16.2 二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法 同步练习
16.2+二次根式的运算+小题训练2024-2025学年沪科版数学八年级下册
16.2 二次根式的运算1.二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法1．.下列各等式成立的是（）A．4√5×2√5=8√5B．5√3×4√2=20√5C．4√3×3√2=7√5D．5√3×4√2=20√62．.一个长方形的长和宽分别是√10cm和2√2cm,则这个长方形的面积为__________cm2. 3．.计算:（1）√16×7;（2）√12×√24;（3）5√x⋅2√x3(x≥0);（4）2b √ab⋅(−32√a3b)(a≥0,b>0).4．.计算:（1）√8×√15×√20;（2）−5√827×√112×3.5．.计算：（1）√14×√7；（2）3√5×2√10；（3）√3x⋅√13xy．6．.比较下面两个数的大小:−2√3和−3√2.16.2 二次根式的运算1.二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法1．D2．4√53．（1）解:原式=4√7.（2）原式=√12×24=√12=2√3.（3）原式=10√x4=10x2.（4）原式=−3b √a4b2=−3b⋅a2⋅b=−3a2.4．（1）解:原式=√8×15×20=√16×25×6=20√6.（2）原式=−15√827×32=−15√49=−15×23=−10.5．（1）解：原式=√7×7×2=7√2. （2）原式=6√25×2=30√2.（3）原式=√x2y=x√y．6．解:2√3=√22×√3=√22×3=√12, 3√2=√32×√2=√32×2=√18.∵12<18,∴√12<√18,∴−√12>−√18,∴−2√3>−3√2.第2课时二次根式的除法1．.下列根式中,不是最简二次根式的是（）A．√10B．√8C．√6D．√52．.若二次根式√3a+5是最简二次根式,则正整数a的最小值为________. 3．.已知长方形的面积是24,其中一边长为2√3,则其邻边长是__________. 4．.计算：（1）√24√3；（2）√32÷√118．5．.化简：（1）√3100；（2）√7527．6．.计算:（1）√48√6;（2）√63√15;（3）√3+√2√3.7．.计算:（1）4√5÷(−5√145); （2）5√180÷2√5÷√3;（3）√27÷√18×√2;（4）√12÷(−√12)×3√24.第2课时 二次根式的除法1．B2．23．4√34．（1） 解：原式=√8=2√2．（2） 原式=√32×18=√27=3√3．5．（1） 解：原式=√3√100=√310． （2） 原式=√259=53．6．（1） 解:原式=√486=√8=2√2.（2） 原式=23√615=23√25=23√2×55×5=23×√105=215√10. （3） 原式=√3+√2)×√3√3×√3=3+√63.7．（1） 解:原式=−4√5÷(5√95)=−45×√5×59=−45×53=−43.（2） 原式=52×√180×15×13=52×√12=52×2√3=5√3.（3） 原式=√27×118×2=√3. （4） 原式=−3√12×112×24=−3.2.二次根式的加减第1课时二次根式的加减1．.计算3√2+√2的结果是（）A．5 B．6 C．4√2D．2√22．.下列二次根式中可以与√5合并的是（）A．√10B．√20C．√15D．√253．.下列计算正确的是（）A．5√3−4√3=1B．√2+√3=√5C．√8−√2=√2D．3+2√2=5√24．.三角形的三边长分别为√20cm,√40cm,√45cm,则这个三角形的周长为____________________cm. 5．.计算:（1）5√8−2√27+√18;√45.（2）2√18−√50+136．[2024武汉模拟].计算：（1）(√20+√18)−(√8−√125)；（2）√8x−6√x18+2x√2x．2.二次根式的加减第1课时二次根式的加减1．C 2．B 3．C4．(5√5+2√10)5．（1）解:原式=10√2−6√3+3√2=13√2−6√3.（2）原式=6√2−5√2+√5=√2+√5.6．（1）解：原式=2√5+3√2−2√2+5√5=7√5+√2．（2）原式=2√2x−√2x+2√2x=3√2x．第2课时二次根式的混合运算1．.计算√2(√3−√12)的结果为（）A．√6B．−√6C．√6−6D．6−√62．.计算(√3+√5)(√3−√5)的结果为（）A．2 B．−2C．√3D．√53．.计算:(√2+√3)2−√24=________.4．.计算:（1）√12÷√3−√6×2√3;（2）√48÷(−√3)−√12×√12+√24.5．.已知x=√3+1,y=√3−1,求下列各式的值:（1）x2+2xy+y2;（2）x2−y2.6．.先化简，再求值：2(a+√5)(a−√5)−a(a−4)+14，其中a=√6−2．第2课时二次根式的混合运算1．B 2．B3．54．（1）解:原式=2−2√18=2−6√2.（2）原式=−4−√6+2√6=√6−4.5．（1）解:原式=(x+y)2=(√3+1+√3−1)2=(2√3)2=12.（2）原式=(x+y)(x−y)=[(√3+1)+(√3−1)][(√3+1)−(√3−1)] =2√3×2=4√3.6．解：原式=2(a2−5)−(a2−4a)+14=2a2−10−a2+4a+14=a2+4a+4=(a+2)2．当a=√6−2时，原式=(√6−2+2)2=6．。
2022-2023学年八年级数学下册《 二次根式的乘除》精讲与精练高分突破含答案解析
2．（2022秋·吉林长春·九年级长春市第四十五中学校考期末）计算()()154154-+，结果为（ ）A ．1-B ．1C ．11-D ．113．（2022春·八年级课时练习）计算：(1)818⨯(2)0.10.4⨯(3)322411⨯(4)243题型二：二次根式的除法4．（2022秋·重庆大渡口·九年级校考期末）估计()4233+÷的值应在（ ）A ．2到3之间B ．3到4之间C ．4到5之间D ．5到6之间5．（2023春·八年级课时练习）下列各式计算正确的是（ ）A ．2739÷=B ．48163÷=C ．2044÷=D ．413239÷=6．（2023春·全国·八年级专题练习）某直角三角形的面积为55，其中一条直角边长为10，则其中另一直角边长为（ ）A ．25B ．52C ．55D ．210题型三：二次根式的乘除混算7．（2022秋·河南驻马店·八年级校联考期中）计算：(1)()622-÷(2)()16215362-⨯-(3)2421656++(4)()()()2233232-++⨯-8．（2023春·八年级）计算：(1)21437⨯(2)25136÷(3)954312612÷⨯(4)333123b ab a b a ⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．9．（2023春·八年级）计算：(1)()12712453-+⨯；(2)()()6565-⨯+；(3)148312242÷-⨯+；(4)()()20222723321π---⨯-+-．题型四：最简二次根式的判断10．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级校考期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A ．9aB ．23a C ．12a +D ．22a b -11．（2022秋·上海闵行·八年级校考阶段练习）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．3ab B ．3a b +C ．222a b ab+-D ．8a12．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）在二次根式45、32x 、11、52、4x中，最简二次根式的个数是（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．5题型五：化为最简二次根式问题13．（2023春·全国·八年级专题练习）将632化为最简二次根式，其结果是（ ）A ．632B ．1262C ．9142D ．314214．（2022春·山东泰安·八年级统考期末）下列二次根式：①50；②12；③32；④40．将它们都化为最简二次根式后，同类二次根式是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④15．（2022春·贵州黔南·八年级校考期末）二次根式2221,12,2,5,3x x x y ++中，最简二次根式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个题型六：已知最简二次根式求参数三、解答题+ 40．（2022·全国·八年级专题练习）若实数m、n满足2m n 41．（2023春·八年级课时练习）计算：V的面积；(1)如图1，利用秦九韶公式求ABCV的两条角平分线AD，BE交于点O，求点O (2)如图2，ABC（2）解：0.10.4⨯0.10.4=⨯0.04=0.2=；（3）解：322411⨯111241=⨯12=22=；（4）解：243243=8=22=．【点睛】本题考查二次根式的乘法和除法．掌握二次根式的乘法和除法的运算法则是解题关键．4．C【分析】先根据二次根式的除法进行计算()4233+÷，然后估算14的大小即可求解．【详解】解：∵()4233+÷141=+，∵3144<<∴41415<+<故选C【点睛】本题考查了二次根式的除法，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键．5．B【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可．【详解】解：A ．27393÷==，选项不正确，不符合题意；B ．48163÷=，选项正确，符合题意；C ．2045¸=，选项不正确，不符合题意；D ．41491223393¸=´==，选项不正确，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．6．B【分析】利用三角形的面积公式列式计算即可．【详解】解：由题意得，其中另一直角边长为：105102551052102⨯÷===，故选：B ．【点睛】此题考查二次根式的除法，掌握三角形的面积公式是解决问题的关键．7．(1)31-(2)65-(3)13(4)426-【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则，分母有理化计算即可；（2）利用乘法分配律计算()62153-⨯，利用分数的性质和二次根式的性质化简162；（3）根据二次根式除法和运算法则和分母有理化化简242166+，再计算与5的和即可；（4）先利用完全平方公式、平方差公式分别进行计算，再求和即可．【详解】（1）()622-÷6222=÷-÷31=-（2）()16215362-⨯-263215362=⨯-⨯-⨯1842325=--326532=--65=-（3）2421656++(2462166)5=÷+÷+4365=++265=++13=（4）()()()2233232-++⨯-2222(2)223(3)(3)2=-⨯⨯++-226334=-++-426=-【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．8．(1)422(2)2(3)36(4)292a b ab -【分析】（1）根据二次根式的乘法运算进行计算即可求解；（2）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解；（3）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解；（4）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解．【详解】（1）2143⨯7=2672⨯42=2；（2）25136÷5536=÷5635=⨯2=（3）954312612÷⨯954312126=÷⨯112=36=；（4）333123b ab a b a ⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3392a ab a b b=-⋅⋅=292a b ab -．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．9．(1)115+(2)1(3)46+(4)1【分析】（1）先用乘法分配律，再利用二次根式的乘法法则，最后合并同类二次根式即可；（2）利用平方差公式计算即可；（3）先算二次根式的乘除法，再算加减法即可；（4）先算乘方和绝对值，再化简各个二次根式最后算加减法即可．【详解】（1）解：()12712453-+⨯111271245333=⨯-⨯+⨯9415=-+3215=-+115=+；（2）解：()()6565-⨯+65=-1=；（3）解：148312242÷-⨯+16626=-+4626=-+46=+；（4）解：()()020222723321π---⨯-+-3323311=--⨯+332331=--+1=．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算以及二次根式的性质，掌握二次根式混合运算法则是关键．10．D【分析】直接根据最简二次根式的定义进行判断即可．【详解】A 、93a a =，故不符合题意；B 、233a a =，故不符合题意；C 、12222a a ++=，故不符合题意；D 、22ab -是最简二次根式；故选：D ．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，同时满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．熟记最简二次根式的定义是解题的关键．11．B【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、3ab b ab =，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B 、3a b +是最简二次根式，故本选项符合题意；C 、()2222a b ab a b a b +-=-=-，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D 、822a a =，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．12．A【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，解答即可．【详解】解： 4535=，32x 2x x =，4x 2x =，∴最简二次根式有：11、52共两个．故选：A ．【点睛】本题考查二次根，熟练掌握最简二次根的性质是解题关键．13．D【分析】根据二次根式的化简方法即可得．【详解】解：原式6327922242312⨯⨯⨯===⨯，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键．14．A【分析】先将各式化为最简二次根式，再结合同类二次根式的定义解答．【详解】解：①50=52；②12=22；③36=22；④40=21052 与22是同类二次根式，故选：A ．【点睛】本题考查最简二次根式、同类二次根式等知识，最简二次根式满足两个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．15．B【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含有能开得尽方的因式或因数，被开方数不含有分母），判断即可．【详解】解：∵1233=，1223=､255||x x =，∴在2221,12,2,5,3x x x y ++中，最简二次根式有2x +，22x y +，共2个，故选：B ．【点睛】本题考查了对最简二次根式的理解，能熟练地运用定义进行判断是解此题的关键．16．D【分析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可列出二元一次方程组，再解出即可．【详解】根据题意可知3102a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：31a b =⎧⎨=⎩，∴314a b +=+=．故选D ．【点睛】此题考查最简二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键．17．B【分析】把a 的值依次代入即可判断求解．【详解】当a=6时，42a -=22，不能与2可以合并，当a=5时，42a -=1832=，能与2可以合并，当a=4时，42a -=14，不能与2可以合并，当a=2时，42a -=6，不能与2可以合并，故选B ．【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式的化简方法．18．D【分析】先将8化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得．【详解】解：822=，22 与最简二次根式1m +能合并，12m ∴+=，解得1m =，故选：D ．【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键．19．D【分析】根据二次根式性质化简关判定A 、B ；根据二次根式乘法法则计算并判定C ；根据二次根式除法法则计算并判定D ．【详解】解：A 、()222-=，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、1374=93，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、322366⨯=，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、4312=2÷，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查二次根式化简及乘除运算，熟练掌握二次根的性质与乘除运算法则是解题的关键．20．A【分析】已知226a b ab +=，变形可得28a b ab +=（），24a b ab -=（），可以得出a b +（）和a b -（）的值，即可得出答案．【详解】解：∵226a b ab +=，∴28a b ab +=（），24a b ab -=（），∵0a b >>，∴8a b ab +=，4a b ab -=，∴824a b ab a b ab+==-，故选：A ．【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，完全平方公式的变形求值，二次根式的除法，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a 、b 的大小关系以及本身的正负关系．21．C【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的运算可进行排除选项．【详解】解：①497648=，原计算错误，②()3322-=-，原计算正确；③1823÷=，原计算错误；④52535+-=，原计算正确；⑤()()5352510156+-=-+-，原计算错误；∴正确的有2个；故选C ．【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根、二次根式的运算，熟练掌握算术平方根、立方根、二次根式的运算是解题的关键．22．A【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式即可求解．【详解】解：由题意得：()60060x x x x ⎧-≥⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得：6x ≥，故选A ．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，能够熟练运用二次根式被开方数的非负性列不等式是解题关键．23．A【分析】根据立方根的性质化简、平方根的完全平方公式和性质，即可解答．【详解】解：A 、335050>-<，，故3355≠-，故选项错误．B 、3273=644--，故选项正确．C 、(32)(32)1+-=，故选项正确．D 、(4)(3)43-⨯-=⨯，故选项正确．故选：A ．【点睛】本题考查了平方根和立方根的性质，注意：负数开立方还是负数．24．A【分析】根据二次根式的乘法法则ab a b =⋅成立的条件为0a ≥且0b ≥，即可确定答案．【详解】解：根据题意，可得1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解不等式组，得 1x ≥，所以，等式2111x x x -=+⋅-成立的条件是1x ≥．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则和解一元一次不等式组，理解二次根式有意义的条件是解题关键．25．(1)46(2)32-(3)3a【分析】（1）根据二次根式的除法计算法则求解即可；（2）根据二次根式的除法计算法则求解即可；（3）根据二次根式的除法计算法则求解即可．【详解】（1）解：原式2723=÷224=46=；（2）解：原式55354=-÷55435=-⨯18=-32=-；（3）解：原式33b ab a=÷ 33a ab b=⨯29a =3=a ．【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键．26．623-【分析】直接将31a =+，31b =-代入2ab b +进行计算即可．【详解】解： 31a =+，31b =-，2ab b ∴+()()()2313131=+-+-()313231=-+-+2423=+-623=-，故答案为：623-．【点睛】本题考查了求代数的值、二次根式的乘法，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．27．B【分析】利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可．【详解】解：2243⨯-2263=⨯-433=-，33=∵252736<<，∴5276<<，即5336<<，∴2243⨯-的值应在5和6之间，故选：B【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出27的范围是解此题的关键．28．A【分析】先确定出m ，n 的值，再通过计算求解此题．【详解】解：∵2的整数部分是1，∴2的小数部分是21-，即21m -＝，∵8的整数部分是2，即2n ＝，∴()2222211==-+（），故选：A ．【点睛】此题考查了实数的估算与计算能力以及乘方，关键是能准确理解并运用相关知识．29．D【分析】通过观察，得出第n 项为：41n -，再根据31199=，得出方程4199n -=，解出即可得出答案．【详解】解：∵数列371115，，，，…，∴通过观察，可得：第n 项为：41n -，∵31191191199=⨯=⨯=，∴4199n -=，解得：25n =，∴311是它的第25项．故选：D【点睛】本题考查了数字规律问题、二次根式的乘法，解本题的关键在正确找出已知数列的规律．30．D【分析】根据二次根式的乘法计算法则求解即可．【详解】解：∵711a b ==，，∴111170.1171001010ab a ⨯=⨯=⨯=，故选D ．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键．31．D【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进行判断即可．【详解】解：A 、原式22=，不符合题意．B 、原式14x x =，不符合题意．C 、原式32y =，不符合题意．D 、22x xy y ++是最简二次根式，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的概念，本题属于基础题型．32．C【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析判断即可求解．【详解】A. 1223x x =不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意；B.()2222x xy y x y x y ++=+=+，不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意；C.22x y +，是最简二次根式，故该选项正确，符合题意； D. 1=x x x，含有分母，故不是最简二次根式．故选：C ．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．33．5x >##5x<【分析】利用二次根式商的性质，商的算术平方根等于算术平方根的商，其中要满足的条件是分子的被开方数必须大于等于0，分母的被开方数大于0，列出关于x 的一元一次不等式组求解即可．【详解】要使4455x x x x --=--有意义，则4050x x -≥⎧⎨->⎩，解得：5x >，故答案为：5x >．【点睛】本题考查了二次根式商的性质，掌握二次根式商的性质是解题的关键．34．2ab b【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：∵0a >，0b >，∴2342a b ab b =．故答案为：2ab b ．【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念与化简，掌握二次根式的性质是解题关键．35． 2 625- 4 5【分析】（1）根据平方差公式和二次根式的运算法则求解即可；（2）根据完全平方公式和二次根式的运算法则求解即可；（3）根据二次根式的性质和除法运算法则求解即可；（4）根据二次根式的性质和乘法运算法则求解即可．【详解】解：（1）()()3131312-+=-=故答案为：2；（2）()2515251625-=-+=-，故答案为：625-；（3）483164÷==，故答案为：4；（4）1502552⨯==故答案为：5．【点睛】此题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法和除法运算法则，平方差公式和完全平方公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．36．2y-【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可．【详解】解：22212124233y y x x y y x x⋅=⋅==，∵0y <，∴212223y x y y x⋅==-，故答案为：2y -．【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．37．63【分析】设ABC V 底边上的高为h ，根据三角形的面积公式12S ah =列方程求解即可．【详解】解：设ABC V 底边上的高为h ，根据题意，得123182h ⨯=，解得：63h =，故答案为：63．【点睛】本题考查解一元一次方程、二次根式的除法运算、三角形的面积公式，正确计算是解答的关键．38．15【分析】根据二次根式的运算法则即可进行解答．【详解】解：2y y x x xy x x=⋅=，∵35x y ==，，∴原式3515=⨯=．【点睛】本题主要考查了二次根式的运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义，性质和运算法则．39．3【分析】根据题意和图形中的数据，可以发现数字的变化规律，从而可以得到()82，与()100100，表示的两个数，进而()82，与()100100，表示的两个数的积，本题得以解决．【详解】解：由题意可得：每三个数一循环，1,2,3，()82，在数列中是第()1772230+⨯÷+=个，30310÷=，()82，表示的数正好是第10轮的最后一个，即()82，表示的数是3，由题意可得：每三个数一循环，1,2,3，()100100，在数列中是第()1999921005050+⨯÷+=个，5050316831÷=⋯，()100100，表示的数正好是第1684轮的第一个，即()100100，表示的数是1，故（()82，与()100100，表示的两个数的积是：313⨯=．故答案为3．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的两个数的乘积．40．1113±【分析】先根据2710m n m n +-+--=求出8353m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，然后求出4m n +的值，即可得出答案．【详解】解：∵2710m n m n +-+--=，∴27010m n m n +-=⎧⎨--=⎩，解得：8353m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴853744333m n +=⨯+=，373的平方根为3711133±=±，即4m n +的平方根是1113±．【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性和绝对值的非负性，求代数式的值，求平方根，解题的关键是根据算术平方根的非负性和绝对值的非负性求出m 、n 的值．41．(1)46+(2)2【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质化简，进而得出答案；（2）将原式用平方差公式化简，再求值即可【详解】（1）解：148318243÷-⨯+148318263=÷-⨯+16626=-+46=+（2）03(51)(51)(2)27+-+--()25113=-+-53=-2=【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和混合运算法则．42．(1)22(2)63(3)62(4)269(5)3(6)0.092(7)32(8)255【详解】（1）()211|11|-+-1111=+，22=；（2）108363=⨯，63=；（3）2382+648=+，72=，362=⨯，62=；（4）82783273⨯=⨯，4681⨯=，269=；（5）333333⨯=⨯，3=；（6）0.060.27⨯0.010.812=⨯⨯，0.10.92=⨯，0.092=；（7）114-34=，32=；（8）41154点O 为ABC V 的角平分线交点，∴点O 到AB ，AC ，BC 的距离相等，长度为设,OF h =，则ABC ACO S S =+V V 111。
2022-2023学年人教版八年级数学下册《16-2二次根式的乘除》同步练习题(附答案)
2022-2023学年人教版八年级数学下册《16.2二次根式的乘除》同步练习题（附答案）一．选择题1．下列运算中不正确的是（）A．B．C．D．2．计算的结果是（）A．16B．±16C．4D．±43．下列运算中，正确的是（）A．B．C．（a3b4）2＝a6b8D．4．下列根式中的最简二次根式是（）A．B．C．D．5．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．6．下列说法：（1）无理数包含正无理数、零、负无理数；（2）的算术平方根为2；（3）为最简二次根式；（4）实数和数轴上的点是一一对应的；（5）﹣a2一定有平方根，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．的倒数是（）A．B．C．D．8．的一个有理化因式是（）A．B．+C．﹣D．二．填空题9．二次根式中：、、、是最简二次根式的是．10．化简为最简二次根式的结果是．11．化简：＝．12．计算：＝．13．计算：＝．14．化简的结果是．15．分母有理化：＝．16．将（a＞0，b＞0）化为最简二次根式：．17．化简：＝．18．已知长方形的面积为12，其中一边长为，则该长方形的另一边长为．19．已知等式成立，化简|x﹣6|+的结果为．三．解答题20．计算：（1）；（2）．21．计算：÷．22．计算：2×÷．23．计算：×4÷．24．计算：3÷（•）．25．计算：．26．请阅读下列材料：形如的式子的化简，我们只要找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，那么便有（a ＞b）．例如：化简．解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，所以．请根据材料解答下列问题：（1）填空：＝．（2）化简：（请写出计算过程）．参考答案一．选择题1．解：根据二次根式的性质知，A、B、C都正确，D.表示4的算术平方根，则＝2，故D错误，符合题意．故选：D．2．解：原式＝＝＝4．故选：C．3．解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、（a3b4）2＝a6b8，故C符合题意；D、a6bc÷a﹣2b＝a8c，故D不符合题意；故选：C．4．解：A.符合最简二次根式的定义，因此是最简二次根式，所以选项A符合题意；B.＝2，因此选项B不符合题意；C.＝，因此选项C不符合题意；D.＝|m|，因此选项D不符合题意；故选：A．5．解：A．＝＝3，选项A不符合题意；B．＝＝，选项B不符合题意；C．是最简二次根式，选项C符合题意；D．＝＝a2，选项D不符合题意；故选：C．6．解：（1）无理数包含正无理数和负无理数，故（1）不正确；（2）的算术平方根为2，故（2）正确；（3）＝＝，故（3）不正确；（4）实数和数轴上的点是一一对应的，故（4）正确；（5）﹣a2一定有平方根，故（5）正确；所以，上列说法其中正确的有3个，故选：C．7．解：+1的倒数是＝﹣1．故选：C．8．解：A.，那么是的一个有理化因式，故A符合题意．B．根据二次根式的乘法法则，不是的一个有理化因式，故B不符合题意．C．根据二次根式的乘法法则，不是的一个有理化因式，故C不符合题意．D．根据二次根式的乘法法则，，得不是的一个有理化因式，故D不符合题意．故选：A．二．填空题9．解：＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，＝2，＝|x|，被开方数中含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式，是最简二次根式，故答案为：．10．解：6＝＝＝2．故答案为：2．11．解：原式＝＝＝6．故答案为：6．12．解：原式＝＝＝6x．故答案为：6x．13．解：原式＝×＝2＝2×＝1．故答案为：1．14．解：＝＝＝．故答案为：．15．解：原式＝＝﹣3﹣，故答案为：﹣3﹣．16．解：∵a＞0，b＞0，∴＝．故答案为：．17．解：∵x﹣2＞0，∴x＞2，1﹣x＜0，原式化简为：x﹣2+x﹣1＝2x﹣3，故答案为：2x﹣3．18．解：∵长方形的面积为12，其中一边长为，∴该长方形的另一边长为：12÷2＝3．故答案为：3．19．解：∵等式成立，∴，解得：3＜x≤5，∴|x﹣6|+＝6﹣x+x﹣2＝4．故答案为：4．三．解答题20．解：（1）原式＝＝＝6；（2）原式＝＝＝3．21．解：原式＝÷＝•＝．22．解：2×÷＝2＝2＝．23．解：原式＝2×4×÷4＝8÷4＝2．24．解：原式＝÷＝．25．解：原式＝÷•2m＝．26．解：（1）＝＝；故答案为：﹣；（2）首先把化为，这里m＝21，n＝108，∵9+12＝21，9×12＝108，即，∴．。
2023-2024学年人教版 八年级数学下册16.2二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法作业课件
9．(6 分)化简： (1) 36×81 ；
(2) （－5）×（－40） ；
解：原式＝54
解：原式＝10 2
(3) 12m3n2 (m≥0，n≥0).
解：原式＝2mn 3m
一、选择题(每小题 4 分，共 12 分)
10．下列各数中，与 3 5 的积为有理数的是( C )
A． 2 B． 3 C． 5 D． 6
解 ：(1)∵ 2 ＝ 1×2 ， 6 ＝ 2×3 ， 2 3 ＝ 12 ＝ 3×4 ，2 5 ＝ 20 ＝ 4×5 ，……，∴第 n 个式子是 n（n＋1）
(2) 这 列 数 前 8 个 二 次 根 式 的 积 为 1×2 × 2×3 × 3×4 × 4×5 × 5×6 × 6×7 × 7×8 × 8×9 ＝2×3×4×5×6×7×8×3＝120 960
11．若 50 · a 的值是一个整数，则正整数 a 的最小值是( B )
A．1 B．2 C．3 D．5
12．将式子(a－1)
1 1－a
中根号外的式子移入根号内的正确结果是(
C
)
A． 1－a B． a－1
C．－ 1－a D．－ a－1
二、填空题(每小题 4 分，共 8 分)
13．化简： 32×53×6 ＝___1_5___3_0____． 14．若点 P(x，y)在第二象限内，则化简 x2y 的结果是__－__x___y____．
cm，那么这个直角三角形的面积为__3__6____cm2.
4．(6 分)(教材 P7 例 3 变式)计算下列各题：
(1) 3 × 5 ；
(2)
3 2
×
24
；
解：原式＝ 15
解：原式＝ 36 ＝6
(3)6 8 ×(－3 2 ); 解：原式＝－72
二次根式的乘除练习题(含答案)
第十六章 二次根式16.2 二次根式的乘除1．下列二次根式中，最简二次根式是 A 23aB 13C 153D 1432．如果mn >0，n <0，下列等式中成立的有｡ mn m n =1n m m n =m m n n=1m m n mn =-．A ．均不成立B ．1个C ．2个D ．3个3．下列各组二次根式化成最简二次根式后，被开方数完全相同的是 A ab 2abB mn 11m n+ C 22m n +22m n - D 3289a b 3489a b 4．下列等式不成立的是 A ．2×36B 8÷2=4C 1333D 8×2=453x x-3x x -，则x 的取值范围是A ．x <3B ．x ≤3C ．0≤x <3D ．x ≥06结果为A ．B ．C ．D ．7=x 的取值范围是__________．8．计算：=__________．9=__________．10．下列二次根式：． 其中是最简二次根式的是__________．（只填序号）11．计算：-=__________．12．200020012)2)+⋅-=__________． 13．计算：（1；（2）- 14．计算：（123）4）．15．计算（1）1223452533÷⨯；（2）21123(15)3825⨯-÷； （3）282(0)aa b ab a b÷⨯>；（4）27506⨯÷．16．当x <03x y -等于A ．xyB ．xC ．-xy -D ．-xy 179520的结果是 A ．32B 32C 532D ．5218．计算8(223)÷-⨯的结果是A ．26B ．33C ．32D ．6219．下列运算正确的是A 222253535315⨯==⨯=B 22224343431-=-=-=C．2510 5=D．(4)(16)416(2)(4)8-⨯-=-+-=-⨯-=20．若22m n+-和3223m n-+都是最简二次根式，则m=__________，n=__________．21．一个圆锥的底面积是26cm2，高是43cm，那么这个圆锥的体积是__________．22．计算：263⨯+（3-2）2-2（2-6）．23．方老师想设计一个长方形纸片，已知长方形的长是140πcm，宽是35πcm，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助方老师求出圆的半径．24．（2018·甘肃兰州）下列二次根式中，是最简二次根式的是A．18B．13C．27D．1225．（2018·湖南益阳）123=⨯__________．26．（2018·江苏镇江）计算：182⨯=__________．1．【答案】D【解析】A a |，可化简；B ==C ==，可化简；因此只有D ： =，不能开方，符合最简二次根式的条件．故选D ．2．【答案】C【解析】根据题意，可知mn >0，n <0，所以可得m <0，根据二次根式的乘法的性质，可知m ≥0，n ≥0，=1，故②正确；根据二次根式除法的性质，可知m ≥0，n >0=-m ，故④正确．故选C ． 3．【答案】D【解析】选项A 的被开方数不相同；选项B 的被开方数不相同；选项C ，不能够化简，被开方数不相同；选项D ，=23，23ab D ．4．【答案】B【解析】选项A 、C 、D 正确；选项B 2=，选项B 错误，故选B ． 5．【答案】C【解析】根据题意得：030x x ≥⎧⎨->⎩，解得：03x ≤<．故选C ．6．【答案】B【解析】原式==，故选B ．9．【答案】7120.091960.091960.31470.361440.361440.61212⨯==⨯=⨯．故答案为：712．10．【答案】①⑥【解析】最简二次根式是满足下列条件的二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数.由此可得①⑥是二次根式，故答案为：①⑥． 11．【答案】-5【解析】原式48332731639495=÷-÷==-=-．故答案为：5-．123+2【解析】原式200020002000(32)(32)(32)[(332)]=-++⋅=⋅2000(1)32)=-⋅+⋅32)+32=32+．13．【解析】（1）25144⨯25144=512=⨯ 60=．（2）13xyz xy⋅－ 13xyz xy=-⋅=-14．【解析】（1==（2==（3）====-．（4）====15．【解析】（1）原式233=⨯23=45==（2）(13()8=⨯-⨯354=-⨯ 154=-．（3）原式===（4）原式15==． 16．【答案】C【解析】∵x <0=|x -C ． 17．【答案】A【解析】原式32，故选A ． 18．【答案】BB ． 19．【答案】A5315==⨯=，故正确；，故不正确；248==⨯=，故不正确．故选A ． 20．【答案】1、2【解析】由题意，知213221m n m n +-=⎧⎨-+=⎩，解得12m n =⎧⎨=⎩，因此m 的值为1，n 的值为2．故答案为：1，2．21【解析】根据圆锥的体积公式可得，这个圆锥的体积是13⨯==故答案为24．【答案】B【解析】A1832=B13是最简二次根式，正确；C2733=不是最简二次根式，错误；D1223=B．25．【答案】6【解析】原式3×3=6．故答案为：6．26．【答案】218 2182⨯，故答案为：2．。
人教版八年级数学下册_16.2二次根式的乘除
特别提醒 进行二次根式的除法运算时，若两个被开方数可以
整除，就直接运用二次根式的除法法则进行计算；若两 个被开方数不能整除，可以对二次根式化简或变形后再 相除.
感悟新知
例 3 如果
a a－8
a a－8
成立，那么( D )
A.a ≥ 8
B.0 ≤ a ≤ 8
C.a ≥ 0
知3－练
D.a>8
解题秘方：紧扣“二次根式除法法则”成立的条
(式)移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
(3)“三化”，即化去被开方数中的分母.
感悟新知
知5－讲
特别提醒 判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣两个条件： 1. 被开方数不含分母； 2. 被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，即每个因
数(式)的指数都是1. 注意：分母中含有根式的式子不是最简二次根式.
感悟新知
知5－练
例8 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二
次根式？不是最简二次根式的，请说明理由.
(1)
1 ;(2)
x2＋y2 ;(3)
0.2;
3
(4)
24 x；(5)
2 .
3
解题秘方：紧扣“最简二次根式的定义”进行判断.
感悟新知
知5－练
解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母； (3) 不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母)； (4)不是最简二次根式，因为被开方数24x 中含有能开得尽 方的因数4，4=22； (2)(5)是最简二次根式.
感悟新知
知3－讲
(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单 项式的法则进行运算，将根号外的因数(式)之商作为商 的根号外因数(式) ，被开方数(式)之商作为商的被开方 数(式) ，即a b÷c d = (a÷c ) b d ( b ≥ 0，d ＞ 0，c ≠ 0 ).
16.2二次根式的乘除
请试着自己举出一些例子．
选做题 (A组) 1.3 2 2 3的值是（）
A.6 6 B.12 C.36 D.6 5
a a a 0, b 0 b b 两个二次根式相除，等于把被开 方数相除，作为商的被开方数 例４：计算 24 3 1 1 2 3 2 18
9 3 16 4 2. , 49 7
?
用你发现的规律填空,并用计算器验算
＝ 6; 1 、 2 3 ___
＝ 10 2、 2 5 ___
一般地,对于二次根式的乘法规定:
a
b
ab
(a≥0,b≥0)
a b ab (a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数 积的算术平方根
a、b必须都是非负数！
(a≥0,b≥0) ab a b
(3) 2 2 ＝ 3 3
1.
计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律? 4 4 4 2 4 2 , 9 9 9 3
16 4 49 7
16 49
16 49
2 2 ＝ 5 5
规律:
a b
a b
a 0, b 0
(a 0, b 0)
非 负 数
例题３ 计算：
1.
14 7
3x 1 xy 3
2.3
5 2 10
3.
同学们自己来算吧！
看谁算得既快又准确！
化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.
2.应用
ab
a b
(a 0) 化简.
3.将平方项应用
a a
2
B
A
C
八年级数学下册(新人教版)同步习题精讲课件：第十六章 二次根式(预习导航 堂堂清 日日清)(共32张PPT)综述
7．(8分)当x取何值时，下列代数式在实数范围内有意义？
(1) x－3； (2) x－2－ 5－x；
(3)1－2
； x
(4) x2＋2x＋5.
解： (1)x≥3
(2)2≤x≤5解：
(3)x≥0且x≠1
8．(3分)(2014·张家界)若＋(y＋2)2＝0，则(x＋y)2 014等于( ) A．－1 B．1
22．(6 分)已知三角形的两边长分别为 3 和 5，第三边长为 c，
化简： c2－4c＋4－ 14c2－4c＋16.
解：依题意知 5－3＜c＜5＋3，即 2＜c＜8， 原式＝ （c－2）2－ （12c－4）2＝c－2－(4－12c)＝32c－6
23．(6 分)若实数 a，b 满足 b＜
2a－1＋
1－2a＋3，试化简： 4a2－4a＋1－
16 ． 1 二 次 根 式
第2课时 二次根式的性质
11．下列各式正确的是( )
A. （－3）2＝－3 B．－ 32＝－3 C. （±3）2＝±3
12．若a＜1，化简 （a－1）2 －1＝( ) A．a－2 B．2－a C．a D．－a
D. 32＝±3
13．实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简－|a＋b|的结果是( ) A．b B．－b C．2a＋b D．无法确定 14．计算 2－x)2＋ （x－3）2 的结果是( ) A．－1 B．2x－5、 C．5－2x D．1
. (1) x－2＋2 2－x； (2) xx－＋11＋(x－2)0.
解：(1)x－2≥0，2－x≥0， ∴x＝2 (2)xx＋ －11≥≠00，且 x－2≠0， ∴x≥－1 且 x≠1，x≠2
20．(9分)已知a2＋
＝4a－4，求a＋b的值．
二次根式的乘除法(含例题)
第十六章 二次根式16.2 二次根式的乘除1．二次根式的乘法法则（1）一般地，二次根式的乘法法则是：__________(00)a b a b =≥≥，．语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数__________．在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a ，b 均为非负数这一条件． 000)a b c abc a b c =≥≥≥，，． ②00)a b c d bd b d =≥≥，，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数；③乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用． （2）二次根式乘法法则的逆用00)ab a b a b =≥≥，．语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积．公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足a ≥0，b ≥0．实际上，a ≥0，b ≥0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab ≥0即可．二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替使用． 0000)abcd a b c d a b c d =≥≥≥≥，，，．运用这个性质可以化简二次根式：如果一个二次根式的被开方数有的因数（式）是完全平方数（式），(00)ab a b a b =≥≥，2(0)a a a =≥将这些因数（式）“开方”出来，从而将二次根式化简．利用积的算术平方根的性质化简的步骤：①将被开方数进行因数分解或因式分解；②应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来．2．二次根式的除法法则（1）一般地，二次根式的除法法则是：0__________0)a b =≥，． 语言叙述：二次根式相除，把被开方数__________，根指数不变．【注意】①a ≥0，b >0时，式子才成立，若a ，b 都是负数，虽然0a b >在实数范围内无意义；若b =0，a b则号无意义． ②如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数．③二次根式的运算结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式．（2）二次根式除法法则的逆用00)a b =≥>， ★语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．公式中的a ，b 表示的代数式必频满足a ≥0，b >0，a ≥0，b >0是限制公式右边的，对公式的左边，只要0a b≥且0b ≠即可．利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为“（a ≥0，b >0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可． 3．最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（1）被开方数不含__________；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．【拓展】分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化．分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号．分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜．K知识参考答案：1．ab，不变2．>，相除3．分母K—重点二次根式的乘法和除法；最简二次根式的判断K—难点二次根式的乘法法则和除法法则的逆用K—易错运算顺序错误；忽视隐含条件一、二次根式的乘法1．法则中的a，b表示的代数式都必须是非负的．2．两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方．【例1】下列计算正确的是A．25×35=65B．32×33=36C．42×23=85D．22×63=126【答案】D⨯⨯得【例2】916144A．144 B．±144 C．±12 D．12【答案】A⨯⨯．故选A．916144⨯⨯916144=3412=144二、二次根式的除法1000)a b c ÷=≥>>，，；2．((()m n ÷=÷⋅，其中000a b n ≥>≠，，．【例3】=成立的条件是 A ．a 、b 同号B ．a ≥0，b >0C ．a >0，b >0D ．a >0，b ≥0 【答案】B【解析】由二次根式的非负性可知，a ≥0，b ≥0，由于b 是分母，故b >0．故选B ．【例4】计算A ．B ．23xC ．D x 【答案】C【解析】原式=4×C ． 三、二次根式的乘除混合运算二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用．二次根式乘除混合运算的一般步骤：（1）将算式中的除法转化为乘法；（2）利用乘法运算律将运算转化为系数和被开方数的乘法运算；（3）将系数和被开方数分别相乘；（4）化成最简二次根式．【例5】A B C D ．【答案】A==．故选A．四、最简二次根式判断二次根式是不是最简二次根式的方法：一看：看被开方数中是否含有能开得尽方的因数（或因式），且被开方数中是否含有分母．二化：若被开方数是多项式，能化成因数（或因式）积的形式，要先化成积的形式．三判断：得出结论．【例6】下列根式中，是最简二次根式的是A B C D【答案】C【解析】因为：A=；B=；D||b=，所以这三项都可化简，不是最简二次根式．故选C．。
人教版八年级数学下册同步练习《16.2 二次根式的乘除》 含答案
人教版八年级数学下册同步练习《16.2 二次根式的乘除》◆基础知识作业1．计算： =2．长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为（精确到0.01）．3．能使等式成立的x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥24．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．5．化简的结果是（）A．B．C．D．6．已知xy＞0，化简二次根式x的正确结果为（）A．B．C．﹣D．﹣7．二次根式，，的大小关系是（）A．B．＜＜C．＜＜D．＜＜8．化简：（1）（2）（3）（4）（5）（7）÷．◆能力方法作业9．若和都是最简二次根式，则m= ，n= ．10．化简﹣÷= ．11．比较大小：﹣﹣．12．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C．D．13．下列根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．14．计算：等于（）A．B．C．D．15．把根号外的因式移入根号内，其结果是（）A．B．﹣C．D．﹣16．化简：（1）（2）（x＞0）17．计算（1）4÷（﹣5）（2）÷（）（a＞0，b＞0，c＞0）18．把根号外的因式移到根号内：（2）．◆能力拓展与探究19．下列各式计算正确的是（）A．a12÷a6=a2 B．（x+y）2=x2+y2C．D．20．化简：a（a＞b＞0）21．体积为18的长方体的宽为1cm，高为=2cm，求这个长方体的长．人教版八年级数学下册同步练习《16.2 二次根式的乘除》解析◆基础知识作业1．计算： =【考点】二次根式的乘除法．【分析】根据二次根式的除法法则对二次根式化简即可．【解答】解：原式==．【点评】主要考查了二次根式的乘除法运算．二次根式的运算法则：乘法法则=（a≥0，b≥0）．除法法则=（a＞0，b≥0）．2．长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为 2.83 （精确到0.01）．【考点】二次根式的应用．【分析】根据二次根式的相关概念解答．【解答】解：设长方形的长为a，则2=a，a==2≈2.83．【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．运算法则：•=（a≥0，b≥0）；=（a≥0，b＞0）．3．能使等式成立的x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2【考点】二次根式的乘除法；二次根式有意义的条件．【分析】本题需注意的是，被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x的取值范围．【解答】解：由题意可得，，解之得x＞2．故本题选C．【点评】二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据．4．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．【解答】解：A、=|a|，可化简；B、==，可化简；C、==3，可化简；因此只有D： =，不能开方，符合最简二次根式的条件．故选D．【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．5．化简的结果是（）A．B．C．D．【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】原式被开方数利用平方差公式化简，约分后化简即可得到结果．【解答】解：原式====．故选D【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．已知xy＞0，化简二次根式x的正确结果为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】二次根式的性质与化简．【分析】二次根式有意义，y＜0，结合已知条件得y＜0，化简即可得出最简形式．【解答】解：根据题意，xy＞0，得x和y同号，又x中，≥0，得y＜0，故x＜0，y＜0，所以原式====﹣．故答案选D．【点评】主要考查了二次根式的化简，注意开平方的结果为非负数．7．二次根式，，的大小关系是（）A．B．＜＜C．＜＜D．＜＜【考点】分母有理化．【分析】本题可先将各式分母有理化，然后再比较它们的大小．【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：∵=， ==，；∴＜＜．故本题选C．【点评】解答本题的关键是将各分式分母有理化，然后再比较它们的大小．在分母有理化的过程中，找出分母的有理化因式是解题的关键．8．化简：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）÷．【考点】二次根式的乘除法．【分析】（1）直接进行化简即可；（2）直接进行化简即可；（3）先进行加法运算，然后进行化简即可；（4）先计算根号下的数值，然后进行化简即可；（5）先计算根号下的数值，然后进行化简即可；（6）先进行除法运算，然后进行化简；（7）先进行除法运算，然后进行化简．【解答】解：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式==；（4）原式==；（5）原=；（6）原式==2；（7）原式==3．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握运算法则以及二次根式的化简．◆能力方法作业9．若和都是最简二次根式，则m= 1 ，n= 2 ．【考点】最简二次根式．【分析】由于两二次根式都是最简二次根式，因此被开方数的幂指数均为1，由此可得出关于m、n 的方程组，可求出m、n的值．【解答】解：由题意，知：，解得：；因此m的值为1，n的值为2．故答案为：1，2．【点评】本题考查的最简二次根式的定义．当已知一个二次根式是最简二次根式时，那么被开方数（或因式）的幂指数必为1．10．化简﹣÷= ．【考点】二次根式的乘除法．【分析】运用二次根式的运算性质，结合最简二次根式的概念，对二次根式进行化简．注意约分的运用．【解答】解：原式=﹣•=﹣•=﹣••=﹣2a．【点评】在二次根式的化简中，准确运用二次根式的性质，二次根式的除法法则和最简二次根式的概念，把结果化成最简的形式．11．比较大小：﹣＜﹣．【考点】实数大小比较．【分析】首先把两个数平方，再根据分母大的反而小即可比较两数的大小．【解答】解：∵（﹣）2=，（﹣）2=，又∵＞，∴﹣＜﹣，即﹣＜﹣．故填空答案：＜【点评】此题主要考查了实数的大小比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．12．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C．D．【考点】最简二次根式．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件（①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式）是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：A、被开方数里含有能开得尽方的因数8，故本选项错误；B、符合最简二次根式的条件；故本选项正确；B、，被开方数里含有能开得尽方的因式x2；故本选项错误；C、被开方数里含有分母；故本选项错误．D、被开方数里含有能开得尽方的因式a2；故本选项错误；故选；B．【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．13．（2013秋•阆中市期末）下列根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【分析】A选项的被开方数中含有分母；B、D选项的被开方数中含有能开得尽方的因数或因式；因此这三个选项都不是最简二次根式．所以只有C选项符合最简二次根式的要求．【解答】解：因为：A、=；B、=2；D、=|b|；所以这三项都可化简，不是最简二次根式．故选：C．【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．14．计算：等于（）A．B．C．D．【考点】二次根式的乘除法．【分析】根据二次根式的乘除法法则计算．【解答】解： ==．故选A．【点评】二次根式的乘除法法则：（a≥0，b≥0）；（a≥0，b＞0）．15．把根号外的因式移入根号内，其结果是（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】二次根式的乘除法．【分析】由于被开方数为非负数，可确定1﹣a的取值范围，然后再按二次根式的乘除法法则计算即可．【解答】解：由已知可得，1﹣a＞0，即a﹣1＜0，所以， =﹣=﹣．故本题选B．【点评】由已知得出1﹣a的取值范围是解答此题的关键．16．化简：（1）（2）（x＞0）【考点】二次根式的乘除法．【分析】（1）先进行二次根式的化简，然后求解；（2）直接进行二次根式的化简即可．【解答】解：（1）原式==；（2）原式=．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘法法则和除法法则以及二次根式的化简是解题的关键．17．计算（1）4÷（﹣5）（2）÷（）（a＞0，b＞0，c＞0）【考点】二次根式的乘除法．【分析】（1）先进行二次根式的化简，然后求解即可；（2）先进行二次根式的除法运算，然后化简求解．【解答】解：（1）原式=﹣4×=﹣；（2）原式==．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘法法则和除法法则以及二次根式的化简是解题的关键．18．把根号外的因式移到根号内：（1）（2）．【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】（1）先变形得到原式=﹣5×，然后利用二次根式的性质化简后约分即可；（2）先变形得到原式=（1﹣x）•，然后利用二次根式的性质化简后约分即可．【解答】解：（1）原式=﹣5×=﹣5×=﹣；（2）原式=（1﹣x）•=（1﹣x）•=﹣．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简： =|a|．◆能力拓展与探究19．下列各式计算正确的是（）A．a12÷a6=a2 B．（x+y）2=x2+y2C．D．【考点】二次根式的乘除法；同底数幂的除法；完全平方公式；分式的基本性质．【分析】此类题目难度不大，可用验算法解答．【解答】解：A、a12÷a6是同底数幂的除法，指数相减而不是相除，所以a12÷a6=a6，错误；B、（x+y）2为完全平方公式，应该等于x2+y2+2xy，错误；C、===﹣，错误；D、正确．故选D．【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．运算法则：①a m÷a n=a m﹣n，②÷=（a≥0，b＞0）．20．化简：a（a＞b＞0）【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】先利用完全平方公式变形得到原式=a，再利用二次根式的性质得到原式=a•|﹣|，然后利用a＞b＞0去绝对值后进行分式的运算．【解答】解：原式=a=a•|﹣|，∵a＞b＞0，∴原式=a•[﹣（﹣）]=．【点评】本题考查了二次根式的性质和化简： =|a|．也考查了完全平方公式和绝对值的意义．21．体积为18的长方体的宽为1cm，高为=2cm，求这个长方体的长．【考点】二次根式的乘除法．【分析】已知长方体的宽与高，根据二次根式的乘法，即可求得这个长方体的长．【解答】解：长方体的高为=2cm，宽为1cm，则长方体的长为： =9cm，答：长方体的长是9cm．【点评】此题考查了二次根式的乘法．此题比较简单，注意÷=（a＞0，b＞0）。
二次根式同步练习题
第十六章二次根式16．1二次根式---------第1课时二次根式的概念01根底题知识点1二次根式的定义1．以下式子不是二次根式的是( )A. 5B.3－πC.0.5D.1 32．以下各式中，一定是二次根式的是()A.－7B.3m C.1＋x2D.2x3．a是二次根式，那么a的值可以是( )A．－2 B．－1 C．2 D．－54．假设－3x是二次根式，那么x的值可以为(写出一个即可)．知识点2二次根式有意义的条件5．x取以下各数中的哪个数时，二次根式x－3有意义()A．－2 B．0 C．2 D．46．(2021·广安)要使二次根式2x－4在实数范围内有意义，那么x的取值范围是( )A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＝27．当x是怎样的实数时，以下各式在实数范围内有意义？(1)－x；(2)2x＋6；(3)x2；(4)14－3x；(5)x－4x－3.知识点3二次根式的实际应用8．一个外表积为12 dm2的正方体，那么这个正方体的棱长为( )A．1 dm B. 2 dm C. 6 dm D．3 dm9．假设一个长方形的面积为10 cm2，它的长与宽的比为5∶1，那么它的长为cm，宽为cm.02 中档题 10．以下各式中：①12；②2x ；③x 3；④－5.其中，二次根式的个数有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．(2021·济宁)假设2x －1＋1－2x ＋1在实数范围内有意义，那么x 满足的条件是( )A ．x ≥12B ．x ≤12C ．x ＝12D ．x ≠1212．使式子1x ＋3＋4－3x 在实数范围内有意义的整数x 有( ) A ．5个B ．3个C ．4个D ．2个13．如果式子a ＋1ab 有意义，那么在平面直角坐标系中点A(a ，b)的位置在() A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．使式子－〔x －5〕2有意义的未知数x 的值有 个．15．假设整数x 满足|x|≤3，那么使7－x 为整数的x 的值是 ． 16．要使二次根式2－3x 有意义，那么x 的最大值是 ． 17．当x 是怎样的实数时，以下各式在实数范围内有意义？(1)32x －1； (2)21－x； (3)1－|x|； (4)x －3＋4－x.03 综合题18．a ，b 分别为等腰三角形的两条边长，且a ，b 满足b ＝4＋3a －6＋32－a ，求此三角形的周长．第2课时 二次根式的性质01 根底题 知识点1a ≥0(a ≥0)1．(2021·荆门)实数m ，n 满足|n －2|＋m ＋1＝0，那么m ＋2n 的值为 ． 2．当x ＝ 时，式子2 018－x －2 017有最大值，且最大值为 ．知识点2 (a )2＝a (a ≥0)3．把以下非负数写成一个非负数的平方的形式：(1)5＝ (2)3.4＝ ； (3)16＝ (4)x ＝ (x ≥0)．4．计算：( 2 018)2＝ ． 5．计算：(1)(0.8)2； (2)(－34)2； (3)(52)2； (4)(－26)2. 知识点3a 2＝a (a ≥0)6．计算〔－5〕2的结果是( )A ．－5B ．5C ．－25D ．257．二次根式x 2的值为3，那么x 的值是( )A ．3B ．9C ．－3D ．3或－38．当a ≥0时，化简：9a 2＝ ． 9．计算：(1)49； (2)〔－5〕2； (3)〔－13〕2； (4)6－2.知识点4 代数式10．以下式子不是代数式的是( )A ．3xB .3xC ．x>3D ．x －311．以下式子中属于代数式的有( )①0；②x ；③x ＋2；④2x ；⑤x ＝2；⑥x>2；⑦x 2＋1；⑧x ≠2. A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个02 中档题12．以下运算正确的选项是( )13．假设a ＜1，化简〔a －1〕2－1的结果是( )A ．a －2B ．2－aC ．aD ．－a14．(2021·枣庄)实数a ，b 在数轴上对应点的位置如下图，化简|a|＋〔a －b 〕2的结果是( )A ．－2a ＋bB ．2a －bC ．－bD ．b15．实数x ，y ，m 满足x ＋2＋|3x ＋y ＋m|＝0，且y 为负数，那么m 的取值范围是( )A ．m ＞6B ．m ＜6C ．m ＞－6D ．m ＜－6 16．化简：〔2－5〕2＝ ．17．在实数范围内分解因式：x 2－5＝ ．18．假设等式〔x －2〕2＝(x －2)2成立，那么x 的取值范围是 ． 19．假设a 2＝3，b ＝2，且ab ＜0，那么a －b ＝ ． 20．计算：(1)－2〔－18〕2； (2)4×10－4；(3)(23)2－(42)2； (4)〔213〕2＋〔－213〕2.21．比拟211与35的大小．22．先化简a ＋1＋2a ＋a 2，然后分别求出当a ＝－2和a ＝3时，原代数式的值．16.2 二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法01 根底题知识点1 a·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)1．计算2×3的结果是( )A . 5B .6C ．2 3D ．3 22．以下各等式成立的是( )A ．45×25＝8 5B ．53×42＝20 5C ．43×32＝7 5D ．53×42＝20 6 3．以下二次根式中，与2的积为无理数的是( )A .12B .12C .18D .324．计算：8×12＝ ． 5．计算：26×(－36)＝ ． 6．一个直角三角形的两条直角边分别为a ＝2 3 cm ，b ＝3 6 cm ，那么这个直角三角形的 面积为 cm 2. 7．计算以下各题：(1)3×5； (2)125×15； (3)(－32)×27； (4)3xy·1y.知识点2 ab ＝a·b (a ≥0，b ≥0) 8．以下各式正确的选项是( )A .〔－4〕×〔－9〕＝－4×－9B .16＋94＝16×94C .449＝4×49D .4×9＝4×9 9．(2021·益阳)以下各式化简后的结果是32的结果是( )A . 6B .12C .18D .3610．化简〔－2〕2×8×3的结果是( )A ．224B ．－224C ．－4 6D ．4 611．化简：(1)100×36＝ ； (2)2y 3＝ ． 12．化简：(1)4×225； (2)300； (3)16y ； (4)9x 2y 5z.13．计算：(1)36×212；(2)15ab2·10ab.02中档题14.50·a的值是一个整数，那么正整数a的最小值是( )A．1 B．2 C．3 D．515．m＝(－33)×(－221)，那么有( )A．5＜m＜6 B．4＜m＜5 C．－5＜m＜－4 D．－6＜m＜－5 16．假设点P(a，b)在第三象限内，化简a2b2的结果是．17．计算：(1) 75×20×12；(2)〔－14〕×〔－112〕；(3) －32×45×2；(4)200a5b4c3(a＞0，c＞0)．18．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v＝16df，其中v表示车速(单位：km/h)，d表示刹车后车轮滑过的距离(单位：m)，f表示摩擦因数，在某次交通事故调查中，测得d＝20 m，f＝1.2，肇事汽车的车速大约是多少？(结果精确到0.01 km/h)19．一个底面为30 cm×30 cm的长方体玻璃容器中装满水，现将一局部水倒入一个底面为正方形、高为10 cm的长方体铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20 cm，铁桶的底面边长是多少厘米？第2课时 二次根式的除法01 根底题 知识点1a b＝a b (a ≥0，b ＞0)1．计算：10÷2＝( )A . 5B ．5C .52D .1022．计算23÷32的结果是( ) A ．1B .23C .32D ．以上答案都不对3．以下运算正确的选项是( )A .50÷5＝10B .10÷25＝22C .32＋42＝3＋4＝7D .27÷3＝34．计算：123＝ ．5．计算：(1)40÷5； (2)322； (3)45÷215； (4)2a 3b ab(a>0)．知识点2a b ＝ab(a ≥0，b ＞0) 6．以下各式成立的是( ) A .－3－5＝35＝35B .－7－6＝－7－6C .2－9＝2－9D .9＋14＝9＋14＝3127．实数0.5的算术平方根等于( )A ．2B . 2C .22D .128．如果〔x －1x －2〕2＝x －1x －2，那么x 的取值范围是( ) A ．1≤x ≤2 B ．1＜x ≤2 C ．x ≥2 D ．x ＞2或x ≤1 9．化简：(1)7100； (2)11549； (3)25a 49b 2(b>0)．知识点3 最简二次根式 10．(2021·荆州)以下根式是最简二次根式的是( )A .13B .0.3C . 3D .2011．把以下二次根式化为最简二次根式：(1) 2.5； (2)85； (3)122； (4)2340.02 中档题12．以下各式计算正确的选项是( )A .483＝16B .311÷323＝1 C .3663＝22D .54a 2b6a＝9ab13．计算113÷213÷125的结果是( ) A .27 5B .27C . 2D .2714．在①14；②a 2＋b 2；③27；④m 2＋1中，最简二次根式有 个． 15．如果一个三角形的面积为15，一边长为3，那么这边上的高为 ． 16．不等式22x －6＞0的解集是 ． 17．化简或计算：(1)0.9×121100×0.36； (2) 12÷27×(－18)； (3)27×123； (4)12x÷25y.18．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，S △ABC ＝18 cm 2，BC ＝ 3 cm ，AB ＝3 3 cm ，CD ⊥AB 于点D.求AC ，CD 的长．16.3 二次根式的加减 第1课时 二次根式的加减01 根底题知识点1 可以合并的二次根式1．(2021·巴中)以下二次根式中，与3可以合并的是( )A .18B .13C .24D .0.32．以下各个运算中，能合并成一个根式的是( )A .12－ 2B .18－8C .8a 2＋2aD .x 2y ＋xy 23．假设最简二次根式2x ＋1和4x －3能合并，那么x 的值为( )A ．－12B .34C ．2D ．54．假设m 与18可以合并，那么m 的最小正整数值是( )A ．18B ．8C ．4D ．2知识点2 二次根式的加减5．(2021·桂林)计算35－25的结果是( )A . 5B ．2 5C ．3 5D ．66．以下计算正确的选项是( )A .12－3＝ 3B .2＋3＝ 5C ．43－33＝1D ．3＋22＝5 27．计算27－1318－48的结果是( )A ．1B ．－1C ．－3－ 2D .2－ 3 8．计算2＋(2－1)的结果是( )A ．22－1B ．2－ 2C ．1－ 2D ．2＋ 29．长方形的一边长为8，另一边长为50，那么长方形的周长为 ． 10．三角形的三边长分别为20 cm ，40 cm ，45 cm ，这个三角形的周长是 cm . 11．计算：(1)23－32； (2)16x ＋64x ； (3) 125－25＋45； (4) 27－6－13.02 中档题12．假设x 与2可以合并，那么x 可以是( )A ．0.5B ．0.4C ．0.2D ．0.1 13．计算|2－5|＋|4－5|的值是( )14．计算412＋313－8的结果是( ) A.3＋ 2B. 3C.33D.3－ 215．假设a ，b 均为有理数，且8＋18＋18＝a ＋b 2，那么a ＝ ，b ＝ . 16．等腰三角形的两边长分别为27和55，那么此等腰三角形的周长为 ．17．在如下图的方格中，横向、纵向及对角线方向上的实数相乘都得出同样的结果，那么两个空格中的实数之和为 . 18.计算：(1)18＋12－8－27；(2) b 12b 3＋b 248b ； (3)(45＋27)－(43＋125)；(4) 34(2－27)－12(3－2)．19．3≈1.732，求(1327－413)－2(34－12)的近似值(结果保存小数点后两位)．第2课时二次根式的混合运算01根底题知识点1二次根式的混合运算1．化简2(2＋2)的结果是( )A．2＋2 2 B．2＋2C．4 D．3 2 2．计算(12－3)÷3的结果是( )A．－1 B．－3C. 3 D．1 3．(2021·南京)计算：12＋8×6的结果是．4．(2021·青岛)计算：(24＋16)×6＝．5．计算：40＋55＝．6．计算：(1)3(5－2)；(2)(24＋18)÷2；(3)(2＋3)(2＋2)；(4)(m＋2n)(m－3n)．知识点2二次根式与乘法公式7．(2021·天津)计算：(4＋7)(4－7)的结果等于．8．(2021·包头)计算：613－(3＋1)2＝．9．计算：(1)(2－12)2；(2)(2＋3)(2－3)；(3)(5＋32)2.10．(2021·盐城)计算：(3－7)(3＋7)＋2(2－2)．02中档题11．a＝5＋2，b＝2－5，那么a2 018b2 017的值为( )A.5＋2 B．－5－2 C．1 D．－112．按如下图的程序计算，假设开始输入的n值为2，那么最后输出的结果是( )A．14 B．16 C．8＋5 2 D．14＋ 2 13．计算：(1)(1－22)(22＋1)；(2)12÷(34＋233)；(3)(46－412＋38)÷22；(4)24×13－4×18×(1－2)0.14．计算：(1)(1－5)(5＋1)＋(5－1)2；(2)(3＋2－1)(3－2＋1)．15. a＝7＋2，b＝7－2，求以下代数式的值：(1)ab2＋ba2；(2)a2－2ab＋b2；(3)a2－b2.小专题(一) 二次根式的运算类型1 与二次根式有关的计算 1．计算：(1)62×136； (2)(－45)÷5145；(3)72－322＋218； (4)(25＋3)×(25－3)．2．计算：(1)334÷(－12123)； (2)(6＋10×15)×3；(3)354×(－89)÷7115； (4)(12－418)－(313－40.5);(5)(32－6)2－(－32－6)2.3．计算：(1)(2 018－3)0＋|3－12|－63； (2) |2－5|－2×(18－102)＋32.类型2 与二次根式有关的化简求值4．a ＝3＋22，b ＝3－22，求a 2b －ab 2的值．5．实数a ，b ，定义“★〞运算规那么如下：a ★b ＝⎩⎨⎧b 〔a ≤b 〕，a 2－b 2〔a>b 〕，求7★(2★3)的值．6．x ＝2＋3，求代数式(7－43)x 2＋(2－3)x ＋3的值．7．(2021·襄阳)先化简，再求值：(1x ＋y ＋1x －y )÷1xy ＋y 2，其中x ＝5＋2，y ＝5－2.章末复习(一) 二次根式01 根底题知识点1 二次根式的概念及性质1．(2021·黄冈)在函数y ＝x ＋4x中，自变量x 的取值范围是( ) A ．x >0 B ．x ≥－4 C ．x ≥－4且x ≠0 D ．x >0且x ≠－4 2．(2021·自贡)以下根式中，不是最简二次根式的是( ) A.10 B.8 C. 6D. 23．假设xy ＜0，那么x 2y 化简后的结果是( )A ．x yB ．x －yC ．－x －yD ．－x y知识点2 二次根式的运算4．与－5可以合并的二次根式的是( )A .10B .15C .20D .25 5．(2021·十堰)以下运算正确的选项是( )A .2＋3＝ 5B ．22×32＝6 2C .8÷2＝2D ．32－2＝36．计算5÷5×15所得的结果是 ．7．计算：(1)(2021·湖州)2×(1－2)＋8； (2)(43＋36)÷23；(3)1232－275＋0.5－3127； (4)(32－23)(32＋23)．知识点3 二次根式的实际应用8．两个圆的圆心相同，它们的面积分别是25.12和50.24.求圆环的宽度d.(π取3.14，结果保存小数点后两位)02 中档题 9．把－a－1a中根号外面的因式移到根号内的结果是( ) A .－aB ．－ aC ．－－aD . a10．x ＋1x ＝7，那么x －1x的值为( )A. 3B ．±2C ．± 3D.711．在数轴上表示实数a 的点如下图，化简〔a －5〕2＋|a －2|的结果为 ．12．(2021·青岛)计算：32－82＝ ． 13．计算：(3＋2)3×(3－2)3＝ ． 14．x ＝5－12，那么x 2＋x ＋1＝ ． 15．16－n 是整数，那么自然数n 所有可能的值为 ． 16．计算：(1)(3＋1)(3－1)－16＋(12)－1； (2)(3＋2－6)2－(2－3＋6)2.17．x ＝3＋7，y ＝3－7，试求代数式3x 2－5xy ＋3y 2的值．。
16.2二次根式的运算(第1课时)讲解与例题
二次根式的运算第1课时1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立．②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根． ③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4× 3.6；(2)545×3223. 分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法． 解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230. 2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a ≥0，b ≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a ，b 是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab ≥0即可．②公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)可以推广为abc ＝a ·b ·c (a ≥0，b ≥0，c ≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简： (1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a 3b 6(a ＞0，b ＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)进行化简． 解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a 3b 6＝42·6·a 2·a ·(b 3)2＝4ab 36a .3．二次根式的除法法则 对于两个二次根式a ，b ，如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝a b.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝a b .②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a ≥0，b ＞0与二次根式乘法的条件a ≥0，b ≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝m na b (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝a b，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用：(1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝a b ； (2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握)【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内．(1)535； (2)－2a 12a； (3)－a －1a ； (4)x y x(x ＜0，y ＜0)． 分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15. (2)∵12a＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a＝－(2a )2·12a＝－2a . (3)∵－1a＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a)＝－a . (4)∵x ＜0，y ＜0，∴x y x ＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋b b 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2. 所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算(1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用．(3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件；②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上；④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式．【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a)． 分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除． 解：(1)9145÷(3235)×12223 ＝(9÷32×12)145÷35×83＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12ab a 2b ·a b·a ＝－12ab a 4 ＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式． a 与a ；a ＋b 与a －b ；a ＋b 与a －b ；a b ＋c d 与a b －c d .③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab ＜0时，化简ab 2，得__________．(2)把代数式x －1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________． (3)把－x 3(x －1)2化成最简二次根式是__________． (4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是( )． A ．甲正确，乙不正确B ．甲不正确，乙正确C ．甲、乙的解法都正确D ．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab 2中，因为ab 2≥0，所以ab ·b ≥0.因为ab ＜0，b ≠0，所以b ＜0，a ＞0.原式＝b 2·a ＝－b a .(2)因为－1x ≥0，又由分式的定义x ≠0，得x ＜0.所以原式＝－(－x )－1x＝－(－x )2(－1x)＝－－x . (3)化简时，需知道x ，x －1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出． ∵(x －1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x 3≥0，即x ≤0,1－x ＞0. 故原式＝(－x )2·(－x )(1－x )2＝－x 1－x－x . (4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a (2)－－x(3)－x 1－x－x (4)C 8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用．如：借助于计算器可以求得42＋32＝__________，442＋332＝__________，4442＋3332＝__________，4 4442＋3 3332＝__________，……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55，4442＋3332＝308 025＝555，4 4442＋3 3332＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－x x －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值． 分析：式子a b ＝a b，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x －6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤9，x >6. ∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8.∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1) ＝(1＋x )x －4x ＋1 ＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6.【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38. 验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23； 338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38. (1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用． 解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415. (2)猜想：n n n 2－1＝n ＋n n 2－1(n ≥2，n 为正整数)． 证明：因为n n n 2－1＝n 3n 2－1＝n 3－n ＋n n 2－1＝n (n 2－1)＋n n 2－1＝n ＋n n 2－1，所以nn n 2－1＝n ＋n n 2－1.。
16.2 二次根式的乘除(第一课时)
2
2
30 2
例3：计算：
（3） 3 x 解：原式
1 xy 3 1 3x xy 3
x y x
2
2
y
x y
练习1：判断正误
（1）
(4) (9) 4 9
12 12 4 25 4 25 25 25
（2）
二次根式的乘法：
a b ab a 0，b 0 ab a b a 0，b 0
（1） 16 81 （2） 4a 2b 3 解：
1
2
16 81 16 81 4 9 36
4a b
2 3
4 a b 2a b b
2 3 2
2a b b
2
2ab b
化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能分解成几个平方数. 2.应用
注：在本章中，如果没有特别说明，所 有的字母都表示正数．
例1：计算： a b ab a 0，b 0 1 （1） 6 7 （2） 32 2 解：
1.
6 7 6 7 42
1 1 2. 32 32 16 4 2 2
例2：化简： ab a b a 0，b 0
人教版八年级上册
二次根式
a 具有哪些性质？
a≥0,
a ≥0
(a≥0)
(双重非负性)
a a
2
a a
2
(a≥0)
1.计算下列各式，你发现什么规律？
（1） 4 9 6 ， 4 9 6 ； （2） 16 25 20， 16 25 20。
2.用你发现的规律填空，并验证。 （1） 2 3 （2） 2 5
16.2二次根式的乘除
知识要点
这样的二次根式，叫做最简二次根式。
最简二次根式的特点
被开方数不含分母。 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
在二次根式的运算中， 最后结果 的一般要求
2 分母中不含二次根式。 如： × 2 1 被开方数不能含有小数或分数。如： 或 0.2 × 2 2x y 分子分母不能约分。 如： 2 × 3x
a b
2 a （ a a 0） 3.将平方式（或平方数）应用 把这个因式（或因数）开出来，将二次根式 化简。
课堂小结
1. 二次根式的乘法：
a b ab a 0, b 0 ab a b a 0, b 0
2. 二次根式的除法有两种常用方法：
（1）利用公式： a b
新课导入
1. 一个平行四边形的底为 5，高为 3 ，求 这个平行四边形的面积。
提示 根据平行四边形的面积公式 S = ah 求解。
3 5
S=
5
3
这是最终结果吗？ 这个结果能否继续化简？ 如何化简？
2. 如果矩形的面积是 20 ，长为 5 ，求宽。
提示 根据矩形的面积公式 S = ab 求解。
20
？
5
b=
20 5
这是最终结果吗？ 这个结果能否继续化简？ 如何化简？
16.2二次根式的乘除
探究
有什么 规律？
1. 计算：
4 ? 25
2 ?
2
5
5
2? 5 10
4? 25
1 ? 9 1 16
100 = 102 = 10
骣 骣 1 1 鼢 珑 ? 鼢 珑 鼢 珑 桫 桫 3 4
2 2
有什么 规律？
1 1 ? 3 4
16.2.2 二次根式的除法
C. y
D. y
（来自《典中点》）
1 知识小结
1.二次根式的除法： 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指
数不变，即： a a (a≥0，b＞0)． bb
2.最简二次根式： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
2 易错小结
计算： 23 3 2 3 1 . 23
(4)
2
3 .
3
（来自《教材》）
知3－练
2 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b. 已知S=16，b= 10 ，求a.
解：由题意得S=ab，所以 a S 16 16 10 16 10 8 10. b 10 10 10 10 5
（来自《教材》）
知3－练
3 【 2017·荆州】下列根式是最简二次根式的是
( C)
A. 1 3
C. 3
B. 0.3 D. 20
（来自《典中点》）
知3－练
4 【中考·锦州】下列二次根式中属于最简二次 根式的是( D )
A. 24 C. a
b
B. 36 D. a 4
（来自《典中点》）
知3－练
5
已知xy＜0，化简二次根式
x
－y x2
的正确
结果为( B )
A. y
B. y
3
2 18
知1－讲
解：(1) 24 24 = 8= 4 2=2 2; 33
(2) 3 1 3 1 = 3 18= 3 9=3 3. 2 18 2 18 2
（来自《教材》）
总结
知1－讲
利用二次根式的除法法则进行计算，被开方 数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这 个数的倒数”进行约分、化简．
人教版八下第16章二次根式（教材演习习题详解）[资料]
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P 2例1当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？解：由x —2≥0，得x ≥2.当x ≥2时，2-x 在实数范围内有意义.P 3练习1.要画一个面积为18cm 2的长方形，使它的长与宽之比为3：2，它的长、宽各应取多少？解：设长为2xcm ，宽为3xcm ，则有2x ²3x =186x 2=18x 2 =3因为x ＞0所以 x =3练习2.当a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）1-a （2）32+a （3）a - （4）a -5解：（1）由a —1≥0，得a ≥1.当a ≥1时，1-a 在实数范围内有意义.（2）由2a +3≥0，得a ≥23-.当a ≥23-时，32+a 在实数范围内有意义.（3）由—a ≥0，得a ≤0.当a ≤0时，a -在实数范围内有意义.（4）由5—a ≥0，得a ≤5.当a ≤5时，a -5在实数范围内有意义.例2计算：（1）2)5.1( （2）2)52(解：（1）2)5.1(=1.5；（2）2)52( =22³2)5(=4³5=20.P 4例3化简：（1）16 （2）2)5(-解：（1）16=24=4；（2）2)5(-=25=5.P 4练习：1.计算：（1）2)3( （2）2)23(解：（1）2)3(=3；（2）2)23(=32³2)2(=9³2=18；2.说出下列各式的值：（1）23.0 （2）2)71(- （3）2)(π-- （4）210-解：（1）23.0=0.3；（2）2)71(-=2)71(=71；（3）2)(π--=2π-= —π；（4）210-=21)10(-=101-=0.1复习巩固1.当a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（12）3）；（4.解：（1当a+2≥0，即a≥-2时，原式在实数范围内有意义；（2当3-a≥0，即a≤3时，原式在实数范围内有意义；（3当5a≥0，即a≥0时，原式在实数范围内有意义；（4.当2a+1≥0，即a≥12-时，原式在实数范围内有意义.2.计算：（1）2；（2）(2；（3）2；（4）(2；（5（6）2⎛- ⎝；（7（8）.解：（1）2=5；（2）(2=0.2；（3）2=27；（4）(2=225⨯=25×5=125；（5；（6）2⎛- ⎝=49×27=14；（723；（8）25-.3.用代数式表示：（1）面积为S 的圆的半径；（2）面积为S 且两条邻边的比为2:3的长方形的长和宽.解：（1）设圆的半径为r ，则S=πr 2，所以r =（2）设长为2x ，宽为3x ，则S=2x·3x=6x 2，所以x =.4.利用2a =（a≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：（1）9；（2）5；（3）2.5；（4）0.25；（5）12；（6）0.解：（1）9=32；（2）5=2；（3）2.5=2；（4）0.25=0.52；（5）12=2；（6）0=02.综合运用5.已知半径为r cm 的圆的面积是半径为2 cm 和3 cm 的两个圆的面积之和，求r 的值.解：依题意得πr 2=π×22+π×32=π（22+32）=13π，所以r 2=13，所以6.已知△ABC 的面积为12，AB 边上的高是AB 边长的4倍，求AB 的长.解：设AB 长为x ，则AB 边上的高是4x ，所以14122x x ⋅=，即x 2=6， ，所以AB7.当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1；（2；（34解：（1）因为x 2≥0，所以x 2+1≥1＞0，所以x 都有意义；（2）因为（x-1）2≥0，所以x 都有意义；（3）当x ＞0时，1x ＞0，所以当x ＞0（4x+1≥0，即x≥-1且x≠-1，所以当x ＞-1意义.【8】小球从离地面为h(单位:m)的高处自由下落,落到地面所用的时间为t(单位:s).经过实验,发现h 与2t 成正比例关系,而且当h=20时,t=2,试用h 表示t,并分别求当h=10时和h=25时,小球落地所用的时间.【分析】先根据题意求出h 与2t 的正比例关系式，进而可由h 的值求出t 值.【解】∵h 与2t 成正比例关系,∴h=k 2t .由h=20时,t=2,得20=4k,∴k=5,即h 与2t 的正比例关系式为h=52t .当h=10时,即10=52t ,小球落地所用的时间当h=25时,即25=52t ,小球落地所用的时间拓广探索【9】 (1)已知,求自然数n所有可能的值;(2),求正整数n的最小值.,得18- n 为0,1，4，9，16…的平方数，进而可得正整数n的最小值.【解】(1)∵18- n =0,n=18;18- n =1,n=17;18- n =4,n=14;18- n =9,n=9;18- n =16,n=2;∴,正整数n的最小值为2.【10】已知一个圆柱体的高为10，体积为V，求它的底面半径r（用含V的代数式表示）,并分别求当V=5π,10π和20π时,底面半径r的大小.【分析】先根据题意求出圆柱体的体积V=102rπ,得关于底面半径的关系式，进而可由V的值求出r值.【解】圆柱体的体积V=102rπ,它的底面半径.当V=5π时,底面半径当V=10π时,底面半径当V=20π时,底面半径.16.2 二次根式的乘除P6【例1】计算:(1)(2)【分析】根据≥0,b≥0) 进行计算.【解】;(2)P7【例2】化简:(1)(2)【分析】,利用它可以进行二次根式的化简.【解】³9=36;(2) =2²a4a b含4, 2a,3b这样的因数或因式,它们被开方后可以移到根号外,是开得点评:被开方数23尽方的因数或因式.例3计算:(3) .【分析】根据≥0,b≥0).注意:本章中根号下含有字母的二次根式的化简与运算是选学内容.【解】³==6³;(3)练习【1】计算(1)(2) ;(4)【分析】根据≥0,b≥0)进行计算.【解】;(2) =³2=6;(4)【2】．化简：（1）（2（3）（4【分析】4a≥0，b≥0)＝a （a≥0）进行化简．【解】（17³11＝77（2）15（3）（4）4【3】．求这个长方形的面积．【分析】长方形的面积＝长³宽，然后再对结果进行化简．【解】S长方形＝2．【例4】计算：（1）；（2【分析】（1）（2=a≥0，b＞0）进行计算，对于（2）题，需将除法转化成乘法后，再进行化简．【解】（1＝2（2＝【例5】化简：（1（2【分析】(1)、(2)=a≥0，b＞0）进行化简，在化简时，能约分的可先进行约分，最后结果要求化成最简二次根式．【解】（1310；（2＝53．【例6】计算：（1（2；（3．【分析】本题3道小题考查二次根式的除法计算，根据二次根式的除法法则进行计算，计算结果应化成最简二次根式，分母中有根号时，应进行分母有理化．【解】（1）解法1==解法2=．（2==（3【例7】设长方形的面积为S ，相邻两边长分别为a ，b ．已知S ＝b ＝求a ．【分析】∵S ＝ab ，∴a ＝Sb，将S 、b 的值代入进行化简．【解】a ＝Sb．【练习】1．计算：（1 （2； （3 （4．【分析】4道小题都是考查二次根式的除法运算，=a ≥0，b ＞0）进行计算，计算结果要化成最简二次根式，分母中不能含有根号．【解】（1＝3=；（2（3【练习】2.用把下列二次根式化成最简二次根式：（1； （2； （3； （4；【分析】理解最简二次根式是解题的关键，对于1.5可以先化为分数形式。
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基础训练
知识点 1 二次根式的乘法法则
1.(2015·河池)计算: × =
.
2.(2015·安徽)计算 × 的结果是( )
A.
B.4
C.
D.2
3.(中考·海南)下列各数中,与 的积为有理数的是( )
A.
B.3
C.2
D.2-
4.等式
·=
成立的条件是( )
正解:∵- >0,
∴a<0.∴a =-
=- .
16.解:(1)原式=
=
=1.2.
(2)原式= ×(-1)× ×
= ×120=60.
(3)原式=
·
=(x+2y) .
(4)原式= · ·3 ·
=
=-9a2 .
17.解:(1)∵a>0,∴a= ,
∴a = · =
=.
(2)∵0<a<b,∴ab>0,
解：
，故选 C
4.【答案】A
解:由题意得
解得
∴x≥1.
5.【答案】D 6.【答案】A 7.【答案】B 8.【答案】C 解:设 BC 边上的高为 h,则 S△ ABC= ·BC·h= ×4 ×2 =4 =8 (cm2). 9.【答案】B
解:由 = · 得
解得
10.【答案】B 11.【答案】B 解：直接利用二次根式的性质化简求出即可。 12.【答案】D
∴ab=
,
∴ab =
·=
=
.
18.解:(1)5 =
= ,3 =
∵75>45,∴ > ,
∴5 >3 .
=,
(2)3-6 =3-
=3- ,3-5 =3-
=3- .
∵180>150,∴- <- .∴3- <3- ,
即 3-6 <3-5 . 方法总结:比较两个含二次根式的式子大小的方法:可以转化成比较两 个被开方数的大小,即可以将根号外的正因数平方后移到根号内,计算 出被开方数后,再比较被开方数的大小,被开方数大的,其算术平方根 也大.如果是两个正数相比较,也可以采用平方法,如(4 )2=48,(3 )
解:
= × ,故 A 错误;
=|5a2b|,∴当 b≥0
时,
=5a2b,当 b<0 时,
=-5a2b,故 B 错误;
=
≠8+5,故 C 错误;
=
正确. 13.【答案】D 14.【答案】A
解:
=
=0.3× × =0.3ab.
= =7.故 D
15.错解:a =
= .
诊断:本题学生容易把 a 直接从外面平方后移到根号内化简,忽视了当 a 的取值为负数时,应留负号在根号外,然后再平方后移到根号内化简.
A.x≥1 B.-1≤x≤1 C.x≤-1 D.x≤-1 或 x≥1 5.下列等式成立的是( )
A.4 ×2 =8 B.5 ×4 =20
C.4 ×3 =7 D.5 ×4 =20
6.(2016·长沙)下列计算正确的是( )
A. × =
B.x8÷x2=x4
C.(2a)3=6a3 D.3a3·2a2=6a6 7. × 的计算结果估计在( ) A.1 至 1.5 之间 B.1.5 至 2 之间 C.2 至 2.5 之间 D.2.5 至 3 之间 8.在△ABC 中,BC=4 cm,BC 边上的高为 2 cm,则△ABC 的面积为( )
考查角度 3 利用二次根式的乘法性质比较大小 18.比较大小: (1)5 和 3 ; (2)3-6 与 3-5 .
探究培优
拔尖角度 1 利用二次根式的性质探究规律(从特殊到一般的思想) 19.观察下列各式子,并回答下面的问题.
第 1 个:
第 2 个:
2=36.∵48>36,∴4 >3 .21 教育网
19.解:(1)
,该式子一定是二次根式;∵n 为正整数时,n2-n=n(n-
1)≥0. (2)第 16 个式子应在 15 与 16 之间.理由如
下:∵
= , =15, =16,
∴15< <16.∴第 16 个式子的值应在 15 和 16 之间. 20.解:原式
A.4
B.2
C.3
D.2
12.下列计算正确的是( )
A.
=×
B.
=5a2b
C.
=8+5
D.
=7
13.对于任意实数 a,下列各式中一定成立的是( )
A.
=·
B.
=a+6
C.
=-4
D.
=5a2
14.设 =a, =b,用含有 a,b 的式子表示
,则下列表示正确的
是( ) A.0.3ab B.3ab C.0.1ab2 D.0.1a2b 易错点 忽视隐含条件,误将负数移到根号内
第 3 个:
第 4 个:
…… (1)试写出第 n(n 为正整数)个式子(用含 n 的代数式表示),这个式子 一定是二次根式吗?为什么? (2)你估计第 16 个式子的值应在哪两个连续整数之间?试说明理由.
拔尖角度 2 利用二次根式的性质巧化简(配方法、类比思想) 20.先阅读下面的解答过程,然后再解题:
15.将 a 根号外的因式移到根号内.
提升训练
考查角度 1 利用二次根式的乘法法则及性质进行计算
16.计算: (1) × ;
(2) ×(- )×
;
(3)
·
;
(4)
·
(a>0,b>0).
考查角度 2 利用二次根式相关性质将根号外的因式移到根号内 17.把下列根号外的因式移到根号内: (1)a ; (2)ab (0<a<b).
A.6 cm2
B.4 cm2
C.8 cm2
பைடு நூலகம்
D.16 cm2
知识点 2 积的算术平方根的性质
9.若 = · 成立,则( )
A.a≥0,b≥0 C.ab≥0
B.a≥0,b≤0 D.ab≤1
10.若
=
· ,则 x 的取值范围是( )
A.x≥-3 B.x≥2 C.x>-3 D.x>2
11.(2015·重庆)化简 的结果是( )
形如
的化简,只要我们找到两个正数 a,b(a>b),使( )2+(
)2=m, · = ,那么便有:
=
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例如:化简
.
= ± .21 世纪
解:
,这里 m=7,n=12,由于( )2+( )2=7, × = ,
∴
=
=2+ .
利用上面的方法化简:
.
参考答案
1.【答案】3 2.【答案】B 解： × = =4．故选：B． 3.【答案】C
=
=
=
=-.