一个错误解答和一个错误结论

一个错误解答和一个不可靠的结论

湖北省吴乃华

一本由福建少年儿童出版社1991年出版的《1990年全国数学赛题精选与解答》的书，在它的第18页中有这样一道题：

“两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳。甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米，他们同时分别在游泳池的两端出发，来回共游了5分钟。如果不计转向的时间，那么在这段时间内共相遇了几次？”

这是1990年上海市小学六年级数学竞赛试题的第14题，该书对这道题的解答过程是这样的：

“根据题意，有相向行程问题的数量关系可知他们两人在五分钟内行程总距离是

（1＋0.6）×60×5＝480（米）.

由多次相向行程相遇的特点，可知从出发到第一次相遇两人行程距离之和是30米，而从第一次相遇到第二次相遇时两人行程距离之和是（30×2）米，从第二次相遇到第三次相遇时两人行程距离之和也是（30×2）米，……如此下去。

这样，第一次相遇后，已行程为30米，那么（480－30）米，还需要相遇几次呢？

（480－30）÷（30×2）＝7（次）……余30米.

由此可知他们在五分钟时间相遇7＋1＝8（次）后，他们又共同行了30米的路程。”

从前面的分析与解答可以看出，该书的作者在内心思想上就认为，仅仅是个“多次相向行程相遇”的问题，因而只考虑了相向相遇的情况，而忽略了追及相遇的情况。对于这样的一个解答，着实令我们遗憾。

由本题的条件可知，甲、乙两人的速度比是1：0.6＝5：3. 对于类似这样速度不同的且在固定的两点间反复作来回运动的两个运动体，是不可能不考虑既有相向相遇，又有追及相遇的情况发生的。

本题开始时，甲、乙两人相距30米，因此，甲第一次追上乙，需时

30÷（1－0.6）＝75（秒）

第一次追上后，甲要再次追上乙，要追2个全程，需时30×2÷（1－0.6）＝150（秒）

5分钟内，甲追上乙的次数是（60×5－75）÷150＋1≈2（次）

因此，在这段时间内共相遇的次数是8＋2＝10（次）

这本书是1991年出版的，距今已整整20年了，当年学习奥数或者接触过这本书的小学生，现在已经是成年人了，都各有各的工作岗位了。好奇心的驱使，我想在网络上了解一下，对这一问题，到现在像这

样只顾其一，不顾其它的人的大概比率是多少。经过搜索，浏览了一些网页，粗略地估算了一下，对这道题的答案是“8次”的人约占50%。这些人的思维，究竟是不是受到这本书的影响，我们不得而知。

在浏览网页的过程中，我还发现了一个奇特解答方法，其答案正确，也是10次，不过其解答方法却十分简单，其算理更是奇妙：

“5分钟内，甲一共跑了（5×60×1)÷30＝10（个）单程，每个单程都要与乙相遇1次，所以甲、乙共相遇10次。”

他们的理论依据是：“甲乙都在池子里面游，不管怎么样，在一个单程中，总会见到另外一个人的，绝不可能出现一个单程碰不到另外一个人的情况，当然也不会有速度快的人一个单程碰见两次速度慢的人的情况。”

为了检测这一结论的准确性和可靠性，我们不妨仍以1990年上海市第三届小学五年级数学竞赛试题中一道类似题予以比对。题目是：

“甲、乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米。如果他们同时分别从直路两端出发，当他们跑了10分钟时，那么在这段时间内共相遇了多少次？”

套用这种解题模式来解答，其结果是10分钟内甲一共跑了（10×60×3）÷90＝20个单程，根据每个单程都要相遇1次，甲乙应该一共要相遇20次。

这类题的解答方法很多，有以全程的个数来计算的“全程法”，有以倍数来计算的“倍数法”，有循环周期来计算的“周期法”，还有“图示法”、“方程法”。这道题是这类题中最简单的一种，但是，不论采用上述的哪一种方法、哪一种思路都得不到“20次”的答案。

众所周知，像这样运动，第一次相遇，两个运动体要共行一个全程，以后两个运动体每共同运动2个全程，就相遇一次。

甲乙两人在10分钟内共跑的全程数是（3＋2）×60×10÷90＝331

3

（个）

因此，在这段时间内甲乙两人共相遇了（33－1）÷2＋1＝17（次）

由这样两个迥然不同的结果，可知这个奇特的解答方法是有问题的。那么，问题出在什么地方呢？

我们知道，根据两个运动体在一个单位时间内的运动，其的速度比可以分为两大类：

1、奇数：偶数.

如果两个运动体的速度比是奇数：偶数，当他们运动到半个周期时（即速度比的和），他们就在速度为偶的一方的出发点相遇。由于这个相遇点的特殊性，这一次相遇，按常规的相向相遇、和追及相遇的计算，都算上了它，即是一次重复的计算。

对于这次重复计算的处理，通常是这样做的：

①.如果两个运动体的速度比是相邻两数，比如上面五年级的试题，“甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米”，他们的速度比就是3：2。当乙游2个单程回到出发点时，甲游3个单程也同时到了这里，这就是半个周期。为了简便，我们在计算两人相遇的次数时，就可以只按相向相遇计算，对追及相遇不予理睬。

②.如果两个运动体的速度比是“任意奇数：任意偶数”，就在一个周期内（即速度比的和×2），把相遇的次数减掉1次。比如：

李洋和王冬在一段长88米的直道上来回练跑，他们从这段路的A、B两点同时相向出发，王冬每秒钟

跑2.8米，李洋每秒钟跑1.6米，他们不停地跑了142

3

分钟。在这段时间内他们共相遇了几次？

分析与解答根据题意，我们用下面的图示表示题中两人行进的过程：李、王两人的速度比是 2.8∶1.6＝7∶4

王冬跑一个单程需88÷2.8＝313

7

(秒）.

李洋跑一个单程需88÷1.6＝55（秒）.

时间单位：秒

从上面图示可以看出，当两人都跑220秒时，王冬跑了7个单程（实线），李洋跑了4个单程（虚线），两人在偶方的出发点相遇，即两人共跑了半个循环周期。当两人都跑440秒时，王冬跑了14个单程，李洋跑了8个单程，两人都同时回到了各自的出发点，即共跑了一个循环周期，即（7＋4）×2＝22.

王冬跑的单程数：142

3

×60÷31

3

7

＝28（个）

李洋跑的单程数：142

3

×60÷55＝16（个）

两人共跑的单程数：28＋16＝44（个）

两人共跑的周期数44÷[（7＋4）×2] ＝2（个）相向相遇的次数：（44－1）÷2＋1＝22（次）王冬比李洋多跑的单程数28－16＝12（个）

追及相遇的次数（12－1）÷2＋1≈6（次）

在这段时间内他们共相遇的次数：22＋6－2＝26（次）