人教版九年级上册数学知识点总结

人教版九年级上册数学知识点总结

21.1 一元二次方程

易错点：① a≠0 和a=0 ②方程两个根的取舍

知识点一 :一元二次方程的定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：

①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

知识点二 :一元二次方程的一般形式: 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

知识点三 :一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

21.2 降次——解一元二次方程

21.2.1 配方法

知识点一 :直接开平方法解一元二次方程

（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般

地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x

1=a,x

2

=a

-.

（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二 :配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）方程两边都除以二次项系数；

（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；

（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

21.2.2 公式法

知识点一 :公式法解一元二次方程

（1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为

x=

a ac

b b

2

4 2

-

±

-

，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a

≠0)的过程。

（3） 公式法解一元二次方程的具体步骤：

① 方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0(a ≠0)，一般a 化为正值 ② 确定公式中a,b,c 的值，注意符号； ③ 求出b2-4ac 的值；

④ 若b2-4ac ≥0，则把a,b,c 和b-4ac 的值代入公式即可求解，若b2-4ac ＜0，则方程无实数根(有虚数根-- 高中学)。

知识点二 :一元二次方程根的判别式

式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它， 即△=b 2-4ac.

△＞0，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个不相等的实数根

△=0，方程ax 2

+bx+c=0(a ≠0)有两个相等的实数根

△＜0，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)无实数根

21.2．3 因式分解法

知识点一 :因式分解法解一元二次方程

（1） 把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元

一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。

（2） 因式分解法的详细步骤：

① 移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；

② 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； ③ 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。

21.2.4 :一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程x 2+px+q=0的两个根为x 1,x 2,则有x 1+x 2=-p,x 1x 2=q. 若一元二次方程a 2x+bx+c=0(a ≠0)有两个实数根x 1,x 2,则有x 1+x 2=，a b

,x 1x 2=a

c 21.3 实际问题与一元二次方程

知识点一 :列一元二次方程解应用题的一般步骤：

（1） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。 （2） 设：是指设元，也就是设出未知数。

（3） 列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后

根的 判别式

列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。

（4） 解：就是解方程，求出未知数的值。

（5） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 （6） 答：写出答案。

知识点二 :列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1） 数字问题

三个连续整数：若设中间的一个数为x ，则另两个数分别为x-1，x+1。 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x ，则另两个数分别为x-2,x+2。

三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c ，则这个三位数是100a+10b+c. （2） 增长率问题

设初始量为a ，终止量为b ，平均增长率或平均降低率为x ，则经过两次的增长或降低 后的等量关系为a （1x ±）2=b 。 （3）利润问题

利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销 售量；③利润=成本×利润率 （4）图形的面积问题

根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数 式表示出来，建立一元二次方程。 22. :二次函数知识点归纳

一、相关概念及定义

1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，

，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，

可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：

（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．

（2）a b c ，

，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数各种形式之间的变换

1、二次函数c bx ax y ++=2

用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中a

b a

c k a b h 4422-=-=，.

2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2

h x a y -=；④

()k h x a y +-=2

；⑤c bx ax y ++=2. 三、二次函数解析式的表示方法

1、一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

2、顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

3、两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.

4、注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法

1、五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴

的交点()0c ，

、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.