优质课公开课角平分线的性质教案

合集下载

角的平分线市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案

角的平分线市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案

角的平分线教案一、教学目标:1. 理解什么是角的平分线以及其性质;2. 掌握如何构造角的平分线;3. 能够运用角的平分线性质解决相关几何问题。

二、教学重难点:1. 角的平分线的性质和构造方法;2. 运用角的平分线解决问题的能力。

三、教学准备:1. 教师准备黑板、白板、彩色粉笔或白板笔;2. 学生准备直尺、铅笔和橡皮擦。

四、教学步骤:Step 1:引入教师通过问学生关于角的基本知识,如定义、表示方法和度量等,引导学生进入本节课的学习主题。

然后,教师提出问题:“如何找到一个角的平分线?”激发学生思考。

Step 2:角的平分线的性质1. 教师在黑板上绘制一个角ABC,并标出其顶点为A;2. 教师向学生提问:“如果有一条线段AD,使得∠BAD = ∠CAD,我们称线段AD是角ABC的平分线,你能猜测一下角的平分线有哪些性质吗?”引导学生探索角的平分线的性质;3. 学生讨论后,教师总结角的平分线的性质:a. 角的平分线将角分成两个相等的部分;b. 角的平分线和角的边构成一个等腰三角形。

Step 3:角的平分线的构造1. 教师向学生展示角的平分线的构造方法:a. 以顶点A为中心,任取一点B和C;b. 以B和C为圆心,以相同的半径在各自的弧上分别画弧交于点D;c. 连接点A和D,则AD为所需的角的平分线。

2. 教师引导学生使用直尺和铅笔按照上述步骤,自己绘制角的平分线,并检查结果的准确性。

Step 4:练习和应用1. 教师设计一些练习题,让学生运用所学知识解决问题,巩固角的平分线的性质和构造方法;2. 学生在课堂上完成练习并相互交流答案,教师进行讲评;3. 教师提出一些实际问题,让学生运用所学知识解决,培养学生的应用能力和创新思维。

Step 5:总结1. 通过本节课的学习,学生应该理解和掌握角的平分线的性质和构造方法;2. 学生对角的平分线的性质和构造方法有一定的应用能力。

五、教学反思:通过本节课的设计和教学实施,学生可以通过自己的思考和实践,掌握角的平分线的性质和构造方法。

角的平分线的性质教案

角的平分线的性质教案

角的平分线的性质教案教案:角的平分线的性质一、知识背景1.平分线的存在性:对于任意一个角,都存在且唯一一条通过其顶点的平分线。

2.平分线的性质:平分线上的任意一点都与角的两边的端点连线所得的两条边相等。

二、教学目标1.知识目标:了解角的平分线的定义和性质。

2.能力目标:能够应用平分线的性质,解决与角的平分线相关的问题。

三、教学重难点1.教学重点:角的平分线的定义和性质。

2.教学难点:能够应用平分线的性质解决问题。

四、教学过程1.导入新知识:通过展示一张图示例,在黑板上画出一个角,并说明角的概念和角的顶点、边等基本要素。

2.角的平分线的定义:向学生介绍角的平分线的概念和定义,并说明平分线的存在性。

3.平分线的性质:通过展示一个新的角,并在其顶点处画出一条平分线,向学生解释平分线上任意一点与角的两边的连线等长的性质,并引导学生猜测平分线的性质。

4.定理的证明:通过几何推理,给出平分线的性质的证明,从而使学生对角的平分线的性质有更深刻的理解。

5.例题讲解:给出一些具体的角和平分线的问题,引导学生应用平分线的性质解决问题,例如:已知角A的平分线BC,求角ABC的度数。

6.练习与解答:让学生自己完成一些练习题,巩固和运用所学的知识。

7.拓展延伸:给学生一些更复杂的问题,让学生运用平分线的性质解决问题,例如:已知平面内有三条互不相交的直线,任意两线的交角都相等,求证这三条直线共点。

五、教学方法1.讲授法:通过讲解和示例,向学生介绍角的平分线的定义和性质。

2.演练法:让学生自己完成一些练习题,巩固和应用所学的知识。

3.启发法:通过给出具体的问题和图示,引导学生发现平分线的性质,并进行推理思考。

六、教学评价与反思1.教学评价:通过学生的参与和表现,观察他们对角的平分线的理解和运用。

2.教学反思:根据教学评价的结果,总结学生的差异化学习需求,找到改进教学的方法和策略。

七、教学延伸1.角的平分线在三角形中的运用:通过引导学生观察,发现角平分线在三角形中的运用,比如说角平分线与三角形的中位线、高、垂心等的关系。

角平分线的性质 公开课大赛(省)优【一等奖教案】

角平分线的性质    公开课大赛(省)优【一等奖教案】

12.3 角的平分线的性质第1课时 角平分线的性质1.经历角的平分线性质的发现过程,初步掌握角的平分线的性质定理.(重点) 2.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.(难点)一、情境导入问题:在S 区有一个集贸市场P ,它建在公路与铁路所成角的平分线上,要从P 点建两条路,一条到公路,一条到铁路.问题1:怎样修建道路最短? 问题2:往哪条路走更近呢?二、合作探究探究点一:角平分线的作法如图,AB ∥CD ,以点A 为圆心,小于AC 长为半径作圆弧,分别交AB ,AC 于E ,F 两点,再分别以E 、F 为圆心,大于12EF 的长为半径画弧,两弧交于点P ,作射线AP ,交CD于点M .若∠ACD =120°,求∠MAB 的度数.解析:根据AB ∥CD ,∠ACD =120°,得出∠CAB =60°,再根据AM 是∠CAB 的平分线,即可得出∠MAB 的度数.解:∵AB ∥CD ,∴∠ACD +∠CAB =180°,又∵∠ACD =120°,∴∠CAB =60°,由作法知,AM 是∠CAB 的平分线,∴∠MAB =12∠CAB =30°.方法总结:通过本题要掌握角平分线的作图步骤,根据作图明确AM 是∠BAC 的角平分线是解题的关键.探究点二:角平分线的性质【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等如图:在△ABC 中,∠C =90°,AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E ,F 在AC 上,BD =DF .求证:(1)CF =EB ;(2)AB =AF +2EB .解析:(1)根据角平分线的性质,可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离,即CD =DE .再根据Rt △CDF ≌Rt △EDB ,得CF =EB ;(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得到AC =AE ,然后通过线段之间的相互转化进行证明.证明:(1)∵AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB ,DC ⊥AC ,∴DE =DC .∵在Rt △DCF 和Rt △DEB 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧DF =BD ,DC =DE ,∴Rt △CDF ≌Rt △EDB (HL).∴CF =EB ;(2)∵AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB ,DC ⊥AC ,∴CD =DE .在△ADC 与△ADE 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧CD =DE ,AD =AD ,∴△ADC ≌△ADE (HL),∴AC =AE ,∴AB =AE +BE =AC +EB =AF +CF +EB =AF +2EB . 方法总结:角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据,在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等.【类型二】 角平分线的性质与三角形面积的综合运用如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB ,垂足为E ,S △ABC =7,DE =2,AB =4,则AC 的长是( )A .6B .5C .4D .3解析:过点D 作DF ⊥AC 于F ,∵AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB ,∴DF =DE =2,∴S △ABC=12×4×2+12AC ×2=7,解得AC =3.故选D. 方法总结:利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高,再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法.【类型三】 角平分线的性质与全等三角形综合如图所示,D 是△ABC 外角∠ACG 的平分线上的一点.DE ⊥AC ,DF ⊥CG ,垂足分别为E ,F .求证:CE =CF .解析:由角平分线的性质可得DE =DF ,再利用“HL ”证明Rt △CDE 和Rt △CDF 全等,根据全等三角形对应边相等证明即可.证明:∵CD 是∠ACG 的平分线,DE ⊥AC ,DF ⊥CG ,∴DE =DF .在Rt △CDE 和Rt △CDF 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧CD =CD ,DE =DF ,∴Rt △CDE ≌Rt △CDF (HL),∴CE =CF . 方法总结:全等三角形的判定离不开边,而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据,可作为判定三角形全等的条件.三、板书设计角平分线的性质1.角平分线的作法; 2.角平分线的性质; 3.角平分线性质的应用.本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题,需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练.第2课时 含30°角的直角三角形的性质1.理解并掌握含30°角的直角三角形的性质定理.(重点)2.能灵活运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题.(难点)一、情境导入 问题:1.我们学习过直角三角形,直角三角形的角之间都有什么数量关系? 2.用你的30°角的直角三角尺,把斜边和30°角所对的直角边量一量,你有什么发现? 今天,我们先来看一个特殊的直角三角形,看它的边角具有什么性质.二、合作探究探究点:含30°角的直角三角形的性质【类型一】 利用含30°角的直角三角形的性质求线段长如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠B =30°,CD 是斜边AB 上的高,AD =3cm ,则AB 的长度是( )A .3cmB .6cmC .9cmD .12cm解析:在Rt △ABC 中,∵CD 是斜边AB 上的高,∴∠ADC =90°,∴∠ACD =∠B =30°.在Rt △ACD 中,AC =2AD =6cm ,在Rt △ABC 中,AB =2AC =12cm.∴AB 的长度是12cm.故选D.方法总结:运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时,要分清线段所在的直角三角形.【类型二】 与角平分线或垂直平分线性质的综合运用如图,∠AOP =∠BOP =15°,PC ∥OA 交OB 于C ,PD ⊥OA 于D ,若PC =3,则PD等于( )A .3B .2C .1.5D .1解析:如图,过点P 作PE ⊥OB 于E ,∵PC ∥OA ,∴∠AOP =∠CPO ,∴∠PCE =∠BOP +∠CPO =∠BOP +∠AOP =∠AOB =30°.又∵PC =3,∴PE =12PC =12×3=1.5.∵∠AOP =∠BOP ,PD ⊥OA ,∴PD =PE =1.5.故选C.方法总结:含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时,关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形.【类型三】 利用含30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系如图,在△ABC 中,∠C =90°,AD 是∠BAC 的平分线,过点D 作DE ⊥AB .DE 恰好是∠ADB 的平分线.CD 与DB 有怎样的数量关系?请说明理由.解析:由条件先证△AED ≌△BED ,得出∠BAD =∠CAD =∠B ,求得∠B =30°,即可得到CD =12DB .解:CD =12DB .理由如下:∵DE ⊥AB ,∴∠AED =∠BED =90°.∵DE 是∠ADB 的平分线,∴∠ADE =∠BDE .又∵DE =DE ,∴△AED ≌△BED (ASA),∴AD =BD ,∠DAE =∠B .∵∠BAD =∠CAD =12∠BAC ,∴∠BAD =∠CAD =∠B .∵∠BAD +∠CAD +∠B =90°,∴∠B =∠BAD =∠CAD=30°.在Rt △ACD 中,∵∠CAD =30°,∴CD =12AD =12BD ,即CD =12DB .方法总结:含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质.【类型四】 利用含30°角的直角三角形解决实际问题某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已知AC =50m ,AB =40m ,∠BAC =150°,这种草皮每平方米的售价是a 元,求购买这种草皮至少需要多少元?解析:作BD ⊥CA 交CA 的延长线于点D .在Rt △ABD 中,利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD ,即△ABC 的高.运用三角形面积公式计算面积求解.解:如图所示,作BD ⊥CA 于D 点.∵∠BAC =150°,∴∠DAB =30°.∵AB =40m ,∴BD =12AB =20m ,∴S △ABC =12×50×20=500(m 2).已知这种草皮每平方米a 元,所以一共需要500a 元.方法总结:解此题的关键在于作出CA 边上的高,根据相关的性质推出高BD 的长度,正确的计算出△ABC 的面积.三、板书设计含30°角的直角三角形的性质性质:在直角三角形中,如果一个锐角是30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.本节课借助于教学活动的开展,有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣,从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识,促进了学生思维能力的提高.不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高.六、词语点将(据意写词)。

角平分线的市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案

角平分线的市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案

角平分线的教案一、教学目标:1. 理解什么是角平分线,能够准确地描述角平分线的概念。

2. 能够使用直尺和量角器作图画出角平分线。

3. 了解角平分线的性质和应用。

二、教学内容:1. 角平分线的定义和性质。

2. 如何使用直尺和量角器作图画出角平分线。

3. 角平分线的应用。

三、教学过程:导入:教师出示一个角ABC,引导学生思考角的特点和角的平分线的概念。

引入:教师通过示意图和具体例子,向学生介绍角平分线的定义和性质。

角平分线是指从一个角的顶点出发,将角平分为两等分的线段。

性质包括:角平分线上的点到角的两边的距离相等,角平分线的两边上的线段互相垂直,角平分线将角分为两个相等的角。

示范:教师使用直尺和量角器,示范如何作图来画出一个角的角平分线。

首先用直尺连接角的两边,在角的外部取一点并以这个点为中心画一个圆。

然后再使用量角器来测量这个角的一半,将测量结果与圆交点相连,即得到角的平分线。

实践:让学生进行实践操作,在纸上画出若干个角,然后利用直尺和量角器画出这些角的平分线。

鼓励学生在操作中互相交流,共同解决问题。

总结:教师带领学生一起总结角平分线的概念、性质和作图方法,并强调掌握这些内容的重要性。

拓展:教师给出一些具体问题,让学生思考使用角平分线解决问题的方法。

例如,如何证明两个角相等,如何证明一个点在角的平分线上等等。

四、教学评价:教师布置练习题,让学生运用所学知识解答。

评价学生的理解和掌握程度,同时也可以发现学生的问题,及时进行针对性的辅导。

五、教学反思:通过本次教学,学生能够了解什么是角平分线,掌握画角平分线的方法,并熟悉角平分线的性质和应用。

在教学过程中,教师可以引导学生进行思考和讨论,激发他们的学习兴趣,提高他们的学习主动性。

同时,教师也要注意评价和反馈,及时纠正学生的错误,帮助他们进行巩固和提高。

人教版八年级上册12.3《角的平分线的性质》优秀教学案例

人教版八年级上册12.3《角的平分线的性质》优秀教学案例
人教版八年级上册12.3《角的平分线的性质》优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为人教版八年级上册12.3《角的平分线的性质》。在之前的学习中,学生已经掌握了角的概念、分类以及角的计算方法,了解了直线、射线、线段的基本性质。在此基础上,学习角的平分线的性质,既是对已有知识的巩固,也是为后续学习几何图形的对称性、角的平分线定理等知识打下基础。
4.结合学生的评价和反思,教师总结本节课的教学效果,对后续教学进行调整和改进,以提高教学质量和学生的学习效果。
四、教学内容与过程
(一)导入新课
1.利用生活实例引入角的平分线概念。例如,展示一张图片,图片中有一辆汽车在转弯处,转弯处的角被一条线段平分,使学生感受到角的平分线在现实生活中的应用。
2.引导学生回顾已学过的角的概念、分类以及角的计算方法,为新课的学习打下基础。
2.采用小组讨论、合作交流的方式,让学生在探讨中思考,培养团队合作能力和自主学习能力。
3.利用几何画图工具,让学生动手实践,加深对角的平分线性质的理解和运用。
4.设计不同难度的题目,针对不同程度的学生进行针对性训练,提高学生的解题能力。
(三)情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣,激发学生探索数学奥秘的热情。
3.教师提出问题:“你们认为角的平分线有什么特殊性质?”,让学生思考并发表自己的观点。
(二)讲授新知
1.介绍角的平分线的定义:角的平分线是将一个角平分成两个相等角的线段。
2.讲解角的平分线的性质,如:角的平分线上的任意一点,到角的两边的距离相等;角的平分线与角的两边垂直等。
3.结合几何画图工具,如直尺、圆规等,演示角的平分线的画法,让学生直观地理解角的平分线的性质。
4.通过示例题,讲解如何运用角的平分线性质解决实际问题,如在几何图形中,如何找到一点,使这点到图形两边的距离相等。

角平分线的性质的市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案

角平分线的性质的市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案

角平分线的性质的教案一、教学目标:1. 知识与技能:了解角平分线的定义和性质,学会运用角平分线的性质解题。

2. 过程与方法:通过教师讲解和实例演示相结合的方式,提高学生的理解和运用能力。

3. 情感态度价值观:培养学生严谨的数学思维,注重观察与推理,提高学生的自学、合作学习和解决问题的能力。

二、教学重点与难点:1. 重点:掌握角平分线的定义和性质。

2. 难点:运用角平分线的性质解决实际问题。

三、教学过程:Step 1 引入新知(1)教师通过提问,引导学生回顾角的定义和性质,复习相关知识。

(2)教师出示一张图纸,上面有两条射线,从一个点出发,交于一点,并各自形成两个角。

教师问学生:如何判断这两个角是否相等?请从几何性质的角度进行推理。

Step 2 角平分线的定义(1)教师解释角平分线的含义:角平分线是指从角的顶点出发,把角分成两个相等的角的射线或线段。

(2)教师出示角平分线的实例图,并要求学生观察并总结出角平分线的特点。

Step 3 角平分线的性质(1)教师提供一些角平分线的性质,如:a. 角平分线把一个角分成两个相等的角。

b. 一个角的两个相等角的角平分线相交于同一点,且这个点在角的内部。

(2)教师通过具体例子进行演示,让学生观察并找出角平分线的性质,引导学生进行类比和推理。

Step 4 角平分线的运用(1)教师提供一些具体问题,要求学生利用角平分线的性质解决问题。

a. 已知一个角的两个角平分线相交于点O,求证这两个角相等。

b. 在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,且∠ADB = 30°,求证∠ACB = 60°。

(2)学生独立思考并进行解答,然后进行讨论,通过合作学习的方式互相交流和纠正错误。

Step 5 拓展练习(1)教师布置一些拓展练习题,要求学生独立完成。

(2)教师进行答疑解惑,引导学生进行错误分析和订正,提高学生的解题能力和思维能力。

四、教学反思:本节课通过引导学生观察、思考和推理,使学生在实际操作中领会到角平分线的定义和性质,并能灵活运用角平分线的性质解决实际问题。

人教版数学八年级上册12.3角的平分线的性质(第一课时)优秀教学案例

人教版数学八年级上册12.3角的平分线的性质(第一课时)优秀教学案例
(三)小组合作
1.将学生分成小组,鼓励他们相互合作、共同探究角的平分线的性质。
2.设计小组活动,让学生通过实际操作、讨论交流等方式,共同完成任务,培养学生的团队合作能力和沟通能力。
3.引导学生互相评价、互相学习,培养学生的自我反思能力和批判性思维能力。
(四)反思与评价
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思,总结学习经验和方法,提高学生的自我学习能力。
3.小组合作的教学方式:将学生分成小组,鼓励他们相互合作、共同探究角的平分线的性质。设计小组活动,让学生通过实际操作、讨论交流等方式,共同完成任务,培养学生的团队合作能力和沟通能力。这种小组合作的教学方式使学生在互动中学习,提高了学生的合作能力和团队精神。
4.反思与评价的环节:教师引导学生对自己的学习过程进行反思,总结学习经验和方法,提高学生的自我学习能力。同时,教师通过观察、提问、点评等方式,对学生的学习情况进行评价,给予肯定和指导,促进学生的成长和发展。这种反思与评价的环节使学生能够及时发现自己的不足,调整学习策略,提高学习效果。
4.学生能够在团队协作中,学会尊重他人,培养合作精神和团队意识。
5.学生能够认识到学习是一种责任,培养良好的学习习惯和态度。
三、教学策略
(一)情景创设
1.生活情境:通过展示实际生活中的图片或场景,让学生观察并发现其中的角的平分线现象,引发学生对角的平分线的兴趣和好奇心。
2.问题情境:提出与角的平分线相关的问题,激发学生的思考和探究欲望,引导学生主动参与学习活动。
本节课的教学目标如下:
1.让学生通过观察、操作和推理,掌握角的平分线的性质,并能运用其解决实际问题。
2.培养学生的观察能力、操作能力和推理能力,提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。

角平分线的性质教案

角平分线的性质教案

角平分线的性质教案一、教学目标1. 知识与技能:(1)理解角平分线的定义;(2)掌握角平分线的性质及其推论;(3)学会运用角平分线解决几何问题。

2. 过程与方法:(1)通过观察、分析、推理等过程,探索角平分线的性质;(2)运用角平分线性质解决实际问题,提高解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观:(1)培养学生的观察能力、思考能力和创新能力;(2)激发学生对几何学的兴趣,培养学生的学习积极性。

二、教学内容1. 角平分线的定义:从角的顶点引出一条射线,使得这条射线把角分成两个相等的角,这条射线称为这个角的平分线。

2. 角平分线的性质:(1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等;(2)角的平分线与角的两边构成等腰三角形;(3)角的平分线垂直平分角的两边。

三、教学重点与难点1. 教学重点:(1)角平分线的定义;(2)角平分线的性质及其推论。

2. 教学难点:(1)角平分线性质的证明;(2)运用角平分线解决实际问题。

四、教学准备1. 教具:(1)三角板;(2)直尺;(3)圆规。

2. 学具:(1)三角板;(2)直尺;(3)圆规;(4)练习本。

五、教学过程1. 导入:(1)复习相关知识:角的定义、射线的性质;(2)提出问题:如何找到一个角的平分线?2. 新课讲解:(1)介绍角平分线的定义;(2)引导学生观察、分析角平分线的性质;(3)证明角平分线的性质。

3. 课堂练习:(1)让学生运用角平分线的性质解决问题;(2)引导学生发现角平分线与等腰三角形的关系。

4. 拓展与应用:(1)引导学生思考:角平分线在实际生活中的应用;(2)举例说明角平分线在几何中的应用。

(1)回顾本节课所学内容;(2)强调角平分线的性质及其重要性。

6. 作业布置:(1)运用角平分线性质解决几何问题;(2)绘制角的平分线示意图。

六、教学评价1. 评价目标:(1)了解学生对角平分线定义和性质的理解程度;(2)评估学生运用角平分线解决几何问题的能力;(3)考察学生的观察能力、思考能力和创新能力。

人教初中数学八上《角的平分线的性质》教案 (公开课获奖)

人教初中数学八上《角的平分线的性质》教案 (公开课获奖)

角的平分线的性质(一)教学目标1、应用三角形全等的知识,解释角平分线的原理.2.会用尺规作一个已知角的平分线.教学重点利用尺规作已知角的平分线.教学难点角的平分线的作图方法的提炼.教学过程Ⅰ.提出问题,创设情境问题1:三角形中有哪些重要线段.问题2:你能作出这些线段吗?Ⅱ.导入新课在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题:在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON,MC⊥OA,NC⊥OB.MC 与NC交于C点.求证:∠MOC=∠NOC.通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC,即可证明∠MOC=∠NOC,所以射线OC就是∠AOB的平分线.受这个题的启示,我们能不能这样做:在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON,再分别过M、N作MC⊥OA,NC⊥OB,MC•与NC交于C点,连接OC,那么OC就是∠AOB的平分线了.思考:这个方案可行吗?(学生思考、讨论后,统一思想,认为可行)议一议:右图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?要说明AC是∠DAC的平分线,其实就是证明∠CAD=∠CAB.∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中,那么证明这两个三角形全等就可以了.看看条件够不够.AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△ABC≌△ADC(SSS ). 所以∠CAD=∠CAB.即射线AC 就是∠DAB 的平分线. 作已知角的平分线的方法: 已知:∠AOB.求作:∠A OB 的平分线. 作法:(1)以O 为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA 、OB 于M 、N . (2)分别以M 、N为圆心,大于12MN 的长为半径作弧.两弧在∠AOB 内部交于点C . (3)作射线OC ,射线OC 即为所求.议一议:1.在上面作法的第二步中,去掉“大于12MN 的长”这个条件行吗? 2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗? 总结:1.去掉“大于12MN 的长”这个条件,所作的两弧可能没有交点,所以就找不到角的平分线. 2.若分别以M 、N 为圆心,大于12MN 的长为半径画两弧,两弧的交点可能在∠AOB 的内部,也可能在∠AOB 的外部,而我们要找的是∠AOB 内部的交点,•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB 的平分线了.3.角的平分线是一条射线.它不是线段,也不是直线,•所以第二步中的两个限制缺一不可.4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.练一练:任意画一角∠AOB,作它的平分线.探索活动按以下步骤折纸1.在准备好的三角形的每个顶点上标好字母;A、B、C。

人教版初中公开课一等奖教案《角平分线的性质》

人教版初中公开课一等奖教案《角平分线的性质》

人教版初中公开课一等奖教案《角平分线的性质》(一)创设情境导入新课不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。

你有什么办法?如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角,又该怎么办呢?设计目的:能聚拢学生的思维为新课的开展创造了良好的教学氛围。

(二)合作交流探究新知(活动一)探究角平分仪的原理。

具体过程如下:播放奥巴马访问我国的录像资料------引出雨伞-----观察它的截面图,使学生认清其中的边角关系-----引出角平分线;并且运用几何画板对伞的开合进行动态演示,让学生直观感受伞面形成的角与主杆的关系-----让学生设计制作角平分仪;并利用以前所学的知识寻找理论上的依据,说明这个仪器的制作原理。

设计目的:用生活中的实例感知。

以最近大事作引入点,以最常见的事物为载体,让学生感受到生活中处处都有数学,认识到数学的价值。

其中设计制作角平分仪,可培养学生的创造力和成就感以及学习数学的兴趣。

使学生很轻松的完成活动二。

(活动二)通过上述探究,能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法.自己动手做做看.然后与同伴交流操作心得.分小组完成这项活动,教师可参与到学生活动中,及时发现问题,给予启发和指导,使讲评更具有针对性。

讨论结果展示:教师根据学生的叙述,利用多媒体课件演示作已知角的平分线的方法:已知:∠AO B.求作:∠AOB的平分线.作法:(1)以O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA、OB于M、N.(2)分别以M、N为圆心,大于1/2MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交叉点C.(3)作射线OC,射线OC即为所求.设计目的:使学生能更直观地理解画法,提高学习数学的兴趣。

议一议:1.在上面作法的第二步中,去掉“大于MN的长”这个条件行吗?2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗?设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解,培养数学严密性的良好学习习惯。

学生讨论结果总结:1.去掉“大于MN的长”这个条件,所作的两弧可能没有交点,所以就找不到角的平分线.2.若分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画两弧,两弧的交点可能在∠AOB•的内部,也可能在∠AOB的外部,而我们要找的是∠AOB内部的交点,•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了.3.角的平分线是一条射线.它不是线段,也不是直线,•所以第二步中的两个限制缺一不可.4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.(活动三)探究角平分线的性质思考:已知一角及其角平分线添加辅助线构成全等三角形;构成全等的直角三角形。

角的平分线的性质教案

角的平分线的性质教案

角的平分线的性质教案一、教学目标:知识与技能:1. 让学生理解角的平分线的定义。

2. 掌握角的平分线的性质。

3. 学会运用角的平分线解决实际问题。

过程与方法:1. 通过观察、思考、交流,引导学生发现角的平分线的性质。

2. 培养学生运用几何画图工具进行推理和论证的能力。

情感态度价值观:1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心。

2. 培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。

二、教学重点与难点:重点:1. 角的平分线的定义。

2. 角的平分线的性质。

难点:1. 理解并证明角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

三、教学准备:教师准备:1. 教学PPT或黑板。

2. 几何画图工具。

3. 练习题。

学生准备:1. 课堂笔记本。

2. 几何画图工具。

四、教学过程:1. 导入:1.1 引导学生回顾角的概念。

1.2 提问:能不能找到一种方法,让一个角的大小减半?2. 探究:2.1 让学生尝试画出一个角的平分线。

2.2 学生展示并介绍角的平分线的画法。

2.3 教师提问:角的平分线有什么性质?2.4 学生猜想角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

2.5 教师引导学生通过几何画图工具进行推理和论证。

3. 讲解:3.1 教师讲解角的平分线的性质。

3.2 教师举例说明角的平分线在实际问题中的应用。

4. 练习:4.1 学生独立完成练习题。

4.2 学生展示答案,教师点评。

五、课后作业:1. 完成练习册相关题目。

2. 探索角的平分线在实际问题中的应用。

教学反思:本节课通过引导学生探究角的平分线的性质,培养了学生的观察能力、思考能力和动手能力。

在教学过程中,要注意关注学生的学习情况,及时解答学生的疑问,提高学生的学习效果。

通过练习题的设置,让学生巩固所学知识,提高解决问题的能力。

六、教学拓展:1. 引导学生思考:角的平分线与角的大小有什么关系?2. 学生通过画图和推理,发现角的平分线把角分成两个相等的小角。

3. 教师讲解角的平分线的另一个性质:角的平分线与角的对边垂直。

角平分线性质市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案

角平分线性质市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案

角平分线性质教案一、教学目标1. 知识与技能:- 理解什么是角平分线及其性质;- 掌握角平分线的性质及其应用。

2. 过程与方法:- 通过示例,引导学生发现并理解角平分线的性质;- 教师讲解和学生独立思考相结合,培养学生分析问题的能力;- 通过练习题,巩固对角平分线性质的理解和应用。

3. 情感态度与价值观:- 培养学生善于观察和思考的习惯;- 培养学生对几何问题的兴趣,提高学生的几何思维能力;- 培养学生合作学习的能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点:- 角平分线的定义及其性质;- 使用角平分线解决实际问题。

2. 教学难点:- 掌握角平分线的性质及其推理过程;- 理解并灵活运用角平分线的性质解决实际问题。

三、教学过程1. 导入(5分钟)- 教师出示一张图纸,图纸中画有一个三角形ABC,并标出角A、角B和角C。

- 请学生观察图纸,思考如何将角A平分。

2. 观察与总结(10分钟)- 学生应用直尺或者量角器研究平分角A的方法,并就此和同学们讨论交流。

- 教师引导学生将总结写在黑板上。

3. 角平分线的定义与性质(15分钟)- 教师向学生介绍角平分线定义:在一个角的内部,从顶点引一条射线,使得这条射线把该角分成两个相等的角,这条射线就是角的平分线。

- 教师讲解角平分线的性质,并与学生一起探讨证明过程。

4. 角平分线练习(15分钟)- 教师将一些角的平分线问题写在黑板上,要求学生独立思考并解答。

- 学生完成后,教师与学生分享思路和解答过程。

5. 角平分线的应用(10分钟)- 教师给出一些实际问题,并引导学生运用角平分线的性质进行解答。

- 学生独立思考和解答,然后与同学讨论答案。

6. 总结与拓展(10分钟)- 教师对本节课的内容进行小结,并强调角平分线的定义和性质。

- 学生可以自由提问有关角平分线的问题,并与同学一起探讨。

7. 作业布置(5分钟)- 布置相关练习题,要求学生独立完成,并明天交作业。

四、教学反思本节课采用了多种教学方法,如观察与总结、讨论解题等。

《 角的平分线的性质(第一课时)》精品教案 2022年公开课一等奖

《 角的平分线的性质(第一课时)》精品教案 2022年公开课一等奖

学过程设计教探究二:角的平分线的性质实验:1.让学生在已经画好的角平分线上任取一点P.2.分别过P点向OA、OB边作垂线PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E。

3.测量PD和PE的长,观察PD与PE的数量关系。

,并试着说明理由。

归纳角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

应用:如图,ABC中,D为BC中点,且AD恰好平分∠BAC。

求证:AB=AC三、课堂训练1.如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,BE、CD相交于点O,假设∠1=∠2,求证OB=OC.2.如图,四边形ABCD中,BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°,求证:AD=CD四、小结归纳1.用尺规作图法作出角的角平分线的方法;2.角的平分线的性质;3.角的平分线的性质是证明线段相等的又一种方法。

学生做练习。

学生画图,教师巡视指导。

观察、讨论PD与PE的数量系。

学生通过三角形全等,说明PD=PE。

教师引导学生归纳出角的平分线的性质。

教师引导,学生思考并解题,写出证明过程。

学生充分讨论,综合运用所学知识解决问题。

学生小结本节所学的知识点及知识点的应用。

线的方法。

通过学生实验得到结论,重视知识的发生开展过程。

使学生明确角的平分线的性质是证明线段相等的又一种方法。

稳固本节课所学知识及提升综合应用所学知识解决问题的能力。

从总体上把握学知识。

五、作业设计1.教材习题11.3第2、4小题;2.补充作业:①如图,AB ∥CD ,∠BAC 与∠ACD 的平分线交于点O ,OE ⊥AC 于E ,且OE =2,求AB 、CD 间的距离.②如图,在△ABC 中∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠CAB 交BC 于点D ,DE ⊥AB ,垂足为E ,且AB=6㎝,那么△DEB 的周长为_________㎝。

EDBCA②思考题::如图,任意ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线。

求证:BD ∶DC =AB ∶AC〔提示:可参照例题[点拨],利用面积证明〕课题 11.3 角的平分线的性质一、角的平分线的作法: 作角的角平分线 例题分析 二、角的平分线的性质:教 学 反 思年级八年级课题13.1 平方根〔2〕课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.了解有的正数的算术平方根开不尽方;2.了解无限不循环小数特点;3.会用计算器算术求平方根;4.会比较开不尽方的正数的算术平方根与有理数的大小.过程方法通过拼正方形,体验解决问题方法的多样性,开展学生的形象思维和抽象思维;探究2的大小,培养估算意识,了解从两个方向无限逼近的数学思想,并学会比较开不尽方的正数的算术平方根与有理数的大小.情感态度认识数学和生活实际的密切关系,建立自信心,提高学习热情.教学重点初步感受无理数,能进行比较教学难点探究2大小教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、情境引入用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形,并求出这个大正方形的边长.二、探究新知1.拼法:按以下图所示,很容易用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形.2.问题:①拼成的大正方形的边长是多少?②你能像上节课那样得到一个平方等于2的正有理数吗?③我们只能把边长表示为2,那么2是多大呢?2的大小:∵12=1,22=4,∴1<2<4;∵22=2.25,∴1.4<2<1.5;∵22=2.0164,∴1.41<2<1.42;∵22=2.002225,∴1.414<2<1.415;……教师提出问题,组织学生动手拼剪.教师参与学生活动,适当帮助指导学生完成拼图活动,并及时肯定学生各种割、拼的方法.教师设计并向学生提出问题,组织学生思考,交流,并引导学生尝试总结归纳,估算出2的大小,理解无限不循环小数的特点.调动学生思维的积极性,通过拼图活动,经历发现无理数的过程.通过形的研究来感受无理数的存在.从而对数的认识进一步加深,为实现从有理数到实数的过渡作好铺垫.教师设计问题,逐层深入,对学生进行启发引导,通过对2的大小估计,再次从数的角度来感受无理数的存在性.培养学生的估算能力,渗透估算的思想和方法,感受从两端无限逼近的数学思想.如此进行下去,可以得到2的更精确地近似值.事实上,2=1.414 213 56…,同π一样,是一个无限不循环小数,这样的数与以前学的有理数一样吗?得到:小数位数无限且小数局部不循环的小数叫无限不循环小数.像7,5,3,2这样,所有开方开不尽的正数的算术平方根都是无限不循环小数. 4.用计算器计算算术平方根的三个步骤:①进入();②输入(被开方数);③输出()用计算器计算,并将计算结果填在表中. 0625.0 625.025.6 5.62 625 6250 观察上表,你发现什么了吗?(1)被开方数增大,算术平方根怎样变化? (2)被开方数与算术平方根的小数点有何移动规律?(3)直接写出:_____625000;_____62500==. 得到:被开方数增大(或减小),那么算术平方根也增大(或减小);被开方数的小数点向左〔右〕移动两位,它的算术平方根的小数点也相应的向左〔右〕移动一位.用一块面积为400cm 2的正方形纸片沿边的方向,能否裁出一块面积为300cm 2的长方形纸片, 使它的长宽之比为3:2?分析:大正方形的面积为400 cm 2, 可求出其边长为400=20cm ;要裁出面积为300cm 2的长方形纸片,并使其长宽之比为3:2,通过列方程可求得长和宽须分别为cm cm 502,503,用计算器求得1.750≈,所以3.21503≈,而21.3>20,即要裁出的长方形的长大于正方形的边长,故不能裁出.如果不使用计算器,因为21493503=>>20,所以不能裁出.不用计算器,估计一个整数的算术平方根的技巧:将这个整数a 拆成两个整数m 、n 的积,那么a 的算术平方根必在m 、n 之间,m 、n 越接近,估值越精确.如,24的算术平方根在4、6之间;56的算术平方根在7、8之间,这种方法虽然简便,但对有的数只能估计一个粗略范围,如50的算术平方根只能估计在5、10之间。

人教版八年级数学上册12.2角的平分线的性质优秀教学案例

人教版八年级数学上册12.2角的平分线的性质优秀教学案例
5.作业小结:教师设计的作业题目既能够巩固所学知识,又能够培养学生的思维能力和表达能力。此外,教师还能够及时批改学生的作业,并对学生的作业进行评价,指出学生的优点和不足。这种教学策略能够有效提高学生的学习效果。
1.理解角的平分线的性质,并能运用性质解决问题。
2.培养学生独立思考、合作交流的能力,提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.激发学生对数学的兴趣,培养学生的创新意识和审美情趣。
教学重点为角的平分线的性质及其应用。教学难点为引导学生发现角的平分线与角的关系,并进行推理证明。在教学过程中,教师应注重运用直观教具、多媒体课件等辅助教学,以提高学生的学习兴趣和效果。
二、教学目标
(一)知识与技能
1.学生能够理解角的平分线的定义,掌握角的平分线的性质,并能运用性质解决一些简单问题。
2.学生能够通过观察、实验、推理等方法,发现角的平分线与角的关系,并能进行简单的证明。
3.学生能够运用角的平分线的性质,解决一些实际问题,提高运用知识解决实际问题的能力。
(二)过程与方法
(三)学生小组讨论
1.教师可以将学生分成若干小组,让学生合作探究角的平分线的性质。
2.教师可以设计一些小组讨论题目,如“角的平分线与角的大小有什么关系?”让学生在讨论中思考、探究角的平分线的性质。
3.教师可以引导学生进行实验操作,如使用直尺、三角板等工具,让学生亲自动手操作,观察角的平分线的性质,增强学生的实践能力。
(四)总结归纳
1.教师可以引导学生对所学知识进行总结,让学生明白角的平分线的性质及其应用。
2.教师可以设计一些总结性的问题,如“角的平分线有哪些性质?如何运用角的平分线性质解决实际问题?”引导学生进行思考,巩固所学知识。
3.教师要对学生的总结进行评价,鼓励学生表达自己的观点,提高学生的归纳总结能力。

《角平分线的性质 教案 》教案 (公开课获奖)

《角平分线的性质 教案 》教案 (公开课获奖)

角的平分线课题角的平分线课型新授课任课教师学习目标1.由角的对称性,掌握角平分线的性质;能用尺规作图,做出角的平分线;运用角平分线的性质解决实际问题。

重点角平分线的性质难点运用角平分线的性质解决实际问题教法自主学习、交流、讨论教具课件、展台教学过程设计程序时间教师活动学生活动激情导入5分钟线段的垂直平分线(中垂线):垂直并且一条的直线,称为这条的垂直平分线,线段垂直平分线上的到这条线段两个的距离。

请回顾用尺规作图法作出一条线段的垂直平分线的作法,并作出一条线段AB的垂直平分线。

【创设情境】如右图所示,在一次军事演习中,红方侦查员发现蓝方指挥部在A区内,并且该指挥部到公路(实线)、铁路(虚线)的距离相等,距公路和铁路的交叉处B点700m,如果你是红方的指挥员,请你在右所示的作战地图上标出蓝方指挥部的位置。

(比例尺为1:40000)1.学生认真听,思考问题。

2.学生回答问题,谈自己的启发。

自主环节10分钟师让生自学教材P51-52页的内容,并尝试动手解决下列问题:在纸上画∠BAC ,把它剪下来并对折,使角的两边重合,然后把纸铺平,独立解决以下问题:角是轴对称图形吗?如果是,对称轴是什么?___________________________1.学生认真阅读课本,拿出笔画出重点内容。

尝试用尺规作图的方法作出∠BAC的平分线AD。

在AD上任取一点P,作出点P到∠BAC 两边的垂线段PM与PN,垂足分别为点M和点N,如果把∠BAC沿AD折叠,线段PM与PN重合吗?由此,你能得出什么结论?___________________________________________________________4、在AD上另取另一点Q,重复上述操作,你还能得出同样的结论吗?___________________________________________________________任意作一个锐角三角形,用直尺和圆规作出它的三条角平分线,你有什么发现?___________________________________________________________任意作一个直角三角形,用直尺和圆规作出它的三条角平分线,你有什么发现___________________________________________________________任意作一个钝角三角形,用直尺和圆规作出它的三条角平分线,你有什么发现?猜想结论:___________________________________________________________ 2.不明白的地方可询问老师。

角平分线的性质优质课教案

角平分线的性质优质课教案

角平分线的性质【课时安排】3课时【第一课时】【教学目标】一、知识与技能能够利用三角形全等,证明角平分线的性质,能对角平分线的性质进行简单推理,解决一些实际问题。

二、过程与方法经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力。

【教学重难点】1.重点:角平分线的性质。

2.难点:对角平分线的性质进行简单推理,解决一些实际问题。

【教学过程】一、创设情境,引入新课(一)引导学生回顾上节课的主要内容。

(二)三角形中有哪些重要线段?你能作出这些线段吗?(三)多媒体展示如下问题,请学生思考。

如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线。

你能说明它的道理吗?(四)学生互相讨论,教师巡视班级,观察监督学生的活动情况,也可参与到学生的讨论中去。

(五)师生共同分析讨论,探究问题的解答。

分析:要说明AC是∠DAC的平分线,其实就是证明∠CAD=∠CAB,∠CAD和∠CAB 分别在△CAD和△CAB中,那么证明这两个三角形全等就可以了。

看看条件够不够。

所以△ABC ≌△ADC (SSS )。

所以∠CAD=∠CAB .即射线AC 就是∠DAB 的平分线。

二、探究角平分线的作法和性质(一)教师总结指出:由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法。

作已知角的平分线的方法:已知:∠AOB求作:∠AOB 的平分线(二)作法1.以O 为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA 、OB 于M 、N 。

2.分别以M 、N 为圆心,大于MN 的长为半径作弧。

两弧在∠AOB 内部交于点C 。

3.作射线OC ,射线OC 即为所求。

(三)议一议1.在上面作法的第二步中,去掉“大于MN 的长”这个条件行吗?2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗?3.去掉“大于MN 的长”这个条件,所作的两弧可能没有交点,所以就找不到角的平分线。

4.若分别以M 、N 为圆心,大于MN 的长为半径画两弧,两弧的交点可能在∠AOB 的内部,也可能在∠AOB 的外部,而我们要找的是∠AOB 内部的交点,否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB 的平分线了。

角平分线的性质教案

角平分线的性质教案

角平分线的性质教案一、教学目标1. 知识与技能:(1)理解角平分线的定义;(2)掌握角平分线的性质定理;(3)学会运用角平分线解决实际问题。

2. 过程与方法:(1)通过观察、思考、交流,探索角平分线的性质;(2)运用角的平分线性质定理,提高解题能力。

3. 情感态度价值观:培养学生对数学的兴趣,激发学生学习数学的积极性。

二、教学重点与难点1. 教学重点:(1)角平分线的定义;(2)角平分线的性质定理。

2. 教学难点:(1)角平分线性质定理的证明;(2)运用角平分线解决实际问题。

三、教学过程1. 导入:回顾上节课所学的角的概念,引出角平分线的定义。

2. 新课讲解:(1)介绍角平分线的定义;(2)讲解角平分线的性质定理;(3)运用角平分线性质定理解决实际问题。

3. 课堂练习:(1)判断题:判断角平分线是否平分角;(2)填空题:填空完成角平分线性质定理的证明;(3)应用题:运用角平分线解决实际问题。

四、课后作业1. 复习角平分线的定义和性质定理;2. 完成课后练习题,巩固所学知识;3. 预习下一节课内容。

五、教学反思本节课通过讲解角平分线的定义和性质定理,使学生掌握了角平分线的基本性质。

在教学过程中,注意引导学生观察、思考、交流,培养学生的逻辑思维能力和解题能力。

通过课后作业的布置,帮助学生巩固所学知识,为后续课程的学习打下基础。

六、教学拓展1. 对比分析:(1)角平分线与线段中垂线的联系与区别;(2)角平分线与高的联系与区别。

2. 探索问题:(1)角的平分线是否一定是直线?(2)角的平分线在几何中的应用。

七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容,总结角平分线的定义、性质定理及应用;2. 强调角平分线在几何中的重要性。

八、测试与评价1. 课堂测试:(1)判断题:判断角平分线与线段中垂线的联系与区别;(2)选择题:选择正确的角平分线性质定理;(3)应用题:运用角平分线解决实际问题。

2. 评价:(1)学生自我评价:总结自己在课堂学习中的收获;(2)同伴评价:评价他人的解题方法和思路;(3)教师评价:对学生的学习情况进行总结和评价。

《角平分线的性质》教案 (公开课)2022年湘教版数学

《角平分线的性质》教案 (公开课)2022年湘教版数学

1.4角平分线的性质1.理解并掌握角平分线的性质及判定;(重点)2.能够对角平分线的性质及判定进行简单应用.(难点)一、情境导入在S区有一个集贸市场P,它建在公路与铁路所成角的平分线上,要从P点建两条路,一条到公路,一条到铁路.问题1:怎样修建道路最短?问题2:往哪条路走更近呢?二、合作探究探究点一:角平分线上的点到角两边的距离相等【类型一】利用角平分线的性质求线段长如图,在△ABC中,∠C=90°,AC =BC,∠BAC的平分线AD交BC于D,DE ⊥AB于E,假设AB=7cm,那么△DBE的周长是____________.解析:在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,∠BAC的平分线AD交BC于D,DE ⊥AB于E,根据角平分线的性质,可得CD =ED,AC=AE=BC,继而可得△DBE的周长为DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC +BE=AE+BE=AB.故答案为7cm.方法总结:此题考查了角平分线的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想与转化思想的应用.【类型二】利用角平分线的性质求面积如图,BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E,DF⊥BC且交BC的延长线于点F.假设AB=18cm,BC=12cm,DE cm,求△ABC 的面积.解析:根据角平分线的性质得到DE=DF,再将△ABC分成△BCD和△ADB两个三角形,分别求出它们的面积再求和.解:∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF ⊥BF,∴DE=DF.∵S△ABC=S△BCD+S△ABD=12BC·DF+12AB·DE=12(BC+AB)·DE=12×30×=36(cm2).方法总结:如果求三角形面积出现困难可将此三角形分成几个三角形再利用一些性质,如角平分线的性质或等腰三角形的性质,求这几个三角形面积的和.【类型三】利用角平分线的性质进行证明如图,∠1=∠2,P为BN上一点且PD⊥BC于D,AB+BC=2BD,求证:∠BAP +∠BCP=180°.解析:过点P作PE⊥BA,根据条件得Rt△BPE≌Rt BPD,再根据AB+BC=2BD 得AE=CD,可证Rt△APE和Rt PDC,可得∠PCD=∠P AE,根据邻补角互补可得∠BAP+∠BCP=180°.证明:过P作PE⊥AB,交BA的延长线于E.∵PD⊥BC,∠1=∠2,∴PE=PD,在Rt△BPE和Rt△BPD中,⎩⎪⎨⎪⎧PE=PD,BP=BP,∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL),∴BE=BD.∵AB +BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE-AE,∴AE=CD.∵PE⊥BE,PD⊥BC,∴∠PEA =∠PDC=90°.在△PEA和△PDC中,⎩⎪⎨⎪⎧PE =PD ,∠PEB =∠PDC ,AE =CD ,∴△PEA ≌△PDC (SAS),∴∠PCD =∠P AE .∵∠BAP +∠EAP =180°,∴∠BAP +∠BCP =180°.方法总结:题目中有角平分线可过角平分线上的点作角两边的垂线,这是角平分线题目中常见的辅助线.探究点二:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上如以下图,在△ABC 中,PD 垂直平分BC ,PM ⊥AB 于点M ,PN ⊥AC 交AC 的延长线于点N ,且BM =CN .求证:∠1=∠2.解析:先根据中垂线性质得出PB =PC ,再根据HL 证Rt △PBM ≌Rt △PCN ,再根据角平分线性质的逆定理得出结论.证明:连接PB 、PC .∵PD 垂直平分BC ,∴PB =PC .∵PM ⊥AB ,PN ⊥AC ,∴∠PMB =∠PNC =90°.在Rt △PBM 与Rt △PCN 中,∵PB =PC ,BM =CN ,∴Rt △PBM ≌Rt △PCN (HL).∴PM =PN .∴点P 在∠BAC 的平分线上,即∠1=∠2.方法总结:证明一条射线是角的平分线有两种方法:一是利用三角形全等证明;二是利用角平分线性质定理的逆定理证明.显然,方法二比方法一更简捷,在用方法二判定一条射线是一个角的平分线时一般分两步:一是找出或作出射线上的一点到角两边的垂线段;二是证明这两条线段相等.探究点三:角平分线的性质和判定的综合应用如以下图,在△ABC 外作等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE ,且使它们的顶角∠DAB =∠EAC ,连接BE 、CD 相交于P 点,AP 的延长线交BC 于F 点,试判断∠BPF 与∠CPF 的关系,并加以说明.解析:首先猜测∠BPF =∠CPF ,即∠DP A =∠EP A ,显然这两个角所在的三角形不一定全等,可考虑用角平分线的判定来求解.解:∠BPF =∠CPF ,理由如下:过A 点作AM ⊥DC 于M ,作AN ⊥BE 于N .∵∠DAB =∠EAC ,∴∠DAB +∠BAC =∠EAC +∠BAC ,∴∠DAC =∠BAE ,在△BAE 和△DAC 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =AD ,∠BAE =∠DAC ,AE =AC ,∴△BAE ≌△DAC (SAS),∴BE =DC ,S △BAE =S △DAC .∵AM ⊥DC ,AN ⊥BE ,∴12BE ·AN =12DC ·AM ,∴AN =AM ,∴P A 平分∠DPE ,∴∠DP A =∠APE .又∵∠DP A =∠CPF ,∠EP A =∠BPF ,∴∠BPF =∠CPF .方法总结:证明两个角相等:①如果在一个三角形里,通常利用等边对等角;②如果在两个三角形里,通常证所在的两个三角形全等或利用角平分线的判定.探究点四:利用角平分线的性质作图 如以下图,一条南北走向的铁路与一条东西走向的公路交叉通过,一工厂在铁路的东面,公路的南面,距交叉路口300m ,并且工厂到铁路与公路的距离相等.请在图上标出工厂的位置,并说明理由(比例尺为1∶20000).解:画出∠AOB的平分线OC,在射线OC上量出表示实际距离300m长度的图上距离线段OP,OP=300×120000=0.015(m)=1.5(cm).因为角平分线上的点到角的两边的距离相等,所以点P即是工厂在图中的位置.方法总结:解决此类问题的关键是把实际问题转化为数学模型,进一步运用数学知识来解决.三、板书设计角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等.角平分线的判定:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.在教学中要注意强调与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题,我们可以直接利用角平分线的性质,而不必再去证明三角形全等,从而可以简化解题过程.4.5一次函数的应用第1课时利用一次函数解决实际问题1.根据问题条件找出能反映出实际问题的函数;(重点)2.能利用一次函数图象解决简单的实际问题,开展学生的应用能力;(重点) 3.建立一次函数模型解决实际问题.(难点)一、情境导入联通公司话费收费有A套餐(月租费15元,通话费每分钟0.1元)和B套餐(月租费0元,通话费每分钟0.15元)两种.设A 套餐每月话费为y1(元),B套餐每月话费为y2(元),月通话时间为x分钟.(1)分别表示出y1与x,y2与x的函数关系式;(2)月通话时间为多长时,A、B两种套餐收费一样?(3)什么情况下A套餐更省钱?二、合作探究探究点:一次函数与实际问题利用图象(表)解决实际问题我国是世界上严重缺水的国家之一.为了增强居民节水意识,某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费:月用水10t以内(包括10t)的用户,每吨收水费a元;月用水超过10t的用户,10t水仍按每吨a元收费,超过10t的局部,按每吨b元(b>a)收费.设某户居民月用水x t,应收水费y元,y与x之间的函数关系如以下图.(1)求a的值,并求出该户居民上月用水8t应收的水费;(2)求b的值,并写出当x>10时,y与x 之间的函数表达式;(3)上月居民甲比居民乙多用4t水,两家共收水费46元,他们上月分别用水多少吨?解析:(1)用水量不超过10t时,设其函数表达式为y=ax,由上图可知图象经过点(10,15),从而求得a的值;再将x=8代入即可求得应收的水费;(2)可知图象过点(10,15)和(20,35),利用待定系数法可求得b的值和函数表达式;(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10t多还是比10t少,然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量.解:(1)当0≤x≤10时,图象过原点,所以设y=ax.把(10,15)代入,解得ayx(0≤x≤10).当x=8时,y×8=12,即该户居民的水费为12元;(2)当x>10时,设y=bx+m(b≠0).把(10,15)和(20,35)代入,得⎩⎪⎨⎪⎧10b +m =15,20b +m =35,解得⎩⎪⎨⎪⎧b =2,m =-5,即超过10t 的局部按每吨2元收费,此时函数表达式为y =2x -5(x >10); (3)因为10×1.5+10×1.5+4×2=38<46,所以居民乙用水比10t 多.设居民乙上月用水x t ,那么居民甲上月用水(x +4)t.y 甲=2(x +4)-5,y 乙=2x ,得[2(x +4)-5]+(2x -5)=46,解得x t ,居民乙用水12t.方法总结:此题的关键是读懂图象,从图象中获取有用信息,列出二元一次方程组得出函数关系式,根据关系式再得出相关结论.广安某水果店方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克,这两种水果的进价、售价如表所示:(1)假设该水果店预计进货款为1000元,那么这两种水果各购进多少千克?(2)假设该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍,应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多?此时利润为多少元?解析:(1)根据方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克,进而利用该水果店预计进货款为1000元,得出等式求出即可;(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润,再利用一次函数增减性得出最大值即可.解:(1)设购进甲种水果x 千克,那么购进乙种水果(140-x )千克,根据题意可得5x +9(140-x )=1000,解得x =65,∴140-x =75(千克).答:购进甲种水果65千克,乙种水果75千克;(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元,乙种水果每千克利润为4元.设总利润为W ,由题意可得W =3x +4(140-x )=-x +560,故W 随x 的增大而减小,那么x 越小,W 越大.∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍,∴140-x ≤3x ,解得x ≥35,∴当x =35时,W 最大=-35+560=525(元),故140-35=105(千克).答:当购进甲种水果35千克,购进乙种水果105千克时,此时利润最大为525元.方法总结:利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键.如图①,底面积为30cm 2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体〞,现向容器内匀速注水,注满为止,在注水过程中,水面高度h (cm)与注水时间t (s)之间的关系如图②所示.请根据图中提供的信息,解答以下问题:(1)圆柱形容器的高为多少?匀速注水的水流速度(单位:cm 3/s)为多少?(2)假设“几何体〞的下方圆柱的底面积为15cm 2,求“几何体〞上方圆柱的高和底面积.解析:(1)根据图象,分三个局部:注满“几何体〞下方圆柱需18s ;注满“几何体〞上方圆柱需24-18=6(s);注满“几何体〞上面的空圆柱形容器需42-24=18(s),再设匀速注水的水流速度为x cm 3/s ,根据圆柱的体积公式列方程,再解方程;(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm ,根据圆柱的体积公式得a ·(30-15)=18×5,解得a =6,于是得到“几何体〞上方圆柱的高为5cm ,设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm 2,根据圆柱的体积公式得5×(30-S )=5×(24-18),再解方程即可.解:(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm ,两个实心圆柱组成的“几何体〞的高度为11cm ,水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体〞到注满用了42-24=18(s),这段高度为14-11=3(cm).设匀速注水的水流速度为x cm3/s,那么18·x=30×3,解得x=5,即匀速注水的水流速度为5cm3/s;(2)由图②知“几何体〞下方圆柱的高为a cm,那么a·(30-15)=18×5,解得a=6,所以“几何体〞上方圆柱的高为11-6=5(cm).设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2,根据题意得5×(30-S)=5×(24-18),解得S=24,即“几何体〞上方圆柱的底面积为24cm2.方法总结:此题考查了一次函数的应用:把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系,然后运用方程的思想解决实际问题.【类型二】建立一次函数模型解决实际问题某商场欲购进A、B两种品牌的饮料共500箱,两种饮料每箱的进价和售价如下表所示.设购进A种饮料x箱,且所购进的两种饮料能全部卖出,获得的总利润为y元.(1)求y关于x的函数表达式;(2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元,那么该商场如何进货才能获利最多?并求出最大利润.(注:利润=售价-本钱)解析:由表格中的信息可得到A、B两种品牌每箱的利润,再根据它们的数量求出利润,进而利用函数的图象性质求出最大利润.解:(1)由题意,知B种饮料有(500-x)箱,那么y=(63-55)x+(40-35)(500-x)=3xy=3x+2500(0≤x≤500);(2)由题意,得55x+35(500-x)≤x≤125.∴当x=125时,y最大值=3×125+2500=2875.∴该商场购进A、B两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时,能获得最大利润2875元.方法总结:此类题型往往取材于日常生活中的事件,通过分析、整理表格中的信息,得到函数表达式,并运用函数的性质解决实际问题.解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据,注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系.【类型三】两个一次函数图象在同一坐标系内的问题为倡导低碳生活,绿色出行,某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行〞活动.自行车队从甲地出发,途经乙地短暂休息完成补给后,继续骑行至目的地丙地,自行车队出发1小时后,恰有一辆邮政车从甲地出发,沿自行车队行进路线前往丙地,在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地,自行车队与邮政车行驶速度均保持不变,,如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y(km)与自行车队离开甲地时间x(h)的函数关系图象,请根据图象提供的信息解答以下各题:(1)自行车队行驶的速度是________km/h;(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇?(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远?解析:(1)由速度=路程÷时间就可以求出结论;(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度,再由追击问题设邮政车出发a小时两车相遇建立方程求出其解即可;(3)由邮政车的速度可以求出B的坐标和C的坐标,由自行车的速度就可以D的坐标,由待定系数法就可以求出BC,ED的解析式就可以求出结论.解:(1)由题意得,自行车队行驶的速度是72÷3=24km/h.(2)由题意得,邮政车的速度为24×2.5=60(km/h).设邮政车出发a 小时两车相遇,由题意得24(a +1)=60a ,解得a =23.答:邮政车出发23小时与自行车队首次相遇;(3)由题意,得邮政车到达丙地所需的时间为135÷60=94(h),∴邮政车从丙地出发的时间为94+2+1=214(h),∴B (214,135),C ,0).自行车队到达丙地的时间为:135÷24+0.5=458+0.5=498(h),∴D (498,135).设BC的解析式为y 1=k 1x +b 1,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135=214k 1+b 1,0k 1+b 1,∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1=-60,b 1=450,∴y 1=-60x +450,设ED 的解析式为y 2=k 2x +b 2,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧72k 2+b 2,135=498k 2+b 2,解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2=24,b 2=-12,∴y 2=24xy 1=y 2时,-60x +450=24x -12,解得x =5.5.y 1=-60×5.5+450=120.答:邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.方法总结:此题考查了待定系数法求一次函数的解析式,一次函数与一元一次方程的综合运用,解答时求出函数的解析式是关键.三、板书设计一次函数与实际问题1.建立一次函数模型解实际问题2.利用图象(表)解决实际问题对于分段函数的实际应用问题中,学生往往无视了自变量的取值范围,同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难,有待在以后的教学中加大训练,力争逐步提高.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

《角平分线的性质》教案
一、本节分析
内容选自人教版教材八年级上第十三章第三节《角的平分线的性质》第一课时,主要介绍角平分线的作法和角平分线的性质,它是在学习了三角形全等的性质与判定之后,进一步学习的内容,它在生产、生活中有着十分广泛的应用。

教学目标(依据新课标)
知识目标:(1)掌握作已知角的平分线的方法。

(2)掌握角的平分线的性质。

能力目标:(1)提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力。

(2)初步了解角平分线的性质在生活、生产中的应用。

(3)情感目标:在讨论作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验,逐步培养学生的理性精神。

教学的重点与难点
重点:角的平分线的性质的证明及运用难点:角的平分线的性质的探究
教具:自制的简易的平分角的仪器、细绳、圆规、三角板,多媒体。

学具:纸片、圆规和直尺。

二、教学过程
活动1、创设情境在黑板上画出∠AOB,让学生利用平分角的仪器将∠AOB平分,并说明它的道理。

教师说明仪器特点是两长边相等,两短边相等。

学生到黑板前来操作,并证明。

学生完成活动后,教师提出如果没有仪器,只有一根绳子和一把直尺还能否将角平分?让学生再次体验平分角的原理。

活动2、引发新知,如何用尺规作角的平分线?先让学生试着叙述完成,师生再共同在黑板上操作一遍(包括已知、求作、作法)。

并提出两个问题为什么大于1/2 MN的长为半径作弧和为什么要两弧在∠AOB的内部交于一点。

之后,教师让学生在练习本上独立操作一次,教师巡回指导,如果学生没有准备好圆规,教师还可引导学生用两支笔也可画弧,体验圆规作图实质是利用定长画弧。

让学生在画图中感受学习数学的快乐。

活动3、拓展延伸,平分平角∠AOB。

变式训练学生。

通过上面的步骤,得到射线OC以后,把它反向延长得到直线CD,直线CD与直线AB是什么关系?
学生独立思考回答。

从而得到另一基本作图,过直线上一点作这条直线的垂线的方法。

教师强调这两个基本作图方法要掌握。

活动4、观察猜想,让学生用纸剪一个角,把纸片对折,使角的两边叠合在一起,把对折后的纸片继续折一次,折出一个直三角形(使第一次的折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕.
问题1:第一次的折痕和角有什么关系?为什么?
问题2:第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系,它们的长度有何关系?
此活动训练学生的观察能力和动手能力。

学生会折成两种形状,其中一种是等腰三角形形状,原因是没有注意到使第一条折痕为斜边,让学生观察要仔细。

通过观察三条折痕特点后,再让学生大胆猜想结论,得出角平分线的性质。

活动5、验证猜想,从实际图形中抽象出几何模型并证明,对于学生还是一个难点,需要学生分组,合作交流完成。

得出角平分线的性质后,让学生用几何语言叙述定理。

如果没有PD ⊥ OA, PE ⊥ OB,还行不行,可让学生举出反例。

因为学生已习惯于用三角形全等来证明线段相等,所以教师要告诉学生,可直接用性质,不必再证全等。

至此重点突出,难点突破。

活动6、实践应用,小明家居住在一栋居民楼的一楼,刚好位于一条自来水管和天然气管道所成角的平分线上的P点,要从P点建两条管道,分别与自来水管道和天然气管道相连.
问题1:怎样修建管道最短?
问题2:新修的两条管道长度有什么关系,画来看看活动7、轻松搞定,在Rt△ABC中,BD平分∠ABC,DE
⊥AB于E,则:
⑴图中相等的线段有哪些?相等的角呢?⑵哪条线段与DE相等?为什
么?
⑶若AB=10,BC=8,AC=6。

求BE,AE的长和△AED的周长。

活动8,归纳总结,让学生归纳本节的收获,使能力得到提升。

C
活动9,布置作业:必做题:教材22页2题、27页11题.
选做题:如图,一目标在A区, 且到公路,铁路距离相等, A区
离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺 1:20 000).
教学设计说明
本教案从运用富有挑战性的学习材料---自制的平分角的仪器出发,提出一个对已知角进行平分的方法,同时引导学生总结角的平分线的作法,并对结果运用三角形全等的知识加以证明,提高了学生运用知识解决问题的能力。

充分体现了学生自己动手,主动探索,合作交流的学习方式。

同时通过折纸的方法,探索、归纳出角平分线的性质,证明角的平分线的性质的基础上,把角的平分线的性质运用到实际生活中去,从解决问题的过程中提高学生综合运用知识的能力。

相关文档
最新文档