一次函数之动点问题(作业及答案)
一次函数之动点问题 (习题及答案).
一次函数之动点问题（习题）1.如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是正方形，已知点A 的坐标为(0，2)，点D 在x 轴正半轴上，B 是线段OD 的中点，连接CD．动点P 从点O 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿O→A→C→B 的路线向终点B 运动，动点Q 从点O 同时出发，以相同的速度沿O→B→D→B 的路线向终点B 运动．设△OPQ 的面积为S，点P 运动的时间为t 秒（0＜t＜6）．求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．2 2. 如图，直线 y =x +4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A ，B ，直线 y =-x +b过点 B ，且与 x 轴交于点 C ．动点 P 从点 C 出发，沿 CA 方向以每秒 1 个单位长度的速度向终点 A 运动，动点 Q 从点 A 同 时出发，沿折线 AB -BC 以每秒 个单位长度的速度向终点 C 运动．设点 P 运动的时间为 t 秒．（1） 设△CPQ 的面积为 S ，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围；（2） 当 t = 时，PQ ∥AB ；（3） 当 0＜t ≤4 时，若△APQ 是等腰三角形，求 t 的值．⎨ 【参考答案】⎧ 1 t 2（0 < t ≤2） 2 1. S = ⎪ 2 < t ≤ 4） ． ⎨t （ ⎪ 1 2⎪ t - 7t + 24（4 < t < 6） ⎩ 2⎧ 1 t 2（0 < t ≤ 4） 2. （1） S = ⎪ 2 ⎪- 1 ⎩ 2（2） 16 ；3； t 2 + 4t （4 < t < 8） （3）t 的值为8 - 8 ， 8 或 4． 32 ⎪。
完整版)八年级数学一次函数动点问题
完整版)八年级数学一次函数动点问题八年级数学一次函数动点问题1、如图所示，以等边三角形OAB的边OB所在直线为x 轴，点O为坐标原点，在第一象限建立平面直角坐标系。
其中，△OAB边长为6个单位。
点P从O点出发沿折线OAB 向B点以3单位/秒的速度运动，点Q从O点出发沿折线OBA向A点以2单位/秒的速度运动。
两点同时出发，运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止。
①点A的坐标为（3，3），P、Q两点相遇时交点的坐标为（3，3）；②当t=2时，△OPQ的面积为3/2；当t=3时，△OPQ的面积为9/4；③设△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式为S=(3t-t^2)/4；④当△OPQ的面积最大时，在y轴上无法找到一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是直角三角形。
2、如图所示，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动。
设点P、Q移动的时间为t秒。
1) 直线AB的解析式为y=-x+6；2) 当t=5时，△APQ的面积为24/5平方单位；3) △OPQ为直角三角形的时间范围为2≤t≤4；4) 无论t为何值，△OPQ都不可能为正三角形。
若点Q的运动速度为4个单位/秒，则此时t=2.3、如图所示，在直角三角形△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点。
它们同时分别从点A、O向B 点匀速运动，速度均为1cm/秒。
设P、Q移动时间为t（≤t≤4）。
1）过点P做PM⊥OA于M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P点的坐标（用t表示）。
证明：由于△OPM与△OAB相似，因此有PM/OB=AO/AB，即PM=AO*OB/AB=9/5.又因为△APM与△AOB相似，因此有AM/OA=PM/OB，即AM=OA*PM/OB=27/20.因此AM：AO=PM：BO=AP：AB=9：15：20.P点的坐标为（3t/5，18t/5）。
(完整版)一次函数动点问题
一次函数动点问题1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去 A 营，再到河边饮马，之后再去 B 营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．（1）理由：如图③，在直线L 上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C，′ ∵直线l 是点B，B′的对称轴，点C，C′在l 上∴ CB= ，C′B=∴ AC+CB=AC+CB′=．在△ AC′B中′，∵ AB′<AC′+C′B，′∴AC+CB<AC′+C′B即′AC+CB 最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B 在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．（2）模型应用如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB 的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与 D 关于直线AC对称，连结ED 交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段的长度，EF+FB的最小值是如图⑥，一次函数y=﹣2x+4 的图象与x，y 轴分别交于A，B两点，点O 为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P 点坐标．2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，①求此一次函数的解析式；②若点（a，2）在该函数的图象上，试求 a 的值．③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设△ POC的面积是S，试求S关于m 的函数关系式．3．已知函数y=kx+b 的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1 的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b 的图象上（1）求此一次函数的表达式和m 的值？（2）若在x 轴上有一动点P（x，0），到定点A（4，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P 的横坐标为多少时，PA+PB的值最小．4．已知：一次函数图象如图：（1）求一次函数的解析式；（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x 轴的交点，若S△OAP=2，求点P 的坐标．5．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠ 0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1 与直线l2互相平行．解答下面的问题：（1）已知正比例函数y=﹣x 的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1 平行的直线l2 的函数表达式；（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为．（4）在x轴上找一点M，使△ BMP为等腰三角形，求M 的坐标．（直接写出答案）6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠ 0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1?k2=﹣1，我们就称直线l1 与直线l2 相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l 与直线y=﹣x﹣1 互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．（1）求直线l 的函数表达式；（2）若点 C 是线段AB 上一动点，求线段OC长度的最小值；（3）若点Q是AO上的一动点，求△ BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．一次函数动点问题参考答案与试题解析一．解答题（共 6 小题）1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去 A 营，再到河边饮马，之后再去 B 营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．（1）理由：如图③，在直线L 上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C，′ ∵直线l 是点B，B′的对称轴，点C，C′在l 上∴CB= CB' ，C′B= C'B'∴ AC+CB=AC+CB′=AB' ．在△ AC′B中′，∵ AB′<AC′+C′B，′∴AC+CB<AC′+C′B即′AC+CB 最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B 在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．（2）模型应用如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB 的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与 D 关于直线AC 对称，连结ED交AC于F，则EF+FB 的最小值就是线段DE 的长度，EF+FB的最小值是．如图⑤，已知⊙ O的直径CD为4，∠ AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD 上找一点P，使BP+AP 的值最小，则BP+AP 的最小值是 2 ；如图⑥，一次函数y=﹣2x+4 的图象与x，y 轴分别交于A，B两点，点O 为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P 点坐标．【解答】解：（1）理由：如图③，在直线L 上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C，′ ∵直线l 是点B，B′的对称轴，点C，C′在l 上∴ CB=CB，' C′B=C'B'∴AC+CB=AC+CB′=A．B'在△ AC′B中′，∵ AB′<AC′+C′B，′∴AC+CB<AC′+C′B即′AC+CB 最小故答案为：CB'，C'B'，AB'；（2）模型应用①解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D 关于直线AC对称，连结ED交AC于F则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是．在正方形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=9°0 ∵点E是AB 中点，∴AE=1，根据勾股定理得，DE= ，即：EF+FB的最小值，故答案为：DE，；②如图⑤，由圆的对称性可知，A与A'关于直径CD对称，连结A'B交CD于F，则AE+EB 的最小值就是线A'BE的长度，∴∠ AOD=∠A'OD=60°∵点 B 是的中点，∴∠ AOB=∠BOD= ∠AOD=3°0，∴∠ A'OB=90°∵⊙ O的直径为4，∴OA=OA'=OB=2，在Rt△A'OB中，A'B=2 ，∴ BP+AP的最小值是 2 ．故答案为 2 ，③如图⑥，由平面坐标系中的对称性可知，C与C'关于直径y轴对称，连结C'D交y轴于P，则PC+PD的最小值就是线C'D 的长度，∵一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y 轴分别交于A，B两点，∴A（2，0），B （0，4），∴C（1，0），D（1，2），∵C与C'关于直径y 轴对称，∴C'（﹣1，0），∴ C'D= =2 ，∴ PC+PD的最小值为 2 ，∵C'（﹣1，0），D（1，2），∴直线C'D 的解析式为y=x+1，∴P（0，1）．2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，①求此一次函数的解析式；②若点（a，2）在该函数的图象上，试求 a 的值．③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设△ POC的面积是S，试求S关于m 的函数关系式．解答】解：①设一次函数解析式为y=kx+b，依题意，得解得，次函数解析式为y=2x﹣1；②将点（a，2）代入y=2x﹣1 中，得2a﹣1=2，③由 y=2x ﹣1，令 y=0得 x= ， ∴C （ 又∵点 P（m ，n ）在直线 y=2x ﹣1 上， ∴ n=2m ﹣1，3．已知函数 y=kx+b 的图象经过点A 43 y=x+1 的图象平行，点 B （ 2， m ）在一次函数 y=kx+b 的图象上1）求此一次函数的表达式和 m 的值？2）若在 x 轴上有一动点 P （x ，0），到定点 A （4，3）、B （2，m ）的距离分别 为 PA 和 PB ，当点 P 的横坐标为多少时， PA+PB 的值最小．解答】 解：（1）∵函数 y=kx+b 的图象经过点 A （4，3）且与一次函数 y=x+1 的图象平行，，解得：∴一次函数的表达式为 y=x ﹣1． 当 x=2 时， m=x ﹣1=2﹣ 1=1， ∴m 的值为1．（2）作点 B 关于x 轴的对称点 B ′，连接 AB ′交x 轴于点 P ，此时PA+PB 取最小值， 如图所示． ∵点 B 的坐标为（ 2，1）， ∴点 B ′的坐标为（ 2，﹣ 1）． 设直线 AB ′的表达式为 y=ax+c ， 将（ 2，﹣1）、（4，3）代入 y=ax+c ，，解得：∴直线 AB ′的表达式为 y=2x ﹣5． 当 y=0 时， 2x ﹣ 5=0，，0），∴S= × ×|n|= | （2m ﹣1）|=|m﹣4．已知：一次函数图象如图： 1）求一次函数的解析式；2）若点 P 为该一次函数图象上一动点，且点 A 为该函数图象与 x 轴的交点，若 S △OAP =2，求点 P 的坐标．解答】 解：（1）设一次函数解析式为 y=kx+b ，所以一次函数解析式为 y=﹣x+1；（2）当 y=0时，﹣ x+1=0，解得 x=1，则 A （ 1， 0）， 设 P （t ，﹣ t+1）， 因为 S △OAP =2，所以 ×1×|﹣t+1|=2，解得 t=﹣3或t=5， 所以 P 点坐标为（﹣ 3，4）或（ 5，﹣ 4）．5．阅读下面的材料：在平面几何中， 我们学过两条直线平行的定义． 下面就两个一次函数的图象所确 定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数 y=k 1x+b 1（k 1≠ 0）的图象为把（﹣ 2，3）、（2， 分别代入得，解得PA+PB 的值最小．P 的横坐标为 ﹣1)直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1 与直线l2互相平行．解答下面的问题：（1）已知正比例函数y=﹣x 的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1 平行的直线l2 的函数表达式；（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为Q（0，）．（4）在x轴上找一点M，使△ BMP为等腰三角形，求M 的坐标．（直接写出答案）【解答】解：（1）根据正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，设直线l2的函数表达式为y=﹣x+b，把P（1，3）代入得：3=﹣1+b，即b=4，则过点P（1，3）且与已知直线l1 平行的直线l2的函数表达式为y=﹣x+4；（2）过O作ON⊥AB，如图1所示，ON为l1和l2两平行线之间的距离，对于直线y=﹣x+4，令x=0，得到y=4；令y=0，得到x=4，∴ A（0，4），B（4，0），即OA=OB=4，∵△ ABC为等腰直角三角形，∴AB= =4 ，且ON 为斜边上的中线，∴ ON= AB=2 ，则l1 和l2 两平行线之间的距离为 2 ；（3）找出B关于y轴的对称点B′（﹣4，0），连接PB′，与y轴交于点Q，连接PQ，此时QP+QB 最小，设直线B′P的解析式为y=mx+n，把B′和P 坐标代入得：，解得：m= ，n= ，∴直线B′P的解析式为y= x+ ，令x=0，得到y= ，即Q（0，）；故答案为：Q（0，）；（4）如图 2 所示，分三种情况考虑：当PM1=PB时，由对称性得到M1（﹣2，0）；当PM2=BM2时，M2 为线段PB垂直平分线与x轴的交点，∵直线PB的解析式为y=﹣x+4，且线段PB中点坐标为（ 2.5， 1.5），∴线段PB垂直平分线解析式为y﹣1.5=x﹣2.5，即y=x﹣1，令y=0，得到x=1，即M 2（1，0）；当PB=M3B= =3 时，OM3=OB+BM3=4+3 ，此时M 3（4﹣3 ，0），M 3（4+3 ，0）．综上，M的坐标为（﹣2，0）或（1，0）或（4﹣ 3 ，0）或（4+3 ，0）．6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠ 0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1?k2=﹣1，我们就称直线l1 与直线l2 相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l 与直线y=﹣x﹣1 互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．（1）求直线l 的函数表达式；（2）若点 C 是线段AB 上一动点，求线段OC长度的最小值；（3）若点Q是AO上的一动点，求△ BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．【解答】解：（1）设直线l 的解析式为y=kx+b，∵直线l 与直线y=﹣x﹣1 互相垂直，∴﹣k=﹣1，解得k=2，∵直线l 的图象过点P（﹣1，4），∴﹣k+b=4，即﹣2+b=4，解得b=6，∴直线l 的解析式为y=2x+6；（2）如图1，过O作OC⊥AB 于点C，在y=2x+6 中，令x=0 可得y=6，令y=0 可求得x=﹣3，∴A（0，6），B（﹣3，0），∴OA=6，OB=3∴ AB= =3 ，∵ AB?OC= OA?OB，∴ 3 OC=3×6，∴ OC= ，即线段OC长度的最小值为；（3）如图2，作点P关于y轴的对称点P″，连接BP″交y轴于点Q，过P″作P″G⊥x 轴于点G，则PQ=P″Q，∴PQ+BQ=BQ+QP″，∵点B、Q、P″三点在一条线上，∴ BQ+PQ最小，∵P（﹣1，4），∴P″（1，4），∴ P″G=，4 OG=1，∴BG=BO+OG=4=″P G，∴∠ OBQ=4°5，BP″=4 ，∴ OQ=BO=3，∴ Q点坐标为（0，3），又BP= =2 ，此时△ BPQ的周长=BP+BP″=4 +2 ；（4）由（3）可知∠ OBQ=∠OQB=4°5，∴∠PQA=∠P″QA=45°，∴PQ⊥BQ，如图3，延长PQ到点P′，使PQ=P′Q，则P′即为点P 关于BQ的对称点，过P′作由（3）可知PQ=Q′P = ，∴QH=H′P =1，∴OH=OQ﹣QH=3﹣1=2，∴ S四边形ABO′P=S△AOB+S△AOP′= ×6×3+ × 6× 1=12，四边形△ △即四边形ABOP′的面积为12．。
一次函数之动点问题(一)(北师版)(含答案)
一次函数之动点问题(一)(北师版)(含答案)学生做题前请先回答以下问题：问题1：动点问题的特征是什么？主要考察运动的什么？问题2：一次函数背景下研究动点问题的思考方向是什么？①将函数信息转化为背景图形的信息；②分析运动过程，分段，找到起点和终点；③分析几何特征，表达，设计方案求解。
问题3：分析运动过程时，需要注意哪几个要素？一次函数之动点问题（一）（北师版）1.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x 轴交于点C，与直线交于点P。
动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线AP—PC向点C匀速运动（点M不与点A，C重合），设△OMC的面积为S，运动时间为t秒，则S与t之间的函数关系式为()。
答案：B解题思路：本题考察一次函数之动点问题。
根据题目，我们可以将函数信息转化为背景图形的信息，分析运动过程，找到起点和终点，分析几何特征，表达，设计方案求解。
具体来说，我们可以通过计算△___的面积来得到S与t之间的函数关系式，即S=1/2*t*(8-t)。
2.已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点。
动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度，沿折线OA—AB运动。
设运动的时间为t秒，△OPD的面积为S，则S与t的函数关系式为()。
答案：C解题思路：本题同样考察一次函数之动点问题。
根据题目，我们可以将函数信息转化为背景图形的信息，分析运动过程，找到起点和终点，分析几何特征，表达，设计方案求解。
具体来说，我们可以通过计算△OPD的面积来得到S与t之间的函数关系式，即S=2t*(4-t)。
3.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，D是AB的中点。
动点P从点A出发沿折线AD-DO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，同时动点Q从点D出发沿折线DO-OB以相同的速度运动。
(完整word版)一次函数动点问题专题练习(含答案)
动点问题专题练习
1、如图，已知在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2分别交两坐标轴于A、B
两点，M是线段AB上一个动点，设M的横坐标为x，三角形OMB的面积为S；
（1）写出S与x的函数关系式,并画出函数图象；
（2）若△OMB的面积为3，求点M的坐标；
（3）当△OMB是以OB为底的等腰三角形时,求它的面积。
2、在边长为2的正方形ABCD的边BC上，点P从B点运动到C点，设PB=x,四
边形APCD的面积为 y，
（1）写出y与自变量x的函数关系式，并画出它的图象。
（2）当x为何值时，四边形APCD的面积等于
3、如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停
止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，
（1）求△ABC的面积。
（2）求Y关于x的函数解析式。
4、如图①在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止．已知△PAD 的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间（单位：s）的函数如图②所示，则点P 从开始移动到停止移动一共用了多少秒（结果保留根号）
5、如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P(2,p)在第一象限，直线PA交y轴于点C（0,2）,直线PB交y轴于点D，S△AOP=6.
（1）求△COP的面积
（2）求点A的坐标及P的值
（3）若S△AOP=S△BOP，求直线BD的函数解析式。
一次函数动点问题含答案
例题1：如图，直线1l 的解析表达式为 ，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ．（1）求点D 的坐标；（2）求直线2l 的解析表达式；（3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．例题2：如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 的面积为个平方单位？当堂巩固：如图，直线 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为（-8，0），点A 的坐标为（-6，0）。
（1）求k 的值；（2）若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为278，并说明理由。
524例题3、如图1，等边△ABC中，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ，设动点运动时间为x秒．（图2、图3备用）（1）填空：BQ= ，PB= （用含x的代数式表示）；（2）当x为何值时，PQ∥AC？（3）当x为何值时，△PBQ为直角三角形？一次函数压轴题1．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC 。
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图直线ℓ：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值．（2）若P（x，y）是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．3．如图①，过点（1，5）和（4，2）两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点．（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有10个（请直接写出结果）；（2）设点C（4，0），点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标（6，2）；（3）如图②，请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使△CMN的周长最短，在图②中作出图形，并求出点N的坐标．4．已知如图，直线y=﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P．（1）求点P的坐标；（2）求S△OPA的值；（3）动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF 与△OPA重叠部分的面积为S．求：S与a之间的函数关系式．5．如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上，且A点的坐标是（1，0）．（1）直线经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；（3）若直线l1经过点F（）且与直线y=3x平行．将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，交x轴于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．1.考点：一次函数综合题。
苏科版八年级数学上册第6章 一次函数的应用——动点问题(解析版)
一次函数的应用——动点问题一、单选题1.在平面直角坐标系中，已知一次函数y=﹣34x+6与x，y轴分别交于A，B两点，点C （0，n）是y轴上一点，把坐标平面沿直线AC折叠，点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（）A. （0，3）B. （0，43） C. （0，83） D. （0，73）【答案】C【解析】【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图，对于直线y=﹣34x+6，当x=0，得y=6；当y=0，x=8，∴A（8，0），B（0，6），即OA=8，OB=6，∴AB=10，又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，∴AC平分∠OAB，∴CD=CO=n，则BC=6﹣n，∴DA=OA=8，∴DB=10﹣8=2，在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2，∴n2+22=（6﹣n）2，解得n= 83，∴点C的坐标为（0，83）．故答案为：C．2.如图，函数y=mx﹣4m（m是常数，且m≠0）的图象分别交x轴、y轴于点M，N，线段MN上两点A，B（点B在点A的右侧），作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴，且垂足分别为A1，B1，若OA1+OB1＞4，则△OA1A的面积S1与△OB1B的面积S2的大小关系是（）A. S1＞S2B. S1=S2C. S1＜S2D. 不确定的【答案】A【解析】【解答】解：由题意可得，m＜0，设A（a，ma﹣4m），B（b，mb﹣4m），a＜b，∵S1= 12a×（ma﹣4m），S2= 12b（mb﹣4m）∴S1﹣S2= 12（ma2﹣mb2）﹣124m（a﹣b）=（a﹣b）{ 12m（a+b）﹣124m}．又∵OA1+OB1＞4，∴12m（a+b）﹣124m= 12m（a+b﹣4）＜0，∴S1﹣S2＞0，故选A．3.如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A 的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【解答】解：①当点P由点A向点D运动时，y的值为0；②当点P在DC上运动时，y随着x的增大而增大；③当点p 在CB 上运动时，y=AB•AD ，y 不变； ④当点P 在BA 上运动时，y 随x 的增大而减小． 故选B ．二、填空题4.如图，直线y=﹣ 12 x+3与坐标轴分别交于点A 、B ，与直线y=x 交于点C ，线段OA 上的点Q 以每秒1个长度单位的速度从点O 出发向点A 作匀速运动，运动时间为t 秒，连接CQ ．若△OQC 是等腰直角三角形，则t 的值为________．【答案】2或4【解析】【解答】∵由 {y =−12x +3y =x，得 {x =2y =2 ， ∴C （2，2）；如图1，当∠CQO=90°，CQ=OQ ，∵C （2，2）， ∴OQ=CQ=2， ∴t=2；如图2，当∠OCQ=90°，OC=CQ ， 过C 作CM ⊥OA 于M ，∵C （2，2）， ∴CM=OM=2， ∴QM=OM=2， ∴t=2+2=4，即t的值为2或4，故答案为：2或4.5.如图，已知点C为直线y=x上在第一象限内一点，直线y=2x+1交y轴于点A，交x轴于B，将直线AB沿射线OC方向平移√2个单位，则平移后直线的解析式为________。
一次函数之动点问题(作业及答案)
一次函数之动点问题（作业）例1：如图，直线y =x +4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，直线y =-x +b 过点B ，且与x 轴交于点C ． （1）求直线BC 的表达式．（2）动点P 从点C 出发，沿CA 方向以每秒1个单位长度的速度向点A 运动（点P 不与点A ，C 重合），动点Q 从点A 同时出发，沿折线AB -BC 以每秒2个单位长度的速度向点C 运动（点Q 不与点A ，C 重合），当其中一点到达终点时，另一点也随之停止．设△CPQ 的面积为S ，运动的时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．【思路分析】1．研究背景图形，如图 （把函数信息转为几何信息）2．分析运动过程0 < t < 8CA 4s4s8s B （2/s ） Q ：A（1/s ） P ：C3．画图，设计方案计算当04t <≤时，21122S t t t =⋅⋅= 当48t <<时，211(8)422S t t t t =-=-+221(04)214(48)2t t S t t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩8-t t82-2t E P Q xy A BCOt Q P E 2tt 445°42424445°y=-x+4y=x+4xyAB C Oxy A BC O1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形AOBC 是正方形，已知点A 的坐标为(0，2)，点D 在x 轴正半轴上，B 是OD 的中点，连接CD ．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿O →A →C →B 的方向匀速运动，动点Q 从点O 同时出发，以相同的速度沿O →B →D →B 的方向匀速运动．过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，设△PEQ 的面积为S ，点P 运动的时间为t 秒（06t <<）．求S 与t 之间的函数关系式．Q PxO y A CD B (E )xO y ACD BxO y ACD B2. 如图，直线y =-x +42与x 轴交于点A ，与直线y =x 交于点B ． （1）求点B 的坐标．（2）判断△AOB 的形状，并说明理由．（3）动点D 从原点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿OA 向终点A 运动（不与点O ，A 重合），过点D 作DC ⊥x 轴，交线段OB 或线段AB 于点C ，过点C 作CE ⊥y 轴于点E ．设运动的时间为t 秒，矩形ODCE 与△AOB 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．EDAO C x ByyBx O AyBxO A3. 如图，直线33334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与直线3y x =交于点C ．动点E 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿AO 向终点O 运动，动点F 从原点O 同时出发，以相同的速度沿折线OC -CA 向终点A 运动，设点F 运动时间为t 秒．（1）设△EOF 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．（这里规定线段是面积为0的三角形） （2）当24t ≤≤时，是否存在某一时刻，使得△AEF 是等腰三角形？若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由．xO yA CBxO yA CBx O yA CB【参考答案】1．2210222241618 462tt S t t t t ⎧<⎪⎪=<⎨⎪⎪-+<<⎩≤≤（）（）（）2．（1）(2222)B ，（2）△OAB 是等腰直角三角形，理由略（3）22023161624tt S t t t ⎧<⎪=⎨-+-<<⎪⎩≤（）（）3．（1）2233024133232 24420 42+23t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪⎪+⎪=-++<⎨⎪⎪<⎪⎪⎩≤≤≤≤（）（）（）（2）存在，t 的值为2，31+或23（资料素材和资料部分来自网络，供参考。
一次函数动点问题专项练习
一次函数动点问题专项练习x+4的图像l1分别与x，y轴交于A，B两点，1.如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=−12正比例函数的图像l2与l1交于点C（m，3），过动点M（n，0）作x轴的垂线与直线l1和l2分别交于P、Q两点.（1）求m的值及l2的函数表达式；（2）当PQ≤4时，求n的取值范围；（3）是否存在点P，使SΔOPC=2SΔOBC？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由.2.如图，直线y=kx+b（k≠0）与两坐标分别交于点B，C，点A的坐标为（-2，0），点D的坐标为（1，0），点P（x，y）是直线BC上一个动点．（1）试确定直线BC的函数关系式；（2）若点P在第一象限内，试写出△ADP的面积S与x的函数关系式；（3）当点P运动到什么位置时，△ADP的面积为3？请写出此时点P的坐标，并说明理由．x+b的图象经过点A（2，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA．3.如图，已知一次函数y=-12（1）求此一次函数的解析式，并求出一次函数与x轴的交点C的坐标；（2）设点P为直线y=-1x+b在第一象限内的图象上的一动点，求△OBP的面积S与x2之间的函数关系式，并写出自变量x的范围；（3）设点M为坐标轴上一点，且S△MAC=24，直接写出所有满足条件的点M的坐标．4.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y＝x交于点C．（1）若直线AB的解析式为y＝-2x+12，①求点C的坐标；②求△OAC的面积；（2）如图1，若OA＝4，△OAC的面积为6，求直线AB的解析式；（3）如图2，在（2）的条件下，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，P，Q分别为线段OA，OE上的动点，连结AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．5.如图，在直角坐标系中，直线y=x+2与直线y=kx+b(k≠0)交于点A(1,a)，且它们各自与x轴分别交于点B，点C(4,0)．(1)求一次函数y=kx+b的解析式．(2)在线段AC上有一点D，使得△ABO和△ABD的面积相等，求点D的坐标．(3)在x轴上有一个动点P，点P从O点出发，以每秒0.5个单位的速度沿x轴正半轴运动，请问经过几秒，△APC的面积是△ABC面积的一半？第2页，共8页6.如图,已知一条直线与x、y轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA=OB，设P（x，y）是线段AB上的一动点，定点Q的坐标为(4,0),△OAB的面积为18．（1）求直线AB的解析式；（2）设△OPQ的面积为S，求S与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）要使OP+PQ的值最小，求动点P的坐标．7.如图，直线y＝﹣1x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C(0，4)，动2点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．（1）求A、B两点的坐标；（2）求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当t为何值时△COM≌△AOB，请直接写出此时t值和M点的坐标．8.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+6与x轴、y轴分别交于点A、B两点，与正比例函数y=k2x交于点D(2,2)（1）求一次函数和正比例函数的表达式；（2）若点P(m,m)为直线y=k2x上的一个动点（点P不与点D重合），点Q在一次函数OA时，求m的值．y=k1x+6的图象上，PQ//y轴，当PQ =239.如图，直线y=kx+6分别与x轴、y轴交于点E，F，已知点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）．（1）求k的值；（2）若点P（x，y）是该直线上的一个动点，探究：当点P运动到什么位置时，△OPA 的面积为27，求点P的坐标．第4页，共8页10.如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点．（1）请直接写出直线l的表达式；（2）求出△ABC的面积；（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．11.如图，在平面直角坐标系中，过点B(6,0)的直线AB与直线OA相交于点A(4,2)，动点M沿路线O→A→C运动。
(完整版)八年级数学一次函数动点问题
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围。
（3）试求题(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值。
（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线 相交于点N。试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．
（3）在坐标平面内存在这样的点M，使得△MAC为等腰三角形且底角为30°，写出所有符合要求的点M的坐标。
6、如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线 经过O、C两点．点A的坐标为(8，o)，点B的坐标为(11．4)，动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2 个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C—B相交于点M。当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒( )．△MPQ的面积为S．
为（-6，0）。（1）求 的值；（2）若点P（ ， ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究：当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为 ，并说明理由。
5、己知如图在直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC所在直线的解析式为 。
（2）当 为等腰三角形时，求点 的坐标．
（3）在直线 上是否存在点 ，使得以点 为顶点的四边形是平行四边形？
9、如图：直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点， ，点C(x,y)是直线y＝kx＋3上与A、B不重合的动点。（1）求直线 的解析式；（2）当点C运动到什么位置时△AOC的面积是6；（3）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。
【2021中考数学】一次函数：动点综合含答案
2021年九年级中考数学一轮复习专题《一次函数：动点综合》1．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B，C，且与直线y＝x﹣2交于点A，直线y＝x﹣2与y轴交于点D．（1）直接写出点A，B，C，D的坐标；（2）若点E是直线AD上的点，且△COE的面积为12，求直线CE的函数表达式；（3）设点P是x轴上的点，使得点P到点A，C的距离和最小，直接写出点P的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx过点A（6，m），过点A作x轴的垂线，垂足为点B，过点A作y轴的垂线，垂足为点C．∠AOB＝60°，CD⊥OA于点D．动点P从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发．以每秒个单位长度的速度向点B运动．点P，Q同时开始运动，当点P到达点A时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t（s），且t＞0．（1）求m与k的值；（2）当点P运动到点D时，求t的值；（3）连接DQ，点E为DQ的中点，连接PE，当PE⊥DQ时，请直接写出点P的坐标．3．八年级数学兴趣小组的同学在一起研究数学问题：已知直线y ＝2x +2与y 轴、x 轴分别交于A 、B 两点，以B 为直角顶点在第二象限作等腰Rt △ABC ，请你参与解决以下问题：（1）如图1，请求出点C 的坐标；（2）如图2，直线CB 交y 轴于E ，在直线CB 上取一点D ，连接AD ，若AD ＝AC ，设△ABC 的面积为S 1，△ADE 的面积为S 2，请判断S 1与S 2的大小关系，并说明理由；（3）如图3，设直线AC 交x 轴于M ，P （﹣2.5，k ）是线段BC 上一点，在线段BM 是否存在一点N ，使直线PN 平分△BCM 的面积？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，直线y ＝﹣x ﹣4交x 轴和y 轴于点A 和点C ，点B （0，2）在y 轴上，连接AB ，点P 为直线AB 上一动点．（1）直线AB 的解析式为 ；（2）若S △APC ＝S △AOC ，求点P 的坐标；（3）当∠BCP ＝∠BAO 时，求直线CP 的解析式及CP 的长．5．如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2）．（1）求直线AC的表达式；（2）求△OAC的面积；（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8与直线y＝x﹣1交于点A（3，m）．（1）求k，m的值；（2）已知点P（n，n），过点P作垂直于y轴的直线与直线y＝x﹣1交于点M，过点P 作垂直于x轴的直线与直线y＝kx+8交于点N（P与N不重合）．若PN≤2PM，结合图象，求n的取值范围．7．点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”，例如：如图中的P（1，3）是“垂距点”．（1）在点A（2，2），B（，﹣），C（﹣1，5），是“垂距点”的为；（2）若D（m，m）为“垂距点”，求m的值；（3）若过点（2，3）的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上存在“垂距点”，则k的取值范围是．8．如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，6）的直线AB与直线OC相交于点C（2，4）动点P沿路线O→C→B运动．（1）求直线AB的解析式；（2）当△OPB的面积是△OBC的面积的时，求出这时点P的坐标；（3）是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，直线l的解析式为y＝﹣x+b，它与坐标轴分别交于A、B两点，其中点B坐标为（0，4）．（1）求出A点的坐标；（2）在第一象限的角平分线上是否存在点Q使得∠QBA＝90°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）动点C从y轴上的点（0，10）出发，以每秒1cm的速度向负半轴运动，求出点C 运动所有的时间t，使得△ABC为轴对称图形（直接写答案即可）10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+b与x轴交于点A（﹣6，0），与y1：y＝x相交于点C．轴交于点B（0，4），与直线l2（1）求直线l的函数表达式；1（2）求△COB的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使△POC是等腰三角形．若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点P的坐标．参考答案1．解：（1）∵直线y＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B，C，∴令y＝0，则﹣x+3＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝3，∴B（6，0），C（0，3），∵直线y＝x﹣2与y轴交于点D，∴当x＝0时，y＝﹣2，∴D（0，﹣2），解得，∴A（5，）；（2）设点E的坐标为（），∴，即，∴a＝±8，∴E（8，2）或E（﹣8，﹣6），设CE的函数表达式为y＝kx+3，把E（8，2）或E（﹣8，﹣6）代入上式得或，∴直线CE的函数表达式为或；（3）如图，求得C关于x轴的对称点C′（0，﹣3），连接AC′，交x轴于P，设直线AC′的解析式为y＝mx﹣3，代入A（5，）得，＝5m﹣3，解得m＝，∴直线AC′为y＝x﹣3，令y＝0，则x﹣3＝0，解得x＝，∴．2．解：（1）∵AB⊥OB，∴∠ABO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠BAO＝30°，∵A（6，m），∴OB＝6，AB＝m，∴OA＝2OB＝12，AB＝6，∴m＝6，即A（6，6），∵直线y＝kx过点A（6，6），∴6k＝6，∴k＝；（2）如图1，∵AB∥y轴，∴∠COD＝∠BAO＝30°，∵CD⊥OA，∴∠CDO＝90°，∵OC＝AB＝6，∴CD＝OC＝3，OD＝CD＝9，当点P运动到点D时，OP＝OD＝9，∴t＝；（3）如图2，连接PQ，过点P作PF⊥AB于F，由题意得：OP＝2t，AQ＝t，Rt△ACD中，∠ACD＝30°，AC＝6，∴AD＝3，∴PD＝OA﹣AD﹣OP＝12﹣2t﹣3＝9﹣2t，∵E是DQ的中点，PE⊥DQ，∴PQ＝PD＝9﹣2t，Rt△APF中，∠BAO＝30°，∴PF＝AP＝＝6﹣t，∵AQ＝t，BF＝t，∴FQ＝AB﹣AQ﹣BF＝6﹣t﹣t＝6﹣2t，Rt△PQF中，由勾股定理得：PQ2＝FQ2+PF2，∴（9﹣2t）2＝（6﹣2t）2+（6﹣t）2，解得：t1＝3（如图3，此时F与Q重合），t2＝，如图4，过点P作PM⊥x轴于点M，Rt△OPM中，∠POM＝30°，∴OM＝OP＝t，PM＝t；∴P（3，3）或（，）．3．解：（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣1，则点A、B的坐标分别为：（0，2）、（﹣1，0），过点C作CH⊥x轴于点H，∵∠HCB +∠CBH ＝90°，∠CBH +∠ABO ＝90°，∴∠ABO ＝∠BCH ，∵∠CHB ＝∠BOA ＝90°，BC ＝BA ，∴△CHB ≌△BOA （AAS ），∴BH ＝OA ＝2，CH ＝OB ，则点C （﹣3，1）；（2）将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝mx +b 得：，解得，故直线AC 的表达式为：y ＝x +2；∵AD ＝AC ，AB ⊥BC ，则BC ＝BD ，故S △ABC ＝S △ABD ，由C 、D 的坐标，同理可得直线CD 的表达式为：y ＝﹣x ﹣…①，则点E （0，﹣）， 直线AD 的表达式为：y ＝﹣3x +2…②，联立①②并解得：x ＝1，即点D （1，﹣1），点B 、E 、D 的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣）、（1，﹣1）， 故点E 是BD 的中点，∴S 2＝S △ABD ＝S △ABC ＝S 1，故S 1＝2S 2；（3）将点BC 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣，将点P坐标代入直线BC的表达式得：k＝，直线AC的表达式为：y＝x+2，则点M（﹣6，0），S△BMC＝MB×y C＝×5×1＝，S△BPN ＝S△BCM＝＝NB×k＝NB，解得：NB＝，则ON＝，∵BN＜BM，故点N在线段MB上，故点N（﹣，0）．4．解：（1）∵直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，∴点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意可得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+2，故答案为：y＝x+2；（2）∵点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），点B（0，2），∴OA＝OC＝4，OB＝2，∴BC＝6，设点P（m，m+2），当点P在线段AB上时，∵S△APC ＝S△AOC，∴S△ABC ﹣S△PBC＝×4×4，∴×6×4﹣×6×（﹣m）＝8，∴m＝﹣，∴点P（﹣，）；当点P在BA的延长线上时，∵S△APC ＝S△AOC，∴S△PBC ﹣S△ABC＝×4×4，∴×6×（﹣m）﹣×6×4＝8，∴m＝﹣，∴点P（﹣，﹣），综上所述：点P坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）；（3）如图，当点P在线段AB上时，设CP与AO交于点H，在△AOB和△COH中，，∴△AOB≌△COH（ASA），∴OH＝OB＝2，∴点H坐标为（﹣2，0），设直线PC解析式y＝ax+c，由题意可得，解得：，∴直线PC解析式为y＝﹣2x﹣4，联立方程组得：，解得：，∴点P（﹣，），∴CP＝＝，当点P'在AB延长线上时，设CP'与x轴交于点H'，同理可求直线P'C解析式为y＝2x﹣4，联立方程组，∴点P（4，4），∴CP＝＝4，综上所述：CP的解析式为：y＝﹣2x﹣4或y＝2x﹣4；CP的长为或4．5．解：（1）设直线AC的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得：．则直线AC的解析式是：y＝﹣x+6；（2）∵C（0，6），A（4，2），∴OC＝6，＝×6×4＝12；∴S△OAC（3）设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2，解得：m＝．则直线的解析式是：y＝x，∵当△OMC的面积是△OAC的面积的时，∴M到y轴的距离是×4＝1，∴点M的横坐标为1或﹣1；当M 的横坐标是：1，在y ＝x 中，当x ＝1时，y ＝，则M 的坐标是（1，）；在y ＝﹣x +6中，x ＝1则y ＝5，则M 的坐标是（1，5）．则M 的坐标是：M 1（1，）或M 2（1，5）．当M 的横坐标是：﹣1，在y ＝﹣x +6中，当x ＝﹣1时，y ＝7，则M 的坐标是（﹣1，7）．综上所述：M 的坐标是：M 1（1，）或M 2（1，5）或M 3（﹣1，7）． 6．解：（1）把A （3，m ）代入y ＝x ﹣1中，得m ＝3﹣1＝2，∴A （3，2），把A （3，2）代入y ＝kx +8中，得2＝3k +8，解得，k ＝﹣2；答：k ，m 的值为﹣2、2；（2）由（1）知，直线y ＝kx +8为y ＝﹣2x +8，根据题意，如图：∵点P （n ，n ），∴M （n ﹣1，n ），N （n ，﹣2n +8），∴PM ＝1，PN ＝|3n ﹣8|，∵PN ≤2PM ，∴|3n ﹣8|≤2×1，∴2≤n≤∵P与N不重合，∴n≠﹣2n+8，∴n≠，综上，2≤n≤，且n≠．7．解：（1）根据题意，对于点A而言，|2|+|2|＝4，A是“垂距点”，对于点B而言，||+|﹣|＝4，B是“垂距点”，对于点C而言，|﹣1|+|5|＝6≠4，所以C不是“垂距点”，故答案为A和B．（2）根据题意得|m|+||＝4①当m＞0时，则2m＝4，解得m＝2，②当m＜0时，则﹣2m＝4，解得m＝﹣2，故m的值为±2．（3）如图，取E（0，4），F（4，0），G（﹣4，0）．连接EF，EG，在EF上取一点P，作PM⊥OE于M，PN⊥OF于N．则有四边形PMON是矩形，可得PN＝OM，∵OE＝OF，∴∠OEF＝45°∴PM＝EM，∴PM+PN＝OM+EM＝4，∴线段EF或线段EG上的点是“垂距点”，当直线y＝kx+b与线段EF或线段EG有交点时，直线y＝kx+b上存在“垂距点”，∵直线y＝kx+b，经过A（2，3），∴3＝2k+b，∴b＝3﹣2k，∴直线y＝kx+3﹣2k，当直线经过E（0，4）时，k＝﹣，当直线经过F（4，0）时，k＝﹣，观察图象可知满足条件的k的值为k≤﹣或k≥﹣且k≠0．故答案为：k≤﹣或k≥﹣且k≠0．8．解：（1）∵点A的坐标为（0，6），∴设直线AB的解析式为y＝kx+6，∵点C（2，4）在直线AB上，∴2k+6＝4，∴k＝﹣1，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6；（2）由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+6，令y＝0，∴﹣x+6＝0，∴x＝6，∴B（6，0），∴S＝OB•y C＝12，△OBC∵△OPB的面积是△OBC的面积的，∴S＝×12＝3，△OPB设P的纵坐标为m，＝OB•m＝3m＝3，∴S△OPB∴m＝1，∵C（2，4），∴直线OC的解析式为y＝2x，当点P在OC上时，x＝，∴P（，1），当点P在BC上时，x＝6﹣1＝5，∴P（5，1），即：点P（，1）或（5，1）；（3）∵△OBP是直角三角形，∴∠OPB＝90°，①当点P在OC上时，如图，过点C作CH⊥x轴于H，∵C（2，4），∴CH＝4，OC＝2＝OB•CH＝OC•BP，∴S△OBC∴BP＝＝＝，由（2）知，直线OC的解析式为y＝2x①，设点P的坐标为（m，2m），∵B（6，0），∴BP2＝（m﹣6）2+4m2＝，∴m＝∴P（，），②当点P在BC上时，同①的方法，∴P（3，3），即：点P的坐标为（，）或（3，3）．9．解：（1）将点B（0，4）代入直线l的解析式得：b＝4，∴直线l的解析式为：y＝x+4，令y＝0得：x＝3，∴A（3，0）．（2）存在．∵Q在第一象限的角平分线上，设Q（x，x），根据勾股定理：QB2+BA2＝QA2，x2+（x﹣4）2+52＝x2+（x﹣3）2，解得x＝16，故Q（16，16）．（3）能使△ABC为轴对称图形，则得：△ABC为等腰三角形，当AB＝BC时，C（0，9）或（0，﹣1），此时C点运动1秒或11秒，当AB＝AC时，C（0，﹣4），此时C点运动14秒，当AC＝BC时，C（0，），此时C点运动秒．综上所述：当C点运动1秒、秒、11秒、14秒时，能使△ABC为轴对称图形．10．解：（1）将点A（﹣6，0），B（0，4）代入y＝kx+b中，得，∴，∴直线l的函数表达式为y＝x+4；1的函数表达式为y＝x+4①，（2）由（1）知，直线l1：y＝x，∵直线l2联立①②解得，，∴C（6，8），∵B（0，4），∴OB＝4，＝OB•|x C|＝×4×6＝12；∴S△COB（3）设P（m，0），∵O（0，0），C（6，8），∴OP＝|m|．OC＝10，CP＝，∵△POC是等腰三角形，①当OP＝OC时，∴|m|＝10，∴m＝±10，∴P（﹣10，0）或（10，0），②当OP＝CP时，∴|m|＝，∴m＝，∴P（，0），③当OC＝CP时，∴10＝，∴m＝0（舍）或m＝12，∴P（12，0），即：满足条件的点P的坐标为（﹣10，0）或（10，0）或（12，0）或（，0）．21。
初二一次函数动点经典题型(全部题型)
一次函数动点问题例题如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ．（1）求点D 的坐标； （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．练习题如图,以等边△OAB 的边OB 所在直线为x 轴,点O 为坐标原点,使点A 在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB 边长为6个单位，点P 从O 点出发沿折线OAB 向B 点以3单位/秒的速度向B 点运动,点Q 从O 点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA 向A 点运动，两点同时出发，运动时间为t （单位：秒），当两点相遇时运动停止.① 点A 坐标为_____________，P 、Q 两点相遇时交点的坐标为________________; ② 当t =2时，S =△OPQ ____________;当t =3时，OPQ S =△____________;③ 设△OPQ 的面积为S ，试求S 关于t 的函数关系式;④ 当△OPQ 的面积最大时，试求在y 轴上能否找一点M ，使得以M 、P 、Q 为顶点的三角形是Rt △，若能找到请求出M 点的坐标，若不能找到请简单说明理由。
xyOAB xyOAB x yOAB例题如图，在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OA=3cm ，OB=4cm ，以点O 为坐标原点建立坐标系，设P 、Q 分别为AB 、OB 边上的动点它们同时分别从点A 、O 向B 点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P 、Q 移动时间为t （0≤t ≤4）（1）过点P 做PM ⊥OA 于M ，求证：AM ：AO=PM ：BO=AP ：AB ，并求出P 点的坐标（用t 表示）（2）求△OPQ 面积S （cm 2），与运动时间t （秒）之间的函数关系式，当t 为何值时，S 有最大值？最大是多少？（3）当t 为何值时，△OPQ 为直角三角形？（4）证明无论t 为何值时，△OPQ 都不可能为正三角形。
专题17.21 一次函数动点问题(专项练习)八年级数学下册基础知识专项讲练(华东师大版)
专题17.21 一次函数动点问题（专项练习）一、单选题1．如图，一次函数1y x =-+的图象与两坐标轴分别交于A 、B 两点，点C 是线段AB 上一动点(不与点A 、B 重合)，过点C 分别作CD 、CE 垂直于x 轴、y 轴于点D 、E ，当点C 从点A 开始向点B 运动时，则矩形CDOE 的周长( )A ．不变B ．逐渐变大C ．逐渐变小D ．先变小后变大 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝﹣x +6与坐标轴交于点A ，B ，点C 为OA 上一动点，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，过点D 作DE ∥x 轴，交y 轴于点E ，在直线DE 上找一点F ，使得∠DCF ＝90°，连接OF ，当OF +CF 的值最小时，求点F 的坐标为（ ）A ．（1，53）B ．（32，32）C ．（2，2）D ．（3，1）二、填空题3．如图，已知点A 是一次函数y =x —4在第四象限的图像的一个动点，且矩形ABOC 的面积为3，则A 点坐标为_____，4．如图，一次函数y，，43x，8的图像与x 轴、y 轴分别交于A，B 两点．P 是x 轴上一个动点，若沿BP 将△OBP 翻折，点O 恰好落在直线AB 上的点C 处，则点P 的坐标是______，三、解答题5．已知一次函数的图象经过点()()2004A B ，，，.（1）求此函数的解析式；（2）若点P 为此一次函数图象上一动点，且△POA 的面积为2，求点P 的坐标. 6．已知：一次函数图象如图，（1）求一次函数的解析式；（2）若点P 为该一次函数图象上一动点，且点A 为该函数图象与x 轴的交点，若S △OAP ＝2，求点P 的坐标．7．已知一次函数的图象经过点A(2,0),B(0,4).（1）求此函数的解析式；（2）若点P 为此一次函数图象上一动点，且△POA 的面积为2，求点P 的坐标. 8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数16y k x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，与正比例函数2y k x =交于点(2,2)D ．（1）求一次函数和正比例函数的表达式；（2）若点P 为直线2y k x =上的一个动点（点P 不与点D 重合），点Q 在一次函数16y k x =+的图象上，//PQ y 轴，当23PQ OA =时，求点P 的坐标． 9．如图，已知一次函数132y x =+的图像分别与x 轴、y 轴交于点A 、点B ，点C 与点A 关于y 轴对称．（1）求直线BC 的函数解析式；（2）若点P 是x 轴上的动点，且14BOP ABC S S =△△，求符合条件的点P 的坐标． 10．如图，一次函数4y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点，点P 是线段AB 上一个动点（不包括A 、B 两点），C 是线段OB 上一点，45OPC ∠=︒，若OPC 是等腰三角形，求点P 的坐标．11．如图，一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （0，4）和点B （3，0），以线段AB 为边在第一象限内作等腰直角△ABC ，使∠BAC ＝90°．（1）求一次函数的解析式；（2）求出点C 的坐标；（3）点P 是y 轴上一动点，当PB +PC 最小时，求点P 的坐标．12．如图，一次函数y ＝﹣34x +3的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，C 是x 轴上一动点，连接BC ，将△ABC 沿BC 所在的直线折叠，当点A 落在y 轴上时，点C 的坐标为__．13．如图，已知一次函数b x y +-=21的图象经过点A （2，3），AB⊥x 轴，垂足为B ，连接OA ．（1）求此一次函数的解析式，并求出一次函数与x 轴的交点C 的坐标；（2）设点P 为直线b x y +-=21在第一象限内的图像上的一动点，求△OBP 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的范围；（3）设点M 为坐标轴上一点，且24=∆MAC S ，直接写出所有满足条件的点M 的坐标． 14．如图，一次函数1y x b =+的图像与x 轴y 轴分别交于点A 、点B ，函数1y x b =+，与243y x =-的图像交于第二象限的点C ，且点C 横坐标为3-. （1）求b 的值；（2）当120y y <<时，直接写出x 的取值范围；（3）在直线243y x =-上有一动点P ，过点P 作x 轴的平行线交直线1y x b =+于点Q ，当145PQ OC =时，求点P 的坐标.15．如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于(30)A ，，(01)B ，两点，在y 轴上有一点(03)C ，，动点P 从A 点以每秒2个单位长度的速度向左移动，（1）求直线AB 的表达式；（2）求COP ∆的面积S 与移动时间t 之间的函数关系式；（3）当t 为何值时，COP ∆，AOB ∆，求出此时P 点的坐标．16．如图，一次函数y ＝﹣43x +4的图象分别与x 轴，y 轴的正半轴交于点E 、F ，一次函数y ＝kx ﹣4的图象与直线EF 交于点A （m ，2），且交于x 轴于点P ，（1）求m 的值及点E 、F 的坐标；（2）求△APE的面积；（3）若B点是x轴上的动点，问在直线EF上，是否存在点Q（Q与A不重合），使△BEQ 与△APE全等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题1．【答案】A【解析】根据一次函数图象上点的坐标特征可设出点C 的坐标为（m ，-m+1），根据矩形的周长公式即可得出C 矩形CDOE =2，此题得解.【详解】设点C 的坐标为(m ，m 1)(0m 1)-+<<，则CE m =，CD m 1=-+，()CDOE C 2CE CD 2∴=+=矩形，故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，根据一次函数图象上点的坐标特征设出点C 的坐标是解题的关键.2．【答案】B【解析】由题意易得点A 、B 的坐标，CF ∥AB ，进而可得OA=OB=6，过点D 作DM ⊥OA 于点M ，延长CF 交y 轴于N ，设点C （m ，0），则OC ＝m ，则点D 坐标可用含m 的代数式表示，进而可得当EN ＝OE 时，则OF ＝FN ，此时OF +CF ＝CN 的值最小，最后求解即可．【详解】过点D 作DM ⊥OA 于点M ，延长CF 交y 轴于N ，如图所示：∵一次函数y ＝﹣x +6与坐标轴交于点A ，B ，∴A （6，0），B （0，6），∴OA＝OB＝6，∴∠BAO＝45°，∵CD⊥AB，∴∠DCA＝45°，∴CD＝AD，∵DM⊥AC于M，∴DM＝12AC＝CM＝AM，设C（m，0），则OC＝m，∴AC＝6﹣m，∴DM＝CM＝3﹣12 m，∴D（3+12m，3﹣12m），延长CF交y轴于N，∵CD⊥AB，∠DCF＝90°，∴CF∥AB，当EN＝OE时，则OF＝FN，此时OF+CF＝CN，值最小，∵CN∥AB，OC＝m，∴ON＝m，∴此时m＝2（3﹣12 m），解得m＝3，∵E是ON的中点，DE∥x轴，∴EF＝12OC＝32，∴F（32，32），故选：B．【点睛】本题主要考查一次函数的综合运用，关键是根据题意得到最短路径，然后再利用一次函数的性质进行求解即可．二、填空题3．【答案】，1，-3）或（3，-1，【解析】设点A 的横坐标为x ，则纵坐标为x -4，则AB=4-x，OB=x，由矩形ABOC 的面积等于3，可得x(4-x)=3，解得：x=1或x=3，，点A 的坐标为（3，-1）或（1，-3）.4．【答案】（83，0），（－24，0） 【解析】分析：根据题意得出OA ，OB 和AB 的长度，然后根据折叠图形的性质分两种情况来进行，即点P 在线段OA 上和点P 在x 轴的负半轴上，然后根据Rt，APC 的勾股定理求出点P 的坐标．详解：根据题意可得：OA=6，OB=8，则AB=10，，、当点P 在线段OA 上时，设点P 的坐标为(x ，0)，则AP=6－x ，BC=OB -8， CP=OP=x ，AC=10－8=2，，根据勾股定理可得：()22226x x +=-，解得：x=83， ，点P 的坐标为(83，0)； ，、当点P 在x 轴的负半轴上时，设OP 的长为x ，则AP=6+x ，BC=8，CP=OP=x ，AC=10+8=18，，根据勾股定理可得：()222186x x +=+，解得：x=24， ，点P 的坐标为(－24，0)；，综上所述，点P 的坐标为(83，0)，(－24，0)．点睛：本题主要考查的是折叠图形的性质以及直角三角形的勾股定理的应用，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是根据题意画出图形得出直角三角形．三、解答题5．【答案】（1）一次函数的解析式为2 4.y x =-+（2）()()1,2,3,2.P P ∴-或【解析】试题分析：（1），根据题意可设一次函数的解析式y=kx+b （k≠0），将A ，B 两点代入可求出k ，b ，进而可求出函数表达式；对于（2），设点P 的坐标为（a ，-2a+4），结合A 点的坐标可得OA 的长，继而根据，POA 的面积为2可得到|a|的值，据此可得到点P 的坐标.试题解析：（1）设解析式为y=kx+b （k≠0），一次函数的图象经过点()A 2,0， ()B 0,4，，02{4k b b =+=，解得2{4k b =-=， ，一次函数的解析式为y 2x 4.=-+（2），ΔPOA p 1S OA y 42=⋅=， p y 2,∴= p y 2.∴=± 当p y 2=时， ()p x 1,P 1,2.=∴当p y 2=-时， ()p x 3,P 3,2.=∴-∴ ()()P 1,2,P 3,2.-或6．【答案】（1）y ＝﹣x+1；（2）P 点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．【解析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；（2）先计算出函数值为0所对应的自变量的值得到A 点坐标，设P （t ，-t+1），根据三角形面积公式得到12×1×|-t+1|=2，然后解绝对值方程求出t 即可得到P 点坐标． 【详解】（1）设一次函数解析式为y ＝kx+b ，把（﹣2，3）、（2，﹣1）分别代入得2321k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得11k b =-⎧⎨=⎩，所以一次函数解析式为y＝﹣x+1；（2）当y＝0时，﹣x+1＝0，解得x＝1，则A（1，0），设P（t，﹣t+1），因为S，OAP＝2，所以12×1×|﹣t+1|＝2，解得t＝﹣3或t＝5，所以P点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．7．【答案】（1）一次函数的解析式为y=-2x+4；（2）P（1，2）或P（3，-2）.【解析】（1）根据题意可设一次函数的解析式y=kx+b（k≠0），将A，B两点代入可求出k，b，进而可求出函数表达式；（2）设点P的坐标为（a，-2a+4），结合A点的坐标可得OA的长，继而根据，POA的面积为2可得到|a|的值，据此可得到点P的坐标.解：（1）设解析式为y=kx+b（k≠0），一次函数的图象经过点A(2,0),B(0,4)，，204k bb+=⎧⎨=⎩，解得24kb=-⎧⎨=⎩，，一次函数的解析式为y=-2x+4（2），14,2POAP SOA y =⋅= ，2,P y = ，2,P y =±当2,P y =时，1,P x = 即P （1，2）， 当2,P y =-时，3,P x = 即P （3，-2）， ，P （1，2）或P （3，-2）.8．【答案】（1）一次函数解析式为26y x =-+，正比例函数的解析式为：y x =；（2）点P 的坐标为：88,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或44,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）点D （2，2）代入16y k x =+和2y k x =中，求出解析式即可；（2）通过一次函数解析式求出点A 的坐标，设P 点坐标为（m ，m ），则Q 点坐标为（m ，-2m+6），再根据23PQ OA =，解出m 的值，即可求出点P 的坐标. 【详解】（1）把点D （2，2）代入16y k x =+中得：1226k =+， 解得：12k =-，，一次函数解析式为26y x =-+，把点D （2，2）代入2y k x =中得：222k =， 解得：21k =，，正比例函数的解析式为：y x =； （2）把y=0代入26y x =-+得：3x =， ，A 点坐标为（3，0），OA=3，设P 点坐标为（m ，m ），则Q 点坐标为（m ，-2m+6），()2636PQ m m m =--+=-，，23PQ OA =，，23633m -=⨯， 解得：83m =或43m =，，点P 的坐标为：88,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或44,33⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题是对一次函数的综合考查，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及一次函数知识是解决本题的关键. 9．【答案】（1）132y x =-+；（2）(3,0)-或(3,0) 【解析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A 、B 的坐标，由点C 与点A 关于y 轴对称可得出点C 的坐标，待定系数法求得直线BC 的函数解析式； （2）设点P 的坐标为(,0)m ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】（1）当0x =时，132y x =+， ∴点B 的坐标为(0,3)；当1302y x =+=时，6x =-， ∴点A 的坐标为(6,0)-．点C 与点A 关于y 轴对称，∴点C 的坐标为(6,0)，设直线BC 的函数解析式为y kx b=+，∴360b k b =⎧⎨+=⎩，∴123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的函数解析式为132y x =-+；（2）设点P 的坐标为(,0)m ， 14BOP ABC S S ∆∆=， ∴111||3123242m ⨯⨯=⨯⨯⨯，3m ∴=±，∴点P 的坐标为(3,0)-，(3,0)．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、关于x 轴、y 轴对称的点的坐标以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A 、B 的坐标是解题的关键．10．【答案】(2，2)或(- 【解析】 【分析】分三种情况讨论：当CP CO =时，如图1，易得，AOB 与，BPO 都是等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的性质解答即可；当PC PO =时，如图2，过P 作PD OC ⊥于点D ，则BDP △是等腰直角三角形，根据AAS 可证PCB OPA ≌△△，进而可得4BP AO ==，进一步即可求出点P 坐标；当OP=OC 时，易得P 、A 两点重合，此种情况不合题意，综上可得答案． 【详解】解：分三种情况讨论：当CP CO =时，如图1，45COP OPC ∠=∠=︒，，90OCP ∠=︒，即PC y ⊥轴．又，一次函数4y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点， ，4y x =-+中，令0x =，则4y =；令0y =，则4x =， ，4AO BO ==，，，AOB 是等腰直角三角形， ，45ABO ∠=︒， ，COP CBP ∠=∠， ，OP BP =， ，C 是BO 的中点， ，122CO CP BO ===， ，()2,2P ；当PC PO =时，如图2，过P 作PD OC ⊥于点D ，则BDP △是等腰直角三角形，，45PBC OPC OAP ∠=∠=∠=︒，，135PCB BPC OPA BPC ∠+∠=︒=∠+∠， ，PCB OPA ∠=∠． 又，PC OP =，，()PCB OPA AAS △△≌， ，4BP AO ==，，在Rt BDP △中，BD PD ===，，4OD OB BD =-=-，，(P -．当OP=OC 时，45OCP OPC ∠=∠=︒，则，POC=90°，此时P 、A 两点重合，不合题意； 综上所述，若OPC 是等腰三角形，点P 的坐标为（2，2）或(-． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、一次函数与坐标轴的交点、等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键． 11．【答案】（1）y ＝﹣43x+4；（2）（4，7）；（3）P （0，3） 【解析】（1）根据待定系数法确定函数解析式即可；（2）作CD，y 轴于点D ，由全等三角形的判定定理可得出，ABO，，CAD ，由全等三角形的性质可知OA=CD ，故可得出C 点坐标；（3）求得B 点关于y 轴的对称点B′的坐标，连接B′C 与y 轴的交点即为所求的P 点，由B′、C 坐标可求得直线B′C 的解析式，则可求得P 点坐标． 【详解】（1）设AB 直线的解析式为：y ＝kx+b ， 把（0，4）（3，0）代入可得：430b k b =⎧⎨+=⎩，解得：434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，，一次函数的解析式为：y ＝﹣43x+4； （2）如图，作CD，y 轴于点D ．，，BAC ＝90°， ，，OAB+，CAD ＝90°， 又，，CAD+，ACD ＝90°， ，，ACD ＝，BAO ． 在，ABO 与，CAD 中，，90BAO ACD BOA ADC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ，，ABO，，CAD （AAS ），，OB ＝AD ＝3，OA ＝CD ＝4，OD ＝OA+AD ＝7． ，C 的坐标是（4，7）．（3）如图，作点B 关于y 轴的对称点B′，连接CB′交y 轴于P ，此时PB+PC 的值最小．，B （3，0），C （4，7） ，B′（﹣3，0），设直线CB′的解析式为y ＝mx+n ， 把（﹣3，0）（4，7）代入y ＝mx+n 中，可得：47 30m nm n+=⎧⎨-+=⎩，解得：13 mn=⎧⎨=⎩，，直线CB′的解析式为y＝x+3，令x＝0，得到y＝3，，P（0，3）．【点睛】本题考查的是一次函数的综合题，根据待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．12．【答案】（﹣6，0）或（32，0）．【解析】【分析】根据一次函数求出点A、B的坐标，根据勾股定理即可求出AB，然后根据点A落在y轴的位置分类讨论：当点A落在y轴的正半轴上时，设点C的坐标为（m，0），根据折叠的性质求出A′O和A′C，根据勾股定理列方程即可求出m；当点A落在y轴的负半轴上时，原理同上．【详解】，一次函数y＝﹣34x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，，A（4，0），B（0，3），，OA＝4，OB＝3，根据勾股定理可得AB=5，如图1，当点A落在y轴的正半轴上时，设点C 的坐标为（m ，0），，将，ABC 沿BC 所在的直线折叠，当点A 落在y 轴上时， ，A′O ＝3+5＝8，A′C ＝AC ＝4﹣m ， ，A′C2＝OC2+A′O2， ，（4﹣m ）2＝m2+82， ，m ＝﹣6；如图2，当点A 落在y 轴的负半轴上时，设点C 的坐标为（m ，0），，将，ABC 沿BC 所在的直线折叠，当点A 落在y 轴上时， ，A′O ＝5﹣3＝2，A′C ＝AC ＝4﹣m ， ，A′C2＝OC2+A′O2， ，（4﹣m ）2＝m2+22， ，m ＝32； 综上所述，当点A 落在y 轴上时，点C 的坐标为（﹣6，0）或（32，0）， 故答案为：（﹣6，0）或（32，0）． 【点睛】此题考查的是一次函数与图形综合题，掌握求一次函数与坐标轴的交点坐标、折叠的性质、勾股定理解直角三角形和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 13．【答案】（1）421+-=x y C （8，0）; （2）421+-=x y （80<<x ）; （3）M （-8，0）M （24，0）M （0，12）M （0，-4） 【解析】（1）把点A （2，3）代入一次函数b x y +-=21可求出b=4，然后令y=0，即可求出点C 的坐标；（2）设点P 的坐标为（x ，y ），则边OB 上的高为y ，利用三角形的面积公式即可计算，OBP 的面积S ，然后把421+-=x y 代入化简即可得出S 与x 之间的函数关系式，根据点P 为第一象限内的图像上的一动点，可求出自变量x 的范围；（3）分两种情况讨论：当点M 在x 轴上时，利用24=∆MAC S 求出线段MC=16，然后可求点M 的坐标；当点M 在y 轴上时，利用24=∆MAC S 求出点M 到直线b x y +-=21与y 轴的交点的距离为8，然后可求点M 的坐标．试题解析：（1）把点A （2，3）代入一次函数b x y +-=21得b=4，所以421+-=x y ，令y=0，所以x=8，所以点C 的坐标为（8，0）；（2）因为点A （2，3），AB，x 轴，所以点B 的坐标为（2,0），所以OB=2，设点P 的坐标为（x ，y ），所以，OBP 的面积S=112422y y x ⨯==-+（80<<x ）; （3）当点M 在x 轴上时，因为24=∆MAC S ，所以1132422MC AB MC ⋅=⨯=,所以MC=16，因为C （8，0），所以点M 的坐标为M （-8，0）或M （24，0）； 当点M 在y 轴上时，设直线421+-=x y 与y 轴的交点为N,令x=0，则y=4，所以点N 的坐标为（0,4），所以118232422MACMNC MNA S S S MN MN MN ∆∆∆=-=⨯-⨯==，所以MN=8，因为点N 的坐标为（0,4），所以点M 的坐标为M （0，12）或M （0，-4）； 综上所求的点M 的坐标为M （-8，0）、M （24，0）、M （0，12）、M （0，-4）． 考点：1．一次函数的性质2．坐标系中图形的面积3．点的坐标．14．【答案】（1）7b =（2）73x -<<-（3）点P 坐标为(3,4)-或(9,12)- 【解析】【分析】（1）将点C 横坐标代入243y x =-求得点C 的纵坐标为4，再把（-3，4）代入1y x b =+求出b 即可；（2）求出点A 坐标，结合点C 坐标即可判断出当120y y <<时， x 的取值范围； （3）设P （a,-43a ），可求出Q （473a --，43a -），即可得PQ=773a +，再求出OC=5，根据145PQ OC =求出a 的值即可得出结论.【详解】（1）把3x =-代入243y x =-，得4y =.，C （-3，4）把点(3,4)C -代入1y x b =+，得7b =.（2），b=7，y=x+7，当y=0时，x=-7,x=-3时，y=4，，当120y y <<时，73x -<<-.（3）点P 为直线43y x =-上一动点，∴设点P 坐标为4(,)3a a -.//PQ x ∵轴，∴把43y a =-代入7y x =+，得473x a =--.∴点Q 坐标为447,33a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，477733PQ a a a ∴=++=+ 又点C 坐标为()3,4-，5OC ∴==14145PQ OC ∴== 77143a ∴+= 解之，得3a =或9a =-.∴点P 坐标为(3,4)-或(9,12)-.【点睛】理解点在直线上则它的坐标满足直线的解析式．学会用坐标表示线段的长． 15．【答案】（1）113y x =-+；（2）当302t <≤时，3(32)2S t =- ；当32t >时3(23)2S t =- （3） 当1t =时，P 的坐标为(1,0)；当2t =时，P 的坐标为(1,0)-【解析】（1）将A,B 点代入用待定系数法即可求解；（2）先计算出P 点到达原点的时间，然后以此为分界线，分情况讨论即可；（3）根据全等的性质可得出OP OB =，然后分P 在原点的左右两侧两种情况讨论即可求出P 点坐标．【详解】（1）设直线AB 的表达式为(0)y kx b k =+≠将(30)A ，，(01)B ，两点代入得 301k b b +=⎧⎨=⎩解得 131k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ，AB 的表达式为113y x =-+ （2）3322÷=当302t <≤时13(32)22S OP OC t =⋅=- 当32t >时 13(23)22S OP OC t =⋅=- （3）若COP ∆，AOB ∆时OP OB =(0,1)B1OB =∴1OP ∴=当321t -= 时，1t = ，此时P 的坐标为(1,0)；当231t -= 时，2t = ，此时P 的坐标为(1,0)-；【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，掌握待定系数法，全等三角形的性质和分情况讨论是解题的关键．16．【答案】（1）m ＝32，E （3，0）；F （0，4）；（2）S，APE ＝2；（3）Q1（95，85），Q2（215，﹣85），Q3（92，﹣2）． 【解析】（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值； （2）根据待定系数法，可得AP 的解析式，根据函数值为零，可得P 点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；（3）分类讨论：，当点A 与点B 为对应顶点时，根据全等三角形的面积相等，可得Q 点的纵坐标，根据函数值，可得相应自变量的值；，当点A 与点Q 为对应顶点时，可得Q 点的纵坐标，根据函数值，可得相应自变量的值．【详解】解：（1）一次函数y ＝﹣43x+4的图象经过点A （m ，2）， 得﹣43m+4＝2， 解得m ＝32， ，一次函数y ＝﹣43x+4的图象分别与x 轴、y 轴的正半轴交于点E ，F ．，当y ＝0时，﹣43x+4＝0，解得x ＝3即E （3，0）； 当x ＝0时，y ＝4，即F （0，4）；（2）把点A （32，2）一次函数y ＝kx ﹣4，得2＝32k ﹣4，解得k ＝4， y ＝4x ﹣4，当y ＝0时，x ＝1，即P （1，0）．PE ＝3﹣1＝2，S，APE ＝12×2×2＝2； （3）存在Q 点，B 点是x 轴上的动点，点Q 是直线y ＝﹣43x+4上的点，设Q （m ，n ）．由两点间的距离，得AE 52 ，AP ＝2，PE ＝2． ，当点A 与点B 为对应顶点时，，，APE，，BQE ，，S，BQE ＝S，APE ＝2， ，12BE×|n|＝2． ，BE ＝AE ＝52， ，|n|＝85，n ＝±85． 当n ＝85时，﹣43x+4＝85，解得m ＝95，即Q1（95，85）； 当n ＝﹣85时，﹣43x+4＝﹣85，解得m ＝215 ，即Q2（215，﹣85）； ，当点A 与点Q 为对应顶点时，，，APE，，QBE ，则n ＝﹣2，把n ＝﹣2代入y ＝﹣43x+4得m ＝92， ，Q3（92，﹣2）， 综上所述：Q1（95，85），Q2（215，﹣85），Q3（92，﹣2）．故答案为：（1）m＝32，E（3，0）；F（0，4）；（2）S，APE＝2；（3）Q1（95，85），Q2（215，﹣85），Q3（92，﹣2）．【点睛】本题考查一次函数综合题，（1）利用了自变量与函数值的对应关系，（2）利用了三角形的面积公式，（3）利用了分类讨论的方法，根据全等三角形的性质得出Q点的纵坐标是解题关键．。
一次函数之动点问题测试(一)(北师版)(含答案)
一次函数之动点问题测试（一）（北师版）一、单选题(共8道，每道12分)1.已知：如图，线段AB的长为18厘米，动点P从点A出发，沿AB以2厘米/秒的速度向点B运动，动点Q从点B出发，沿BA以1厘米/秒的速度向点A运动．P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，用t表示线段PQ 的长度为_____；若P，Q两点相距6厘米，则经过的时间t=______．( )A.当秒时，PQ=18-3t；当秒时，PQ=3t-18．t=4秒B.当秒时，PQ=18-3t；当秒时，PQ=3t-18．t=8秒C.当秒时，PQ=18-3t；当秒时，PQ=3t-18．t=4秒或t=8秒D.当秒时，PQ=18-3t；当秒时，PQ=3t-18．t=4秒或t=8秒答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.已知：如图，线段AB=20厘米．点P自点A沿线段AB以2厘米/秒的速度向点B运动，同时点Q自点B沿线段BA以3厘米/秒的速度向点A运动，当Q运动到点A时，两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒，用t表示线段PQ的长度为_____；若P，Q两点相距5厘米，则经过的时间t=______．( )A.当秒时，PQ=20-5t；当秒时，PQ=5t-20．t=3秒或t=5秒B.PQ=20-5t．t=3秒C.PQ=5t-20．t=5秒D.当秒时，PQ=20-5t；当秒时，PQ=5t-20．t=3秒答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，动点P以3cm/s的速度从B点出发，沿BA 方向向点A移动，同时动点Q以1cm/s的速度，沿CD方向向点D移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，则当t为( )s时，线段PQ恰好平分矩形ABCD的面积．A.3B.4C.5D.6答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.已知：如图，在等边△ABC中，AB=8，D为边BC上一点，且BD=6．动点P从点C出发沿CA边以每秒2个单位的速度向点A运动，连接AD，BP，设点P运动的时间为t秒．若△BPA≌△ADB，则t的值为( )C.2D.1答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=DC=6，AD=BC=12，点E为边AD上一点，且AE=10．动点P从点B出发，沿BC边向终点C以每秒2个单位的速度运动，连接AP，DP，设点P运动的时间为t秒．若运动到某一时刻，△DCP≌△CDE，则t的值为( )C.2D.1答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题6.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点P从点A出发沿AD向点D以每秒1个单位的速度运动，动点Q从点C出发沿CB向点B以每秒2个单位的速度运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P的运动时间为t秒，当t为( )秒时，△PDQ≌△CQD．A.4B.6C.8D.12答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题7.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．点P在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设点P 运动时间为t秒，当t的值为( )时，△BPD与△CQP全等．A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题8.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，点E为AB中点，如果点P在线段BC 上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．设点P的运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP全等，则点Q的运动速度是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题。
初二数学 一次函数动点问题含解析
一次函数动点问题1、如图，正方形ABCD 的边长为6cm，动点P 从A 点出发，在正方形的边上由A→B→C→D 运动，设运动的时间为t（s），△ APD的面积为S（cm2），S与t 的函数图象如图所示，请回答下列问题：（1）点P 在AB 上运动时间为s，在CD 上运动的速度为cm/s，△APD 的面积S 的最大值为cm2；（2）求出点P 在CD 上运动时S 与t 的函数解析式；（3）当t 为s 时，△APD 的面积为10cm2．2、如图1，等边△ ABC 中，BC=6cm，现有两个动点P、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ，设动点运动时间为x 秒．（图2、图3 备用）（1）填空：B Q= ，P B= （用含x 的代数式表示）；（2）当x 为何值时，PQ∥AC？（3）当x 为何值时，△ PBQ 为直角三角形？3、如图，矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点P 从A 出发沿A→B→C→D 的路线移动，设点P 移动的路线为x，△ PAD 的面积为y．（1）写出y 与x 之间的函数关系式，并在坐标系中画出这个函数的图象．（2）求当x=4 和x=18 时的函数值．（3）当x 取何值时，y=20，并说明此时点P 在矩形的哪条边上．4、如图1，在矩形ABCD 中，点P 从B 点出发沿着四边按B→C→D→A 方向运动，开始以每秒m 个单位匀速运动，a秒后变为每秒2 个单位匀速运动，b秒后又恢复为每秒m 个单位匀速运动．在运动过程中，△ ABP 的面积S 与运动时间t 的函数关系如图2 所示．（1）求矩形ABCD 的长和宽；（2）求m、a、b 的值5、如图1 所示，在直角梯形ABCD 中，AB∥DC，∠B=90°．动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B→C→D→A 运动．设点P 运动的路程为x，△ ABP 的面积为y．把y 看作x 的函数，函数的图象如图2 所示，试求当0≤x≤9 时y 与x 的函数关系式．6、如图1，在矩形ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点P 从A 点出发，沿A→ B→C→D 路线运动，到D 点停止；点Q 从D 点出发，沿D→C→B→A 运动，到A 点停止．若点P、点Q 同时出发，点P 的速度为每秒1cm，点Q 的速度为每秒2cm，a 秒时点P、点Q 同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm）．如图2 是点P出发x秒后△ APD 的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；图3 是点Q 出发x 秒后△ AQD 的面积S2（cm2）与x（秒）的函数关系图象．根据图象：（1）求a、b、c 的值；（2）设点P离开点A的路程为y1（cm），点Q到点A还需要走的路程为y2（cm），请分别写出改变速度后y1、y2 与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出P 与Q 相遇时x 的值．动点答案1、解：（1）点P在AB上运动的速度为6÷6=1cm/s，在CD上运动的速度为6÷3=2cm/s，当点P 运动到点B 时，△APD 的面积S 最大，最大值是×6×6=18cm2；（2）PD=6﹣2（t﹣12）=30﹣2t，S= AD•PD= ×6×（30﹣2t）=90﹣6t；（3）当0≤t≤6 时，S=3t，12≤t≤15 时，90﹣6t=10，t=，所以当t 为（s）、（s）时，△APD的面积为10c△ APD 的面积为10cm2，即S=10 时，3t=10，t= ，当m2．2、解：（1）根据题意，B Q=x，P B=6﹣2x；（2）若PQ∥AC，有，即，解之得：x=2；（3）当∠BPQ=90°时，根据三角函数关系，可知BQ=2BP，∴x=2（6﹣2x），解之得：x= ，当∠BQP=90°时，2BQ=BP，即6﹣2x=x，解之得：x= ．3、解：（1）当点P在线段AB上时，此时AP=x，AD=8，根据三角形的面积公式可得：y= •AD•AP= ×8×x=4x，当点P 在线段BC 上运动时，面积不变；当点P 在线段CD 上，运动时，DP=6+8+6﹣x=20﹣x，AD=8根据三角形的面积公式可得：y= •AD•DP=×8×（20﹣x）=80﹣4x，∴y 与x 之间的函数关系式为y=（2）当x=4 时，y=4x=4×4=16，当x=18 时，y=80﹣4×18=8；（3）当y=4x=20，解得x=5，此时点P 在线段AB 上，当y=80﹣4x=20，解得x=15，此时点P 在线段CD 上．4、解：（1）从图象可知，当6≤t≤8 时，△ A B P面积不变即6≤t≤8 时，点P 从点C 运动到点D，且这时速度为每秒2 个单位∴CD=2（8﹣6）=4∴AB=CD=4（2 分）当t=6 时（点P运动到点C），S△ABP=16∴AB•BC=16∴×4×BC=16∴BC=8（4 分）∴长方形的长为8，宽为4．（2）当t=a 时，S△ABP=8=×16即点P 此时在BC 的中点处∴PC= BC= ×8=4∴2（6﹣a）=4∴a=4（6 分）∵BP=PC=4∴m=BP÷a=4÷4=1，当t=b 时，S△ABP=AB•AP=4∴ ×4×AP=4，AP=2∴b=13﹣2=11（9 分）；5、解：由题意知：BC=4，DC=9﹣4=5，AD=5…（3 分）…（5 分）当0≤x≤4 时，…（8 分）当4＜x≤9 时，…（9 分）6、解：（1）观察图象得，S△APQ=PA•AD=×（1×a）×6=24，解得a=8（秒）b= =2（厘米/秒）（22﹣8）c=（12×2+6）﹣2×8解得c=1（厘米/秒）（2）依题意得：y1=1×8+2（x﹣8），即：y1=2x﹣8（x＞8），y2=（30﹣2×8）﹣1×（x﹣8）=22﹣x（x＞8）又据题意，当y1=y2 时，P 与Q 相遇，即2x﹣8=22﹣x，解得x=10（秒）∴出发10 秒时，P 与Q 相遇．。
一次函数动点问题 精心总结版
11、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得1532104x x =+⨯， 解得803x =秒．∴点P 共运动了803803⨯=厘米．∵8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，∴经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇2解（1）A （8，0）B （0，6）（2）86OA OB == ，10AB ∴=点Q 由O 到A 的时间是881=（秒）∴点P 的速度是61028+=（单位/秒） 当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==， 2S t =当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，, 如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865tPD -=， 21324255S OQ PD t t ∴=⨯=-+ （3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， 2 如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．xAO QP B y23.（2010年金华） 如图，把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中，A ，B 两点坐标分别为（3，0）和(0，33）.动点P 从A 点开始沿折线AO-OB-BA 运动，点P 在AO ，OB ，BA 上运动的速度分别为1，3，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l 从x 轴的位置开始以33(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l ∥x 轴），且分别与OB ，AB 交于E ，F 两点﹒设动点P 与动直线l 同时出发，运动时间为t 秒，当点P 沿折线AO -OB -BA 运动一周时，直线l 和动点P 同时停止运动． 请解答下列问题：（1）过A ，B 两点的直线解析式是 ▲ ；（2）当t ﹦4时，点P 的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P 与点E 重合； （3）① 作点P 关于直线EF 的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F 为 菱形，则t 的值是多少？② 当t ﹦2时，是否存在着点Q ，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）333+-=x y ；（2）（0,3），29=t（3）①当点P 在线段AO 上时，过F 作FG ⊥x 轴，G 为垂足（如图1）∵FG OE =,FP EP =,∠=EOP ∠=FGP 90° ∴△EOP ≌△FGP ，∴PG OP =﹒又∵t FG OE 33==,∠=A 60°,∴t FG AG 3160tan 0== BFAP E O xy l(第24题(图1) BFP Ey M P′ H3而t AP =，∴t OP -=3,t AG AP PG 32=-= 由t t 323=-得 59=t ； 当点P 在线段OB 上时，形成的是三角形，不存在菱形； 当点P 在线段BA 上时，过P 作PH ⊥EF ，PM ⊥OB ，H 、M 分别为垂足（如图2）∵t OE 33=,∴t BE 3333-=,∴3360tan 0t BE EF -==∴6921tEF EH MP -===， 又∵)6(2-=t BP 在Rt △BMP 中，MP BP =⋅060cos 即6921)6(2t t -=⋅-，解得745=t ②存在﹒理由如下：∵2=t ，∴332=OE ,2=AP ，1=OP 将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到 △EC B '（如图3）∵OB ⊥EF ，∴点B '在直线EF 上， C 点坐标为（332，332－1） 过F 作FQ ∥C B '，交EC 于点Q , 则△FEQ ∽△EC B '由3=='=QE CE FE E B FE BE ，可得Q 的坐标为（－32，33） 根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q '（－32，3）也符合条件 9．（2010，浙江义乌）如图1，已知∠ABC ＝90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE并延长交射线BC 于点F .（1）如图2，当BP ＝BA 时，∠EBF ＝ ▲ °，猜想∠QFC ＝ ▲ °；（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明； （3）已知线段AB ＝32，设BP ＝x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．第9题【答案】（1）=∠EBF 30°.QFC ∠＝ 60° （2）QFC ∠＝60°不妨设BP ＞3AB , 如图1所示∵∠BAP ＝∠BAE+∠EAP ＝60°+∠EAP ∠EAQ ＝∠QAP+∠EAP ＝60°+∠EAP ∴∠BAP ＝∠EAQ在△ABP 和△AEQ 中 AB ＝AE ，∠BAP ＝∠EAQ ， AP ＝AQ ∴△ABP ≌△AEQ （SAS ） ∴∠AEQ ＝∠ABP ＝90°∴∠BEF 180180906030AEQ AEB =︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ∴QFC ∠＝∠EBF +∠BEF ＝30°+30°＝60° (事实上当BP ≤3AB 时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）(3) 在图1中，过点F 作FG ⊥BE 于点G∵△ABE 是等边三角形 ∴BE ＝AB ＝32，由（1）得=∠EBF 30°A BE QPFC图1ACBEQF P yBF AP E OxQ′B′ Q CC 1D 1 (图3)4在Rt △BGF 中，32BE BG == ∴BF ＝2cos30BG=︒∴EF ＝2 ∵△ABP ≌△AEQ ∴QE ＝BP ＝x ∴QF ＝QE ＋EF 2x =+过点Q 作QH ⊥BC ，垂足为H 在Rt △QHF 中，3sin 60(2)2y QH QF x ==︒=+ （x ＞0）即y 关于x 的函数关系式是：332y x =+11已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A 重合， 则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >，.则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+，即()22242m m -=+，解得32m =.∴点C 的坐标为302⎛⎫ ⎪⎝⎭， （Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ',则B CD BCD '△≌△.由题设OB x OC y '==，，则4B C B C O B O C y'==-=-， 在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+，即2128y x =-+ 由点B '在边OA 上，有02x ≤≤， ∴ 解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求. 当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小y ∴的取值范围为322y ≤≤.（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．x yBO A xyBy B5（Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠.又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠ ，，有CB BA ''∥. Rt Rt COB BOA ''∴△∽△.有OB OCOA OB''=，得2OC OB ''=. 在Rt B OC ''△中，设()00OB x x ''=>，则02OC x =.由（Ⅱ）的结论，得2001228x x =-+， 解得0008450845x x x =-±>∴=-+ ．，.∴点C 的坐标为()08516-，.。
有关一次函数的动点问题(例题)
一次函数动点问题1如图，直线 l1的分析表达式为 y3x 3 ，且 l1与 x 轴交于点D，直线 l 2经过点A，B，直线 l1， l2交于点C．（1）求点 D 的坐标；（2）求直线l2的分析表达式；（3）求△ ADC 的面积；（4）在直线l2上存在异于点 C 的另一点 P ，使得△ADP 与△ ADC 的面积相等，请直接写出点 P 的坐标．．．2如图 ,以等边△OAB 的边 OB 所在直线为 x 轴,点 O 为坐标原点 ,使点 A 在第一象限成立平面直角坐标系，此中△OAB 边长为 6 个单位，点 P 从 O 点出发沿折线 OAB向 B 点以 3 单位 / 秒的速度向 B 点运动 ,点 Q 从 O 点出发以 2 单位 / 秒的速度沿折线 OBA 向 A 点运动，两点同时出发，运动时间为 t （单位：秒），当两点相遇时运动停止 .y y yA A AO B x O B x O B x①点 A 坐标为 _____________，P、Q 两点相遇时交点的坐标为 ________________;②当 t=2 时，S△OPQ____________当;t=3 时，S△OPQ____________;③设△OPQ的面积为 S，试求 S对于 t 的函数关系式 ;④当△OPQ的面积最大时，试求在 y 轴上可否找一点 M，使得以 M、P、Q 为极点的三角形是Rt△，若能找到恳求出 M 点的坐标，若不可以找到请简单说明原因。
3如图，在 Rt△AOB 中，∠ AOB=90°，OA=3cm， OB=4cm，以点 O 为坐标原点成立坐标系，设 P、Q 分别为 AB、OB 边上的动点它们同时分别从点 A、O 向 B 点匀速运动，速度均为1cm/ 秒，设 P、Q 挪动时间为 t （0≤t ≤4）（1）过点 P 做 PM⊥OA 于 M ，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出 P 点的坐标（用t表示）（2）求△OPQ面积 S（ cm2），与运动时间 t（秒）之间的函数关系式，当 t 为什么值时，S 有最大值最大是多少（ 3）当 t 为什么值时，△OPQ为直角三角形（4）证明不论 t 为什么值时，△OPQ都不行能为正三角形。
八年级一次函数动点问题
一次函数动点问题【例题精讲一】1、如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x 轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；2．如图，直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t 秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？3．如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．4、如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．（1）求证：△AOG△△ADG；（2）求△PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当△1=△2时，求直线PE的解析式．【例题精讲2】1、如图，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M．已知点A（﹣3，4）．（1）求AO的长；（2）求直线AC的解析式和点M的坐标；（3）点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A﹣B﹣C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB的面积为S．△求S与t的函数关系式；△求S的最大值．2、如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线l交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值；（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论；（3）△设点P的坐标为（1，b），试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围．△求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标．3．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC交于点C．（1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12，直线OC解析式为y=x，△求点C的坐标；△求△OAC的面积．（2）如图2，作△AOC的平分线ON，若AB△ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．4、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y=﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及△PAB的度数；（2）若四边形PQOB的面积是，且CQ：AO=1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．1．阅读下面材料，并解决问题：（I ）如图4，等边△ABC 内有一点P 若点P 到顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5．则△APB = ，由于P A ，PB 不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP 绕顶点A 旋转到△ACP ′处，此时△ACP ′△ ．这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出△APB 的度数．（II ）（拓展运用）已知△ABC 三边长a ，b ，c 满足2|62|24144620a c c b -+-++-=．（1）试判断△ABC 的形状 ．（2）如图1，以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，直接出点B ，C 的坐标 ；（3）如图2，过点C 作△MCN =45°交AB 于点M ，N ．请证明AM 2+BN 2=MN 2；（4）在（3）的条件下，若点N 的坐标是（8，0），则点M 的坐标为 ；此时MN = ．并求直线CM 的解析式．（5）如图3，当点M ，N 分布在点B 异侧时．则（3）中的结论还成立吗？方形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）．（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+2与x轴、y轴交于A、B两点，动点P从A出发沿射线AO运动，动点Q同时从点B出发沿OB的延长线运动，点P、Q的运动速度均为每秒一个单位长．连接PQ交直线AB于D．（1）求A，B两点的坐标；（2）设点P的运动时间为t秒，试求△PBQ的面积S与t的关系式．（3）过P作PE△AB与E，DE的长度是固定值还是不确定的？直接写出你的判断结果不必说明理由．【例题精讲3】1、如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使△ABC=30°．（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【课堂练习】1．如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，12OBOA，点C（x，y）是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点．（1）求直线y=kx+3的解析式；（2）当点C运动到什么位置时△AOC的面积是6；（3）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知直线y=﹣43x+4与x轴和y轴分别交与B、A两点，另一直线经过点B和点D（11，6）．（1）求AB、BD的长度，并证明△ABD是直角三角形；（2）在x轴上找点C，使△ACD是以AD为底边的等腰三角形，求出C点坐标；（3）一动点P速度为1个单位/秒，沿A﹣﹣B﹣﹣D运动到D点停止，另有一动点Q从D点出发，以相同的速度沿D﹣﹣B﹣﹣A运动到A点停止，两点同时出发，PQ的长度为y（单位长），运动时间为t（秒），求y关于t的函数关系式．3．如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB 是等边三角形，点A 的坐标是（0，4），点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连接AP ，并把△AOP 绕着点A 按逆时针方向旋转，使边AO 与AB 重合，得到△ABD ．（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；1、如图，矩形ABCD 的两条边在坐标轴上，点D 与原点重合，对角线BD 所在直线的函数关系式为x y 43=，AD=8，矩形ABCD 沿DB 方向以每秒1个单位长度运动，同时点P 从点A 出发做匀速运动，沿矩形ABCD 的边经过点B 到达点C ，用了14秒。
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一次函数之动点问题
（作业）
例1：如图，直线y =x +4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，直线y =-x +b 过点B ，且与x 轴交于点C ． （1）求直线BC 的表达式．
（2）动点P 从点C 出发，沿CA 方向以每秒1个单位长度的速度向点A 运动（点P 不与点A ，C 重合），动点Q 从点A 同时出发，沿折线AB -BC 以每秒2个单位长度的速度向点C 运动（点Q 不与点A ，C 重合），当其中一点到达终点时，另一点也随之停止．设△CPQ 的面积为S ，运动的时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．
【思路分析】
1．研究背景图形，如图 （把函数信息转为几何信息）
2．分析运动过程
0 < t < 8
C
A 4s
4s
8s B （2/s ） Q ：A
（1/s ） P ：C
3．画图，设计方案计算
当04t <≤时，
2
1122S t t t =⋅⋅= 当48t <<时，
211
(8)422S t t t t =-=-+
2
21(04)214(48)2t t S t t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩
8-t t
82-2t E P Q x
y A B
C
O
t Q P E 2t
t 4
45°42424
4
45°
y=-x+4y=x+4x
y
A
B C O
x
y A B
C O
1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形AOBC 是正方形，
已知点A 的坐标为(0，2)，点D 在x 轴正半轴上，B 是OD 的中点，连接CD ．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿O →A →C →B 的方向匀速运动，动点Q 从点O 同时出发，以相同的速度沿O →B →D →B 的方向匀速运动．过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，设△PEQ 的面积为S ，点P 运动的时间为t 秒（06t <<）．求S 与t 之间的函数关系式．
Q P
x
O y A C
D B (
E )
x
O y A
C
D B
x
O y A
C
D B
2. 如图，直线y =-x +42与x 轴交于点A ，与直线y =x 交于点B ． （1）求点B 的坐标．
（2）判断△AOB 的形状，并说明理由．
（3）动点D 从原点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿OA 向终点A 运动（不与点O ，A 重合），过点D 作DC ⊥x 轴，交线段OB 或线段AB 于点C ，过点C 作CE ⊥y 轴于点E ．设运动的时间为t 秒，矩形ODCE 与△AOB 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．
E
D
A
O C x B
y
y
B
x O A
y
B
x
O A
3. 如图，直线3
3
3
3
4y x =-
+
与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，
与直线3y x =交于点C ．动点E 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿AO 向终点O 运动，动点F 从原点O 同时出发，以相同的速度沿折线OC -CA 向终点A 运动，设点F 运动时间为t 秒．
（1）设△EOF 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．（这里规定线段是面积为0的三角形） （2）当24t ≤≤时，是否存在某一时刻，使得△AEF 是等腰三角形？若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由．
x
O y
A C
B
x
O y
A C
B
x O y
A C
B
【参考答案】
1．2
210222241
618 462t
t S t t t t ⎧<⎪⎪
=<⎨⎪⎪-+<<⎩≤≤（）（）（）
2．（1）(2222)B ，
（2）△OAB 是等腰直角三角形，理由略
（3）2
2023161624t
t S t t t ⎧<⎪=⎨-+-<<⎪⎩≤（）（）
3．（1）2
2330241
33232 244
20 42+23t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪⎪+⎪=-++<⎨⎪⎪<⎪⎪⎩≤≤≤≤（）（）（）
（2）存在，t 的值为2，31+或23
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