二次根式知识点总结
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知识点一：二次根式的概念
【知识要点】
二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个
非负数时，
才有意义．
【例2】若式子
1
3
x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三：
1、使代数式2
21x x
-
+-有意义的x 的取值范围是
2、如果代数式mn
m 1+
-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=
解题思路：式a a ≥0），50
,50x x -≥⎧⎨
-≥⎩ 5x =，y=2009，则x+y=2014 举一反三： 111x x --2()x y =+，则x －y 的值为（ ）
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3
3、当a 211a +取值最小，并求出这个最小值。
已知a 5b 是
51
2
a b +
+的值。 若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y
x 1
2
+
的值.
知识点二：二次根式的性质
【知识要点】
1. 非负性：是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．
2. ()()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：
3.
a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()
()
注意：（1）字母不一定是正数．
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
4. 公式a a a a a a 2
00==≥-<⎧⎨⎩||()()
与()()a a a 20=≥的区别与联系
（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数．
（3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．
【典型例题】
【例4】若()2
240a c --=，
则=+-c b a ．
举一反三：
1、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为
＿＿＿＿＿＿.
2、若1a b -+互为相反数，则()
2005
_____________a b -=。
（公式)0()(2≥=a a a 的运用）
【例5】 化简：2
1a -+的结果为（ ）
A 、4—2a
B 、0
C 、2a —4
D 、4
举一反三：
3，则斜边长为
（公式
⎩
⎨
⎧
<
-
≥
=
=
)0
a(a
)0
a(a
a
a2的应用）
【例6】已知2
x<,
的结果是
A、2
x-B、2
x+C、2
x--D、2x
-
举一反三：
2
2
得（）
（A）2（B）44
x
-+（C）－2（D）44
x-
3、已知0
a<
【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│
的结果等于（）
A．－2b B．2b C．－2a D．2a
举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简
：1______
a-=．
【例8】
化简1x
-2x-5，则x的取值范围是（）（A）x为任意实数（B）1≤x≤4 （C）x≥1 （D）x≤1
举一反三：
2，则a的取值范围是（）Ａ．4
a≥Ｂ．2
a≤Ｃ．24
a
≤≤Ｄ．2
a=或4
a=
【例9】如果1
1
a2
a
a2=
+
-
+，那么a的取值范围是（）
A. a=0
B. a=1
C. a=0或a=1
D. a≤1
举一反三：
1
、如果3
a=成立，那么实数a的取值范围是（）
o
b a
.0.3;.3;.3A a B a C a D a ≤≤≥-≥
2、若03)3(2=-+-x x ，则x 的取值范围是（ ） （A ）3>x （B ）3 【例10】化简二次根式2 2 a a a +- 的结果是 （A ）2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a 1、把根号外的因式移到根号内：当b ＞0时，x x b ＝ ；a a --11)1(＝ 。 知识点三：最简二次根式和同类二次根式 【知识要点】 1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式． 2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。 【典型例题】 【例11】下列根式中能与3是合并的是( ) A.8 B. 27 C.25 D. 2 1 举一反三： 1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A B C D 2、如果最简二次根式83-a 与a 217-能够合并为一个二次根式, 则 a=__________.