义.
几何概型
当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意 一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域是 等可能的,则事件A的概率可定义为
概率的有限可加性 30设 A ,B 为两,且 个 A B 事 ,则件
P (A )P (B ),P (B A )P (B )P (A ). 40对于任一 A,P事 (A)件 1.
5 0设 A 是 A 的对 ,则 立 P (A ) 事 1P (A 件 ).
60(加法)公 对式 于任意A,两 B有 事件 P(AB)P(A)P(B)P(AB ).
不对
可立
能 事
事
件件
概率
定性 义质
条件
事件的
事件的关系和运算
概率
独立性
全概率公式与贝叶斯公式
古典 概型
几何 概率
乘法 定理
随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象.
随机试验
在概率论中，把具有以下三个特ห้องสมุดไป่ตู้的试验称 为随机试验.
1 o 可以在相同的条件下重复地进行;
2 o 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果;
P ( A 1 A 2 ) P ( A 1 ) P ( A 2 ) 概率的可列可加性
概率的性质
10 P()0. 20若 A 1,A2, ,An是两两互不 ,则 相 有 容
P ( A 1 A 2 A n ) P ( A 1 ) P ( A 2 ) P ( A n ).
第一讲 随机事件与概率复习
一、重点与难点 二、主要内容
一、重点与难点
1.重点
随机事件的概念 古典概型的概率计算方法 概率的加法公式 条件概率和乘法公式的应用 全概率公式和贝叶斯公式的应用
2.难点
古典概型的概率计算 全概率公式的应用
二、主要内容
随机 现象
随机 试验
随机事件
复基 必 合本 然 事事 事 件件 件
不可能事件 随机试验中不可能出现的结果. 必然事件的对立面是不可能事件,不可能事件 的对立面是必然事件,它们互称为对立事件.
事件的运算性质
设 A ,B,C为事 ,则 件 有 1 o 交 A B 换 B A ,A 律 B . B A 2 o结合 (A B 律 ) C A (B C ),
P ( A i 1 A i 2 A i k ) P ( A i 1 ) P ( A i 2 ) P ( A i k ),
(3)三事件相互独立
设 A, B,C 是三个事件,如果满足等式
P(AB) P(A)P(B), P(BC) P(B)P(C), P(AC) P(A)P(C), P(ABC) P(A)P(B)P(C), 则称事件A, B,C 相互独立. 注意
三个事件相互独立
三个事件两两相互独立
推广 设A1,A2, ,An是n个事 ,如 件果对于 意k(1kn),任1 意 i1i2ik n,具 有等式
P(B) 为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.
乘法定理
设 P ( A ) 0 , 则 P ( A ) 有 P ( B B A ) P ( A ). 设 A ,B ,C 为 ,且 事 P (A ) 件 B 0 ,则有
P ( A ) P B ( C A ) C P ( B B A ) P ( A ).
事件的相互独立性
(1)两事件相互独立 设A, B是两事,如 件果满足等式
P(AB)P(A)P(B). 则称事A件 ,B相互独,简立称A, B独立 .
说明 事件 A 与 B 相互独立是指事件 A 的概率与事 件 B 是否出现无关.
(2)三事件两两相互独立
设 A,B,C 是三个事件 ,如果满足等式
P(AB) P(A)P(B), P(BC) P(B)P(C), P(AC) P(A)P(C), 则称事件A, B, C 两两相互独立 .