控制工程-传递函数
自动控制原理传递函数知识点总结
自动控制原理传递函数知识点总结自动控制原理是研究自动控制系统中信号传递、处理、转换等基本理论和方法的学科。
传递函数是描述线性时不变系统的数学模型，它对于分析和设计控制系统起着重要的作用。
下面将对自动控制原理中关于传递函数的知识点进行总结。
一、传递函数的定义传递函数是用来描述线性时不变系统输入-输出关系的数学函数。
对于连续时间系统，传递函数可以表示为：G(s) = Y(s) / X(s)其中，G(s)为传递函数，Y(s)为系统的输出信号，X(s)为系统的输入信号，s为复变量。
对于离散时间系统，传递函数可以表示为：G(z) = Y(z) / X(z)其中，G(z)为传递函数，Y(z)为系统的输出信号，X(z)为系统的输入信号，z为复变量。
二、传递函数的性质1. 时域特性：传递函数可以通过拉氏变换将时域的微分、积分方程转换为频域的代数方程，从而简化系统的分析和设计。
2. 稳定性：传递函数的稳定性与其极点位置有关。
当所有极点均位于左半平面时，传递函数是稳定的；当存在极点位于右半平面时，传递函数是不稳定的。
3. 零点和极点：传递函数的零点是使得传递函数为零的点，极点是使得传递函数无穷大的点。
零点和极点的位置对系统的动态性能和稳定性有重要影响。
4. 频率响应：传递函数的频率响应是指系统对不同频率输入信号的响应特性。
频率响应可以通过传递函数的频域分析获得，包括幅频特性和相频特性。
三、传递函数的常见形式1. 一阶系统传递函数：一阶系统的传递函数形式为：G(s) = K / (s + a)其中，K为传递函数的增益，a为系统的时间常数。
2. 二阶系统传递函数：二阶系统的传递函数形式为：G(s) = K / (s^2 + 2ζω_ns + ω_n^2)其中，K为传递函数的增益，ζ为阻尼比，ω_n为自然频率。
3. 传递函数的因果性：因果系统的传递函数在复平面上的极点全部位于左半平面，即Re(s) < 0。
非因果系统的传递函数在复平面上的极点存在于右半平面，即Re(s) > 0。
机械控制工程-传递函数与方框图
d xK dt
X ( s) G(s) Ks ( s)
测速发电机
d u (t ) K dt
• 一阶惯性环节
dxo T xo Kxi , dt
X o ( s) K G( s) X i ( s) Ts 1
特点：输出不能立即跟随输入的变化
F
dx F B Kx dt X (s) 1 G ( s) = F ( s ) Bs+K 1/K = B s 1 K
2 N 1
阻 尼
惯 性
转 矩
J1 c1 m ( J m 2 )m (cm 2 )m N N m J m cm
惯性负载
1 c Js Js c
阻尼负载
• 转矩和转速之间关系
m
1 Js c
m
电机传递函数
1 ur (t ) Ri (t ) i (t ) dt C U c ( s) 1 G ( s) U r ( s ) RCs 1
R-C串联电路与直流电压接 通，电容上电压建立过程
C(t)
1.0 0.95 0.632 0.5
0
T
3T
t
• 振荡环节
d xo dxo T 2 xo Kxi 2 dt dt
R
L
ui(t)
i(t)
C
uc(t)
uR (t ) Ri(t )
di(t ) uL (t ) L dt
1 uC (t ) i (t )dt C
di(t ) 1 ui (t ) Ri(t ) L i(t )dt dt C 1 u0 (t ) i (t )dt C
xo K xi dt
控制工程基础---第四章传递函数
微分环节
惯性环节
一阶微分环节
振荡环节
二阶微分环节
延时环节
第三节传递函数的方块图
一、组成元素
1、方块单元：表示环节或系统的传递函数。
2、叠加点：表示信号的运算及其结果。
3、信号线：带箭头的直线或折线。箭头的方向表示信号的流向。
二、基本运算
1、串联
2、并联
3、反馈
三、等效移动原则
1、引出点的移动：保证引出信号不变
2、对于实际的物理系统，
四、概念
1、零点、极点：
零点：系统传递函数分子s多项式为零的根。
极点：系统传递函数分母s多项式为零的根。
2、传递系数： 。
3、特征方程：传递函数分母s多项式。
4、阶：系统特征方程s的最高指数。
例3、以例1、例2的结果为例。
第二节典型环节及其传递函数
名称
微分方程
传递函数
比例环节
例：系统方块图如图示，简化求传递函数。
将a点后移
五、方块图的建立
1、步骤：
建立系统微分方程组。
对微分方程图连接。
2、举例
例1：建立电路的方块图，并传递函数。
解：
例2、建立图示系统的方块图，求传递函数。
解：设中间变量为x(t)，其力平衡方程为
例3、建立直流电动机的方块图，求传递函数。
第四章传递函数
第一节传递函数
一、定义：系统初始状态为零，系统输出与输入的拉氏变换之比。
二、求法：
1、由微分方程求取。
若系统的微分方程为
对微分方程的两端求拉氏变换
例1：系统微分方程为 ，求系统的传递函数。
解：由给定的微分方程，
例2：求R-C电路的传递函数。
控制工程基础(第三章,控制系统的复数域描述)
负载效应
2、动态结构图的等效变换 结构图表示了系统中各信号之间的传递与运算的全部关 系。但有时结构图比较复杂，需简化后才能求出传递函数， 等效原则是：对结构图任何部分进行变换时，变换前后该 部分的输入量、输出量及其相互之间的数学关系应保持不 变。 （1）串联环节的简化
X 0 (s)
G1 ( s )
4. 积分环节 积分环节的动态方程和传递函数分别为
c (t ) K r (t ) dt
K G (s) s
特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入 消失，输出具有记忆功能。 实例：电动机角速度与角度间的传递函数、电容 充电、模拟计算机中的积分器等。
5. 二阶振荡环节
振荡环节的运动方程和传递函数分别为
(a)
(b)
结构图的相加点(a)和分支点(b)
绘制系统方框图的一般步骤 1） 写出系统中每一个部件的运动方程式 2） 根据部件的运动方程式写出相应的传递函数，一个 部件用一个方框表示在框中填入相应的传递函数
3）根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，并 把系统的输入量置于系统方框图的最左端，输出量置 于最右端 例 绘制下图所示电路的方框图 方程有
Gs 就是该系统的传递函数 阵
用拉氏变换做微分方程组的传递函数矩阵，中间变量的消元
三、典型环节的传递函数 1. 比例环节
比例环节又称放大环节，该环节的运动方程和相 对应的传递函数分别为
c(t ) Kr (t )
式中K为增益。
C ( s) G( s) K R( s )
特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。
Ｒ-L-C电路
c
弹簧-质量-阻尼器系统
6. 纯时间延时环节
延时环节的动态方程和传递函数分别为
控制工程基础：第二章 控制系统的数学模型及传递函数
用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统； 如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时 变系统。
线性系统的重要性质是可以应用叠加原理:
（1）多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入 单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出 亦增大同样的倍数。
一、 拉氏变换的定义
§2.2 拉普拉斯积分变换
1. 拉氏变换的定义
如果有一个以时间t为自变量的实函数f (t),
它的定义域是t 0，那么函数f (t)的拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
复变量：s j
原函数： f (t) 象函数： F (s)
F(s) L[ f (t)]
(6)式即为二阶常系数线性微分方程。
四、小结：
§2.1系统运动微分方程的建立
（1）物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。
机械平移动力学系统:
d2 m dt2
xo
(t
)
B
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
电网络系统:
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
L[Ax1(t) Bx2 (t)] AX1(s) BX 2 (s)
2. 微分定理和积分定理
（1）微分定理
在所有初始条件均 为零时
L[ df (t)] sF (s) dt
L[ f (t)] F(s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t)] s 2 F (s) sf (0) f (0) dt 2
控制工程基础3-第2章 (数学模型1：微分方程,传递函数)
at
sa
2
• 拉氏变换的基本性质 (1) 线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。 (2) 微分性质 L 若[ f (t )] F ( s ) ，则有 L[ f (t )] sF ( s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。 (3) 积分性质 则 若 L[ f (t )] F ( s )
该标准型为二阶线性常系数微分方程，系统中存在两个储能元件质 量和弹簧，故方程式左端最高阶次为二。
-
机械旋转系统
• [例2]：设有一个惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成的机械 旋转系统，试列出以外力矩M(t)为输入信号，角位移 θ(t)为输出信号的数学模型。
M
J
θ
f
解：
1）确定输入量、输出量
M J θ f
F(t) m f
K x(t)
图 2 2 机 械 系 统
d 2x 3）由牛顿第二定律写原始方程： F F (t ) Fk (t ) F f (t ) m 2 dt dx Fk (t ) kx F f (t ) f 4）写中间变量与输出变量的关系式： dt 2 d x dx 5）将上式代入原始方程消中间变量得： m 2 kx f F (t ) dt dt m d 2 x f dx 1 x F (t ) 6）整理成标准型： 令 T2 m T f 2 k dt k dt k m f 2 k k dx 1 2 d x 则方程化为： Tm dt 2 T f dt x k F (t )
第二章 控制系统的数学模型
导 为什么要介绍本章? 分析、设计控制系统的第一步是建立系统的数学模 型。 读
《控制工程基础》第二章
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-6 下图所示为一电网络系统，其输入为电压u(t)， 输出为电容器的电量q(t)，列写该系统微分方程。
L
R
解：根据克希荷夫电压定律，得
u
i
C
u(t)Ldd(ti)tR(ti)C 1i(t)dt
∵
i(t) dq(t) dt
消去中间变量i(t)，并整理得，
轴平移了时间T。 例 求f(t)＝ 1 － 1 1(t-T)的拉氏变换
TT
4. 微分定理
若L[f(t)]＝F(s)，则有L[ df ( t ) ]＝s F(s) - f(0)
初始状态为0时，L[
d
n
d
f
n
( t
t
)
dt
]＝
s
n
F(s)
第二章 系统的数学模型 2.3 拉氏变换与拉氏反变换
5. 积分定理
解： 1)明确系统的输入与输出，
f( t) k
输入—f(t) ， 输出—x(t)
m
2)进行受力分析，列写微分方程，
cx ( t) f(t) kx(t) 利用 Fma，得
图2-1
பைடு நூலகம்
m f( t ) k ( t ) x c x ( t ) m x ( t )
c· x(t)
3)整理微分方程，得
m x ( t ) c x ( t ) k ( t ) x f ( t )
本章教学大纲
1. 掌握机械、电气系统微分方程的建立方法； 2. 了解非线性方程的线性化； 3. 熟悉拉氏变换及反变换、线性定常微分方程的解法； 4. 掌握传递函数基本概念及典型环节传递函数； 5. 掌握系统传递函数方框图的化简。 教学重点：微分方程建立、传递函数概念与求法、典
控制系统的数学模型及传递函数【可编辑全文】
可编辑修改精选全文完整版控制系统的数学模型及传递函数2-1 拉普拉斯变换的数学方法拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见表2-1：拉氏变换对照表F(s) f(t)11(t)t三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a. 证明：，令t-a=τ,则有上式=例：, 求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)由正向使的f(t)值。
自动控制原理传递函数
自动控制原理传递函数自动控制原理中，传递函数是一个非常重要的概念。
传递函数可以描述控制系统的输入和输出之间的关系，通过传递函数，我们可以分析系统的动态特性，设计控制器，进行系统仿真和性能评估。
因此，了解和掌握传递函数的概念和应用是非常重要的。
首先，让我们来了解一下传递函数的定义。
传递函数是指控制系统的输出响应与输入信号之间的函数关系，通常用G(s)表示。
其中，s是复变量，表示系统的复频域变量。
传递函数可以是一个分式函数，也可以是一个多项式函数。
通过传递函数，我们可以方便地分析系统的频域特性和时域特性。
接下来，我们来看一下传递函数的应用。
在控制系统设计中，我们经常需要根据系统的要求设计控制器，使得系统的性能指标满足要求。
而传递函数可以帮助我们分析系统的稳定性、超调量、静态误差等性能指标，从而指导我们设计出合适的控制器。
此外，传递函数也可以用于系统的仿真和性能评估，通过对传递函数进行频域分析和时域分析，我们可以了解系统的动态特性，评估系统的性能，找出系统存在的问题并进行改进。
在实际工程中，我们经常会遇到各种各样的控制系统，比如电机控制系统、飞行器控制系统、机器人控制系统等。
而这些控制系统的动态特性往往是非常复杂的，需要通过传递函数进行分析和设计。
因此，掌握传递函数的应用是非常重要的。
最后，让我们来总结一下传递函数的重要性。
传递函数是描述控制系统输入和输出之间关系的重要工具，通过传递函数，我们可以分析系统的动态特性，设计控制器，进行系统仿真和性能评估。
在实际工程中，掌握传递函数的应用是非常重要的，可以帮助我们设计出性能优良的控制系统。
综上所述，传递函数在自动控制原理中具有非常重要的地位和作用。
通过对传递函数的理解和应用，我们可以更好地理解和设计控制系统，提高系统的性能和稳定性。
希望本文能够帮助读者更好地理解传递函数的概念和应用，提高对自动控制原理的理解和应用能力。
自动控制任务的数学表达式
自动控制任务的数学表达式
自动控制的任务通常可以由一个传递函数来表示。
传递函数是描述线性时不变系统动态特性的数学模型，其定义如下：
传递函数：对于线性时不变系统，其输出变量与输入变量之比，即y(s)/r(s)，称为传递函数。
其中s为复数频率，y(s)和r(s)分别为输出和输入的拉普拉
斯变换。
在控制工程中，自动控制的任务通常可以描述为以下几种形式：
1. 跟踪任务：系统需要跟踪一个参考信号，使得系统的输出尽可能接近参考信号。
这可以通过设计系统的传递函数，使得系统的输出与参考信号之间的误差最小化来实现。
2. 调节任务：系统需要将某个参数调节到指定的值或者在某个范围内波动。
这可以通过设计系统的传递函数，使得系统具有合适的动态特性和静态特性来实现。
3. 抗干扰任务：系统需要具有抗干扰能力，即当系统受到干扰时，能够保持稳定并尽可能减小干扰对系统输出的影响。
这可以通过设计系统的传递函数，使得系统具有足够的稳定性和鲁棒性来实现。
需要注意的是，自动控制的任务不仅仅局限于以上几种形式，具体的任务需要根据实际应用场景来确定。
同时，为了实现自动控制任务，还需要进行系统分析和设计，包括系统的稳定性分析、动态特性分析、静态特性分析等，以及系统的综合和优化等。
控制工程基础第三章系统的传递函数
如图所示为机械转动系统，由惯性负载和粘性摩擦阻 尼器构成，以转矩Ti为输入量，以角速度w为输出量
机械转动系统
dw ( t) 其运动方程式为：J + Bw ( t )= Ti ( t) dt W (s ) 1 K 其传递函数为：G ( s)= = = Ti (s ) Js + B Ts + 1 J 1 式中 T= , K = 。 B B
B
i(t)
C
uo (t)
x
机械平移系统
d 2x dx m 2 B k x f t dt dt
RLC电路
X s 1 1 2n Gs ＝ 2 F s ms Bs k k s 2 2n s 2 n
n
k m
B 2 km
C
uo (t )
其微分方程为：Ri( t)+ u0 () t = ui () t du0 () t i( t)= C dt 消去中间变量后，得 du0 () t RC + u0 () t = ui () t dt 通过拉氏变换求得电路的传递函数为： U0 (s) 1 G( s)= = Ui (s) Ts+1 式中 T=RC
4. 微分环节
输出量与输入量的微分成比例的环节，称为微分环节 dxi ( t) 其运动方程式为：x0 ( t )= TD dt 其传递函数为： G ( s)= TD s
式中 TD ─ 微分环节的时 间常数 。
当输入量为单位阶跃信号时，输出量就是脉冲函数，这 在实际中是不可能的。因此，理想的微分环节不能实现，在 实际中用来执行微分作用的都是近似的，称为实际微分环节， 其传递函数具有如下形式：
一阶微分环节和二阶微分环节的微分方程分别为：
传递函数和系统框图.pptx
（4）传递函数是关于复变量s的有理真分式，它的 分子、分母的阶次是：n≥m
控制工程基础
❖反馈控制系统的传递函数
Rs E(s)
Gs
Y s
B(s)
H s
H(s)=1 单位反馈系统
➢开环传递函数GH(s) ➢闭环传递函数F(s) ➢误差传递函数E(s)
控制工程基础
【例2】已知弹簧-质量-阻尼器系统传递函数如下，
F(s) 1 s2 3s 2
（1）求初始条件为零时，系统的单位阶跃响应。
（2）当输入和初始条件为 y(0) 1, y0 0 时，
系统的单位阶跃响应。
解： (1) y(t) 0.5 0.5e2t et （2） y(t) e2t 2et 0.5e2t et 0.5 0.5 0.5e2t et
R(s)R(s)
Y(s)
1/ s
1/ s
2 1
F(s)
(s
1 1)2
【例6】求传递函数
G3
R(s)
G1
G2 H1
Y(s)
控制工程基础
4.比较点/引出点的移动
（1-1）综合点之间交换
a
a±c±b
±
±
b
c
a
a±b±c
±
±
c
b
（1-2）引出点之间的交换
a a
a a
a a
a a
控制工程基础
（2）比较点相对方框的移动
（2）输入信号作用于系统之前系统是静止的，即 t = 0-时 ，系统的输出量及各阶导数为零。
传递函数是在零初始条件下建立的，是系统的 零状态模型。
控制工程基础第二章-3
Uo ( s ) R2 G( s ) K Ui ( s ) R1
第二章 控制系统的数学模型
§2-3 传递函数及基本环节的传递函数
惯性环节
凡运动方程为一阶微分方程：
d T xo ( t ) xo ( t ) Kxi ( t ) dt
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：
Xo( s ) K G( s ) X i ( s ) Ts 1
运动方程为：
式中，T—微分环节的时间常数
在物理系统中微分环节不独立存在，而是和 其它环节一起出现。
第二章 控制系统的数学模型
§2-3 传递函数及基本环节的传递函数
无源微分网络
1 ui ( t ) i ( t )dt i ( t )R C uo ( t ) i ( t )R
RCs Ts G( s ) , T RC RCs 1 Ts 1
G( s ) K 1 C , T Cs K Ts 1 K
第二章 控制系统的数学模型
§2-3 传递函数及基本环节的传递函数
微分环节 输出量正比于输入量的微分。
dx i (t ) x o (t ) T dt X o ( s) 传递函数为： G ( s) Ts X i ( s)
t
0
xi ( t )dt
传递函数为： G( s )
Xo( s ) 1 X i ( s ) Ts
式中，T—积分环节的时间常数。
第二章 控制系统的数学模型
§2-3 传递函数及基本环节的传递函数
积分环节特点：
.输出累加特性； .输出的滞后作用； .记忆功能。
如当输入量为常值 A 时，由于：
1 t 1 xo (t ) 0 Adt At T T
传递函数的定义,零点,极点,特征方程
传递函数的定义,零点,极点,特征方程【引言】在探讨传递函数的定义、零点、极点和特征方程之前，我们首先要了解传递函数的基本概念。
传递函数是描述线性时不变系统输入与输出之间关系的一种数学函数。
它是控制工程中最为常用的理论工具之一，对于分析和设计控制系统具有重要意义。
通过对传递函数的分析，我们可以全面了解系统的动态特性，从而帮助我们实现恰当的控制和优化。
【传递函数的定义】传递函数是描述线性时不变系统输入与输出之间关系的函数。
在控制工程中，一般使用 Laplace 变换来表示传递函数。
传递函数可以用来描述系统对输入信号的响应情况，其数学表达式通常具有分子和分母的形式，形如 H(s)=Y(s)/X(s)，其中 H(s) 为传递函数，Y(s) 为系统的输出信号的 Laplace 变换，X(s) 为系统的输入信号的 Laplace 变换。
通过传递函数，我们可以了解系统对各种输入信号的响应情况，从而为控制系统的设计和分析提供依据。
【零点和极点】传递函数的分子和分母多项式的根分别称为传递函数的零点和极点。
零点和极点决定了传递函数的动态特性，对于系统的稳定性和动态响应具有重要影响。
零点是使传递函数等于零的值，其位置可以直接影响系统的传递特性。
当传递函数的零点位于频域图中的某一点时，系统对该频率的输入信号会受到抑制；当零点位于实轴上时，系统会产生共振现象，从而导致系统的不稳定性。
极点是使传递函数的分母多项式等于零的值，其位置决定了系统的稳定性和动态响应。
当极点全部位于左半平面时，系统为稳定系统；当存在极点位于右半平面时，系统为不稳定系统；若存在虚轴上的极点，则会影响系统的频率响应特性。
【特征方程】特征方程可以由传递函数的分母多项式推导得出，是描述系统的稳定性及动态响应的重要方程之一。
特征方程的根即为传递函数的极点，通过解特征方程可以得到系统的固有频率和阻尼比，从而帮助我们全面了解系统的动态特性。
【个人观点】对于控制工程领域的从业者来说，深入理解传递函数的定义、零点、极点和特征方程对于系统分析和控制设计至关重要。
控制系统中的传递函数分析
控制系统中的传递函数分析传递函数是控制系统中的重要概念，用于描述输入信号与输出信号之间的关系。
通过对传递函数的分析，我们可以深入了解控制系统的性能和稳定性。
本文将对控制系统中的传递函数进行详细分析与讨论。
一、传递函数的定义及表示在控制系统中，传递函数是描述输入信号与输出信号之间关系的数学模型。
通常由拉普拉斯变换表示，可以表示为以下形式：G(s) = Y(s) / X(s)其中，G(s)为传递函数，Y(s)为输出信号的拉普拉斯变换，X(s)为输入信号的拉普拉斯变换。
二、传递函数的性质传递函数具有以下几个重要的性质：1. 线性性质：传递函数具有线性特性，即满足叠加原理，对于两个输入信号分别为X1(s)和X2(s)，输出信号分别为Y1(s)和Y2(s)，则对应的传递函数分别为G1(s)和G2(s)，则有：G(a*X1(s) + b*X2(s)) = a*G1(s) + b*G2(s)其中，a和b为常数。
2. 时不变性：传递函数具有时不变性，即传递函数对于输入信号的响应不随时间变化而变化。
3. 因果性：传递函数具有因果性，即输入信号的响应只依赖于当前及过去的输入信号，而不依赖于未来的输入信号。
4. 稳定性：传递函数的稳定性可以通过判断系统的极点位置来确定。
当所有极点的实部均为负数时，传递函数是稳定的。
三、传递函数的频域分析传递函数可以通过频域分析进行研究和理解。
1. 幅频特性：通过传递函数的模来描述系统的幅频特性。
传递函数的模为：|G(s)| = sqrt((Re(G(s)))^2 + (Im(G(s)))^2)其中，Re(G(s))为传递函数的实部，Im(G(s))为传递函数的虚部。
幅频特性可以反映系统对不同频率信号的增益情况。
2. 相频特性：通过传递函数的相位角来描述系统的相频特性。
传递函数的相位角为：arg(G(s)) = atan(Im(G(s)) / Re(G(s)))相频特性可以反映系统对不同频率信号的相位变化情况。
控制工程基础4-第2章 (数学模型-2：传递函数)
拉氏变换可以简化线性微分方 程的求解。还可将线性定常微分方 程转换为复数S域内的数学模型— 传递函数。
一、传递函数的概念
二、典型环节的传递函数
一、 传递函数概念
输入
输入拉氏 变换
设一控制系统 r(t) c(t) 系统 G(S)
R(S)
输出 输出拉氏 变换
C(S)
传递函数的定义：
零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系 统输入量拉氏变换之比。
R(s)
G1(s)+G2(s)
C(s)
+ G2(s) C2(s)
n C1(s)=R(s)G1(s) C2(s)=R(s)G2(s) G (s)=Σ Gi (s) n个环节的并联 i=1 C(s)=C1(s)+C2(s) =R(s)G1(s)+R(s)G2(s) C(s) =G (s)+G (s) G(s)= R(s) 1 等效 2
2） 传递函数取决于系统的结构和参数， 与外施信号的大小和形式无关。
3） 传递函数为复变量S 的有理分式。
4） 传递函数是在零初始条件下定义 的，不能反映非零初始条件下系统的运 动过程。
二、 基本环节的传递函数
不同的物理系统，其结构差别很 大。但若从系统的数学模型来看，一 般可将自动控制系统的数学模型看作 由若干个典型环节所组成。研究和掌 握这些典型环节的特性将有助于对系 统性能的了解。
结构图特点
• 结构图是方块图与微分方程（传函）的结合。一方面它直观反映了整 个系统的原理结构（方块图优点），另一方面对系统进行了精确的定 量描述（每个信号线上的信号函数均可确定地计算出来） • 能描述整个系统各元部件之间的内在联系和零初始条件下的动态性能， 但不能反映非零条件下的动态性能 • 结构图最重要的作用：计算整个系统的传函 • 对同一系统，其结构图具有非唯一性；简化也具有非唯一性。但得到 的系统传函是确定唯一的. • 结构图中方块≠实际元部件，因为方框可代表多个元件的组合，甚至 整个系统
控制工程习题及答案
控制工程习题及答案控制工程习题及答案控制工程是一门应用科学，它的目标是通过设计和分析控制系统来实现对系统行为的调节和优化。
在学习控制工程的过程中，习题是非常重要的一部分，它可以帮助学生巩固所学的知识，提高解决问题的能力。
本文将介绍一些常见的控制工程习题及其答案，希望能对学习控制工程的同学有所帮助。
一、传递函数的计算传递函数是描述控制系统输入和输出之间关系的数学模型。
计算传递函数是控制工程中的基础知识，下面是一个示例：已知一个系统的微分方程为：\[ \frac{d^2y}{dt^2} + 3\frac{dy}{dt} + 2y = 2\frac{du}{dt} + 4u \]其中，\( u \) 是输入信号，\( y \) 是输出信号。
请计算该系统的传递函数。
解答：首先，将微分方程转化为拉普拉斯域的方程，得到：\[ s^2Y(s) + 3sY(s) + 2Y(s) = 2sU(s) + 4U(s) \]其中，\( s \) 是拉普拉斯变换的变量，\( Y(s) \) 和 \( U(s) \) 分别是输出信号和输入信号的拉普拉斯变换。
然后，将方程中的 \( Y(s) \) 和 \( U(s) \) 分别表示为传递函数 \( G(s) \) 和输入信号的拉普拉斯变换 \( U(s) \) 的乘积，得到：\[ G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{2s + 4}{s^2 + 3s + 2} \]这就是该系统的传递函数。
二、阶跃响应的计算阶跃响应是指控制系统对于阶跃输入信号的响应情况。
计算阶跃响应可以帮助我们了解系统的稳定性和性能。
下面是一个示例：已知一个系统的传递函数为：\[ G(s) = \frac{1}{s^2 + 2s + 1} \]请计算该系统的阶跃响应。
解答：首先，将传递函数的分母进行因式分解，得到：\[ G(s) = \frac{1}{(s + 1)^2} \]然后，根据拉普拉斯变换的性质，可以得到系统的阶跃响应为：\[ Y(s) = \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{(s + 1)^2} \]最后，将阶跃响应的拉普拉斯逆变换计算出来，得到：\[ y(t) = 1 - e^{-t} - te^{-t} \]这就是该系统的阶跃响应。
《控制工程》传递函数解析PPT课件
m
.. y(t
)
+
c
. y(t
)
+
k
y
(t)
f (t)
令初始条件均为零， 方程两边取拉氏变换
k c
第二章 传递函数
y(t)
m
f(t)
(ms 2 + cs + k ) Y( s ) F( s )
∴
G(s)
Y(s) F(s)
ms2
1 + cs
+
k
-
图2-5
例2 ： L、R、C 电路系统
R
L
u1(t)
则该系统的传递函数 G(S) 为：
G(s)
X0 (s) Xi (s)
bms m ansn
+ bm1s m1 + L + s0 + an1s n1 + L + a0
-
（n≥m）
传递函数方框图：
Xi(s) G（s）
X0(s)
第二章 传递函数
求传递函数的步骤：
1）列出系统微分方程（非线性方程需线性化） 2）假设全部初始条件均为零，对微分方程进行拉氏变换
系统综合设计的基础，因此，十分重要。
-
一、定义
第二章 传递函数
定义：对于单输入、单输出线性定常系统，当输入 输出的初始条件为零时，其输出量的拉氏变
换与输入量的拉氏变换之比。
设线性定常系统的微分方程为：
an x(0n)( t) + an1x(0n1)( t) + L + a0 x0( t)
bm x(i m)( t)
第二章 传递函数
第二章 传递函数
控制工程传递函数
2.4 传递函数的概念
传递函数：复数域中描述系统特性的数学模型 传递函数定义： 零初始条件下，线性定常系统输出的Laplace变 换与输入的Laplace变换之比，称为该系统的传递函 数G(s)，
X o (s) bm s m bm1s m1 b1s b0 即 G(s) X (s) a s n a s n1 a s a (n m) i n n 1 1 0
( s)) U1 ( s)
I 3.在零初始条件下，进行laplace变换： (s) R C1s ( I (s) I
1 1 1 1
2
I 2 ( s) R2
4.消除中间变量，并整理：
G( s)
1 R1C1R2C2 s 2 ( R1C1 R2C2 R1C2 ) s 1
1 I 2 ( s) U 2 (s) C2 s
在零初始条件下，分别对方程两边进行laplace变换，有：
(an s n an1s n1 a1s a0 ) X o (s) (bm s m bm1s m1 b1s b0 ) X i (s)
则
X o (s) bm s m bm1s m1 b1s b0 (n m) n n 1 X i (s) an s an1s a1s a0
2.4 传递函数的概念
传递函数：复数域中描述系统特性的数学模型 传递函数：
X i (s)
G (s )
X o (s)
X o (s) G(s) X i (s)
传递函数的特点：
1.传递函数是关于复变量s的复变函数； 2.传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性， 传递函数的分子反映系统与外界的联系； 3.当输入确定时，系统的输出完全取决于系统的传递函数， 即 xo (t ) L1[ X o (s)] L1[G(s) X i (s)] (零初始条件) 4.物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数(相似系统)。
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G(s)
=
T 2s2
1
+ 2x Ts
+1
=
w
2 n
s2
+
2xw n s
+
w
2 n
T：振荡环节的时间常数 ξ：阻尼比 ωn：无阻尼固有频率
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方框图：
§2-3 典型环节的传递函数
Xi(s)
w
2 n
s2
+
2xw ns
+
w
2 n
X0(s)
例 ： m—k—c 系统：
my..(t ) + cy. (t ) + ky (t ) = f (t )
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§2-3 传递函数
二、传递函数的性质和特点
1、传递函数和微分方程是一一对应的
微分方程：在时域内描述系统的动态关系（特性） 传递函数：在复频域内描述系统的动态关系（特性）
2、传递函数只取决于系统本身的固有特性，与外界无关。
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§2-3 传递函数
3、若输入给定，则输出完全取决于传递函数 Xi(s) G（s） Xo(s)
4、不同物理系统（机械、电气、液压）可能
用形式相同的传递函数来描述——相似原理 能用相同数学模型描述的系统——相似系统
应用意义：可用模拟机进行系统研究 5、分母阶次常高于分子阶次（n≥m）
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§2-3 传递函数
三、传递函数的零点和极点
传递函数为复变函数，故有零点和极点
G ( s) = K ( s - Z1 )( s - Z2 ) ...( s - Zm ) ( s - P1 )( s - P2 ) ... ( s - Pn )
=
-
R2 R1
U i (s)
则 G (s) = U o (s) = - R2 K = - R2
U i (s) R1
R1
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§2-3 典型环节的传递函数
例 ： 弹簧受力如图：
f(t)
K
y(t)
k y(t) = f (t) k Y(s) = F(s ) G (s) = Y (s) = 1
F (s) k
=
-
C
s
uo
(s)
1
C
\ G(s) = - 1 = - RC = K
RCs s s
ui(t) R
+
C—电容 uo(t)
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§2-3 典型环节的传递函数
5．振荡环节
时域内，以二阶微分方程描述的环节。
微分方程：
T
2
‥
x0
(t )
�
(t )
+
x0 (t)
=
xi (t)
传递函数： ( T 2 s 2 + 2 x Ts + 1 ) X 0 ( s ) = X i ( s )
当输入为单位阶跃函数时，惯性环节的输出将按指数曲线上升，
具有惯性，其时间常数为T。
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§2-3 典型环节的传递函数
例 ： R、C电路如图
ui = R i + uo
uo
=
1 C
i dt
ui
RC u.o (t) + uo (t) = ui (t)
R
iC
u0
G(s) = U o (s) = 1 U i (s) RCs + 1
传递函数： Xo (s) = e-t SXi (s)
\ G(s) = Xo (s) = e- t S
Xi (s)
方框图：
Xi(s)
e-τs
Xo(s)
G(s)
=
ms2
1 + cs
+
k
R—L—C电路：
LC u..0 + RC u. 0 (t ) + u 0 (t ) = ui (t )
G(s)
=
Lcs2
1 + RCs + 1
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§2-3 典型环节的传递函数
6．延时环节 时域内，输出滞后输入时间τ，但不失真地反映输入的环节
微分方程： x0 (t) = xi (t -t )
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§2-3 典型环节的传递函数
3．微分环节
时域内，输出量正比于输入量的微分的环节
微分环节：
xo
(t)
=
T
·
xi
(t )
传递函数：G(s)=Ts
T：时间常数
方框图：
Xi(s)
Xo(s)
Ts
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§2-3 典型环节的传递函数
4．积分环节
时域内，输出量正比于输入量对时间的积分的环节。
微分方程：
零点：使 G(s) =0 的 s 值 （分子为0） 极点：使 G(s) 分母为零的 s 值
G(s) 的零极点分布决定系统响应过渡过程。
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§2-3 典型环节的传递函数
1、比例环节（放大环节） 凡输出量与输入量成正比，不失真也不延时的环节称比例环节。
微分方程： X0( t) = KXi( t)
传递函数 ： G(s) = X 0( s) = K ，K：放大系数（增益）
§2-3 典型环节的传递函数
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2．一阶惯性环节
时域内用一阶微分方程表示的环节
·
微分方程： TX 0 (t) + X 0 (t ) = KX i (t )
传递函数： G(s) = X0 (s) = K X i ( s ) Ts + 1
K：增益； T：时间常数
方框图：
Xi(s)
k Ts + 1
X0(s)
xo (t)
=
1 T
xi
(t )dt
传递函数： G(s) = 1
Ts
方框图：
Xi(s)
1
Ts
T：积分时间常数 Xo(s)
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§2-3 典型环节的传递函数
例 ： 有源积分网络
ui(t)—输入电压 uo(t)—输出电压
R—电阻
已知：
ui (t)
=-
C
du (t) o
R
dt
拉氏变换：
1 R
ui
(s)
X i( s)
方框图 ：
Xi(s)
K
X0(s)
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§2-3 典型环节的传递函数
例 ： 运算放大器 R2
ui(t) R1
° +
+
u0(t)
°+
引入“虚地”概念
ui(t)——输入电压 uo(t)——输出电压 R1、R2——电阻
已知： uo (t) = - R2 ui (t) R1
拉氏变换： U
0
(s)