分式化简的技巧
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比例的性质:
⑴ 比例的基本性质:
a c
ad bc b d
=⇔=,比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性(交换比例的内项或外项): ( ) ( ) ( )a b
c d a c d c
b d b a d b
c a ⎧=⎪⎪
⎪=⇒=⎨⎪
⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项
⑶ 反比性(把比例的前项、后项交换):a c b d
b d a c
=⇒=
⑷ 合比性:a c a b c d b d b d ±±=⇒=,推广:a c a kb c kd
b d b d
±±=⇒=
(k 为任意实数) ⑸ 等比性:如果....a c m b d n ===,那么......a c m a
b d n b
+++=+++(...0b d n +++≠)
基本运算
分式的乘法:a c a c
b d b d
⋅⋅=⋅
分式的除法:a c a d a d
b d b
c b c
⋅÷=⨯=⋅
乘方:()n n
n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ⋅=⋅=⋅64748
L L L 1424314243
个个n 个
=(n 为正整数)
整数指数幂运算性质: ⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数)
⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)
⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠,m 、n 为整数) 负整指数幂:一般地,当n 是正整数时,1
n n a a
-=(0a ≠),即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则:
同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减,
a b a b
c c c
+±=
异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式再加减,
a c ad bc ad bc
b d bd bd bd
±±=±=
分式的混合运算的运算顺序:先算乘方,再算乘除,后算加减,如有括号,括号内先算.
结果以最简形式存在.
重难点:灵活对分式进行适当变形
一、基本运算
【例1】 计算:⑴22266(3)443x x x x x x x -+-÷+⋅-+- ⑵234
2
()()()b a b a b a
-⋅-÷- ⑶32231
(4)()2
mn m n ---÷- ⑷32322423()(1)2111x x x x x x x x x --÷-÷+-++
【巩固】 (2008杭州)化简22
x y y x y x
-
--的结果是( ) A .x y -- B .y x - C .x y - D .x y +
【巩固】 (2008黄冈)计算a b a b
b a a +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭
的结果为( )
A .a b
b
- B .
a b
b
+ C .
a b
a
- D .
a b
a
+
【例2】 计算:⑴2222135333x x x x x x x x +--+-++++ ⑵2222
262
1616x x x x x +-++
--
【巩固】 (第9届希望杯试题)化简:422423216424
(2)416844
m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+
【巩固】 化简:2222222
2112
()22a b a ab b
ab a b a b ab ⎡⎤-+÷+⋅⎢⎥++-+⎣⎦
【例3】 化简:222222
222222
()()()()()()a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------++
+-+-+-
【例4】 已知:22
21()111
a a a a a a a ---÷⋅-++,其中3a =
【巩固】 当1
2x =-时,求代数式2222
6124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭
的值
【巩固】 求代数式()()2
2
2
22222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-的值,其中1a =,12b =-,2
3
c =-
【例5】 计算:2482112482111111n
n
x x x x x x
++++++-+++++L (n 为自然数)
【巩固】 已知248
16
124816
()11111f x x x x x x =+++++++++,求(2)f .
二、整体代入运算
【例6】 已知:233mx y +=,且()22201nx y x y -=≠≠-,.试用x y ,表示m n
.
【巩固】 已知:34
x y =,求222
2222x y xy y x xy y x xy -+÷
-+-的值
【巩固】 已知221547280x xy y -+=,求x
y
的值.
【例7】 已知分式1x y
xy
+-的值是m ,如果用x ,y 的相反数代入这个分式,那么所得的值为n ,则m 、n 是什
么关系?
【巩固】 (第11届“希望杯”邀请赛试题)已知代数式25342
()
x ax bx cx x dx +++,当1=x 时,值为 1,求该代数
式当1-=x 时的值.
【例8】 已知210x y xy +=,求代数式4224x xy y
x xy y
++-+的值.
【巩固】 已知:12xy =-,4x y +=-,求11
11
x y y x +++
++的值.