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第1章 集 合

§1.1 集合的含义及其表示

重难点：集合的含义与表示方法，用集合语言表达数学对象或数学内容；区别元素与集合等概念及其符

号表示；用集合语言（描述法）表达数学对象或数学内容；集合表示法的恰当选择．

考纲要求：①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系；

②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．

经典例题：若x ∈R ，则｛3，x ，x 2

－2x ｝中的元素x 应满足什么条件?

当堂练习：

1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）

A ．某班个子较高的同学

B ．长寿的人

C

D ．倒数等于它本身的数

2．下面四个命题正确的是（ ）

A ．10以内的质数集合是{0，3，5，7}

B ．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}

C ．方程2

210x x -+=的解集是{1，1} D ．0与{0}表示同一个集合

3． 下面四个命题： （1）集合N 中最小的数是1； （2）若 -a ∉Z ，则a ∈Z ；

（3）所有的正实数组成集合R +

；（4）由很小的数可组成集合A ；

其中正确的命题有（ ）个

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．下面四个命题： （1）零属于空集； （2）方程x 2

-3x+5=0的解集是空集；

（3）方程x 2

-6x+9=0的解集是单元集； （4）不等式 2 x-6>0的解集是无限集；

其中正确的命题有（ ）个

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 5． 平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合是( )

A ． {x,y 且0,0x y <>}

B ． {(x,y)0,0x y <>} C. {(x,y) 0,0x y <>} D. {x,y 且0,0x y <>} 6．用符号∈或∉填空：

0__________{0}， a __________{a }， π

__________Q ，

2

1

__________Z ，－1__________R ，

0__________N ， 0 Φ．

7．由所有偶数组成的集合可表示为{x x = }．

8．用列举法表示集合D={2

(,)8,,x y y x x N y N =-+∈∈}为 ． 9．当a 满足 时, 集合A ＝{30,x x a x N +-<∈}表示单元集． 10．对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是__________． 11．数集{0，1，x 2

－x }中的x 不能取哪些数值？

12．已知集合A ＝{x ∈N|126x

－∈N

}，试用列举法表示集合A ．

13.已知集合A={2

210,,x ax x a R x R ++=∈∈}.

(1)若A 中只有一个元素,求a 的值; (2)若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围.

14.由实数构成的集合A 满足条件:若a ∈A, a ≠1,则

11A a

∈-,证明：

（1）若2∈A ，则集合A 必还有另外两个元素，并求出这两个元素； （2）非空集合A 中至少有三个不同的元素。

§1.2 子集、全集、补集

重难点：子集、真子集的概念；元素与子集，属于与包含间的区别；空集是任何非空集合的真子集的理解；补集的概念及其有关运算．

考纲要求：①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

②在具体情景中，了解全集与空集的含义；

③理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

经典例题：已知A=｛x|x=8m+14n，m、n∈Z｝，B=｛x|x=2k，k∈Z｝，问：

（1）数2与集合A的关系如何?

（2）集合A与集合B的关系如何?

当堂练习：

1．下列四个命题：①Φ＝｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

2．若M＝{x｜x＞1}，N＝{x｜x≥a}，且N⊆M，则（）

A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1

3．设U为全集，集合M、N U，且M⊆N，则下列各式成立的是（）

A．u M⊇u N B．u M⊆M

C．u M⊆u N D．u M⊆N

4. 已知全集U＝{x｜－2≤x≤1}，A＝{x｜－2＜x＜1 ＝，B＝{x｜x2＋x－2＝0}，C＝{x｜－2≤x＜1 ＝，则（）

A．C⊆A B．C⊆u A

C．u B＝C D．u A＝B

5．已知全集U＝{0，1，2，3}且u A＝{2}，则集合A的真子集共有（）

A．3个 B．5个 C．8个D．7个

6．若A

B ，A

C ，B ＝｛0，1，2，3｝，C ＝｛0，2，4，8｝，则满足上述条件的集合A 为________．

7．如果M ＝{x ｜x ＝a 2

＋1，a ∈N*}，P ＝{y ｜y ＝b 2

－2b ＋2，b ∈N ＋}，则M 和P 的关系为M _________P ． 8．设集合M ＝{1，2，3，4，5，6}，A ⊆M ，A 不是空集，且满足：a ∈A ，则6－a ∈A ，则满足条件的集合A 共有_____________个．

9．已知集合A={13x -≤≤}，

u

A={|37x x <≤}，

u

B={12x -≤<}，则集合B= ．

10．集合A ＝{x |x 2

＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若B A ，则实数m 的值是 ．

11．判断下列集合之间的关系：

（1）A={三角形}，B={等腰三角形}，C={等边三角形}；

（2）A={2|20x x x --=},B={|12x x -≤≤},C={2

|44x x x +=}; （3）A={10|110x x ≤≤},B={2

|1,x x t t R =+∈},C={|213x x +≥}; （4）11{|,},{|,}.2

4

4

2

k k A x x k Z B x x k Z ==+

∈==

+

∈

12． 已知集合{

}

2

|(2)10A x x p x x R =+++=∈，，且⊆A {负实数}，求实数p 的取值范围．

13．.已知全集U={1,2,4,6,8,12},集合A={8,x,y,z},集合B={1,xy,yz,2x},其中6,12z ≠,若A=B, 求u

A.．

14．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{x ∈U |x 2

－5qx ＋4＝0，q ∈R}．

（1）若u

A ＝U ，求q 的取值范围； （2）若

u A 中有四个元素，求

u

A 和q 的值；

（3）若A 中仅有两个元素，求u

A 和q 的值．