2019-2020年九年级数学试卷答案
2019-2020年临沂市河东区九年级上册期末数学试卷(有答案)-优质版
山东省临沂市河东区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．（3分）下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形 C．正五边形D．圆2．（3分）若1﹣是方程2﹣2+c=0的一个根，则c的值为（）A．﹣2 B．4﹣2 C．3﹣D．1+3．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y=32先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=3（+1）2+2 B．y=3（+1）2﹣2 C．y=3（﹣1）2+2 D．y=3（﹣1）2﹣24．（3分）对于二次函数y=﹣+﹣4，下列说法正确的是（）A．当＞0时，y随的增大而增大B．当=2时，y有最大值﹣3C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）D．图象与轴有两个交点5．（3分）已知反比例函数图象上三个点的坐标分别是A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3），能正确反映y1、y2、y3的大小关系的是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y16．（3分）如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=a，则a的值为（）A．135°B．100°C．110°D．120°7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=2，则阴影部分的面积为（）A．B．πC．2π D．4π8．（3分）定义表示不超过实数的最大整数，如[1.8]=1，[﹣1.4]=﹣2，[﹣3]=﹣3．函数y=的图象如图所示，则方程=2的解为（）A．0或 B．0或2 C．1或D．或﹣9．（3分）如图，△DEF与△ABC是位似图形，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC 的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（）A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：210．（3分）临沂高铁即将开通，这将极大方便市民的出行．如图，在距离铁轨200米处的B 处，观察由东向西的动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上，10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处西北方向上，则这时段动车的平均速度是（）米/秒．A．20（+1）B．20（﹣1）C．200 D．30011．（3分）标枪飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，标枪距离地面的高度h（单位：m）与标枪被掷出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：下列结论：①标枪距离地面的最大高度为20m；②标枪飞行路线的对称轴是直线t=；③标枪被掷出9s时落地；④标枪被掷出1.5s时，距离地面的高度是11m．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．（3分）如图，已知双曲线y=（＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．413．（3分）如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则cos∠PAP'的值为等于（）A．B．C．D．14．（3分）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=，BD=y，则y关于的函数图象大致是（）A． B．C．D．二、填空题（5小题，每小题3分，共15分）15．（3分）计算：2（cos45°﹣tan60°）= ．16．（3分）如图，小军、小珠之间的距离为2.7m ，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m ，1.5m ，已知小军、小珠的身高分别为1.8m ，1.5m ，则路灯的高为 m ．17．（3分）如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB=8，CD=2，则EC 的长为 ．18．（3分）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于O ，则tan ∠BOD 的值等于 ．19．（3分）如图是二次函数y=a 2+b+c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线=﹣1，给出以下结论： ①abc ＜0 ②b 2﹣4ac ＞0 ③4b+c ＜0④若B （﹣，y 1）、C （﹣，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＞y 2 ⑤当﹣3≤≤1时，y ≥0，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号） ．三、解答题（本大题共6小题，共63分）（10分）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设20．矩形一边长为，面积为S平方米．（1）求S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长，如果不能请说明理由；（3）当是多少米时，设计费最多？最多是多少元？21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=和一次函数y=（﹣2）的图象交点为A（3，2），B（，y）．（1）求反比例函数与一次函数的解析式及B点坐标；（2）若C是y轴上的点，且满足△ABC的面积为10，求C点坐标．22．（10分）已知△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，且DA：AB=1：2．（1）求∠CDB的度数；（2）在切线DC上截取CE=CD，连接EB，判断直线EB与⊙O的位置关系，并证明．23．（10分）如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA的位置时俯角∠EOA=30°，在OB的位置时俯角∠FOB=60°，若OC⊥EF，点A比点B高7cm．（1）求单摆的长度；（2）求从点A摆动到点B经过的路径长．24．（11分）如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）时，如图②，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图③，延长DB交CF于点H；（ⅰ）求证：BD⊥CF；（ⅱ）当AB=2，AD=3时，求线段DH的长．25．（12分）如图，直线y=﹣+3与轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=2+b+c 与轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接AC，在轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．山东省临沂市河东区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．（3分）下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形 C．正五边形D．圆【解答】解：等边三角形为轴对称图形；平行四边形为中心对称图形；正五边形为轴对称图形；圆既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：D．2．（3分）若1﹣是方程2﹣2+c=0的一个根，则c的值为（）A．﹣2 B．4﹣2 C．3﹣D．1+【解答】解：∵关于的方程2﹣2+c=0的一个根是1﹣，∴（1﹣）2﹣2（1﹣）+c=0，解得，c=﹣2．故选：A．3．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y=32先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=3（+1）2+2 B．y=3（+1）2﹣2 C．y=3（﹣1）2+2 D．y=3（﹣1）2﹣2【解答】解：∵抛物线y=32的对称轴为直线=0，顶点坐标为（0，0），∴抛物线y=32向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线=1，顶点坐标为（1，2），∴平移后抛物线的解析式为y=3（﹣1）2+2．故选：C．4．（3分）对于二次函数y=﹣+﹣4，下列说法正确的是（）A．当＞0时，y随的增大而增大B．当=2时，y有最大值﹣3C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）D．图象与轴有两个交点【解答】解：∵二次函数y=﹣+﹣4可化为y=﹣（﹣2）2﹣3，又∵a=﹣＜0∴当=2时，二次函数y=﹣2+﹣4的最大值为﹣3．故选：B．5．（3分）已知反比例函数图象上三个点的坐标分别是A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3），能正确反映y1、y2、y3的大小关系的是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y1【解答】解：当=﹣2时，y1=﹣=3.5；当=﹣1时，y2=﹣=7；当=2时，y3=﹣=﹣3.5．∴y2＞y1＞y3．故选：C．6．（3分）如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=a，则a的值为（）A．135°B．100°C．110°D．120°【解答】解：∵∠ACB=a∴优弧所对的圆心角为2a∴2a+a=360°∴a=120°．故选：D．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=2，则阴影部分的面积为（）A．B．πC．2π D．4π【解答】解：连接OD．∵CD⊥AB，∴CE=DE=CD=，故S△OCE =S△ODE，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，又∵∠ABD=60°，∴∠CDB=30°，∴∠COB=60°，∴OC=2，∴S扇形OBD==，即阴影部分的面积为．故选：A．8．（3分）定义表示不超过实数的最大整数，如[1.8]=1，[﹣1.4]=﹣2，[﹣3]=﹣3．函数y=的图象如图所示，则方程=2的解为（）A．0或 B．0或2 C．1或D．或﹣【解答】解：当1≤＜2时， 2=1，解得1=，2=﹣（舍去）；当0≤＜1时， 2=0，解得=0；当﹣1≤＜0时， 2=﹣1，方程没有实数解；当﹣2≤＜﹣1时， 2=﹣2，方程没有实数解；所以方程= 2的解为0或．故选：A ．9．（3分）如图，△DEF 与△ABC 是位似图形，点O 是位似中心，D 、E 、F 分别是OA 、OB 、OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是（ ）A ．1：6B ．1：5C ．1：4D ．1：2【解答】解：∵△DEF 与△ABC 是位似图形，点O 是位似中心，D 、E 、F 分别是OA 、OB 、OC 的中点，∴两图形的位似之比为1：2， 则△DEF 与△ABC 的面积比是1：4． 故选：C ．10．（3分）临沂高铁即将开通，这将极大方便市民的出行．如图，在距离铁轨200米处的B 处，观察由东向西的动车，当动车车头在A 处时，恰好位于B 处的北偏东60°方向上，10秒钟后，动车车头到达C 处，恰好位于B 处西北方向上，则这时段动车的平均速度是（ ）米/秒．A ．20（+1）B ．20（﹣1）C ．200D ．300【解答】解：作BD ⊥AC 于点D ．∵在Rt△ABD中，∠ABD=60°，∴AD=BD•tan∠ABD=200（米），同理，CD=BD=200（米）．则AC=200+200（米）．则平均速度是=20（+1）米/秒．故选：A．11．（3分）标枪飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，标枪距离地面的高度h（单位：m）与标枪被掷出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：下列结论：①标枪距离地面的最大高度为20m；②标枪飞行路线的对称轴是直线t=；③标枪被掷出9s时落地；④标枪被掷出1.5s时，距离地面的高度是11m．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意，抛物线的解析式为h=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，∴h=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，∴标枪距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，∵t=9时，h=0，∴标枪被掷出9s时落地，故③正确，∵t=1.5时，h=11.25，故④错误．∴正确的有②③，故选：B．12．（3分）如图，已知双曲线y=（＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．4【解答】解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4），∴D（﹣3，2），∵双曲线y=经过点D，∴=﹣3×2=﹣6，∴△BOC的面积=||=3．又∵△AOB的面积=×6×4=12，∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9．故选：B．13．（3分）如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则cos∠PAP'的值为等于（）A．B．C．D．【解答】解：连接PP′，如图，∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，∴△CPP′为等边三角形，∴PP′=PC=6，∵△ABC为等边三角形，∴CB=CA，∠ACB=60°，∴∠PCB=∠P′CA，在△PCB和△P′CA中，∴△PCB≌△P′CA（SAS），∴PB=P′A=10，∵62+82=102，∴PP′2+AP2=P′A2，∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，∴cos∠PAP′===．故选：A．14．（3分）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=，BD=y，则y关于的函数图象大致是（）A． B．C．D．【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠BPD+∠APD=∠C+∠CAP，∠APD=60°，∴∠BPD=∠CAP，∴△BPD∽△CAP，∴BP：AC=BD：PC，∵正△ABC的边长为4，BP=，BD=y，∴：4=y：（4﹣），∴y=﹣2+．故选：C．二、填空题（5小题，每小题3分，共15分）15．（3分）计算：2（cos45°﹣tan60°）= 2﹣2．【解答】解：原式=2（﹣）=2﹣2，故答案为：2﹣2．16．（3分）如图，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m，1.5m，则路灯的高为 3 m．【解答】解：如图，∵CD∥AB∥MN，∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，∴，，即，，解得：AB=3m．答：路灯的高为3m．17．（3分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为2．【解答】解：连结BE，设⊙O的半径为R，如图，∵OD⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R﹣CD=R﹣2，∵OC2+AC2=OA2，∴（R﹣2）2+42=R2，解得R=5，∴OC=5﹣2=3，∴BE=2OC=6，∵AE为直径，∴∠ABE=90°，在Rt△BCE中，CE===2．故答案为：2．18．（3分）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于 3 ．【解答】解：方法一：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，则∠BO′D′=∠BOD，∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，设每个小正方形的边长为a，则O′B=，O′D′=，BD′=3a，作BE⊥O′D′于点E，则BE=，∴O′E==，∴tanBO′E=，∴tan∠BOD=3，故答案为：3．方法二：连接AM、NL，在△CAH中，AC=AH，则AM⊥CH，同理，在△MNH中，NM=NH，则NL⊥MH，∴∠AMO=∠NLO=90°，∵∠AOM=∠NOL，∴△AOM∽△NOL，∴，设图中每个小正方形的边长为a，则AM=2a，NL=a，∴=2，∴，∴，∵NL=LM，∴，∴tan∠BOD=tan∠NOL==3，故答案为：3．方法三：连接AE、EF，如右图所示，则AE∥CD，∴∠FAE=∠BOD，设每个小正方形的边长为a，则AE=，AF=，EF=a，∵，∴△FAE是直角三角形，∠FEA=90°，∴tan∠FAE=，即tan∠BOD=3，故答案为：3．19．（3分）如图是二次函数y=a 2+b+c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线=﹣1，给出以下结论： ①abc ＜0 ②b 2﹣4ac ＞0 ③4b+c ＜0④若B （﹣，y 1）、C （﹣，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＞y 2 ⑤当﹣3≤≤1时，y ≥0，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号） ②③⑤ ．【解答】解：由图象可知，a ＜0，b ＜0，c ＞0， ∴abc ＞0，故①错误． ∵抛物线与轴有两个交点， ∴b 2﹣4ac ＞0，故②正确．∵抛物线对称轴为=﹣1，与轴交于A （﹣3，0）， ∴抛物线与轴的另一个交点为（1，0）， ∴a+b+c=0，﹣=﹣1，∴b=2a ，c=﹣3a ，∴4b+c=8a ﹣3a=5a ＜0，故③正确．∵B （﹣，y 1）、C （﹣，y 2）为函数图象上的两点， 又点C 离对称轴近， ∴y 1，＜y 2，故④错误，由图象可知，﹣3≤≤1时，y ≥0，故⑤正确． ∴②③⑤正确， 故答案为②③⑤．三、解答题（本大题共6小题，共63分）20．（10分）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为，面积为S 平方米．（1）求S 与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长，如果不能请说明理由； （3）当是多少米时，设计费最多？最多是多少元？ 【解答】解：（1）∵矩形的一边为米，周长为16米， ∴另一边长为（8﹣）米，∴S=（8﹣）=﹣2+8，其中0＜＜8， 即S=﹣2+8（0＜＜8）；（2）能，∵设计费能达到24000元，∴当设计费为24000元时，面积为24000÷2000=12（平方米），即：﹣2+8=12，解得：=2或=6，∴设计费能达到24000元．（3）∵S=﹣2+8=﹣（﹣4）2+16，∴当=4时，S最大值=16，∴当=4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=和一次函数y=（﹣2）的图象交点为A（3，2），B（，y）．（1）求反比例函数与一次函数的解析式及B点坐标；（2）若C是y轴上的点，且满足△ABC的面积为10，求C点坐标．【解答】解：（1）∵点A（3，2）在反比例函数y=和一次函数y=（﹣2）的图象上；∴2=，2=（3﹣2），解得m=6，=2；∴反比例函数解析式为y=，一次函数解析式为y=2﹣4；∵点B是一次函数与反比例函数的另一个交点，∴=2﹣4，解得1=3，2=﹣1；∴B点的坐标为（﹣1，﹣6）；（2）∵点M 是一次函数y=2﹣4与y 轴的交点，∴点M 的坐标为（0，﹣4），设C 点的坐标为（0，y c ），由题意知×3×|y c ﹣（﹣4）|+×1×|y c ﹣（﹣4）|=10， 解得|y c +4|=5，当y c +4≥0时，y c +4=5，解得y c =1，当y c +4≤0时，y c +4=﹣5，解得y c =﹣9，∴点C 的坐标为（0，1）或（0，﹣9）．22．（10分）已知△ABC 内接于以AB 为直径的⊙O ，过点C 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点D ，且DA ：AB=1：2．（1）求∠CDB 的度数；（2）在切线DC 上截取CE=CD ，连接EB ，判断直线EB 与⊙O 的位置关系，并证明．【解答】解：（1）连接OC ，∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD=90°．设⊙O 的半径为R ，则AB=2R ，∵DA ：AB=1：2，∴DA=R ，DO=2R ．∴A 为DO 的中点，∴AC=DO=R，∴AC=CO=AO，∴三角形ACO为等边三角形∴∠COD=60°，即∠CDB=30°．（2）直线EB与⊙O相切．证明：连接OC，由（1）可知∠CDO=30°，∴∠COD=60°．∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=30°．∴∠CBD=∠CDB．∴CD=CB．∵CD是⊙O的切线，∴∠OCE=90°．∴∠ECB=60°．又∵CD=CE，∴CB=CE．∴△CBE为等边三角形．∴∠EBA=∠EBC+∠CBD=90°．∴EB是⊙O的切线．23．（10分）如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA的位置时俯角∠EOA=30°，在OB的位置时俯角∠FOB=60°，若OC⊥EF，点A比点B高7cm．（1）求单摆的长度；（2）求从点A摆动到点B经过的路径长．【解答】解：（1）如图，过点A作AP⊥OC于点P，过点B作BQ⊥OC于点Q，∵∠EOA=30°、∠FOB=60°，且OC⊥EF，∴∠AOP=60°、∠BOQ=30°，设OA=OB=，则在Rt△AOP中，OP=OAcos∠AOP=，在Rt△BOQ中，OQ=OBcos∠BOQ=，由PQ=OQ﹣OP可得﹣=7，解得：=7+7cm，答：单摆的长度为7+7cm；（2）由（1）知，∠AOP=60°、∠BOQ=30°，且OA=OB=7+7，∴∠AOB=90°，则从点A摆动到点B经过的路径长为，答：从点A摆动到点B经过的路径长为cm．24．（11分）如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）时，如图②，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图③，延长DB交CF于点H；（ⅰ）求证：BD⊥CF；（ⅱ）当AB=2，AD=3时，求线段DH的长．【解答】解：（1）BD=CF．理由如下：由题意得，∠CAF=∠BAD=α，在△CAF和△BAD中，，∴△CAF≌△BAD，∴BD=CF．（2）（ⅰ）由（1）得△CAF≌△BAD，∴∠CFA=∠BDA，∵∠FNH=∠DNA，∠DNA+∠NAD=90°，∴∠CFA+∠FNH=90°，∴∠FHN=90°，即BD⊥CF．（ⅱ）连接DF，延长AB交DF于M，∵四边形ADEF是正方形，AD=3，AB=2，∴AM=DM=3，BM=AM﹣AB=1，DB==，∵∠MAD=∠MDA=45°，∴∠AMD=90°，又∠DHF=90°，∠MDB=∠HDF，∴△DMB∽△DHF，∴=，即=，解得，DH=．25．（12分）如图，直线y=﹣+3与轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=2+b+c 与轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接AC，在轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y=﹣+3与轴、y轴分别交于点B、点C，令=0，得y=3，∴C（0，3），令y=0，得=3，∴B（3，0），∵经过B、C两点的抛物线y=2+b+c∴，解得，∴抛物线解析式为y=2﹣4+3；（2）由（1），得A（1，0），连接BP，∵∠CBA=∠ABP=45°，∵抛物线解析式为y=2﹣4+3；∴P（2，﹣1），∵A（1，0），B（3，0），C（0，3），∴BA=2，BC=3，BP=，当△ABC∽△PBQ时，∴，∴，∴BQ=3，∴Q（0，0），当△ABC∽△QBP时，∴，∴，∴BQ=，∴Q（，0），∴Q点的坐标为（0，0）或（，0）．。
2019--2020学年第一学期期末考试试卷及答案
2019-—2020学年第一学期期末考试试卷九年级 数学一．选择题：（本大题共10小题；每小题3分，共30分）下列各题都有代号为A 、B 、C 、D 的四个结论供选择，其中只有一个结论是正确的．请将正确选项的代号填在左边的括号里． 1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列方程中是一元二次方程的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首先发球者，其主要原因是( )．A ．让比赛更富有情趣B ．让比赛更具有神秘色彩C ．体现比赛的公平性D ．让比赛更有挑战性 4 已知函数772--=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．47->k B ．047≠-≥k k 且 C ．47-≥k D ．047≠->k k 且 5．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为（ ）A ．5B ．7C ．8D ．106．如图，点O 为优弧ACB 所在圆的圆心，AOC 108∠=,点D 在AB 的延长线上，BD BC =,则D ∠= . A ．540 B ． 720 C ． 270 D ． 3007．如图，是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，下列结论正确的是（ ）A 不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是X>3或X<-1 B 不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是-1<X<3 012=+x 12=+x y 012=+x 0122=++x xDB A O8．已知实数a ，b 分别满足，，且，则的值是（ ）A ． 11B ． -7C ． 7D ． -119．在学校组织的实践活动中,小新同学用纸板制作了一个圆锥模型,它的底面半径为1,高为2,则这个圆锥的侧面积是( ) A. 4πB. 3πC. 2πD. 2π10. 已知二次函数（）的图象如图所示，有下列4个结论：①②；③；④；其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题：（本题共8小题；每小题4分，共32分，不需写解答过程，请把结果填在横线上。
2019-2020年湖北省武汉市九年级上册期末数学试卷(含详细解析)
湖北省武汉市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）方程（﹣5）＝0化成一般形式后，它的常数项是（）A．﹣5B．5C．0D．12．（3分）二次函数y＝2（﹣3）2﹣6（）A．最小值为﹣6B．最大值为﹣6C．最小值为3D．最大值为33．（3分）下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）事件①：射击运动员射击一次，命中靶心；事件②：购买一张彩票，没中奖，则（）A．事件①是必然事件，事件②是随机事件B．事件①是随机事件，事件②是必然事件C．事件①和②都是随机事件D．事件①和②都是必然事件5．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，下列说法正确的是（）A．连续抛掷2次必有1次正面朝上B．连续抛掷10次不可能都正面朝上C．大量反复抛掷每100次出现正面朝上50次D．通过抛掷硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的6．（3分）一元二次方程2＋2＋m＝0有两个不相等的实数根，则（）A．m＞3B．m＝3C．m＜3D．m≤37．（3分）圆的直径是13cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相交或相切8．（3分）如图，等边△ABC的边长为4，D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别以A、B、C三点为圆心，以AD长为半径作三条圆弧，则图中三条圆弧的弧长之和是（）A．πB．2πC．4πD．6π9．（3分）如图，△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，则下列等式：①∠EDF＝∠B；②2∠EDF＝∠A＋∠C；③2∠A＝∠FED＋∠EDF；④∠AED＋∠BFE＋∠CDF＝180°，其中成立的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（3分）二次函数y＝﹣2﹣2＋c在﹣3≤≤2的范围内有最小值﹣5，则c的值是（）A．﹣6B．﹣2C．2D．3二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）一元二次方程2﹣a＝0的一个根是2，则a的值是．12．（3分）把抛物线y＝22先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线的解析式是．13．（3分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球标号的和等于5的概率是．14．（3分）设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高m，列方程，并化成一般形式是．15．（3分）如图，正六边形ABCDEF中，P是边ED的中点，连接AP，则＝．16．（3分）在⊙O中，弧AB所对的圆心角∠AOB＝108°，点C为⊙O上的动点，以AO、AC为边构造▱AOD C．当∠A＝°时，线段BD最长．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）解方程：2＋﹣3＝0．18．（8分）如图，在⊙O中，半径OA与弦BD垂直，点C在⊙O上，∠AOB＝80°（1）若点C在优弧BD上，求∠ACD的大小；（2）若点C在劣弧BD上，直接写出∠ACD的大小．19．（8分）甲、乙、丙三个盒子中分别装有除颜色外都相同的小球，甲盒中装有两个球，分别为一个红球和一个绿球；乙盒中装有三个球，分别为两个绿球和一个红球；丙盒中装有两个球，分别为一个红球和一个绿球，从三个盒子中各随机取出一个小球（1）请画树状图，列举所有可能出现的结果（2）请直接写出事件“取出至少一个红球”的概率．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中有点A（﹣4，0）、B（0，3）、P（a，﹣a）三点，线段CD与AB关于点P中心对称，其中A、B的对应点分别为C、D（1）当a＝﹣4时①在图中画出线段CD，保留作图痕迹②线段CD向下平移个单位时，四边形ABCD为菱形；（2）当a＝时，四边形ABCD为正方形．21．（8分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，CD切⊙O于点C，AE⊥CD于点E （1）求证：AC平分∠DAE；（2）若AB＝6，BD＝2，求CE的长．22．（10分）投资1万元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长24m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用为150元/m，设平行于墙的边长为m（1）设垂直于墙的一边长为y m，直接写出y与之间的函数关系式；（2）若菜园面积为384m2，求的值；（3）求菜园的最大面积．23．（10分）如图，点C为线段AB上一点，分别以AB、AC、CB为底作顶角为120°的等腰三角形，顶角顶点分别为D、E、F（点E、F在AB的同侧，点D在另一侧）（1）如图1，若点C是AB的中点，则∠AED＝；（2）如图2，若点C不是AB的中点①求证：△DEF为等边三角形；②连接CD，若∠ADC＝90°，AB＝3，请直接写出EF的长．24．（12分）已知抛物线y＝a2＋2＋c与轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，一次函数y ＝＋b的图象l经过抛物线上的点C（m，n）（1）求抛物线的解析式；（2）若m＝3，直线l与抛物线只有一个公共点，求的值；（3）若＝﹣2m＋2，直线l与抛物线的对称轴相交于点D，点P在对称轴上．当PD＝PC时，求点P的坐标．湖北省武汉市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）方程（﹣5）＝0化成一般形式后，它的常数项是（）A．﹣5B．5C．0D．1【解答】解：∵（﹣5）＝0∴2﹣5＝0，∴方程（﹣5）＝0化成一般形式后，它的常数项是0，故选：C．2．（3分）二次函数y＝2（﹣3）2﹣6（）A．最小值为﹣6B．最大值为﹣6C．最小值为3D．最大值为3【解答】解：∵a＝2＞0，∴二次函数有最小值为﹣6．故选：A．3．（3分）下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、不是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、是中心对称图形．故选：D．4．（3分）事件①：射击运动员射击一次，命中靶心；事件②：购买一张彩票，没中奖，则（）A．事件①是必然事件，事件②是随机事件B．事件①是随机事件，事件②是必然事件C．事件①和②都是随机事件D．事件①和②都是必然事件【解答】解：射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件；购买一张彩票，没中奖是随机事件，故选：C．5．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，下列说法正确的是（）A．连续抛掷2次必有1次正面朝上B．连续抛掷10次不可能都正面朝上C．大量反复抛掷每100次出现正面朝上50次D．通过抛掷硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，可以用到实际生活，通过抛掷硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的．故选：D．6．（3分）一元二次方程2＋2＋m＝0有两个不相等的实数根，则（）A．m＞3B．m＝3C．m＜3D．m≤3【解答】解：∵一元二次方程2＋2＋m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（2）2﹣4m＞0，解得：m＜3．故选：C．7．（3分）圆的直径是13cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相交或相切【解答】解：∵圆的直径为13cm，∴圆的半径为6.5cm，∵圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，∴圆的半径≥圆心到直线的距离，∴直线于圆相切或相交，故选：D．8．（3分）如图，等边△ABC的边长为4，D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别以A、B、C三点为圆心，以AD长为半径作三条圆弧，则图中三条圆弧的弧长之和是（）A．πB．2πC．4πD．6π【解答】解：依题意知：图中三条圆弧的弧长之和＝×3＝2π．故选：B．9．（3分）如图，△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，则下列等式：①∠EDF＝∠B；②2∠EDF＝∠A＋∠C；③2∠A＝∠FED＋∠EDF；④∠AED＋∠BFE＋∠CDF＝180°，其中成立的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：不妨设∠B＝80°，∠A＝40°，∠C＝60°．∵△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，∴BE＝BF，AE＝AD，CF＝CD，∴∠BEF＝∠BFE＝∠EDF＝50°，∠CFD＝∠CDF＝∠FED＝60°，∠AED＝∠ADE＝∠EFD ＝70°，∴∠EDF≠∠B，2∠A≠∠FED＋∠EDF，故①③不正确，∵∠B＋∠BEF＋∠EFB＝180°，∠B＋∠A＋∠C＝180°，∴∠BEF＋∠BFE＝∠A＋∠C，∴2∠EDF＝∠A＋∠C，故②正确，∵∠AED＝∠EFD，∠BFE＝∠EDF，∠CDF＝∠FED，∴∠AED＋∠BFE＋∠CDF＝∠EFD＋∠EDF＋∠FED＝180°，故④正确．故选：B．10．（3分）二次函数y＝﹣2﹣2＋c在﹣3≤≤2的范围内有最小值﹣5，则c的值是（）A．﹣6B．﹣2C．2D．3【解答】解：把二次函数y＝﹣2﹣2＋c转化成顶点坐标式为y＝﹣（＋1）2＋c＋1，又知二次函数的开口向下，对称轴为＝﹣1，故当＝2时，二次函数有最小值为﹣5，故﹣9＋c＋1＝﹣5，故c＝3．故选：D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）一元二次方程2﹣a＝0的一个根是2，则a的值是4．【解答】解：把＝2代入方程2﹣a＝0得4﹣a＝0，解得a＝4．故答案为4．12．（3分）把抛物线y＝22先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线的解析式是y＝2（＋2）2﹣1．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，二次函数y＝22的图象向下平移1个单位得到y＝22﹣1，由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝22﹣1的图象向左平移2个单位可得到函数y＝2（＋2）2﹣1，故答案是：y＝2（＋2）2﹣1．13．（3分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球标号的和等于5的概率是．【解答】解：画树状图如下：随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于5的占4种，所有两次摸出的小球标号的和等于5的概率为＝，故答案为：．14．（3分）设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高m，列方程，并化成一般形式是2﹣6＋4＝0．【解答】解：设雕像的上部高m，则题意得：，整理得：2﹣6＋4＝0，故答案为：2﹣6＋4＝015．（3分）如图，正六边形ABCDEF中，P是边ED的中点，连接AP，则＝．【解答】解：连接AE，过点F作FH⊥AE，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝a，∠AFE＝∠DEF＝120°，∴∠FAE＝∠FEA＝30°，∴∠AEP＝90°，∴FH＝，∴AH＝，AE＝，∵P是ED的中点，∴EP＝，∴AP＝．∴＝16．（3分）在⊙O中，弧AB所对的圆心角∠AOB＝108°，点C为⊙O上的动点，以AO、AC为边构造▱AOD C．当∠A＝27°时，线段BD最长．【解答】解：如图，连接OC，延长OA交⊙O于F，连接DF．∵四边形ACDO是平行四边形，∴∠DOF＝∠A，DO＝AC，∵OF＝AO，∴△DOF≌△CAO，∴DF＝OC，∴点D的运动轨迹是F为圆心OC为半径的圆，∴当点D在BF的延长线上时，BD的值最大，∵∠AOB＝108°，∴∠FOB＝72°，∵OF＝OB，∴∠OFB＝54°，∵FD＝FO，∴∠FOD＝∠FDO＝27°，∴∠A＝∠FOD＝27°，故答案为27°．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）解方程：2＋﹣3＝0．【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣3，∴b2﹣4ac＝1＋12＝13＞0，∴＝，∴1＝，2＝．18．（8分）如图，在⊙O中，半径OA与弦BD垂直，点C在⊙O上，∠AOB＝80°（1）若点C在优弧BD上，求∠ACD的大小；（2）若点C在劣弧BD上，直接写出∠ACD的大小．【解答】解：（1）∵AO⊥BD，∴＝，∴∠AOB＝2∠ACD，∵∠AOB＝80°，∴∠ACD＝40°；（2）①当点C1在上时，∠AC1D＝∠ACD＝40°；②当点C2在上时，∵∠AC2D＋∠ACD＝180°，∴∠AC2D＝140°综上所述，∠ACD＝140°或40°．19．（8分）甲、乙、丙三个盒子中分别装有除颜色外都相同的小球，甲盒中装有两个球，分别为一个红球和一个绿球；乙盒中装有三个球，分别为两个绿球和一个红球；丙盒中装有两个球，分别为一个红球和一个绿球，从三个盒子中各随机取出一个小球（1）请画树状图，列举所有可能出现的结果（2）请直接写出事件“取出至少一个红球”的概率．【解答】解：（1）如图所示：所有等可能结果为（红、绿、红）、（红、绿、绿）、（红、绿、红）、（红、绿、绿）、（红、红、红）、（红、红、绿），（绿、绿、红）、（绿、绿、绿）、（绿、绿、红）、（绿、绿、绿）（绿、红、红）、（绿、红、绿）这12种等可能结果；（2）因为“取出至少一个红球”的结果数为10钟，所以“取出至少一个红球”的概率为＝．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中有点A（﹣4，0）、B（0，3）、P（a，﹣a）三点，线段CD与AB关于点P中心对称，其中A、B的对应点分别为C、D（1）当a＝﹣4时①在图中画出线段CD，保留作图痕迹②线段CD向下平移2个单位时，四边形ABCD为菱形；（2）当a＝﹣时，四边形ABCD为正方形．【解答】解：（1）①线段CD如图所示；②当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形，此时C（﹣4，6），原点C坐标（﹣4，8），∴线段CD向下平移2个单位时，四边形ABCD为菱形；故答案为2．（2）由题意AB＝5，当PA＝PB＝时，四边形ABCD是正方形，∴（a）2＋（﹣a﹣3）2＝（）2，解得a＝﹣或（舍弃）∴当a＝﹣时，四边形ABCD为正方形．故答案为﹣．21．（8分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，CD切⊙O于点C，AE⊥CD于点E （1）求证：AC平分∠DAE；（2）若AB＝6，BD＝2，求CE的长．【解答】（1）证明：连接O C．∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∵∠AEC＝90°，∴∠OCD＝∠AEC，∴AE∥OC，∴∠EAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAE．（2）作CF⊥AB于F．在Rt△OCD中，∵OC＝3，OD＝5，∴CD＝4，∵•OC•CD＝•OD•CF，∴CF＝，∵AC平分∠DAE，CE⊥AE，CF⊥AD，∴CE＝CF＝．22．（10分）投资1万元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长24m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用为150元/m，设平行于墙的边长为m（1）设垂直于墙的一边长为y m，直接写出y与之间的函数关系式；（2）若菜园面积为384m2，求的值；（3）求菜园的最大面积．【解答】解：（1）根据题意知，y＝＝﹣＋；（2）根据题意，得：（﹣＋）＝384，解得：＝18或＝32，∵墙的长度为24m，∴＝18；（3）设菜园的面积是S，则S＝（﹣＋）＝﹣2＋＝﹣（﹣25）2＋∵﹣＜0，∴当＜25时，S随的增大而增大，∵≤24，∴当＝24时，S取得最大值，最大值为416，答：菜园的最大面积为416m2．23．（10分）如图，点C为线段AB上一点，分别以AB、AC、CB为底作顶角为120°的等腰三角形，顶角顶点分别为D、E、F（点E、F在AB的同侧，点D在另一侧）（1）如图1，若点C是AB的中点，则∠AED＝90°；（2）如图2，若点C不是AB的中点①求证：△DEF为等边三角形；②连接CD，若∠ADC＝90°，AB＝3，请直接写出EF的长．【解答】解：（1）如图1，过E作EH⊥AB于H，连接CD，设EH＝，则AE＝2，AH＝，∵AE＝EC，∴AC＝2AH＝2，∵C是AB的中点，AD＝BD，∴CD⊥AB，∵∠ADB＝120°，∴∠DAC＝30°，∴DC＝2，∴DC＝CE＝2，∵EH∥DC，∴∠HED＝∠EDC＝∠CED，∵∠AEH＝60°，∠AEC＝120°，∴∠HEC＝60°，∴∠HED＝30°，∴∠AED＝∠AEH＋∠HED＝90°；故答案为：90°；（2分）（2）①延长FC交AD于H，连接HE，如图2，∵CF＝FB，∴∠FCB＝∠FBC，∵∠CFB＝120°，∴∠FCB＝∠FBC＝30°，同理：∠DAB＝∠DBA＝30°，∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠DAB＝∠ECA＝∠FBD，∴AD∥EC∥BF，同理AE∥CF∥BD，∴四边形BDHE、四边形AECH是平行四边形，（4分）∴EC＝AH，BF＝HD，∵AE＝EC，∴AE＝AH，∵∠HAE＝60°，∴△AEH是等边三角形，∴AE＝AH＝HE＝CE，∠AHE＝∠AEH＝60°，∴∠DHE＝120°，∴∠DHE＝∠FCE．∵DH＝BF＝FC，∴△DHE≌△FCE（SAS），∴DE＝EF，∠DEH＝∠FEC，∴∠DEF＝∠CEH＝60°，∴△DEF是等边三角形；（7分）②如图3，过E作EM⊥AB于M，∵∠ADC＝90°，∠DAC＝30°，∴∠ACD＝60°，∵∠DBA＝30°，∴∠CDB＝∠DBC＝30°，∴CD＝BC＝AC，∵AB＝3，∵AC＝2，BC＝CD＝1，∵∠ACE＝30°，∠ACD＝60°，∴∠ECD＝30°＋60°＝90°，∵AE＝CE，∴CM＝AC＝1，∵∠ACE＝30°，∴CE＝，Rt△DEC中，DE＝＝＝，由①知：△DEF是等边三角形，∴EF＝DE＝．（12分）24．（12分）已知抛物线y＝a2＋2＋c与轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，一次函数y ＝＋b的图象l经过抛物线上的点C（m，n）（1）求抛物线的解析式；（2）若m＝3，直线l与抛物线只有一个公共点，求的值；（3）若＝﹣2m＋2，直线l与抛物线的对称轴相交于点D，点P在对称轴上．当PD＝PC时，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝a2＋2＋c与轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得．所以，抛物线的解析式为y＝﹣2＋2＋3；（2）∵抛物线上的点C（m，n），∴n＝﹣m2＋2m＋3，当m＝3时，n＝0，∴C（3，0），∴一次函数y＝＋b的图象l经过抛物线上的点C（m，n），∴3＋b＝0，∴b＝﹣3，∴一次函数的解析式为y＝﹣3，∵直线l与抛物线只有一个公共点，∴方程﹣3＝﹣2＋2＋3有两个相等的实数根，∴（﹣2）2＋4（3＋3）＝0，解得＝﹣4；（3）如图，过C点作CH⊥PD于H，C（m，n）在直线y＝＋b上，∴n＝（﹣2m＋2）m＋b，∵点C在抛物线上，∴n＝﹣m2＋2m＋3，∴b＝m2＋3，∴直线l为y＝（﹣2m＋2）＋m2＋3，∵直线l与抛物线的对称轴相交于点D，∴D的横坐标为1，代入得：y＝﹣2m＋2＋m2＋3＝8﹣（﹣m2＋2m＋3）＝8﹣n，∴D（1，8﹣n），设P（1，p），则PD＝8﹣n﹣p，HC＝m﹣1，PH＝p﹣n，在Rt△PCH中，PC＝PD＝8﹣n﹣p，∴（8﹣n﹣p）2＝（p﹣n）2＋（m﹣1）2∴（8﹣n﹣p）2﹣（p﹣n）2＝（m﹣1）2，∴（8﹣2n）（8﹣2p）＝m2﹣2m＋1，∵n＝﹣m2＋2m＋3，∴2（4﹣n）（8﹣2p）＝4﹣n，∵＝﹣2m＋2≠0，∴m≠1，∴n≠4，∴4﹣n≠0，∴2（8﹣2p）＝1，∴p＝，∴P（1，）．。
四川省眉山市仁寿县2019-2020年九年级(上)期末数学试卷 解析版
2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1．二次根式中x的取值范围是（）A．x≥﹣2 B．x≥2 C．x≥0 D．x＞﹣22．下列计算正确的是（）A．B．C．÷D．3．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 4．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连结BE，若S△DEB＝1，则S△BCE的值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．按如下方法，将△ABC的三边缩小到原来的，如图，任取一点O，连结AO，BO，CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF；则下列说法错误的是（）A．点O为位似中心且位似比为1：2B．△ABC与△DEF是位似图形C．△ABC与△DEF是相似图形D．△ABC与△DEF的面积之比为4：16．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tan D的值为（）A．B．C．D．7．下列事件中是随机事件的个数是（）①投掷一枚硬币，正面朝上；②五边形的内角和是540°；③20件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是次品；④一个图形平移后与原来的图形不全等．A．0 B．1 C．2 D．38．关于二次函数y＝x2+4x﹣5，下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，5）B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小D．图象与x轴的两个交点之间的距离为59．如图，点A、B、C、D均在边长为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．1 C．D．10．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，原价为30元的药品经过连续两次降价，价格变为24.3元，则平均每次降价的百分率为（）A．10% B．15% C．20% D．25%11．把抛物线y＝（x﹣1）2+2沿x轴向右平移2个单位后，再沿y轴向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣3）2+1 B．y＝（x+1）2﹣1 C．y＝（x﹣3）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣2 12．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE②△DFP∽△BPH③DP2＝PH•PC；④FE：BC＝，其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共6小题）13．方程x2＝x的解是．14．已知：a，b在数轴上的位置如图所示，化简代数式：＝．15．如图，在△ABC中，AB＞AC，D、E分别为边AB、AC上的一点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件使△FDB与△ADE相似，则添加的一个条件是．16．如图，已知公路L上A，B两点之间的距离为100米，小明要测量点C与河对岸的公路L的距离，在A处测得点C在北偏东60°方向，在B处测得点C在北偏东30°方向，则点C到公路L的距离CD为米．17．关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0的两实数根为x1，x2，且，则m的值为．18．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3；③2a+b＝0；④4a2+2b+c＜0，其中正确结论的序号为．三．解答题（共8小题）19．计算：20．已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF ＝∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．22．某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：（1）扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角为度，并将条形统计图补充完整．（2）此次比赛有三名同学得满分，分别是甲、乙、丙，现从这三名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丙的概率．23．如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β＝60°，求树高AB（结果保留根号）24．某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的售价每提高0.5元，其销售量就减少10件，问：①应将每件售价定为多少元，才能使每天的利润为640元？②店主想要每天获得最大利润，请你帮助店主确定商品售价并指出每天的最大利润W为多少元？25．在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP＝BF；②当AD＝25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP＝9时，求BE•EF的值．26．如图抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式，并指出抛物线的顶点坐标．（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．二次根式中x的取值范围是（）A．x≥﹣2 B．x≥2 C．x≥0 D．x＞﹣2【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．【解答】解：由题意可知：x+2≥0，∴x≥﹣2，故选：A．2．下列计算正确的是（）A．B．C．÷D．【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据完全平方公式对D进行判断．【解答】解：A、原式＝2﹣，所以A选项错误；B、3与不能合并，所以B选项错误；C、原式＝＝2，所以C选项正确；D、原式＝3+4+4＝7+4，所以D选项错误．故选：C．3．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 【分析】方程有实数根，则根的判别式△≥0，且二次项系数不为零．【解答】解：∵△＝b2﹣4ac＝22﹣4×k×（﹣1）≥0，解上式得，k≥﹣1，∵二次项系数k≠0，∴k≥﹣1且k≠0．故选：D．4．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连结BE，若S△DEB＝1，则S△BCE的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据三角形中位线定理和三角形的面积即可得到结论．【解答】解：∵D是AB的中点，DE∥BC，∴CE＝AE．∴DE＝BC，∵S△DEB＝1，∴S△BCE＝2，故选：B．5．按如下方法，将△ABC的三边缩小到原来的，如图，任取一点O，连结AO，BO，CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF；则下列说法错误的是（）A．点O为位似中心且位似比为1：2B．△ABC与△DEF是位似图形C．△ABC与△DEF是相似图形D．△ABC与△DEF的面积之比为4：1【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．【解答】解：∵如图，任取一点O，连结AO，BO，CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，∴将△ABC的三边缩小到原来的，此时点O为位似中心且△ABC与△DEF的位似比为2：1，故选项A说法错误，符合题意；△ABC与△DEF是位似图形，故选项B说法正确，不合题意；△ABC与△DEF是相似图形，故选项C说法正确，不合题意；△ABC与△DEF的面积之比为4：1，故选项D说法正确，不合题意；故选：A．6．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tan D的值为（）A．B．C．D．【分析】设AC＝m，解直角三角形求出AB，BC，BD即可解决问题．【解答】解：设AC＝m，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2m，BC＝AC＝m，∴BD＝AB＝2m，DC＝2m+m，∴tan∠ADC＝＝＝2﹣．故选：D．7．下列事件中是随机事件的个数是（）①投掷一枚硬币，正面朝上；②五边形的内角和是540°；③20件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是次品；④一个图形平移后与原来的图形不全等．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：①掷一枚硬币正面朝上是随机事件；②五边形的内角和是540°是必然事件；③20件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是次品是随机事件；④一个图形平移后与原来的图形不全等是不可能事件；则是随机事件的有①③，共2个；故选：C．8．关于二次函数y＝x2+4x﹣5，下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，5）B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小D．图象与x轴的两个交点之间的距离为5【分析】通过计算自变量为0的函数值可对A进行判断；利用对称轴方程可对B进行判断；根据二次函数的性质对C进行判断；通过解x2+4x﹣5＝0得抛物线与x轴的交点坐标，则可对D进行判断．【解答】解：A、当x＝0时，y＝x2+4x﹣5＝﹣5，所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣5），所以A选项错误；B、抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，所以抛物线的对称轴在y轴的左侧，所以B选项错误；C、抛物线开口向上，当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小，所以C选项正确；D、当y＝0时，x2+4x﹣5＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），两交点间的距离为1+5＝6，所以D选项错误．故选：C．9．如图，点A、B、C、D均在边长为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．1 C．D．【分析】连接BC，由勾股定理得AC2＝BC2＝12+22＝5，AB2＝12+32＝10，则AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，得出△ABC是等腰直角三角形，则∠BAC＝45°，即可得出结果．【解答】解：连接BC，如图3所示；由勾股定理得：AC2＝BC2＝12+22＝5，AB2＝12+32＝10，∴AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∴sin∠BAC＝，故选：A．10．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，原价为30元的药品经过连续两次降价，价格变为24.3元，则平均每次降价的百分率为（）A．10% B．15% C．20% D．25%【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，依题意，得：30（1﹣x）2＝24.3，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．故选：A．11．把抛物线y＝（x﹣1）2+2沿x轴向右平移2个单位后，再沿y轴向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣3）2+1 B．y＝（x+1）2﹣1 C．y＝（x﹣3）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣2 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【解答】解：把抛物线y＝（x﹣1）2+2沿x轴向右平移2个单位后，再沿y轴向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣2）2+2﹣3，即y＝（x﹣3）2﹣1．故选：C．12．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE②△DFP∽△BPH③DP2＝PH •PC；④FE：BC＝，其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴BE＝2AE；故①正确；∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH；故②正确；∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴，∴DP2＝PH•PC，故③正确；∵∠ABE＝30°，∠A＝90°∴AE＝AB＝BC，∵∠DCF＝30°，∴DF＝DC＝BC，∴EF＝AE+DF﹣BC＝﹣BC，∴FE：BC＝（2﹣3）：3故④正确，故选：D．二．填空题（共6小题）13．方程x2＝x的解是x1＝0，x2＝1 ．【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解答】解：x2＝x，移项得：x2﹣x＝0，分解因式得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故答案为：x1＝0，x2＝114．已知：a，b在数轴上的位置如图所示，化简代数式：＝2 ．【分析】根据二次根式的性质＝|a|开平方，再结合数轴确定a﹣1，a+b，1﹣b的正负性，然后去绝对值，最后合并同类项即可．【解答】解：原式＝|a﹣1|﹣|a+b|+|1﹣b|，＝1﹣a﹣（﹣a﹣b）+（1﹣b），＝1﹣a+a+b+1﹣b，＝2，故答案为：2．15．如图，在△ABC中，AB＞AC，D、E分别为边AB、AC上的一点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件使△FDB与△ADE相似，则添加的一个条件是DF∥AC，或∠BFD＝∠A．【分析】结论：DF∥AC，或∠BFD＝∠A．根据相似三角形的判定方法一一证明即可．【解答】解：DF∥AC，或∠BFD＝∠A．理由：∵∠A＝∠A，＝＝，∴△ADE∽△ACB，∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，∴△BDF∽△EAD．②当∠BFD＝∠A时，∵∠B＝∠AED，∴△FBD∽△AED．故答案为：DF∥AC，或∠BFD＝∠A．16．如图，已知公路L上A，B两点之间的距离为100米，小明要测量点C与河对岸的公路L的距离，在A处测得点C在北偏东60°方向，在B处测得点C在北偏东30°方向，则点C到公路L的距离CD为50米．【分析】作CD⊥直线l，由∠ACB＝∠CAB＝30°，AB＝50m知AB＝BC＝50m，∠CBD＝60°，根据CD＝BC sin∠CBD计算可得．【解答】解：如图，过点C作CD⊥直线l于点D，∵∠BCD＝30°，∠ACD＝60°，∴∠ACB＝∠CAB＝30°，∵AB＝100m，∴AB＝BC＝100m，∠CBD＝60°，在Rt△BCD中，∵sin∠CBD＝，∴CD＝BC sin∠CBD＝100×＝50（m），故答案是：50．17．关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0的两实数根为x1，x2，且，则m的值为﹣1 ．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x1+x2＝3，x1x2＝﹣m，∵，∴﹣3x1+x1+x2＝2x1x2，∴m+3＝﹣2m，∴m＝﹣1，故答案为：﹣118．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3；③2a+b＝0；④4a2+2b+c＜0，其中正确结论的序号为②③．【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，b ＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，所以abc＜0，因此①是错误的；当y＝0时，抛物线与x轴交点的横坐标就是ax2+bx+c＝0的两根，由图象可得x1＝﹣1，x2＝3；因此②正确；对称轴为x＝1，即﹣＝1，也就是2a+b＝0；因此③正确，∵a＜0，a2＞0，b＞0，c＞0，∴4a2+2b+c＞0，因此④是错误的，故答案为：②③．三．解答题（共8小题）19．计算：【分析】利用特殊角的三角函数值、二次根式的性质和二次根式的除法法则运算．【解答】解：原式＝4×﹣（﹣）+2﹣+2×＝2﹣3++2﹣+2＝4﹣1．20．已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？【分析】（1）让根的判别式为0即可求得m，进而求得方程的根即为菱形的边长；（2）求得m的值，进而代入原方程求得另一根，即易求得平行四边形的周长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴△＝0，即m2﹣4（﹣）＝0，整理得：（m﹣1）2＝0，解得m＝1，当m＝1时，原方程为x2﹣x+＝0，解得：x1＝x2＝0.5，故当m＝1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5；（2）把AB＝2代入原方程得，m＝2.5，把m＝2.5代入原方程得x2﹣2.5x+1＝0，解得x1＝2，x2＝0.5，∴C▱ABCD＝2×（2+0.5）＝5．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF ＝∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，根据三角形的内角和和平角的定义得到∠BDE＝∠CEF，于是得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠DEB，∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠DEB，∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF，∴△BDE∽△CEF；（2）∵△BDE∽△CEF，∴，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，∴，∵∠DEF＝∠B＝∠C，∴△DEF∽△ECF，∴∠DFE＝∠CFE，∴FE平分∠DFC．22．某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：（1）扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角为72 度，并将条形统计图补充完整．（2）此次比赛有三名同学得满分，分别是甲、乙、丙，现从这三名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丙的概率．【分析】（1）先画出条形统计图，再求出圆心角即可；（2）先画出树状图，再求出概率即可．【解答】解：（1）条形统计图为；；扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角是（1﹣15%﹣25%﹣40%）×360°＝72°，故答案为：72；（2）画树状图：由树状图可知：所有等可能的结果有6种，其中符合条件的有2种，所有P（甲、丙）＝＝，即选中的两名同学恰好是甲、丙的概率是．23．如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β＝60°，求树高AB（结果保留根号）【分析】作CF⊥AB于点F，设AF＝x米，在直角△ACF中利用三角函数用x表示出CF 的长，在直角△ABE中表示出BE的长，然后根据CF﹣BE＝DE即可列方程求得x的值，进而求得AB的长．【解答】解：作CF⊥AB于点F，设AF＝x米，在Rt△ACF中，tan∠ACF＝，则CF＝＝＝＝x，在直角△ABE中，AB＝x+BF＝4+x（米），在直角△ABF中，tan∠AEB＝，则BE＝＝＝（x+4）米．∵CF﹣BE＝DE，即x﹣（x+4）＝3．解得：x＝，则AB＝+4＝（米）．答：树高AB是米．24．某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的售价每提高0.5元，其销售量就减少10件，问：①应将每件售价定为多少元，才能使每天的利润为640元？②店主想要每天获得最大利润，请你帮助店主确定商品售价并指出每天的最大利润W为多少元？【分析】①根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式．②根据①中的函数关系式求得利润最大值．【解答】解：①设每件售价定为x元时，才能使每天利润为640元，（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]＝640，解得：x1＝12，x2＝16．答：应将每件售价定为12元或16元时，能使每天利润为640元．②设利润为y：则y＝（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]＝﹣20x2+560x﹣3200＝﹣20（x﹣14）2+720，∴当售价定为14元时，获得最大利润；最大利润为720元．25．在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP＝BF；②当AD＝25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP＝9时，求BE•EF的值．【分析】（1）先判断出∠A＝∠D＝90°，AB＝DC再判断出AE＝DE，即可得出结论；（2）①利用折叠的性质，得出∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，进而判断出∠GPF ＝∠PFB即可得出结论；②判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE＝9，DE＝16，再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论；③判断出△GEF∽△EAB，即可得出结论．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，∵E是AD中点，∴AE＝DE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）①在矩形ABCD，∠ABC＝90°，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF＝∠PFB，∴∠BPF＝∠BFP，∴BP＝BF；②当AD＝25时，∵∠BEC＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠CED＝∠ABE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEC，∴，设AE＝x，∴DE＝25﹣x，∴，∴x＝9或x＝16，∵AE＜DE，∴AE＝9，DE＝16，∴CE＝20，BE＝15，由折叠得，BP＝PG，∴BP＝BF＝PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴，设BP＝BF＝PG＝y，∴，∴y＝，∴BP＝，在Rt△PBC中，PC＝，cos∠PCB＝＝；③如图，连接FG，∵∠GEF＝∠PGC＝90°，∴∠GEF+∠PGC＝180°，∴BF∥PG∵BF＝PG，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE＝∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴，∴BE•EF＝AB•GF＝12×9＝108．26．如图抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式，并指出抛物线的顶点坐标．（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），可以求得该抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）根据两点之间线段最短，找到点A关于对称轴的对称点是点B，然后连接CB与对称轴的交点，即为所求的点P，然后根据点P在直线BC上，即可求得点P的坐标，进而求得三角形PAC的周长；（3）根据S△PAM＝S△PAC，可知以PA为底边时，只要两个三角形等高即可，然后根据题目中的条件，画出相应的图形，利用分类讨论的方法可以求得点M的坐标，本题得以解决．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴，得，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线的顶点坐标为（1，4），即该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）点A关于对称轴的对称点是点B，连接CB与对称轴的交点为P，此时点P即为所求，设过点B（3，0），点C（0，3）的直线解析式为y＝kx+m，，得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴点P的坐标为（1，2），∵点A（﹣1，0），点C（0，3），点B（3，0），∴AC＝，BC＝3，∴△PAC的周长是：AC+CP+PA＝AC+CB＝，即点P的坐标为（1，2），△PAC的周长是；（3）存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC，∵S△PAM＝S△PAC，∴当以PA为底边时，只要两个三角形等高即可，即点M和点C到PA的距离相等，当点M在点C的上方时，则CM∥PA时，点M和点C到PA的距离相等，设过点A（﹣1，0），点P（1，2）的直线l1解析式为：y＝kx+m，，得，∴直线AP的解析式为y＝x+1，∴直线CM的解析式为y＝x+3，由得，，，∴点M的坐标为（1，4）；当点M在点C的下方时，则点M所在的直线l2与AP平行，且直线l2与直线AP之间的距离与直线l1与直线AP之间的距离相等，∴直线l2的的解析式为y＝x﹣1，由得，，，∴M的坐标为（，）或（，）；由上可得，点M的坐标为（1，4），（，）或（，）．。
2019-2020学年北京市朝阳区九年级上学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题1．下列事件中，随机事件是（）A．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数C．明天太阳从东方升起D．三角形的内角和是360°2．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（）A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）3．只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数，我国数学家陈景润在有关素数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从5，7，11这3个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是（）A．B．C．D．14．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．扩大为原来的9倍5．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE 与△ABC的面积之比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：96．如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D7．已知⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，△ABP内接于⊙O1，点C，E分别在⊙O2，⊙O3上．如图，①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O2于点D，连接CD；②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O3于点F，连接EF；下面有四个结论：①CD+EF＝AB②③∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B④∠CDO2+∠EFO3＝∠P所有正确结论的序号是（）A．①②③④B．①②③C．②④D．②③④8．如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）A．2B．C．D．3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，射线l的端点为（0，1），l∥x轴，请写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：．11．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝，则长AB为．12．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为．13．如图，在正方形网格中，点A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P 是上任意一点，则∠P 的正切值为．14．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为．15．为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：柑橘总质量n/kg100150200250300350400450500完好柑橘质量92.40138.45183.80229.50276.30322.70367.20414.45459.50m/kg柑橘完好的频0.9240.9230.9190.9180.9210.9220.9180.9210.919率①估计从该村运到火车站柑橘完好的概率为（结果保留小数点后三位）；②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地柑橘完好的概率为．16．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D．下面三个结论，①存在无数个点P使S△AOC＝S△BOD；②存在无数个点P使S△POA＝S△POB；③存在无数个点P使S四边形OAPB＝S△ACD．所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．计算：sin60°﹣cos30°+tan45°．18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长．19．如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数．20．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如下表：x…﹣2﹣1012…y1…01234…y2…0﹣1038…（1）求y2的表达式；（2）关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是．21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．22．在平面内，O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图形W．取OA 的中点C，过点C作CD⊥AB交图形W于的点D，D在直线AB的上方，连接AD，BD．（1）求∠ABD的度数；（2）若点E在线段CA的延长线上，且∠ADE＝∠ABD，求直线DE与图形W的公共点个数．23．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求BP的长．小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得BP的长．请回答：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴＝．∵AP＝1，∴PC＝．∴PB＝．参考小军的思路，解决问题：如图2，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝30°，求的值；24．点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数y ＝（x＞0）的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．（1）若点A（1，1），求线段AB和CD的长度；（2）对于任意的点A（a，b），判断线段AB和CD的大小关系，并证明．25．如图，在矩形ABCD中，E是BA延长线上的定点，M为BC边上的一个动点，连接ME，将射线ME绕点M顺时针旋转76°，交射线CD于点F，连接MD．小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM的长度之间的关系进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9 BM/cm0.000.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79 4.00 DF/cm0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.140.00 1.00 DM/cm 4.12 3.61 3.16 2.52 2.09 1.44 1.14 1.02 1.00在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF＝2cm时，DM的长度约为cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）．（1）用含a的式子表示b；（2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围．27．已知∠MON＝120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA＝OB，点C在线段OB上（不与点O，B重合），连接CA．将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA′，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA′交于点D．（1）根据题意补全图1；（2）求证：①∠OAC＝∠DCB；②CD＝CA（提示：可以在OA上截取OE＝OC，连接CE）；（3）点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，写出你的猜想并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点．例如，图1中的Q为点P的一个离点．（1）已知点P（0，3），Q为P的离点．①如图2，若B（0，0），则圆心C的坐标为，线段PQ的长为；②若B（2，0），求线段PQ的长；（2）已知1≤PA≤2，直线l：y＝kx+k+3（k≠0）．①当k＝1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为；②记直线l：y＝kx+k+3（k≠0）在﹣1≤x≤1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列事件中，随机事件是（）A．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数C．明天太阳从东方升起D．三角形的内角和是360°【分析】根据随机事件的意义，这个选项进行判断即可．解：“通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰”是必然事件；“随意翻到一本书的某页，这页的页码可能是偶数，也可能是奇数”因此选项B符合题意；“明天太阳从东方升起”是必然事件，不符合题意；“三角形的内角和是180°”因此“三角形的内角和是360°”是确定事件中的不可能事件，不符合题意；故选：B．2．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（）A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）【分析】抛物线的顶点式为：y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），可以确定抛物线的顶点坐标．解：抛物线y＝（x﹣2）2+1是以抛物线的顶点式给出的，其顶点坐标为：（2，1）．故选：A．3．只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数，我国数学家陈景润在有关素数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从5，7，11这3个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是（）A．B．C．D．1【分析】根据概率＝所求情况数与总情况数之比解答即可．解：∵共3个素数，分别是5，7，11，∴抽到的数是7的概率是；故选：C．4．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．扩大为原来的9倍【分析】根据相似三角形的性质解答．解：三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：A．5．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE 与△ABC的面积之比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝．故选：D．6．如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，交点为旋转中心．解：如图，∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M'N'P'，∴连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．故选：B．7．已知⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，△ABP内接于⊙O1，点C，E分别在⊙O2，⊙O3上．如图，①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O2于点D，连接CD；②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O3于点F，连接EF；下面有四个结论：①CD+EF＝AB②③∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B④∠CDO2+∠EFO3＝∠P所有正确结论的序号是（）A．①②③④B．①②③C．②④D．②③④【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理即可得到结论．解：由题意得，AP＝CD，BP＝EF，∵AP+BP＞AB，∴CD+EF＞AB；∵⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，∴＝，＝，∵+＝，∴+＝；∴∠CO2D＝∠AO1P，∠EO3F＝∠BO1P，∵∠AO1P+∠BO1P＝∠AO1P，∴∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B；∵∠CDO2＝∠APO1，∠BPO1＝∠EFO3，∵∠P＝∠APO1+∠BPO1，∴∠CDO2+∠EFO3＝∠P，∴正确结论的序号是②③④，故选：D．8．如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）A．2B．C．D．3【分析】根据抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，可得A、B两点坐标，D是以点C（0，4）为圆心，根据勾股定理可求BC的长为5，E是线段AD的中点，再根据三角形中位线，BD最小，OE就最小．解：∵抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，∴A、B两点坐标为（﹣3，0）、（3，0），∵D是以点C（0，4）为圆心，根据勾股定理，得BC＝5，∵E是线段AD的中点，O是AB中点，∴OE是三角形ABD的中位线，∴OE＝BD，即点B、D、C共线时，BD最小，OE就最小．如图，连接BC交圆于点D′，∴BD′＝BC﹣CD′＝5﹣1＝4，∴OE′＝2．所以线段OE的最小值为2．故选：A．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为（1，3）．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．解：点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为：（1，3）．故答案为：（1，3）．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，射线l的端点为（0，1），l∥x轴，请写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：答案不唯一，如y＝．【分析】直接利用射线的特点得出符合题意的反比例函数解析式．解：∵射线l的端点为（0，1），l∥x轴，∴写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：答案不唯一，如y＝．故答案为：答案不唯一，如y＝．11．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝，则长AB为2．【分析】判断黄金矩形的依据是：宽与长之比为0.618，根据已知条件即可得出答案．解：∵矩形ABCD是黄金矩形，且AD＝，∴，，∴AB＝2，故答案为2．12．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为．【分析】连接OC、OD，根据切线性质和∠A＝45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC＝OD＝1，∠COD＝90°，根据弧长公式求得即可．解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝1，∵AC＝BD＝1，OC＝OD＝1，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝π，故答案为：．13．如图，在正方形网格中，点A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P是上任意一点，则∠P的正切值为．【分析】：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠AOD＝∠APB，再利用正切的性质得到tan∠AOD＝，从而得到tan∠P的值．解：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，∵OA＝OB，OD⊥AB，∴∠AOD＝∠AOB，∵∠APB＝∠AOB，∴∠AOD＝∠APB，在Rt△AOD中，tan∠AOD＝＝，∴tan∠P＝．故答案为．14．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为2．【分析】根据根与系数的关系解答即可．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），∴m+n＝﹣＝2．故答案是：2．15．为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：柑橘总质量n/kg100150200250300350400450500完好柑橘质量92.40138.45183.80229.50276.30322.70367.20414.45459.50m/kg柑橘完好的频0.9240.9230.9190.9180.9210.9220.9180.9210.919率①估计从该村运到火车站柑橘完好的概率为0.920（结果保留小数点后三位）；②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地柑橘完好的概率为．【分析】（1）根据表格中频率的变化情况，估计概率即可；（2）根据完好的概率进行列方程求解即可．解：（1）根据抽查的柑橘完好的频率，大约集中在0.920上下波动，因此估计柑橘的完好的概率为0.920，故答案为：0.920；（2）设总质量为m千克，从火车站运到A地柑橘完好的概率为x，由题意得，m×0.920×x＝m×0.880，解得，x＝，故答案为：．16．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D．下面三个结论，①存在无数个点P使S△AOC＝S△BOD；②存在无数个点P使S△POA＝S△POB；③存在无数个点P使S四边形OAPB＝S△ACD．所有正确结论的序号是①②③．【分析】如图，设C（m，），D（n，），则P（n，），利用反比例函数k的几何意义得到S△AOC＝3，S△BOD＝3，则可对①进行判断；根据三角形面积公式可对②进行判断；通过计算S四边形OAPB和S△ACD得到m与n的关系可对对③进行判断．解：如图，设C（m，），D（n，），则P（n，），∵S△AOC＝3，S△BOD＝3，∴S△AOC＝S△BOD；所以①正确；∵S△POA＝﹣n×＝﹣，S△POB＝﹣n×＝﹣，∴S△POA＝S△POB；所以②正确；∵S四边形OAPB＝﹣n×＝﹣，S△ACD＝×m×（﹣）＝3﹣，∴当﹣＝3﹣，即m2﹣mn﹣2n2＝0，所以m＝2n（舍去）或m＝﹣n，此时P点为无数个，所以③正确．故答案为①②③．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．计算：sin60°﹣cos30°+tan45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案．解：原式＝＝1．18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长．【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可以求得AD的长，然后即可求得BD的长，再根据AD的长和tan C＝，可以求得CD的长，从而可以求得BC 的长，本题得以解决．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝8，∴AD＝4，BD＝，∵在Rt△ADC中，tan C＝，AD＝4，∴，∴CD＝3．∴BC＝BD+CD＝．19．如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数．【分析】首先证明∠ABD＝90°，求出∠BDC，∠ADB即可解决问题．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°．根据题意可知BD＝BC，∠DBC＝30°．∴AB＝BD．∴∠ABD＝90°，∠BDC＝75°．∴∠BDA＝45°．∴∠ADC＝30°．20．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如下表：x…﹣2﹣1012…y1…01234…y2…0﹣1038…（1）求y2的表达式；（2）关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是x＜﹣2或x＞1．【分析】（1）根据题意设出y2的表达式，再把（0，0）代入，求出a的值，即可得出y2的表达式；（2）利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（﹣2，0）和（1，3），x＜﹣2或x＞1时，y2＞y1，从而得出不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集．解：（1）根据题意设y2的表达式为：y2＝a（x+1）2﹣1，把（0，0）代入得a＝1，∴y2＝x2+2x；（2）当x＝﹣2时，y1＝y2＝0；当x＝1时，y1＝y2＝3；∴直线与抛物线的交点为（﹣2，0）和（1，3），而x＜﹣2或x＞1时，y2＞y1，∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是x＜﹣2或x＞1．故答案为：x＜﹣2或x＞1．21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算出DE的长即可．解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，在Rt△AEO中，OE＝＝＝3，∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．22．在平面内，O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图形W．取OA 的中点C，过点C作CD⊥AB交图形W于的点D，D在直线AB的上方，连接AD，BD．（1）求∠ABD的度数；（2）若点E在线段CA的延长线上，且∠ADE＝∠ABD，求直线DE与图形W的公共点个数．【分析】（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．如图1，连接OD，根据等边三角形的判定与性质即可求解；（2）根据切线的判定即可求解．解：（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．如图1，连接OD，∴OA＝OD．∵点C为OA的中点，CD⊥AB，∴AD＝OD．∴OA＝OD＝AD．∴△OAD是等边三角形．∴∠AOD＝60°．∴∠ABD＝30°．（2）如图2，∵∠ADE＝∠ABD，∴∠ADE＝30°．∵∠ADO＝60°．∴∠ODE＝90°．∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．∴直线DE与图形W的公共点个数为1．23．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求BP的长．小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得BP的长．请回答：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴＝．∵AP＝1，∴PC＝．∴PB＝2．参考小军的思路，解决问题：如图2，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝30°，求的值；【分析】阅读材料：证明△ACP∽△CBP．得出．由等腰直角三角形的性质得出CB＝AC得出＝．PC＝AP＝．得出PB＝PC＝2．解决问题：证明△ACP∽△CBP．得出＝，设AP＝a，则PC＝，得出PB＝3a．即可得出．【解答】阅读材料：解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴CB＝AC，∴＝．∵AP＝1，∴PC＝AP＝．∴PB＝PC＝2．故答案为：∠PBC；；2；解决问题：解：作AD⊥BC于D，如图2所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°．BD＝CD＝BC，∴AD＝AC，CD＝AD，∴AC＝2AD，BC＝2CD＝2AD，∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴＝＝，设AP＝a，则PC＝，∴PB＝3a．∴．24．点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数y ＝（x＞0）的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．（1）若点A（1，1），求线段AB和CD的长度；（2）对于任意的点A（a，b），判断线段AB和CD的大小关系，并证明．【分析】（1）根据题意求得B（3，1），C（1，3），D（，3），即可求得AB和CD 的长度；（2）根据题意得到A（a，），B（3a，）．C（a，），D（，），进一步求得AB＝2a，CD＝．即可求得AB＞CD．解：（1）∵AB∥x轴，A（1，1），B在反比例函数的图象上，∴B（3，1）．同理可求：C（1，3），D（，3）．∴AB＝2，CD＝．（2）AB＞CD．证明：∵A（a，b），A在反比例函数的图象上，∴A（a，）．∵AB∥x轴，B在反比例函数的图象上，∴B（3a，）．同理可求：C（a，），D（，）．∴AB＝2a，CD＝．∵a＞0，∴2a＞．∴AB＞CD．25．如图，在矩形ABCD中，E是BA延长线上的定点，M为BC边上的一个动点，连接ME，将射线ME绕点M顺时针旋转76°，交射线CD于点F，连接MD．小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM的长度之间的关系进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9 BM/cm0.000.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79 4.00 DF/cm0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.140.00 1.00 DM/cm 4.12 3.61 3.16 2.52 2.09 1.44 1.14 1.02 1.00在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定BM的长度是自变量，DF的长度和DM的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF＝2cm时，DM的长度约为 2.98和1.35 cm．【分析】（1）由函数的定义可得；（2）描点即可；（3）结合图象，即可求解．解：（1）由函数的定义可得：BM的长度是自变量，DF的长度和DM的长度都是这个自变量的函数，故答案为：BM，DF，DM；（2）如图所示．（3）由图象得到：当DF＝2cm时，DM的长度约为2.98cm和1.35cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）．（1）用含a的式子表示b；（2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围．【分析】（1）将点（3，3）代入解析式即可求得；（2）把y＝4代入y＝x+4a+4得到关于x的方程，解方程即可求得；（3）根据抛物线与线段AB恰有一个公共点，分两种情况讨论，即可得结论．解：（1）将点（3，3）代入y＝ax2+bx，得9a+3b＝3．∴b＝﹣3a+1．（2）令x+4a+4＝4，得x＝﹣4a．∴B（﹣4a，4）．（3）∵a＜0，∴抛物线开口向下，抛物线与线段AB恰有一个公共点，∵A（1，4），B（﹣4a，4）∴点A、B所在的直线为y＝4，由（1）得b＝1﹣3a，则抛物线可化为：y＝ax2+（1﹣3a）x，分两种情况讨论：①当抛物线y＝ax2+（1﹣3a）x与直线y＝4只有一个公共点时，且抛物线的顶点在点A、B之间，则1≤≤﹣4a或﹣4a≤≤1，方程ax2+（1﹣3a）x＝4的根的判别式：△＝0，即（1﹣3a）2+16a＝0，解得a1＝﹣，a2＝﹣1，当a1＝﹣时，＝6（不符合题意），当a2＝﹣1时，＝2，则1≤≤﹣4a成立．②当抛物线经过点A时，即当x＝1，y＝4时，a+1﹣3a＝4，解得a＝﹣；∴a＜﹣时，抛物线与线段AB恰有一个公共点，综上：a的取值为：a＝﹣1或a＜﹣时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．27．已知∠MON＝120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA＝OB，点C在线段OB 上（不与点O，B重合），连接CA．将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA′，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA′交于点D．（1）根据题意补全图1；（2）求证：①∠OAC＝∠DCB；②CD＝CA（提示：可以在OA上截取OE＝OC，连接CE）；（3）点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，写出你的猜想并证明．【分析】（1）根据题意即可补全图形；（2）①由旋转得∠ACD＝120°，由三角形内角和得出∠DCB+∠ACO＝60°，∠OAC+∠ACO＝60°，即可得出结论；②在OA上截取OE＝OC，连接CE，则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣∠MON）＝30°，∠AEC＝150°，得出∠AEC＝∠CBD，易证AE＝BC，由ASA证得△AEC≌△CBD，即可得出结论；（3）猜想OH﹣OC＝OA时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，在OH上截取OF＝OC，连接CF、CH，则FH＝OA，∠COF＝180°﹣∠MON＝60°，得出△OFC是等边三角形，则CF＝OC，∠CFH＝∠COA＝120°，由SAS证得△CFH≌△COA，得出∠H＝∠OAC，由三角形外角性质得出∠BCH＝∠COF+∠H＝60°+∠H＝60°+∠OAC，则∠DCH＝60°+∠H+∠DCB＝60°+2∠OAC，由CA＝CD，∠ACD＝120°，得出∠CAD＝30°，即可得出∠DCH＝2∠DAH．【解答】（1）解：根据题意补全图形，如图1所示：（2）证明：①由旋转得：∠ACD＝120°，∴∠DCB+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，∵∠MON＝120°，∴∠OAC+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，∴∠OAC＝∠DCB；②在OA上截取OE＝OC，连接CE，如图2所示：则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣∠MON）＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠AEC＝180°﹣∠OEC＝180°﹣30°＝150°，由旋转得：∠CBD＝150°，∴∠AEC＝∠CBD，∵OA＝OB，OE＝OC，∴AE＝BC，在△AEC和△CBD中，，∴△AEC≌△CBD（ASA），∴CD＝CA；（3）解：猜想OH﹣OC＝OA时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH；理由如下：在OH上截取OF＝OC，连接CF、CH，如图3所示：则FH＝OA，∠COF＝180°﹣∠MON＝180°﹣120°＝60°，∴△OFC是等边三角形，∴CF＝OC，∠CFH＝∠COA＝120°，在△CFH和△COA中，，∴△CFH≌△COA（SAS），∴∠H＝∠OAC，∴∠BCH＝∠COF+∠H＝60°+∠H＝60°+∠OAC，∴∠DCH＝60°+∠H+∠DCB＝60°+2∠OAC，∵CA＝CD，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴∠DCH＝2（∠CAD+∠OAC）＝2∠DAH．28．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点．例如，图1中的Q为点P的一个离点．（1）已知点P（0，3），Q为P的离点．①如图2，若B（0，0），则圆心C的坐标为（0，1），线段PQ的长为；②若B（2，0），求线段PQ的长；（2）已知1≤PA≤2，直线l：y＝kx+k+3（k≠0）．①当k＝1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为6；②记直线l：y＝kx+k+3（k≠0）在﹣1≤x≤1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围．【分析】（1）①如图可知：C（0，1），在Rt△PQC中，CQ＝1，PC＝2；②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ，M（0，1）．在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA＝，CQ＝．在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC＝．在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ＝＝．（2）①当k＝1时，y＝x+4，Q（t﹣4，t），P的纵坐标为4时，PQ与圆C相切，设B （m，0），则圆心为C（，1），由CQ⊥PQ，可求CQ的解析式为y＝﹣x++1，Q 点横坐标为﹣＝t﹣4，则C（2t﹣5，1），再由CQ＝AC，得到t＝6或t＝2；②y ＝kx+k+3经过定点（﹣1，3），PQ是圆的切线，AO是圆的弦，则有PQ2＝PA•PO，当k＜0时，Q点的在端点（﹣1，3）和（1，2k+3）之间运动，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4﹣2），此时k＝1﹣2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），1+4k2＝3，所以1﹣2＜k≤﹣；当k ＞0时，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4+2），此时k＝1+2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），1+4k2＝3，所以≤k＜1+2．解：（1）①如图可知：C（0，1），在Rt△PQC中，CQ＝1，PC＝2，∴PQ＝，故答案为（0，1）；；②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ．∵A（0，2），B（2，0），∴C（1，1）．∴M（0，1）．在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA＝．∴CQ＝．∵P（0，3），M（0，1），∴PM＝2．在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC＝．在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ＝＝．（2）①如图1：当k＝1时，y＝x+4，∴Q（t﹣4，t），∵1≤PA≤2，∴P的纵坐标为4时，PQ与圆C相切，设B（m，0），∴C（，1），∵CQ⊥PQ，∴CQ的解析式为y＝﹣x++1，∴Q点横坐标为﹣，∴﹣＝t﹣4，∴m＝4t﹣10，∴C（2t﹣5，1），∵CQ＝AC，∴（2t﹣5）2+1＝2（t﹣1）2，∴t＝6或t＝2，∴t的最大值为6；故答案为6．②∵﹣1≤x≤1，∵y＝kx+k+3经过定点（﹣1，3），∵PQ是圆的切线，AO是圆的弦，∴PQ2＝PA•PO，当k＜0时，Q点的在端点（﹣1，3）和（1，2k+3）之间运动，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4﹣2），此时k＝1﹣2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），∴1+4k2＝3，∴k＝，∴k＝﹣，∴1﹣2＜k≤﹣；当k＞0时，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4+2），此时k＝1+2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），∴1+4k2＝3，∴k＝，∴k＝，∴≤k＜1+2．。
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2019-2020学年吉林省第二实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列各数中，最小的数是（）A．﹣1B．﹣6C．2D．32．（3分）下列几何体的主视图与众不同的是（）A．B．C．D．3．（3分）2019年6月5日，长征十一号运载火箭成功完成了”一箭七星”海上发射技术试验，该火箭重58000kg，将数58000用科学记数法表示为（）A．58×103B．5.8×103C．0.58×105D．5.8×1044．（3分）不等式组的解集是（）A．x≥2B．x＞﹣2C．x≤2D．﹣2＜x≤25．（3分）抛物线y＝3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）6．（3分）观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（）A．PQ为∠APB的平分线B．P A＝PBC．点A、B到PQ的距离不相等D．∠APQ＝∠BPQ7．（3分）函数y1＝ax2+bx+c与y2＝x的图象如图所示，当y1＜y2时，自变量x的取值范围是（）A．1＜x＜3B．x＜1C．x＞3D．x＜1或x＞38．（3分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（）A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分9．（3分）计算：＝．10．（3分）一元二次方程x2﹣5x+3＝0根的判别式的值为．11．（3分）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为．12．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象如图所示，则点P（a，c）在第象限．13．（3分）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD、CD．若∠B＝65°，则∠ADC的大小为度．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y＝a（x﹣3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的菱形ABCD的周长为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣）两点．（1）求b，c的值．（2）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．16．（6分）小明和小刚相约周末到净月潭国家森林公园去徒步，小明和小刚的家分别距离公园1600米和2800米，两人分别从家中同时出发，小明骑自行车，小刚乘公交车，已知公交车的平均速度是骑自行车速度的3.5倍，结果小刚比小明提前4min到达公园，求小刚乘公交车的平均速度．17．（6分）如图所示，直线AC∥DE，DA⊥AC，隧道BC在直线AC上．某施工队要测量隧道BC的长，在点D处观测点B，测得∠BDA＝45°，在点E处观测点C，测得∠CEF＝53°，且测得AD＝600米，DE＝500米，试求隧道BC的长．【参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈】18．（7分）如图，菱形EFGH的顶点E、G分别在矩形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在矩形ABCD 的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若AB＝3，BC＝4，则菱形EFGH的面积最大值是．19．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣3），该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1．（1）求该二次函数的表达式；（2）求tan∠ABC．20．（7分）图①、图②是两个7×7网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）在图①网格内画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON＝90°；（2）在图②网格内以OM为边画一个OMPQ，使OMPQ面积等于5且点P、Q均在格点上．（画出一种即可）21．（8分）如图①，甲、乙两车同时从A地出发，分别匀速前往B地与C地，甲车到达B地休息一段时间后原速返回，乙车到达C地后立即返回．两车恰好同时返回A地．图②是两车各自行驶的路程y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象．根据图象解答下列问题：（1）甲车到达B地休息了时；（2）求甲车返回A地途中y与x之间的函数关系式；（3）当x为何值时，两车与A地的路程恰好相同．（不考虑两车同在A地的情况）22．（9分）教材呈现：如图是华师版八年级下册数学教材第75页的部分内容．请根据教材的内容，运用此性质解决下列问题：如图①，Rt△ABC与Rt△EDC是两个全等的三角形，当两个三角形完全重合时，将△EDC绕直角顶点C顺时针旋转60°，点D恰好落在AB边上，连结DE，BE．【探究】（1）求证：DE∥BC．（2）判断S△ADC与S△BCE的大小关系S△ADC S△BCE（填”＞””＜”或”＝”）；【应用】如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，过点D作DE∥BC交AC于点F，交CD的垂线CE于点E，连结BE，AE．若S△BCE＝2，EF＝4FD，则四边形ADCE的面积为23．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AB，AB＝3，BD＝4．动点P从点A出发，沿AC方向以每秒个单位长度的速度向终点C运动，过点P作PE⊥直线AB于点E．设点P的运动时间为t．（1）用含t的代数式表示线段PE的长；（2）当线段PE被线段BC平分时，求t的值；（3）设△APE与△ABC重合部分图形的面积为S，求S与t的函数关系式；（4）点Q是射线PE上一点，在点P的运动过程中，始终保持PQ＝1，将△AEQ沿AQ翻折，使点E 的对应点为E′，直接写出当点E′落在直线AD上时t的值．24．（12分）已知，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），顶点为C，与y轴交点为D．（1）求点C和点A的坐标；（2）把y＝x2﹣4x+3（x≥0）的图象沿着y轴翻折，翻折前与翻折后共同组成的图形记为“W”．①点E为“W”上一点，当△EAB的面积等于3时，求点E的横坐标；②点P在“W”，点Q在x轴上，当以点P、Q、C、D为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标；③点M为y＝x2﹣4x+3（x≥0）上一点，作点M关于y轴的对称点N，以MN为边向上作正方形MNRS，当直线MD把正方形面积分为1：5两部分时，求点M的横坐标m的值．2019-2020学年吉林省第二实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列各数中，最小的数是（）A．﹣1B．﹣6C．2D．3【分析】根据①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．即可判断出答案．【解答】解：四个选项中，最小的数是﹣6．故选：B．2．（3分）下列几何体的主视图与众不同的是（）A．B．C．D．【分析】根据主视图是从正面看到的图象判定则可．【解答】解：A、主视图是下面两个正方形，上面一个正方形相叠；B、主视图是下面两个正方形，上面一个正方形相叠；C、主视图是下面两个正方形，上面一个正方形相叠；D、主视图上下都是两个正方形相叠．故选：D．3．（3分）2019年6月5日，长征十一号运载火箭成功完成了”一箭七星”海上发射技术试验，该火箭重58000kg，将数58000用科学记数法表示为（）A．58×103B．5.8×103C．0.58×105D．5.8×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将数58000用科学记数法表示为5.8×104．故选：D．4．（3分）不等式组的解集是（）A．x≥2B．x＞﹣2C．x≤2D．﹣2＜x≤2【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，解①得：x＞﹣2，解②得：x≤2，则不等式组的解集是：﹣2＜x≤2．故选：D．5．（3分）抛物线y＝3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+1是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）．故选A．6．（3分）观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（）A．PQ为∠APB的平分线B．P A＝PB C．点A、B到PQ的距离不相等D．∠APQ＝∠BPQ 【分析】根据角平分线的作法进行解答即可．【解答】解：∵由图可知，PQ是∠APB的平分线，∴A，B，D正确；∵PQ是∠APB的平分线，P A＝PB，∴点A、B到PQ的距离相等，故C错误．故选：C．7．（3分）函数y1＝ax2+bx+c与y2＝x的图象如图所示，当y1＜y2时，自变量x的取值范围是（）A．1＜x＜3B．x＜1C．x＞3D．x＜1或x＞3【分析】求y1＜y2的自变量x的取值范围，从图上看就是二次函数图象在一次函数图象下方时，横坐标x的取值范围．【解答】解：y1＜y2的自变量x的取值范围，从图上看就是二次函数图象在一次函数图象下方时，横坐标x的取值范围，从图上看当1＜x＜3时二次函数图象在一次函数图象下方，所以1＜x＜3．故选：A．8．（3分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（）A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米【分析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝800米，根据tanα＝，即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝800米，∴tanα＝，∴AB＝＝．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分9．（3分）计算：＝．【分析】原式利用二次根式乘法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式＝＝，故答案为：10．（3分）一元二次方程x2﹣5x+3＝0根的判别式的值为13．【分析】直接利用根的判别式△＝b2﹣4ac求出答案．【解答】解：一元二次方程x2﹣5x+3＝0根的判别式的值是：△＝（﹣5）2﹣4×3＝13．故答案为：13．11．（3分）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为直线x＝2．【分析】点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，这两点一定关于对称轴对称，那么利用两点的横坐标可求对称轴．【解答】解：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，∴这两点一定关于对称轴对称，∴对称轴是：x＝＝2．故答案为：直线x＝2．12．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象如图所示，则点P（a，c）在第二象限．【分析】观察图形得抛物线开口向下，抛物线与y轴的交点在x轴的上方，根据二次函数图形与系数的关系得到a＜0，c＞0，即可判断P点所在的象限．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0；∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0．∴点P（a，c）在第二象限．故答案为二．13．（3分）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD、CD．若∠B＝65°，则∠ADC的大小为65度．【分析】根据作法可得AB＝CD，BC＝AD，然后利用“边边边”证明△ABC和△CDA全等，再根据全等三角形对应角相等解答．【解答】解：∵以点A为圆心，以BC长为半径作弧；以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，∴AB＝CD，BC＝AD，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SSS），∴∠ADC＝∠B＝65°．故答案为：65．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y＝a（x﹣3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的菱形ABCD的周长为24．【分析】根据题意和二次函数的性质可以求得线段AB的长度，从而可以求得菱形ABCD的周长．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点点A是抛物线y＝a（x﹣3）2+k与y轴的交点，∴点A的横坐标是0，该抛物线的对称轴为直线x＝3，∵点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，∴点B的横坐标是6，∴AB＝6，∴菱形ABCD的周长为：6×4＝24，故答案为：24．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣）两点．（1）求b，c的值．（2）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值；（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点，由题意得到方程﹣x2+x+3＝0，通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标．【解答】解：（1）把A（0，3），B（﹣4，﹣）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得；（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+3．△＝（）2﹣4×（﹣）×3＝＞0，所以二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴有公共点．∵﹣x2+x+3＝0的解为：x1＝﹣2，x2＝8∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．16．（6分）小明和小刚相约周末到净月潭国家森林公园去徒步，小明和小刚的家分别距离公园1600米和2800米，两人分别从家中同时出发，小明骑自行车，小刚乘公交车，已知公交车的平均速度是骑自行车速度的3.5倍，结果小刚比小明提前4min到达公园，求小刚乘公交车的平均速度．【分析】设小明骑自行车的平均速度为x米/分钟，则小刚乘公交车的平均速度为3.5x米/分钟，根据时间＝路程÷速度结合小刚比小明提前4min到达公园，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设小明骑自行车的平均速度为x米/分钟，则小刚乘公交车的平均速度为3.5x米/分钟，依题意，得：﹣＝4，解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴3.5x＝700．答：小刚乘公交车的平均速度为700米/分钟．17．（6分）如图所示，直线AC∥DE，DA⊥AC，隧道BC在直线AC上．某施工队要测量隧道BC的长，在点D处观测点B，测得∠BDA＝45°，在点E处观测点C，测得∠CEF＝53°，且测得AD＝600米，DE＝500米，试求隧道BC的长．【参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈】【分析】作EM⊥AC于M，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：在Rt△ABD中，AB＝AD＝600，作EM⊥AC于M，则AM＝DE＝500，∴BM＝100，在Rt△CEM中，tan53°＝，∴CM＝800，∴BC＝CM﹣BM＝800﹣100＝700（米）答：隧道BC长为700米18．（7分）如图，菱形EFGH的顶点E、G分别在矩形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在矩形ABCD 的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若AB＝3，BC＝4，则菱形EFGH的面积最大值是．【分析】（1）证明△BFG≌△DHE（AAS），即可得出BG＝DE；（2）当点F与B重合，点H与D重合时，菱形EFGH的面积最大，由菱形的性质得出EG⊥BD，BE ＝DE＝BG，设BE＝DE＝x，则AE＝4﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程32+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，得出CG＝AE＝4﹣＝，菱形EFGH的面积最大值＝矩形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDG的面积，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FBG＝∠HDE，∵四边形EFGH是菱形，∴FG＝EH，∠EFG＝∠EHG，∠GFH＝∠EFG，∠EHF＝∠EHG，∴∠GFH＝∠EHG，∴∠BFG＝∠DHE，在△BFG和△DHE中，，∴△BFG≌△DHE（AAS），∴BG＝DE；（2）解：当点F与B重合，点H与D重合时，菱形EFGH的面积最大，如图所示：∵四边形EFGH是菱形，∴EG⊥BD，BE＝DE＝BG，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，设BE＝DE＝x，则AE＝4﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理得：32+（4﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴CG＝AE＝4﹣＝，∴菱形EFGH的面积最大值＝矩形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDG的面积＝3×4﹣2×××3＝；故答案为：．19．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣3），该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1．（1）求该二次函数的表达式；（2）求tan∠ABC．【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2﹣3，将A（1，0）代入解析式来求a的值．（2）由锐角三角函数定义解答．【解答】解：（1）由题意可设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2﹣3，（a≠0）．把A（1，0）代入，得0＝a（1﹣4）2﹣3，解得a＝．故该二次函数解析式为y＝（x﹣4）2﹣3；（2）令x＝0，则y＝（0﹣4）2﹣3＝．则OC＝．因为二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣3），A（1，0），则点B与点A关系直线x＝4对称，所以B（7，0）．所以OB＝7．所以tan∠ABC＝＝＝，即tan∠ABC＝．20．（7分）图①、图②是两个7×7网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）在图①网格内画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON＝90°；（2）在图②网格内以OM为边画一个OMPQ，使OMPQ面积等于5且点P、Q均在格点上．（画出一种即可）【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可．（2）利用数形结合的思想解决问题即可（答案不唯一）．【解答】解：（1）如图，△MON即为所求．（2）四边形OMPQ即为所求．21．（8分）如图①，甲、乙两车同时从A地出发，分别匀速前往B地与C地，甲车到达B地休息一段时间后原速返回，乙车到达C地后立即返回．两车恰好同时返回A地．图②是两车各自行驶的路程y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象．根据图象解答下列问题：（1）甲车到达B地休息了3小时；（2）求甲车返回A地途中y与x之间的函数关系式；（3）当x为何值时，两车与A地的路程恰好相同．（不考虑两车同在A地的情况）【分析】（1）根据题意和图象中的数据可以求得甲车到达B地休息了多长时间；（2）根据函数图象中的数据可以求得甲车返回A地途中y与x之间的函数关系式；（3）根据函数图象中的数据可以求得甲乙的速度，从而可以解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，甲车到达B地休息了：7﹣2﹣2＝3（小时），故答案为：3小；（2）设甲车返回A地途中y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，，得，即甲车返回A地途中y与x之间的函数关系式是y＝80x﹣240；（3）甲车的速度为160÷2＝80km/h，乙车的速度为：420÷7＝60km/h，令60x＝160，得x＝，令60x＝210+（210﹣160），得x＝，当x为或时，两车与A地的距离恰好相同．22．（9分）教材呈现：如图是华师版八年级下册数学教材第75页的部分内容．请根据教材的内容，运用此性质解决下列问题：如图①，Rt△ABC与Rt△EDC是两个全等的三角形，当两个三角形完全重合时，将△EDC绕直角顶点C顺时针旋转60°，点D恰好落在AB边上，连结DE，BE．【探究】（1）求证：DE∥BC．（2）判断S△ADC与S△BCE的大小关系S△ADC＝S△BCE（填”＞””＜”或”＝”）；【应用】如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，过点D作DE∥BC交AC于点F，交CD的垂线CE于点E，连结BE，AE．若S△BCE＝2，EF＝4FD，则四边形ADCE的面积为10【分析】【探究】（1）由旋转的性质可得CB＝CD，∠CBD＝∠CDE，∠BCD＝60°，可得△BCD是等边三角形，可得∠CBD＝60°＝∠BCD＝∠CDE，可得DE∥BC；（2）由平行线之间的距离处处相等，且底相同，可得S△BCE＝S△BCD，通过证明AD＝BD，可得S△BCD ＝S△ADC，可得S△ADC＝S△BCE；【应用】由中线的性质可求S△BCD＝S△ADC，由平行线的性质可求S△BCE＝S△BCD＝S△ADC＝2，由三角形面积公式可求S△ACE＝8，即可求解．【解答】证明：【探究】（1）∵将△EDC绕直角顶点C顺时针旋转60°，∴CB＝CD，∠CBD＝∠CDE，∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠CBD＝60°，∵∠CDE＝60°＝∠CBD，∴∠BCD＝∠CDE，∴DE∥BC；（2）∵DE∥BC，∴S△BCE＝S△BCD，∵∠ACB＝90°，∠CBD＝∠BCD＝60°，∴∠A＝∠ACD＝30°，∴AD＝CD，∴AD＝BD，∴S△BCD＝S△ADC，∴S△ADC＝S△BCE，故答案为：＝；【应用】∵CD是斜边AB的中线，∴S△BCD＝S△ADC，∵DE∥BC，∠ACB＝90°，∴S△BCE＝S△BCD＝S△ADC＝2，∠AFD＝∠ACB＝90°，∵S△ACD＝AC×DF＝2，S△ACE＝×AC×EF，且EF＝4DF，∴S△ACE＝8，∴四边形ADCE的面积＝S△ADC+S△ACE＝10，故答案为：10．23．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AB，AB＝3，BD＝4．动点P从点A出发，沿AC方向以每秒个单位长度的速度向终点C运动，过点P作PE⊥直线AB于点E．设点P的运动时间为t．（1）用含t的代数式表示线段PE的长；（2）当线段PE被线段BC平分时，求t的值；（3）设△APE与△ABC重合部分图形的面积为S，求S与t的函数关系式；（4）点Q是射线PE上一点，在点P的运动过程中，始终保持PQ＝1，将△AEQ沿AQ翻折，使点E 的对应点为E′，直接写出当点E′落在直线AD上时t的值．【分析】（1）证明△APE∽△AOB，可得＝，由此即可解决问题．（2）如图2中，当PE被BC平分时，设PE交BC于F．由PF∥OB，BF＝CF，推出OP＝PC＝OC，求出AP即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当0＜t≤1时，重叠部分是△APE，根据S＝•AE•PE求解．②如图3﹣2中，当1＜t≤2时，重叠部分是四边形ABFP，根据S＝S△APE﹣S△BFE求解即可．（4）分两种情形：①如图4﹣1中，当点E′落在DA的延长线上时，作BM⊥AD于M，在AD上截取AN，使得AN＝AB，连接BN．证明∠EAQ＝∠BNM，推出tan∠EAQ＝tan∠BNM，可得＝，由此构建方程即可解决问题．②如图4﹣2中，当点E′落在AD的延长线于E′，作MN⊥AD于N．由BM∥QE，推出△ABM∽△AEQ，可得＝，由此构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD＝BD＝2，∵BD⊥AB，PE⊥AB，∴OA＝＝＝，PE∥BD，∴△APE∽△AOB，∴＝，即＝，解得：PE＝2t；（2）如图2中，当PE被BC平分时，设PE交BC于F．∵PF∥OB，BF＝CF，∴OP＝PC＝OC＝，∴AP＝OA+OP＝，∴t＝．（3）①如图3﹣1中，当0＜t≤1时，重叠部分是△APE，S＝•AE•PE＝•3t•2t＝3t2．②如图3﹣2中，当1＜t≤2时，重叠部分是四边形ABFP，S＝S△APE﹣S△BFE＝3t2﹣•（3t﹣3）•（4t﹣4）＝﹣3t2+12t﹣6．综上所述，S＝．（4）①如图4﹣1中，当点E′落在DA的延长线上时，作BM⊥AD于M，在AD上截取AN，使得AN＝AB，连接BN．在Rt△ABD中，AD＝＝＝5，∵S△ABD＝•AB•BD＝•AD•BM，∴BM＝＝，∴AM＝MN＝＝＝，∴NM＝AN﹣AM＝3﹣＝，∵∠E′＝∠AEQ＝90°，QE＝QE′．AQ＝AQ，∴Rt△AQE≌Rt△AQE（HL），∴∠QAE＝∠QAE′，∵∠E′AE＝∠ABN+∠ANB，∠ANB＝∠ABN，∴∠EAQ＝∠BNM，∴tan∠EAQ＝tan∠BNM，∴＝，∴＝，∴t＝．②如图4﹣2中，当点E′落在AD的延长线于E′，作MN⊥AD于N．∵∠QAB＝∠QAE′，MB⊥AB，MN⊥AD，∴BM＝MN，∠ABM＝∥ANM＝90°，∵AM＝AM，∴△AMN≌△AMB（HL），∴AB＝AN＝3，设BM＝MN＝x，则DM＝4﹣x，在Rt△DMN中，则有（4﹣x）2＝x2+22，解得x＝，∵BM∥QE，∴△ABM∽△AEQ，∴＝，∴＝，解得t＝2，综上所述，满足条件的t的值为s或2s．24．（12分）已知，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），顶点为C，与y轴交点为D．（1）求点C和点A的坐标；（2）把y＝x2﹣4x+3（x≥0）的图象沿着y轴翻折，翻折前与翻折后共同组成的图形记为“W”．①点E为“W”上一点，当△EAB的面积等于3时，求点E的横坐标；②点P在“W”，点Q在x轴上，当以点P、Q、C、D为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标；③点M为y＝x2﹣4x+3（x≥0）上一点，作点M关于y轴的对称点N，以MN为边向上作正方形MNRS，当直线MD把正方形面积分为1：5两部分时，求点M的横坐标m的值．【分析】（1）y＝x2﹣4x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝1或3，即可求解；（2）①△EAB的面积S＝×AB×|y E|＝2×|y E|＝3，则y E＝±3，即可求解；②分DA是平行四边形的一条边、DA是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可；③直线MD把正方形面积分为1：5两部分时，则S△MKS＝S正方形MNRS，即可求解．【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝1或3，故点A、B、C、D的坐标为：（1，0）、（3，0）、（2，﹣1）、（0，3），答：点C和点A的坐标分别为：（0，3）、（1，0）；（2）y＝x2﹣4x+3（x≥0）的图象沿着y轴翻折，翻折后的抛物线表达式为：y＝x2+4x+3，①△EAB的面积S＝×AB×|y E|＝2×|y E|＝3，则y E＝±3，即：x2﹣4x+3＝±3或x2+4x+3＝±3，解得：x＝0或4或﹣4；答：点E的横坐标为：0或4或﹣4；②设点P（m，n），n＝m2±4m+3，点Q（s，0），﹣﹣﹣﹣当DA是平行四边形的一条边时，当x≥0时，点D向右平移1个单位向下平移3个单位得到A，同样，点P（Q）向右平移1个单位向下平移3个单位得到Q（P），故：m+1＝s，n﹣3＝0或m﹣1＝s，n+3＝0，且n＝m2﹣4m+3，解得：m＝0或4（舍去0），故s＝5，即点Q（5，0）；当x＜0时，同理可得：点Q（﹣3，0）；当DA是平行四边形的对角线时，当x≥0时，m+s＝1，n+0＝3，且n＝m2﹣4m+3，解得：s＝5，即点Q（5，0）；当x＜0时，同理可得：点Q（﹣3，0）；综上，Q的坐标为：（5，0）或（﹣3，0）；③如下图：设边RS交直线AC于点K，设点M（m，m2﹣4m+3），则点N（﹣m，m2﹣4m+3），则MN＝2m，直线MD函数表达式中的k值为：k ＝＝m﹣4，tan∠MA＝﹣k＝4﹣m＝tanα，则∠RSM＝α，直线MD把正方形面积分为1：5两部分时，则S△MKS ＝S正方形MNRS，即×2m ×＝×（2m）2，解得：m＝1．第21页（共21页）。
2019-2020学年福建泉州南安九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2019-2020学年福建省泉州市南安市九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）下列实数中，介于与之间的是（）A．B．C．D．π2．（4分）下列计算正确的是（）A．B．a+2a＝3a C．（2a）3＝2a3D．a6÷a3＝a23．（4分）为了让市民游客欢度“五一”，泉州市各地推出了许多文化旅游活动和景区优惠，旅游人气持续兴旺．从“五一”假日全市累计接待国内外游客171.18万人次，171.18万这个数用科学记数法应表示为（）市文旅局获悉，A．1.7118×102B．0.17118×107C．1.7118×106D．171.18×104．（4分）图①是由五个完全相同的小正方体组成的立方体图形，将图①中的一个小正方体改变位置后如图②，则三视图发生改变的是（）A．主视图B．俯视图C．左视图D．主视图、俯视图和左视图都改变5．（4分）不透明袋子中装有若干个红球和6个蓝球，这些球除了颜色外，没有其他差别，从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝球的概率是0.6，则袋子中有红球（）A．4个B．6个C．8个D．10个6．（4分）如图，将直尺与含30°角的三角尺放在一起，若∠1＝25°，则∠2的度数是（）A．30°B．45°C．55°D．60°7．（4分）如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于（）A．45°B．60°C．72°D．90°8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴正半轴上，点A与原点重合，点D的坐标是（3，4），反比例函数y＝（k≠0）经过点C，则k的值为（）A．12B．15C．20D．329．（4分）完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（）A．6（m﹣n）B．3（m+n）C．4n D．4m10．（4分）如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠DCE＝．设AB＝x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）计算：|﹣3|﹣sin30°＝．12．（4分）已知一组数据：12，10，8，15，6，8．则这组数据的中位数是．13．（4分）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA＝6，圆心角∠ACB＝120°，则此圆锥高OC的长度是．14．（4分）如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是75°、45°，则∠1的度数为．15．（4分）等腰Rt△ABC中，斜边AB＝12，则该三角形的重心与外心之间的距离是．16．（4分）动点A（m+2，3m+4）在直线l上，点B（b，0）在x轴上，如果以B为圆心，半径为1的圆与直线l 有交点，则b的取值范围是．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：18．（8分）如图：△ABC与△DEF中，边BC，EF在同一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，且BF＝CE，求证：AC＝DF．19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝1﹣．20．（8分）用列代数式或列方程（组）的方法，解决网络上流行的一个问题：法国新总统比法国第一夫人小24岁，美国新总统比美国第一夫人大24岁，法国新总统比美国新总统小32岁．求：美国第一夫人比法国第一夫人小多少岁？21．（8分）在“书香校园”活动中，某校为了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成部分统计图表如下：类别家庭藏书m本学生人数A0≤m≤2520B26≤m≤50aC51≤m≤7550D m≥7666根据以上信息，解答下列问题：（1）该调查的样本容量为，a＝；（2）随机抽取一位学生进行调查，刚好抽到A类学生的概率是；（3）若该校有2000名学生，请估计全校学生中家庭藏书不少于76本的人数．22．（10分）阅读下列材料，关于x的方程：x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；x﹣＝c﹣的解是x1＝c，x2＝﹣；x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；……（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+＝c+（a≠0）与它们的关系猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证．（2）可以直接利用（1）的结论，解关于x的方程：x+＝a+．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到边AB的距离等于PC的长；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）（2）在（1）的条件下，以点P为圆心，PC长为半径的⊙P中，⊙P与边BC相交于点D，若AC＝6，PC＝3，求BD的长．24．（12分）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”，这条中线为“匀称中线”．（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，若Rt△ABC是“匀称三角形”．①请判断“匀称中线”是哪条边上的中线，②求BC：AC：AB的值．（2）如图②，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＞AC，∠BAC＝45°，S△ABC＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，点B的对应点为D，AD与⊙O交于点M，若△ACD是“匀称三角形”，求CD的长，并判断CM是否为△ACD的“匀称中线”．25．（14分）已知：抛物线y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）与x轴交于点AB（点A在点B的左侧）．（1）不论a取何值，抛物线总经过第三象限内的一个定点C，请直接写出点C的坐标；（2）如图，当AC⊥BC时，求a的值和AB的长；（3）在（2）的条件下，若点P为抛物线在第四象限内的一个动点，点P的横坐标为h，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点D，作PE∥AC交BC于点E，设△ADE的面积为S，请求出S与h的函数关系式，并求出S 取得最大值时点P的坐标．2019-2020学年福建省泉州市南安市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵＜＜＜＜π＜，∴介于与之间的是．故选：A．2．【解答】解：A、+，无法计算，故此选项错误；B、a+2a＝3a，正确；C、（2a）3＝8a3，故此选项错误；D、a6÷a3＝a3，故此选项错误；故选：B．3．【解答】解：将171.18万用科学记数法表示为：1.7118×106．故选：C．4．【解答】解：①的主视图是第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；②的主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；故选：A．5．【解答】解：设袋子中有红球x个，根据题意得＝0.6，解得x＝4．经检验x＝4是原方程的解．答：袋子中有红球有4个．故选：A．6．【解答】解：∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝25°，∠F＝30°，∴∠BEF＝∠1+∠F＝55°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠BEF＝55°，故选：C．7．【解答】解：多边形内角和（n﹣2）×180°＝720°，∴n＝6．则正多边形的一个外角＝，故选：B．8．【解答】解：如图，分别过点D，C作x轴的垂线，垂足为M，N，∵点D的坐标是（3，4），∴OM＝3，DM＝4，在Rt△OMD中，OD＝＝5，∵四边形ABCD为菱形，∴OD＝CB＝OB＝5，DM＝CN＝4，∴Rt△ODM≌Rt△BCN（HL），∴BN＝OM＝3，∴ON＝OB+BN＝5+3＝8，又∵CN＝4，∴C（8，4），将C（8，4）代入y＝，得，k＝8×4＝32，故选：D．9．【解答】解：设小矩形的长为a，宽为b（a＞b），则a+3b＝n，阴影部分的周长为2n+2（m﹣a）+2（m﹣3b）＝2n+2m﹣2a+2m﹣6b＝4m+2n﹣2n＝4m，故选：D．10．【解答】解：设AB＝x，则AE＝EB＝由折叠，FE＝EB＝则∠AFB＝90°由tan∠DCE＝∴BC＝，EC＝∵F、B关于EC对称∴∠FBA＝∠BCE∴△AFB∽△EBC∴∴y＝故选：D．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．【解答】解：原式＝3﹣＝．故答案为：．12．【解答】解：将数据从小到大重新排列为：6、8、8、10、12、15，所以这组数据的中位数为＝9，故答案为：9．13．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，∵AC＝6，∠ACB＝120°，∴＝＝2πr，∴r＝2，即：OA＝2，在Rt△AOC中，OA＝2，AC＝6，根据勾股定理得，OC＝＝4，故答案为：4．14．【解答】解：由图可知，∠AOB＝75°﹣45°＝30°，根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半可知，∠1＝∠AOB＝×30°＝15°．故答案为15°．15．【解答】解：∵直角三角形的外心是斜边的中点，∴CD＝AB＝6，∵I是△ABC的重心，∴DI＝CD＝2，故答案为：2．16．【解答】解：∵动点A（m+2，3m+4）在直线l上，∴直线l解析式为y＝3x﹣2如图，直线l与x轴交于点C（，0），交y轴于点A（0，﹣2）∴OA＝2，OC＝∴AC＝＝若以B为圆心，半径为1的圆与直线l相切于点D，连接BD∴BD⊥AC∴sin∠BCD＝sin∠OCA＝∴∴BC＝∴以B为圆心，半径为1的圆与直线l相切时，B点坐标为（﹣，0）或（+，0）∴以B为圆心，半径为1的圆与直线l有交点，则b的取值范围是故答案为：三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】解：由不等式①得：x＞4．由不等式②得：x＞2．不等式组的解集：x＞4．18．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，∵AC∥DF∴∠ACB＝∠EFD，∵BF＝CE∴BC＝EF，且∠B＝∠E，∠ACB＝∠EFD，∴△ABC≌△DEF（ASA）∴AC＝DF19．【解答】解：原式＝÷＝•＝1﹣x，当x＝1﹣时，∴原式＝1﹣（1﹣）＝；20．【解答】解：设法国新总统x岁，则法国第一夫人：（x+24）岁，美国新总统：（x+32）岁，美国第一夫人：（x+32﹣24）＝（x+8）岁，故美国第一夫人比法国第一夫人小：（x+24）﹣（x+8）＝16（岁）．故美国第一夫人比法国第一夫人小16岁．21．【解答】解：（1）调查的样本容量为50÷25%＝200（人），a＝200﹣20﹣50﹣66＝64（人），故答案为200，64；（2）刚好抽到A类学生的概率是20÷200＝0.1，故答案为0.1；（3）全校学生中家庭藏书不少于76本的人数：2000×＝660（人）．答：全校学生中家庭藏书不少于76本的人数为660人．22．【解答】解：（1）方程的解为x1＝c，x2＝，验证：当x＝c时，∵左边＝c+，右边＝c+，∴左边＝右边，∴x＝c是x+＝c+的解，同理可得：x＝是x+＝c+的解；（2）方程整理得：（x﹣3）+＝（a﹣3）+，解得：x﹣3＝a﹣3或x﹣3＝，即x＝a或x＝，经检验x＝a与x＝都为分式方程的解．23．【解答】解：如图所示：（1）作∠A的平分线交BC于点P，点P即为所求作的点．（2）作PE⊥AB于点E，则PE＝PC＝3，∴AB与圆相切，∵∠ACB＝90°，∵AC与圆相切，∴AC＝AE，设BD＝x，BE＝y，则BC＝6+x，BP＝3+x，∵∠B＝∠B，∠PEB＝∠ACB，∴△PEB∽△ACB∴＝＝∴＝＝解得x＝2，答：BD的长为2．24．【解答】解：（1）①如图①，作Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF，∵∠ACB＝90°，∴CF＝，即CF不是“匀称中线”．又在Rt△ACD中，AD＞AC＞BC，即AD不是“匀称中线”．∴“匀称中线”是BE，它是AC边上的中线，②设AC＝2a，则CE＝a，BE＝2a，在Rt△BCE中∠BCE＝90°，∴BC＝，在Rt△ABC中，AB＝，∴BC：AC：AB＝．（2）由旋转可知，∠DAE＝∠BAC＝45°．AD＝AB＞AC，∴∠DAC＝∠DAE+∠BAC＝90°，AD＞AC，∵Rt△ACD是“匀称三角形”．由②知：AC：AD：CD＝：2：，设AC＝，则AD＝2a，CD＝a，如图②，过点C作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC＝90°，∵∠BAC＝45°，∴，∵＝，解得a＝2，a＝﹣2（舍去），∴，判断：CM不是△ACD的“匀称中线”．理由：假设CM是△ACD的“匀称中线”．则CM＝AD＝2AM＝4，AM＝2，∴tan，又在Rt△CBH中，∠CHB＝90°，CH＝，BH＝4﹣，∴tan B＝，即∠AMC≠∠B，这与∠AMC＝∠B相矛盾，∴假设不成立，∴CM不是△ACD的“匀称中线”．25．【解答】解：（1）y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）＝a（2x2﹣x﹣3）﹣3，令2x2﹣x﹣3＝0，解得：x＝或﹣1，故第三象限内的一个定点C为（﹣1，﹣3）；（2）函数的对称轴为：x＝﹣＝，设函数对称轴与x轴交点为M，则其坐标为：（，0），则CM＝＝，则AB＝2CM＝，则点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（，0）；将点A的坐标代入函数表达式得：18a+3a﹣3a﹣3＝0，解得：a＝，函数的表达式为：y＝（x+3）（x﹣）＝x2﹣x﹣；（3）过点E作EF⊥PH，设：∠ACB＝α，则∠ACB＝∠HPE＝∠DEF＝α，将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝x﹣，设点P（h，h2﹣h﹣），则点D（h，h﹣），故tan∠ACB＝tanα＝，则sinα＝，y D﹣y E＝DE sinα＝PD sinα•sinα，S＝S△ABE﹣S△ABD＝×AB×（y D﹣y E）＝××（h﹣﹣h2+h+＝﹣h2+h﹣，∵﹣＜0，∴S有最大值，当h＝时，S的最大值为：，此时点P（，﹣）．。
2019-2020学年河南省洛阳市九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析
2019-2020学年河南省洛阳市九年级上学期期末考试数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）.
1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．（3分）一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（）
A．﹣1B．2C．1和2D．﹣1和2
3．（3分）下列事件中，是随机事件的是（）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．任意一个四边形的外角和等于360°
C．早上太阳从西方升起
D．平行四边形是中心对称图形
4．（3分）二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是（）x……﹣3﹣2﹣101……
y……﹣17﹣17﹣15﹣11﹣5……
A．x＝﹣3B．x＝﹣2.5C．x＝﹣2D．x＝0
5．（3分）在同平面直角坐标系中，函数y＝x﹣1与函数y=1
x的图象大致是（）
A．B．
C．D．
6．（3分）某果园2017年水果产量为100吨，2019年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率为（）
A．10%B．20%C．25%D．40%
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2019-2020学年安徽省阜阳市颍上县九年级(上)期末数学试卷(解析版)
2019-2020学年安徽省阜阳市颍上县九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1．在反比例函数y＝的图象在某象限内，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m＞﹣3B．m＜﹣3C．m＞3D．m＜32．若函数y＝则当函数值y＝9时，自变量的值是（）A．±2B．3C．±2或3D．﹣2或33．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C．D．4．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣，则此运动员把铅球推出多远（）A．12m B．10m C．3m D．4m5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，则下列结论不正确的是（）A．AC2＝AD•AB B．CD2＝AD•BDC．BC2＝BD•AB D．CD•AD＝AC•BC6．如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC 于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（）A．B．C．D．7．如图，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1小时到O港，已知快艇的速度是60km/h，则A，B之间的距离是（）A．B．C．D．8．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的点，若BE：EC＝2：3，AE交BD于F，则S△BEF：S四边形AECD等于（）A．1：6B．1：14C．4：31D．4：259．如图，在正方形网格中，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则∠ACB的正弦值为（）A．2B．C．D．10．如图，斜坡AP的坡比为1：2.4，在坡顶A处的同一水平面上有一应高楼BC，在斜坡底P处测得该楼顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该楼顶B的仰角∠BAC为76°，楼高BC为18米，则斜坡AP长度约为（点P、A、B、C、Q在同一个平面内，sin76°≈0.97，cos76°≈0.22，tan76°≈4.5）（）A．24米B．26米C．28米D．30米二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似为点O，且＝，则＝．12．若函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为．13．如图，已知sin O＝，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，则AP＝．14．如图，点D在钝角△ABC的边BC上连接AD，∠B＝45°，∠CAD＝∠CDA，CA：CB ＝5：7，则∠BAD的余弦值为．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：（1）3tan30°+cos45°﹣2sin60°；（2）sin60°+cos245°﹣sin30°⋅tan60°．16．如图，某高速公路设计中需要测量某条江的宽度AB，测量人员使用无人机测量，在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若无人机离地面的高度CD为1200米，且点A，B，D在同一水平直线上，求这条江的宽度AB长（结果保留根号）．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）（1）将△ABC向左平移1个单位，再向上平移5个单位件到△A1B1C1请画出△A1B1C1（2）请在网格中将△ABC以A为位似中心放大3倍，得△AB2C2，请画出△AB2C2（3）△A1B1C1和△AB2C2的面积比为．18．亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ例：sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°cos45°+cos30°sin45°＝（1）试仿照例题，求出cos75°的准确值；（2）我们知道：，试求出tan75°的准确值；（3）根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出tan75°的准确值（要求分母有理化），和（2）中的结论进行比较．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，一次函数y1＝ax+b的图象和反比例函数y2＝的图象相交于A（﹣2，3）和B（m，﹣1）两点．（1）试确定一次函数与反比例函数表达式；（2）求△OAB的面积；（3）结合图象，直接写出使y1＞y2成立的x的取值范围．20．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，BC＝200mm，高AD＝150mm，要把它加工成一矩形零件，使矩形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．（1）设PN＝x，矩形PQMN的面积为S，求S关于x的函数表达式，并指出x的取值范围．（2）当x为何值时，矩形PQMN的面积最大？最大值是多少？六、（本题满分12分）21．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点M是直线l上的一个动点，当点M到点A，点C的距离之和最短时，求点M 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点N，使S△ABN＝S△ABC，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．七、（本题满分12分）22．如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，然后沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i＝1：，（斜坡的铅直高度与水平宽度的比），经过测量AB＝10米，AE＝15米，（1）求点B到地面的距离；（2）求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号）八、（本题满分14分）23．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD是△ABC的完美分割线；（2）如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD 是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1．在反比例函数y＝的图象在某象限内，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m＞﹣3B．m＜﹣3C．m＞3D．m＜3【分析】根据反比例函数的性质可得3﹣m＞0，再解不等式即可．解：∵反比例函数y＝的图象在每个象限内，y随着x的增大而减小，∴3﹣m＞0，解得，m＜3．故选：D．2．若函数y＝则当函数值y＝9时，自变量的值是（）A．±2B．3C．±2或3D．﹣2或3【分析】将y＝9代入函数解析式中，求出x值，此题得解．解：当y＝x2﹣3＝9，解得：x＝﹣2或x＝2（舍去）；当y＝3x＝9，解得：x＝3．故选：D．3．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C．D．【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．解：A、当∠ACB＝∠ADC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；C、当＝时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；D、当＝时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；故选：D．4．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣，则此运动员把铅球推出多远（）A．12m B．10m C．3m D．4m【分析】令y＝﹣＝0，解得符合题意的x值，则该值为此运动员把铅球推出的距离，据此可解．解：令y＝﹣＝0则：x2﹣8x﹣20＝0∴（x+2）（x﹣10）＝0∴x1＝﹣2（舍），x2＝10由题意可知当x＝10时，符合题意故选：B．5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，则下列结论不正确的是（）A．AC2＝AD•AB B．CD2＝AD•BDC．BC2＝BD•AB D．CD•AD＝AC•BC【分析】直接根据射影定理来分析、判断，结合三角形的面积公式问题即可解决．解：如图，∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴由射影定理得：AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，CD2＝AD•BD；∴＝；∴CD•AC＝AD•BC，∴A，B，C正确，D不正确．故选：D．6．如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC 于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（）A．B．C．D．【分析】由等腰三角形三线合一的性质得出AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，由AE＝5，DE∥BC知AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，再根据正弦函数的概念求解可得．解：∵△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，∴AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，∵AE＝5，DE∥BC，∴AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，∴sin∠EDC＝sin∠BCD＝＝＝，故选：A．7．如图，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1小时到O港，已知快艇的速度是60km/h，则A，B之间的距离是（）A．B．C．D．【分析】根据∠AOD＝45°，∠BOD＝45°，AB∥x轴，△AOB为等腰直角三角形，OA ＝OB，利用三角函数解答即可．解：∵∠AOD＝45°，∠BOD＝45°，∴∠AOD＝90°，∵AB∥x轴，∴∠BAO＝∠AOC＝45°，∠ABO＝∠BOD＝45°，∴△AOB为等腰直角三角形，OA＝OB，∵OB+OA+AB＝60km，∵OB＝OA＝AB，∴AB＝，故选：B．8．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的点，若BE：EC＝2：3，AE交BD于F，则S△BEF：S四边形AECD等于（）A．1：6B．1：14C．4：31D．4：25【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，则BE：AD＝2：5，再证明△BEF ∽△DAF得到＝＝＝，所以S△BEF：S△ADF＝4：25，S△BEF：S△ABF＝2：5，设S△BEF＝4x，则S△ADF＝25x，S△ABF＝10x，S△ABD＝35x，S四边形AECD＝56x，从而得到S△BEF：S四边形AECD的值．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE：EC＝2：3，∴BE：AD＝2：5，∵BE∥AD，∴△BEF∽△DAF，∴＝＝＝，∴S△BEF：S△ADF＝4：25，S△BEF：S△ABF＝2：5，设S△BEF＝4x，则S△ADF＝25x，S△ABF＝10x，∴S△ABD＝35x，∴S四边形AECD＝2×35x﹣14x＝56x，∴S△BEF：S四边形AECD＝4x：56x＝1：14．故选：B．9．如图，在正方形网格中，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则∠ACB的正弦值为（）A．2B．C．D．【分析】延长CB交网格于D，连接AD，则∠ADC＝45°+45°＝90°，由勾股定理得出AD＝＝，AC＝＝，由三角函数定义即可得出答案．解：延长CB交网格于D，连接AD，如图所示：则∠ADC＝45°+45°＝90°，∵AD＝＝，AC＝＝，∴∠ACB的正弦值＝＝＝；故选：C．10．如图，斜坡AP的坡比为1：2.4，在坡顶A处的同一水平面上有一应高楼BC，在斜坡底P处测得该楼顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该楼顶B的仰角∠BAC为76°，楼高BC为18米，则斜坡AP长度约为（点P、A、B、C、Q在同一个平面内，sin76°≈0.97，cos76°≈0.22，tan76°≈4.5）（）A．24米B．26米C．28米D．30米【分析】先延长BC交PD于点D，在Rt△ABC中，tan76°＝，BC＝18求出AC，根据BC⊥AC，AC∥PD，得出BE⊥PD，四边形AHEC是矩形，再根据∠BPD＝45°，得出PD＝BD，过点A作AH⊥PD，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，得出，设AH ＝5k，则PH＝12k，AP＝13k，由PD＝BD，列方程求出k的值即可解：延长BC交PQ于点D．∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ．∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH，AC＝DH．∵∠BPD＝45°，∴PD＝BD．在Rt△ABC中，tan76°＝，BC＝18米，∴AC＝4（米）．过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴，设AH＝5k，则PH＝12k，由勾股定理，得AP＝13k．由PH+HD＝BC+CD得：12k+4＝5k+18，解得：k＝2，∴AP＝13k＝26（米）．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似为点O，且＝，则＝．【分析】根据位似图形的概念、相似多边形的性质解答．解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，∴四边形ABCD∽四边形EFGH，EF∥AB，∴△EOF∽△AOB，∵＝，∴＝＝．故答案为：．12．若函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为0或2或﹣2．【分析】当m＝0时，函数为一次函数与x轴有一个交点，当m≠0时，Δ＝0时，抛物线与x轴只有一个交点．解：当m＝0时，函数为y＝2x+1，其图象与x轴只有一个交点．当m≠0时，Δ＝0，即（m+2）2﹣4m（）＝0．解得：m＝±2．∴当m＝0，或m＝±2时，函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点．故答案为：0或2或﹣2．13．如图，已知sin O＝，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，则AP＝2或3．【分析】分别从若AP⊥ON与若PA⊥OA去分析求解，根据三角函数和勾股定理，即可求得答案．解：当AP⊥ON时，∠APO＝90°，则sin O＝＝，OA＝6，∴AP＝OA＝2；当PA⊥OA时，∠A＝90°，则sin O＝＝，设AP＝x（x＞0），则OP＝3x，由勾股定理得：（x）2+62＝（3x）2，解得：x＝，∴AP＝×＝3；综上所述，AP的长为2或3；故答案为：2或3．14．如图，点D在钝角△ABC的边BC上连接AD，∠B＝45°，∠CAD＝∠CDA，CA：CB ＝5：7，则∠BAD的余弦值为．【分析】如图作AH⊥BC于H，DE⊥AB于E，设AC＝5k，BC＝7k，解直角三角形求出BH、AH、AD、AE即可解决问题．解：如图作AH⊥BC于H，DE⊥AB于E，设AC＝CD＝5k，BC＝7k，∵∠B＝45°，∠AHB＝90°，∴AH＝BH，设AH＝BH＝x，在Rt△ACH中，∵AH2+HC2＝AC2，∴x2+（7k﹣x）2＝（5k）2，解得x＝3k或4k（舍弃与钝角三角形矛盾），当x＝3k时，∴BH＝AH＝3k，DH＝k，AD＝k，DE＝BE＝k，AE＝2k，∴cos∠BAD＝＝＝，故答案为．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：（1）3tan30°+cos45°﹣2sin60°；（2）sin60°+cos245°﹣sin30°⋅tan60°．【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入即可计算；（2）把特殊角的三角函数值代入即可计算．解：（1）3tan30°+cos45°﹣2sin60°＝3×+﹣2×＝+﹣＝；（2）sin60°+cos245°﹣sin30°⋅tan60°＝﹣（）2﹣×＝﹣﹣＝﹣．16．如图，某高速公路设计中需要测量某条江的宽度AB，测量人员使用无人机测量，在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若无人机离地面的高度CD为1200米，且点A，B，D在同一水平直线上，求这条江的宽度AB长（结果保留根号）．【分析】在Rt△ACD和Rt△DCB中，利用锐角三角函数，用CD表示出AD、BD的长，然后计算出AB的长．解：如图，∵CE∥DB，∴∠CAD＝∠ACE＝45°，∠CBD＝∠BCE＝30°．在Rt△ACD中，∵∠CAD＝45°，∴AD＝CD＝1200米，在Rt△DCB中，∵tan∠CBD＝，∴BD＝＝＝1200（米）．∴AB＝BD﹣AD＝1200﹣1200＝1200（﹣1）米．故这条江的宽度AB长为1200（﹣1）米．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）（1）将△ABC向左平移1个单位，再向上平移5个单位件到△A1B1C1请画出△A1B1C1（2）请在网格中将△ABC以A为位似中心放大3倍，得△AB2C2，请画出△AB2C2（3）△A1B1C1和△AB2C2的面积比为．【分析】（1）利用平移的性质分别得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似变换的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）根据相似三角形的性质即可得到结论．解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△AB2C2，即为所求；（3）∵将△ABC向左平移1个单位，再向上平移5个单位件到△A1B1C1，∴△ABC≌△A1B1C1，∵△ABC∽△AB2C2，∴△A1B1C1和△AB2C2的面积比＝（）2＝，故答案为：．18．亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ例：sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°cos45°+cos30°sin45°＝（1）试仿照例题，求出cos75°的准确值；（2）我们知道：，试求出tan75°的准确值；（3）根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出tan75°的准确值（要求分母有理化），和（2）中的结论进行比较．【分析】从题中给出的信息进行答题：（1）把75°化为30°+45°直接代入三角函数公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ计算即可；（2）把tan75°代入tanα＝，再把（1）及例题中的数值代入即可．（3）根据题意画出图形，利用三角函数的定义解答即可．解：（1）∵cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，∴cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°cos45°﹣sin30°sin 45°，＝×﹣×＝；（2）∵，∴tan75°＝＝＝2+；（3）如下图：tan75°＝tan∠CBD＝＝+2．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，一次函数y1＝ax+b的图象和反比例函数y2＝的图象相交于A（﹣2，3）和B （m，﹣1）两点．（1）试确定一次函数与反比例函数表达式；（2）求△OAB的面积；（3）结合图象，直接写出使y1＞y2成立的x的取值范围．【分析】（1）将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入反比例解析式求n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）设一次函数与x轴交于C点，求出C坐标，确定出OC的长，三角形AOB面积＝三角形AOC面积+三角形BOC面积，求出即可．（3）根据图象即可求得．解：（1）∵A（﹣2，3）在反比例函数y2＝的图象上，∴k＝﹣2×3＝﹣6，则反比例解析式为y＝﹣；将B（m，﹣1）代入反比例解析式得：﹣1＝，解得m＝6，∴B（6，﹣1），将A与B坐标代入y1＝ax+b中，得：，解得：，则一次函数解析式为y＝﹣x+2；（2）对于一次函数y＝﹣x+2，令y＝0，得到x＝4，即OC＝4，则S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×4×3+×4×1＝8．（3）由图象得：使y1＞y2成立的x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜6．20．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，BC＝200mm，高AD＝150mm，要把它加工成一矩形零件，使矩形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．（1）设PN＝x，矩形PQMN的面积为S，求S关于x的函数表达式，并指出x的取值范围．（2）当x为何值时，矩形PQMN的面积最大？最大值是多少？【分析】（1）根据矩形的对边平行可以得到△APN∽△ABC，然后用相似三角形对应高的比等于相似比，可以得出S与x的关系．（2）根据矩形面积公式得到关于x的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值．解：（1）∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，∵QM＝PN＝x，MN＝ED＝y，AE＝150﹣y，∴，∴y＝150﹣x∴S＝xy＝﹣x2+150x；150﹣x＞0，解得：x＜200，则0＜x＜200；（2）设矩形的面积为S，则S＝﹣x2+150x＝﹣（x﹣100）2+7500．故当x＝100时，此时矩形的面积最大，最大面积为7500mm2．六、（本题满分12分）21．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点M是直线l上的一个动点，当点M到点A，点C的距离之和最短时，求点M 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点N，使S△ABN＝S△ABC，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝﹣3，即可求解．（2）点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接BC交函数的对称轴于点M，则点M为所求，即可求解．（3）S△ABN＝S△ABC，则|y N|＝|y C|＝±4，即可求解．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接BC交函数的对称轴于点M，则点M为所求，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线BC的表达式为：y＝x﹣3，当x＝1时，y＝﹣3，故点M（1，﹣2）．（3）S△ABN＝S△ABC，则|y N|＝|y C|＝±4，则x2﹣2x﹣3＝±4，解得：x＝1或1±2，故点N的坐标为：（1，﹣4）或（1+2，4）或（1﹣2，4）．七、（本题满分12分）22．如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，然后沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i＝1：，（斜坡的铅直高度与水平宽度的比），经过测量AB＝10米，AE＝15米，（1）求点B到地面的距离；（2）求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号）【分析】（1）过B分别作AE、DE的垂线，设垂足为F、G．分别在Rt△ABF和Rt△ADE中，通过解直角三角形求出BF、AF、DE的长；（2）可求出EF即BG的长；在Rt△CBG中，∠CBG＝45°，则CG＝BG，由此可求出CG的长；根据CD＝CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度．解：（1）过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．Rt△ABF中，i＝tan∠BAF＝＝，∴∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝5m，AF＝5m，答：点B到地面的距离为5m；（2）由（1）得：BG＝AF+AE＝（5+15）m．Rt△BGC中，∠CBG＝45°，∴CG＝BG＝（5+15）m，Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝15m，∴DE＝AE＝15m，∴CD＝CG+GE﹣DE＝5+15+5﹣15＝（20﹣10）m．答：宣传牌CD高为（20﹣10）米．八、（本题满分14分）23．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD是△ABC的完美分割线；（2）如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD 是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ACB＝80°，根据角平分线的定义得到∠ACD ＝40°，证明△BCD∽△BAC，证明结论；（2）根据△BCD∽△BAC，得到，设BD＝x，解方程求出x，根据相似三角形的性质定理列式计算即可．解：（1）∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD是等腰三角形，∵∠BCD＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC ∴△BCD∽△BAC，∴CD是△BAC的完美分割线；（2）∵△BCD∽△BAC，∴，∵AC＝AD＝2，BC＝，设BD＝x，则AB＝2+x，∴，解得x＝﹣1±，∵x＞0，∴BD＝x＝﹣1+，∵△BCD∽△BAC，∴，∵AC＝2，BC＝，BD＝﹣1+∴CD＝＝﹣．。
2019-2020学年山东省济南市历城区九年级(上)期末数学试卷解析版
2019-2020学年山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．（4分）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．2．（4分）一元二次方程x2+x＝0的根的是（）A．x1＝0，x2＝1B．x1＝0，x2＝﹣1C．x1＝x2＝0D．x1＝x2＝13．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则cos B的值为（）A．B．C．D．4．（4分）如果用线段a、b、c，求作线段x，使a：b＝c：x，那么下列作图正确的是（）A．B．C．D．5．（4分）若反比例函数的图象经过（﹣1，3），则这个函数的图象一定过（）A．（﹣3，1）B．（﹣，3）C．（﹣3，﹣1）D．（，3）6．（4分）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到白色球的频率稳定在85%左右，则口袋中红色球可能有（）A．34个B．30个C．10个D．6个7．（4分）如图，活动课小明利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为9m，AB为1.5m（即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）A．3m B．27m C．（3+）m D．（27+）m8．（4分）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A．B．2C．D．9．（4分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF ＝1，则GF的长为（）A．B．C．D．10．（4分）二次函数γ＝ax2+bx+c的部分对应值如表，利用二次的数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是（）x﹣3﹣2﹣1012y﹣12﹣50343A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞311．（4分）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝的图象上．若点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．212．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN，沿着CM折叠，点D 的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论，其中正确的个数为（）①△CMP是直角三角形②AB＝BP③PN＝PG④PM＝PF⑤若连接PE，则△PEG∽△CMDA．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．（4分）若＝2，则＝．14．（4分）已知点A（3，y1）、B（2，y2）都在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则y1与y2的大小关系是．15．（4分）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+5＝．16．（4分）如图，等腰直角三角形AOC中，点C在y轴的正半轴上，OC＝AC＝4，AC交反比例函数y＝的图象于点F，过点F作FD⊥OA，交OA与点E，交反比例函数与另一点D，则点D的坐标为．17．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2如图所示，已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4，过点A4作A4A5∥x轴交抛物线于点A5，则点A5的坐标为．18．（4分）如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，且点C是弧AB的中点，若扇形的半径为，则图中阴影部分的面积等于．三、解答题（本大题共7个小题，共78分.解答应写出文字说明、19．（8分）（1）解方程：x2﹣4x﹣3＝0（2）计算：tan30°+（π+4）0﹣|﹣|20．（6分）如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD于E，过点B作BF⊥CD于F，求证：AE＝CF．21．（6分）近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图，拍无人机从A处观测得某建筑物顶点O时俯角为30°，继续水平前行10米到达B处，测得俯角为45°，已知无人机的水平飞行高度为45米，则这栋楼的高度是多少米？（结果保留根号）22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC 边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径．23．（8分）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图（1）所示，成本y2与销售月份之间的关系如图（2）所示（图（1）的图象是线段图（2）的图象是抛物线）（1）分别求出y1、y2的函数关系式（不写自变量取值范围）；（2）通过计算说明：哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？24．（10分）为提升学生的艺术素养，某校计划开设四门选修课程：声乐、舞蹈、书法、摄影．要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证计划的有效实施，学校随机对部分学生进行了一次调查，并将调査结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．学生选修课程统计表课程人数所占百分比声乐14b%舞蹈816%书法1632%摄影a24%合计m100%根据以上信息，解答下列问题：（1）m＝，b＝．（2）求出a的值并补全条形统计图．（3）该校有1500名学生，请你估计选修“声乐”课程的学生有多少名．（4）七（1）班和七（2）班各有2人选修“舞蹈”课程且有舞蹈基础，学校准备从这4人中随机抽取2人编排“舞蹈”在开班仪式上表演，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率．25．（10分）如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA、AB，且OA＝AB＝2．（1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C．①连接AC，求△ABC的面积；②在图上连接OC交AB于点D，求的值．26．（10分）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，EF⊥AB，交BD于点F．（1）如图1，直按写出的值；（2）将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当BE＝BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为α（0°＜α＜360°），当α为何值时，EA＝ED？在图3或备用图中画出图形，并直接写出此时α＝．27．（12分）若二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，且过点C（3，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝5，求点P的坐标；（3）在AB下方的抛物线上是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．2019-2020学年山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．【解答】解：从上往下看，得两个长方形的组合体．故选：D．2．【解答】解：∵一元二次方程x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1，故选：B．3．【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝＝13，则cos B＝＝，故选：B．4．【解答】解：A、a：b＝x：c与已知a：b＝c：x不符合，故选项A不正确；B、a：b＝c：x与已知a：b＝c：x符合，故选项B正确；C、a：c＝x：b与已知a：b＝c：x不符合，故选项C不正确；D、a：x＝b：c与已知a：b＝c：x不符合，故选项D不正确；故选：B．5．【解答】解：∵反比例函数的图象经过（﹣1，3），∴k＝﹣1×3＝﹣3．∵﹣3×1＝﹣3，﹣×3＝﹣1，﹣3×（﹣1）＝3，×3＝1，∴反比例函数的图象经过点（﹣3，1）．故选：A．6．【解答】解：∵摸到白色球的频率稳定在85%左右，∴口袋中红色球的频率为15%，故红球的个数为40×15%＝6个．故选：D．7．【解答】解：∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD∥BE，∴四边形ABED是矩形，∵BE＝9m，AB＝1.5m，∴AD＝BE＝9m，DE＝AB＝1.5m，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，AD＝9m，∴CD＝AD•tan30°＝9×＝3，∴CE＝CD+DE＝3+1.5故选：C．8．【解答】解：作直径CD，在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，则OD＝＝4，tan∠CDO＝＝，由圆周角定理得，∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC＝，故选：C．9．【解答】解：正方形ABCD中，∵BC＝4，∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，∵AF＝DE＝1，∴DF＝CE＝3，∴BE＝CF＝5，在△BCE和△CDF中，，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠CBE＝∠DCF，∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE，cos∠CBE＝cos∠ECG＝，∴，CG＝，∴GF＝CF﹣CG＝5﹣＝，故选：A．10．【解答】解：∵抛物线经过点（0，3），（2，3），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线的顶点坐标为（1，4），抛物线开口向下，∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0．故选：C．11．【解答】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m，∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∵∠DBO+∠BOD＝90°，∴∠DBO＝∠AOC，∵∠BDO＝∠ACO＝90°，∴△BDO∽△OCA，∴＝＝，∵OB＝2OA，∴BD＝2m，OD＝2n，因为点A在反比例函数y＝的图象上，则mn＝1，∵点B在反比例函数y＝的图象上，B点的坐标是（﹣2n，2m），∴k＝﹣2n•2m＝﹣4mn＝﹣4．故选：A．12．【解答】解：∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，∴∠DMC＝∠EMC，∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，∴∠AMP＝∠EMP，∵∠AMD＝180°，∴∠PME+∠CME＝×180°＝90°，∴△CMP是直角三角形；故①符合题意；∵AD＝2AB，∴设AB＝x，则AD＝2x，∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；∴AM＝DM＝AD＝x＝BN＝NC，∴CM＝＝x，∵∠PMC＝90°＝∠CNM，∠MCP＝∠MCN，∴△MCN∽△NCP，∴CM2＝CN•CP，∴3x2＝x×CP，∴CP＝x，∴BP＝x∴AB＝BP，故②符合题意；∵PN＝CP﹣CN＝x，∵沿着MP折叠，使得AM与EM重合，∴BP＝PG＝x，∴PN＝PG，故③符合题意；∵AD∥BC，∴∠AMP＝∠MPC，∵沿着MP折叠，使得AM与EM重合，∴∠AMP＝∠PMF，∴∠PMF＝∠FPM，∴PF＝FM，故④不符合题意，如图，∵沿着MP折叠，使得AM与EM重合，∴AB＝GE＝x，BP＝PG＝x，∠B＝∠G＝90°∴＝，∵＝＝，∴，且∠G＝∠D＝90°，∴△PEG∽△CMD，故⑤符合题意，故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．【解答】解：∵＝2，∴x＝2y，∴＝＝2；故答案为：2．14．【解答】解：∵函数y＝﹣（x+1）2+2的对称轴为x＝﹣1，∴A（3，y1）、B（2，y2）在对称轴右侧，∵抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，3＞2，∴y1＜y2．故答案为：y1＜y2．15．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1＝0，即m2﹣m＝1，∴m2﹣m+5＝1+5＝6．故答案为6．16．【解答】解：∵OC＝AC＝4，AC交反比例函数y＝的图象于点F，∴F的纵坐标为4，代入y＝求得x＝，∴F（，4），∵等腰直角三角形AOC中，∠AOC＝45°，∴直线OA的解析式为y＝x，∴F关于直线OA的对称点是D点，∴点D的坐标为（4，），故答案为（4，）17．【解答】解：∵A点坐标为（1，1），∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），∵A1A2∥OA，∴直线A1A2为y＝x+2，解得或，∴A2（2，4），∴A3（﹣2，4），∵A3A4∥OA，∴直线A3A4为y＝x+6，解得或，∴A4（3，9），∴A5（﹣3，9），故答案为（﹣3，9）．18．【解答】解：两扇形的面积和为：＝π，过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，则四边形EMCN是矩形，∵点C是的中点，∴EC平分∠AEB，∴CM＝CN，∴矩形EMCN是正方形，∵∠MCG+∠FCN＝90°，∠NCH+∠FCN＝90°，∴∠MCG＝∠NCH，在△CMG与△CNH中，，∴△CMG≌△CNH（ASA），∴中间空白区域面积相当于对角线是的正方形面积，∴空白区域的面积为：××＝1，∴图中阴影部分的面积＝两个扇形面积和﹣2个空白区域面积的和＝π﹣2．故答案为：π﹣2．三、解答题（本大题共7个小题，共78分.解答应写出文字说明、19．【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣4x＝3，配方得：x2﹣4x+4＝7，即（x﹣2）2＝7，开方得：x﹣2＝±，解得：x1＝2+，x2＝2﹣；（2）原式＝3×+1﹣＝1．20．【解答】证明：∵菱形ABCD，∴BA＝BC，∠A＝∠C，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BEA＝∠BFC＝90°，在△ABE与△CBF中，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF．21．【解答】解：过O点作OC⊥AB的延长线于C点，垂足为C，根据题意可知，∠OAC＝30°，∠OBC＝45°，AB＝10米，AD＝45米，在Rt△BCO中，∠OBC＝45°，∴BC＝OC，设OC＝BC＝x，则AC＝10+x，在Rt△ACO中，tan30°＝＝＝，解得x＝5+5，则这栋楼的高度h＝AD﹣CO＝45﹣5﹣5＝（40﹣5）（米）．22．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°，∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE＝2，∴⊙D的半径AD＝2．23．【解答】解：（1）设y1＝kx+b，将（3，5）和（6，3）代入得，，解得．∴y1＝﹣x+7．设y2＝a（x﹣6）2+1，把（3，4）代入得，4＝a（3﹣6）2+1，解得a＝．∴y2＝（x﹣6）2+1，即y2＝x2﹣4x+13．（2）收益W＝y1﹣y2＝﹣x+7﹣（x2﹣4x+13）＝﹣（x﹣5）2+，∵a＝﹣＜0，∴当x＝5时，W最大值＝．故5月出售每千克收益最大，最大为．24．【解答】解：（1）m＝8÷16%＝50，b%＝×100%＝28%，即b＝28，故答案为：50、28；（2）a＝50×24%＝12，补全图形如下：（3）估计选修“声乐”课程的学生有1500×28%＝420（人）．（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数为4，则所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率为＝．25．【解答】解：（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH＝OB＝2，∴AH＝＝＝6，∴点A的坐标为（2，6）．∵A为反比例函数y＝图象上的一点，∴k＝2×6＝12；（2）①∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH⊥OB，∴AH∥BC，∴点A到BC的距离＝BH＝2，∴S△ABC＝×3×2＝3；②∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH∥BC，OH＝BH，∴MH＝BC＝，∴AM＝AH﹣MH＝．∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴＝．26．【解答】解：（1）∵∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD＝45°，BD＝AB，∵EF⊥AB，∴∠BEF＝90°，∴∠BFE＝∠ABD＝45°，∴BE＝EF，∴BF＝BE，∴DF＝BD﹣BF＝AB﹣BE＝（AB﹣BE）＝AE，∴＝，故答案为；（2）DF＝AE，理由：由（1）知，BF＝BE，BD＝AB，∴，由旋转知，∠ABE＝∠DBF，∴△ABE∽△DBF，∴＝，∴DF＝AE；（3）如图3，连接DE，CE，∵EA＝ED，∴点E在AD的中垂线上，∴AE＝DE，BE＝CE，∵AB＝BE，∴CE＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝BC，∴BE＝CE＝BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠CBE＝60°，如图3，∠ABE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣60°＝30°，即：α＝30°，如图4，∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°+60°＝150°，即：α＝150°，故答案为30°或150°．27．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象过点A（4，0），点C（3，﹣2），∴解得：∴二次函数表达式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）设直线BP与x轴交于点E，过点P作PD⊥OA于D，设点P（a，a2﹣a﹣2），则PD＝a2﹣a﹣2，∵二次函数y＝x2﹣x﹣2与y轴交于点B，∴点B（0，﹣2），设BP解析式为：y＝kx﹣2，∴a2﹣a﹣2＝ka﹣2，∴k＝a﹣，∴BP解析式为：y＝（a﹣）x﹣2，∴y＝0时，x＝，∴点E（，0），∵S△PBA＝5，∴×（4﹣）×（a2﹣a﹣2+2）＝5，∴a＝﹣1（不合题意舍去），a＝5，∴点P（5，3）（3）如图2，延长BM到N，使BN＝BO，连接ON交AB于H，过点H作HF⊥AO于F，∵BN＝BO，∠ABO＝∠ABM，AB＝AB，∴△ABO≌△ABN（SAS）∴AO＝AN，且BN＝BO，∴AB垂直平分ON，∴OH＝HN，AB⊥ON，∵AO＝4，BO＝2，∴AB＝＝＝2，∵S△AOB＝×OA×OB＝×AB×OH，∴OH＝＝，∴AH＝＝＝，∵cos∠BAO＝，∴＝，∴AF＝，∴HF＝＝＝，OF＝AO﹣AF＝，∴点H（，﹣），∵OH＝HN，∴点N（，﹣）设直线BN解析式为：y＝mx﹣2，∴﹣＝m﹣2，∴m＝﹣，∴直线BN解析式为：y＝﹣x﹣2，∴x2﹣x﹣2＝﹣x﹣2，∴x＝0（不合题意舍去），x＝，∴点M坐标（，﹣），∴点M到y轴的距离为．。
2019-2020年九年级数学期末考试试题及答案
2019-2020年九年级数学期末考试试题及答案2019-2020年九年级数学期末考试试题一、选择题：每小题3分，共30分．1.抛物线的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，-3）D．（-2，﹣3）2.将两个全等的直角三角形纸片构成如图的四个图形，其中属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于（）A．30°B．40°C．60°D．80°4.方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定是否有实数根5.在一个不透明的盒子里装有3个黑球和1个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，下列事件中，不可能事件是（）A．摸出的2个球有一个是白球B．摸出的2个球都是黑球C．摸出的2个球有一个黑球D．摸出的2个球都是白球6.已知点，是反比例函数的图像上的两点，下列结论正确的是（）A．B．C．D．7.已知点，它关于原点的对称点是点，则点的坐标是（）A．（3，1）B．（1，-3）C．（-1，-3）D．（-3，﹣1）8.如图所示，边长为2的正三角形ABO 的边OB 在x 轴上，将△ABO 绕原点O 逆时针旋转30°得到三角形OA 1B 1，则点A 1的坐标为（）A．（，1）B．（，-1）C．（-1，）D．（2，1）9.如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数（k＞0，x ＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为（）A．（2，2）B．（2，3）C．（3，2）D．（4，）10.已知函数的图像与x轴的交点坐标为且，则该函数的最小值是（）A．2B．-2C．10D．-10二、填空题：每小题3分，共18分．11.若函数，当时，函数值y随自变量x的增大而减少，则m的取值范围是_________.12.从点中任取一个点，则该点在的图像上的概率是_________.13.半径是2的圆的内接正方形的面积是__________14.若将抛物线的图像向右平移3个单位，则所得抛物线的解析式是__________15.一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是_________16.如图是二次函数的部分图像，在下列四个结论中正确的是___________①不等式的解集是；②；③；④三、解答题：满分102分．解答题应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程．17．（9分）解方程：．18．（9分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=54°，求∠DEB的度数；（2）若OC=3，OA=5，求弦AB的长19.（10分）如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，以点A为中心，把△ABE绕点A顺时针旋转90°，设点E的对应点为F．（1）画出旋转后的三角形．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）求点E运动到点F所经过的路径的长20.（10分）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．（1）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．（2）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．21.（12分）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．22.（12分）如图所示，AB为半圆O的直径，C为圆上一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DE⊥AC，DE交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，DE=，求线段AC的长23.（12分）反比例函数在第一象限的图象如图所示，过点A（1，0）作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点M，△AOM 的面积为3．（1）求反比例函数的解析式；（2）设点B的坐标为（t，0），其中t＞1．若以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数的图象上，求t的值24.（14分）如图1，已知矩形ABCD的宽AD=8，点E在边AB 上，P为线段DE上的一动点（点P与点D，E不重合），∠MPN=90°，M，N分别在直线AB，CD上，过点P作直线HK AB，作PF⊥AB，垂足为点F，过点N作NG⊥HK，垂足为点G（1）求证：∠MPF=∠GPN（2）在图1中，将直角∠MPN绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当MF=NG时，△MPN是什么特殊三角形？在图2中用直尺画出图形，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当∠EDC=30°时，设EP＝ｘ，△MPN 的面积为S，求出S关于ｘ的解析式，并说明S是否存在最小值？若存在，求出此时ｘ的值和△MPN面积的最小值；若不存在，请说明理由。
江苏省盐城中学2019-2020学年九年级(上)第一次课堂练习数学试卷 含解析
2019-2020学年九年级（上）第一次课堂练习数学试卷一．选择题（共8小题）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，点P与⊙O的位置关系是（）A．无法确定B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．点P在⊙O内3．甲、乙二人在相同情况下，各射靶10次，两人命中环数的平均数都是7，方差S甲2＝3，S乙2＝1.8，则射击成绩较稳定的是（）A．甲B．乙C．一样D．不能确定4．商店某天销售了14件衬衫，其领口尺寸统计如下表：则这14件衬衫领口尺寸的众数和中位数分别是（）A．39cm、40cm B．39cm、39.5cmC．39cm、39cm D．40cm、40cm5．若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A．πB．2πC．3πD．6π6．如图，已知⊙O的内接正方形边长为2，则⊙O的半径是（）A．1 B．2 C．D．7．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙于点E，交PA、PB于C、D，若△PCD的周长等于4，则线段PA的长是（）A．4 B．8 C．2 D．18．如图，OA，OB是⊙O的半径，C是⊙O上的一点，∠AOB＝40°，∠OCB＝50°，则∠OAC 的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°二．填空题（共8小题）9．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线AB距离5，直线AB与⊙O的位置关系是．10．若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是．11．如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是．12．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B＝100°，则∠D的度数为．13．某校规定学生的学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算所得．若某同学本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是90分、90分和85分，则他本学期数学学期综合成绩是分．14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，若AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径为．15．如图，MN是⊙O的直径，矩形ABCD的顶点A、D在MN上，顶点B、C在⊙O上，若⊙O 的半径为5，AB＝4，则AD边的长为．16．把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于．三．解答题（共11小题）17．甲战士在相同条件下射击4次，每次命中的环数如下：4，5，6，5．（1）计算这组数据的平均数；（2）计算这组数据的方差．18．如图，BD是⊙O的直径，点A．C在圆周上，∠CBD＝20°，求∠A的度数．19．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC．求证：∠1＝∠2．20．某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，请回答问题：（1）填空：a＝；（2）10名学生的射击成绩的众数是环，中位数是环；（3）若9环（含9环）以上评委为优秀射手，试估计全年级500名学生中有多少是优秀射手？21．如图，已知正方形ABCD，AB＝4，以点A为圆心，AB为半径画弧得到扇形ABD，现将该扇形围成一圆锥的侧面，求出该圆锥底面圆的半径．22．已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝1．将Rt△ABC按顺时针方向绕点B旋转到△A1BC1的位置（A、B、C1三点在同一直线上），最后沿BC1的方向平移到△A2B2C2的位置，其平移的距离等于线段AC的长度．（1）请直接写出AB、AC的长度：AB＝；AC＝；（2）画出在搬动此物体的整个过程中A点所经过的路径，并求出该路径的长度（结果保留π）．24．如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD ＝AB，∠D＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．26．在过去所学习的（圆》这一章节中，我们学习了正多边形和圆的关系，知道了正多边形的中心、半径、中心角等有关概念，同时也掌握了利用转化三角形、旋转等相关方法解决其中的边、角以及面积等相关问题（1）请你尝试将下面图1、图2、图3中的分别割成2个、3个、6个全等图形（2）如图4，正六边形ABCDEF的边长为6，点O为它的中心，点M、N分别为边ABBC 上的动点（不与端点重合），且∠MON＝60°①说明AM＝BN；②四边形BMON的周长有最小值吗？如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由；（3）如图5，等边△ABC的边长AB＝6，点P为边CA延长线上一点，点Q为边AB延长线上一点，点D为BC边中点，且∠PDQ＝120°，若PA＝x，△BDQ的面积为y，请用含x 的代数式表示出y．27．对于一平面图形而言，若点M、N是该图形上的任意两点，我们规定：线段MN长度的最大值称为该平面图形S的“绝对距离”．例如，圆的“绝对距离”等于它的直径．如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（0，﹣1）、B（0，1），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的“绝对距离”为d．（1）写出下列图形的“绝对距离”：①边长为1的正方形的“绝对距离：；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是等边三角形的“绝对距离”：；（2）动点C从（﹣5，0）出发，沿x轴以每秒一个单位的速度向右运动，当d＝3时，请求出t的值；（3）若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在x轴上运动．对于⊙M上任意点C，都有4≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形；故选：B．2．⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，点P与⊙O的位置关系是（）A．无法确定B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．点P在⊙O内【分析】根据点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．【解答】解：∵OP＝3＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆内．故选：D．3．甲、乙二人在相同情况下，各射靶10次，两人命中环数的平均数都是7，方差S甲2＝3，S乙2＝1.8，则射击成绩较稳定的是（）A．甲B．乙C．一样D．不能确定【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．【解答】解：∵两人命中环数的平均数都是7，方差S甲2＝3，S乙2＝1.8，∴S甲2＞S乙2，∴射击成绩较稳定的是乙；故选：B．4．商店某天销售了14件衬衫，其领口尺寸统计如下表：则这14件衬衫领口尺寸的众数和中位数分别是（）A．39cm、40cm B．39cm、39.5cmC．39cm、39cm D．40cm、40cm【分析】根据中位数的定义与众数的定义，结合图表信息解答．【解答】解：同一尺寸最多的是39cm，共有5件，所以众数是39cm，14件衬衫按照尺寸从小到大排列，第7，8件的尺寸都是40cm，所以中位数是（40+40）＝40cm．故选：A．5．若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A．πB．2πC．3πD．6π【分析】根据弧长公式计算．【解答】解：该扇形的弧长＝＝3π．故选：C．6．如图，已知⊙O的内接正方形边长为2，则⊙O的半径是（）A．1 B．2 C．D．【分析】根据正方形与圆的性质得出AB＝BC，以及AB2+BC2＝AC2，进而得到结论．【解答】解：如图所示，∵四边形ABCD是正方形，∠B＝90°，∴AC是⊙O的直径，∵AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，∴AB2+BC2＝22+22＝8，∴AC＝2，∴⊙O的半径是，故选：C．7．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙于点E，交PA、PB于C、D，若△PCD的周长等于4，则线段PA的长是（）A．4 B．8 C．2 D．1【分析】直接利用切线长定理得出AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB，进而求出PA的长．【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB∵△PCD的周长等于4，∴PC+CD+PD＝4，∴PA+PB＝4，∴PA＝2．故选：C．8．如图，OA，OB是⊙O的半径，C是⊙O上的一点，∠AOB＝40°，∠OCB＝50°，则∠OAC 的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】先根据圆周角定理求出∠ACB的度数，进而得出∠ACO的度数，由等腰三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB＝40°，∴∠ACB＝×40°＝20°．∵∠OCB＝50°，∴∠ACO＝50°﹣20°＝30°．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO＝30°，故选：B．二．填空题（共8小题）9．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线AB距离5，直线AB与⊙O的位置关系是相切．【分析】由已知条件易求圆的半径长度，又因为圆心O到直线AB的距离为5，所以d和r的大小可判定，进而得出直线l与⊙O的位置关系．【解答】解：∵⊙O的直径为5，∵圆心O到直线l的距离为5，∴d＝r，∴直线l与⊙O的位置关系是相切；故答案为：相切．10．若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是9 ．【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得＝40，解得n＝9．故答案为9．11．如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是20πcm2．【分析】根据柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长和矩形的面积公式进行计算．【解答】解：这个圆柱的侧面积＝5×2π×2＝20π（cm2）．故答案为20πcm2．12．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B＝100°，则∠D的度数为80°．【分析】利用圆内接四边形的性质解决问题即可．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝100°，∴∠D＝80°，故答案为80°．13．某校规定学生的学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算所得．若某同学本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是90分、90分和85分，则他本学期数学学期综合成绩是88 分．【分析】按3：3：4的比例算出本学期数学学期综合成绩即可．【解答】解：本学期数学学期综合成绩＝90×30%+90×30%+85×40%＝88（分）．故答案为：88．14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，若AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径为 2 ．【分析】设⊙O的半径为r，先利用勾股定理计算出AB＝10，再利用切线的性质和切线长定理得到OD⊥BC，OE⊥AC，BD＝BF，AE＝AF，则四边形ODCE为正方形，所以CD＝CE ＝OE＝r，从而得到8﹣r+6﹣r＝10，然后解关于r的方程即可．【解答】解：设⊙O的半径为r，Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB＝＝10，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，∴OD⊥BC，OE⊥AC，BD＝BF，AE＝AF，易得四边形ODCE为正方形，∴CD＝CE＝OE＝r，∴BF+BD＝8﹣r，AF＝AE＝6﹣r，∴8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2，即⊙O的半径为2．故答案为2．15．如图，MN是⊙O的直径，矩形ABCD的顶点A、D在MN上，顶点B、C在⊙O上，若⊙O 的半径为5，AB＝4，则AD边的长为 6 ．【分析】连接OB，根据矩形性质得出AB＝CD＝4，∠BAO＝∠CDO＝90°，根据勾股定理求出AO、DO，即可得出答案．【解答】解：连接OB，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，∠BAO＝∠CDO＝90°，∵OB＝5，∴AO＝＝3，同理DO＝3，∴AD＝3+3＝6，故答案为：6．16．把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于4﹣π．【分析】恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．【解答】解：如图：新的正方形的边长为1+1＝2，∴恒星的面积＝2×2﹣π＝4﹣π．故答案为4﹣π．三．解答题（共11小题）17．甲战士在相同条件下射击4次，每次命中的环数如下：4，5，6，5．（1）计算这组数据的平均数；（2）计算这组数据的方差．【分析】（1）根据题目中的数据，可以求得这组数据的平均数，本题得以解决；（2）根据方差的计算公式，可以计算出这组数据的方差．【解答】解：（1）这组数据的平均数是：＝5，即这组数据的平均数是5；（2）这组数据的方差是：＝＝＝0.5，即这组数据的方差是0.5．18．如图，BD是⊙O的直径，点A．C在圆周上，∠CBD＝20°，求∠A的度数．【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得∠BCD＝90°，然后由直角三角形的两个锐角互余、同弧所对的圆周角相等求得∠A＝∠D＝70°．【解答】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°（直径所对的圆周角是直角），∵∠CBD＝20°，∴∠D＝70°（直角三角形的两个锐角互余），∴∠A＝∠D＝70°（同弧所对的圆周角相等）．19．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC．求证：∠1＝∠2．【分析】已知AB＝AC，又OC＝OB，OA＝OA，则△AOB≌△AOC，根据全等三角形的性质知，∠1＝∠2．【解答】证明：连接OB、OC．∵AB＝AC，OC＝OB，OA＝OA，∴△AOB≌△AOC（SSS）．∴∠1＝∠2．20．某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，请回答问题：（1）填空：a＝ 2 ；（2）10名学生的射击成绩的众数是7 环，中位数是7 环；（3）若9环（含9环）以上评委为优秀射手，试估计全年级500名学生中有多少是优秀射手？【分析】（1）从抽查的总人数10人，减去成绩为6环、7环、8环的人数，即可得成绩为9环的人数，（2）根据众数、中位数的意义求解即可，（3）样本估计总体，样本中成绩在9环以上的占20%，因此估计500人中约有20%的为优秀射手．【解答】解：（1）10﹣1﹣5﹣2＝2人，故答案为：2．（2）成绩为7环的人数最多，是5人，因此成绩的众数为7环，将这10人的射击成绩从小到大排列后，处在第5、6位的两个数都是7环，因此中位数是7环，故答案为：7，7．（3）500×＝100人，答：全年级500名学生中大约有100人是优秀射手．21．如图，已知正方形ABCD，AB＝4，以点A为圆心，AB为半径画弧得到扇形ABD，现将该扇形围成一圆锥的侧面，求出该圆锥底面圆的半径．【分析】根据题意求得弧长，利用弧长等于圆的周长求得半径即可．【解答】解：设底面圆的半径为r，根据题意得：2πr＝，解得：r＝1，所以该圆锥的底面圆的半径为1．22．已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝25π．【分析】（1）过点A点作BC的垂线，作BC的垂直平分线，它们的交点为O，然后以O 点为圆心，OA为半径作圆即可；（2）连接OB，延长AO交BC于D，如图，设⊙O的半径为r，先判断AD垂直平分BC得到OD＝4，BD＝CD＝3，然后利用勾股定理计算出OB，从而利用圆的面积公式求解．【解答】解：（1）如图，⊙O为所作；（2）连接OB，延长AO交BC于D，如图，设⊙O的半径为r，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AD垂直平分BC，∴OD＝4，BD＝CD＝3，在Rt△OBD中，OB＝＝5，∴S⊙O＝π•52＝25π．故答案为25π．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝1．将Rt△ABC按顺时针方向绕点B旋转到△A1BC1的位置（A、B、C1三点在同一直线上），最后沿BC1的方向平移到△A2B2C2的位置，其平移的距离等于线段AC的长度．（1）请直接写出AB、AC的长度：AB＝ 2 ；AC＝；（2）画出在搬动此物体的整个过程中A点所经过的路径，并求出该路径的长度（结果保留π）．【分析】（1）根据直角三角形的三边关系，30°的角所对的直角边是斜边的一半，可以直接确定AB的长，再由勾股定理得出AC．（2）根据要求画出路径，再用弧长公式求解路径的长度．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝1，∴AB＝2，AC＝＝＝；故答案为：2，．（2）A点经过的路径，如图所示：∵∠ABA1＝180°﹣60°＝120°，A1A2＝AC＝，∴A点所经过的路径长＝+＝．24．如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD ＝AB，∠D＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OA，则得出∠COA＝2∠B＝2∠D＝60°，可求得∠OAD＝90°，可得出结论；（2）可利用△OAD的面积﹣扇形AOC的面积求得阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OA，则∠COA＝2∠B，∵AD＝AB，∴∠B＝∠D＝30°，∴∠COA＝60°，∴∠OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴OA⊥AD，即CD是⊙O的切线；（2）解：∵BC＝4，∴OA＝OC＝2，在Rt△OAD中，OA＝2，∠D＝30°，∴OD＝2OA＝4，AD＝2，所以S△OAD＝OA•AD＝×2×2＝2，因为∠COA＝60°，所以S扇形COA＝＝π，所以S阴影＝S△OAD﹣S扇形COA＝2﹣．25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．【分析】（1）只要证明∠A+∠B＝90°，∠ADE+∠B＝90°即可解决问题；（2）首先证明AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，可得x2+62＝（x+8）2﹣102，解方程即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE+∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A．（2）解：连接CD．∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED＝EC，∴AE＝EC，∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，∴x2+62＝（x+8）2﹣102，解得x＝，∴BC＝＝．26．在过去所学习的（圆》这一章节中，我们学习了正多边形和圆的关系，知道了正多边形的中心、半径、中心角等有关概念，同时也掌握了利用转化三角形、旋转等相关方法解决其中的边、角以及面积等相关问题（1）请你尝试将下面图1、图2、图3中的分别割成2个、3个、6个全等图形（2）如图4，正六边形ABCDEF的边长为6，点O为它的中心，点M、N分别为边ABBC 上的动点（不与端点重合），且∠MON＝60°①说明AM＝BN；②四边形BMON的周长有最小值吗？如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由；（3）如图5，等边△ABC的边长AB＝6，点P为边CA延长线上一点，点Q为边AB延长线上一点，点D为BC边中点，且∠PDQ＝120°，若PA＝x，△BDQ的面积为y，请用含x 的代数式表示出y．【分析】（1）根据要求结合正六边形的性质画出分割线即可（答案不唯一）．（2）①如图4中，作OG⊥AB于G，OH⊥BC于H，A，OB，OC．证明△OGM≌△OHN即可解决问题．②先证明BM+BN＝6，再根据垂线段最短求出OM+ON的最小值即可解决问题．（3）如图5中，连接AD，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．证明△PDF≌△QDE（ASA），即可解决问题．【解答】（1）解：如图1中，分割成2个全等的等腰梯形．如图2中，分割成3个全等的菱形．如图3中，分割成6个等边三角形．（2）①证明：如图4中，作OG⊥AB于G，OH⊥BC于H，A，OB，OC．∵ABCDEF是正六边形，OG⊥AB，OH⊥BC，∴OG＝OH，∠B＝120°，∠OGB＝∠OHB＝90°，∴∠GOH＝60°，∵∠MON＝60°，∴∠MON＝∠GOH，∴∠MOG＝∠NOH，∵OA＝OB＝OC，OG⊥AB，OH⊥BC，∴AG＝GB＝BH＝CH，∵∠OGM＝∠OHN＝90°，∴△OGM≌△OHN（ASA），∴GM＝HN，∵AG＝BH，∴AM＝BN．②解：四边形BNOM的周长有最小值．理由：∵BN+BM＝BH﹣NH+BG+MG＝2BG＝AB＝6，∴当OM+ON的值最小时，四边形BNOM的周长最小，∵△OGM≌△OHN（ASA），∴OM＝ON，根据垂线段最短可知当OM与OG重合，ON与OH重合时，OM+ON的值最小，OM+ON的最小值＝6，∴四边形BNOM的周长的最小值为6+6．（3）解：如图5中，连接AD，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∵△ABC是等边三角形，BD＝DC，∴AD平分∠BAC，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵∠DEA＝∠DEQ＝∠AFD＝90°，∴∠EAF+∠EDF＝180°，∵∠EAF＝60°，∴∠EDF＝∠PDQ＝120°，∴∠PDF＝∠QDE，∴△PDF≌△QDE（ASA），∴PF＝EQ，在Rt△DCF中，∵DC＝3，∠C＝60°，∠DFC＝90°，∴CF＝CD＝，DF＝，同法可得：BE＝，DE＝DF＝，∵AF＝AC﹣CF＝6﹣＝，PA＝x，∴PF＝EQ＝+x，∴BQ＝EQ﹣BE＝3+x，∴S△BDQ＝•BQ•DE＝×（3+x）×＝x+．27．对于一平面图形而言，若点M、N是该图形上的任意两点，我们规定：线段MN长度的最大值称为该平面图形S的“绝对距离”．例如，圆的“绝对距离”等于它的直径．如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（0，﹣1）、B（0，1），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的“绝对距离”为d．（1）写出下列图形的“绝对距离”：①边长为1的正方形的“绝对距离：；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是等边三角形的“绝对距离”：+1 ；（2）动点C从（﹣5，0）出发，沿x轴以每秒一个单位的速度向右运动，当d＝3时，请求出t的值；（3）若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在x轴上运动．对于⊙M上任意点C，都有4≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．【分析】（1）由“绝对距离”的定义可求解；（2）根据“绝对距离”的定义可得AC＝BC＝3，求出满足条件的点C的坐标即可解决问题（注意有两种情形）．（3）当点M在y轴的右侧时，连接AM，求出d＝4或8时，点M的坐标，即可判断，再根据对称性求出点M在y轴左侧的情形即可．【解答】解：（1）①∵边长为1的正方形的“绝对距离是对角线的长，∴边长为1的正方形的“绝对距离＝，②如图1，∴上方是半径为1的半圆，下方是等边三角形的“绝对距离”是CH，∴CH＝1+，故答案为：，1+；（2）如图2中，∵A（0，﹣10，B（0，1），∴OA＝OB＝1，AB＝2，∵CO⊥AB，∴CA＝CB，∵d＝3，不妨设AC＝BC＝3，则OC＝＝＝2，∴t＝5﹣2或＝5+2．（3）如图3中，如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM．∵对于⊙M上任意点C，都有4≤d≤8，∴当d＝4时，AM＝5，∴OM＝＝＝2，此时M（2，0），当d＝8时，AM＝7，∴OM＝＝＝4，此时M（4，0），∴满足条件的点M的横坐标的范围为2≤x≤4．当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣4≤x≤﹣2，综上所述，满足条件的圆心M的横坐标x的取值范围为2≤x≤4或﹣4≤x≤﹣2．。
明德教育集团初中联盟2019-2020学年九年级期末考试数学试卷答案
10
10
联立
y y
1 2 1 3
x2 3 2
x1 3
x
2
解得
x1
10 3
, x2
1舍去
故点 E 10 ,13 3 9
则 PG 10 GE 的最小值为 PH= 221 13 13 .
10
72 9 8
………………………6’
(3)①当 AM 是正方形的边时， (ⅰ)当点 M 在 y 轴左侧时(N 在下方)，如图 2 当点 M 在第二象限时，过点 A 作 y 轴的平行线 GH，过点 M 作 MG⊥GH 于点 G，过点 N 作 HN⊥GH 于点 H， ∴∠GMA+∠GAM=90º，∠GAM+∠HAN=90º， ∴∠GMA=∠HAN ∵∠AGM=∠NHA=90º，AM=AN ∴△AGM≌△NHA(AAS)
29
∴
N
3 2
,1 2 2
29
当点 M 在第四象限时，同理可得 N
3 2
, 1 2 2
29
②当 AM 是正方形的对角线时， 当点 M 在 y 轴左侧时，过点 M 作 MG⊥对称轴于点 G， 设对称轴与 x 轴交于点 H,如图 4. 易证△AHN≌△NGN(AAS)
设点 N 3 ,m ，则点 M 3 m, 5 m
证明：∵∠ABC＝900，BD 平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD＝450
∵四边形 ACEF 为菱形
∴AE⊥CF，即∠ADC＝900
∵∠ABC＝900
∴四边形 ABCD 为损矩形
由(1)得 ∠ACD=∠ABD=450
∴∠ACE=2∠ACD=900
∴四边形 ACEF 为正方形.
………………………6’
江苏省镇江市丹阳市2019-2020学年九年级(上)期末数学试卷(B卷) 解析版
2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．填空题（共12小题）1．已知，则＝．2．九年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：100，112，102，105，112，110，则该同学这6次成绩的众数是．3．如图，AB∥DE，AE与BD相交于点C．若AC＝4，BC＝2，CD＝1，则CE的长为．4．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是．5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠BAD＝60°，则∠ACD＝°．6．已知x＝﹣1是方程x2﹣2mx﹣3＝0的一个根，则该方程的另一个根为．7．若圆锥的母线长为4cm，其侧面积12πcm2，则圆锥底面半径为cm．8．抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标是．9．把函数y＝x2的图象向右平移两个单位，再向下平移一个单位得到的函数关系式是．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，对称轴为直线x＝1，则不等式ax2+bx+c＞0的解集是．11．二次函数y＝2x2﹣4x+4的图象如图所示，其对称轴与它的图象交于点P，点N是其图象上异于点P的一点，若PM⊥y轴，MN⊥x轴，则＝．12．如图，正方形ABCD的边长为5，E、F分别是BC、CD上的两个动点，AE⊥EF．则AF的最小值是．二．选择题（共6小题）13．方程（m﹣1）x2+2mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则（）A．m≠±1 B．m＝1 C．m≠﹣1 D．m≠114．设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品2只，三等品3只．则从中任意取一只，是二等品的概率等于（）A．B．C．D．15．如图，在▱ABCD中，R为BC延长线上的点，连接AR交BD于点P，若CR：AD＝2：3，则AP：PR的值为（）A．3：5 B．2：3 C．3：4 D．3：216．下表是二次函数y＝ax2+bx+c的部分x，y的对应值：x…﹣1 ﹣0 1 2 3 …y… 2 m﹣1 ﹣﹣2 ﹣﹣1 2 …可以推断m的值为（）A．﹣2 B．0 C．D．217．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且∠D＝40°，则∠PCA 等于（）A．50°B．60°C．65°D．75°18．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝，D、E分别在边AC、BC上，CD＝1，DE∥AB，将△CDE绕点C旋转，旋转后点D、E对应的点分别为D′、E′，当点E′落在线段AD′上时，连接BE′，此时BE′的长为（）A．2B．3C．2D．3三．解答题（共10小题）19．用适当的方法解一元二次方程：（1）x2+4x﹣12＝0（2）2x2﹣4x+1＝020．一个不透明的口袋中装有2个红球、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是；（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．21．甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩/环中位数/环众数/环方差甲a7 7 1.2乙7 b8 c （1）a＝；b＝；c＝；（2）填空：（填“甲”或“乙”）．①从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是；②从平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是；③成绩相对较稳定的是．22．尺规作图：已知△ABC，如图．（1）求作：△ABC的外接圆⊙O；（2）若AC＝4，∠B＝30°，则△ABC的外接圆⊙O的半径为．23．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣3，0），B（1，0），C（2，﹣5）．（1）求此二次函数的表达式；（2）画出这个函数的图象；（3）△ABC的面积为．24．已知关于x的方程x2+（2m+1）x+m（m+1）＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程的一个根为x＝0，求代数式m2+m﹣5的值．25．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始，以2mm/S 的速度沿边AB向B移动（不与点B重合），动点Q从点B开始，以4m/s的速度沿边BC 向C移动（不与C重合），如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为xs，四边形APQC的面积为ymm2．（1）写出y与x之间的函数表达式；（2）当x＝2时，求四边形APQC的面积．26．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G．（1）求证：∠AED＝∠CAD；（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG•EA；（3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝2，求EF的长．27．如图，顶点为P（2，﹣4）的二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过原点，点A（m，n）在该函数图象上，连接AP、OP．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；（2）若∠APO＝90°，求点A的坐标；（3）若点A关于抛物线的对称轴的对称点为C，点A关于y轴的对称点为D，设抛物线与x轴的另一交点为B，请解答下列问题：①当m≠4时，试判断四边形OBCD的形状并说明理由；②当n＜0时，若四边形OBCD的面积为12，求点A的坐标．28．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M、N分别是边AC、AB上的动点，连接MN，将△AMN沿MN所在直线翻折，翻折后点A的对应点为A′．（1）如图1，若点A′恰好落在边AB上，且AN＝AC，求AM的长；（2）如图2，若点A′恰好落在边BC上，且A′N∥AC．①试判断四边形AMA′N的形状并说明理由；②求AM、MN的长；（3）如图3，设线段NM、BC的延长线交于点P，当且时，求CP的长．参考答案与试题解析一．填空题（共12小题）1．已知，则＝．【分析】根据题意，设x＝5k，y＝3k，代入即可求得的值．【解答】解：由题意，设x＝5k，y＝3k，∴＝＝．故答案为．2．九年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：100，112，102，105，112，110，则该同学这6次成绩的众数是112 ．【分析】根据众数的概念求解可得．【解答】解：在这组数据中出现次数最多的是112，所以这组数据的众数为112，故答案为：112．3．如图，AB∥DE，AE与BD相交于点C．若AC＝4，BC＝2，CD＝1，则CE的长为 2 ．【分析】先证明△ABC∽△EDC，然后利用相似比计算CE的长．【解答】解：∵AB∥DE，∴△ABC∽△EDC，∴＝，即＝，∴CE＝2．故答案为2．4．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是 1 ．【分析】由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴（﹣2）2﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠BAD＝60°，则∠ACD＝30 °．【分析】如图，连接BD．求出∠B即可解决问题．【解答】解：如图，连接BD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠DAB＝30°，∴∠ACD＝∠B＝30°，故答案为30．6．已知x＝﹣1是方程x2﹣2mx﹣3＝0的一个根，则该方程的另一个根为 3 ．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：设另外一个根为x，由根与系数的关系可知：﹣x＝﹣3，∴x＝3，故答案为：37．若圆锥的母线长为4cm，其侧面积12πcm2，则圆锥底面半径为 3 cm．【分析】圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【解答】解：设底面半径为r，12π＝πr×4，解得r＝3cm．故答案为：3．8．抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标是（1，﹣4）．【分析】先把原式化为顶点式的形式，再求出其顶点坐标即可．【解答】解：∵原抛物线可化为：y＝（x﹣1）2﹣4，∴其顶点坐标为（1，﹣4）．故答案为：（1，﹣4）．9．把函数y＝x2的图象向右平移两个单位，再向下平移一个单位得到的函数关系式是y ＝（x﹣2）2﹣1 ．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律．【解答】解：y＝x2的图象向右平移两个单位，再向下平移一个单位得y＝（x﹣2）2﹣1．故答案是：y＝（x﹣2）2﹣1．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，对称轴为直线x＝1，则不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜3 ．【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围得到不等式ax2+bx+c＞0的解集．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∵当﹣1＜x＜3时，y＞0，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜3．故答案为﹣1＜x＜3．11．二次函数y＝2x2﹣4x+4的图象如图所示，其对称轴与它的图象交于点P，点N是其图象上异于点P的一点，若PM⊥y轴，MN⊥x轴，则＝ 2 ．【分析】根据题目中的函数解析式可得到点P的坐标，然后设出点M、点N的坐标，然后计算即可解答本题．【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣4x+4＝2（x﹣1）2+2，∴点P的坐标为（1，2），设点M的坐标为（a，2），则点N的坐标为（a，2a2﹣4a+4），∴＝＝＝2，故答案为：2．12．如图，正方形ABCD的边长为5，E、F分别是BC、CD上的两个动点，AE⊥EF．则AF的最小值是．【分析】设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，构建二次函数了，利用二次函数的性质求出CF的最大值，求出DF的最小值即可解决问题．【解答】解：设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，而∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴Rt△ABE∽Rt△ECF，∴＝，∴＝，∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，∵﹣＜0，∴x＝时，y有最大值，∴CF的最大值为，∴DF的最小值为5﹣＝，∴AF的最小值＝＝＝，故答案为．二．选择题（共6小题）13．方程（m﹣1）x2+2mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则（）A．m≠±1 B．m＝1 C．m≠﹣1 D．m≠1【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于m的不等式，解之即可．【解答】解：根据题意得：m﹣1≠0，解得：m≠1，故选：D．14．设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品2只，三等品3只．则从中任意取一只，是二等品的概率等于（）A．B．C．D．【分析】直接根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵有12只型号相同的杯子，二等品2只，∴从中任意取1只，是二等品的概率＝＝．故选：B．15．如图，在▱ABCD中，R为BC延长线上的点，连接AR交BD于点P，若CR：AD＝2：3，则AP：PR的值为（）A．3：5 B．2：3 C．3：4 D．3：2【分析】证得△ADP∽△RBP，可得，由AD＝BC，可得．【解答】解：∵在▱ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，∴△ADP∽△RBP，∴，∴．∴＝．故选：A．16．下表是二次函数y＝ax2+bx+c的部分x，y的对应值：x…﹣1 ﹣0 1 2 3 …y… 2 m﹣1 ﹣﹣2 ﹣﹣1 2 …可以推断m的值为（）A．﹣2 B．0 C．D．2【分析】首先根据表中的x、y的值确定抛物线的对称轴，然后根据对称性确定m的值即可．【解答】解：观察表格发现该二次函数的图象经过点（，﹣）和（，﹣），所以对称轴为x＝＝1，∵，∴点（﹣，m）和（，）关于对称轴对称，∴m＝，故选：C．17．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且∠D＝40°，则∠PCA 等于（）A．50°B．60°C．65°D．75°【分析】根据切线的性质，由PD切⊙O于点C得到∠OCD＝90°，再利互余计算出∠DOC ＝50°，由∠A＝∠ACO，∠COD＝∠A+∠ACO，所以∠A＝∠COD＝25°，然后根据三角形外角性质计算∠PCA的度数．【解答】解：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝40°，∴∠DOC＝90°﹣40°＝50°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠COD＝∠A+∠ACO，∴∠A＝∠COD＝25°，∴∠PCA＝∠A+∠D＝25°+40°＝65°．故选：C．18．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝，D、E分别在边AC、BC上，CD＝1，DE∥AB，将△CDE绕点C旋转，旋转后点D、E对应的点分别为D′、E′，当点E′落在线段AD′上时，连接BE′，此时BE′的长为（）A．2B．3C．2D．3【分析】如图，作CH⊥BE′于H，设AC交BE′于O．首先证明∠CE′B＝∠D′＝60°，解直角三角形求出HE′，BH即可解决问题．【解答】解：如图，作CH⊥BE′于H，设AC交BE′于O．∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠CAB＝60°，∵DE∥AB，∴＝，∠CDE＝∠CAB＝∠D′＝60°∴＝，∵∠ACB＝∠D′CE′，∴∠ACD′＝∠BCE′，∴△ACD′∽△BCE′，∴∠D′＝∠CE′B＝∠CAB，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，BC＝AC＝，∵DE∥AB，∴＝，∴＝，∴CE＝，∵∠CHE′＝90°，∠CE′H＝∠CAB＝60°，CE′＝CE＝∴E′H＝CE′＝，CH＝HE′＝，∴BH＝＝＝∴BE′＝HE′+BH＝3，故选：B．三．解答题（共10小题）19．用适当的方法解一元二次方程：（1）x2+4x﹣12＝0（2）2x2﹣4x+1＝0【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【解答】解：（1）∵x2+4x﹣12＝0，∴（x+6）（x﹣2）＝0，则x+6＝0或x﹣2＝0，解得x＝﹣6或x＝2；（2）∵a＝2，b＝﹣4，c＝1，∴△＝（﹣4）2﹣4×2×1＝8＞0，则x＝＝1±20．一个不透明的口袋中装有2个红球、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是；（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．【分析】（1）根据4个小球中红球的个数，即可确定出从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次都摸到红球的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：（1）4个小球中有2个红球，则任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是；故答案为：；（2）列表如下：红红白黑红﹣﹣﹣（红，红）（白，红）（黑，红）红（红，红）﹣﹣﹣（白，红）（黑，红）白（红，白）（红，白）﹣﹣﹣（黑，白）黑（红，黑）（红，黑）（白，黑）﹣﹣﹣所有等可能的情况有12种，其中两次都摸到红球有2种可能，则P（两次摸到红球）＝＝．21．甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩/环中位数/环众数/环方差甲a7 7 1.2乙7 b8 c （1）a＝7 ；b＝7.5 ；c＝ 4.2 ；（2）填空：（填“甲”或“乙”）．①从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是乙；②从平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是乙；③成绩相对较稳定的是甲．【分析】（1）根据平均数、中位数、方差的定义分别计算即可解决问题；（2）由表中数据可知，甲，乙平均成绩相等，乙的中位数，众数均大于甲，说明乙的成绩好于甲，虽然乙的方差大于甲，但乙的成绩呈上升趋势，故应选乙队员参赛．【解答】解：（l）a＝（5+2×6+4×7+2×8+9）＝7（环），b＝（7+8）＝7.5（环），c＝[（3﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（10﹣7）2+（9﹣7）2]＝4.2（环2）；故答案为：7，7.5，4.2；（2）由表中数据可知，甲，乙平均成绩相等，乙的中位数，众数均大于甲，说明乙的成绩好于甲，乙的方差大于甲．①从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是：乙；②从平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是乙；③成绩相对较稳定的是：甲．故答案为：乙，乙，甲．22．尺规作图：已知△ABC，如图．（1）求作：△ABC的外接圆⊙O；（2）若AC＝4，∠B＝30°，则△ABC的外接圆⊙O的半径为 4 ．【分析】（1）确定三角形的外接圆的圆心，根据其是三角形边的垂直平分线的交点进行确定即可；（2）连接OA，OC，先证明△AOC是等边三角形，从而得到圆的半径．【解答】解：（1）作法如下：①作线段AB的垂直平分线，②作线段BC的垂直平分线，③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆；（2）连接OA，OC，∵∠B＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∵AC＝4，∴OA＝OC＝4，即圆的半径是4，故答案为4．23．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣3，0），B（1，0），C（2，﹣5）．（1）求此二次函数的表达式；（2）画出这个函数的图象；（3）△ABC的面积为10 ．【分析】（1）设交点式为y＝a（x+3）（x﹣1），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）利用配方法得到y＝﹣（x+1）2+4，则抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3），然后利用描点法画二次函数图象；（3）利用三角形面积公式计算．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），把C（2，﹣5）代入得a（2+3）（2﹣1）＝﹣5，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣2x+3；（2）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，则抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），如图，（3）△ABC的面积＝×（1+3）×5＝10．故答案为10．24．已知关于x的方程x2+（2m+1）x+m（m+1）＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程的一个根为x＝0，求代数式m2+m﹣5的值．【分析】（1）计算判别式得到△＝1，然后根据判别式的意义得到结论；（2）把x＝0代入方程得到m2+m＝0，然后利用整体代入的方法计算代数式m2+m﹣5的值．【解答】（1）证明：∵△＝（2m+1）2﹣4m（m+1）＝1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵x＝0是此方程的一个根，∴把x＝0代入方程中得到m（m+1）＝0，即m2+m＝0，∴m2+m﹣5＝﹣5．25．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始，以2mm/S 的速度沿边AB向B移动（不与点B重合），动点Q从点B开始，以4m/s的速度沿边BC 向C移动（不与C重合），如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为xs，四边形APQC的面积为ymm2．（1）写出y与x之间的函数表达式；（2）当x＝2时，求四边形APQC的面积．【分析】（1）用x表示PB和BQ．利用两个直角三角形的面积差求得答案即可；（2）求出x＝2时，y的值即可得．【解答】解：（1）∵运动时间为x，点P的速度为2mm/s，点Q的速度为4mm/s，∴PB＝12﹣2x，BQ＝4x，∴y＝×12×24﹣×（12﹣2x）×4x＝4x2﹣24x+144．（2）当x＝2时，y＝4×22﹣24×2+144＝112，即当x＝2时，四边形APQC的面积为112mm2．26．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G．（1）求证：∠AED＝∠CAD；（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG•EA；（3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝2，求EF的长．【分析】（1）可得∠ADB＝90°，证得∠ABD＝∠CAD，∠AED＝∠ABD，则结论得证；（2）证得∠EDB＝∠DAE，证明△EDG∽△EAD，可得比例线段，则结论得证；（3）连接OE，证明OE∥AD，则可得比例线段，则EF可求出．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴∠ABD＝∠CAD，∵＝，∴∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠CAD；（2）证明：∵点E是劣弧BD的中点，∴＝，∴∠EDB＝∠DAE，∵∠DEG＝∠AED，∴△EDG∽△EAD，∴，∴ED2＝EG•EA；（3）解：连接OE，∵点E是劣弧BD的中点，∴∠DAE＝∠EAB，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠AEO＝∠DAE，∴OE∥AD，∴，∵BO＝BF＝OA，DE＝2，∴，∴EF＝4．27．如图，顶点为P（2，﹣4）的二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过原点，点A（m，n）在该函数图象上，连接AP、OP．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；（2）若∠APO＝90°，求点A的坐标；（3）若点A关于抛物线的对称轴的对称点为C，点A关于y轴的对称点为D，设抛物线与x轴的另一交点为B，请解答下列问题：①当m≠4时，试判断四边形OBCD的形状并说明理由；②当n＜0时，若四边形OBCD的面积为12，求点A的坐标．【分析】（1）由已知可得抛物线与x轴另一个交点（4，0），将（2，﹣4）、（4，0）、（0，0）代入y＝ax2+bx即可求表达式；（2）由∠APO＝90°，可知AP⊥PO，所以m﹣2＝，即可求A（，﹣）；（3）①由已知可得C（4﹣m，n），D（﹣m，n），B（4，0），可得CD∥OB，CD＝CB，所以四边形OBCD是平行四边形；②四边形由OBCD是平行四边形，n＜0，所以12＝4×（﹣n），即可求出A（1，﹣3）或A（3，﹣3）．【解答】解：（1）∵图象经过原点，∴c＝0，∵顶点为P（2，﹣4）∴抛物线与x轴另一个交点（4，0），将（2，﹣4）和（4，0）代入y＝ax2+bx，∴a＝1，b＝﹣4，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x；（2）∵∠APO＝90°，∴AP⊥PO，∵A（m，m2﹣4m），∴m﹣2＝，∴m＝，∴A（，﹣）；（3）①由已知可得C（4﹣m，n），D（﹣m，n），B（4，0），∴CD∥OB，∵CD＝4，OB＝4，∴四边形OBCD是平行四边形；②∵四边形OBCD是平行四边形，n＜0，∴12＝4×（﹣n），∴n＝﹣3，∴A（1，﹣3）或A（3，﹣3）．28．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M、N分别是边AC、AB上的动点，连接MN，将△AMN沿MN所在直线翻折，翻折后点A的对应点为A′．（1）如图1，若点A′恰好落在边AB上，且AN＝AC，求AM的长；（2）如图2，若点A′恰好落在边BC上，且A′N∥AC．①试判断四边形AMA′N的形状并说明理由；②求AM、MN的长；（3）如图3，设线段NM、BC的延长线交于点P，当且时，求CP的长．【分析】（1）利用相似三角形的性质求解即可．（2）①根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．②连接AA′交MN于O．设AM＝MA′＝x，由MA′∥AB，可得＝，由此构建方程求出x，解直角三角形求出OM即可解决问题．（3）如图3中，作NH⊥BC于H．想办法求出NH，CM，利用平行线分线段成比例定理，构建方程解决问题即可．【解答】解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵∠A＝∠A，∠ANM＝∠C＝90°，∴△ANM∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AM＝．（2）①如图2中，∵NA′∥AC，∴∠AMN＝∠NMA′，由翻折可知：MA＝MA′，∠AMN＝∠NMA′，∴∠MNA′＝∠A′MN，∴A′N＝A′M，∴AM＝A′N，∵AM∥A′N，∴四边形AMA′N是平行四边形，∵MA＝MA′，∴四边形AMA′N是菱形．②连接AA′交MN于O．设AM＝MA′＝x，∵MA′∥AB，∴＝，∴＝，解得x＝，∴AM＝，∴CM＝，∴CA′＝＝＝，∴AA′＝＝＝，∵四边形AMA′N是菱形，∴AA′⊥MN，OM＝ON，OA＝OA′＝，∴OM＝＝＝，∴MN＝2OM＝．（3）如图3中，作NH⊥BC于H．∵NH∥AC，∴＝＝∴＝＝∴NH＝，BH＝，∴CH＝BC﹣BH＝3﹣＝，∴AM＝AC＝，∴CM＝AC﹣AM＝4﹣＝，∵CM∥NH，∴＝，∴＝，∴PC＝1．。
2019-2020学年成都市嘉祥外国语学校九年级(上)10月月考数学试卷(含解析)
2019-2020学年成都市嘉祥外国语学校九年级（上）10月月考数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）A卷（共100分）一、选择题.（每小题3分，共30分）1．cos30°的值是（）A．1 B．C．D．2．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（）A．B．C．D．3．预计到2025年，中国5G用户将超过460000000，将460000000用科学记数法表示为（）A．4.6×109B．46×107C．4.6×108D．0.46×1094．一些美术字体的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看做是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．若分式方程有增根，则它的增根是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．1 或﹣16．点P1（﹣2，y1）、P2（2，y2）、P3（5，y3）均在函数y＝﹣2x2+1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1＞y2C．y3＞y1＝y2D．y1＝y2＞y37．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，且∠ABC＝∠AED，若DE＝2，AE＝3，BC＝4，则AB的长为（）A．8 B．5 C．6 D．1.58．已知关于x的方程ax2+2x＝3有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＞﹣B．a＞﹣1且a≠0 C．a＞﹣1 D．a＞﹣且a≠09．在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到10．如图，△ABC为等边三角形，点P从A出发，沿A→B→C→A作匀速运动，则线段AP的长度y与运动时间x之间的函数关系大致是（）A．B．C．D．二、填空题.（每小题4分，共16分）11．分解因式：a2b﹣b＝．12．函数y＝的自变量x的取值范围．13．将抛物线y＝x2﹣2x+3绕顶点旋转180°后的图象的解析式为．14．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，则tan∠ABO的值为．三、解答题（共54分）15．（12分）（1）计算：（2）解分式方程：16．（6分）先化简，再求值：÷（+1），其中x为整数且满足不等式组17．（8分）如图，已知A （﹣4，2），B （﹣2，6），C （0，4）是直角坐标系平面上三点．（1）把△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A1B1C1，画出平移后的图形；（2）若△ABC内部有一点P （a，b），则平移后它的对应点P l的坐标为；（3）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到△A2B2C2，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形．18．（8分）如图是成都市某在建的大楼，准备上市销售，大楼前有一座有高压线的铁塔BC经过，市民想知道高压线的电辐射对居住是否有影响，则需要测量大楼到铁塔的水平距离DC的长以及铁塔BC的高度，为了安全，不能直接测量铁塔的高度，现在大楼的屋顶A处测得铁塔的塔顶B的仰角∠BAE＝58°，测得铁塔的塔底C的俯角∠EAC＝30°，大楼的高度AD＝10m．（1）求水平距离DC的长（结果保留根号）；（2）求铁塔BC的高度．（参考数据：tan58°≈1.60，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，≈1.73）19．（10分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B （5，0），若OB＝AB，且S△AOB＝（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）根据图象，直接写出不等式kx+b≤的解集．20．（10分）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E═∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．B卷（50分）一、填空题（每小题4分，共20分）（a+b﹣2）+ab的值等于．21．已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则代数式（a﹣b）22．已知线段AB＝10cm，C、D是AB上的两个黄金分割点，则线段CD的长为．23．当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝﹣（x﹣h）2+6有最大值2，则实数h的值为．24．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，AC长为，若将边AC平移至A'C'处，此时A'坐标为（﹣4，2），分别连接A'B，C'O，反比例函数y＝的图象与四边形A'BOC'对角线A'O交于D点，连接BD．则当BD取得最小值时，k的值是．25．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①；②；③关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实根，④ac﹣b+1＝0；⑤OA⋅OB＝﹣．其中正确结论的有．二、解答题（共30分）26．（8分）某蛋糕店出售网红“奶昔包”，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，当以40元每件出售时，每天可以卖300件，当以55元每件出售时，每天可以卖150件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天“奶昔包”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该蛋糕店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试直接写出该“奶昔包”销售单价的范围．27．（10分）如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，BC上，连接EF，将△BEF沿直线EF翻折得到△HEF，AB＝8，BC＝6，AE：EB＝3：1．（1）如图1，当∠BEF＝45°时，EH的延长线交DC于点M，求HM的长；（2）如图2，当FH的延长线经过点D时，求tan∠FEH的值；（3）如图3，连接AH，HC，当点F在线段BC上运动时，试探究四边形AHCD的面积是否存在最小值？若存在，求出四边形AHCD的面积的最小值；若不存在，请说明理由．28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上．（1）求抛物线解析式；（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题.（每小题3分，共30分）1．【解答】解：cos30°＝．故选：B．2．【解答】解：从上边看从上边看第一层是一个小正方形，第二层是第一层正上一个小正方形，右边一个小正方形，故选：D．3．【解答】解：将460000000用科学记数法表示为4.6×108．故选：C．4．【解答】解：A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不合题意；C、不是轴对称图形，不合题意；D、不是轴对称图形，不合题意．故选：A．5．【解答】解：分式方程的最简公分母为（x+1）（x﹣1），去分母得：6﹣m（x+1）＝6（x+1）（x﹣1），由分式方程有增根，得到（x+1）（x﹣1）＝0，即x＝1或x＝﹣1，把x＝﹣1代入整式方程得：6＝0，无解，则它的增根是1．故选：B．6．【解答】解：函数y＝﹣2x2+1的对称轴为x＝0，∵﹣2＜0，点到对称轴的距离大对应的函数值反而小，∵P1（﹣2，y1）、P2（2，y2）、P3（5，y3），∴P1＝P2＞P3，故选：D．7．【解答】解：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，∴△AED∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AB＝6，故选：C．8．【解答】解：由关于x的方程ax2+2x＝3，即ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根得△＝b2﹣4ac＝4+4×3a＞0，解得a＞﹣．则a＞﹣且a≠0．故选：D．9．【解答】解：二次函数y＝（x﹣2）2+1，a＝1＞0，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，1），当x＝2时，y有最小值1，当x＞2时，y 的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；故选项A、B的说法正确，C的说法错误；根据平移的规律，y＝x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝（x﹣2）2，再向上平移1个单位长度得到y ＝（x﹣2）2+1；故选项D的说法正确，故选：C．10．【解答】解：根据题意得，点P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时，y是x的一次函数，故选项C与选项D不合题意；当点P从B→C的过程中，根据勾股定理得 AP＝，则其函数图象不是一次函数，且当点P运动到BC的中点时有最小值，所以选项B符合题意，选项A不合题意．故选：B．二、填空题.（每小题4分，共16分）11．【解答】解：a2b﹣b＝b（a2﹣1）＝b（a+1）（a﹣1）．故答案为：b（a+1）（a﹣1）．12．【解答】解：根据题意得：解得x≥1且x≠3，即：自变量x取值范围是x≥1且x≠3．13．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3，＝x2﹣2x+1+2，＝（x﹣1）2+2，∴抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标为（1，2），∴抛物线y＝x2﹣2x+3绕顶点旋转180°后的图象的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x+1，即y＝﹣x2+2x+1．故答案为：y＝﹣x2+2x+1．14．【解答】解：过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，则∠BDO＝∠ACO＝90°，∵顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，∴S△BDO＝，S△AOC＝，∵∠AOB＝90°，∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°，∴∠DBO＝∠AOC，∴△BDO∽△OCA，∴＝（）2＝＝5，∴＝，∴tan∠BAO＝＝＝，故答案为：．三、解答题（共54分）15．【解答】解：（1）原式＝1﹣3+﹣1+2＝2﹣2；（2）去分母得：x2﹣2x﹣x2+4x﹣4＝4，解得：x＝4，经检验x＝4是分式方程的解．16．【解答】解：原式＝÷（+）＝•＝，解不等式组得2＜x≤，则不等式组的整数解为3，当x＝3时，原式＝＝．17．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）∵△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A1B1C1，∴点P （a，b）的对应点P l的坐标为（a+4，b﹣1），故答案为：（a+4，b﹣1）；（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．18．【解答】解：（1）如图，延长AE交BC于点F，则AF⊥BC于点F，∵AD＝10m，∴CF＝AD＝10，在Rt△ACF中，∵∠CAF＝30°，∴AF＝＝＝10（m），∴DC＝10m；（2）在Rt△ABF中，∵∠BAE＝58°，AF＝10m，∴BF＝AFtan∠BAF≈10×1.60≈27.68m，∵CF＝AD＝10m，∴BC＝BF+CF＝27.68+10＝37.68m，答：铁碳BC的高度约为37.68m．19．【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵B（5，0），∴OB＝5，∵S△OAB＝，∴×5×AD＝，∴AD＝3，∵OB＝AB，∴AB＝5，在Rt△ADB中，BD＝＝4，∴OD＝OB+BD＝9，∴A（9，3），将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，∴反比例函数的解析式为y＝，将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，，∴，∴直线AB的解析式为y＝x﹣．（2）由，解得或﹣，∴两个函数的交点分别为（9，3）或（﹣4，﹣），结合图象可知：不等式kx+b≤的解集为x≤﹣4或0＜x≤9时．20．【解答】（1）证明：如图1中，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，同理∠ABD＝∠ABC，∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，∴∠ADE＝（∠ABC+∠BAC）＝90°﹣∠C，∴∠E＝90°﹣（90°﹣∠C）＝∠C．（2）解：延长AD交BC于点F．∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠E＝∠CBE，∴AE∥BC，∴∠AFB＝∠EAD＝90°，＝，∵BD：DE＝2：3，∴cos∠ABC＝＝＝．（3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，∴∠ABC中必有一个内角为90°∵∠ABC是锐角，∴∠ABC≠90°．①当∠BAC＝∠DAE＝90°时，∵∠E＝∠C，∴∠ABC＝∠E＝∠C，∵∠ABC+∠C＝90°，∴∠ABC＝30°，此时＝2﹣．②当∠C＝∠DAE＝90°时，∠∠C＝45°，∴∠EDA＝45°，∵△ABC与△ADE相似，∴∠ABC＝45°，此时＝2﹣．综上所述，∠ABC＝30°或45°，＝2﹣或2﹣．一、填空题（每小题4分，共20分）21．【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，∴ab＝﹣1，a+b＝2，∴（a﹣b）（a+b﹣2）+ab＝（a﹣b）（2﹣2）+ab，＝0+ab，＝﹣1，故答案为：﹣1．22．【解答】解：∵C、D是AB上的两个黄金分割点，∴AD＝BC＝AB＝5﹣5，∴CD＝AD+BC﹣AB＝10﹣20cm，故答案为：10﹣20cm．23．【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣h）2+6有最大值2，∴h＜﹣1或h＞2；由二次函数的性质得：当 x＝﹣1或2时，y＝2，即﹣（﹣1﹣h）2+6＝2①，或﹣（2﹣h）2+6＝2②，解①得h＝1或﹣3；解②得h＝0或4，∴h的值为4或﹣3，故答案为：4或﹣3．24．【解答】解：当BD⊥OA′时，BD取得最小值，延长A′C′交y轴于E，如图，∵A′C′∥OB，∴A′E⊥y轴，∠BOD＝∠EA′O，∴∠BDO＝∠OEA′，∴△BDO∽△OEA′，∴＝＝，∵A'坐标为（﹣4，2），∴A′E＝4，OE＝2，∴OA′＝＝2，∵OB＝AC＝，∴＝＝，∴BD＝1，OD＝2，作DF⊥OB于F，∵BD•OD＝OB•DF，即1×2＝DF，∴DF＝，∴D的纵坐标为，设直线OA′的解析式为y＝kx，∴2＝﹣4k，解得k＝﹣，∴直线OA′的解析式为y＝﹣x，把y＝代入得，＝﹣x，解得x＝﹣，∴D（﹣，），∴反比例函数y＝的图象过D点，∴k＝﹣×＝﹣，故答案为﹣．25．【解答】解：抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，开口向下，a＜0，因此＜0，故①不正确；抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0，对称轴为x＝1，所以﹣＝1，也就是a＝﹣b，∴a+b+c＝﹣b+b+c＝c＞0，故②不正确；当y＝﹣2时，根据图象可得ax2+bx+c＝﹣2有两个不同实数根，即ax2+bx+c+2＝0有两个不等实根，因此③不正确；∵OA＝OC，∴A（﹣c，0）代入得：ac2﹣bc+c＝0，即：ac﹣b+1＝0，因此④正确；设A（x1，0），B（x2，0），有x1、x2是方程ax2+bx+c＝0的两个根，有有x1+x2＝，又∵OA＝﹣x1，OB＝x2，所以OA•OB＝﹣，故⑤正确；综上所述，正确的有④⑤，故答案为：④⑤二、解答题（共30分）26．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式：y＝kx+b，由题意得：，解得：．∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+700；（2）由题意，得﹣10x+700≥240，解得x≤46．设利润为w元，则w＝（x﹣30）•y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，∵﹣10＜0，∴x＜50时，w随x的增大而增大，∴x＝46时，w大＝﹣10（46﹣50）2+4000＝3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．（3）w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600，﹣10（x﹣50）2＝﹣250，解得：x1＝55，x2＝45，∵a＝﹣10＜0，∴当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．27．【解答】解：（1）如图1中，当∠BEF＝45°时，易知四边形EBFH是正方形，∵AB＝8，AE：EB＝3：1，∴AE＝6，EB＝2，∵∠C＝∠EBC＝∠BEM＝90°，∴四边形EBCM是矩形，∴EM＝BC＝6，∵EH＝BE＝2，∴HM＝6﹣2＝4．（2）如图2中，连接DE．在Rt△EAD中，∵∠A＝90°，AD＝AE＝6，∴DE＝6，在Rt△EDH中，DH＝＝2设BF＝FH＝x，则DF＝x+2，FC＝6﹣x，在Rt△DFC中，∵DF2＝DC2+CF2，∴（2+x）2＝82+（6﹣x）2，∴x＝﹣3，∴tan∠FEH＝＝．（3）如图3中，连接AC，作EM⊥AC于M．∵∠EAM＝∠BAC，∠AME＝∠B＝90°，∴△AME∽△ABC，∴＝，∴＝，∴EM＝，∵S四边形AHCD＝S△ACH+S△ADC，S△ACD＝×6×8＝24，∴当△ACH的面积最小时，四边形AHCD的面积最小，∵当EH与EM重合时，点H到直线AC的距离最小，最小值＝﹣2＝，∴△ACH的面积的最小值＝×10×＝8，∴四边形AHCD的面积的最小值为8+24＝32．28．【解答】解：（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，则点A（1，4）；（2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6，点P（1，4﹣t），则点D（，4﹣t），设点Q（，4﹣），S△ACQ＝×DQ×BC＝﹣t2+t，∵﹣＜0，故S△ACQ有最大值，当t＝2时，其最大值为1；（3）设点P（1，m），点M（x，y），①当EC是菱形一条边时，当点M在点P右方时，点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C，则点P向右平移3个单位、向下平移3个单位得到M，则1+3＝x，m﹣3＝y，而MP＝EP得：1+（m﹣3）2＝（x﹣1）2+（y﹣m）2，解得：y＝m﹣3＝，故点M（4，）；当点M在点P左方时，同理可得：点M（﹣2，3+）；②当EC是菱形一对角线时，则EC中点即为PM中点，则x+1＝3，y+m＝3，而PE＝PC，即1+（m﹣3）2＝4+m2，解得：m＝1，故x＝2，y＝3﹣m＝3﹣1＝2，故点M（2，2）；综上，点M（4，）或（﹣2，3+）或M（2，2）。
广东省广州市越秀区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年广东省广州市越秀区九年级上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解即可，轴对称图形：沿某一直线折叠后直线两旁的部分互相重合；中心对称图形：将一个图形绕着中心点旋转180°后能与自身重合的图形叫做中心对称图形；【详解】A 、此图形既是中心对称图形，也是轴对称图形故此选项正确；B 、此图形是中心对称图形，但不是轴对称图形故此选项不正确；C 、此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形故此选项不正确；D 、此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形故此选项不正确；故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，正确理解它们的概念是解题的关键；2. 用配方法解一元二次方程2450x x --=，此方程可变形为（ ）A. ()229x -=B. ()229x +=C. ()221x +=D. ()221x -= 【答案】A【解析】【分析】先把常数项移到等式右边，再两边同时加上4，等式左边可以凑成完全平方的形式．【详解】解：2450x x --=24454x x -+=+ ()229x -=．故选：A ．【点睛】本题考查配方法，解题的关键是掌握配方法的方法．3. 若将抛物线y=5x 2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）A. y=5（x ﹣2）2+1B. y=5（x+2）2+1C. y=5（x ﹣2）2﹣1D. y=5（x+2）2﹣1【答案】A【解析】 试题解析：将抛物线25y x =向右平移2个单位，再向上平移1个单位,得到的抛物线的解析式是()252 1.y x =-+故选A . 点睛：二次函数图像的平移规律：左加右减，上加下减.4. 已知A 1122(,)(,)x y B x y 、为二次函数()21y x k =--+图象上两点，且1x <2x <1，则下列说法正确的是（ ） A. 120y y +> B. 120y y +< C. 12 0y y -> D. 12 0y y -<【答案】D【解析】【分析】 根据二次函数解析式得到函数图象的性质，开口向下，在对称轴左边，y 随着x 的增大而增大，从而得到因变量的大小关系．【详解】解：二次函数()21y x k =--+的对称轴是直线1x =，且开口向下，在对称轴左边，y 随着x 的增大而增大，∵1x <2x <1，∴12y y <，即120y y -<．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是根据顶点式得出函数图象的性质．5. 下列事件为必然事件的是（ ）A. 掷一枚硬币，正面朝上B. 弦是直径C. 等边三角形的中心角是120︒D. 位似的两个三角形的对应边互相平行【答案】C【解析】【分析】根据必然事件的定义判断出正确选项．【详解】A是随机事件，抛一枚硬币不一定正面朝上；B是随机事件，弦不一定是直径；C是必然事件；D是随机事件，位似三角形的对应边也可能重合．故选：C．【点睛】本题考查必然事件的定义，解题的关键是掌握必然事件的定义．6. 如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）A. 7B. 7.5C. 8D. 8.5【答案】B【解析】【分析】由直线a∥b∥c，根据平行线分线段成比例定理，即可得AC BDCE DF=，又由AC=4，CE=6，BD=3，即可求得DF的长，则可求得答案．【详解】解：∵a∥b∥c，∴AC BD CE DF=，∵AC=4，CE=6，BD=3，∴436DF =，解得：DF=92，∴937.52BF BD DF=+=+=．故选B．考点：平行线分线段成比例．7. 如图，在△ABC中，CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上的中线，则DEFBCFSS=（）A.25B.12C.13D.14【答案】D【解析】【分析】根据中位线定理得到//DE BC和12DE BC=，再利用DEF CBF△△的性质得到它们的面积比．【详解】解：∵CD，BE分别是边AB，AC上的中线，∴//DE BC，12DE BC=，∴DEF CBF△△，∴214DEFBCFS DES CB⎛⎫==⎪⎝⎭．故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．8. 如图，AB、AC为O的两条切线，50BAC∠=︒，点D是BC上一点，则BDC∠的大小是（）A. 100︒B. 110︒C. 115︒D. 125︒【答案】C【解析】【分析】连接OB、OC，作出优弧BC对应的一个圆周角∠BD′C，首先求出∠BOC，再根据∠BD′C=12∠BOC，∠BDC+∠BD′C=180°，即可解决问题．【详解】解：连接OB、OC，作出优弧BC对应的一个圆周角∠BD′C，如图，∵AB、AC是⊙O的切线，∴OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠ABO=∠ACO=90°，∵∠BAC=50°，∴∠BOC=360°-90°-90°-50°=130°，∴∠BD′C=12∠BOC=65°，∴∠BDC=180°-65°=115°，故选：C．【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．9. 《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）A. 13寸B. 20寸C. 26寸D. 28寸【答案】C【解析】分析：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可.详解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故选C．点睛：本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题10. 如图，BD为矩形ABCD的对角线，将△BCD沿BD翻折得到BC D'△，BC'与边AD交于点E．若AB＝x1，BC＝2x2，DE＝3，其中x1、x2是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的两个实根，则m的值是（）A. 165B.125C. 3D. 2【答案】A 【解析】分析】利用根与系数的关系得到x1＋x2＝4，x1x2＝m，AB＋12BC＝4，m＝AB×12BC，再利用折叠的性质和平行线的性质得到∠EBD＝∠EDB，则EB＝ED＝3，所以AE＝AD−DE＝5−2AB，利用勾股定理得到AB2＋（5−2AB）2＝32，解得AB＝10255-或AB＝1055+，则BC＝20455+，然后计算m的值．【详解】∵x1、x2是关于x的方程x2−4x＋m＝0的两个实根，∴x1＋x2＝4，x1x2＝m，即AB＋12BC＝4，m＝AB×12BC，∵△BCD沿BD翻折得到△BC′D，BC′与边AD交于点E，∴∠CBD ＝∠EBD ，∵AD ∥BC ，∴∠CBD ＝∠EDB ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∴EB ＝ED ＝3，在Rt △ABE 中，AE ＝AD−DE ＝BC −3＝8−2AB−3＝5−2AB ，∴AB 2＋（5−2AB ）2＝32，解得AB 或AB （舍去），∴BC ＝8−2AB ，∴m ＝12×105-×205+＝165． 故选：A ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根时，x 1＋x 2＝−b a ，x 1x 2＝c a．也考查了矩形的性质和折叠的性质． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 关于x 的方程()21210m x mx +++=是一元二次方程，则m 的取值范围是_____． 【答案】1m ≠-【解析】【分析】根据定义，一元二次方程的二次项系数不能是0，求出m 的取值范围．【详解】解：∵方程()21210m x mx +++=是一元二次方程， ∴10m +≠，即1m ≠-．故答案是：1m ≠-．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．12. 在平面直角坐标系中，有两点A （1，2），B （3，1），以原点O 为位似中心，将△OAB 放大为原来的3倍，得到OA B ''△，则点A 的对应点A '的坐标是_______．【答案】()3,6或()3,6--【解析】根据位似图形的定义，以原点O 为位似中心，将原三角形放大3倍，则对应点坐标也变为原来的3倍．【详解】解：以原点O 为位似中心，将△OAB 放大为原来的3倍，则点A 的横纵坐标都变为原来的3倍，对应的点A '()3,6或()3,6--．故答案是：()3,6或()3,6--．【点睛】本题考查位似图形，解题的关键是掌握位似图形的定义．13. 一个袋中装有m 个红球，10个黄球，n 个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么m 与n 的关系是________．【答案】m +n ＝10．【解析】【分析】直接利用概率相同的频数相同进而得出答案．【详解】∵一个袋中装有m 个红球，10个黄球，n 个白球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同， ∴m 与n 的关系是：m +n ＝10．故答案为m +n ＝10．【点睛】此题主要考查了概率公式，正确理解概率求法是解题关键．14. 若圆锥的底面半径是2，侧面展开图是一个圆心角为120︒的扇形，则该圆锥的母线长是________．【答案】6【解析】【分析】先根据圆锥的底面半径求出底面圆周长，也就是侧面图扇形的弧长，再利用弧长公式求出扇形半径，也就是圆锥的母线．【详解】解：∵圆锥的底面半径是2，∴底面圆周长是4π，即展开后的扇形弧长是4π， 根据弧长公式：180n r l =︒π， 得1204180r ππ︒=︒，解得6r =，即该圆锥的母线长是6． 故答案是：6．【点睛】本题考查扇形和圆锥的有关计算，解题的关键是掌握扇形的弧长公式，以及圆锥和侧面展开的扇15. 如图，已知点B （3，3）、C （0，6）是抛物线24y ax x c =-+ (0a ≠)上两点，A 是抛物线的顶点，P 点是x 轴上一动点，当PA+PB 最小时，P 点的坐标是_____．【答案】(2.4，0)【解析】【分析】根据点B （3，3）、C （0，6）是抛物线24y ax x c =-+（a≠0）上两点，可以求得该抛物线的解析式，从而可以求得顶点A 的坐标，然后即可得到点A 关于x 轴的对称点的坐标，则点A 关于x 轴的对称点的坐标与点B 所连直线与x 轴的交点即为所求的点P 的坐标．【详解】解：∵点B (3，3)、C (0，6)是抛物线24y ax x c =-+ (a ≠0)上两点， ∴91236a c c -+=⎧⎨=⎩，得16a c =⎧⎨=⎩ ， ∴抛物线解析式为2246(22)y x x x =-+=-+，∴点A 的坐标为(2,2)，点A 关于x 轴的对称点的坐标为(2,−2)，则点(2,−2)与点B (3,3)所连直线与x 轴的交点即为所求的点P ，此时P A +PB 最小，设过点(2,−2)与点B (3,3)的直线解析式为y =kx +b ， 2233k b k b +=-⎧⎨+=⎩，得512k b =⎧⎨=-⎩ ， 即过点(2，−2)与点B (3，3)的直线解析式为y =5x −12，当y =0时，0=5x −12，得x =2.4，∴点P 的坐标为(2.4,0)，故答案为：(2.4，0)．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数上点的坐标特征、对称轴最短路径问题，解本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合思想解答．16. 如图，在四边形ABCD 中，B D 90∠∠==︒，AD=CD ，AB+BC=8，则四边形ABCD 的面积是_________．【答案】16【解析】【分析】求不规则四边形的面积，可以转化为两个三角形的面积，由题意B D 90∠∠==︒，可知：求出Rt ABC 与Rt ADC 的面积，即为四边形ABCD 的面积．【详解】连接AC ，∵B D 90∠∠==︒，∴222AB BC AC +=，222AD DC AC +=， ∴11=22ABC ADC ABCD S S S BC AB CD AD +=⋅+⋅四边形21122BC AB AD =⋅+ ()2221111=2224BC AB CD AB BC AB BC ⋅+=⋅++， ∵AB+BC=8，∴222=64AB BC BC AB ++⨯，∴4464ABC ADC S S +=，∴=16ABC ADC ABCD S S S +=四边形故答案为：16．【点睛】本题主要考查的是四边形面积的求解，三角形面积以及勾股定理，熟练运用三角形面积公式以及勾股定理是解答本题的关键．三、解答题（本大题共9题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 解方程：22320x x --= 【答案】12x =，212x =- 【解析】 【分析】利用公式法求出24b ac =-△，继而求一元二次方程的解； 【详解】∵2a =，3b =-，2c =-， ∴()()224342225b ac -=--⨯⨯-=，∴32522x ±=⨯，∴12x =，212x =-． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，公式法：先求出24b ac =-△，继而用b x -±=△求出解即可，是基础性考点；18. 在平面直角坐标系中， OAB △的位置如图所示，且点A （-3，4），B （2，1），将 OAB △绕点O 顺时针旋转90︒后得到 OA B ''△． （1）在图中画出 OA B ''△；（2）求点A 在旋转过程中所走过的路线长．【答案】（1）见解析；（2）52π【解析】 【分析】（1）将点A 绕着点O 顺时针旋转90︒得到点A '，用同样的方法得到点B '，就可以画出OA B ''△； （2）先算出AO 的长度，再利用弧长公式求出路线长． 【详解】解：（1）如图所示：（2）22345AO =+=，90551802l ππ︒⨯==︒．【点睛】本题考查图形的旋转和弧长公式，解题的关键是掌握画旋转图形的方法和弧长公式的运用． 19. 已知抛物线2y x 2x 3=-++． （1）该抛物线的对称轴是_____；（2）选取适当的数据填入下表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象：x…………y …… ……（3）根据函数的图象，直接写出不等式2230x x -++>的解．【答案】（1）1x =；（2）见解析；（2）13x【解析】 【分析】（1）利用对称轴公式求出抛物线的对称轴； （2）利用5点作图法列出表格并画出图象；（3）不等式的解表示：函数图象在x 轴上方时，x 的取值范围，根据图象得出解集． 【详解】解：（1）2122bx a ， 对称轴是直线1x =， 故答案是：1x =；（2）令1x =-，则1230y =--+=， 令0x =，则3y =，令1x =，则1234y =-++=， 令2x =，则4433y =-++=， 令3x =，则9630y =-++=，x …… -1 0 1 2 3 …… y……343……图象如图所示：（3）不等式2230x x -++>的解表示：函数图象在x 轴上方时，x 的取值范围， 根据图象得不等式的解是：13x．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象的画法，以及利用函数图象去解不等式．20. 如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，ADE 60∠=︒． （1）求证：BAD CDE ∠=∠；（2）若BD=4，CE=2，求△ABC 的边长．【答案】（1）见解析；（2）8 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到60B ADE ∠=∠=︒，再根据外角和定理证明结论； （2）根据（1）的结论证明ABD DCE △△，利用相似三角形对应边成比例列式求出CD 的长，就可以得到三角形ABC 的边长．【详解】解：（1）∵ABC 是等边三角形， ∴60B ∠=︒， ∵60ADE ∠=︒， ∴B ADE ∠=∠，∵BAD B ADC ADE CDE ∠+∠=∠=∠+∠， ∴BAD CDE ∠=∠；（2）∵BAD CDE ∠=∠，60B C ∠=∠=︒， ∴ABD DCE △△，∴AB BDDC CE=， 设DC x =，则4AB BC x ==+， ∴442x x +=，解得4x =， ∴448BC =+=，即△ABC 的边长是8．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定定理． 21. 有A 、B 两个黑布袋，A 布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字-1，0，1，2；B 布袋中有二个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1．小明先从A 布袋中随机取出一个小球，用m 表示取出的球上标有的数字 ，再从B 布袋中随机取出一个小球，用n 表示取出的球上标有的数字． （1）若用（m n ，）表示小明取球时m n 与的对应值，请用树状图或列表法表示()m n ，的所有取值； （2）求关于x 的一元二次方程2102x mx n -+=有实数根的概率． 【答案】（1）见解析；（2）58【解析】 【分析】（1）用列表的方法或树状图去表示所有可能性；（2）利用根的判别式算出m 和n 的关系式，找到符合条件的组合． 【详解】解：（1）如图：（2）要使一元二次方程202x mx n -+=有实数根，则0∆≥，即220m n -≥， 满足条件的组合有：()1,0-，()0,0，()1,0，()2,0，()2,1，∴概率是58．【点睛】本题考查概率求解，解题的关键是掌握通过画树状图或列表求解概率的方法．22. 有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．在甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元，依此类推，即每多买一台，则所买各台单价均再减20元；乙公司一律按原售价75%促销．某单位需购买一批图形计算器：（1）若此单位需购买4台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？（2）若该单位计划购买m台图形计算器，经过对比发现，在两家公司购买相差480元，试求m的值．【答案】（1）去乙公司购买花费少；（2）4或6或12【解析】【分析】（1）把数量4分别代入甲乙两家公司的计算即可求出到哪家公司购买花费较少；（2）把数量m分别代入甲乙两家公司计算，费用用含m表示，然后讨论①当去甲公司花费比乙公司多480元时；②当去甲公司花费比乙公司少480元时，分别列等式求出m的值即可．【详解】（1）去甲公司购买花费：（800-4×20）×4=2880（元），去乙公司购买花费：800×4×75%=2400（元），∵2880>2400，∴去乙公司购买花费少（2）去甲公司购买花费：m(800-20m)=800m-20m2，去乙公司购买花费：800×75%m=600m，∴在两家公司购买相差480元，∴当去甲公司花费较多时，800m-20m2=600m+480 整理得：m2-10m+24=0 解得：m1=4，m2=6 当去甲公司花费较少时，800m-20m2=600m-480 整理得：m2-10m-24=0，解得：m1=12，m2=-2（舍去）综上m的值为4或6或12．【点睛】本题考查了利用方程思想解决生活中的数学问题．只要把握住总花费=单价×数量这一等量关系，注意分情况讨论“两家公司购买相差480元”是解答此题的易漏点 ． 23. 如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6．（1）动手操作：利用尺规作以BC 为直径的圆O ，并标出圆O 与AB 的交点D ，与AC 的交点E ，连接DE （保留作图痕迹，不写作法）； （2）综合应用：在你所作的圆中， ①求证：DE//BC ； ②求线段DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②4225DE = 【解析】 【分析】（1）作BC 的垂直平分线得到BC 的中点O ，以O 为圆心，BO 的长为半径画圆，得到圆O ； （2）①根据等腰三角形的性质即可证明结论；②根据三角形的面积和勾股定理即可求出线段DE 的长． 【详解】解：（1）如图所示：（2）①在ABC 中，AB AC =， ∴A ABC CB =∠∠， ∴DEC EDB =， ∴EC DB =，∴DEB CBE ∠=∠， ∴//DE BC ； ②∵//DE BC ， ∴ADE ABC ，∴AE DEAC BC=， ∵5AB AC ==，6BC =， ∴3OB OC OE ===， ∴4AO =， 连接BE ， ∵BC 是O 的直径，∴90BEC ∠=︒， ∴1122ABCSBC AO AC BE =⋅=⋅， ∴245BE =， 在Rt AEB 中，根据勾股定理，得222AE EB AB +=，即2222455AE ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得75AE =， ∴7556DE =，解得4225DE =．【点睛】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理和相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握这些几何性质进行证明求解．24. 如图，抛物线y =ax 2+(4a ﹣1)x ﹣4与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，且OC =2OB ，点D 为线段OB 上一动点(不与点B 重合)，过点D 作矩形DEFH ，点H 、F 在抛物线上，点E 在x 轴上． （1）求抛物线解析式；（2）当矩形DEFH 的周长最大时，求矩形DEFH 的面积；（3）在（2）的条件下，矩形DEFH 不动，将抛物线沿着x 轴向左平移m 个单位，抛物线与矩形DEFH 的边交于点M 、N ，连接M 、N ．若MN 恰好平分矩形DEFH 的面积，求m 的值．【答案】（1）y=12x2+x﹣4；（2）10；（3）m的值为52．【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标，由OC＝2OB，可推出点B坐标，将点B坐标代入y＝ax2＋（4a﹣1）x﹣4可求出a的值，即可写出抛物线的解析式；（2）设点D坐标为（x，0），用含x的代数式表示出矩形DEFH的周长，用函数的思想求出取其最大值时x 的值，即求出点D的坐标，进一步可求出矩形DEFH的面积；（3）如图，连接BH，EH，DF，设EH与DF交于点G，过点G作BH的平行线，交ED于M，交HF于点N，则直线MN将矩形DEFH的面积分成相等的两半，依次求出直线BH，MN的解析式，再求出点M的坐标，即可得出m的值．【详解】解：（1）在抛物线y＝ax2＋(4a﹣1)x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，∴C(0，﹣4)，∴OC＝4．∵OC＝2OB，∴OB＝2，∴B(2，0)，将B(2，0)代入y＝ax2＋(4a﹣1)x﹣4，得：a＝12，∴抛物线的解析式为y＝12x2＋x﹣4；（2）设点D坐标为(x，0)．∵四边形DEFH为矩形，∴H(x，12x2＋x﹣4)．∵y＝12x2＋x﹣4＝12(x＋1)2﹣92，∴抛物线对称轴为x＝﹣1，∴点H到对称轴的距离为x＋1，由对称性可知DE＝FH＝2x＋2，∴矩形DEFH的周长C＝2(2x＋2)＋2(﹣1 2 x2﹣x＋4)＝﹣x2＋2x＋12＝﹣(x﹣1)2＋13，∴当x＝1时，矩形DEFH周长取最大值13，∴此时H(1，﹣52)，∴HF＝2x＋2＝4，DH＝52，∴S矩形DEFH＝HF•DH＝4×52＝10；（3）如图，连接BH，EH，DF，设EH与DF交于点G，过点G作BH的平行线，交ED于M，交HF于点N，则直线MN将矩形DEFH的面积分成相等的两半，由（2）知，抛物线对称轴为x＝﹣1，H(1，﹣52)，∴G(﹣1，﹣54)，设直线BH的解析式为y＝kx＋b，将点B(2，0)，H(1，﹣52)代入，得：2052k bk b+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得：525kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BH的解析式为y＝52x﹣5，∴可设直线MN解析式为y＝52x＋n，将点(﹣1，﹣54)代入，得n＝54，∴直线MN的解析式为y＝52x＋54，当y＝0时，x＝﹣12，∴M(﹣12，0)．∵B(2，0)，∴将抛物线沿着x轴向左平移52个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N，连接M、N，则MN恰好平分矩形DEFH的面积，∴m的值为52．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，矩形的性质，函数思想求最大值，平移规律等，解题关键是知道过矩形对角线交点的直线可将矩形的面积分成相等的两半．25. 如图，四边形ABCD为平行四边形，AD＝1，AB＝3，∠DAB＝60°，点E为边CD上一动点，过点C 作AE的垂线交AE的延长线于点F．（1）求∠D的度数；（2）若点E为CD的中点，求EF的值；（3）当点E在线段CD上运动时，AFAE是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）∠ADC＝120°；（2）EF＝1919，（3）有最大值，最大值为：1392【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得AB∥CB，进而即可得到答案；（2）作AH⊥CD交CD的延长线于H，由在Rt△ADH中，∠H＝90°，∠ADH＝60°，得A 3DH＝12，结合勾股定理得AE＝192，易证△AEH∽△CEF，得EH AEEF EC，进而即可求解；（3）作△AFC的外接圆⊙O，作AH⊥CD交CD的延长线于H，作OK⊥CD于K，交⊙O于M，作FP∥CD交AD的延长线于P，作MN∥CD交AD的延长线于N，作NQ⊥CD于Q．易得P A的值最大时，AFAE的值最大，P A的值最大＝AN的长，根据勾股定理和三角函数的定义得DN12-，从而得AN＝AD+DN＝132+，进而即可得到答案．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CB，∴∠ADC+∠DAB＝180°，∵∠DAB＝60°，∴∠ADC＝120°．（2）作AH⊥CD交CD的延长线于H，如图1，∵在Rt△ADH中，∠H＝90°，∠ADH＝60°，AD＝2，∴AH＝AD•sin60DH＝AD•cos60°＝12，∵DE＝EC＝32，∴EH＝DH+DE＝2，∴AE2==，∵CF⊥AF，∴∠F＝∠H＝90°，∵∠AEH＝∠CEF，∴△AEH∽△CEF，∴EH AEEF=，∴2232EF=，∴EF＝19．（3）如图2中，作△AFC的外接圆⊙O，作AH⊥CD交CD的延长线于H，作OK⊥CD于K，交⊙O于M，作FP∥CD交AD的延长线于P，作MN∥CD交AD的延长线于N，作NQ⊥CD于Q．∵DE∥PF，∴AF AP AE AD=，∵AD是定值，∴P A的值最大时，AFAE的值最大，观察图形可知，当点F与点M重合时，P A的值最大，最大值＝AN的长，由（2）可知，AHCH＝72，∠H＝90°，∴AC==∴OM＝12AC，∵OK∥AH，AO＝OC，∴KH＝KC，∴OK＝12 AH∴MK＝NQ＝2﹣4，在Rt△NDQ中，DN＝1 sin6022NQ==-︒，∴AN＝AD+DN＝132+，∴AFAE的最大值＝ANAD＝12【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质定理，圆的性质，添加辅助线，构造圆与相似三角形，是解题的关键．。
2019--2020第一学期九年级数学期末考试及答案
2019-2020学年度第一学期期末调研考试九年级数学试卷注意：本试卷共8页，三道大题，26小题。
总分120分。
时间120分钟。
题号 一 二 20 21 22 23 24 25 26 总分 得分一、 选择题（本题共16小题，总分42分。
1~10小题，每题3分；11~16小题，每题2分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确选项的代号填写在下面的表格中）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案1．“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ） A ．必然事件 B ．随机事件 C ．确定事件D ．不可能事件2. 如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与自身重合的是( ) A ．72° B ．108° C ．144° D ．216° 3．反比例函数ky x=的图象经过点P(－1，2)，则这个函数的图象位于( ) A ．第二、三象限 B ．第一、三象限 C ．第三、四象限 D ．第二、四象限4．用配方法将方程0142=--x x 变形为m x =-2)2(，则m 的值是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 75. 在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A.B.C.D.6. 一元二次方程220200x +=的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实根B ．有两个不等的实根C ．只有一个实根D ．无实数根 7. 如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC 和△EDF ，则∠BAC 的度数为（ ）得分 评卷人A ．105°B ．115°C ．125°D ．135°8. 已知三角形面积一定，则它的底边a 上的高h 与底边a 之间的函数关系图象是( )9. 下列对二次函数2y x x =-图象的描述，正确的是（ ）A ．开口向下B ．对称轴是y 轴C ．经过原点D ．在对称轴右侧部分是下降的 10. 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次。
辽宁省沈阳市和平区2019-2020学年九年级(上)期末数学试卷含解析
2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题）1．如果＝＝（b+d≠0），则＝（）A．B．C．D．或﹣12．二次函数y＝2（x﹣6）2+9图象的顶点坐标是（）A．（﹣6，9）B．（6，9）C．（6，﹣9）D．（﹣6，﹣9）3．如图所示几何体的左视图正确的是（）A．B．C．D．4．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来1000元降到640元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（）A．1000（1+x）2＝640 B．640（1+x）2＝1000C．640（1﹣x）2＝1000 D．1000（1﹣x）2＝6405．下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（）A．③①④②B．③②①④C．③④①②D．②④①③6．将抛物线y＝x2向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是（）A．y＝（x+5）2+6 B．y＝（x+5）2﹣6 C．y＝（x﹣5）2+6 D．y＝（x﹣5）2﹣6 7．如图，在矩形ABCD中，BC＝15cm，动点P从点B开始沿BC边以每秒2cm的速度运动；动点Q从点D开始沿DA边以每秒1cm的速度运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设动点的运动时间为t秒，则当t＝（）秒时，四边形ABPQ为矩形．A．3 B．4 C．5 D．68．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝cx在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．9．根据所给的表格，估计一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解x，则x的整数部分是（）A．1 B．2 C．3 D．410．如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（9，0）、（6，﹣9），△AB'O'是△ABO关于点A的位似图形，且O'的坐标为（﹣3，0），则点B'的坐标为（）A．（8，﹣12）B．（﹣8，12）C．（8，﹣12）或（﹣8，12）D．（5，﹣12）二．填空题（共6小题）11．小明在同一时刻测量位于同一地点的旗杆和建筑物在太阳光下的影长，测得旗杆的影长为3m，建筑物的影长为30m，已知旗杆的高为4m，则这个建筑物高为m．12．若关于x的方程x2﹣ax+a﹣1＝0有两个相等的实数根，则a的值是．13．如图，一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形，如果小矩形与原来的矩形相似，那么小矩形的长边与短边的比是．14．如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，已知BC＝6，则EC的长为．15．某种商品，平均每天可销售40件，每件赢利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，若每天要赢利2400元，则每件应降价元．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，AD＝20，P是AD边上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，则PE•PF的最大值为．三．解答题（共9小题）17．解一元二次方程：（x+1）（3﹣x）＝1．18．计算：|1﹣2cos30°|+﹣（﹣）﹣1﹣（5﹣π）019．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是红球的概率为．（1）布袋里红球有个；（2）先从布袋中摸出个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图的方法求出两次摸到的球都是白球的概率．20．如图，已知△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．21．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M，N；②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）当∠ACB＝90°，AC＝16，△ADC的周长为36时，直接写出四边形ADCE的面积为．22．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，OA＝8，点D为对角线OB的中点，若反比例函数y＝在第一象限内的图象与矩形的边BC交于点F，与矩形边AB 交于点E，反比例函数图象经过点D，且tan∠BOA＝，设直线EF的表达式为y＝k2x+b．（1）求反比例函数表达式；（2）直接写出直线EF的函数表达式；（3）当x＞0时，直接写出不等式k2x+b＞的解集；（4）将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕与x轴正半轴交于点H，与y轴正半轴交于点G，直接写出线段OG的长．23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，在△ABC中截出一个矩形DEFG，使得点D在AB边上，EF在BC边上，点G在AC边上，设EF＝x，矩形DEFG的面积为y．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）直接写出自变量x的取值范围；（3）若DG＝2DE，则矩形DEFG的面积为．24．在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD相交于点O．（1）如图，作射线OM与边BC相交于点E，将射线OM绕点O顺时针旋转90°，得到射线ON，射线ON与边AB相交于点F，连接EF交BO于点G．①直接写出四边形OEBF的面积是；②求证：△OEF是等腰直角三角形；③若OG＝，求OE的长；（2）点P在射线CA上一点，若BP＝2，射线PM与直线BC相交于点E，当CE＝2时，将射线PM绕点P顺时针旋转45°，得到射线PN，射线PN与直线BC相交于点F，请直接写出BF的长．25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣8，0），对称轴是直线x＝﹣3，点B是抛物线与y轴交点，点M、N同时从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴的负半轴、y的负半轴方向匀速运动，（当点N到达点B时，点M、N同时停止运动）．过点M作x轴的垂线，交直线AB于点C，连接CN、MN，并作△CMN关于直线MC的对称图形，得到△CMD．设点N运动的时间为t秒，△CMD与△AOB重叠部分的面积为S．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当0＜t＜2时，①求S与t的函数关系式；②直接写出当t＝时，四边形CDMN为正方形；（3）当点D落在边AB上时，过点C作直线EF交抛物线于点E，交x轴于点F，连接EB，当S△CBE：S△ACF＝1：3时，直接写出点E的坐标为．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如果＝＝（b+d≠0），则＝（）A．B．C．D．或﹣1【分析】根据和比的性质即可求解．【解答】解：∵＝＝（b+d≠0），∴＝．故选：A．2．二次函数y＝2（x﹣6）2+9图象的顶点坐标是（）A．（﹣6，9）B．（6，9）C．（6，﹣9）D．（﹣6，﹣9）【分析】因为y＝2（x﹣6）2+9是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．【解答】解：∵抛物线解析式为y＝2（x﹣6）2+9，∴二次函数图象的顶点坐标是（6，9）．故选：B．3．如图所示几何体的左视图正确的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用左视图的观察角度，进而得出视图．【解答】解：该几何体的左视图为：是一个矩形，且矩形中有两条横向的虚线．故选：A．4．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来1000元降到640元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（）A．1000（1+x）2＝640 B．640（1+x）2＝1000C．640（1﹣x）2＝1000 D．1000（1﹣x）2＝640【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，依题意，得：1000（1﹣x）2＝640．故选：D．5．下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（）A．③①④②B．③②①④C．③④①②D．②④①③【分析】太阳光可以看做平行光线，从而可求出答案．【解答】解：太阳从东边升起，西边落下，所以先后顺序为：③④①②故选：C．6．将抛物线y＝x2向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是（）A．y＝（x+5）2+6 B．y＝（x+5）2﹣6 C．y＝（x﹣5）2+6 D．y＝（x﹣5）2﹣6 【分析】直接利用二次函数平移的性质得到平移后的解析式．【解答】解：将抛物线y＝x2向左平移5个单位长度，得到的解析式为：y＝（x+5）2，再向上平移6个单位长度，得到的解析式为：y＝（x+5）2+6，故所得抛物线相应的函数表达式是：y＝（x+5）2+6．故选：A．7．如图，在矩形ABCD中，BC＝15cm，动点P从点B开始沿BC边以每秒2cm的速度运动；动点Q从点D开始沿DA边以每秒1cm的速度运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设动点的运动时间为t秒，则当t＝（）秒时，四边形ABPQ为矩形．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】当四边形ABPQ为矩形时，AQ＝BP，据此列出方程并解答．【解答】解：设动点的运动时间为t秒，由题意，得15﹣t＝2t．解得t＝5．故选：C．8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝cx在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，然后根据反比例函数的性质和正比例函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：由二次函数的图象得a＜0，c＞0，所以反比例函数y＝分布在第二、四象限，正比例函数y＝cx经过第一、三象限，所以C选项正确．故选：C．9．根据所给的表格，估计一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解x，则x的整数部分是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据表格中的数据，可以发现：x＝1时，x2+12x﹣15＝﹣2；x＝2时，x2+12x ﹣15＝13，故一元二次方程x2+12x﹣15＝0的其中一个解x的范围是1＜x＜2，进而求解．【解答】解：根据表格中的数据，知：方程的一个解x的范围是：1＜x＜2，所以方程的其中一个解的整数部分是1．故选：A．10．如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（9，0）、（6，﹣9），△AB'O'是△ABO关于点A的位似图形，且O'的坐标为（﹣3，0），则点B'的坐标为（）A．（8，﹣12）B．（﹣8，12）C．（8，﹣12）或（﹣8，12）D．（5，﹣12）【分析】利用位似图形的性质结合一次函数解析式求法以及一次函数图象上点的坐标特征进而得出答案．【解答】解：过点B作BC⊥OA于点C，过点B′作B′D⊥AO于点D，∵△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，∴＝，∴＝，解得：DB′＝12，设直线AB的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线AB的解析式为：y＝3x﹣27，当y＝﹣12时，﹣12＝3x﹣27，解得：x＝5，故B′点坐标为：（5，﹣12）．故选：D．二．填空题（共6小题）11．小明在同一时刻测量位于同一地点的旗杆和建筑物在太阳光下的影长，测得旗杆的影长为3m，建筑物的影长为30m，已知旗杆的高为4m，则这个建筑物高为40 m．【分析】根据同一时刻同一地点的物高与影长成正比即可求得答案．【解答】解：设建筑物的高为x米，根据题意得：＝，解得：x＝40，故答案为：40．12．若关于x的方程x2﹣ax+a﹣1＝0有两个相等的实数根，则a的值是 2 ．【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）＝0，然后解方程即可求解．【解答】解：根据题意得△＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）＝0，解得a＝2．故答案为：2．13．如图，一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形，如果小矩形与原来的矩形相似，那么小矩形的长边与短边的比是：1 ．【分析】先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．【解答】解：设原来矩形的长为x，宽为y，则对折后的矩形的长为y，宽为，∵得到的两个矩形都和原矩形相似，∴x：y＝y：，解得x：y＝：1．故答案为：：1．14．如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，已知BC＝6，则EC的长为3．【分析】证出△GEC∽△ABC，由相似三角形的性质得出＝（）2＝，得出＝＝，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，∴AB∥EG，∴△GEC∽△ABC，∴＝（）2＝，∴＝＝，∵BC＝6，∴EC＝3，故答案为：3．15．某种商品，平均每天可销售40件，每件赢利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，若每天要赢利2400元，则每件应降价 4元．【分析】关系式为：每件商品的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝2400，计算得到降价多的数量即可．【解答】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：（44﹣x）（40+5x）＝2400解方程得x＝4或x＝36，∵在降价幅度不超过10元的情况下，∴x＝36不合题意舍去，答：每件服装应降价4元．故答案是：4．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，AD＝20，P是AD边上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，则PE•PF的最大值为36 ．【分析】设AP＝x，则PD＝20﹣x，通过证△APE∽△ACD，△DPF∽△DBA，分别用含x 的代数式将PE，PF表示出来，并算出其乘积，然后用二次函数的性质求出其最大值．【解答】解：在Rt△ABD中，BD＝＝＝25，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEA＝∠CDA＝∠PFD＝90°，又∵∠PAE＝∠CAD，∠PDF＝∠BDA，∴△APE∽△ACD，△DPF∽△DBA，∴＝＝，＝＝，设AP＝x，则PD＝20﹣x，∴PE＝x，PF＝（20﹣x）＝12﹣x，∴PE•PF＝x×（12﹣x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣10）2+36，根据二次函数的图象及性质可知，当x＝10时，PE•PF有最大值，最大值为36，故答案为：36．三．解答题（共9小题）17．解一元二次方程：（x+1）（3﹣x）＝1．【分析】先将方程整理为一般式，再利用公式法求解可得．【解答】解：将方程整理为一般式，得：x2﹣2x﹣2＝0，∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，则x＝＝1．18．计算：|1﹣2cos30°|+﹣（﹣）﹣1﹣（5﹣π）0【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝2×﹣1+2﹣（﹣2）﹣1＝3．19．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是红球的概率为．（1）布袋里红球有 1 个；（2）先从布袋中摸出个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图的方法求出两次摸到的球都是白球的概率．【分析】（1）设红球的个数为x个，根据概率公式得到＝，然后解方程即可；（2）先画树状图展示所有12种等可能结果，再找出两次摸到的球都是白球的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）设红球的个数为x个，根据题意得＝，解得x＝1（检验合适），所以布袋里红球有1个，故答案为：1；（2）画树状图如下：共有12种等可能结果，其中两次摸到的球都是白球结果数为2种，所以两次摸到的球都是白球的概率＝＝．20．如图，已知△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．【分析】作MN∥BC交AC于点N，利用三角形的中位线定理可得MN的长；作∠ANM＝∠B，利用相似可得MN的长．【解答】解：①图1，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC，有，∵M为AB中点，AB＝，∴AM＝，∵BC＝6，∴MN＝3；②图2，作∠ANM＝∠B，则△ANM∽△ABC，有，∵M为AB中点，AB＝，∴AM＝，∵BC＝6，AC＝，∴MN＝，∴MN的长为3或．21．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M，N；②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）当∠ACB＝90°，AC＝16，△ADC的周长为36时，直接写出四边形ADCE的面积为96 ．【分析】（1）根据作图的过程可得AE＝EC，再证明四边形AECD是平行四边形即可；（2）根据（1）证得的菱形，可知AD＝10，AO＝8，根据勾股定理得OD＝6，进而求解．【解答】解：（1）根据作图过程可知：MN是线段AC的垂直平分线，∴AE＝EC，AD＝CD，AO＝CO，MN⊥AC，∴∠EAC＝∠ECA，∵CE∥AB，∴∠ECA＝∠CAD，∴∠CAD＝∠EAC，AO＝AO，∠AOD＝∠AOE＝90°，∴△ADO≌△AEO（ASA），∴AD＝AE．∴AD＝EC，又AD∥EC，∴四边形ADCE是平行四边形，AE＝EC，∴▱ADCE是菱形．（2）∠ACB＝90°，∠AOD＝90°，∴OD∥BC，∵AO＝CO，∴AD＝BD，∵AD＝DC，∴BD＝DC，AC＝16，△ADC的周长为36，∴AB＝20，∴AD＝10，AO＝8，根据勾股定理，得OD＝6，∴菱形ADCE的面积为：DE•AC＝6×16＝96．故答案为96．22．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，OA＝8，点D为对角线OB的中点，若反比例函数y＝在第一象限内的图象与矩形的边BC交于点F，与矩形边AB 交于点E，反比例函数图象经过点D，且tan∠BOA＝，设直线EF的表达式为y＝k2x+b．（1）求反比例函数表达式；（2）直接写出直线EF的函数表达式y＝﹣x+5 ；（3）当x＞0时，直接写出不等式k2x+b＞的解集2＜x＜8 ；（4）将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕与x轴正半轴交于点H，与y轴正半轴交于点G，直接写出线段OG的长．【分析】（1）利用正切的定义计算出AB得到B点坐标为（8，4），则可得到D（4，2），然后利用待定系数法确定反比例函数表达式；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征确定E（8，1），F（2，4），然后利用待定系数法求直线EF的解析式；（3）在第一象限内，写出一次函数图象在反比例函数图象上上方所对应的自变量的范围即可；（4）连接GF，如图，设OG＝t，则CG＝4﹣t，利用折叠的性质得到GF＝OG＝t，则利用勾股定理得到22+（4﹣t）2＝t2，然后解方程求出t得到OG的长．【解答】解：（1）在Rt△AOB中，∵tan∠BOA＝＝，∴AB＝OA＝×8＝4，∴B点坐标为（8，4），∵点D为对角线OB的中点，∴D（4，2），把D（4，2）代入y＝得k1＝4×2＝8，∴反比例函数表达式为y＝；（2）当x＝8时，y＝＝1，则E（8，1），当y＝4时，＝4，解得x＝2，则F（2，4），把E（8，1），F（2，4）代入y＝k2x+b得，解得，所以直线EF的解析式为y＝﹣x+5；（3）不等式k2x+b＞的解集为2＜x＜8；（4）连接GF，如图，设OG＝t，则CG＝4﹣t，∵将矩形折叠，使点O与点F重合，∴GF＝OG＝t，在Rt△CGF中，22+（4﹣t）2＝t2，解得t＝，即OG的长为．故答案为y＝﹣x+5；2＜x＜8；．23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，在△ABC中截出一个矩形DEFG，使得点D在AB边上，EF在BC边上，点G在AC边上，设EF＝x，矩形DEFG的面积为y．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）直接写出自变量x的取值范围0＜x＜6 ；（3）若DG＝2DE，则矩形DEFG的面积为．【分析】（1）利用勾股定理和等腰三角形的三线合一求得BN、AN，再证明△ADG∽△ABC，得出比例线段，利用x表示出MN，利用矩形的面积求出函数解析式；（2）由题意即可得出答案；（3）由题意得出x＝2（4﹣x），解得x＝，代入函数关系式即可得出答案．【解答】解：（1）如图，过点A作AN⊥BC于点N，交DG于点M，∵AB＝AC＝5，BC＝6，AN⊥BC，∴BN＝CN＝3，AN＝＝＝4，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠ABC，∠AGD＝∠ACB，∴△ADG∽△ABC，∴＝，即＝，∴MN＝4﹣x．∴y＝EF•MN＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x，即y＝﹣x2+4x：（2）0＜x＜6；故答案为：0＜x＜6；（3）若DG＝2DE，则EF＝2MN，∴x＝2（4﹣x），解得：x＝，当x＝时，y＝﹣×（）2+4×＝；故答案为：．24．在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD相交于点O．（1）如图，作射线OM与边BC相交于点E，将射线OM绕点O顺时针旋转90°，得到射线ON，射线ON与边AB相交于点F，连接EF交BO于点G．①直接写出四边形OEBF的面积是16 ；②求证：△OEF是等腰直角三角形；③若OG＝，求OE的长；（2）点P在射线CA上一点，若BP＝2，射线PM与直线BC相交于点E，当CE＝2时，将射线PM绕点P顺时针旋转45°，得到射线PN，射线PN与直线BC相交于点F，请直接写出BF的长或．【分析】（1）①由“SAS”可证△BOF≌△COE，可得S△BFO＝S△CEO，即可求解；②由全等三角形的性质可得OE＝OF，即可得结论；③由面积关系可求S△EFO＝×S四边形OEBF＝，即可求OE的长；（2）过点P作PH⊥BC于H，过点E作EG⊥AC于点G，分两种情况讨论，由正方形的性质和勾股定理可求PH＝10，通过证明△PFH∽△PEG，可得，即可求解．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝BO＝CO，AB＝BC＝8，∠ABO＝∠ACB＝∠DBC＝45°，BO⊥AC，∴AC＝8，∴AO＝OC＝BO＝4∵将射线OM绕点O顺时针旋转90°，得到射线ON，∴∠FOE＝90°＝∠BOC，∴∠BOF＝∠COE，且BO＝CO，∠ABO＝∠BCO，∴△BOF≌△COE（SAS）∴S△BFO＝S△CEO，∴四边形OEBF的面积＝S△OBC＝×4×4＝16，故答案为16；②∵△BOF≌△COE，∴OE＝OF，且∠EOF＝90°，∴△OEF是等腰直角三角形；③∵OG＝，OB＝4，∴BG＝，∵S△BFG：S△FGO＝BG：GO＝7：25，S△BEG：S△EGO＝BG：GO＝7：25，∴S△BEF：S△EFO＝7：25，∴S△EFO＝×S四边形OEBF＝，∴OE2＝，∴OE＝5；（2）如图2，当点E在线段BC上时，过点P作PH⊥BC于H，过点E作EG⊥AC于点G，∵∠ACB＝45°，PH⊥BC，∴∠HPC＝∠PCH＝45°，∴PH＝HC，∵PB2＝PH2+BH2，∴4×26＝PH2+（PH﹣8）2，∴PH＝10，PH＝﹣2（舍去），∴PH＝CH＝10，∴HB＝2，PC＝10，∵EC＝2，EG⊥AC，∠ACB＝45°，∴GC＝＝GE，∴PG＝9，∵∠FPE＝45°＝∠HPC，∴∠FPH＝∠EPG，且∠PHF＝∠PGE，∴△PFH∽△PEG，∴，∴，∴HF＝，∴BF＝2+＝；当点E在BC延长线上时，过点P作PH⊥BC于H，过点E作EG⊥AC于点G，同理可得：PH＝10，EG＝CG＝，△PFH∽△PEG，∴，∴，∴FH＝，∴BF＝2﹣＝，综上所述：BF的长为：或，故答案为：或．25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣8，0），对称轴是直线x＝﹣3，点B是抛物线与y轴交点，点M、N同时从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴的负半轴、y的负半轴方向匀速运动，（当点N到达点B时，点M、N同时停止运动）．过点M作x轴的垂线，交直线AB于点C，连接CN、MN，并作△CMN关于直线MC的对称图形，得到△CMD．设点N运动的时间为t秒，△CMD与△AOB重叠部分的面积为S．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当0＜t＜2时，①求S与t的函数关系式；②直接写出当t＝时，四边形CDMN为正方形；（3）当点D落在边AB上时，过点C作直线EF交抛物线于点E，交x轴于点F，连接EB，当S△CBE：S△ACF＝1：3时，直接写出点E的坐标为（﹣4，﹣6）或（﹣2，﹣6）．【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣8，0），对称轴是直线x＝﹣3，则抛物线与x轴另外一个交点坐标为：（2，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+8）（x﹣2）＝a （x2+6x﹣16），故﹣16a＝﹣4，解得：a＝，即可求解；（2）①OM＝ON＝t，则AM＝8﹣t，∵MC∥y轴，则，即，解得：MC＝（8﹣t），S＝S△MCN＝MC×t＝﹣t2+2t；②MC＝ND＝2t，即可求解；（3）DM＝MN＝t，即（3t﹣8）2+t2＝2t2，解得：t＝2或4，故点C（﹣2，﹣3）；S△：S△ACF＝1：3，EM＝FN，故点C是MN的中点，即可求解．CBE【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣8，0），对称轴是直线x＝﹣3，则抛物线与x轴另外一个交点坐标为：（2，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+8）（x﹣2）＝a（x2+6x﹣16），故﹣16a＝﹣4，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣4；（2）①抛物线的对称轴为：x＝﹣3，OM＝ON＝t，则AM＝8﹣t，∵MC∥y轴，则，即，解得：MC＝（8﹣t），S＝S△MCN＝MC×t＝﹣t2+2t；②四边形CDMN为正方形时，MC＝ND＝2t，即MC＝（8﹣t）＝2t，解得：t＝，故答案为；（3）由点A、B的坐标可得：直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣4，当点D在AB上时，在CD在直线AB上，设点M（﹣t，0），则点M（2t﹣8，﹣t），由题意得：DM＝MN＝t，即（3t﹣8）2+t2＝2t2，解得：t＝2或4，当t＝4时，S△CBE：S△ACF＝1：3不成立，故t＝2，故点C（﹣2，﹣3）；则AC＝3＝3CB，过点E、F分别作AB的垂线交于点M、N，∵S△CBE：S△ACF＝1：3，∴EM＝FN，故点C是MN的中点，设点F（m，0），点C（﹣2，﹣3），由中点公式得：点E（﹣4﹣m，﹣6），将点E的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝0或﹣2，故点E的坐标为：（﹣4，﹣6）或（﹣2，﹣6），故答案为：（﹣4，﹣6）或（﹣2，﹣6）．。
2019-2020年初三第一次阶段性测试数学试卷及答案
2019-2020年初三第一次阶段性测试数学试卷及答案一、填空题：（本大题每题2分，共20分，把答案填写在题中横线上）1、┃π-14.3┃=_____________；若a ＜0，则3322a a a a +++＝____________.2、当a __________时，42-a 无意义；22--x x有意义的条件是_____________. 3、已知一个样本1，2，3，x ，5，它的平均数是3，则这个样本的极差是___________；方差是____________.4、某校九年级上学期期末统一考试后，甲、乙两班的数学成绩（单位：分）的统计情况如下表所示：从各统计指标（平均分、中位数、众数、方差）综合来看，你认为______班的成绩较好。
5、若关于x 的方程22)2()1(2+=--b x a x 有两个相等的实根，则=a ________；=b ________.6、已知菱形ABCD 中对角线AC 、BD 相交于点O ，添加条件______________或_____________可使菱形ABCD 成为正方形.7、已知点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC=1㎝，则线段AB 的长为____________________.8、如图，E 为□ABCD 中AD 边上的一点，将△ABE 沿BE 折叠使得点A 刚好落在BC 边上的F 点处，若AB 为4，ED 为3，则□ABCD 的周长为_________.9、已知：如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE=15°， 则∠BOE=_______°.第8题图 第9题图 第10题图10、如图，折叠直角梯形纸片的上底AD ，点D 落在底边BC 上点F 处，已知DC=8㎝，FC = 4㎝，则EC 长 ㎝.二、选择题:（下列各题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中有且只有一个是正确的，把正确答案的代号填在题后【 】内，每小题2分，共18分） 11、下列各式中与327x --是同类二次根式的是【 】.A 、327x B 、273x - C 、2391x -- D 、3x12、在下列各式的化简中，化简正确的有【 】. ①3a ＝a a ；②5x x -x x ＝4x x ；③6a2b a ＝ab ab 23 ；④24+61＝86 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 13、下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是【 】． A 、若x 2=4，则x ＝2B 、方程x (2x －1)＝2x －1的解为x ＝1C 、若x 2+2x +k =0的一个根为1，则3-＝kD 、若分式1232－＋－x x x 的值为零，则x ＝1，214、若关于x 的方程06)(22=+--x k x x 无实根，则k 可取的最小整数为【 】. A 、5- B 、4- C 、3- D 、2-15、甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填入下表：某同学根据上表分析得出如下结论：(1)甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；(2)乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)；(3)甲班成绩比乙班成绩波动大。
2019-2020学年内蒙古呼和浩特市赛罕区人教版九年级(上)期末数学试卷(解析版)
2019-2020学年内蒙古呼和浩特市赛罕区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）已知点A（a，1）与点B（5，b）是关于原点O的对称点，则（）A．a＝﹣5，b＝﹣1B．a＝﹣5，b＝1C．a＝5，b＝﹣1D．a＝5，b＝1 2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2的对称轴是（）A．y＝1B．x＝﹣1C．x＝l D．y＝﹣13．（3分）向高为10cm的下列容器注水，注满为止，若注水量V（cm3）与水深h（cm）之间的函数关系的图象大致如图，则这个容器是（）A．B．C．D．4．（3分）关于对应关系y＝，下列说法正确的是（）A．不是函数B．是函数C．与函数y＝x是同一函数D．以上选项都不对5．（3分）AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD 间的距离为（）A．1B．7C．1或7D．3或46．（3分）小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（）A．从分别写者数字1，2，3的三个纸团中随机抽取一个，抽中2的概率B．掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数是偶数的概率C．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚正面向上、一枚反面向上的概率D．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到红桃的概率7．（3分）已知点A（﹣1，），O为坐标原点，连结OA．将线段OA绕点O按逆时针方向旋转30°得到线段OA′，则点A′的坐标为（）A．（1，﹣）B．（﹣2，）C．（﹣，2）D．（﹣，1）8．（3分）若关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣B．m≤，且m≠0C．m＜，且m≠0D．m＞9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+2＝0的两个实数根为x1和x2，设t＝，则t的最大值为（）A．﹣4B．4C．﹣6D．610．（3分）如图，在△AOB中，∠ABO＝90°，＝2，反比例函数y＝在第一象限的图象分别交OA、AB于点C、D，且S△BOD＝2，则C的坐标为（）A．（2，4）B．（，2）C．（1，2）D．（，）二、填空（每题3分，共18分）11．（3分）一元二次方程x2+2x﹣3＝0的解为．12．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠OAC的度数为度．13．（3分）二次函数y＝﹣2x2﹣4x+3（x≤﹣2）的最大值为．14．（3分）圆锥的高为2cm，母线长为8cm，则侧面展开图扇形圆心角为度．15．（3分）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的取值范围为﹣1≤y＜0，则a的取值范围为．16．（3分）下列命题：①试验次数越多频率就越接近概率；②汽车是轴对称图形；③直径是圆中最长的弦；④反比例函数y＝（x＞0）的图象是中心对称图形．正确的序号是．三、解答题（共72分）17．（8分）解方程：（1）用配方法解一元二次方程：x2+4x﹣2＝2x+3；（2）解方程：3x（x﹣1）＝2（x﹣1）．18．（7分）甲、乙两同学玩转盘游戏时，把质地相同的两个盘A、B分别平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲、乙两同学分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为偶数时甲胜；数字之积为奇数时乙胜．若指针恰好在分割线上，则需要重新转动转盘．（1）用树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由19．（7分）已知二次函数的解析式是y＝2x2﹣4x+3．（1）用配方法将解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点C的坐标；（2）在直角坐标系中，画出它的大致图象；（3）若点A（1﹣a，y1）和B（2+a，y2）（a＞0）在二次函数图象上，请利用图象直接写出y1与y2的大小关系．20．（8分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若＝，求的值．21．（8分）某市某楼盘准备以每平方米12100元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后（每次降价的百分率相同），决定以每平方米10000元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率（精确到0.01）；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月2元，请问哪种方案更优惠？22．（8分）如图，对角线长为2的正方形ABCD的顶点A，B在x轴正半轴上，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点D，交BC于E．（1）当点E的坐标为（a，）时，求a的值和反比例函数的解析式；（2）一次函数y＝mx+n的图象过D、E两点，连接OD、OE，求△ODE的面积，并利用图象直接写出不等式mx+n﹣＜0的解集．23．（9分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大．24．（8分）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O 于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．25．（9分）如图，已知：直线y＝﹣2x+m（m为常数），抛物线y＝ax2﹣2ax+3的最大值为4，抛物线的顶点为A．（1）当直线经过A点时，求m的值；（2）当直线和抛物线在x轴上方的部分只有一个公共点时，求m的取值范围．（3）当直线与抛物线只有一个公共点D时，设点P是y轴上一动点，求|P A﹣PD|的最大值，并求取得最大值时P点的坐标．2019-2020学年内蒙古呼和浩特市赛罕区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）已知点A（a，1）与点B（5，b）是关于原点O的对称点，则（）A．a＝﹣5，b＝﹣1B．a＝﹣5，b＝1C．a＝5，b＝﹣1D．a＝5，b＝1【分析】本题比较容易，根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．就可以求出a、b的值．【解答】解：根据题意得a＝﹣5，b＝﹣1，故选：A．2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2的对称轴是（）A．y＝1B．x＝﹣1C．x＝l D．y＝﹣1【分析】根据二次函数顶点式得出对称轴即可，注意与对点坐标区分．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2，∴抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2的对称轴是：x＝1．故选：C．3．（3分）向高为10cm的下列容器注水，注满为止，若注水量V（cm3）与水深h（cm）之间的函数关系的图象大致如图，则这个容器是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的图象可知，注水量与水深之间是随着水的深度越大增加的速度越慢的关系进行的．【解答】解：根据函数图象可知，注水量Vcm3与水深hcm之间的关系是注水量Vcm3随着h的增大而增加的速度逐渐减慢，可以得出开始容器由小逐渐变大，即开口越来越大，从图形容器可以看出C符合，故选：C．4．（3分）关于对应关系y＝，下列说法正确的是（）A．不是函数B．是函数C．与函数y＝x是同一函数D．以上选项都不对【分析】利用函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，进而得出答案．【解答】解：A、根据函数的定义，y是x的函数，故A错误；B、根据函数的定义，y是x的函数，故B正确；C、与函数y＝x不是同一函数，自变量一个不可以取0，一个可以取0，故C错误；D、根据函数的定义，y是x的函数，故D错误；故选：B．5．（3分）AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD 间的距离为（）A．1B．7C．1或7D．3或4【分析】过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，由题意可得：OA＝OC＝5，AF＝FB＝3，CE＝ED＝4，E、F、O在一条直线上，EF为AB、CD之间的距离，再分别解Rt△OEC、Rt△OF A，即可得OE、OF的长，然后分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离．【解答】解：①当AB、CD在圆心两侧时；过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上，∴EF为AB、CD之间的距离在Rt△OEC中，由勾股定理可得：OE2＝OC2﹣CE2∴OE＝＝3，在Rt△OF A中，由勾股定理可得：OF2＝OA2﹣AF2∴OF＝＝4，∴EF＝OE+OF＝3+4＝7，AB与CD的距离为7；②当AB、CD在圆心同侧时；同①可得：OE＝3，OF＝4；则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1；综上所述：AB与CD间的距离为1或7．故选：C．6．（3分）小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（）A．从分别写者数字1，2，3的三个纸团中随机抽取一个，抽中2的概率B．掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数是偶数的概率C．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚正面向上、一枚反面向上的概率D．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到红桃的概率【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【解答】解：A、分别写者数字1，2，3的三个纸团中随机抽取一个，抽中2的概率为≈0.33，故此选项符合题意；B、掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数是偶数的概率为，故此选项不符合题意；C、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚正面向上、一枚反面向上的概率，故此选项不符合题意；D、从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到红桃的概率是，故此选项不符合题意．故选：A．7．（3分）已知点A（﹣1，），O为坐标原点，连结OA．将线段OA绕点O按逆时针方向旋转30°得到线段OA′，则点A′的坐标为（）A．（1，﹣）B．（﹣2，）C．（﹣，2）D．（﹣，1）【分析】如图，作AH⊥x轴于H，作A′E⊥x轴于E．解直角三角形求出A′E，OE即可．【解答】解：如图，作AH⊥x轴于H，作A′E⊥x轴于E．∵A（﹣1，），∴OH＝1，AH＝，∴tan∠AOH＝＝，∴∠AOH＝60°，∠OAH＝30°，∴OA＝OA′＝2OH＝2，∵∠AOA′＝30°，∴∠A′OE＝30°，∴A′E＝OA′＝1，OE＝A′E＝，∴A′（﹣，1），故选：D．8．（3分）若关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣B．m≤，且m≠0C．m＜，且m≠0D．m＞【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：△＝4﹣12m＞0，m＜，∵m≠0，∴m＜且m≠0，故选：C．9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+2＝0的两个实数根为x1和x2，设t＝，则t的最大值为（）A．﹣4B．4C．﹣6D．6【分析】根据判别式可求出k的范围，然后将两根之和化简原式即可求出t的最大值．【解答】解：由题意可知：△＝4（k﹣1）2﹣4（k2+2）＝﹣8k﹣4≥0，∴k≤，由根与系数的关系可知：x1+x2＝2（k﹣1），∴t＝＝2﹣，∴t≤6，故选：D．10．（3分）如图，在△AOB中，∠ABO＝90°，＝2，反比例函数y＝在第一象限的图象分别交OA、AB于点C、D，且S△BOD＝2，则C的坐标为（）A．（2，4）B．（，2）C．（1，2）D．（，）【分析】由＝2，可知点A的纵坐标是横坐标的2倍，因此可知点A在直线y＝2x上，由S△BOD＝2，可以确定反比例函数的关系式，两个函数的关系式联立求出交点坐标即可．【解答】解：∵∠ABO＝90°，＝2，设OB＝a，则AB＝2a，∴A（a，2a）∴直线OA的关系式为y＝2x，∵S△BOD＝2，∴|k|＝2，k＞0，∴k＝4，∴反比例函数的关系式为y＝，由题意得，，解得：，（舍去）∴C（，2），故选：B．二、填空（每题3分，共18分）11．（3分）一元二次方程x2+2x﹣3＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1．【分析】先把方程左边分解，然后把原方程化为两个一次方程x+3＝0或x﹣1＝0，再解一次方程即可．【解答】解：（x+3）（x﹣1）＝0，x+3＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣3，x2＝1．故答案为x1＝﹣3，x2＝1．12．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠OAC的度数为30度．【分析】首先根据垂径定理得到OA＝AB，结合等边三角形的性质即可求出∠AOC的度数，进而可求出∠OAC的度数．【解答】解：∵弦AC与半径OB互相平分，∴OA＝AB，∵OA＝OC，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠AOC＝120°，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，故答案为30．13．（3分）二次函数y＝﹣2x2﹣4x+3（x≤﹣2）的最大值为3．【分析】直接利用二次函数的性质结合最值求法进而得出答案．【解答】解：y＝﹣2x2﹣4x+3＝﹣2（x+1）2+5，即x＝﹣1时，二次函数最大，∵x≤﹣2，且抛物线开口向下，∴x＝﹣2时，二次函数最大为：y＝﹣2×（﹣2）2﹣4×（﹣2）+3＝3．故答案为：3．14．（3分）圆锥的高为2cm，母线长为8cm，则侧面展开图扇形圆心角为90度．【分析】首先利用勾股定理求得圆锥的母线长，然后利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求得圆心角的度数即可．【解答】解：∵高为2cm，母线长为8cm，∴圆锥的底面周长为＝2cm，∴＝2×2π，解得：n＝90，故答案为：90．15．（3分）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的取值范围为﹣1≤y＜0，则a的取值范围为1＜a≤2．【分析】函数的顶点D坐标为：（2，﹣1），则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（3，0），从图象可以看出：y的取值范围为﹣1≤y＜0时，1＜a≤2；即可求解．【解答】解：函数图象如下，函数的对称轴为：x＝2，顶点D坐标为：（2，﹣1），则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（3，0），从图象可以看出：y的取值范围为﹣1≤y＜0时，1＜a≤2；故答案为：1＜a≤2．16．（3分）下列命题：①试验次数越多频率就越接近概率；②汽车是轴对称图形；③直径是圆中最长的弦；④反比例函数y＝（x＞0）的图象是中心对称图形．正确的序号是①③④．【分析】根据频率估计概率、轴对称图形的概念、弦的概念、反比例函数的图象判断．【解答】解：①试验次数越多频率就越接近概率，本说法正确；②汽车样式各异，不一定是轴对称图形，本说法错误；③直径是圆中最长的弦，本说法正确；④反比例函数y＝（x＞0）的图象是中心对称图形，本说法正确；故答案为：①③④．三、解答题（共72分）17．（8分）解方程：（1）用配方法解一元二次方程：x2+4x﹣2＝2x+3；（2）解方程：3x（x﹣1）＝2（x﹣1）．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）方程整理，得：x2+2x﹣5＝0，则x2+2x＝5，∴x2+2x+1＝5+1，即（x+1）2＝6，∴x+1＝±，∴x＝﹣1±；（2）∵3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（3x﹣2）＝0，则x﹣1＝0或3x﹣2＝0，解得x＝1或x＝．18．（7分）甲、乙两同学玩转盘游戏时，把质地相同的两个盘A、B分别平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲、乙两同学分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为偶数时甲胜；数字之积为奇数时乙胜．若指针恰好在分割线上，则需要重新转动转盘．（1）用树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由【分析】（1）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出指针所在区域的数字之积为偶数的结果数，然后根据概率公式计算；（2）利用甲胜的概率＝，乙胜的概率＝，从而可判断这个游戏规则对甲、乙双方不公平．【解答】解：（1）画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中指针所在区域的数字之积为偶数的结果数为4，所以甲胜的概率＝＝；（2）这个游戏规则对甲、乙双方不公平．理由如下：∵甲胜的概率＝，乙胜的概率＝，而≠，∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．19．（7分）已知二次函数的解析式是y＝2x2﹣4x+3．（1）用配方法将解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点C的坐标；（2）在直角坐标系中，画出它的大致图象；（3）若点A（1﹣a，y1）和B（2+a，y2）（a＞0）在二次函数图象上，请利用图象直接写出y1与y2的大小关系．【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数定点坐标即可；（2）求出二次函数与y轴交点，进而画出其图象；（3）直接利用二次函数的增减性进而得出答案．【解答】解：（1）y＝2x2﹣4x+3＝2（x2﹣2x）+3＝2（x2﹣2x+1﹣1）+3＝2（x﹣1）2+1，顶点C的坐标（1，1）；（2）当x＝0时，y＝3，图象如图所示：（3）由（1）得抛物线的对称轴为x＝1，∵1﹣（1﹣a）＝a，2+a﹣1＝1+a，且a＞0，∴2+a距离对称轴x＝1的距离远，又∵a＞0，∴y2＞y1．20．（8分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若＝，求的值．【分析】（1）由∠AED＝∠B、∠DAE＝∠CAB利用三角形内角和定理可得出∠ADF＝∠C，结合＝，即可证出△ADF∽△ACG；（2）根据相似三角形的性质可得出＝，由＝可得出＝，再结合FG＝AG﹣AF即可求出的值．【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴∠ADF＝∠C．又∵＝，∴△ADF∽△ACG．（2）∵△ADF∽△ACG，∴＝．∵＝，∴＝，∴＝＝1．21．（8分）某市某楼盘准备以每平方米12100元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后（每次降价的百分率相同），决定以每平方米10000元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率（精确到0.01）；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月2元，请问哪种方案更优惠？【分析】（1）设平均每次下调的百分率为x，则12100（1﹣x）2＝10000，即可求解；（2）①优惠：10000（1﹣0.98）×100＝20000；②优惠：2×100×2×12＝4800，即可求解．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，则12100（1﹣x）2＝10000，解得：x＝9.09%；（2）①优惠：10000（1﹣0.98）×100＝20000；②优惠：2×100×2×12＝4800，故方案①更优惠．22．（8分）如图，对角线长为2的正方形ABCD的顶点A，B在x轴正半轴上，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点D，交BC于E．（1）当点E的坐标为（a，）时，求a的值和反比例函数的解析式；（2）一次函数y＝mx+n的图象过D、E两点，连接OD、OE，求△ODE的面积，并利用图象直接写出不等式mx+n﹣＜0的解集．【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD＝BC＝2，则利用点E的坐标为（a，）可表示出点D的坐标为（a﹣2，2），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到a＝2（a ﹣2），解得a＝3，则D（1，2），E（3，），易得k＝2，从而得到反比例函数解析式；（2）利用S△ODE＝S△OAD+S梯形ABED﹣S△OBE＝S梯形ABED进行计算，然后几何函数图象，写出反比例函数在一次函数图象上方所对应的自变量的范围得到不等式的解集．【解答】解：（1）∵四方形ABCD的对角线长为2，∴AB＝AD＝BC＝2，∵点E的坐标为（a，），∴点D的坐标为（a﹣2，2），∵D点和E点都在反比例函数y＝上，∴a＝2（a﹣2），解得a＝3，∴D（1，2），E（3，），∴k＝1×2＝2，∴反比例函数解析式为y＝；（2）S△ODE＝S△OAD+S梯形ABED﹣S△OBE＝S梯形ABED＝×（+2）×2＝．当0＜x＜1或x＞3时，反比例函数的函数值比一次函数的函数值大，所以不等式mx+n﹣＜0的解集为0＜x＜1或x＞3．23．（9分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大．【分析】设每件涨价x元，则每件的利润是（60﹣40+x）元，所售件数是（300﹣10x）件，总利润为y；设每件降价a元，则每件的利润是（60﹣40﹣a）元，所售件数是（300+20a）件，总利润为w；根据利润＝每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式，根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．【解答】解：设涨价x元，利润为y，则y＝（60﹣40+x）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000＝﹣10（x﹣5）2+6250因此当x＝5时，y有最大值6250．60+5＝65元每件定价为65元时利润最大．设每件降价a元，总利润为w，则w＝（60﹣40﹣a）（300+20a）＝﹣20a2+100a+6000＝﹣20（a﹣2.5）2+6125因此当a＝2.5时，w有最大值6125．每件定价为57.5元时利润最大．综上所知每件定价为65元时利润最大．24．（8分）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O 于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE＝∠DEM＝90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．【解答】（1）证明：连接OD．∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．∵∠OAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠DAE．∴DO∥MN．∵DE⊥MN，∴∠ODE＝∠DEM＝90°．即OD⊥DE．∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．（2）解：∵∠AED＝90°，DE＝6，AE＝3，∴．连接CD．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠AED＝90°．∵∠CAD＝∠DAE，∴△ACD∽△ADE．∴．∴．则AC＝15（cm）．∴⊙O的半径是7.5cm．25．（9分）如图，已知：直线y＝﹣2x+m（m为常数），抛物线y＝ax2﹣2ax+3的最大值为4，抛物线的顶点为A．（1）当直线经过A点时，求m的值；（2）当直线和抛物线在x轴上方的部分只有一个公共点时，求m的取值范围．（3）当直线与抛物线只有一个公共点D时，设点P是y轴上一动点，求|P A﹣PD|的最大值，并求取得最大值时P点的坐标．【分析】（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+3的最大值为4，函数的对称轴为：x＝1，此时y＝a ﹣2a+3＝4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，即可求解；（2）①当直线过（﹣1，0）时，则0＝2+m，解得：m＝﹣2；②当直线过（3，0）时，即0＝﹣6+m，解得：m＝6；③当直线和抛物线只有一个交点时，联立直线和抛物线的表达式并整理得：x2﹣4x+m﹣3＝0，△＝（﹣4）2﹣4（m﹣3）＝0，解得：m＝7，此时交点坐标为：（2，3），即可求解；（3）由（2）知，点D（2，3），连接D、A交y轴于点P，则此时|P A﹣PD|有最大值，即点P为所求点，即可求解．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+3的最大值为4，函数的对称轴为：x＝1，此时y＝a﹣2a+3＝4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；顶点A的坐标为：（1，4）；将点A的坐标代入直线表达式并解得：m＝6；（2）抛物线于x轴的交点坐标为：（﹣1，0）和（3，0）；①当直线过（﹣1，0）时，则0＝2+m，解得：m＝﹣2；②当直线过（3，0）时，即0＝﹣6+m，解得：m＝6；③当直线和抛物线只有一个交点时，联立直线和抛物线的表达式并整理得：x2﹣4x+m﹣3＝0，△＝（﹣4）2﹣4（m﹣3）＝0，解得：m＝7，此时交点坐标为：（2，3），当直线过（3，0）时，直线和抛物线在x轴上方的部分有两个公共点，故﹣2≤m＜6或6＜m≤7；（3）由（2）知，点D（2，3），连接D、A交y轴于点P，则此时|P A﹣PD|有最大值，即点P为所求点，由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝﹣x+5，故点P（0，5）．。
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2019-2020年九年级数学试卷答案
1—10：A,B,B,A,D,B,D,C,C,A, 11—15：3，4
1
，5，（4，4），1， 16．解：原式＝1111)1(+-+÷+-x x x x x （2分）＝x
x x x x 1
1)1(+⋅
+-（4分）＝x －1（6分）
17．解：（1）作图（3分）
（2）∵AB ＝AC ，∠ABC ＝70° ∴∠BAC ＝40°
∵AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线 ∴∠CAD ＝
2
1
∠BAC ＝20° ∵BE 为AC 边上的高 ∴∠BEA ＝90° ∴∠AFE ＝90°－∠CAD ＝70° ∴∠DFB ＝70°（6分）
18．解：设圆锥侧面展开扇形图的圆心角为n °
则180
12
2122⋅=
⋅ππn （5分） ∴n ＝180 ∴圆锥的侧面积为：)(72122
12
2cm ππ=⋅（7分） 直接利用公式πr l 计算不扣分
19．解：0.5米（7分） 20．解：（1）14（2分）
（2）被调查学生的总数为：
200%
10%2530
=-（人）
∴16岁学生人数为：200×（1－10%－25%－40%－20%）＝10（人）（6分）
（3）
4
1
（8分） 21．（1）证明：∵AE 切⊙O 于点A ，
∴∠BAD ＝ 90°
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠BCA ＝90°
∴∠EAC ＝∠B （1分）
∵OB ＝OC ∴∠OCB ＝∠B
∴∠EAC ＝∠OCB
∵∠OCB ＝∠ECD ∴∠EAC ＝∠ECD
又∵∠E 为公共角 ∴△EDC ∽△ECA （4分） （2）解：∵Rt △AOE 中，∠OAE ＝90°，∴tanE ＝
EA OA ＝＝4
3
∴设OA ＝ 3x ，EA ＝ 4x ∴OE ＝ 5x （5分） ∵OC ＝OA ＝3x ∴EC ＝2x （6分） ∵△EDC ∽△ECA ∴
EA
EC
EC ED = ∴ED ＝ x （7分） ∵ED ＝ 2 ∴OA ＝6 ∴⊙O 的半径是6 （8分）
22．解：（1）设2007年初砍伐面积为x 公顷，则2008年、2009年初砍伐面积分别为0.9x
公顷，0.81x 公顷。
（1分）
O
D
A
B C
E
20000-x-0.9x-0.81x=9160（3分） x=4000(公顷)
所以，2007年年初砍伐的森林面积是40000公顷。
（4分）
（2）2007年底收益=16000a+21
×4000a=18000a(元)(5分) 2009年底收益=9160a+2
1
×(20000-9160)a=14580a(元) (6分)
设平均每年减少的百分数为y,
a y a 14580)1(180002
=- （8分） )(9.1,1.021舍去==y y （10分）
所以，2009年底总收益比2007年总收益平均每年减少的百分数是10%。
答：
23．(1)由题意得,AD ＝DH,AE ＝EH,又DE ∥BC, 则∠ADE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠AED,
∴AD ＝AE,可得四边形AEHD 是菱形； （3分） (2) 四边形AEHD 是矩形, （4分） ∵DE 是BG 的中垂线, DE ∥BC ∠GBC ＝180°－90°＝90°, （5分） 则∠FGB ＝∠GBC ＝90°, 同理∠BCF ＝∠GFC ＝90°,
则四边形AEHD 是矩形; （6分） (3) 四边形AEHD 是正方形, （7分） 理由是: △BGD 和△AED 相似,且GD ＝BD, 则△AED 也是一个等腰三角形, ∠ADE ＝∠DBG ,（8分） 又∠ADE ＝∠ABC, ∠GBD ＝∠ABC ＝
1
2
×90＝ 45°; （9分） 由∠AED ＝∠ACB 为锐角得 则∠AED ＝∠ADE ＝ 45°,即AD ＝ AE, （10分） 由AD ＝ DH ，AE ＝ EH,得四边形AEHD 是菱形; 由∠A ＝ 180°－45°×2 ＝ 90°,得菱形AEHD 是正方形 （11分）
24． 解：（1）作CH x ⊥轴，H 为垂足， 1CH =，半径2CB =（1分）
60BCH ∠=，120ACB ∴∠=（2分）
（2）
1CH =，半径2CB =
HB ∴=
(1A ，（4分）
H
G
F
E
C
B
A D
(1B +（5分）
（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P 的坐标为(13)，（6分） 设抛物线解析式2
(1)3y a x =-+（7分）
把点(1B +代入上式，解得1a =-（8分） 222y x x ∴=-++（9分）
（4）假设存在点D 使线段OP 与CD 互相平分，则四边形OCPD 是平行四边形（10分） PC OD ∴∥且PC OD =．
PC y ∥轴，∴点D 在y 轴上．（11分） 又
2PC =，2OD ∴=，即(02)D ，．
又(02)D ，满足2
22y x x =-++，
∴点D 在抛物线上
所以存在(02)D ，使线段OP 与CD 互相平分．
（12分）。