初中数学动态几何问题的求解策略
中考中的动态几何题应对策略—
中考中的动态几何题应对策略动态几何问题，是指平面几何问题中除了固定不变的点、线、线段、线形关系外，渗透了一些动态的点，给静态的几何问题赋予了新的活力，使题意变得更加新颖、更加灵活。
这类问题虽然动点元素单一，但题型多样，涉及到的知识范围广，综合性强，难度也就很大。
解答这类问题的基本策略是：（1）动中求静，化变量为常量，即在运动变化中探索问题中的不变性；解动态型考题的总体思路是化动为静。
关键在于从相对静止的瞬间，即某些特殊的位置，清晰地发现量与量之间的关系，从而找到解决问题的途径。
（2）动静互化，即抓住“静”的瞬间，使一般情况转化为特殊问题，从而找到“动与静”的关系。
明确图形中内在联系。
(3) 化繁为简，观察提炼。
一要注意图形的直观提示，二是注意分析挖掘题的隐含条件，不断地由已知想可知，发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由已知想到需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题关键。
还应注意以下几点：①注意观察、分析图形，把复杂的图形分析成几个基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形。
②掌握常规的解题方法与思路。
③灵活运用数学思想方法（如数形结合、分类讨论等）总之，中考几何题在中考试卷中占有比较重要的位置，是学生数学成绩能否提升的一个“门槛”。
教学中，我们认真分析该试题的特点，进行有针对性的训练，可以极好地培养学生的能力。
例：（2007宜昌）如图1，在△ABC 中，AB ＝BC ＝5，AC=6.△ECD 是△ABC 沿BC 方向平移得到的，连接AE.AC 和BE 相交于点O.（1）判断四边形ABCE 是怎样的四边形，说明理由；（2）如图2，P 是线段BC 上一动点（图2），（不与点B 、C 重合），连接PO 并延长交线段AB 于点Q ，QR ⊥BD ，垂足为点R.①四边形PQED 的面积是否随点P 的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED 的面积；②当线段BP 的长为何值时，△PQR 与△BOC 相似？分析：（1）四边形ABCE 是菱形，分析略（2）①四边形PQED 的面积不发生变化。
初一几何动点问题的解题技巧
初一几何动点问题的解题技巧解决初一几何动点问题的关键在于理解动点的概念并熟练运用相关的几何性质和解题技巧。
以下是几个常用的解题技巧：1. 确定动点的位置：首先，要明确问题中动点的位置信息。
通过观察题目中的几何图形，确定动点所在的线段、圆弧或多边形等位置。
2. 使用变量表示：用变量来表示动点的坐标或长度。
常见的表示方式可以使用字母如"A"、"B"等来表示动点，使用"x"、"y"等来表示坐标。
3. 利用几何性质：根据几何图形的性质，运用传统的几何知识来推导和解决问题。
例如，利用直角三角形的性质、相似三角形的性质、平行线的性质等。
4. 延长线和引出辅助线：有时候，延长线或引出辅助线可以帮助我们更好地理解问题和得出结论。
通过引出合适的辅助线，可以简化或改变问题的形式，使得解题更容易。
5. 利用相关定理和公式：了解和掌握基本的几何定理和公式，如勾股定理、正弦定理、余弦定理等。
在解决动点问题时，这些定理和公式常常可以提供有用的信息和关键的方程式。
6. 理清逻辑关系和方向：动点问题往往涉及到几何图形之间的相对方向和关系，如垂直、平行、相交等。
在解题过程中，要仔细分析这些关系，并据此推导出正确的结论。
7. 尝试特殊情况：有时候，特殊情况下的解法能够启发我们找到普遍情况下的解法。
可以尝试选择特殊的数值或角度，验证一些猜想，从而推导出一般情况的结论。
8. 画图辅助解题：通过绘制几何图形，可以更直观地理解问题，并更好地分析和推导解题过程。
要善于利用图形和图形性质来辅助解题。
以上是一些初一几何动点问题的解题技巧，希望能对您有所帮助。
请记住，多多练习和思考，通过实践来提高解题能力。
中考数学压轴专题训练——动态(动点)几何问题的解题技巧(含答案)
点 的坐标
为 ．……
一次函数的解读式
为 ．
(3) 两点在直线 上， 的坐标分别是 ．
， ．
过点 作 ，垂足为点 ．
，
又 ， 点坐标为 ．
3．(1)解方程 ，得 ．
由m＜n，知m=1，n=5．
∴A(1，0)，B(0，5)．………………………1分
∴ 解之，得
所求抛物线的解读式为 ……3分
(2)由 得 故C的坐标为(-5，0)．………4分
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为_______
和位置关系为_____；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（2）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
4、（1）如图1所示，在四边形 中， = ， 与 相交于点 ， 分别是 的中点，联结 ，分别交 、 于点 ，试判断 的形状，并加以证明；
（2）如图2，在四边形 中，若 ， 分别是 的中点，联结FE并延长，分别与 的延长线交于点 ，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：；
(3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．
7.设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC．
浅析初中数学动态几何问题的教学策略
浅析初中数学动态几何问题的教学策略摘要：数学动态几何问题是对学生是否全面、灵活掌握知识点的综合考察，是近年来中考的热点及难点。
但因为动态几何题目变量多，在几何图形的运动中，伴随着出现图形的位置、数量关系的“变”与“不变”性，不少学生对之有着极大的畏难情绪，导致中考失分。
因此中考数学动态问题的研究更具有实际意义。
关键词：初中数学动态几何题教学策略一、变式教学下的“减负高效”课堂动态几何题的解题，有时候需要变化的思想，这也是初中数学教学的精髓部分，笔者认为通过变式教学，有利于帮助学生开阔眼界、拓宽思路、提高应变能力，防止思维定势的负面影响。
例1：在平面直角坐标系中有一点A（4,2）在X轴上找一点B，使得为等腰三角形，请写出点B的坐标。
设计意图：通过一个比较简单的等腰三角形的要的数学动态作为切入点，使所有学生明白数学动态的思想并不深奥，只要针对三种情况画出相应的图形，解答起来并不困难。
切入点比较低，调动所有学生的学习兴趣。
变式1：若在X轴上有一点P（6,0），请在平面直角坐标系中在再找一个点Q，使四边形AOPQ为平行四边形，写出点Q的坐标。
变式2：若点P(6,0)，请在平面直角坐标系中再找一点Q，写出使A,O,P,Q 为顶点的平行四边形的点Q的坐标。
设计意图：通过两个变式将对等腰三角形的分类讨论延伸到平行四边形第四个顶点的讨论，进一步让学生明确不同的对象，不同的条件下的分类讨论方法，同时也培养不同情况下的画图并正确解答的能力。
变式3：在坐标轴上是否存在一点C，使得为直角三角形？若存在，请求出点C的坐标，若不存在，请说明理由。
设计意图：通过变式把数学动态的对象变成直角三角形，通过对不同的角为直角的讨论得到不同的情况。
讨论的范围也从母题的x轴扩展到坐标轴。
同时注意数学动态不重复不遗漏的原则。
变4：过点A做轴，垂足为D，在直角坐标系中找一点E，使得与相似。
设计意图：通过变式把数学动态的对象变成相似三角形，本题情况比较多也比较复杂，如果学生能过顺利的解答，那么对于数学动态在不同的对象，不同的范围内的理解将更加的深刻。
动态几何问题的解题技巧
动态几何问题的解题技巧解这类问题的基本策略是：1. 动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性•• • •2. 动静互化：“静”只是“动"的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静"的关系.3. 以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点來研究变动元素的关系• 总之，解决动态儿何问题的关键是要善于运用运动与变化的眼光去观察和研究图形, 把握图形运动与变化的全过程，抓住变化中的不变，以不变应万变。
这类问题与函数相结合时，注意使用分类讨论的思想，运用方程的思想.数形结合思想.转化的思想等。
1.在△ABC 中，ZC=90° , AC=BC=2,将一块三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将此三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分別交射线AC. CB 与点Ds 点E,图 ① ，②，③是旋转得到的三种图形。
(1) 观察线段PD 和PE 之间的有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明:(2) APBE 是否构成等腰三角形若能，指出所有的情况(即求出△PBE 为等腰三角形 B图①S ②B时CE的长,直接写出结果)；若不能请说明理由。
2、如图，等腰RtAABC(ZACB = 90° )的直角边与正方形DEFG的边长均为2,且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止-设CD的长为/XABC与正方形DEFG重合部分(图中阴影部分)的面积为y,(1)求y与X之间的函数关系式;(2)当△ABC与正方形DEFG重合部分的面积为扌时,3、在平面直角坐标系中，直线厶过点A(2, 0)且与)，轴平行，直线,2过点B(0, 1)且与hHP 10 12 I备用图4、如图，在 RtAABC 中，ZC=90° , AC=4cm, BC=5cm,点 D 在 BC±,且 CD=3cm,现 有两个动点P, Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1厘米/秒的速度沿AC 向终 点C 运动；点Q 以厘米/秒的速度沿BC 向终点C 运动.过点P 作PE 〃BC 交AD 于点E, 连接EQ.设动点运动时间为t 秒（t>0）・连接DP,经过1秒后，四边形EQDP 能够成为平行四边形吗请说明理由;连接PQ,在运动过程中，不论t 取何值时，总有线段PQ 与线段AB 平行-为什(3) 连接 OE. OF 、EF, 若^OEF 为直角三角形，求k 的值。
初一几何动点问题解题技巧和方法
初一几何动点问题解题技巧和方法
1. 哎呀呀，动点问题可别吓着你呀！比如在一个三角形里，有个点在那不停地动，你得跟着它的节奏来解题呢！要时刻关注它的位置变化，这就像是追着一只调皮的小猫咪，可有意思啦！
2. 嘿，一定要学会分类讨论哦！像走着走着遇到岔路口，你得想想不同的情况呀。
比如那个动点在不同线段上时会咋样，这不就跟选择走哪条路一样嘛！
3. 哇塞，找等量关系超重要的呀！就好像寻宝一样，找到那个关键的等量才能解开谜题呢。
比如说两个图形的面积相等，这就是打开解题大门的钥匙呀！
4. 注意啦，画个图会让你豁然开朗哟！这就如同有了一张地图，清楚地看到动点的轨迹和各种关系。
画出来后，哇，一下子就明白多啦！
5. 千万别死脑筋，要灵活运用知识呀！别像只呆呆的小熊。
比如看到角度问题，就赶紧想想跟哪些定理能挂上钩，这可是解题的妙招哇！
6. 哎呀呀，多做题才能越来越厉害呀！就像练功一样，练得多了自然就熟能生巧啦。
每次做动点题都是一次挑战和成长呢！
7. 记住哦，信心满满地去面对动点问题吧！别害怕它，把它当成一个有趣的对手，勇敢地去击败它呀！
我觉得初一几何动点问题只要掌握好这些技巧和方法，就一点也不可怕，反而很有趣呢，能让我们在解题过程中收获满满！。
初中几何动点问题解题策略
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１６０数学学习与研究㊀２０２１ ４初中几何动点问题解题策略初中几何动点问题解题策略Һ徐晓丹㊀（北京师范大学长春附属学校，吉林㊀长春㊀１３００００）㊀㊀ʌ摘要ɔ几何动点问题是初中数学学习的难点，这一类问题通常需要学生画出运动过程中某一时刻或某段时间上的图形，比较抽象，是学生难以把握的问题之一．这类问题的解决策略是将动态问题转化为静态问题，寻找问题中的不变量，把抽象问题具体化，教师需引导学生探索变化后的图形特征．解决几何动点问题的关键在于确定动点运动过程中的图形，用运动的观点看问题，定格到静止状态解决问题，动静结合．ʌ关键词ɔ几何动点；数学思想方法；界点；转化 几何动点问题 是指题设图形中存在一个或多个动点，通过点带动图形的运动，从而探究图形的有关性质和图形之间的数量关系㊁位置关系等．这类问题把观察㊁操作㊁探究㊁计算融合在一起，蕴含着函数㊁方程㊁分类㊁转化㊁数形结合等数学思想方法．中考中对这类问题的考查，可以很好地锻炼学生的探究能力，增强学生的创新意识．一㊁几何动点问题常见的考查方式及解决方法１．求动点运动过程中随时间变化的线段长．解决这类问题常利用勾股定理㊁面积桥㊁三角函数或相似．２．当动点落在某条边上或两点重合时，求动点运动时间．此时可以利用新构成的特殊几何图形，如：直角三角形㊁等腰三角形㊁平行四边形等，找到特殊几何图形各边之间的联系，从而求解．３．求多边形面积或重叠部分面积或周长的函数关系式．解决的关键在于找到界点正确分类，直接利用图形面积公式或图形间作差㊁作和表示函数关系式．４．求动点在特殊位置上的运动时间，如某个动点落在三角形的角平分线上，三角形一边的垂直平分线上，三角形的一条中线上，等等．或者是线段把某多边形面积分成特定比时的运动时间．这类问题的解决通常要利用三角函数或构造相似．学生解决这类问题时觉得很困难，这就要用到转化的思想方法，把特殊位置时的线段关系找到，转化成线段的比来列方程求解．５．求点的运动轨迹长度或线段运动过程中扫过的图形面积．解决的方法是找到运动开始和终止时的图形，再结合中间的运动趋势来判断轨迹或扫过图形的形状，最后计算．常见的轨迹有以下几种：（１）动点到定直线距离保持不变，轨迹是一条直线；（２）动点到定点的距离保持不变，轨迹是圆弧；（３）动点到定点铅直距离与水平距离的比保持不变，轨迹是一条直线．下面以２０２０年长春市中考数学试题第２３题为例来说明如何解决几何动点轨迹问题，此题分值为１０分．例㊀（２０２０年长春市中考数学试题第２３题）如图１，在әＡＢＣ中，øＡＢＣ＝９０ʎ，ＡＢ＝４，ＢＣ＝３．点Ｐ从点Ａ出发，沿折线ＡＢ－ＢＣ以每秒５个单位长度的速度向点Ｃ运动，同时点Ｄ从点Ｃ出发，沿ＣＡ以每秒２个单位长度的速度向点Ａ运动．点Ｐ到达点Ｃ时，点Ｐ，Ｄ同时停止运动．当点Ｐ不与点Ａ，Ｃ重合时，作点Ｐ关于直线ＡＣ的对称点Ｑ，连接ＰＱ，交ＡＣ于点Ｅ，连接ＤＰ，ＤＱ．设点Ｐ运动的时间为ｔ秒．（１）当点Ｐ与点Ｂ重合时，求ｔ的值．（２）用含ｔ的代数式表示线段ＣＥ的长．（３）当әＰＤＱ为锐角三角形时，求ｔ的取值范围．（４）如图２，取ＰＤ的中点Ｍ，连接ＱＭ，当直线ＱＭ与әＡＢＣ的一条直角边平行时，直接写出ｔ的值．图１㊀㊀㊀㊀图２试题整体分析㊀这道几何动点问题的图形背景是边长为３，４，５的直角三角形，属于双动点问题，点Ｐ的运动路径是折线段ＡＢ－ＢＣ，点Ｄ的运动路径是ＡＣ上的部分线段．由 两点同时出发，当点Ｐ到达点Ｃ时，点Ｐ，Ｄ同时停止运动 可知运动终止时间为７５秒．由 当点Ｐ不与点Ａ，Ｃ重合时 可知运动时间不能取０和７５．试题前面两问比较基础，但第（２）问由于点Ｐ改变路径产生了分类讨论的需要．试题最后两问引入了图形变换 轴对称，增加了思维含量．第（３）问要将 锐角三角形 转化成 直角三角形 寻找界点．第（４）问 当直线ＱＭ与әＡＢＣ的一条直角边平行时 ，由平行可构造相似，利用相似三角形的对应边成比例转化成线段的比求解．下面是本题的正确解答过程：解㊀（１）当点Ｐ与点Ｂ重合时，ＡＰ＝ＡＢ，５ｔ＝４，解得ｔ＝４５．（分析：两点重合问题，可以转化成两条线段相等的问题解决．）（２）当０＜ｔɤ４５时，ＣＥ＝５－４ｔ；当４５＜ｔ＜７５时，ＣＥ＝３５ＰＣ＝－３ｔ＋２１５．（如图３）. All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１６１㊀数学学习与研究㊀２０２１４图３（分析：用含变量ｔ的式子表示线段长，需要用到分类的数学思想．当动点的运动路径发生变化或者点与点㊁点与线之间的相对位置发生变化时，都需要分类讨论．表示线段长时通常用三角函数．）（３）当әＰＤＱ是等腰直角三角形时，ＰＥ＝ＤＥ，当Ｐ在线段ＡＢ上时，３ｔ＝５－６ｔ，ʑｔ＝５９．（如图４）图４㊀㊀㊀㊀㊀图５当Ｐ在线段ＢＣ上时，２８５－４ｔ＝５ｔ－２１５，ʑｔ＝４９４５．（如图５）ȵәＰＤＱ是锐角三角形，ʑｔ的取值范围为０＜ｔ＜５９或４９４５＜ｔ＜７５．（分析：考查锐角三角形㊁钝角三角形的问题都可以转化为直角三角形的问题，这是因为直角是锐角和钝角的临界状态．又根据轴对称可知әＰＤＱ是等腰三角形，所以能判断出әＰＤＱ是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，转化成两条线段相等的问题．）（３）ｔ的值为５１８或６５．思路㊀当ＱＭ与ＡＢ平行时（如图６），ＡＤ＝４ＡＥ，ʑ５－２ｔ＝４ˑ４ｔ，ʑｔ＝５１８；图６㊀㊀㊀㊀图７当ＱＭ与ＢＣ平行时（如图７），ＣＤ＝４ＣＥ，ʑ２ｔ＝４ˑ３５（７－５ｔ），ʑｔ＝６５．（分析：由平行的条件容易得到全等和相似的结论，从而得到线段的比例关系，列方程时通常要选择运动路径上的线段关系，这里选择的都是线段ＡＣ上的线段的比．）二㊁解决几何动点问题时，学生存在的问题１．不重视画图．２．找不到界点，不能正确分类．３．忽视对界点是否包含的判断．４．求解析式过程中计算不准确．５．不知道转化或转化不彻底．６．易列出恒等式．三㊁针对学生存在的问题，教师在平时教学中可采用以下策略（一）教会学生画图．明确背景图形和运动图形，在操作时建议：①背景图形用中性笔画，运动图形用铅笔画，便于修正；②不同时刻的图形有干扰时，一种情况画一个图形；③分清主动点和从动点，并判断它们运动的趋势，必要时要知道从动点轨迹；④按照图形的位置关系和数量关系准确画图，落在某些特殊位置时，可逆序画图．（二）准确找到界点分类．①两点之间的相对位置有变化时，两点重合为界点．②动点运动路径有转折时，路径的交点为界点．③点穿过图形边界时，落在边界上的点为界点．④线段穿过图形边界时，线段重叠时为界点．（三）重视对界点是否包含的判断，每次遇到界点，都要单独拿出来判断并确认．①重新审题，看题干中是否有条件限制，如点Ｐ不与Ａ，Ｃ重合或Ｓ＞０等条件．②界点处图形是否变化．③明确关键词含义，如内部（不包含边界）．（五）转化的应用．①所有面积的比都可以转化成线段的比．②特殊位置上的点产生相等线段．③构造相似得成比例线段，一般优先选择运动路径上的线段．（六）避免列恒等式．列方程时需要把握一个原则：同一个等量关系不能既用来表示线段长，又用来列方程．四㊁结束语总之，教师在引导学生解决动点问题时，要引导学生主动观察㊁分析㊁概括㊁推理，准确画图，从中找出隐含的不变量和变量关系，把握运动中的某些界点位置和特殊位置，进而发现问题的本质，并将其转化为熟悉的数学问题，使问题有效解决．ʌ参考文献ɔ［１］蒋亨强，初中数学动点路径长的问题解决策略［Ｊ］．福建基础教育研究，２０１７（０５）：５０－５１．［２］吴晓峰，对初中数学教学中动点问题的思考，数学学习与研究，２０１７（０８）：１４１．. All Rights Reserved.。
初一几何动点问题的解题技巧(一)
初一几何动点问题的解题技巧(一)创作标题：初一几何动点问题的解题技巧引言•动点问题是初中学习几何的一种常见题型，通过解动点问题，可以培养学生的几何思维和问题解决能力。
本文将介绍初一几何动点问题的解题技巧，帮助学生更好地应对这类题目。
技巧一：图形变换法•利用图形变换法解题是初一几何动点问题的常用方法。
根据题目给出的条件，可以通过平移、旋转、翻转和放缩等图形变换，找到问题的求解路径。
1.平移–如果题目中给出的条件是关于两个点之间的距离不变，可以采用平移来解决。
根据题目中的条件，通过平移图形，使得问题简化为求某个点到原点的距离。
2.旋转–当题目中给出的条件是角度不变时，可以考虑使用旋转来解决。
通过旋转图形，使得问题转化为求某个角度的问题。
3.翻转–如果题目中给出的条件是关于对称的问题，可以选择使用翻转来解题。
通过将图形翻转到易于求解的位置，简化问题。
4.放缩–当题目中给出的条件为依比例或长度成比例时，可以考虑使用放缩来解决。
通过放缩图形，使得问题转化成为求比例或长度的问题。
技巧二：直线方程法•使用直线方程法解决几何动点问题，主要是利用直线的特性和方程求解问题。
1.坐标法–如果题目中给出了几何图形的坐标或点的位置，可以考虑使用坐标法解题。
建立坐标系，根据点的坐标和直线的关系，列方程求解问题。
2.斜率法–当题目需要根据直线的斜率或与直线的关系来求解问题时，可以使用斜率法。
根据直线的斜率和截距或两点间的斜率关系，列方程求解问题。
3.联立方程法–当题目中给出了多个对象的关系时，可以使用联立方程法解决问题。
根据对象之间的关系，列方程联立求解。
技巧三：面积比法•部分几何动点问题可以通过面积比法解决。
通过观察题目，找出几何图形之间的面积关系，建立比例关系解决问题。
结论•初一几何动点问题的解题技巧主要包括图形变换法、直线方程法和面积比法。
运用这些技巧，我们可以更快地解决几何动点问题，提高解题效率和准确性。
希望本文介绍的技巧对初一学生的学习有所帮助。
动点几何解题五步法口诀
动点几何解题五步法口诀全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：动点几何是一种解题方法，可以帮助学生更有效地解决几何题目。
在解题过程中，动点的引入可以帮助我们更清晰地理解几何关系，从而更快地找到解决问题的方法。
动点几何解题五步法口诀是一种简单易记的指导原则，可以帮助我们系统地进行解题。
下面将介绍这五步法口诀的具体内容。
第一步：审题明辨在解题之前，首先要认真审题，明确问题的要求。
要仔细分析题目中的条件，辨别出已知条件和未知条件。
这样可以帮助我们更准确地确定问题的解题方向。
第二步：引入动点在确定了问题的解题方向之后，接下来就是引入动点。
动点是一个虚拟的点，可以在图形中自由移动，从而帮助我们更清晰地观察图形的变化。
通过引入动点，可以使问题更加具体化，从而更容易解决。
第三步：制定条件在引入动点之后，就需要根据题目中的条件，制定适当的条件和约束条件。
这些条件可以帮助我们确定动点的移动规律，从而找到解题的关键点。
第四步：建立方程根据题目条件和约束条件，可以建立相应的方程。
通过建立方程，可以将问题转化为代数问题，更方便我们进行计算。
在建立方程的过程中，需要根据动点的移动规律，确定方程中的变量和参数。
第五步：求解问题最后一步就是根据建立的方程，求解问题。
通过解方程可以得到问题的解答，并验证解答的合理性。
在求解问题的过程中，要注意审题，确保问题的要求得到满足。
通过以上五步法口诀，可以帮助我们更系统地解决动点几何问题。
在解题过程中，要注重审题、引入动点、制定条件、建立方程和求解问题，从而更有效地解决各种几何难题。
希望同学们能够掌握这些方法，提高解题效率，取得更好的成绩。
第二篇示例：动点几何解题是数学竞赛重要的一部分，而动点几何解题五步法口诀是解题过程中的重要指导原则。
在解动点几何问题时，遵循五步法口诀可以帮助我们更加系统地分析问题，拓展思维，找到解题的正确方向。
下面就让我们一起来学习动点几何解题五步法口诀吧！在解动点几何问题时，首先要确定问题的题目是什么，题目要求求解的是什么，同时要理清题目中所涉及的动点和已知条件。
动点几何解题五步法口诀
动点几何解题五步法口诀全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：动点几何作为数学的一个分支，是运用代数和几何方法解决问题的一种数学方法。
动点几何解题五步法口诀是在解动点几何问题时非常有用的方法。
下面我们就来详细介绍一下这个五步法口诀。
第一步：明确问题在解动点几何问题时，首先要明确问题，确定问题的要求和条件。
要仔细阅读题目，理清思路，明确问题的关键内容。
只有明确问题，才能有针对性地进行解题。
第二步：建立坐标系在解动点几何问题时，建立坐标系是非常重要的一步。
通过建立坐标系，我们可以将动点的位置转化为坐标表示，方便进行分析和计算。
建立坐标系后，就可以根据题目的条件将动点的坐标表示出来。
第三步：列方程在确定了动点的坐标后，接下来就是列方程。
根据题目条件和问题要求，列出方程来描述动点的运动规律。
通过方程的列设，可以将问题转化为代数计算，进而得到问题的具体解答。
在列出方程后，就是求解问题了。
通过代数运算和方程的解析，可以得到问题的解答。
需要注意的是，求解问题时要注意计算的准确性和步骤的清晰性，确保最终得到的解答是正确的。
第五步：检验结果最后一步是检验结果。
在解动点几何问题时，要对最终得到的结果进行检验，确保解答符合题目的条件和要求。
只有通过严格的检验，才能确保解答的准确性和可靠性。
这就是动点几何解题五步法口诀的具体步骤。
通过这五步法口诀，我们可以在解动点几何问题时有一个清晰的思路和方法，帮助我们更快更准确地解题。
希望通过这个口诀，可以帮助大家更好地掌握动点几何的解题方法，提高解题的效率和准确性。
【如果您有更好的方法和建议，欢迎分享交流！】第二篇示例：动点几何解题在数学学科中占有重要的地位，是许多学生在学习中的困难之处。
为了帮助学生更好地掌握动点几何解题的方法，我们总结了一套五步法口诀，希望能够引导学生在解题过程中更加有条理、有效率。
下面就让我们来详细介绍一下这五步法口诀。
第一步：分析题目解题的第一步永远是要仔细阅读和分析题目。
初中动态几何问题教学策略探究
几何问题的方法，学生也 能因之领略到数学之美尽在于此． 三、引导学生综合分析 ，理清解题 的关键
（） ２ 连接 Ｂ Ｅ，证明 ＡＢ ＭＥ是 等腰 直角 三角形 ； （） ３ 将图 ３中 ＡＰ Ａ绕点 Ａ顺时针旋转 ４ 。 （ Ｅ ５ 在备 用图 中画
在几何证 明中 ，综合法与分析法是两种最常用的数学方法 ，
（） １ 求证 ：ＡＢ Ｑ △Ａ Ｐ Ｄ Ｄ ；
（ ）已 知 Ａ ＝ ３ ２ Ｄ ，ＡＰ ＝２ ，
Ｐ Ｂ
求 ｃｓ Ｐ ｏ／Ｂ Ｑ的值 （ 结果保留根号） ．
图４
【 明 】 题是 ２ １ 海 南 说 此 ０ １年 省 中考 题 ，它不属 于动 态几何 问题 ，但 我们可 以将 其 “ 动态 ”
如 图 ８ 过 点 Ｐ 作 ＿∥ＡＢ， 交 ， Ｇ
法 ，从 已知条件 出发 ，逐步往下推
清解题 的思路 ，找到解题的突破 口．
四 、引 导 学 生 分 析变 量 ，发 现 变 量 的 关 系
ｃ于点 Ｆ ，交 Ａ Ｄ于点 Ｇ ． 理 ，同时从需要证 明的结论往 上做假 设 与猜想 ，有助于 学生理 Ｂ
用综 合法拓展条件 ，由条件 向结论推 理 ，执 因索果 ；用分析法
转化 结论 ，由结论 向条件层 层假设 与猜 想 ，执果索 因 ；这样往 往更能发现解决问题的关键所在 ．
例 ４ 如 图 ５ 正 方形 Ａ Ｃ Ａ ， ＢＤ 的边 长 为 １ ，Ｇ 为 Ｃ 边 上 的 一 个 Ｄ
图 ３ 备 用 图
【 明】 说 此题是 ２ ０ ０ ５年海南省 中考 题，是典型 的动态几何 问
题 ，其 中的第（ ） ２ 小题是 属于较难 的题型 ，学生不容易发现解题 的关键 点，但是如果用分析综合法，则容 易发现解题 的突破 口． 如果 学生只利 用综合法 ，由条件 向结论进行单 向性地推理 ，
中考数学压轴专题训练——动态(动点)几何问题的解题技巧(含答案)
（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．
答案：
1、解：1）PD=PE。以图②为例，连接PC
∵△ABC是等腰直角三角形，P为斜边AB的中点，
∴PC=PB，CP⊥AB，∠DCP=∠B=45°，
(3)如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC,连结CL，点E是CL上任一点,EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
3.在 中，AC=BC， ，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作 ，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．
动态几何问题的解题技巧
解这类问题的基本策略是：
1．动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．
2．动静互化：“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系．
3．以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．
又∵∠DPC+∠CPE=90°，∠CPE+∠EPB=90°
∴∠DPC=∠EPB
∴△DPC≌△EPB（AAS）
∴PD=PE
2）能，①当EP=EB时，CE= BC=1
②当EP=PB时，点E在BC上，则点E和C重合，CE=0
③当BE=BP时，若点E在BC上，则CE=
附7 探究动态几何问题-【初中数学】120个题型大招!冲刺满分秘籍!
探究动态几何问题【命题趋势】数学因运动而充满活力，数学因变化面精彩纷呈。
动态几何问题是近年来中考的一个重难点问题，以运动的观点探究几何图形或函数与几何图形的变化规律，从而确定某一图形的存在性问题。
随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
【满分技巧】1）动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图形有直线型和曲线型两种，那么动态几何也有直线型的和曲线型的两类，即全等三角形、相似三角形中的动态几何问题，也有圆中的动态问题。
有点动、线动、面动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等。
根据其运动的特点，又可分为(1)动点类(点在线段或弧线上运动)也包括一个动点或两个动点；(2)动直线类；(3)动图形问题。
2）解决动态几何题，通过观察，对几何图形运动变化规律的探索，发现其中的‘变量”和“定量”动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性;动静互化抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动与静”的关系;这需要有极敏锐的观察力和多种情况的分析能力，加以想象、结合推理，得出结论。
解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动。
解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注--些不变量和不变关系或特殊关系。
3）动态几何形成的存在性问题，重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类，包括等腰(边)三角形存在问题，直角三角形存在问题，平行四边形存在问题，矩形、菱形、正方形存在问题。
全等三角形存在问题，相似三角形存在问题等。
【限时检测】A 卷（建议用时：90分钟）1．（2020·江苏南通市·中考真题）如图①，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，点P 从点B 出发沿折线B ﹣E ﹣D 运动到点D 停止，点Q 从点B 出发沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是1cm /s ．现P ，Q 两点同时出发，设运动时间为x （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），若y 与x 的对应关系如图②所示，则矩形ABCD 的面积是（）A ．96cm 2B ．84cm 2C ．72cm 2D ．56cm 2【答案】C 【分析】过点E 作EH ⊥BC ，由三角形面积公式求出EH=AB=6，由图2可知当x=14时，点P 与点D 重合，则AD=12，可得出答案．【详解】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P 运动到点E 时，x ＝10，y ＝30，过点E 作EH ⊥BC ，由三角形面积公式得：y ＝11103022BQ EH EH ∙=⨯⨯=，解得EH ＝AB ＝6，∴BH=AE=8,由图2可知当x ＝14时，点P 与点D 重合，∴ED=4,∴BC=AD ＝12，∴矩形的面积为12×6＝72．故选：C ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键．2．（2020·四川雅安市·中考真题）已知，等边三角形ABC 和正方形DEFG 的边长相等，按如图所示的位置摆放（C 点与E 点重合），点B C F 、、共线，ABC 沿BF 方向匀速运动，直到B 点与F 点重合．设运动时间为t，运动过程中两图形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映s与t之间关系的函数图象是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】分点C在EF中点的左侧、点C在EF中点的右侧、点C在F点右侧且B在EF中点的左侧，点C 在F点右侧且B在EF中点的右侧四种情况，分别求出函数的表达式即可求解．【详解】解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a，运动速度为1，当点C在EF的中点左侧时，设AC交DE于点H，则CE=t，HE=ECtan∠，则S=S△CEH=12×CE×HE=12t=232t，可知图象为开口向上的二次函数，当点C在EF的中点右侧时，设AB与DE交于点M，=-，则EC=t，BE=a-t，t)∴S=()2222333334224a a t t at a --=-+-，可知图象为开口向下的二次函数；当点C 在F 点右侧且B 在EF 中点的左侧时，S=()2222333334224a t a t at a --=-+-，可知图象为开口向下的二次函数；当点C 在F 点右侧且B 在EF 中点的右侧时，此时BF=2a-t ，MF=3BF 3(2a t)=-，∴22233S (2a t)t 23at 23a 22=-=-+，可知图象为开口向上的二次函数；故选：A【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．3．（2020·辽宁锦州市·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE BC ⊥于点E ．PF AB ⊥于点F ．若菱形ABCD 的周长为20，面积为24，则PE PF +的值为（）A ．4B ．245C ．6D ．485【答案】B【分析】连接BP ，通过菱形ABCD 的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出S ABC 的面积，然后利用面积法，S ABP +S CBP =S ABC ，即可求出PE PF +的值．【详解】解：连接BP ，∵菱形ABCD 的周长为20，∴AB=BC=20÷4=5，又∵菱形ABCD 的面积为24，∴S ABC =24÷2=12，又S ABC =S ABP +S CBP ∴S ABP +S CBP =12，∴111222AB PF BC PE ∙+∙=，∵AB=BC ，∴()1122AB PE PF ∙+=∵AB=5，∴PE+PF=12×25=245．故选：B ．【点睛】本题主要考查菱形的性质，解题关键在添加辅助线，通过面积法得出等量关系，求出PF+PE 的值．4．（2020·内蒙古呼和浩特市·中考真题）如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E 、H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A '、D 点的对称点为D ¢，若90FPG Ð=°，A EP ¢△为8，D PH ¢△的面积为2，则矩形ABCD 的长为（）A ．10B ．C ．10+D ．+【答案】D 【分析】设AB=CD=x ，由翻折可知：PA′=AB=x ，PD′=CD=x ，因为△A′EP 的面积为4，△D′PH 的面积为1，推出D′H ＝12x ，由S △D′PH =12D′P·D′H=12A′P·D′H ，可解得，分别求出PE 和PH ，从而得出AD 的长.【详解】解：∵四边形ABC 是矩形，∴AB=CD ，AD=BC ，设AB=CD=x ，由翻折可知：PA′=AB=x ，PD′=CD=x ，∵△A′EP 的面积为8，△D′PH 的面积为2，又∵90FPG Ð=°，∠A′PF=∠D′PG=90°，∴∠A′P D′=90°，则∠A′PE+∠D′PH=90°，∴∠A′PE=∠D′HP ，∴△A′EP ∽△D′PH ，∴A′P 2：D′H 2=8：2，∴A′P ：D′H=2：1，∵A′P=x ，∴D′H=12x ，∵S △D′PH =12D′P·D′H=12A′P·D′H ，即11222x x ⋅⋅=，∴（负根舍弃），∴，，，，∴=PH==，∴AD=+=+ D.【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．5．（2020·湖南邵阳市·中考真题）将一张矩形纸片ABCD 按如图所示操作：（1）将DA 沿DP 向内折叠，使点A 落在点1A 处，（2）将DP 沿1DA 向内继续折叠，使点P 落在点1P 处，折痕与边AB 交于点M ．若1PM AB ⊥，则1DPM ∠的大小是（）A ．135°B ．120°C ．112.5°D ．115°【答案】C 【分析】由折叠前后对应角相等且190∠= PMA 可先求出145∠=∠=DMP DMA ，进一步求出45ADM ∠= ，再由折叠可求出122.5∠=∠=∠= MDP ADP PDM ，最后在1∆DPM 中由三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵折叠，且190∠= PMA ，∴145∠=∠=DMP DMA ，即45ADM ∠= ，∵折叠，∴1122.52∠=∠=∠=∠= MDP ADP PDM ADM ，∴在1∆DPM 中，1=1804522.5112.5∠--= DPM ，故选：C ．【点睛】本题借助矩形的性质考查了折叠问题、三角形内角和定理等，记牢折叠问题的特点：折叠前后对应边相等，对应角相等即可解题．6．（2020·重庆中考真题）如图，三角形纸片ABC ，点D 是BC 边上一点，连接AD ，把ABD △沿着AD 翻折，得到AED ，DE 与AC 交于点G ，连接BE 交AD 于点F .若DG GE =，3AF =，2BF =，ADG 的面积为2，则点F 到BC 的距离为()A ．55B ．255C ．5D ．3【答案】B【分析】首先求出 ABD 的面积．根据三角形的面积公式求出DF ，设点F 到BD 的距离为h ，根据12•BD •h ＝12•BF •DF ，求出BD 即可解决问题．【详解】解：∵DG ＝GE ，∴S △ADG ＝S △AEG ＝2，∴S △ADE ＝4，由翻折可知， ADB ≌ ADE ，BE ⊥AD ，∴S △ABD ＝S △ADE ＝4，∠BFD ＝90°，∴12•（AF +DF ）•BF ＝4，∴12•（3+DF ）•2＝4，∴DF ＝1，∴DB F 到BD 的距离为h ，则12•BD •h ＝12•BF •DF ，∴h ＝255，故选：B ．【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．7．（2020·山东聊城市·中考真题）如图，在Rt ABC △中，2AB =，30C ∠=︒，将Rt ABC △绕点A 旋转得到Rt A B C '''∆，使点B 的对应点B '落在AC 上，在B C ''上取点D ，使2B D '=，那么点D 到BC 的距离等于（）．A ．3213⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭B ．13+C 1-D ．1+【答案】D【分析】根据旋转的性质和30°角的直角三角形的性质可得AB '的长，进而可得B C '的长，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，过点B '作B E BC '⊥于点E ，B F DM '⊥于点F ，如图，则四边形B EMF '是矩形，解Rt △B EC '可得B E '的长，即为FM 的长，根据三角形的内角和易得30B DN C '∠=∠=︒，然后解Rt △B DF '可求出DF 的长，进一步即可求出结果．【详解】解：在Rt ABC △中，∵2AB =，30C ∠=︒，∴AC =2AB =4，∵将Rt ABC △绕点A 旋转得到Rt A B C '''∆，使点B 的对应点B '落在AC 上，∴2AB AB '==，∴2B C '=，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，过点B '作B E BC '⊥于点E ，B F DM '⊥于点F ，交AC 于点N ，如图，则四边形B EMF '是矩形，∴FM B E '=，在Rt △B EC '中，1sin 30212B E BC ''=⋅︒=⨯=，∴FM =1，∵90,DB N CMN B ND MNC ''∠=∠=︒∠=∠，∴30B DN C '∠=∠=︒，在Rt △B DF '中，cos3022DF B D '=⋅︒=⨯=，∴1DM FM DF =+=即点D 到BC 1+．故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形、矩形的判定和性质以及旋转的性质等知识，正确作出辅助线、熟练掌握解直角三角形的知识是解题的关键．8．（2020·浙江九年级一模）如图，已知矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，点E 为AB 边上的中点，点F 在BC 边上，且BF ＝1，动点P 从点E 出发沿直线向点F 运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，经过若干次反弹，当动点P 第一次回到点E 时，动点P 所经过的路程长为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】利用反射角等于入射角画出动点的运动轨迹，再证四边形OP 5EF 和OP 2P 3P 4为菱形，然后利用等角对等边证出两个菱形的边都相等，再用勾股定理计算即可.【详解】如下图蓝色线为动点的运动轨迹，可发现动点P 第一次回到点E 时共弹出六次.∵入射角等于反射角，AD ∥BC ，AB ∥DC ∴∠1=∠2=∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8=∠9=∠10，∠11=∠FEB 又∵∠4＋∠5=90°，∠6＋∠7=90°，∠10＋∠11=90°∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠7=∠8=∠9=∠10，∠5=∠6=∠11=∠FEB由∠1=∠8，∠3=∠10∴EF ∥P 5P 4，P 5E ∥P 2PF 所以四边形O P 5EF 为平行四边形，在△P 5AE 和△FBE 中A=B=90AE=BE 11FEB ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩∴△P 5AE ≌△FBE （ASA ）所以AE=EF ∴四边形OP 5EF 为菱形同理可证四边形OP 2P 3P 4为菱形又∵∠2=∠8∴OP 4=OF ∴两个菱形的边都相等，在Rt △EFB 中22EB +BF =10故动点P 所经过的路程长为10故选A【点睛】此题考查的是入射角等于反射角，矩形的性质，菱形的判定及勾股定理.9．（2020·河北石家庄市·九年级其他模拟）如图，Rt ABO ∆中，90BAO ∠=︒，6OA =，10OB =，以点O 为圆心3为半径的优弧 MN分布交OA ，OB 于点M ，N 点P 优弧 MN 上的动点，点C 为BP 的中点，则AC 长的取值范围是（）A ．71322AC ≤≤B ．3922AC ≤≤C ．732305210AC ≤≤D ．733145210AC ≤≤【答案】D【分析】首先根据勾股定理求得AB=8，然后根据NOE BOA ∆∆ 的性质求得NE 和OE 的长，当点P 在M处时，AC 有最小值，此时12AC BP =，在Rt PAB ∆中应用勾股定理即可求解；当P 在点N 处时，AC 有最大值，根据CFO BAO ∆∆ 的性质求出CF 、FO 、AF ，然后在Rt ACF ∆中应用勾股定理即可求解．【详解】∵OA=6，OB=10，ON=OM=3∴AM=OA-OM=3∴在Rt ABO ∆中，8AB ==过N 点作NE OA ⊥于点E∴90NEO BAO ∠=∠=︒又∵NOE BOA ∠=∠∴NOE BOA∆∆ ∴NO NE OE BO BA OA ==∴31086NE OE ==∴125NE =，95OE =当点P 在点M 、N 处时，AC 分别有最小值和最大值；当点P 在M 处时，AC 有最小值∵C 是BP 的中点，90BAP ∠=︒∴12AC BP =∴在Rt PAB ∆中，BP ==∴2AC =当P 在点N 处时，AC 有最大值∴90CFO BAO ∠=∠=︒∵COF BOA ∠=∠∴CFO BAO ∆∆ ∴CO CF FO BO BA OA ==∴1722CP BP ==，132OC =∴265CF =，3910FO =∴2110AF =在Rt ACF ∆中，314510AC ==综上所述，733145210AC ≤≤故选D ．【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，题目较为综合，难度较大，根据题意讨论两种情况是本题的关键．10．（2020·洛阳市第二外国语学校九年级二模）如图1，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，动点P 从点B 开始沿边BA 、AC 向点C 以恒定的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以恒定的速度移动，两点同时到达点C ，设△BPQ 的面积为y （cm 2）．运动时间为x （s ），y 与x 之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC 的中点时，PQ 的长为（）A ．2B ．4C ．D ．【答案】C【分析】点P 、Q 的速度比为3x ＝2，y ＝，确定P 、Q 运动的速度，即可求解．【详解】解：设AB ＝a ，∠C ＝30°，则AC ＝2a ，BC ，设P 、Q 同时到达的时间为T ，则点P 的速度为3a T ，点Q 的速度为3a T，故点P 、Q 的速度比为3，故设点P 、Q 的速度分别为：3v v ，由图2知，当x ＝2时，y ＝，此时点P 到达点A 的位置，即AB ＝2×3v ＝6v ，BQ ＝v ＝2v ，y ＝12⨯AB ×BQ ＝12⨯6v ×2v ＝，解得：v ＝1，故点P 、Q 的速度分别为：3，AB ＝6v ＝6＝a ，则AC ＝12，BC ＝，如图当点P 在AC 的中点时，PC ＝6，此时点P 运动的距离为AB +AP ＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ ＝CQ ＝BC ﹣BQ ＝﹣＝2，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，PC ＝6，则PH ＝PC sin C ＝6×12＝3，同理CH ＝，则HQ ＝CH ﹣CQ ＝，PQ ＝，故选：C ．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．11．（2020·江苏无锡市·九年级其他模拟）如图，动点M 从（0，3）出发，沿y 轴以每秒1个单位长度的速度向下移动，同时动点N 从(4,0)出发，沿x 轴以每秒2个单位长度的速度向右移动，当点M 移动到O 点时，点M 、N 同时停止移动．点P 在第一象限内，在M 、N 移动过程中，始终有PM PN ⊥，且PM PN =．则在整个移动过程中，点P 移动的路径长为（）ABCD．【答案】A【分析】由题意过P 点作PD ON ⊥交于D 点，作PE OM ⊥交于E 点，并利用全等三角形判定()PEM PDN AAS ≅ ,得出PE PD =，从而分当0t =时，有M （0，3），N (4,0)，设P 点坐标为(,)m m 以及当3t =时，有M 、O （0，0），N 、H (10,0)，设P 点坐标为(,)n n ，求出P 点坐标，继而由点P 移动的路径为一条线段利用两点间距离公式求得点P 移动的路径长.【详解】解：由题意过P 点作PD ON ⊥交于D 点，作PE OM ⊥交于E点，如图，∵PM PN ⊥，∴NPD DPM DPM EPM ∠+∠=∠+∠,∴NPD EPM ∠=∠,∵90NPD EPM PEM PDN PM PN ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩,∴()PEM PDN AAS ≅ ,即有PE PD =,由题意可知03t ≤≤，当0t =时，有M （0，3），N (4,0)，设P 点坐标为(,)m m ，由PE PD =，即有()()()()22220340m m m m -+-=-+-，解得72m =，即此时P 点坐标为77(,22；当3t =时，有M 、O （0，0），N 、H (10,0)，设P 点坐标为(,)n n ，由PM PN =即图上PO PH =，即有()()()()222200100n n n n -+-=-+-，解得5n =，即此时P 点坐标为(5,5)；由图可知点P 移动的路径为一条线段，则点P =.故选：A.【点睛】本题考查平面直角坐标系点的运动问题，熟练掌握全等三角形的性质和判定以及两点间距离公式是解题的关键.12．（2020·安徽）边长为4、中心为O 的正方形ABCD 如图所示，动点P 从点A 出发，沿A B C D A →→→→以每秒1个单位长度的速度运动到点A 时停止，动点Q 从点A 出发，沿A D C B A →→→→以每秒2个单位长度的速度运动一周停止，若点P Q ，同时开始运动，点P 的运动时间为t s ，当016t <<时，满足OP OQ =的点P 的位置有（）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【答案】B 【分析】依次取AB BC CD DA ，，，的中点E F G H ，，，，连接OE OF OG OH ，，，．由题意可知，当点P 与点Q 到各自所在边的中点的距离相等时，OP OQ =，则有六种情况，分类列式计算求出t 的值，即可解答本题．【详解】解：依次取AB BC CD DA ，，，的中点E F G H ，，，，连接OE OF OG OH ，，，．根据题意，得点P 运动的路程为t ，当01t <≤时，点Q 运动的路程为2t ．分析题意可知，当点P 与点Q 到各自所在边的中点的距离相等时，OP OQ =．当01t <≤时，显然OP OQ ≠；②当12t <≤时，如图（1），点P 在AE 上，点Q 在BD 上，2QH 22PE t t =-=-，，由222t t -=-，得43t =；③当24t <≤时，如图（2），点P 在EB 上，点Q 在DC 上，2QG 26PE t t =-=-，，由226t t -=-，得4t =或83t =；④当46t <≤时，如图（3），点P 在BF 上，点Q 在BC 上，6210PF t QF t =-=-，，由6210t t -=-，得4t =（舍去）或163t =；⑤当68t <≤时，如图（4），点P 在FC 上，点Q 在AB 上，6214PF t QE t =-=-，，由6214t t -=-，得8t =或203t =；⑥当8t ≥时，点Q 停在点A 处，因此当816t <<时，OQ OA OD ==，只有12t =时满足0OP Q =．综上，满足条件的点P 的位置有7个，故选：B ．【点睛】本题结合动点考查考生空间想象的能力与分析问题、解决问题的综合能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．分析题意时，需注意时间t 的取值范围不含0和16，第8s 后点Q 停止运动，且与点A 重合．13．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）如图，等边ABC ∆中，3AB =，点D ，点E 分别是边BC ，CA 上的动点，且BD CE =，连接AD 、BE 交于点F ，当点D 从点B 运动到点C 时，则点F 的运动路径的长度为_________．【答案】233【分析】如图，作过A 、B 、F 作⊙O, AFB 为点F 的轨迹，然后计算出, AFB 的长度即可．【详解】解：如图：作过A 、B 、F 作⊙O,过O 作OG ⊥AB ∵等边ABC ∆∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°∵BD CE =∴△BCE ≌△ABC ∴∠BAD=∠CBE∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°∴∠ABE+∠BAD=60°∴∠AFB=120°∵∠AFB 是弦AB 同侧的圆周角∴∠AOB=120°∵OG ⊥AB,OA=OB ∴∠BOG=∠AOG=12∠AOB=60°,BG=12AB=32∴∠OBG=30°设OB=x ，则OG=12x ∴222322x x ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得（舍）∴ AFB 的长度为12023233603⨯= ．故答案为：233．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理以及圆周角定理，根据题意确定点F 的轨迹是解答本题的关键．14．（2020·广西中考真题）如图，在边长为ABCD 中，60C ∠=°，点,E F 分别是,AB AD 上的动点，且,AE DF DE =与BF 交于点P .当点E 从点A 运动到点B 时，则点P 的运动路径长为_____．【答案】43π【分析】根据题意证得BFD DEA ≌V V ，推出∠BPE =60︒，∠BPD =120︒，得到C 、B 、P 、D 四点共圆，知点P 的运动路径长为BD 的长，利用弧长公式即可求解．【详解】连接BD ，∵菱形ABCD 中，60C ∠=°，∴∠C=∠A=60︒，AB=BC=CD=AD ，∴△ABD 和△CBD 都为等边三角形，∴BD=AD ，∠BDF=∠DAE=60︒，∵DF=AE ，∴BFD DEA ≌V V ，∴∠DBF=∠ADE ，∵∠BPE=∠BDP+∠DBF=∠BDP+∠ADE=∠BDF=60︒，∴∠BPD=180︒-∠BPE=120︒，∵∠C=60︒，∴∠C+∠BPD=180︒，∴C、B、P、D四点共圆，即⊙O是CBD的外接圆，∴当点E从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为BD 的长，∴∠BOD=2∠BCD=120︒，作OG⊥BD于G，根据垂径定理得：BG=GD=12BD=3，∠BOG=12∠BOD=60︒，∵sin BOG BG OB∠=，即3sin60OB︒=，∴2OB=，从而P点的路径长为212041801803n Rπππ⨯︒⋅==︒︒．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，弧长公式等知识，解题的关键是学会准确寻找点的运动轨迹．15．（2020·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由DAM△平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；②无论点M运动到何处，都有DM2HM；③在点M的运动过程中，四边形CEMD不可能成为菱形；④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．以上结论正确的有_____（把所有正确结论的序号都填上）．【答案】①②③④【分析】①正确．证明∠ADM＝30°，即可得出结论．②正确．证明△DHM是等腰直角三角形即可．③正确．首先证明四边形CEMD是平行四边形，再证明，DM＞CD即可判断．④正确．证明∠AHM＜∠BAC＝45°，即可判断．【详解】解：如图，连接DH，HM．由题可得，AM ＝BE ，∴AB ＝EM ＝AD ，∵四边形ABCD 是正方形，EH ⊥AC ，∴EM ＝AD ，∠AHE ＝90°，∠MEH ＝∠DAH ＝45°＝∠EAH ，∴EH ＝AH ，∴△MEH ≌△DAH （SAS ），∴∠MHE ＝∠DHA ，MH ＝DH ，∴∠MHD ＝∠AHE ＝90°，△DHM 是等腰直角三角形，∴DM 2HM ，故②正确；当∠DHC ＝60°时，∠ADH ＝60°﹣45°＝15°，∴∠ADM ＝45°﹣15°＝30°，∴Rt △ADM 中，DM ＝2AM ，即DM ＝2BE ，故①正确；∵CD ∥EM ，EC ∥DM ，∴四边形CEMD 是平行四边形，∵DM ＞AD ，AD ＝CD ，∴DM ＞CD ，∴四边形CEMD 不可能是菱形，故③正确，∵点M 是边BA 延长线上的动点（不与点A 重合），且AM ＜AB ，∴∠AHM ＜∠BAC ＝45°，∴∠CHM ＞135°，故④正确；由上可得正确结论的序号为①②③．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16．（2020·湖北鄂州市·中考真题）如图，半径为2cm 的O 与边长为2cm 的正方形ABCD 的边AB 相切于E ，点F 为正方形的中心，直线OE 过F 点．当正方形ABCD 沿直线OF 以每秒(23)cm -的速度向左运动__________秒时，O 与正方形重叠部分的面积为223cm 3π⎛ ⎝．【答案】1或1163+．【分析】将正方形向左平移，使得正方形与圆的重叠部分为弓形，根据题目数据求得此时弓形面积符合题意，由此得到OF 的长度，然后结合运动速度求解即可，特别要注意的是正方形沿直线运动，所以需要分类讨论．【详解】解：①当正方形运动到如图1位置，连接OA ，OB ，AB 交OF 于点E此时正方形与圆的重叠部分的面积为S 扇形OAB -S △OAB由题意可知：OA=OB=AB=2，OF ⊥AB ∴△OAB 为等边三角形∴∠AOB=60°，OE ⊥AB在Rt △AOE 中，∠AOE=30°，∴AE=112OA =，∴S 扇形OAB -S △OAB 260π212=2π36023´-创=-∴1+∴点F 向左运动31)2-=-秒②同理，当正方形运动到如图2位置，连接OC ，OD ，CD 交OF 于点E此时正方形与圆的重叠部分的面积为S 扇形OCD -S △OCD由题意可知：OC=OD=CD=2，OF ⊥CD ∴△OCD 为等边三角形∴∠COD=60°，OE ⊥CD在Rt △COE 中，∠COE=30°，∴CE=1OC 12=，∴S 扇形OCD -S △OCD 260π212=2π36023´-创=-∴1+∴点F 向左运动31)4++=++秒综上，当运动时间为1或11+秒时，⊙O 与正方形重叠部分的面积为22π)3-故答案为：1或11+．【点睛】本题考查正方形的性质，扇形面积的计算及等边三角形的判定和性质，题目难度不大，注意分情况讨论是本题的解题关键．17．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=，P 为AD 上一个动点，连接BP ，线段BA 与线段BQ 关于BP 所在的直线对称，连接PQ ，当点P 从点A 运动到点D 时，线段PQ 在平面内扫过的面积为_____．3π-【分析】由矩形的性质求出∠ABQ=120°，由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ ≌△DOC ，根据S 阴影部分=S 四边形ABQD﹣S 扇形ABQ =S 四边形ABOD +S △BOQ ﹣S 扇形ABQ 可求出答案．【详解】∵当点P 从点A 运动到点D 时，线段BQ 的长度不变，∴点Q 运动轨迹是圆弧，如图，阴影部分的面积即为线段PQ在平面内扫过的面积，∵矩形ABCD 中，AB=1，ABC=∠BAC=∠C=∠Q=90°，∴∠ADB=∠DBC=∠ODB=∠OBQ=30°，∴∠ABQ=120°，由轴对称性得：BQ=BA=CD ，在△BOQ 和△DOC 中，90BOQ DOC Q C BQ CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BOQ ≌△DOC ，∴S 阴影部分=S 四边形ABQD ﹣S 扇形ABQ =S 四边形ABOD +S △BOQ ﹣S 扇形ABQ ，=S 四边形ABOD +S △COD ﹣S 扇形ABQ ，=S 矩形ABCD ﹣S △ABQ-212013603ππ⨯=3π．【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积公式，轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．18．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图①，在ABC 中，,120AB AC BAC =∠=︒，点E 是边AB 的中点，点P 是边BC 上一动点，设,PC x PA PE y =+=．图②是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点．．那么+a b的值为_______．【答案】7【分析】过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，证明四边形ABCD为菱形，得到点A和点D关于BC对称，从而得到PA+PE=PD+PE，推出当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长，观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE=PA+PE的最小值为3，PC的长，即可得到结果.【详解】解：如图，过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，可得四边形ABCD为平行四边形，又AB=AC，∴四边形ABCD为菱形，点A和点D关于BC对称，∴PA+PE=PD+PE，当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长，观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE=∵点E是AB中点，∴BE+BD=3BE=，AB=BD=，∵∠BAC=120°，∴∠ABD=（180°-120°）÷2×2=60°，∴△ABD为等边三角形，∴DE⊥AB，∠BDE=30°，∴DE=3，即PA+PE的最小值为3，即点H的纵坐标为a=3，当点P为DE和BC交点时，∵AB∥CD，∴△PBE∽△PCD，∴PB BE PC CD=，∵菱形ABCD中，AD⊥BC，∴=6，∴6PCPC-=，解得：PC=4，即点H的横坐标为b=4，∴a+b=3+4=7，故答案为：7.【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．19．（2020·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为（0,3），点A 在x 轴的正半轴上．直线1y x =-分别与边,AB OA 相交于,D M 两点，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点D 并与边BC 相交于点N ，连接MN ．点P 是直线DM 上的动点，当CP MN =时，点P 的坐标是________________．【答案】（1，0）或（3，2）【分析】根据正方形的性质以及一次函数表达式求出点D 和点M 坐标，从而求出反比例函数表达式，得到点N 的坐标，求出MN ，设点P 坐标为（m ，m-1），根据两点间距离表示出CP ，得到方程，求解即可．【详解】解：∵正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为（0，3），∴B （3，3），A （3，0），∵直线y=x-1分别与边AB ，OA 相交于D ，M 两点，∴可得：D （3，2），M （1，0），∵反比例函数(0)k y x x =>经过点D ，k=3×2=6，∴反比例函数的表达式为6y x=，令y=3，解得：x=2，∴点N 的坐标为（2，3），∴，∵点P 在直线DM 上，设点P 的坐标为（m ，m-1），∴=，解得：m=1或3，∴点P 的坐标为（1，0）或（3，2）．故答案为：（1，0）或（3，2）．【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式.20．（2020·上海中考真题）如图，在△ABC 中，AB =4，BC =7，∠B =60°，点D 在边BC 上，CD =3，联结AD ．如果将△ACD 沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的距离为____．【答案】2．【分析】过E 点作EH ⊥BC 于H ，证明△ABD 是等边三角形，进而求得∠ADC=120°，再由折叠得到∠ADE=∠ADC=120°，进而求出∠HDE=60°，最后在Rt △HED 中使用三角函数即可求出HE 的长．【详解】解：如图，过点E 作EH ⊥BC 于H ，∵BC =7，CD =3，∴BD =BC -CD =4，∵AB =4=BD ，∠B =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴∠ADB =60°，∴∠ADC =∠ADE =120°，∴∠EDH =60°，∵EH ⊥BC ，∴∠EHD =90°．∵DE =DC =3，∴EH =DE ×sin ∠HDE=3×2=332，∴E 到直线BD 的距离为332．故答案为：332．【点睛】本题考查了折叠问题，解直角三角形，点到直线的距离，本题的关键点是能求出∠ADE=∠ADC=120°，另外需要重点掌握折叠问题的特点：折叠前后对应的边相等，对应的角相等．21．（2020·浙江杭州市·中考真题）如图是一张矩形纸片，点E 在AB 边上，把BCE 沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，连接DF ．若点E ，F ，D 在同一条直线上，AE ＝2，则DF ＝_____，BE ＝_____．【答案】21【分析】先根据矩形的性质得到AD BC =，90ADC B DAE ∠=∠=∠=︒，再根据折叠的性质得到CF BC =，90CFE B ∠=∠=︒，EF BE =，然后根据全等三角形的性质得到2DF AE ==；最后根据相似三角形的性质即可得BE 的值．【详解】∵四边形ABCD 是矩形∴AD BC =，90ADC B DAE ∠=∠=∠=︒∵把BCE 沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处∴CF BC =，90CFE B ∠=∠=︒，EF BE =∴CF AD =，90CFD ∠=︒∴90ADE CDF FCD CDF ∠+∠=∠+∠=︒∴ADE FCD∠=∠在ADE 和FCD 中，90ADE FCD AD FC DAE CFD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴()ADE FCD ASA ≅ ∴2DF AE ==∵90AFE CFD ∠=∠=︒∴90AFE DAE ∠=∠=︒∵AEF DEA ∠=∠∴AEF DEA~ ∴AE EF DE AE =，即AE EF DF EF AE =+∴222EF EF =+解得1=-EF或10EF =<（不符题意，舍去）则1BE EF ==故答案为：21-．【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，根据矩形与折叠的性质，正确找出两个相似三角形是解题关键．22．（2020·江西宜春市·九年级一模）如图，在Rt ABC ∆中，906, 8,ACB AC cm BC cm ︒∠===，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒()02t <<，连接MN ．若以MN 为直径的O 与Rt ABC ∆的边相切，则t 的值为_______．【答案】1或3241或12873【分析】分当⊙O 与BC 相切、⊙O 与AB 相切，⊙O 与AC 相切时，三种情况分类讨论即可得出结论．【详解】解：设运动时间为t 秒（0<t<2），则BM=5t ，CN=4t ，BN=8-4t ，在直角三角形ABC 中，由勾股定理，得AB=当MN 为直径的O 与Rt ABC ∆的边AB 相切时，∠BMN=90°=∠C ，又因为∠B=∠B ，所以△BMN ∽△BCA ，∴58t =8410t -，解得t=3241；当MN 为直径的O 与Rt ABC ∆的边BC 相切,∠BNM=90°=∠C ，又因为∠B=∠B ，所以△BMN ∽△BAC ，所以510t =848t -，解得t=1;当MN 为直径的O 与Rt ABC ∆的边AC 相切,如图,过点O 作OH ⊥AC 于点H ，交PM 于点Q ，OH=OQ+QH=12PM+PC=12（8t-8）+（8-4t ）=4，∴MN=2OH=8，∴73t 2-128t+64=64解得t 1=0，t 2=12873.故t 的值为1或3241或12873.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及圆的综合知识；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键，此类题目为中考的热点考题之一，应加强训练．23．（2020·江苏无锡市·九年级二模）如图，ABC 为O 的内接三角形，60BC A =∠=︒，点D 为弧BC 上一动点，CE 垂直直线OD 于点,E 当点D 由B 点沿弧BC 运动到点C 时，点E 经过的路径长为_______．【答案】43π【分析】如图，作OH ⊥BC 于H ，设OC 的中点为K ．当E 的运动轨迹是以OC 为直径的圆弧，圆心角为240°，根据弧长公式计算即可．【详解】如图，作OH ⊥BC 于H ，设OC 的中点为K ．。
动态中的平面几何问题的求解思维策略
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Ｂ ｆ点 日， 尸 ＝ＨＱ Ｅｆ － 则 Ｑ ２ ．连 结Ｃ 则 ｃ ＝ ． Ｑ， ｑ ５
在 Ｒ ＡＣ Ｈ中 ， Ｃ Ｈ＝ ０ ， Ｃ Ａ ＝ ， ｔ Ｂ Ｂ ３ 。Ｂ ＝ Ｂ ８ 则
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数 学教学通讯 （ 教师版 ）
该重叠 部分 的面积 ； 若改 变 ， 请说 明理 由
试 题研究 ＞ 技巧 解题
矩 形Ｏ ＡＢＣ的 重 叠 部 分 的 面 积 叩 为 四 边
形 ＤＮＥ ￣ 面 积 ． Ｍ
由题意知 ，Ｍ／ Ｎ Ｄ ／ Ｄ ／ Ｅ，Ｎ／ＭＥ， 以 所
四 边 形 ＤＮＥ ￣ 平 行 四 边 形 。 据 轴 对 称 Ｍ 根
钓ｏ ．所 以 ＡＣ ＋厶 Ｄ ＝ ＤＣ ＋厶 Ｄ ． Ｂ ＣＢ Ｂ ＣＥ
学思想 。 欣赏和谐 化原 则
图 １
和谐化 原则是强 调数 与形 内在 、 固 解析 （ ）０ １６ ；
所 以 ＡＣ ＝ ＢＣ Ｄ Ｅ
有 的 和谐 统 一 特 点 ，数 缺 形 时 少 直 观 ， “
所 以 ＭＥＤ ＝ＡＭＤＥ．所 ￣ ２ＭＤ＝ ＭＥ ．辑 以
平 行 四 边形Ｄ Ｍ为菱 形． Ｍ
过 点Ｄ作 ＤＨ上Ｏ 垂 足 为Ｈ． Ａ． 由题 易
所以 Ｃ Ｑ ３￣ Ｂ ＝ ０．同理 可得Ｐ ＝． Ｑ６
综上 ，Ｑ的 长是６ Ｐ ．
解析 （） １ 由题 意 得 Ｂ（ ， ） ３ １．若 直 线
／ 。
图 ２ 所 以 △Ａ∞
② ３点Ｄ在 线段Ａ － ＂ 肘的延 长线上 时，
（ 掌握数 形结 合 、 分类 讨论 数
动态几何试题的求解策略
动态几何试题的求解策略
以操作为背景的心智操作问题，主要用于考查学生解决简单实际问题的能力、数学运算与求解能力以及动手操作所反映出来的数学理解与分析能力。
与过去几年相比，此类问题在各地中考中广泛出现，并有新的探索。
因为操作型问题具有较强的实践性与思辨性，对思维要求相对偏高，因此，学生解答起来常常感到非常棘手。
下面笔者从问题模型出发，略作分析，希望能帮助学生走出解答此类问题的困境。
操作为背景类试题与动手操作求解问题不同，这里的操作只是一个背景，并不要求考生在解答过程中有实际的操作行为。
这一类问题，实质是要求考生用脑去操作，在大脑中再现出背景提供的操作流程（实际操作在考试时无法完成），然后去完成命题者提供的任务。
用它设计试题主要用于考查考生对操作过程的理解能力和在理解基础上的求解能力。
在这类题型中以运算求解最为普遍，它要求考生具有一定的运算能力，方法运用技巧和分析综合能力等。
按照操作性任务要素所需的知识背景分，有代数求解问题，几何求解问题，统计概率问题，等等。
一、代数背景下的求解问题
二、几何背景的求解问题
操作型问题因课堂中探究教学法而生，其价值取向是利用动手拼、动手剪、动手画等一系列的探究活动，来展示知识的发生、发现、发展过程，并通过这些操作性行为将探究到的知识内化为经验。
由此笔者认为，提高解答操作型问题的方法关键在课堂。
从另一方面看，操作型问题对促进课堂教改无疑起到了一定的促进作用。
解决初中动态几何题型的方法和建议
解决初中动态几何题型的方法和建议作者：宋娟来源：《考试周刊》2013年第57期摘要：动态几何题型是初中数学的重点和难点，对学生的知识和能力要求较高。
学生在解决动态问题时，存在许多错误的思维方式和方法，导致该类题目得分率低，是学生最难攻克的题目。
作者着重分析学生在处理动态题目时出现的问题和原因，并结合教学实际谈谈如何提高学生的动态思维能力。
关键词：动态几何题型动态思维解题方法一、学生在解答动态几何题目时的存在的问题（一）思维简单随意，思维方式单一孤立。
动态变化题型的“点动”、“面动”或“图动”都是连续变动的，在某个特殊时刻或者拐点出现转折，带动局部图形的变化，变量之间关系也随之改变，往往会达到“牵一发而动全身”的效果。
学生在分析题目时，思维线条单一，认为“此一时”和“彼一时”相差无几，但现实上差距甚远。
有可能上一时刻是三角形，下一时刻是四边形了；学生不善于多角度思考，观察分析缺乏全面统领性，且缺乏灵活性，只通过简单联想、草率比较就妄加猜测得出结论，不能通过由果索因、由因索果或数形结合等方式进行有章有法的分析；更有的学生在毫无依据和知识支撑的情况下妄加结论，暴露出思维的简单随意性，分析问题时不讲逻辑联系、表达东拼西凑、解题线索不清、条理混乱、步骤与过程凌乱；有的学生表达出“我也不知道当时怎么想的，我都忘了”的意思。
（二）缺乏对动态几何题型的全过程分析。
动态几何题型考试中不会针对全部变化过程逐个出题目，而只会针对某个局部过程，或就某个位置、某个时刻考察相关知识点。
因此，学生一般就题解题，往往不能做到先理顺思路，统揽全局，高屋建瓴地审视题目。
动态几何题目所谓的“动静结合、动中有静、静中有动”指的是一道题目往往前后相连、上下相通，许多条件都是不变的，变的是图形、是位置或者是结论，没有宏观的掌控便看不到动态变化的“拐点”、“转折”，也看不到全过程当中的某些变量之间存在一些清晰或者隐含的关系。
学生在思考变化过程时，一般都能够在初始变化阶段理清思路，一旦遇到拐点便失去线索，点的位置、线段的连接、图形的状态都看不清楚，导致思路混乱；思路的混乱导致题目中的条件、题意、运动状态含混不清，根本就不能以良好的状态解答题目。
动态中的平面几何问题的求解思维策略
动态中的平面几何问题的求解思维策略
和信息
作为一名学生，在学习中也许少不了一些实际内容与计算机相关的问题，而在学习当中，尤其是涉及到民生之类的科目，有时需要解决动态中的平面几何问题，这一类的问题往往会令学生犯难，特别是在未掌握相关知识前，如何正确地分析解决这些问题，更不要说解决之道了。
其实，针对动态中的平面几何问题，求解思维策略也有着可行的办法。
要想从深入地分析解决这些问题，首先要是要细心阅读题目及问题内容，仔细总结题目所给出的参数，把握题目的特点和问题的实质，并提出正确的解决方案和正确的解决步骤。
接下来，如果你正确识别出问题的思路，那么接下来就是要画出图像，根据题目中的参数和变量，在纸上正确地画出图像，以便更好地求解问题，并且在画完图像后，要熟悉和掌握参数和变量，从而帮助自己更好地推推导问题的解答。
最后，在考虑到几何问题的求解时，一定不要忽略其中的定理和教材中的解题经验，把定理中附有的辅助表示法熟练掌握，然后这才有较强的实力去解决动态中的平面几何问题。
综上所述，针对动态中的平面几何问题，求解思维策略有很强的实用性，仔细分析并正确把握题目内容和定理，充分利用图像及辅助表示法熟悉参数和变量，最后就能够更轻松地解决这一类的动态问题。
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的中点时，其三角形ABC的面积最大。
本题也可以先猜想，点C为半圆弧的中点时，三角形ABC的面积最大，故只需另选一个位置C1（不与C重合），，证明三角形ABC的面积大于三角形ABC1的面积即可。如图
显然三角形ABC1的面积= AB×C1D，而C1D< C1O=CO,则三角形ABC1的面积= AB×C1D< AB×C1O=三角形ABC的面积,因此,对于除点C外的任意点C1,都有三角形ABC1的面积小于三角形三角形ABC的面积,故点C为半圆中点时,三角形ABC面积最大.
对于本题同学们还可以继续思考:四边形ABCD的周长的变化范围.
变式3:如图,有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块.三角形的两个顶点分
别为A、B，另一个顶点C在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大？要求说明理由.
分析：要使三角形ABC的面积最大，而三角形ABC的底边AB为圆的直径为常量，只需AB边上的高最大即可。过点C作CD⊥AB于点D，连结CO，
因此 或∠C=1200.
变式2:如图,半经为1的半圆O上有两个动点A、B，若AB=1，
（1）判断∠AOB的大小是否会随点A、B的变化而变化，若变化，求出变化范围，若不变化，求出它的值。
（2）四边形ABCD的面积的最大值。
解：（1）由于AB=OA=OB，所以三角形AOB为等边三角形，则∠AOB=600，即∠AOB的大小不会随点A、B的变化而变化。
（1）判断 OEF的形状，并加以证明。
（2）判断四边形AEOF的面积是否随点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.
（3） AEF的面积是否随着点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。
分析：本题结论很难发现，先从特殊情况入手。最特殊情况为E、F分别为AB、AC中点，显然有ΔEOF为等腰直角三角形。还可发现当点E与A无限接近时，点F与点C无限接近，此时ΔEOF无限接近ΔAOC，而ΔAOC为等腰直角三角形，几种特殊情况都可以得出ΔEOF为等腰直角三角形。一般情况下成立吗？OE与OF相等吗？∠EOF为直角吗？能否证明。如果它们成立，便可以推出三角形OFC与三角形OEA全等，一般情况下这两个三角形全等吗？
分析：能否将DN和NM进行转化，与建立三角形两边之和大于第三边等问题，很自然地想到轴对称问题，由于ABCD为正方形，因此连结BN，显然有ND=NB，则问题就转化为BN+NM的最小值问题了，一般情况下：BN+NM≥BM,只有在B、N、M三点共线时，BN+NM=BM，因此DN+MN的最小值为BM=
本题通过建立平面上三个点中构成的三角形中的两边之和大于第三边及共线时的两边之和等于第三边的特殊情况求最小值，最后通过勾股定理计算得出结论。
考数学试题中动态几何问题的求解策略
近年来，随着九年义务教育课程标准的深入实施，动态几何已悄悄进入到中考数学试题中，而且要求越来越高，越来越突出探究能力的考查。编制好的动态几何的题已成为中考命题者努力追求的目标之一。下面谈谈中考数学中动态几何的一些解题策略。
例1：已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，点C在⊙O上变化（不与A、B）重合，求∠ACB的大小.
（1）当t为何值时，三角形QAP为等腰三角形？
（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；
（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
分析：（1）当三即 时，三角形QAP为等腰三角形；
（2）四边形QAPC的面积=ABCD的面积—三角形QDC的面积—三角形PBC的面积
（A） （B）
（C） （D） 的大小不确定
分析：本题可以通过度量的方法进行，选（B）
本题也可以可以证明得出结论，连结DO、EO，则在三角形OED中，由于两边之差小于第三边，则
OE—OD<DE,即OB—OA<DE,因此 ,即
三、建立联系，计算说明
例6：如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为.
当然还有其它方法。同学们可以继续研究。
2、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点，
（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离的大小关系。
（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论。
作为训练同学们可以综合上述方法求解：
练习
1、已知 ABC为直角三角形，AC=5，BC=12，∠ACB为直角，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上动点（与点B、C不重合）
（1）如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点，求线段CP的长。
（2） 当PQ与AC不平行时， CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由。
（A）AC+CB=AD+DB (B) AC+CB<AD+DB
(C) AC+CB>AD+DB (D) AC+CB与AD+DB的大小关系不确定
分析:本题可以通过动手操作一下,度量AC、CB、AD、DB的长度，可以尝试换几个位置量一量，得出结论（C）
例5：如图，过两同心圆的小圆上任一点C分别作小圆的直径CA和非直径的弦CD，延长CA和CD与大圆分别交于点B、E，则下列结论中正确的是（*）
BC×AP=BP×AB，因此
BC= ，
在三角形BPC中，PC= ，
所以， = 选（B）
当然，本题还可以根据三角形相似得 ，即可计算出结论。
作为一道选择题，到此已经完成，但如果是一道解答题，我们得出的结论只是一个特殊情况，还要进一步证明对一般情况也成立。
例3如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=4，OA BC于O,点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合。
一、特殊探路，一般推证
例2如图，⊙O1和⊙O2内切于A，⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为2，点P为⊙O1上的任一点（与点A不重合），直线PA交⊙O2于点C，PB切⊙O2于点B，则 的值为
（A） （B） （C） （D）
分析：本题是一道选择题，给出四个答案有且只有一个是正确的，因此可以取一个特殊位置进行研究，当点P满足PB⊥AB时，可以通过计算得出PB=
不难从题目的条件可得：OA=OC，∠OCF=∠OAE，而AE=CF，则ΔOEA≌ΔOFC，则OE=OF，且∠FOC=∠EOA，所以∠EOF=∠EOA+∠AOF=∠FOC+∠FOA=900，则∠EOF为直角，故ΔEOF为等腰直角三角形。
二、 动手实践，操作确认
例4（2003年广州市中考试题）在⊙O中，C为弧AB的中点，D为弧AC上任一点（与A、C不重合），则
当然，本题也可以这样思考，由于三角形AOE与三角形COF全等，则四边形AEOF的面积与三角形AOC的面积相等，而AOC的面积为2，因此AEOF的面积不会随点E、F的变化而变化，是一个定值，且为2.
本题通过建立函数关系或有关图形之间的关系,然后通过简单的计算得出结论的方法应用比较广泛.
第(3)问,也可以通过建立函数关系求得, AEF的面积= ,又 的变化范围为 ,由二次函数知识得 AEF的面积的范围为:
本题包容的内涵十分丰富，还可以提出很多问题研究：
比如，比较线段EF与AO长度大小等（可以通过A、E、O、F四点在以EF为直径的圆上得出很多结论）
例8：如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果Ｐ、Ｑ同时出发，用t秒表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
例7：如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=4，OA BC于O,点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合。
（2）判断四边形AEOF的面积是否随点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.
（3） AEF的面积是否随着点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。
当点C在劣弧AB上变化时，∠ACB所对的弧是优弧AB，它的大小为优弧AB的一半，由∠AOB=600得，优弧AB的度数为3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=1500，
因此，本题的答案有两个，分别为300或1500.
反思：本题通过点C在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。从而需要分类讨论。这样由点C的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现。
本题还可研究三角形ABC的周长何时最大的问题。
提示：利用周长与面积之间的关系。要三角形ABC的周长最大，AB为常数，只需AC+BC最大，而（AC+BC）2=AC2+CB2+2AC×BC=AB2+4×ΔABC的面积，因此ΔABC的面积最大时，AC+BC最大，从而ΔABC的周长最大。
从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现,解决动态几何问题的常见方法有:
（即例3的第2、第3问）
分析：(2)本题的方法很多，其一，可以建立四边形AEOF与AE长的函数关系式，如设AE=x，则AF= ，
而三角形AOB的面积与三角形AOE的面积之比= ，而三角形AOB的面积= ，则三角形AOE的面积= ，同理三角形AOF的面积= ，因此四边形AEOF的面积= ；即AEOF的面积不会随点E、F的变化而变化，是一个定值，且为2.
= =36，即当P、Q运动时，四边形QAPC的面积不变。
（3）显然有两种情况：△PAQ∽△ABC，△QAP∽△ABC，
由相似关系得 或 ，解之得 或
建立关系求解，包含的内容多，可以是函数关系，可以是方程组或不等式等，通过解方程、或函数的最大值最小值，自变量的取值范围等方面来解决问题；也可以是通过一些几何上的关系，描述图形的特征，如全等、相似、共圆等方面的知识求解。