乘法公式地灵活运用

乘法公式的灵活运用

一、复习:

(a+b)(a-b)=a 2

-b 2

(a+b)2

=a 2

+2ab+b 2

(a-b)2

=a 2

-2ab+b 2

(a+b)(a 2

-ab+b 2

)=a 3

+b 3

(a-b)(a 2

+ab+b 2

)=a 3

－b 3

归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2

-y 2

② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2

-y 2

= x 2

-y 2

③ 指数变化，(x 2

+y 2

)(x 2

-y 2

)=x 4

-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2

-b 2

⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]

=(xy )2

-(z +m )2

=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2

-(z 2

+zm +zm +m 2

) =x 2y 2

-z 2

-2zm -m 2

⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )

=(x -y )2

-z 2

=(x -y )(x -y )-z 2

=x 2

-xy -xy +y 2

-z 2 =x 2

-2xy +y 2

-z 2

⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2

+y 2

)

=(x 2

-y 2

)(x 2

+y 2) =x 4

-y 4

⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2

-(x +y -z )2

=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz

例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴2

2b a +=ab b a 2)(2-+

∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222

=⨯-

例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 2

22b ab a +-

∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2

)(b a -

∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482

=⨯-

例3：计算19992

-2000×1998

〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。 解：19992

-2000×1998 =19992

-（1999+1）×（1999-1） =19992

-（19992

-12

）=19992

-19992

+1 =1

例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2

+b 2

和(a-b)2

的值。 〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。 解：a 2

+b 2

=(a+b)2

-2ab=4-2=2 （a-b)2

=(a+b)2

-4ab=4-4=0

例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2

-z 2

的值。

〖解析〗此题若想根据现有条件求出x 、y 、z 的值，比较麻烦，考虑到x 2

-z 2

是由x+z 和x-z 的积得来的，所以只要求出x-z 的值即可。

解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x 2

-z 2

=（x+z ）(x-z)=14×4=56。

例6：判断（2+1）（22

+1）（24

+1）……（22048

+1）+1的个位数字是几？

〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1=（2-1）和上式可构

成循环平方差。

解：（2+1）（22

+1）（24

+1）……（2

2048

+1）+1 =（2-1）（22

+1）（24

+1）……（22048

+1）+1

=24096

=161024 因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。

例7．运用公式简便计算

（1）1032

（2）1982

解：（1）1032=(100+3)2 =1002+2⨯100⨯3+32

=10000+600+9 =10609 （2）1982

=(200-2)2

=2002

-2⨯200⨯2+22

=40000-800+4 =39204

例8．计算

（1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2)

解：（1）原式=[(a -3c )+4b ][(a -3c )-4b ]=(a -3c )2

-(4b )2

=a 2

-6ac +9c 2

-16b 2

（2）原式=[3x +(y -2)][3x -(y -2)]=9x 2

-( y 2

-4y +4)=9x 2

-y 2

+4y -4

例9．解下列各式

（1）已知a 2

+b 2

=13，ab =6，求(a +b )2

，(a -b )2

的值。 （2）已知(a +b )2

=7，(a -b )2

=4，求a 2

+b 2

，ab 的值。

（3）已知a (a -1)-(a 2

-b )=2，求222

a b ab +-的值。

（4）已知13x x -=，求4

41x x

+的值。

分析：在公式(a +b )2=a 2+b 2+2ab 中，如果把a +b ，a 2+b 2

和ab 分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。 解：（1）∵a 2

+b 2

=13，ab =6

∴(a +b )2

=a 2

+b 2

+2ab =13+2⨯6=25 (a -b )2

=a 2

+b 2

-2ab =13-2⨯6=1 （2）∵(a +b )2

=7，(a -b )2

=4

∴ a 2

+2ab +b 2

=7 ① a 2

-2ab +b 2

=4 ② ①+②得 2(a 2

+b 2

)=11，即22

11

2

a b +=

①-②得 4ab =3，即34

ab =

（3）由a (a -1)-(a 2

-b )=2 得a -b =-2

()22221222a b ab a b ab +∴-=+-()()22

112222

a b =-=⨯-=