武汉理工大学2013-2014学年第一学期概率论与数理统计期末考试试题及答案
武汉理工大学2013-2014学年第一学期概率论与数理统计期末考试试题及答案
…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线……………………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………武汉理工大学考试试题答案（A 卷）2013 ~2014 学年 1 学期 概率统计 课程一、C B D B A二、（1）18.4 （2）127（3） 2.0 （4） .1-X （5）（4.412，5.588） 三、1、解：)()()()()(7.0B P A P B P A P B A P -+== ⇒ 73=α。
……5分2、解：)(1)()()(B A P B A P B A P AB P ⋃-=⋃==)]()()([1AB P B P A P -+-=α-=1)(B P ……5分四．解：设A 为产品合格事件，则A A ,是产品的一个划分。
又设B 为产品检查合格事件， 则9.0)(=A P ，98.0)|(=A B P ，05.0)|(=A B P 。
（1） 由全概率公式，一个产品被认为合格的概率)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=887.005.01.098.09.0=⨯+⨯=。
……6分（2）由贝叶斯定理，“合格品”确实合格的概率)(/)|()()|(B P A B P A P B A P =994.0887.0/98.09.0=⨯= …… 10分五．解：（1）联合密度为,01,0(,)0,其他ye x yf x y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩………..3分(1) 112200(2)21xyP X Y dx e dy e -->==-⎰⎰ ……………6分(3) ()()(,)z x y zF Z P X Y z f x y d σ-≤=-≤=⎰⎰ 当0z <时，110()(1)y z z x zF Z dx e dy e e +∞---==-⎰⎰当01z ≤<时，110()11x z y z z zF Z dx e dy z e ---=-=+-⎰⎰当1z ≥时，()1z F Z = ………………8分1'1(1),0()()1,010,1z z z z e e z f Z F Z e z z --⎧-<⎪==-≤<⎨⎪≥⎩…………………10分六．解：（1）由(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，得A ＝1 ……2分（2）1()0xxDE XY xydxdy dx xydy -===⎰⎰⎰⎰ 2()3DE X xdxdy ==⎰⎰ ……6分 ()0DE Y ydxdy ==⎰⎰ cov ,)()()()0X Y E XY E X E Y (＝－＝ ……8分（3）0XY ρ= X 与Y 不相关 ……10分七解：（1）32+-=θEX ，59523121=++++=X ，θ的矩估计值为：53ˆ=θ ……5分 （2）224)1()]1(2[)(θθθθθ--=L ，=θθd L d )(ln 0146=--θθ，⇒θ的最大似然估计值为53ˆ=θ。
2012,2013,2014年概率论与数理统计期末考试试卷答案
2012年概率论与数理统计期末考试试卷一. 填空题(每题5分, 共30分)1. 设随机变量X 服从正态分布(1,4)N , 已知(1)a Φ=, 其中()x Φ表示标准正态分布的分布函数, 则{13}P X -≤≤=21a -.解: 111311{13}11(1)(1)2222(1)(1(1))2(1)12 1.X X P X P P a -----⎧⎫⎧⎫-≤≤=≤≤=-≤≤=Φ-Φ-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Φ--Φ=Φ-=- 2. 设概率()0.3,()0.5,()0.6P A P B P A B ==+=, 则()P AB = 0.1 . 解: ()()()()0.2P AB P A P B P A B =+-+=,()()()0.30.20.1P AB P A P AB =-=-=.3. 设随机变量,X Y 的数学期望分布是-2, 1, 方差分别是1, 4, 两者相关系数是—0.5, 则由契比雪夫不等式估计(|2|6)P X Y +≥≤ 13/36 . 解: 由已知条件得, (2)2220E X Y EX EY +=+=-+=,(2)4()2(,2)4()4(,)D X Y DX D Y Cov X Y DX D Y Cov X Y +=++=++4()41164(1/2)213DX D Y ρ=++=++⋅-⋅=, 所以, 13(|2|6)36P X Y +≥≤. 4. 已知,X Y 是具有相同分布的两个独立随机变量, 且1(1)(1)2P X P Y =-==-=, 1(0)(0)2P X P Y ====, 则()P X Y == 1/2 . 解:()(0,0)(1,1)1(0)(0)(1)(1).2P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y ====+=-=-===+=-=-=5. 设1216,,,X X X 是来自2(0,)N σ的样本, S 是样本均方差, 则1614ii XS=∑服从t (15).解: 由定理3(15)t ,161611(15)4i ii X X X t S ===∑∑.6. 设1281,,,(,9)X X X N μ, 要检验假设0:0H μ=, 则当0H 为真时, 用于检验的统计量3X 服从的分布是(0,1)N . 解: 由定理1(0,1)X N , 3(0,1)X N .二. 解答下列各题:7. (10分)已知男人中色盲人数所占比例是5%, 女人中色盲人数所占比例是0.25%. 现从男女人数各占一半的人群中随机选取一人, 求该人恰是色盲者的概率.解: 设A =“该人是色盲”, 1A =“该人是男人”, 2A =“该人是女人”.由全概率公式知, 2111()()()0.050.0025 2.625%22i i i P A P A P A A ===⨯+⨯=∑.8. (10分) 从只含3红, 4白两种颜色的球袋中逐次取一球, 令1,,0,i X ⎧=⎨⎩第次取出球第次取出白球，i 红i 1,2i =. 实在不放回模式下求12,X X 的联合分布律,4/7 3/7 j P因为1212{0,0}{0}{0}P X X P X P X ==≠==, 所以12,X X 不独立. 9. (10分)设随机向量(,)X Y 的联合概率密度函数为3,01,,(,)20,xx x y x f x y ⎧<<-<<⎪=⎨⎪⎩其他，求,X Y 的边缘概率密度函数. 解: 当01x <<时, 23()(,)32xX x xf x f x y dy dy x +∞-∞-===⎰⎰.所以,23,01,()0,.其他X x x f x ⎧<<=⎨⎩当10y -<<时, 1233()(1)24Y y x f y dx y -==-⎰;当01y ≤<时, 1233()(1)24Y y x f y dx y ==-⎰; 所以,23(1),11,()40,.其他Y y y f y ⎧--<<⎪=⎨⎪⎩10. (10分) 设,X Y 相互独立, 且(1)(1)0P X P Y p ====>, (0)(0)10P X P Y p ====->,令1,0,X Y Z X Y +⎧=⎨+⎩当为偶数,当为奇数,求Z 的分布律.解:{0}{0,1}{1,0}{0}{1}{1}{0}2(1)P Z P X Y P X Y P X P Y P X P Y p p ====+=====+===- 22{1}{0,0}{1,1}{0}{0}{1}{1}(1).P Z P X Y P X Y P X P Y P X P Y p p ====+=====+===+- 所以, Z11. (10分12,,X 是来自具有分布的总体的随机样本,试用中心极限定理计算()5P X >.(已知(2)0.508Φ=.)解: 由题知1()3i E X =,2()1i E X =,故()228()9i i i D X EX EX =-=. 由中心极限定理知,20012001600(,)39ii X N =∑. 所以, 11111()4014052005n i n n i i i i i X P X P P X P X ===⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪>=>=>=-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭∑∑∑1200200403311(2)(2)0.508404033n i i X P =⎛⎫-- ⎪ ⎪=-≤≈-Φ-=Φ= ⎪ ⎪⎝⎭∑. 12. (10分)设总体X 的密度函数为36(),0,(;)0,其他,xx x f x θθθθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩求θ的矩估计ˆθ并计算ˆD θ.解: 依题意,306()()2xE X xx dx X θθθθ=-==⎰,得参数θ的矩估计量为ˆ2X θ=. 4ˆ4D DX DX n θ==. 而2223063()()10x E X x x dx θθθθ=-=⎰,故22244ˆ()5D DX EX E X n n n θθ==-=.13. (10分) 某电器零件平均电阻一直保持在2.64Ω,使用新工艺后,测得100个零件平均电阻在2.62Ω,如改变工艺前后电阻均方差保持在0.06Ω,问新工艺对零件电阻有无显著影响?(取0.01α=)(1.96)0.975,Φ=(1.64)0.95,Φ=(2.58)0.995Φ=. 解: 设X 为零件的平均电阻, 则2~(,0.06)X N μ. (1)假设0: 2.64H μ=; (2)取统计量~(0,1)X U N=;(3)由0.01α=, 确定临界值22.58u α=, , 使得2{||}0.01P U u α>=;(4)由样本值 2.62x =, 得统计量U 的观察值3.33x u ==≈-.(5)因为 2.58u >,所以拒绝原假设0H ,认为新工艺对零件电阻有显著影响.2013年概率论与数理统计期末考试试卷一. 填空题(每题4分, 共20分)1. 设随机变量,X Y 相互独立, 且同分布, {1}{1}0.5P X P X =-===,{1}{1}0.5P Y P Y =-===, 则{}P X Y == 1/2 .解: 1{}{1,1}{1,1}{1}{1}{1}{1}.2P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y ===-=-+====-=-+===2.22x edx +∞-=⎰2. 解:因为221x +∞--∞=⎰,所以22xe +∞--∞=⎰即2202x e +∞-=⎰. 3. 设连续型随机变量X的密度函数22()2()x f x μσ--=, x -∞<<+∞, 则EX =μ, DX =2σ. 解:因为22()2()x X f x μσ--=, 所以2(,)X N μσ.4. 设总体(3,10)XN , 12100,,,X X X 为来自总体X 的简单随机样本, 则10011100i i X X ==∑1~(3,)10X N . 解: 由定理1知, 1~(3,)10X N . 5. 设袋中有8个红球, 2个黑球, 每次从袋中摸取一个球并且不放回, 那么第一次与第三次都摸到红球的概率是 28/45 . 解: 记i A =“第i 次摸到红球”, 1,2,3i =.13131223123123()()(())()P A A P A A P A A A A P A A A A A A =Ω=+=+123123121312121312()()()()()()()()P A A A P A A A P A P A A P A A A P A P A A P A A A =+=+876827281098109845=⨯⨯+⨯⨯=. 二. 解答题6. (12分) 某矿内有甲乙两个报警系统, 单独使用时甲的有效性为0.92, 乙为0.93, 且在甲失灵的条件下乙有效的概率为0.85, 求意外发生时, 甲乙至少有一个有效的概率, 以及乙失灵时甲有效的概率. 参考练习册反12第4题. 解: 设A =“甲有效”, B =“乙有效”.题目转为: 已知()0.92,()0.93P A P B ==, {}0.85P B A =, 求()P A B +和{}P A B . 因为()()()(){}0.851()1()()P BA P B A P B P AB P B A P A P A P A --====--, 所以, ()0.862P AB =.所以, ()()()()0.988P A B P A P B P AB +=+-=;()()()()0.920.862{}0.831()1()10.93()P AB P A B P A P AB P A B P B P B P B ---====≈---. 7. (12分)设连续型随机变量X 的分布函数为()arctan ()F x a b x x =+-∞<<+∞, 求常数,a b 以及随机变量X 的密度函数. 解: 根据分布函数的性质得()1,2()0,2b F a b F a ππ⎧+∞=+=⎪⎪⎨⎪-∞=-=⎪⎩ 所以1,21.a b π⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩X 的密度函数为21()(1)f x x π=+.8. (14分) 设某种类型人造卫星的寿命X (单位: 年)的密度函数为21,0,()20,0.xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩若2颗这样的卫星同时升空投入使用, 试求:(1) 3年后这2颗卫星都正常运行的概率;(2) 3年后至少有1颗卫星正常运行的概率. 参考教材P37例3 解: 1颗卫星3年内正常运行的概率为32231{3}2x P X e dx e +∞--≥==⎰. 记Y 表示2颗卫星在3年内正常运行的颗数, 则32(2,)Y B e -.(1) 3年后这2颗卫星都正常运行的概率2332{2}P Y e e --⎛⎫=== ⎪⎝⎭;(2) 3年后至少有1颗卫星正常运行的概率232{1}1{0}11P Y P Y e -⎛⎫≥=-≥=-- ⎪⎝⎭.9. (14分) 设某高校英语考试成绩近似服从均值为72的正态分布, 96分以上的考生占总数的2.3%(已知满分为100, 合格线为60), 试求: (1) 考生成绩在60-84之间的概率;(2) 该校考生的合格率.((2)0.977,(1)0.8413)Φ=Φ= 解: 设某高校英语考试成绩为X , 则2(72,)XN σ.由题意知{96}0.023P X ≥=, 即7296720.023X P σσ--⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭, 所以241()0.023σ-Φ=, 即24()0.977(2)σΦ==Φ.因此, 12σ=.(1) 考生成绩在60-84之间的概率6072728472{6084}(1)(1)2(1)10.6826;121212X P X P ---⎧⎫≤≤=≤≤=Φ-Φ-=Φ-=⎨⎬⎩⎭(2) 合格率726072{60}1(1)(1)0.8413.1212X P X P --⎧⎫≥=≥=-Φ-=Φ=⎨⎬⎩⎭10. (14分) 一工厂生产的某种电池的寿命服从正态分布(25,100)N , 现在从这种电池中随机抽取16个, 测得平均寿命为23.8小时, 由此能否断定: 在显著性水平为0.05α=时, 该种电池的平均寿命小于25小时. ((1.96)0.975,(1.64)0.95)Φ=Φ= 解: 设X 为电池寿命, 则~(,100)X N μ.(1)假设00:25H μμ≥=; (2)取统计量~(0,1)X U N=;(3) 由0.05α=, 确定临界值 1.64u α-=-, 使得{}0.05P U u α<-=; (4)由样本均值23.8x =, 得统计量U 的观察值00.48u ===-.(5)因为00.48 1.64u =->-,此时没有充分理由说明小概率事件{ 1.64}u <-一定发生. 所以接受原假设0H , 认为这种电池的平均寿命不小于25小时. 注: 原假设不能设为00:25H μμ<=,此时μ取不到0μ,统计量X U =就没有意义了!11. (14分)设总体X 是离散型随机变量, 其所有可能的取值为0, 1, 2, 已知2(1)EX θ=-, 2{2}(1)P X θ==-, θ为参数. 对X 取容量为10的样本如下 1, 1, 0, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 2.求参数θ的矩估计和极大似然估计.解:(1) 由2(1)X θ=-, 得θ的矩估计量为12Xθ=-; 结合 1.1x =, θ的矩估计值为10.452x θ=-=.(2) 构造似然函数为11912101210(){1,1,,2}{1}{1}{2}32(1)L P X X X P X P X P X θθθ=========-,取对数ln ()ln3211ln(1)9ln L θθθ=+-+,求导数(ln ())11901d L d θθθθ=-+=-, 得θ的极大似然估计值为920θ=.2014年概率论与数理统计期末考试试卷一. 填空题(共40分, 每空5分)1. 设~(,)X B n p , ~(,)Y B m p , 且X 与Y 独立, 则X Y +~(),(p m n B +)分布;2. 设2~(,)X N μσ, 则X 的密度函数()f x =(222)(21σμσπ--x e);3. 设总体X 的方差为2σ, 12,,,n X X X 为样本, X 为样本均值, 则期望211()n i i E X X n =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑(21σn n -); 4. 设12,,,n X X X 为样本, 则统计量211n i i X n =∑的名称为(样本2阶原点矩);5. 设总体~(,1)X N μ, 12,,,n X X X 为来自该总体的样本, 则21()ni i X μ=-∑服从()(2n χ)分布;6. 一批产品中有5个正品, 3个次品, 从中任取2个, 恰有1个次品, 1个正品的概率为(2815281315=C C C );7. 样本的特性是(独立、同分布且与总体分布相同);8. 在假设检验中, 可能犯两类错误. 其中第一类错误也称为弃真, 弃真的确切含义为(当原假设是真的时，拒绝了它). 二. 计算题(60分, 每题10分)1. 假设某贪官收受一次贿赂而被曝光的概率为0.05, 到目前为止共收受80次贿赂, 假设案发前每次收受贿赂是否曝光相互独立. 试用概率说明 “多行不义必自毙”. (取20190.3520⎛⎫≈ ⎪⎝⎭)解：记i A 为事件“第i 次收受贿赂而被曝光”（1,2,,80i），---------------------2 于是案发的概率为 )(801∑=i i A P ------------- ------------- -----------------4 )(1)(1801801∏∏==-=-=i i i i A P A P----------------------6985.035.01)2019(195.0148080=-=-=-=。
武汉大学《概率论与数理统计》期末考试历年真题及参考答案
6、解：首先确定 f (x, y)
1[
1 x dy]dx
6,0 x 1, x2
y x；
0 x2
E(X)=
1[
0
x x2
x
6dy]dx
1 2
；E(X
2
)=
1[
0
x x2
x2
6dy]dx
3 10
；E(Y)=
1[
0
y
y y 6dx]dy
2 5
E(Y 2 )=
1[
0
y
y
(
1 2
x)(
1 2
y)
f
(x,
y), 所以X ,Y不独立；
（3）1[ 1h(x y) f (x, y)dy]dx 1[ x1 h(z)(x x z)dz]dx
00
0x
0 [ z1 h(z)(2x z)dx]dz 1 1 h(z)(2x z)dx]dz
1 0
0z
0 h(z)(z2 z 1)dz 1 h(z)(1 z2 z)dz
Z 0 1234
P
1 131 1
(Z) 16 4 8 4 16
武汉大学2011-2012 第一学期《概率论与数理统 计》期末试题及参考答案
一、解：(1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.5+0.4-0.5×0.4=0.7
(2)P((A-B)|(A+B))=P((A-B)∩(A+B))/P(A+B)=[P(A)-P(A)P(B)]/P(A+B)=0.3/0.7=3/7 二、解：
y
2
6dx]dy
3 14
；E(XY)=
概率论和数理统计期末考试题及答案
概率论与数理统计期末复习题一一、填空题（每空2分，共20分）1、设X 为连续型随机变量，则P{X=1}=( 0 ).2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ).3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（ 1 ） ，D （2Y-X+1）=（ 17 ）.5、已知随机变量X ～N(μ,σ2),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6且X 与Y 相互独立。
则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ).7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( X (n) ).二、计算题（每题12分，共48分）1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.解：(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P(2)21.049.0/)3.035.0()|(2=⨯=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X ＜1/λ)}; (3)F(1).⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-000)(2x x e A x f x λλ解：（1）由归一性：λλλλλλ/1,|)(102==-===∞+--+∞+∞∞-⎰⎰A A e A dx e A dx x f x x 所以（2）⎰=-==<<--λλλλ/1036.0/11}/11{e dx e X P x（3）⎰---==11)1(λλλe dx eF x3、设随机变量X 的分布律为且X X Y 22+=，求(1)()E X ; (2)()E Y ; (3))(X D . 解：（1）14.023.012.001.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯-=X E （2）24.043.012.001.01)(2=⨯+⨯+⨯+⨯=X E422)(2)()2()(22=+=+=+=X E X E X X E Y E（3）112)]([)()(22=-=-=X E X E X D4、若X ～N(μ,σ2),求μ, σ2的矩估计.解：（1）E(X)=μ 令μ=-X 所以μ的矩估计为-Λ=X μ（2）D(X)=E(X 2)-[E(X)]2又E(X 2)=∑=n i i X n 121D(X)= ∑=n i i X n 121--X =212)(1σ=-∑=-n i i X X n所以σ2的矩估计为∑=-Λ-=ni i X X n 122)(1σ三、解答题（12分）设某次考试的考生的成绩X 服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分? 解：提出假设检验问题：H 0: μ=70, H 1 ：μ≠70,nS X t /70-=-～t(n-1),其中n=36,-x =66.5,s=15,α=0.05,t α/2(n-1)=t 0.025(35)=2.03 (6)03.24.136/15|705.66|||<=-=t所以,接受H 0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分四、综合题（每小题4分，共20分） 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为：32,01,01(,)0,x ce y x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它试求: )1( 常数C ；)2(()X f x , )(y f Y ；)3( X 与Y 是否相互独立？)4( )(X E ,)(Y E ,)(XY E ； )5( )(X D ,)(Y D . 附：Φ（1.96）=0.975； Φ（1）=0.84； Φ（2）=0.9772t 0.05(9)= 1.8331 ; t 0.025(9)=2.262 ; 8595.1)8(05.0=t ， 306.2)8(025.0=t t 0.05(36)= 1.6883 ; t 0.025(36)=2.0281 ; 0.05(35) 1.6896t =， 0.025(35) 2.0301t = 解：(1))1(9|31|3113103103101010102323-=⋅⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰e c y e c dy y dx e c dxdy y ce x x x 所以,c=9/(e 3-1)(2)0)(1319)(,103323103=-=-=≤≤⎰x f x e e dy y e e x f x X xx X 为其它情况时，当当所以,333,01()10,xX e x f x e ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它同理, 23,01()0,Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩其它(3)因为: 32333,01,01()()(,)10,x X Y e y x y f x f y f x y e ⎧⋅≤≤≤≤⎪==-⎨⎪⎩其它所以,X 与Y 相互独立. (4)113333013130303331111(|)1213(1)x xx x EX x e dx xde e e y e e dx e e e =⋅=--=⋅--+=-⎰⎰⎰124100333|44EY y y dx y =⋅==⎰ 3321()4(1)e E XY EX EY e +=⋅=- (5) 22()DX EX EX =-11223231303300133130303331|21112(|)13529(1)x x xx x EX x e dy x e e xdx e e e xe e dx e e e ⎡⎤=⋅=⋅-⋅⎢⎥⎣⎦--⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-=-⎰⎰⎰ ∴3323326332521(21)9(1)9(1)1119(1)e DX e e e e e e -=-+---+=-22()DY EY EY =- 12225010333|55EY y y dy y =⋅==⎰ ∴ 2333()5480DY =-=概率论与数理统计期末复习题二一、计算题（每题10分，共70分）1、设P （A ）=1/3，P （B ）=1/4，P （A ∪B ）=1/2.求P （AB ）、P （A-B ）.解：P （AB ）= P （A ）+P （B ）- P （A ∪B ）=1/12P （A-B ）= P （A ）-P （AB ）=1/42、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？解：用A 表示“从甲袋中任取一球为红球”， B 表示“从乙袋中任取两球都为白球”。
武汉理工大学概率论与数理统计试题期末
…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………已知一批零件长度X(…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称 概率论与数理统计（A 卷）一. 填空题（每题3分，共30分）1. 18/35 ；2. 3/4 ；3. 1/e ；4. 4 ；5. 1/3 ；6. 14 ；7. 5.4 ；8. 1/3 ；9. 1 ； 10. (39.51,40.49) . 二．计算题（每题10分，共30分）1.解：设}{能发芽=B ，1,2,3i }{==等品取的是第i A i ,易见的一个划分是Ω321,,A A A ,05.0)(15.0)(,8.0)(321===A P A P A P ， ,8.0)|(95.0)|(,98.0)|(321===A B P A B P A B P ， -----------------4分由全概率公式，得9665.0)|()()(31==∑=i iiA B P A P B P -----------------7分由贝叶斯公式，得1474.096651425)|()()|()()(31222≈==∑=i iiA B P A P A B P A P B A P --------------10分 2.解：(1)123)(11==+=⎰⎰⎰+∞∞-A dx x A Axdx dx x f e，故A =32--------------3分 (2)()()F x P X x =≤。
当0<x 时,()0F x =;当10<≤x 时, 203132)()(x t d t dt t f x F x x===⎰⎰∞-当e x <≤1时, x dt t tdt dt t f x F x x ln 32313232)()(110+=+==⎰⎰⎰∞-当e x ≥时,()1F x =. --------------7分 (3) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤521X P =)21()5(F F -=1211--------------10分 3. 解：设{}()300,2,116.0)(,2.0)(,2.01,0 1.2i ,1 =====⎩⎨⎧=i X D X E X P X i i i i 则，其他元只蛋糕售价为卖出的第 --------------3分由中心极限定理⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑∑==)(300)(30060)(300)(3006030013001i i i i i i i i X D X E X D X E X P X P --------6分≈⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-Φ-16.03002.030601=5.0)0(1=Φ- ---------10分三．（10分）解：⎩⎨⎧>=∴-其他,00,2)(),2(~2x e x f E X x X ， ---------2分对x e y 21--=，当0>x 时，有10<<y当10<<y 时，{}⎪⎭⎫⎝⎛--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--≤=≤-=-)1ln(21)1ln(211)(2y F y X P y e P y F X XY ---------6分 ∴ 1)1l n (21)1l n (21)()(='⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--==y y f dy y dF y f x Y Y ---------9分 ⎩⎨⎧<<=∴其他,010,1)(y y f Y ---------10分 四.（10分) 解：由题意知，X 的可能取值为：0，1，2，3；Y 的可能取值为：1，3. 且{}81213,03=⎪⎭⎫⎝⎛===Y X P ，{}8321211,1213=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===CY X P ，{}8321211,2223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===CY X P ， {}81213,33=⎪⎭⎫⎝⎛===Y X P .于是，（1）（X ，Y ）的联合分布为---------7分（2）{}{}813,0====>Y X P X Y P . ---------10分 六. 应用题（每题10分，共20分）1. （1） 22012(1)23(12)34,EX θθθθθθ=⨯+⨯-+⨯+⨯-=-令X EX =,可得θ的矩估计量为1ˆ(3),4X θ=- 根据给定的样本观察值计算232031361=+++++=）（x ，因此θ的矩估计值41ˆ=θ； -------4分 （2）对于给定的样本值似然函数为)1()21(2)(35θθθθ--=L -------6分)1ln()21ln(3ln 52ln )(ln θθθθ-+-++=L令 0)1)(21(52218112165)(ln 2=--+-=----=θθθθθθθθθθd L d可得θ的极大似然估计值 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛>+-=不合题意21183111183111ˆθ-------10分 2. 解：要检验假设70:,70:10≠=μμH H ， -------2分)1(~/--=n t n S X t μ，故拒绝域为)35(2αt t ≥. 05.0=α，36=n ，0301.2)35(025.0=t ，5.66=x ，15=S ， 由于4.136/15705.66=-=t ,所以0301.2)35(2=<αt t ，故接受0H ，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分. -------10分。
武汉理工大学概率统计期末试卷B
武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称—概率论与数理统计——（B 卷）一. 选择题（每小题3分，共15分）1.C2.D3.B4.D5.A 二. 填空题（每小题3分，共15分）1.157 2. 41 3.20 4. 0.3 5.221σ+-n n三．解：（1）3.004.07.0)()()()(=+-=+-=AB P A P B A P B P ……5分（2）)()()()()(B P A P A P B A P B P +-= ，5.06.03.0)(1)()()(==--=A P A PB A P B P ……10分四．（1）),(Y X 的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧∈--=,,0),(,))((1),(其他D y x c d a b y x f … 5分 （2）⎰∞+∞-⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==,,0,,1),()(其他b x a a b dy y x f x f X⎰∞+∞-⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==,,0,,1),()(其他d y c cd dx y x f y f Y … 7分 （3）)()(),(y f x f y x f Y X = ，Y X 与∴ 独立。
……10分五、设A 为产品合格事件，则A A ,是产品的一个划分。
又设B 为产品检查合格事件。
则9.0)(=A P ，98.0)|(=A B P ，05.0)|(=A B P …… 4分 （1）由全概率公式，一个产品被认为合格的概率)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=887.005.01.098.09.0=⨯+⨯=。
…… 8分（2）由贝叶斯定理，“合格品”确实合格的概率)(/)|()()|(B P A B P A P B A P =994.0887.0/98.09.0=⨯=。
…… 10分六．12411218381=+++++B A (1) ……3分若x 与y 独立, 应有:()()()212,1=⋅====y P x P y x P⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⇒A 12124112181121 (2) ……6分综合(1)(2)有:41=A 81=B ……10分 七．0>y 时，dx x f y F yyX Y ⎰-=)()( ……4分 221)()(yY Y e y y F y f -='=π ……6分0≤y 时，0)(=y F Y ⎪⎩⎪⎨⎧≥>=-0021)(2y y e yy f y Y π …… 10分八、（1）1)()(+==⎰+∞--θθθdx xe X E x X =+1θ ， θ的矩估计为：.1-X ……… 5分 （2）∑-=⋅=ni ix n n e e x x x L 1),,,(21θθ0ln >θd L d ， L 为θ的单调增函数，故 }{min 1i n i x ≤≤=θ … 10分九(0,1)X N ………3分{1.4 5.4}}2(163P X P <<=<=Φ- ………7分解2(10.953Φ-≥ 得34.6n ≥ n 至少取35 (10)()1{0,1}()()()8P AB P X Y P AB P AB P A B ====-= ………………8分|1115{0,0}18888P X Y ===---= ………………10分| 五. （10分）（1）由(,)1f x yd x d y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，得A ＝1 ………………2分 |（2）10()0xxDE XY xydxdy dx xydy -===⎰⎰⎰⎰2()3DE X xdxdy ==⎰⎰ …………6分 ()0DE Y ydxdy ==⎰⎰ cov ,)()()()0X Y E XY E X E Y (＝－＝ (9)分（3）0XY ρ= X 与Y 不相关 ………………10分六.（10分）设同时开着的灯数为X ，(10000,0.7)X b ………………2分(0,1)N （近似） (5)分{69007100}210.971P X ≤≤=Φ-= ………………10分七.（10分）1101()(2E X dx θθθθ++==+⎰+1)x ………………3分 解12X θθ+=+，得θ的矩估计量为211X X-- ………………5分1()1()ni i L x θθθ=+∏n＝（） 1ln ln 1ln nii L n xθθ==+∑（）+ (7)分令1ln ln 01ni i d L nx d θθ==+=+∑ 得θ的极大似然估计量为11ln nii nX=--∑ …………10分八.（10(0,1)X N ………………3分{1.4 5.4}21P X P <<=<=Φ- ………………7分解2(10.953Φ-≥ 得34.6n ≥ n 至少取35 ………………10分九.（10分）T =(1)X t n - 0.005{(1)}0.99P T t n <-= ……………4分0.0050.005{(1)(1)}0.99P X n X X n -<<-= ..................8分 所求为（1485.61，1514.39） (10)分。
武汉理工大学第一学期期末考试线性代数与概率统计(新)
一、单选( 每题参考分值2.5分)1、设总体服从泊松分布：，其中为未知参数，为样本，记，则下面几种说法错误的是（）A. 是的无偏估计B. 是的矩估计C. 是的矩估计D. 是的矩估计错误:【D】2、设随机变量的分布函数为，则（）A.B.C.D.错误:【B】3、A.-1B. 1C.D.错误:【B】4、在下列结果中，构成概率分布的是（）A.B.C.D.错误:【B】5、A.B.C.D.错误:【D】6、设是的特征值且，则是（）特征值A.B.C.D.错误:【D】7、已知，则为（）A.B.C.D.错误:【C】8、设三阶方阵的特征值为，对应的特征向量为，若，则A.B.C.D.错误:【D】9、已知向量，若可由线性表出那么（）A. ，B. ，C. ，D. ，错误:【A】10、实二次型，则负惯性指数为（）A.B.C.D.错误:【B】11、与的相关系数，表示与（）A. 相互独立B. 不线性相关C. 存在常数使D. 满足错误:【B】12、设总体为参数的动态分布，今测得的样本观测值为0.1,0.2,0.3,0.4，则参数的矩估计值为（）A. 0.2B. 0.25C. 1D. 4错误:【B】13、设是来自正态总体的样本，则服从的分布为（）A.B.C.D.错误:【A】14、若是矩阵，是的导出组，则（）A. 若有无穷多个解，则仅有零解B. 仅有零解，则有唯一解C. 若有无穷多个解，则有非零解D. 有非零解，则有无穷多个解错误:【C】15、以下结论中不正确的是（）A. 若存在可逆矩阵，使，则是正定矩阵B. 二次型是正定二次型C. 元实二次型正定的充分必要条件是的正惯性指数为D. 阶实对称矩阵正定的充分必要条件是的特征值全为正数错误:【B】16、设随机事件A与B相互独立，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，且，则（）B.C.D.错误:【B】17、对于正态分布，抽取容量为10的样本，算得样本均值，样本方差，给定显著水平，检验假设.则正确的方法和结论是（）A. 用检验法，查临界值表知，拒绝B. 用检验法，查临界值表知，拒绝C. 用检验法，查临界值表知，拒绝D. 用检验法，查临界值表知，拒绝错误:【C】18、设随机变量和的密度函数分别为若与相互独立，则（）B.C.D.错误:【D】19、设二维随机变量，则（）A.B. 3C. 18D. 36错误:【B】20、A.B.C.D.错误:【B】21、已知为阶方阵，以下说法错误的是（）A.B. 的全部特征向量为的全部解C. 若有个互不相同的特征值，则必有个线性无关的特征向量D. 若可逆，而矩阵的属于特征值的特征向量也是矩阵属于特征值的特征向量错误:【B】22、设离散的随机变量X的分布为则（）A.B. 任意正实数C.D.错误:【C】23、称是来自总体的一个简单随机样本（简称样本），即满足（）A. 相互独立，不一定同分布B. 相互独立同分布，但与总体分布不一定相同C. 相互独立且均与总体同分布D. 与总体同分布，但不一定相互独立错误:【C】24、设是次重复试验中事件出现的次数，是事件在每次试验中出现的概率，则对任意均有（）A. =0B. =1C. >0D. 不存在错误:【A】25、设随机变量为独立同分布序列，且服从参数为的指数分布，则下面式子中正确的是（）A.B.C.D.错误:【A】26、设4个3维列向量组成的矩阵经初等行变换后变为，则可表示为（）A.B.C.D.错误:【A】27、A.B.C.D.错误:【C】28、设是二阶矩阵的两个特征，那么它的特征方程是（）A.B.C.D.错误:【D】29、已知线性无关则（）A. 必线性无关B. 若为奇数，则必有线性无关C. 若为偶数，则线性无关D. 以上都不对错误:【C】30、设是一非齐次线性方程组，是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A. 是的一个解B. 是的一个解C. 是的一个解D. 是的一个解错误:【A】31、设总体的分布函数为,则总体均值和方差的矩估计分别为（）A.B.C.D.错误:【B】32、设一批产品有1000件，其中有50件次品，从中随机地、有放回地抽取500件产品，表示抽到次品的件数，则（）A.B.C.D.错误:【C】33、两个独立事件A和B发生的概率分别为和，则其中之一发生的概率为（）A.B.C.D.错误:【D】34、设A、B、C是三个事件，且，，，则A、B、C至少有1个发生的概率为（）A.B.C.D.错误:【C】35、A.B.C.D.错误:【D】36、设二维随机变量，且与相互独立，则（）A.B.C.D.错误:【D】37、下列结论正确的是（）A.正交向量组一定线性无关B.线性无关向量组一定是正交向量组C.正交向量组不含零向量D.线性无关向量组不含零向量错误:【D】38、向量空间的维数等于（）A. 0B. 1C. 2D. 3错误:【C】39、下列说法正确的是（）A.B.C.D.错误:【D】40、若阶可逆矩阵与相似，且则（）A.B.C.D.错误:【C】41、设总体的分布中带有未知参数，为样本，和是参数的两个无偏估计，若对任意的样本容量，若为比有效的估计量，则必有（）A.B.C.D.错误:【B 】42、若二次型 为正定二次型，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.错误:【C 】43、已知方阵相似于对角阵，则常数（ ）A.B.C.D.错误:【A】44、实二次型为正定的充要条件是（）A.的秩为B.的正惯性指数为C.的正惯性指数等于的秩D.的负惯性指数为错误:【B】45、A.B.C.D.错误:【C】46、A.B.C.D.以上都不对错误:【C】47、二次型的标准型为（）A.B.C.D.错误:【D】48、若，则的特征值为（）A.或B.或C.D.错误:【B】49、设与都是来自于总体的两独立样本，，与分别是两样本的均值和方差，，则有（）A.对于任意的常数是的无偏估计，且，，达到最小B.对于任意的常数是的无偏估计，且，，达到最小C.对于任意常数，都是的无偏估计，并且当时，达到最小D.对于任意常数，都是的无偏估计错误:【D】50、已知是正定矩阵，则（）A.B.C.D.错误:【B】。
武汉理工概率论和数理统计考试符答案
D.
Xi ∑ i
=1
2
~ χ 2 (n).
三. (12 分) 已知随机变量 X 的概率密度为
f ( x) = Ae − x , − ∞ < x < +∞. 求：
(1) 常数 A ；
(2) P{0 < X < 1} ;
(3) Y = X 的概率密度.
四. (12 分) 某箱装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 80，10，10 件.现从中随机抽取一件，记
果他乘火车、轮船、汽车前去，迟到的概率分别为 1/3，1/12 和 1/4，乘飞机不会迟到.结果他迟到了， 求他是乘汽车去的概率.
2. (10 分)
据以往经验，某种电子设备的寿命服从均值为 100 小时的指数分布. 现随机地取 16 台，设它们
的寿命是相互独立的. 试用中心极限定理求这 16 台设备的寿命总和大于 1920 小时的概率.
4.
要检验的假设为
H 0 : µ = 70 T=
H 1 : µ ≠ 70 ；
拒绝域为
检验统计量为
X −µ ~ t ( n − 1) ； S n
| x − 70 | = | 66.5 − 70 | 15 36
t ≥ tα 2 (n − 1) ；
计算统计值得
| t |=
s
n
= 1.4 ；
查表知
tα 2 (n − 1) = t 0.025 (35) = 2.0301；执行统计判决 | t | = 1.4 < 2.0301 = tα 2 (n − 1) ，
，则 P ( B | A) =
3． 设随机变量 X ~ N ( µ , σ 2 ) (σ > 0) ， 且二次方程 y 2 + 4 y + X = 0 有实根的概率为 0.5， 则µ = 4．设随机变量 X 与 Y 相互独立，其中 X ~ π (3) （泊松分布） ， Y ~ N ( 0 , 2 ) ，则 D ( X − 2Y ) =
概率论期末考试卷及答案
⑵ 如果抛掷 4 枚硬币，则样本点总数为 24 16 ．
5 14 7 4 1 P A ， P B ， P AB ， 16 16 8 16 4
所以有
1 5 7 P AB P APB ，因此此时随 4 16 8
机事件 A 与 B 不是相互独立的．
1
1
1
1
1
1 x
2
1
dx
1
1
1 x
x
2
1 0
dx
1 x
1 2
1
dx
1
பைடு நூலகம்
1
arctanx
1
ln 1 x
2
1
arctanx
1
1 ln 2 ． 2
四． （本题满分 8 分）
1 设平面区域 D 是由双曲线 y ， x 0 以及直线 x
covU , V cov2 X 3Y , 3 X 2Y 6 var X 6 var X 4 cov X , Y 9 cov X , Y
nr
nr
r 1
n
n!
e 0
nr
n
n!
r r e Cn p 1 p
e
nr
n
n! nr r p 1 p n ! r !n r !
p r e
r!
1 p n r ， n r ! nr
解：
⑴ 如果抛掷 3 枚硬币，则样本点总数为 23 8 ．
武汉理工大学考试试题纸( A 卷)
武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸 课程名称 概率论与数理统计 （ A 卷）一、选择题（每小题3分，总计15分）1.D ；2.C ；3.C ；4.B ；5.B二、填空题（每小题3分，总计15分）6.0.3；7.0.87；8. ⎪⎩⎪⎨⎧≤-其他,01,122x x π； 9. 125.8；10.(4.71, 5.69)三、计算题（共52分）11. 解：设A i 分别表示所取产品是由甲、乙、丙车间生产（i=1,2,3）；B 表示所取产品为不合格品.由题设有,%25)(,%35)(,%40)(321===A P A P A P.05.0)(,04.0)(,02.0)(321===A B P A B P A B P ---------4分1)由全概率公式，得31()()(|)0.0345i i i P B P A P B A ===∑ ---------3分2) 2222()(|)()0.350.0428(|)0.4058()()0.034569P A B P B A P A P A B P B P B ⨯====≈ --------3分 12. 解：1）1210)(02==+=⎰⎰⎰+∞∞-∞-+∞-A dx Ae dx dx x f x ,故A =2 --------- 3分2）.3679.02)5.0(15.02≈==>-+∞-⎰e dx e X P x ----------- 3分3）对100,12<<>-=-y x e y x 时有当. 所以当0≤y 或1≥y 时，0)(=y f Y ； 当10<<y 时，分布函数{}⎪⎭⎫⎝⎛--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--≤=≤-=-)1ln(21)1ln(211)(2y F y X P y e P y F X X Y ；11121)1ln(21)()(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--==∴y y f dyy dF y f XY Y . ⎩⎨⎧<<=∴其他，,0101)(y y f Y . ―――― 6分 13. 解：(,)X Y 的联合分布律和边缘分布律为————8分由上表可看到，j i ij p p p ..∙≠，所以X 和Y 不相互独立. --------2分14. 解：设i X 表示第i 次射击时命中目标的炮弹数,则由题设有:)100,,2,1(5.1)(,2)(2 ===i X D X E i i 。
武汉理工大学概率论与数理统计A卷符答案
四. (10 分) 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，求 Y = X 2 的概率密度. 五. (10 分) 设二维随机变量 ( X , Y ) 在区域 G = {( x, y ) | 0 < y < x < 1} 上服从均匀分布，求边缘概率密度，
cov( X , Y ) 及条件概率 P{X ≤ 0.5 Y ≤ 0.5}.
n − 10.4 ⎧ X − 10.4 n − 10.4 ⎫ P {X ≤ n} = P ⎨ ≤ ) ≥ 0.95 ⎬ ≈ Φ( 9.984 ⎭ 9.984 ⎩ 9.984
查表知 Φ(1.645) = 0.95 ，则
n − 10.4 ≥ 1.645 ⇒ n ≥ 16 9.984
即该单位总机至少要安装 16 条外线，才能以 95% 以上的概率保证每部电话需要使用外线通话时可以打通. 七、 由题有
2. 设事件 A 与 B 相互独立，且 P ( A B) = 0.16 ， P ( AB) = P ( AB) ，则 P ( A ∪ B) = 3. 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) = ⎨ 现的次数，则 E (Y 2 ) =
⎧ Ax , 0 < x < 1 ， Y 表示对 X 的 4 次独立观察中事件 {X ≤ 0.5} 出 ⎩ 0 , 其他
二、令 A = {元件损坏} ， B1 = { 电压不超过 200伏} ， B2＝{电压在 200 ~ 240伏间} ， B3 = {电压超过 240伏} .
200 − 220 ) = Φ ( −0.8) = 1 − Φ (0.8) = 0.2119 25 240 − 220 P ( B2 ) = P{200 < X ≤ 240} = F (240) − F (200) = Φ ( ) − Φ( −0.8) = 2Φ (0.8) − 1 = 0.5762 25
武汉理工概率统计试题及答案
一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分。
）1.一射手向目标射击3 次，i A 表示第i 次射击中击中目标这一事件)3,2,1(=i ，则3次射击中至多2次击中目标的事件为(321321321321)(;)(;)(;)(A A A D A A A C A A A B A A A A ⋃⋃⋃⋃2. 袋中有10个乒乓球，其中7个黄的，3个白的，不放回地依次从袋中随机取一球。
则第一次和第二次都取到黄球的概率是( )；()715A ； ()49100B ； ()710C ； ()2150D 3. 设随机变量X 的概率密度为 ⎩⎨⎧≤<+=.,0;10,)(其它x bx a x f 且 83}21{=≤X P ，则有( )；.21,21)(;1,21)(;0,1)(;2,0)(========b a D b a C b a B b a A4．设()2~,X N μσ，1234,,,X X X X 为X 的一个样本， 下列各项为μ的无偏估计，其中最有效估计量为（ ）。
1234()224;A X X X X ++- 411();4i i B X =∑14()0.50.5;C X X + 123()0.10.50.4D X X X ++5. 设1,,n X X 是来自总体X 的一个样本，2~(,)X N μσ，对于σ已知和σ未知时的期望μ的假设检验，应分别采用的方法为（ ）。
A U 检验法和T 检验法B T 检验法和U 检验法C U 检验法和2χ检验法D T 检验法和F 检验法二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分。
）1. 若X 服从自由为n 的t 分布，则X 2服从自由度为 ， 的F 分布。
2．在长度为t 的时间间隔内到达某港口的轮船数X 服从参数为3t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）．某天12时至15时至少有一艘轮船到达该港口的概率为3．设Y X ,相互独立，且同服从于参数为λ的指数分布，),max(Y X Z =，则Z 的分布函数为： ．4．设随机变量X 与Y 相互独立，且2)()(,)()(σμ====Y D X D Y E X E ， 则2)(Y X E -= ．5．从服从正态分布的),(2σμN 的总体中抽取容量为9的样本，样本均值1500=x ，样本标准差为14=s ，则总体均值μ的置信水平为95%的置信区间为 ．三、计算下列各题（1～4小题每题8分，5、6小题每题10分，共52分）1. 设事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 发生多少次的概率最大？2. 据统计男性有5%是患色盲的，女性有0.25%的是患色盲的，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？3. 由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作的概率为90% ．为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件正常工作，求整个系统能正常运行的概率．4. 设随机变量X 在区间],0[π上服从均匀分布，求随机变量X Y sin =的概率密度()Y f y ．5. 设随机变量),(Y X 在G 上服从均匀分布，其中G 由x 轴y ,轴及直线1x y +=所围成， ⑴ 求),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ，⑵ 计算{}P Y X <。
武汉理工大学概率论与数理统计试题
则 P{X Y 1}
５、已知随机变量 X 的概率密度为 f (x)
1
( x2)2
e 4 ，则 E( X 2 )
2
６、已知 X ~ N (0,16) ,Y ~ U (6,6) ,相关系数 XY 0.25 ，则 C ov( X ,Y )
７、设总体 X
~
N (,
件,可放回),记: X
1, 2,
若第一次抽到一等品, 若第一次抽到二等品.
Y
1, 2,
若第二次抽到一等品, 若第二次抽到二等品.
试求随机变量 ( X ,Y ) 的联合分布律及 X ,Y 的边缘分布律(要求用表格形式表示).
四、 (10) 设随机变量 X 的概率密度函数为：
x, f (x) A x,
（2） P{X Y 1}
f (x, y)dxdy
1
2 dx
1x e y dy
1
e1 1 2e2
0
x
X Y 1
5. （10 分）解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得
EZ
E
(
4 他
;（3）
1 12
(4)上限为 X
S n
t
(n
1)
;
（5） X Z
n(n 1)
2．（10 分）解：设事件 A 表示：“取到的产品是次品”；事件 Ai 表示：“取到的产品是第 i 家工厂生产的”（ i 1，2，3 ）。
则 A1 A2 A3 ，且 P( Ai ) 0 ， A1、A2 、A3 两两互不相容，
2 ) , X1, X 2 , X 3 是来自 X
的样本, ˆ
《概率论与数理统计》期末考试试题及答案
《概率论与数理统计》期末考试试题及答案)B 从中任取3),(8a k k ==则Y X =产品中有12件是次品四、(本题12分)设⼆维随机向量(,)X Y 的联合分布律为\01210.10.20.12Y X a 试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独⽴为什么五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤=-≤≤其他求()(),E X D X⼀、填空题(每⼩题3分,共30分) 1、ABC 或AB C 2、 3、2156311C C C 或411或 4、1 5、13 6、2014131555kX p 7、1 8、(2,1)N - ⼆、解设12,A A 分别表⽰取出的产品为甲企业和⼄企业⽣产,B 表⽰取出的零件为次品,则由已知有 1212606505121101(),(),(|),(|)1101111011605505P A P A P B A P B A ========..... 2分 (1)由全概率公式得112261511()()(|)()(|)1151155P B P A P B A P A P B A =+=?+?=................ 7分 (2)由贝叶斯公式得22251()()5115()1()115P A P B A P A B P B ?=== ............................... 12分三、(本题12分)解 (1)由概率密度的性质知34=+-=+=故16k =. .......................................................... 3分 (2)当0x ≤时,()()0x F x f t dt -∞==?; 当03x <<时, 2011()()612xxF x f t dt tdt x -∞===??; 当34x ≤<时, 320311()()223624x x t F x f t dt tdt dt x x -∞==+-=-+-;当4x ≥时, 34031()()2162x t F x f t dt tdt dt -∞?==+-=;故X 的分布函数为220,01,0312()123,3441,4x x x F x x x x x ≤< .................................. 9分(3) 77151411(1)22161248P X F F<≤=-=-=?? ????? .......................... 12分四、解 (1)由分布律的性质知01.0.20.10.10.21a +++++=故0.3a = ........................................................... 4分0.40.30.3Xp ............................................... 6分120.40.6Y p ................................................... 8分(3)由于{}0,10.1P X Y ===,{}{}010.40.40.16P X P Y ===?=,故{}{}{}0,101P X Y P X P Y ==≠==所以X 与Y 不相互独⽴. .............................................. 12分五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤=-≤≤其他求()(),E X D X .解 2131223201011()()d d (2)d 1.33x E X xf x x x x x x x x x +∞-∞??==+-=+-=?........... 6分122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=.......................... 9分 221()()[()].6D XE X E X =-= ......................................... 12分⼀、填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = , P(B) = , P(B|A ) = , 则P(A|B ) = P( A ∪B)=2、设事件A 与B 独⽴，A 与B 都不发⽣的概率为19，A 发⽣且B 不发⽣的概率与B 发⽣且A 不发⽣的概率相等，则A 发⽣的概率为：；3、⼀间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个⼈的⽣⽇在同⼀个⽉份的概率：没有任何⼈的⽣⽇在同⼀个⽉份的概率4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ??, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ；5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独⽴，则Z=max(X,Y)的分布律：；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独⽴，则D(2X-3Y)= ,1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ??≤≤?=其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -；2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1）1/4,||,02,(,)0,y x x x y ?<<其他求边缘密度函数(),()X Y x y ??；2）问X 与Y 是否独⽴是否相关计算Z = X + Y 的密度函数()Z1、（10分）设某⼈从外地赶来参加紧急会议，他乘⽕车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。
概率论与数理统计_武汉理工
概率论与数理统计_武汉理工武汉理工大学试卷(卷一)课程名称概率论与数理统计专业123456789总成绩24 10 10 10 10 10 10 6 100备注:学生不得回答试卷上的问题(包括客观问题，如填空题和选择题)和查阅表格数据:I .填空，1。
知道，_ _ _ _ _ 2。
相互独立地设置事件，并且，_ _ _ _ _ _ _ _3.在一批产品中，一级、二级和三级产品各占一半。
如果随机选择一个产品，结果不是第三类产品，则得到第一类产品的概率。
它是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _4.在2008年北京奥运会之前，一个射击队有两个射击手，A和b。
他们的射击技能如下表所示。
其间派_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _名射手参加比赛是合理的。
8 9 10 8 9 10 0.4 0.2 0.4 0.1 0.8 0.15，已知，，然后_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _6.设置总体，从总体中取一个容量为的样本，如果服从分布，将其设置为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 7，将随机变量序列设置为独立且同分布，记住，它是标准正态分布函数，然后= _ _ _ _ _8.一个实验室测试了一批建筑材料的断裂强度。
这批材料的断裂强度是已知的，现在可以从中提取容量。
如果样本的平均值是基于数量为的样本的观察值计算的，则置信水平的置信区间为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _第二，和学生一起上课，在概率论的课程中，根据学习态度可以分为:学习非常努力；学问努力学习；:不要努力学习。
这三类人分别占总人数。
这三类学生通过概率测试的概率是，，，试着找出:(1)本班概率测试通过率；(2)如果一个学生没有通过概率测试，这个学生就有可能不努力学习。
3.将随机变量的概率密度函数设置为:尝试寻找(1)常数的分布函数。
(2)。
4.设置随机变量在世界上均匀分布，并试图找到随机变量的密度函数。
五、让随机变量服从均匀分布，定义如下:试着找出的分布规律(计算过程需要写下来，最后的结果显示在表格中)。
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…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………
…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线………
…
武汉理工大学考试试题答案（A 卷）
2013 ~2014 学年 1 学期 概率统计 课程
一、C B D B A
二、（1）18.4 （2）
12
7
（3） 2.0 （4） .1-X （5）（4.412，5.588） 三、1、解：)()()()()(7.0B P A P B P A P B A P -+== ⇒ 7
3=α。
……5分
2、解：)(1)()()(B A P B A P B A P AB P ⋃-=⋃==)]()()([1AB P B P A P -+-=
α-=1)(B P ……5分
四．解：设A 为产品合格事件，则A A ,是产品的一个划分。
又设B 为产品检查合格事件， 则9.0)(=A P ，98.0)|(=A B P ，05.0)|(=A B P 。
（1） 由全概率公式，一个产品被认为合格的概率
)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=
887.005.01.098.09.0=⨯+⨯=。
……6分
（2）由贝叶斯定理，“合格品”确实合格的概率
)(/)|()()|(B P A B P A P B A P =994.0887.0/98.09.0=⨯= …… 10分
五．解：（1）联合密度为,01,0
(,)0,其他y
e x y
f x y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩
………..3分
(1) 11
2
200
(2)21x
y
P X Y dx e dy e -
->==-⎰⎰ ……………6分
(3) ()()(,)z x y z
F Z P X Y z f x y d σ-≤=-≤=
⎰⎰ 当0z <时，1
10
()(1)y z z x z
F Z dx e dy e e +∞---==-⎰⎰
当01z ≤<时，1
10
()11x z y z z z
F Z dx e dy z e ---=-=+-⎰⎰
当1z ≥时，()1z F Z = ………………8分
1'1(1),0()()1,010,1z z z z e e z f Z F Z e z z --⎧-<⎪
==-≤<⎨⎪≥⎩
…………………10分
六．解：（1）由(,)1f x y dxdy +∞+∞
-∞
-∞
=⎰⎰
，得A ＝1 ……2分
（2）1
()0x
x
D
E XY xydxdy dx xydy -=
==⎰⎰⎰⎰ 2
()3
D
E X xdxdy ==
⎰⎰ ……6分 ()0D
E Y ydxdy ==⎰⎰ cov ,)()()()0X Y E XY E X E Y (＝－＝ ……8分
（3）0XY ρ= X 与Y 不相关 ……10分
七解：（1）32+-=θEX ，5
9
523121=++++=X ，
θ的矩估计值为：5
3ˆ=θ ……5分 （2）2
24)1()]1(2[)(θθθθθ--=L ，=θθd L d )(ln 0146=--θ
θ，
⇒θ的最大似然估计值为5
3ˆ=θ。
……10分 八解：设学生成绩为,X 则X ～),(2
σμN
70:;70:10≠=μμH H ……2分
n S
X T μ
-=
～)1(-n t 03.2)35(025.0=t ……5分
03.24.13615
705.66<=-=
T 接受0H 。
……8分
九解：（1）X 的分布函数为：⎩⎨
⎧≥<=α
αx x x F X 1
)( ……5分
⇒当α<x 时，)()(0),(),(y F x F y Y x X P y x F Y X ==≤≤=
当α≥x 时，)()()(),(),(y F x F y Y P y Y x X P y x F Y X =≤=≤≤=。
……10分
⇒对任意的实数,,y x 都有)()(),(),(y F x F y Y x X P y x F Y X =≤≤=
⇒X 与Y 独立。
……12分
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。