中考数学专题复习-数形结合思想

中考数学专题复习——数形结合思想 一、知识梳理

数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的。

华罗庚先生曾指出：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休。”这充分说明了数形结合在数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想。 二、典型例题

（一）在数与式中的应用

例1、实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简2

||a a b +-=_________。

（二）在方程、不等式中的应用 例2、已知关于x 的不等式组0

20

x a x ->⎧⎨

->⎩的整数解共有2个，则a 的取值范围是____________。

例3、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）

A ．203210x y x y +-=⎧⎨--=⎩

，

B ．2103210x y x y --=⎧⎨--=⎩

，

C ．2103250

x y x y --=⎧⎨

+-=⎩，

D ．20210

x y x y +-=⎧⎨

--=⎩，

（三）在锐角三角函数中的应用

例4、画△ABC ，使cosA=2

1

，AB ＝2cm ，∠A 的对边可以在长为1cm 、2cm 、3cm 中任选，这样

的三角形可以画_______个。

（四）在函数中的应用

例5、如图为二次函数2

y ax bx c =++的图象，在下列说法中：

①0ac <；②方程20ax bx c ++=的根为11x =-，23x =； ③0a b c ++>；④当1x >时，y 随着x 的增大而增大． 正确的说法有 ．（请写出序号）

（五）在概率统计中的应用

例6、某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图：

a b

0 · P （1，1）

1 1

2 2

3 3 －1 －1

O

x y

x

y O

3 -1

⑴请写出从条形统计图中获得的一条信息；

⑵请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图，并说明这两幅统计图各有什么⑶请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。

例７以ｘ为自变量的二次函数ｙ=-ｘ2+2ｘ+ｍ，它的图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B，点A在点B的左边，点O为坐标原点，（1）求这个二次函数的解析式及点A，点B的坐标，画出二次函数的图象；（2）在x轴上是否存在点Q，在位于x轴上方部分的抛物线上是否存在点P，使得以A，P，Q三点为顶点的三角形与△AOC相似（不包含全等）？若

存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

三、综合训练

1、“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点A所表示的数是

2”

，这种利用图形直观说明问题的方式体现的数学思想方法叫（

）

A．代入法 B．数形结合C．换元法D．分类讨论

2、某人从A地向B地打长途电话6分钟，按通话电话收费，3分钟以内收费2.4元，此后每加1分钟加收1元，则表示电话费y（元）与通话时间（分）之间的关系的图象正确的是（）

3、若M

1

1

,

2

y

⎛⎫

-

⎪

⎝⎭

，N

2

1

,

4

y

⎛⎫

-

⎪

⎝⎭

，P

3

1

,

2

y

⎛⎫

⎪

⎝⎭

三点都在函数(0)

k

y k

x

=<的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）

A、y2＞y3＞y1

B、y2＞y1＞y3

C、y3＞y1＞y2

D、y3＞y2＞y1

A

1

-1 2

4、关于x的一元二次方程x2―x―n＝0没有实数根，则抛物线y＝x2―x―n的顶点在（）

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

5、如图，在平面直角坐标系中，∠AOB =150°，OA＝OB=2，

则点A、B的坐标分别是___________和___________。

6、如图，已知函数y x b

=+和3

y ax

=+的图象交点为P，

则不等式3

x b ax

+>+的解集为．

7、如图，为实数a、b在数轴上的位置，

化简222

()

a b a b

---。

思考题：

5、函数2

y x x m

=-+（m为常数）的图象如图，如果x a

=时，0

y<；

那么1

x a

=-时，函数值（）

A．0

y

<

>D．y m

=

2、如图1是一种带有黑白双色、边长是20cm的

正方形装饰瓷砖，用这样的四块瓷砖可以拼成如图2

的

图

案．已知制作图1这样的瓷砖，其黑、白两部分所用

材料的成本分别为0.02元/(cm2)和0.01元/(cm2)，那么制作这样一块瓷砖所用黑白材料的最低成本是_________元（π取3.14，结果精确到0.01元）

中考链接

１.(湖北中考)将不等式

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

-

≤

-

<

+

x

x

x

x

2

3

8

2

1

1

4

8

的解集在数轴上表示出来，正确的是(

x

y

O x1 x2

O

y

1

P

y=x+b

y=ax+3

图2

图1