高考重点突破：解三角形知识点梳理、例题
(完整版)解三角形,知识点汇总和典型例题,推荐文档
）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
）余弦定理：三角形任何一边的平方等于另两边平方的和减去其与它们夹角的余弦的积的两倍
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角形中的复杂运算可使用计算器
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点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径
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间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到
,20
62315ACsin60+=
b .
故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1.docx
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， C＝90°，AB＝ c， AC＝ b ， BC＝ a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝ 90 °；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A＝ cos B＝a， cos A＝sin＝b， tan A＝a。
c bc2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， A、 B、 C 为其内角， a、b、 c 分别表示 A、 B、C 的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2 ）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等a b c2R （R为外接圆半径）sin A sin B sin C（ 3 ）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2 ＝b2＋2－ 2bccosA；b2 ＝ 2 ＋a2－ 2cacosB；c2＝ 2 ＋b2－2abcos。
c c a C3．三角形的面积公式：1ah a＝11（1）S＝bh b＝ch c（ h a、 h b、 h c分别表示 a、b、 c 上的高）；22211bc sin A＝1（2）S＝ab sin C＝ac sin B；222求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1 ）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2 ）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（ 1）角的变换因为在△ABC 中， A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
解三角形经典例题
解三角形一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径）变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b Bb Bc C c C===2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C=+-=+-=+- 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab+-=+-=+-=4．余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角； （2）已知三边.注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式（1）高底⨯⨯=∆21ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abcS ab C ac B bc A R ABC R ===∆为外接圆半径 （两边夹一角）；6．三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ∆中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-；③()tan tan A B C +=-；④sincos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C+= 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②） 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
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必修五：解三角形知识点一：正弦定理和余弦定理1.正弦定理a b c:si nAsin B si nC J'或变形：a: b:c s iri A:sin B:sin CcosAb 2 2 c2a2bc2 222a2 2b c2bccos AcosB ac b2acb 22 2 a c2accosBcosCb 2 2 a 2 c2 c 2 2 b a 2 •余弦定理：2bacosC 或2ab3. （ 1）两类正弦定理解三角形的问题： 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角（2）两类余弦定理解三角形的问题： 1、已知三边求三角•2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4•判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式运算 女口. sin(A B) sinC,cos(A B)A B C ABC AB C sincos ,cossin ,ta n cot — 2 2 22 225 •解题中利用 ABC 中A B C，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的cosC, tan(A B) tanC,1.若ABC 的三个内角满足si nA:si nB:si nC 5:11:13，贝U ABC 是( )A. 锐角三角形B•钝角三角形C.直角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形•2 .在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若a2b=2,sinB+cosB= 、 2 ,则角A的大小为( )A - B. _ C - D.—2 3 463.在厶ABC中，a 7,b 4、.3,c.13 ,则最小角为A—B、一 C 、— D 、364124.已知ABC中，AB 4, AC 3, BAC60，则BC ()A. 13B. 13C.5D.10 5•在锐角ABC中，若C 2B，则c的范围（）bA. 2, 3 B . 3,2 C . 0,2 D. 2,26.在ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知a2b2c2-、°ab，则C （）23A. 2B.4C.3D.47.在厶ABC中，A60o,b16,面积S220 .. 3，则cA 10、6 B、75C、55D、4 98.在厶ABC中，（a c)(a c) b(b c), 则AA 30o B、60o C、120o D、150o9.已知ABC中，AB 4,BAC45AC 3.2则ABC的面积为cosB b10.在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边,且cosC 2a c ,则角B的大小为11.已知锐角三角形的边长分别是23 x，则x的取值范围是A、1 X 5 B 、、5 x ^13 C 、0 x .5 D 、13x512 . ABC中，AB 1,BC 2则角C的取值范围是__________________知识点二：判断三角形的形状问题C1.在ABC 中，若cos A cos B sin2—，则ABC 是（）2A.等边三角形B •等腰三角形C .锐角三角形D.直角三角形A、一定是直角三角形C、可能是锐角三角形tan A3. 已知在△ABC中，tan B a b4. 在ABC 中，若cosA cosBA .等腰直角三角形5. 在△ ABC 中，若2cosBsinA = sinC,y^ ABC 的形状一定是( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形6. △ ABC 中，B 60°, b2 ac,则厶ABC - -定是( )A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形7. 若(a+b+c)(b+c —a)=3abc,且sinA=2sinBcosC,那么△ ABC 是()A .直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形 D . 等腰直角三角形8.在厶ABC中，已知2ab c2sin A sin BsinC，试判断厶ABC的形状。
解三角形知识点总结及典型例题
解三角形知识点总结及典型例题三角形作为几何学的基础概念之一，是学习几何学不可或缺的部分。
在解三角形的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点和技巧。
本文将对解三角形的相关知识点进行总结，并配以典型例题进行说明。
一、三角形的基本概念三角形由三条边和三个角组成。
根据边的长度，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
根据角的大小，三角形可以分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。
二、重要的定理1. 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。
利用这个定理，我们可以求解一些已知角的三角形问题。
2. 角平分线定理：角平分线将一个角分为两个大小相等的角。
利用这个定理，我们可以求解一些已知角平分线的三角形问题。
3. 直角三角形的性质：直角三角形的两个直角边平方和等于斜边的平方。
这个定理被广泛应用于解决直角三角形的各类问题。
三、解三角形的方法1. 已知两边和夹角如果我们已知三角形的两边和夹角，我们可以利用余弦定理求解第三边的长度。
余弦定理的数学表达式如下：c² = a² + b² - 2abcosC其中，c为第三边的长度，a和b为已知边的长度，C为已知夹角的度数。
2. 已知两边和对应的角如果我们已知三角形的两边和对应的角，我们可以利用正弦定理求解第三角的长度。
正弦定理的数学表达式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度。
3. 已知三边如果我们已知三角形的三边，我们可以利用余弦定理或正弦定理求解其中一个角的大小。
然后，再利用三角形的内角和定理求解其他角的大小。
四、典型例题1. 已知三角形ABC，AB ＝ 8 cm，BC ＝ 6 cm，AC ＝ 10 cm。
求角A、角B和角C的度数。
解：根据余弦定理，cosA ＝ (8² + 10² - 6²) / (2 × 8 × 10) ＝ 0.6cosB ＝ (6² + 10² - 8²) / (2 × 6 × 10) ＝ 0.8cosC ＝ (8² + 6² - 10²) / (2 × 8 × 6) ＝ 0.7通过查表或使用计算器，我们可以得到：角A ≈ 53.13°，角B ≈ 36.87°，角C ≈ 90°2. 在直角三角形ABC中，∠B = 90°，AB ＝ 5 cm，BC ＝ 12 cm。
收集2解三角形重难点,易错点突破(含答案解析)
专题1-2 解三角形重难点、易错点突破(建议用时：60分钟)三角形定“形”记根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题．解答此类问题，一般需先运用正弦、余弦定理转化已知的边角关系，再进一步判断三角形的形状，这种转化一般有两个通道，即化角为边或化边为角．下面例析这两个通道的应用．1．通过角之间的关系定“形”例1 在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形2．通过边之间的关系定“形”例2 在△ABC 中，若sin A ＋sin C sin B ＝b ＋ca ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形细说三角形中解的个数解三角形时，处理“已知两边及其一边的对角，求第三边和其他两角”问题需判断解的个数，这是一个比较棘手的问题．下面对这一问题进行深入探讨． 1．出现问题的根源我们作图来直观地观察一下．不妨设已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，作图步骤如下：①先做出已知角A ，把未知边c 画为水平的，角A 的另一条边为已知边b ；②以边b 的不是A 点的另外一个端点为圆心，边a 为半径作圆C ；③观察圆C 与边c 交点的个数，便可得此三角形解的个数． 显然，当A 为锐角时，有如图所示的四种情况：当A 为钝角或直角时，有如图所示的两种情况：根据上面的分析可知，由于a ，b 长度关系的不同，导致了问题有不同个数的解．若A 为锐角，只有当a 不小于b sin A 时才有解，随着a 的增大得到的解的个数也是不相同的．当A 为钝角时，只有当a 大于b 时才有解． 2．解决问题的策略 (1)正弦定理法已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，求B . 根据正弦定理a sin A ＝b sin B，可得sin B ＝b sin A a.若sin B>1，三角形无解；若sin B＝1，三角形有且只有一解；若0<sin B<1，B有两解，再根据a，b的大小关系确定A，B的大小关系(利用大边对大角)，从而确定B的两个解的取舍．(2)余弦定理法已知△ABC的两边a，b和角A，求c.利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，整理得c2－2bc cos A－a2＋b2＝0.适合问题的上述一元二次方程的解c便为此三角形的解．(3)公式法当已知△ABC的两边a，b和角A时，通过前面的分析可总结三角形解的个数的判断公式如下表：A<90°A≥90°a≥ba<ba>b a≤b a>b sin A a＝b sin A a<b sin A一解二解一解无解一解无解3．实例分析例在△ABC中，已知A＝45°，a＝2，b＝2(其中角A，B，C的对边分别为a，b，c)，试判断符合上述条件的△ABC有多少个？挖掘三角形中的隐含条件解三角形是高中数学的重要内容，也是高考的一个热点．由于我们对三角公式比较熟悉，做题时比较容易入手．但是公式较多且性质灵活，解题时稍有不慎，常会出现增解、错解现象，其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够．下面结合例子谈谈解三角形时，题目中隐含条件的挖掘． 隐含条件1.两边之和大于第三边例1 已知钝角三角形的三边a ＝k ，b ＝k ＋2，c ＝k ＋4，求k 的取值范围．隐含条件2.三角形的内角范围 例2 已知△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．例3 在△ABC 中，tan A tan B ＝a 2b 2，试判断三角形的形状．例4 在△ABC 中，B ＝3A ，求b a的取值范围．正弦、余弦定理三应用有些题目，表面上看不能利用正弦、余弦定理解决，但若能构造适当的三角形，就能利用两定理，题目显得非常容易，本文剖析几例． 1．平面几何中的长度问题例1 如图，在梯形ABCD 中，CD ＝2，AC ＝19，∠BAD ＝60°，求梯形的高．2．求范围例2 如图，等腰△ABC 中，底边BC ＝1，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，求BD 的取值范围(注：0<x <1时，f (x )＝x －1x为增函数)．3．判断三角形的形状例3 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝k ，(k ∈R )． (1)判断△ABC 的形状； (2)若c ＝2，求k 的值．专题1-2 解三角形重难点、易错点突破参考答案三角形定“形”记例1 分析 通过三角形恒等变换和正弦、余弦定理，把条件式转化，直至能确定两角(边)的关系为止，即可判断三角形的形状．解析 方法一 利用正弦定理和余弦定理 2sin A cos B ＝sin C 可化为2a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ，即a 2＋c 2－b 2＝c 2，即a 2－b 2＝0，即a 2＝b 2，故a ＝b . 所以△ABC 是等腰三角形．故选B. 方法二 因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 即C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin(A ＋B )． 由2sin A cos B ＝sin C ，得2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0. 又因为－π＜A －B ＜π， 所以A －B ＝0，即A ＝B . 所以△ABC 是等腰三角形，故选B. 答案 B点评 根据角的三角函数之间的关系判断三角形的形状，一般需通过三角恒等变换，求出角(边)之间的关系． 例2分析 先运用正弦定理化角为边，根据边之间的关系即可判断三角形的形状． 解析 在△ABC 中，由正弦定理，可得sin A ＋sin C sin B ＝a ＋c b ＝b ＋ca ，整理得a (a ＋c )＝b (b ＋c )，即a 2－b 2＋ac －bc ＝0，(a －b )(a ＋b ＋c )＝0. 因为a ＋b ＋c ≠0，所以a －b ＝0，即a ＝b ，所以△ABC 是等腰三角形．故选C. 答案 C点评 本题也可化边为角，但书写复杂，式子之间的关系也不易发现．细说三角形中解的个数例 分析 此题为“已知两边和其中一边的对角”解三角形的问题，可以利用上述办法来判断△ABC 解的情况．解 方法一 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得sin B ＝22sin 45°＝12<1. 又因为a >b ，所以A >B ，故B ＝30°， 符合条件的△ABC 只有一个． 方法二 由余弦定理得 22＝c 2＋(2)2－2×2×c cos 45°，即c 2－2c －2＝0，解得c ＝1±3.而1－3<0，故仅有一解，符合条件的△ABC 只有一个．方法三 A 为锐角，a >b ，故符合条件的△ABC 只有一个．挖掘三角形中的隐含条件例1 [错解] ∵c >b >a 且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角． 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝k 2＋(k ＋2)2－(k ＋4)22k (k ＋2)＝k 2－4k －122k (k ＋2)<0.∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6. 又∵k 为三角形的边长， ∴k >0.综上所述，0<k <6.[点拨] 忽略了隐含条件：k ，k ＋2，k ＋4构成一个三角形，需满足k ＋(k ＋2)>k ＋4.即k >2而不是k >0. [正解] ∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角． 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝k 2－4k －122k (k ＋2)<0.∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6.由两边之和大于第三边得k ＋(k ＋2)>k ＋4，∴k >2， 综上所述，k 的取值范围为2<k <6.温馨点评 虽然是任意两边之和大于第三边，但实际应用时通常不用都写上，只需最小两边之和大于最大边就行了.例2 [错解] 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∴C ＝60°，∴A ＝90°.则S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×23×2×1＝23.[点拨] 上述解法中在用正弦定理求C 时丢了一解．实际上由sin C ＝32可得C ＝60°或C ＝120°，它们都满足条件．[正解] 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC＝32.∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，A ＝90°，∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝23.当C ＝120°时，A ＝30°， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝3. 故△ABC 的面积是23或3.温馨点评 利用正弦定理理解“已知两边及其中一边对角，求另一角”问题时，由于三角形内角的正弦值都为正的，而这个内角可能为锐角，也可能为钝角，容易把握不准确出错.例3 [错解] tan A tan B ＝a 2b 2⇔sin A cos B cos A sin B ＝sin 2A sin 2B ⇔cos B cos A ＝sin Asin B ⇔sin A cos A ＝sin B cos B ⇔sin 2A ＝sin2B ， ∴A ＝B .∴△ABC 是等腰三角形．[点拨] 上述错解忽视了满足sin 2A ＝sin 2B 的另一个角之间的关系：2A ＋2B ＝180°. [正解] tan A tan B ＝a 2b 2⇔sin A cos B cos A sin B ＝sin 2A sin 2B ⇔cos B cos A ＝sin Asin B ⇔sin A cos A ＝sin B cos B⇔sin 2A ＝sin 2B ⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°. ∴A ＝B 或A ＋B ＝90°.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．温馨点评 在△ABC 中，sin A ＝sin B ⇔A ＝B 是成立的，但sin 2A ＝sin 2B ⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°. 例4 [错解] 由正弦定理得b a ＝sin B sin A ＝sin 3A sin A ＝sin (A ＋2A )sin A＝sin A cos 2A ＋cos A sin 2Asin A＝cos 2A ＋2cos 2A ＝4cos 2A －1. ∵0≤cos 2A ≤1， ∴－1≤4cos 2A －1≤3， ∵b a>0，∴0<b a≤3.[点拨] 忽略了三角形内角和为180°，及角A 、B 的取值范围，从而导致b a 取值范围求错． [正解] 由正弦定理得b a ＝sin B sin A ＝sin 3A sin A＝sin (A ＋2A )sin A ＝sin A cos 2A ＋cos A sin 2A sin A＝cos 2A ＋2cos 2A ＝4cos 2A －1. ∵A ＋B ＋C ＝180°，B ＝3A .∴A ＋B ＝4A <180°，∴0°<A <45°.∴22<cos A <1， ∴1<4cos 2 A －1<3，∴1<ba <3.温馨点评 解三角形问题，角的取值范围至关重要．一些问题，角的取值范围隐含在题目的条件中，若不仔细审题，深入挖掘，往往疏漏而导致解题失败.正弦、余弦定理三应用例1 分析 如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则DE 为所求的高．由∠BAD ＝60°，知∠ADC ＝120°，又边CD 与AC 的长已知，故△ACD 为已知两边和其中一边的对角，可解三角形．解Rt △ADE ，需先求AD 的长，这只需在△ACD 中应用余弦定理．解 由∠BAD ＝60°，得∠ADC ＝120°，在△ACD 中，由余弦定理得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos ∠ADC ，即19＝AD 2＋4－2AD ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 解得AD ＝3或AD ＝－5(舍去)．在△ADE 中，DE ＝AD ·sin 60°＝332.点评 依据余弦定理建立方程是余弦定理的一个妙用，也是函数与方程思想在解三角形中的体现．2．求范围例2 分析 把BD 的长表示为∠ABC 的函数，转化为求函数的值域．解 设∠ABC ＝α.因为∠ABC ＝∠C ，所以∠A ＝180°－2α，∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝180°－2α＋α2＝180°－3α2， 因为BC ＝1，在△BCD 中，由正弦定理得BD ＝sin αsin 3α2＝2sin α2cos α2sin αcos α2＋cos αsin α2＝2cos α24cos 2α2－1＝24cos α2－1cos α2， 因为0°<α2<45°，所以22<cos α2<1， 而当cos α2增大时，BD 减小，且当cos α2＝22时， BD ＝2；当cos α2＝1时，BD ＝23， 故BD 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2. 点评 本题考查：(1)三角知识、正弦定理以及利用函数的单调性求值域的方法；(2)数形结合、等价转化等思想．例3 解 (1)∵AB →·AC →＝cb cos A ，BA →·BC →＝ca cos B .又AB →·AC →＝BA →·BC →，∴bc cos A ＝ac cos B ，∴b cos A ＝a cos B .方法一 ∴sin B cos A ＝sin A cos B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，∴sin(A －B )＝0，∵－π＜A －B ＜π，∴A ＝B .∴△ABC 为等腰三角形．方法二 利用余弦定理将角化为边， ∵b cos A ＝a cos B ，∴b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ，∴b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴a 2＝b 2，∴a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形．(2)由(1)知：a ＝b .∴AB →·AC →＝bc cos A ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22＝k ， ∵c ＝2，∴k ＝1.。
解三角形知识点总结及典型例题
课前复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式1两角和与差的正弦公式,sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.2两角和与差的余弦公式,cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcos+sinαsinβ3两角和、差的正切公式tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； tan(α-β)=.tan tan 1tan tan βαβα+-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 简单的三角恒等变换二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= ⑶22tan tan 21tan ααα=- 默写上述公式，检查上次的作业 课本上的!解三角形知识点总结及典型例题2+=(A x c恒成立，所以其图像与x轴没有交点。
中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是=30A；︒B；=30︒S=ABC题型4 判断三角形形状5] 在【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。
解三角形方法与技巧例题和知识点总结
解三角形方法与技巧例题和知识点总结一、解三角形的基本概念在平面几何中，三角形是一个非常重要的图形。
解三角形就是通过已知的三角形的一些元素（如边、角），求出其他未知元素的过程。
三角形中的基本元素包括三个角（通常用 A、B、C 表示）和三条边（通常用 a、b、c 表示）。
解三角形的主要依据是三角形的内角和定理（A ＋ B ＋ C ＝ 180°）以及正弦定理和余弦定理。
二、正弦定理正弦定理的表达式为：＼（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼）。
正弦定理可以用于以下两种情况：1、已知两角和一边，求其他两边和一角。
例如：在三角形 ABC 中，已知角 A ＝ 30°，角 B ＝ 45°，边 c ＝10，求边 a 和边 b。
首先，根据三角形内角和定理，角 C ＝ 180° 30° 45°＝ 105°。
然后，利用正弦定理\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），可得\（a ＝＼frac{c\sin A}｛＼sin C} ＝＼frac{10\times\sin 30°｝｛＼sin 105°｝＼）。
同样，＼（＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），＼（b ＝＼frac{c\sin B}｛＼sin C} ＝＼frac{10\times\sin 45°｝｛＼sin 105°｝＼）。
2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和其他边。
例如：在三角形 ABC 中，已知边 a ＝ 6，边 b ＝ 8，角 A ＝ 30°，求角 B。
由正弦定理\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B}＼），可得\（＼sin B ＝＼frac{b\sin A}｛a} ＝＼frac{8\times\sin 30°｝｛6} ＝＼frac{2}｛3}＼）。
重难点12 解三角形-2023年高考数学(热点 重点 难点)专练(全国通用)(解析版)
重难点12 解三角形1．正弦定理(1)定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R （其中R 为△ABC 的外接圆半径）。
(2)运用方法适用情形：两角A ，B 及其对边a ，b (知三求一)。
列方程：a sin A ＝bsin B 。
(3)变形：a ＝2R sin_A ，sin A ＝a2R ，a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C 等等。
2．余弦定理(1)定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C 。
(2)运用方法适用情形：三边a ，b ，c ，任一内角A (知三求一)。
列方程：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 或cos A ＝b 2＋c 2－a22bc 。
(3)变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A 等等。
3．三角形面积公式(1)正弦定理推论：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 。
(2)其他常用公式方法：S ＝12底×高；S ＝12×C ×r (C 为周长，r 为内切圆半径)等等。
4.判断三角形的形状主要从两个角度考虑（1）化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。
（2）化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论。
无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，避免漏掉一些可能情况。
解题时注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制。
5.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”（1）先利用三角公式对三角函数式进行“化简”；然后把以向量共线、向量垂直、向量的数量积运算等形式出现的条件转化为三角函数式； （2）再活用正、余弦定理对边、角进行互化.2023年高考仍将重点考查已知三角形边角关系利用正弦定理解三角形及利用正余弦定理解平面图形的边、角与面积，题型既有选择也有填空更多是解答题；若考解答题，主要放在第17题位置，为中档题，若为选（填）题可以为基础题，多为中档题，也可为压轴题.（建议用时：40分钟）一、单选题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A = 3π，a 3b = 1，则c =（ ） A 31 B 3C ．1 D ．2【答案】D【解析】解法一：（余弦定理）由2222cos a b c bc A =+-得： 223121cos13c c c c π=+-⨯⨯=+-，220c c ∴--=，2c ∴=或1-（舍).解法二：（正弦定理）由sin sin a b A B=，得：31sin sin 3B π=，1sin 2B ∴=， b a <，6B π∴=，从而2C π=，2224c a b ∴=+=，2c ∴=.故选：D2．在△ABC 中，cos C =3，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A ．19B ．13C ．12D ．23【答案】A【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅ 2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.3．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,23,2AB CD AB BD BC BD ===， 则sin C 的值为（ ）A 3B 6C 3D ．无解【答案】D【解析】3,23,2AB CD AB BD CD BD ==∴=22222234534cos 12?832?22BD BD BD BC DC BD C DC BC BD BD+-+-∴===>⨯，无解.故选D.．ABC 的内角，ABC 的面积为32，则b =（ ）A 13+ B ．13C 23+D ．23【答案】B 【解析】a ，b ，c 成等差数列，2b a c ∴=+，平方得22242a c b ac +=-，又ABC 的面积为32，且30B =︒，故由1113sin sin 302242S ac B ac ac ==︒==，得6ac =，222412a c b ∴+=-，由余弦定理得22222241243cos 22642a cb b b b B ac +----====⨯， 解得2423b =+，又b 为边长，13b ∴=+， 故选B .5．魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D ，G ，F 在水平线DH 上，CD 和EF 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG =1，表高CD =EF =2，后表却行FH =3，表距DF =61.则塔高AB =（ ）A ．60米B ．61米C ．62米D ．63米【答案】D【解析】解：根据题意，CDG ABG ∽△△，EFH ABH ∽， 所以22,1643AB AB BD BD ==++，解得63AB =． 故选：D.6．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若32a b =，则22sin sin sin B A A -的值为（ ） A ．19B ．13C ．1D ．72【答案】D【解析】由正弦定理有22222222sin sin 221sin B A b a b A a a --⎛⎫==- ⎪⎝⎭.又3322b a b a =⇒=,故297212142b a ⎛⎫-=⨯-= ⎪⎝⎭.故选：D7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得 22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 8．在中，若，则的形状是 （ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定.【答案】A【解析】由条件结合正弦定理，得，再由余弦定理，得，所以三角形是钝角三角形，故选A.9．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()222tan 3a c b B ac +-=，则角B的值为（ ）． A ．6πB ．3πC ．6π或56π D ．3π或23π 【答案】D 【解析】解：()222tan 3ac b B ac +-=，()2223cos 22sin ac b B acB+-∴=，即3cos cos 2sin B B B =， 3sin cos 02B B ⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭且tan B 有意义即2B π≠， 3sin 2B ∴=， 在ABC 中，B 为3π或23π，故选：D ．10．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a b c ab C +=+，且sin cos +a B C 2sin cos 2c B A b =，则tan A 等于（ ） A ．3 B ．13-C ．3或13-D ．-3或13【答案】A 【解析】222sin cos tan 222a b c CC C ab +-==⇒=，4C π∴>，2sin sin sin a b cR A B C===， 2sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B ∴⋅⋅+⋅⋅=， 22sin()sin 22A CB ∴+=⇒=，4B π∴=， tan 1B ∴=，∴tan tan tan tan()31tan tan B CA B C B C+=-+=-=-⋅，故选：A.11．在∆ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤．则的取值范围是（ ）A ．（0，6π] B ．[6π，π） C ．（0，3π] D ．[3π，π） 【答案】C【解析】由于222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，根据正弦定理可知222a b c bc +-≤，故2221cos 22b c a A bc +-=≥．又(0,)A π∈，则A 的范围为0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦.故本题正确答案为C.ABC 的三个内角()()31cos sin m n A A =-=，，，．若 m n ⊥，且 cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为 A ．ππ63，B ．2ππ36， C ．ππ36，D ．ππ33，【答案】C【解析】由m n ⊥可得0m n = 即3cos sin 0A A -= 所以角3A π=，因为cos cos sin a B b A c C +=二、填空题13．在△ABC 中，105A ∠=︒，45C ∠=︒，AB =BC 等于______． ．记ABC 的内角则b =________． ABCS=12，cos ac B ∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14-【解析】AB AC ⊥，3AB =，1AC =，由勾股定理得222BC AB AC =+=， 同理得6BD =，6BF BD ∴==，在ACE △中，1AC =，3AE AD ==，30CAE ∠=，由余弦定理得22232cos301321312CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯⨯⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF △中，2BC =，6BF =，1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯. 故答案为：14-.在ABC 中，点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【答案】9【解析】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式 由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线定义和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得ac a c =+，即111a c +=， 因此11444(4)()5529,c a c aa c a c a c a c a c+=++=++≥+⋅=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.故答案为：9.［方法二］： 角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式 由三角形内角平分线性质得向量式a cBD BA BC a c a c=+++． 因为1BD =，所以2222212()a c ac BA BC BA BC a c a c a c ⎛⎫⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，化简得1ac a c =+，即ac a c =+，亦即(1)(1)1a c --=，所以44(1)(1)5524(1)(1)9a c a c a c +=-+-+≥+--=， 当且仅当4(1)1a c -=-，即3,32a c ==时取等号． ［方法三］：解析法＋基本不等式如图5，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．设(,0)C a ，1313,,,2222D A c c ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为A ，D ，C 三点共线，则AD CD k k =，即333222111222c c a -=---，则有a c ac +=，所以111a c+=．下同方法一．［方法四］：角平分线定理＋基本不等式 在BDC 中，22π12cos13CD a a a a =+-=+-，同理21AD c c =+-．根据内角平分线性质定理知CD BC AD AB =，即2211a a a cc c +-=+-，两边平方，并利用比例性质得2211a a c c -=-，整理得()()0a c a c ac -+-=，当a c =时，可解得2,410a c a c ==+=．当a c ac +=时，下同方法一．［方法五］：正弦定理＋基本不等式 在ABD △与BCD △中，由正弦定理得11,sin 60sin sin 60sin AD CD A C==︒︒．在ABC 中，由正弦定理得sin sin sin120sin60sin60a b AD CD AD CDA B +===+︒︒︒． 所以11sin sin sin a A A C =+，由正弦定理得111a a a c==+，即ac a c =+，下同方法一． ［方法六］： 相似＋基本不等式如图6，作AE BC ∥，交BD 的延长线于E ．易得ABE 为正三角形，则,1AE c DE c ==-．由ADE CDB ∽，得AE DEBC BD =，即11c c a -=，从而a c ac +=．下同方法一． 三、解答题17．在ABC 中，5cos 13A =-，3cos 5B =． (1)求sinC 的值．(2)设5BC =，求ABC 的面积． 【答案】(1)1665；(2)83【解析】（1）5cos 13A =-，3cos 5B =，()0,A π∈，()0,B π∈，12sin 13A ∴=，4sin 5B =，()()()sin sin sin sin cos cos sin C A B A B A B A Bπ∴=-+=+=+123541613513565=⨯-⨯=. （2）由正弦定理得：45sin 13512sin 313BC B AC A ⨯⋅===； 1113168sin 5223653ABCSAC BC C ∴=⋅=⨯⨯⨯=. 18．在ABC 中，2cos c b B =，3C =． （1）求B ∠；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长． 条件①：2c b =；条件②：ABC的周长为4+条件③：ABC）2cos c b =2332π=，23C π=，，解得6B π=；①：由正弦定理结合（矛盾，故这样的ABC 不存在；6π=，设ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得2sin6R π=22sin 3R π=则周长a b +解得2R =，则ABC S =则由余弦定理可得2a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
高考数学专项知识点：三角函数及解三角形(含真题)精选全文完整版
专题六三角函数及解三角形知识必备一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr (弧长用l 表示)角度与弧度的换算1°＝180 rad ；1rad ＝180°弧长公式弧长l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 23.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.若α∈2,0(，则tan α>α>sin α.3.角度制与弧度制可利用180°＝πrad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.4.象限角的集合二、同角三角函数的基本关系与诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin cos＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z)π＋α－απ－α2－α2＋α正弦sin α－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cos α－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tan αtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限3.常用结论（1）同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.（2）诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.三、三角函数的图象及性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，)1,2( ，(π，0)，)1,23(，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，)0,2( ，(π，－1)，)0,23(，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z)函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域R R {x |x R x ≠k π＋2}值域[－1，1][－1，1]R 周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数四、正弦定理余弦定理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解5．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．[难点正本疑点清源]1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．真题再现1．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知πsin sin =3 （）1，则πsin =6（）A ．12B C ．23D 【答案】B【解析】由题意可得：13sin sin cos 122，则：3sin cos 122 ，1sin cos 223，从而有：sin coscos sin 663，即sin 63.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.2．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设函数π()cos()6f x x 在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09，将它代入函数 f x 可得：4cos 096，又4,09是函数 f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962，解得32 .所以函数 f x 的最小正周期为224332T故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =AB ．C ．D ．【答案】C【解析】设,,AB c BC a CA b22222cos 916234933c a b ab C c2221cos sin tan 4299a cb B B B ac 故选：C【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.4．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数f (x )=sin x +1sin x，则A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图像关于y 轴对称C ．f (x )的图像关于直线x 对称D ．f (x )的图像关于直线2x对称【答案】D【解析】sin x ∵可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xQ Q ()f x 关于原点对称；11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x Q 故B 错；()f x 关于直线2x对称，故C 错，D 对故选：D【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.5．【2020年高考天津】已知函数π()sin(3f x x ．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②π(2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x 的图象．其中所有正确结论的序号是A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【解析】因为()sin()3f x x，所以周期22T，故①正确；51()sin(sin 122362f ，故②不正确；将函数sin y x 的图象上所有点向左平移3个单位长度，得到sin(3y x 的图象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.6．【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day ）．历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， 的近似值的表达式是A.30303sin tan n n nB.30306sin tan n n nC.60603sin tan n n nD.60606sin tan n n n【答案】A【解析】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n，每条边长为302sin n，所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ，其周长为3012tan n n，303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n，则30303sin tan n n n.故选：A.【点睛】本题考查圆周率 的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=A ．πsin(3x ）B ．πsin(2)3x C ．πcos(26x D ．5πcos(2)6x 【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T ，则222T，所以不选A,当2536212x时，1y 5322122k k Z ，解得： 223k k Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x.而5cos 2cos(2)66x x故选：BC.【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2T即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若2sin 3x ，则cos 2x __________．【答案】19【解析】22281cos 212sin 12()1399x x.故答案为19.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.9．【2020年高考江苏】已知2sin ()4 =23，则sin 2 的值是▲．【答案】13【解析】221sin ()cos )sin 2)4222Q 121(1sin 2)sin 2233故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.10．【2020年高考北京】若函数()sin()cos f x x x 的最大值为2，则常数 的一个取值为________．【答案】2（2,2k k Z均可）【解析】因为 cos sin sin 1cos f x x x x，2 ，解得sin 1 ，故可取2.故答案为：2（2,2k k Z均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.11．【2020年高考浙江】已知tan 2 ，则cos 2 _______，πtan(4_______．【答案】35-；13【解析】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125，tan 1211tan(41tan 123，故答案为：31,53【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.12．【2020年高考江苏】将函数πsin(32)4y x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是▲．【答案】524x【解析】3sin[2(]3sin(2)6412y x x72()()122242k x k k Z x k Z 当1k 时524x.故答案为：524x【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.13．【2020年新高考全国Ⅰ卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，BH DG ∥，EF =12cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．【答案】542【解析】设 OB OA r ，由题意7AM AN ，12EF ，所以5NF ，因为5AP ,所以45AGP ，因为//BH DG ，所以45AHO ，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ，即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，52OQ r，72DQ r ，因为3tan 5OQ ODC DQ ，所以212522r r ，解得r等腰直角OAH △的面积为1142S；扇形AOB 的面积 2213324S，所以阴影部分的面积为1215422S S.故答案为：542.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.14．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ，求ABC △的面积；（2）若sin A C =2，求C .【解析】（1）由题设及余弦定理得2222832cos150c c ，解得2c （舍去），2c ，从而a .ABC △的面积为12sin1502．（2）在ABC △中，18030A B C C ，所以sin sin(30)sin(30)A C C C C ，故sin(30)2C.而030C ，所以3045C ，故15C .【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.15．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A ．（1）求A ；（2）若3b c a ，证明：△ABC 是直角三角形．【解析】（1）由已知得25sin cos 4A A ，即21cos cos 04A A ．所以21(cos 02A ，1cos 2A ．由于0A ，故3A ．（2）由正弦定理及已知条件可得sin sin B C A．由（1）知23B C ，所以2sin sin()33B B ．即11sin 222B B ，1sin()32B ．由于03B ，故2B ．从而ABC △是直角三角形．【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．16．【2020年高考江苏】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ，求tan DAC ∠的值．【解析】（1）在ABC △中，因为3,45a c B ，由余弦定理2222cos b a c ac B ，得29223455b ，所以b 在ABC △中，由正弦定理sin sin b c B C ，得=sin 45sin C，所以sin C（2）在ADC △中，因为4cos 5ADC ,所以ADC 为钝角，而180ADC C CAD ,所以C 为锐角.故cos C 则sin 1tan cos 2C C C .因为4cos 5ADC，所以3sin 5ADC ，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC .从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C .【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.17．【2020年高考天津】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．已知5,a b c ．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求πsin(24A 的值．【解析】（Ⅰ）在ABC △中，由余弦定理及5,a b c222cos 22a b c C ab ．又因为(0,π)C ，所以π4C ．（Ⅱ）在ABC △中，由正弦定理及π,4C a c sin 213sin 13a C A c ．（Ⅲ）由a c 及213sin 13A，可得313cos 13A ，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A．所以，πππ125sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A ．【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.18．【2020年高考北京】在ABC 中，11a b ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A；条件②：19cos ,cos 816A B ．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解析】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ∵，11a b 22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a ∵8a（Ⅱ）1cos(0,)sin77A A A∵，由正弦定理得：7sinsin sin sin2437a c CA C C11sin(118)8222S ba C选择条件②（Ⅰ）19cos,cos,(0,)816A B A B∵sin816A B由正弦定理得：6sin sin816a b aA B（Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos8161684C A B A B B A11sin(116)62244S ba C【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.19．【2020年高考浙江】在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2sin0b A ．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求cos A+cos B+cos C的取值范围．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得2sin sinB A A，故sin2B ，由题意得π3B .（Ⅱ）由πA B C得2π3C A，由ABC△是锐角三角形得ππ(,62A .由2π1cos cos()sin322C A A A得11π113cos cos cos sin()(,]2226222A B C A A A.故cos cos cosA B C的取值范围是13(,]22.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.20．【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①ac ，②sin 3c A ，③c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B ，6C，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】方案一：选条件①．由6C 和余弦定理得22222a b c ab ．由sin A B 及正弦定理得a ．222b c ．由①ac ，解得1a b c ．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c ．方案二：选条件②．由6C 和余弦定理得2222a b c ab ．由sin A B 及正弦定理得a ．22232 ，由此可得b c ，6B C ，23A ．由②sin 3c A ，所以6c b a ．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c 方案三：选条件③．由6C 和余弦定理得22222a b c ab ．由sin A B 及正弦定理得a ．2222 ，由此可得b c ．由③c ，与b c 矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．。
解三角形(总结+题+解析)
解三角形一．正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到1.(1) a=2RsinA(2) b=2RsinB(3) c=2RsinC2.(1) sinA=a/2R(2) sinB=b/2R(3) sinC=c/2R3.a ：b ：c=sinA ：sinB:sinC适用类型（1）AAS（2）SSA二．余弦定理：1. a^2 = b^2 + c^2 - 2·b ·c ·cosA2. b^2 = a^2 + c^2 - 2·a ·c ·cosB3. c^2 = a^2 + b^2 - 2·a ·b ·cosC余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a ·b)2. cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a ·c)3. cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b ·c ）适用类型1.SSA2.SAS3.SSS三．余弦定理和正弦定理的面积公式S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB（常用类型：已知三角形两边及其夹角）判断解的个数判断三角形的形状有两种途径：（1）将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解（2）将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解三．解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。
俯角：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角方向角：从指定方向线到目标方向的水平角测距离的应用测高的应用(一)已知两角及一边解三角形例1已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.∠B=180°-30°-45°=105°a=10sin45°/sin30°=10√2sin105°=sin(60+45)=√2/2(√3/2+1/2)=(√6+√2)/41/sin105=√6-√2b=10sin45°/sin105°=5√2(√6-√2)=10(√3-1)（二）已知两边和其中一边对角解三角形例2在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=2√3，b =√6，A=45°，求边长C由余弦定理，得b²+c²-2bccosA-a²=06+c²-2√3c-12=0c²-2√3c-6=0根据求根公式，得c=√3±3又c>0所以c=3+√3（三）已知两边及夹角，解三角形例3△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.解：由余弦定理得∴a2-9a+18=0，得a=3或6当a=3时，A=30°，∴C=120°当a=6时，由正弦定理∴A=90°∴C=60°。
高考数学解三角形中的要素基础知识与典型例题讲解
高考数学解三角形中的要素基础知识与典型例题讲解一、基础知识： 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。
其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。
如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +−=⇔+−= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+−变式：（1）222cos 2b c a A bc+−=① 此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出A 是钝角还是锐角 当222b c a +>时，cos 0A >，即A 为锐角；当222b c a +=（勾股定理）时，cos 0A =，即A 为直角； 当222b c a +<时，cos 0A <，即A 为钝角② 观察到分式为齐二次分式，所以已知,,a b c 的值或者::a b c 均可求出cos A（2）()()2221cos a b c bc A =+−+ 此公式在已知b c +和bc 时不需要计算出,b c 的值，进行整体代入即可3、三角形面积公式：（1）12S a h =⋅ （a 为三角形的底，h 为对应的高） （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===（3）()12S a b c r =++⋅ （r 为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）（4）海伦公式：()12S p a b c ==++（5）向量方法：()()22S a ba b=⋅−⋅ （其中,a b 为边,a b 所构成的向量，方向任意）证明：()2222222111sin sin 1cos 244S ab C S a b C a b C =⇒==−S ∴=cos a b ab C ⋅=∴ ()()22S a b a b =⋅−⋅坐标表示：()()1122,,,a x y b x y =，则122112S x y x y =− 4、三角形内角和A B C π++=（两角可表示另一角）。
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高考重点突破：解三角形知识点梳理1、正弦定理：__a sin A __＝__b sin B ____＝__csin C _＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝____ sin A ∶sin B ∶sin C _____；(2)a ＝___2Rsin A _____，b ＝__2Rsin B _____，c ＝__2Rsin C ___；(3)sin A ＝___a 2R ____，sin B ＝___b 2R ___，sin C ＝__c2R _____等形式，以解决不同的三角形问题.2.余弦定理：a 2＝__ b 2＋c 2－2bccos A ________，b 2＝__ a 2＋c 2－2accos B _____，c 2＝____ a 2＋b 2－2abcos C ____.余弦定理可以变形为：cos A ＝___b2＋c2－a22bc ________，cos B ＝___a2＋c2－b22ac ______，cos C ＝___a2＋b2－c22ab______.3.面积公式S △ABC ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r.4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题： (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题. 解三角形时，三角形解的个数的判断在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝bsin A bsin A<a<b a ≥b a>b 解的个数一解两解一解一解5．判断三角形的形状特征必须从研究三角形的边角关系入手，充分利用正、余弦定理进行转化，即化边为角或化角为边，边角统一． ①等腰三角形：a ＝b 或A ＝B.②直角三角形： b 2＋c 2＝a 2或 A ＝90° .③钝角三角形： a 2＞b 2＋c 2或 A ＞90° .④锐角三角形：若a 为最大边，且满足 a 2＜b 2＋c 2或A 为最大角，且 A ＜90° .6．由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A ＞B ⇔a ＞b ⇔sinA ＞sinB.例题精讲例1 ⑴在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c. (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c.解 (1)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ， 3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝32.∵a>b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝bsin C sin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝bsin C sin B ＝6－22.(2)∵B ＝60°，C ＝75°，∴A ＝45°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝a ·sin B sin A ＝46，c ＝a ·sin C sin A ＝43＋4.∴b ＝46，c ＝43＋4.例2、设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2bsinA.①求角B 的大小；②求cosA ＋sinC 的取值范围．解析 ①由a ＝2bsinA ，根据正弦定理得sinA ＝2sinBsinA ，所以sinB ＝12，由△ABC 为锐角三角形得B ＝π6.②cosA ＋sinC ＝cosA ＋sin(π－π6－A)＝cosA ＋sin(π6＋A)＝cosA ＋12cosA ＋32sinA ＝3sin(A ＋π3)．由△ABC 为锐角三角形知，π2＞A ＞π2－B ，又π2－B ＝π2－π6＝π3. ∴2π3＜A ＋π3＜5π6，∴12＜sin(A ＋π3)＜32. 由此有32＜3sin(A ＋π3)＜32×3＝32，所以cosA ＋sinC 的取值范围为(32，32)． 点评 解决这类问题的关键是利用正弦定理和余弦定理，要么把角化成边，要么把边化成角，然后再进行三角恒等变换得到y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 型函数，从而求解单调区间、最值、参数范围等问题，注意限制条件A ＋B＋C ＝π，0＜A ，B ，C ＜π的应用，如本题中由△ABC 为锐角三角形得到A ＋B ＞π2，从而推到2π3＜A ＋π3＜5π6.探究提高 (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意.变式训练 (1) 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________. π6(2)在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________；（3）在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝______解析 (2)∵在△ABC 中，tan A ＝13，C ＝150°，∴A 为锐角，∴sin A ＝110.又∵BC ＝1.∴根据正弦定理得AB ＝BC ·sin C sin A ＝102.(3)由b>a ，得B>A ，由a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝bsin A a ＝25650×22＝32，∵0°<B<180° ∴B ＝60°或B ＝120°.例3、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足csinA ＝acosC. ①求角C 的大小；②求3sinA －cos(B ＋π4)的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．解析 ①由正弦定理得sinCsinA ＝sinAcosC.因为0＜A ＜π，所以sinA ＞0，从而sinC ＝cosC ，又cosC ≠0，所以tanC ＝1，则C ＝π4.②由(1)知B ＝3π4－A.于是3sinA －cos(B ＋π4)＝3sinA －cos(π－A)＝3sinA ＋cosA ＝2sin(A ＋π6)．∵0＜A ＜3π4，∴π6＜A ＋π6＜11π12，从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin(A ＋π6)取最大值2.综上所述，3sinA －cos(B ＋π4)的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.例4、如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形，M 、N 分别是边AB 、AC 上的点，线段MN 经过△ABC 的重心G.设∠MGA ＝α(π3≤α≤2π3)．①试将△AGM 、△AGN 的面积(分别记为S 1与S 2)表示为α的函数； ②求y ＝1S21＋1S22的最大值与最小值．解析①因为G 是边长为1的正三角形ABC 的重心， 所以AG ＝23×32＝33，∠MAG ＝π6，由正弦定理GM sin π6＝GAsin π－α－π6，得GM＝36sin α＋π6.则S1＝12GM ·GA ·sin α＝sin α12sin α＋π6(或163＋cot α)．又GN sin π6＝GAsin α－π6，得GN＝36sin α－π6，则S2＝12GN ·GA ·sin(π－α)＝sin α12sin α－π6(或163－cot α)，②y ＝1S21＋1S22＝144sin2α·[sin2(α＋π6)＋sin2(α－π6)]＝72(3＋cot2α)．因为π3≤α≤2π3，所以，当α＝π3或α＝2π3时，y 取得最大值ymax ＝240；当α＝π2时，y 取得最小值ymin ＝216.题型二 利用余弦定理求解三角形例5、 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积. 解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a2＋c2－b22ac ，cos C ＝a2＋b2－c22ab.将上式代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c 得： a2＋c2－b22ac ·2ab a2＋b2－c2＝－b2a ＋c ，整理得：a2＋c2－b2＝－ac.∴cos B ＝a2＋c2－b22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b2＝a2＋c2－2accos B ，得b2＝(a ＋c)2－2ac －2accos B ，∴13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ac ＝3. ∴S △ABC ＝12acsin B ＝334.探究提高 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键. (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用. 变式训练 1．已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a2＋c2－b2＝ac. (1)求角B 的大小；(2)若c ＝3a ，求tan A 的值．解 (1)∵a2＋c2－b2＝ac ，∴cos B ＝a2＋c2－b22ac ＝12.∵0<B<π，∴B ＝π3.(2)方法一 将c ＝3a 代入a2＋c2－b2＝ac ，得b ＝7a.由余弦定理，得cos A ＝b2＋c2－a22bc ＝5714.∵0<A<π，∴sin A ＝1－cos2A ＝2114，∴tan A ＝sin A cos A ＝35. 方法二 将c ＝3a 代入a2＋c2－b2＝ac ，得b ＝7a.由正弦定理，得sin B ＝7sin A.由(1)知，B ＝π3，∴sin A ＝2114.又b ＝7a>a ，∴B>A ，∴cos A ＝1－sin2A ＝5714. ∴tan A ＝sin A cos A ＝35.方法三 ∵c ＝3a ，由正弦定理，得sin C ＝3sin A.∵B ＝π3，∴C ＝π－(A ＋B)＝2π3－A ，∴sin(2π3－A)＝3sin A ，∴sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝3sin A ，∴32cos A ＋12sin A ＝3sin A ，∴5sin A ＝3cos A ，∴tan A ＝sin A cos A ＝35.例6、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，b 2+c 2-a 2＝3. (1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值. 解 (1)∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos2A 2－1＝35，∴sin A ＝45.又b 2+c 2-a 2＝3，∴bccos A ＝3，∴bc ＝5.∴S △ABC ＝12bcsin A ＝12×5×45＝2.(2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6，根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ＝(b ＋c)2－2bc －2bccos A ＝36－10－10×35＝20，∴a ＝2 5.３．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，AB BC ⋅＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4. (1)求b ·c 的最大值及θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝23sin2(π4＋θ)＋2cos2θ－3的值．【解析】(1)∵AB BC ⋅＝8，∠BAC ＝θ，∴bccos θ＝8. 又a ＝4，∴b2＋c2－2bccos θ＝42 即b2＋c2＝32. 又b2＋c2≥2bc ∴bc ≤16，即bc 的最大值为16.而bc ＝8cos θ，∴8cos θ≤16，∴cos θ≥12∵0<θ<π，∴0<θ≤π3.(2)f(θ)＝23sin2(π4＋θ)＋2cos2θ－3＝3[1－cos(π2＋2θ)]＋1＋cos2θ－ 3＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋π6)＋1∵0<θ≤π3， ∴π6<2θ＋π6≤5π6 ∴12≤sin(2θ＋π6)≤1.当2θ＋π6＝5π6，即θ＝π3时，f(θ)min ＝2×12＋1＝2.当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，f(θ)max ＝2×1＋1＝3.点评 有关三角形中的三角函数求值问题，既要注意内角的范围，又要灵活利用基本不等式．题型三 正、余弦定理的综合应用例3 (2011·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin A ＋sin C ＝psin B (p ∈R)，且ac ＝14b2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围. 解 (1)由题设并由正弦定理， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝54，ac ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accos B ＝(a ＋c)2－2ac －2accos B ＝p2b2－12b2－12b2cos B ，即p2＝32＋12cos B.因为0<cos B<1，所以p2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，由题设知p>0，所以62<p< 2.探究提高 在已知关系式中，若既含有边又含有角.通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角.变式训练３ 1.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c.(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A)＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状.解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C得a2＋b2－ab ＝4.又∵△ABC 的面积为3，∴12absin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A)＝sin 2A ，得sin(A ＋B)＋sin(B －A)＝2sin Acos A ， 即2sin Bcos A ＝2sin Acos A ，∴cos A ·(sin A －sin B)＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A<π，∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ， 即△ABC 为等腰三角形.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.2. ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A= 2a⑴ ba ⑵若c2=b2+ 3a2求B.解: (1)由正弦定理得，sin2Asin B ＋sin Bcos2A ＝2sin A ，即sin B(sin2A ＋cos2A)＝2sin A.故sin B ＝2sin A ，所以ba ＝ 2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cos B ＝1＋3a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B ＝12，又cos B>0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.题型四 判断三角形的形状一、判断三角形的形状例1在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，已知2asinA ＝(2b ＋c)sinB ＋(2c ＋b)sinC. (1)求角A 的大小；(2)若sinB ＋sinC ＝1，试判断△ABC 的形状． 解析 (1)由已知得：2a2＝(2b ＋c)b ＋(2c ＋b)c. 即a2＝b2＋c2＋bc由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA ∴cosA ＝－12∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝120°.(2)由(1)得：sin2A ＝sin2B ＋sin2C ＋sinBsinC又sinB ＋sinC ＝1得sinB ＝sinC ＝12∵0°<B<60°，0°<C<60°. ∴B ＝C. ∴△ABC 是等腰的钝角三角形．点评 有关三角形形状的判定，途径一：探究内角的大小或取值范围确定形式；途径二：计算边的大小或转化为仅关于边的关系式确定形式．例2、在△ABC 中，若(a2＋b2)sin(A －B)＝(a2－b2)·sin(A ＋B)， 试判断△ABC 的形状.解 ∵(a2＋b2)sin(A －B)＝(a2－b2)sin(A ＋B)，∴b2[sin(A ＋B)＋sin(A －B)]＝a2[sin(A ＋B)－sin(A －B)]， ∴2sin Acos B ·b2＝2cos Asin B ·a2，即a2cos Asin B ＝b2sin Acos B. 方法一 由正弦定理知a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，∴sin2Acos Asin B ＝sin2Bsin Acos B ，又sinA ·sin B ≠0，∴sin Acos A ＝sin Bcos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B.在△ABC 中，0<2A<2π，0<2B<2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形.方法二 由正弦定理、余弦定理得： a2b b2＋c2－a22bc ＝b2a a2＋c2－b22ac，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0. 即a ＝b 或a2＋b2＝c2.∴△ABC 为等腰或直角三角形.变式训练1.已知在△ABC 中，222cos A b c c +=，则△ABC 的形状是解析：∵cos2A 2＝b ＋c 2c ，∴cos A ＋12＝b ＋c2c.∴cos A ＝b c . 又∵b2＋c2－a22bc ＝bc，即b2＋c2－a2＝2b2. ∴a2＋b2＝c2.∴△ABC 为直角三角形．探究提高 利用正弦、余弦定理判断三角形形状时，对所给的边角关系式一般都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系，再判断.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ， 且3b2＋3c2－3a2＝42bc. (1)求sin A 的值；(2)求2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋C ＋π41－cos 2A 的值．解 (1)∵3b2＋3c2－3a2＝42bc ，∴b2＋c2－a2＝423bc.由余弦定理得，cos A ＝b2＋c2－a22bc ＝223，又0<A<π，故sin A ＝1－cos2A ＝13(2)原式＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－A ＋π41－cos 2A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π42sin2A＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin A ＋22cos A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin A －22cos A 2sin2A＝sin2A －cos2A2sin2A＝－72.所以2sin(A ＋π4)sin(B ＋C ＋π4)1－cos 2A ＝－72方法与技巧1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．2.应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数.3.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，。