考研数学复习一阶和二阶线性微分方程的通解分析
6考研数学大纲知识点解析(第六章微分方程和差分方程(数学一))
满足初始条件
的特
【解析】令
，则
，原方程化为
，即
，
于是 因
，得
，故
，由
，
知，应取
.
即
，解得
，又由
，得
，故
．
（3）型如： 间变量，即
.方程的特点是不显含自变量 ．令 ，由复合函数求导的链式法，则有
，视 为中
将之代入方程，得 这是函数 关于变量 的一阶微分方程．若能求出其通解
则可再由方程
或
两边积分后求得方程的通解
【解析】 将
代入方程
（D）
．
，得
由题设可知 从而有
类似地，将
代入方程
解得
，故选（A）．
．
，得
，
【例题】（89 年，数学一/数学二/数学三）设线性无关的函数
都是二阶非齐次线性
方程 ．
的解，
是任意常数，则该非齐次方程的通解是
（A）
．
（B）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
．
（C）
． （D）
．
【答案】（D）．
【解析】根据解的性质，
均为齐次方程的解，且线性无关，因此
；
（2） 求出特征根 和 ；
（3） 根据特征根的不同情形按下表写出方程（1）的通解：
表 二阶常系数线性齐次微分方程的通解
特征根情形
通解形式
相异实根 相同实根 共轭复根
【例题】求微分方程 【解析】特征方程为 故齐次微分方程的通解为
的通解．
，解特征根为
．
．其中
为任意常数．
【例题】求微分方程 【解析】特征方程为 故齐次方程的通解为
．
设非齐次方程
考研数学重难点之二阶常系数线性非齐次差分方程的通解分析
2018考研数学重难点之二阶常系数线性非齐次差分方程的通解分析
差分方程除了用于对离散变量建立离散数学模型外，也可用于将连续变量及其连续数学模型离散化，换句话说，就是将微分方程离散化为差分方程，这对于难以求出精确解的微分方程来说具有重要的作用，事实上微分方程的数值解法就是如此，它通过差分方程来求出微分方程的近似解。
下面本文对二阶常系数线性非齐次差分方程的求解方法做些分析总结，供有兴趣的2018考研的同学拓展思路参考。
一、二阶常系数线性非齐次差分方程的通解
从前面的分析我们看到，二阶常系数线性非齐次差分方程的通解与二阶常系数线性非齐次微分方程的通解有非常相似的结论，比如其通解都是其特解与对应齐次方程的通解之和，而齐次方程的通解可以通过特征根求出，对于几类常见的自由项blob.png类型，包括：多项式、指数函数及二者乘积，其相应差分方程的特解也与微分方程的情形很类似，当然，二者还是有有些差别的，这一点希望大家注意。
考研数学二真题解析
2005年考研数学二真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设x x y )sin 1(+=，则π=x dy= dx π- .【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】 方法一： x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(xxx x e y x x +⋅++⋅='+，从而 π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法二： 两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得xx x x y y sin 1cos )sin 1ln(1+++='， 于是 ]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(xxx x x y x +⋅++⋅+='，故π=x dy=.)(dx dx y ππ-='（2） 曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为23+=x y . 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a=,1)1(lim )(lim23=+=+∞→+∞→xx x x x f x x []23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x ， 于是所求斜渐近线方程为.23+=x y（3）=--⎰1221)2(x x xdx4π . 【分析】 作三角代换求积分即可.【详解】 令t x sin =，则=.4)arctan(cos cos 1cos 20202πππ=-=+-⎰t ttd（4） 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.91ln 31x x x y -=.【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P ， 再由初始条件确定任意常数即可.【详解】 原方程等价为x y xy ln 2=+'，于是通解为 ⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x xC dx ex ey dxx dxx =2191ln 31xC x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=（5）当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k=43. 【分析】 题设相当于已知1)()(lim0=→x x x αβ，由此确定k 即可.【详解】 由题设，200cos arcsin 1lim)()(limkx xx x x x x x -+=→→αβ =)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim2x x x kx x x x x ++-+→=k 21143cos 1arcsin lim 20==-+→k xx x x x ，得.43=k （6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，如果1=A ，那么=B 2 .【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα，于是有 .221941321111=⨯=⋅=A B二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ]【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】 当1<x 时，11lim )(3=+=∞→n nn xx f ；当1=x 时，111lim )(=+=∞→n n x f ；当1>x 时，.)11(lim )(3133x xx x f nnn =+=∞→即.1,11,1,,1,)(33>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数.（B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数.[ A ]【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则⎰xdt t f 0)(为偶函数，从而⎰+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=221x , 排除(D); 故应选(A).（9）设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是(A) 32ln 81+. (B) 32ln 81+-.(C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+. [ A ]【分析】 先由x=3确定t 的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标.【详解】 当x=3时，有322=+t t ，得3,1-==t t （舍去，此时y 无意义），于是81221111=++===t t t t dxdy ，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为： )3(82ln --=-x y ，令y=0, 得其与x 轴交点的横坐标为：32ln 81+, 故应(A).（10）设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()((A) πab . (B)π2ab . (C) π)(b a +. (D) π2b a + . [ D ] 【分析】 由于未知f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的. 本题可考虑用轮换对称性.【详解】 由轮换对称性，有=σd x f y f x f b y f a y f x f y f b x f a D ⎰⎰+++++])()()()()()()()([21 =.2241222ππσb a b a d b a D+=⋅⋅+=+⎰⎰ 应选(D). （11）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222yux u ∂∂=∂∂.(C) 222y uy x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ B ] 【分析】 先分别求出22x u ∂∂、22yu∂∂、y x u ∂∂∂2，再比较答案即可.【详解】 因为)()()()(y x y x y x y x xu--++-'++'=∂∂ψψϕϕ，)()()()(y x y x y x y x yu-+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ， 于是 )()()()(22y x y x y x y x x u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ，)()()()(2y x y x y x y x yx u-'++'+-''-+''=∂∂∂ψψϕϕ， )()()()(22y x y x y x y x y u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ，可见有2222yux u ∂∂=∂∂，应选(B).（12）设函数,11)(1-=-x xex f 则 (A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.（B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ D ]【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.且 ∞=→)(lim 0x f x ，所以x=0为第二类间断点；0)(lim 1=+→x f x ，1)(lim 1-=-→x f x ，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ B ]【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】 方法一：令 0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k ， 0)(2221121=++αλαλk k k . 由于21,αα线性无关，于是有当02≠λ时，显然有0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A 线性无关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法二： 由于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ，可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(B).（14）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -.[ C ]【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】 由题设，存在初等矩阵12E （交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得 B A E =12，于是 12*11212*12***12*)(E A E E A E A A E B -=⋅===-，即*12*B E A -=,可见应选(C).三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x【分析】 此类未定式极限，典型方法是用罗必塔法则，但分子分母求导前应先变形.【详解】 由于⎰⎰⎰=-=-=-00)())(()(xxxu t x du u f du u f dt t x f ,于是=⎰⎰+-+→xxx x xf du u f x xf x xf dt t f 0)()()()()(lim=⎰⎰+→x xx x xf du u f dtt f 0)()()(lim=)()()(limx f x duu f x dtt f xxx +⎰⎰→=.21)0()0()0(=+f f f（16）（本题满分11分）如图，1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=【分析】 利用定积分的几何意义可确定面积)(),(21y S x S ，再根据)()(21y S x S =建立积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系.【详解】 如图，有⎰--=+-=xx t t x e dt e e x S 01)1(21)]1(21[)(，⎰-=ydt t t y S 12))((ln )(ϕ，由题设，得 ⎰-=--y xdt t t x e 1))((ln )1(21ϕ，而x e y =，于是⎰-=--y dt t t y y 1))((ln )1ln (21ϕ 两边对y 求导得 )(ln )11(21y y yϕ-=-， 故所求的函数关系为：.21ln )(yy y y x --==ϕ （17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+302.)()(dx x f x x【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.【详解】 由题设图形知，f(0)=0, 2)0(='f ; f(3)=2, .0)3(,2)3(=''-='f f由分部积分，知 =dx x f x f x x f d x ⎰⎰'+'+-='+-303030)(2)()12()()12( =.20)]0()3([216=-+f f（18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,100='===x x y y 的特解.【分析】 先将y y ''',转化为22,dty d dt dy ，再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可. 【详解】 dtdy t dx dt dt dy y sin 1-=⋅='， )sin 1(]sin 1sin cos [222tdt y d t dt dy t t dx dt dt y d y -⋅-=⋅'=''， 代入原方程，得 022=+y dty d . 解此微分方程，得 221211sin cos x C x C t C t C y -+=+=，将初始条件2,100='===x x y y 代入，有1,221==C C . 故满足条件的特解为.122x x y -+=（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】 （I ） 令x x f x F +-=1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .（II ） 在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f 于是 .1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f （20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y) 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值. 【分析】 根据全微分和初始条件可先确定f(x,y)的表达式. 而f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值, 可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值..【详解】 由题设，知 x xf 2=∂∂，y y f 2-=∂∂， 于是 )(),(2y C x y x f +=，且 y y C 2)(-='，从而 C y y C +-=2)(，再由f(1,1)=2，得 C=2, 故 .2),(22+-=y x y x f 令0,0=∂∂=∂∂y f x f 得可能极值点为x=0,y=0. 且 2)0,0(22=∂∂=x f A ，0)0,0(2=∂∂∂=y x f B ，2)0,0(22-=∂∂=y f C ，042>=-=∆AC B ，所以点(0,0) 不是极值点，从而也非最值点.再考虑其在边界曲线1422=+y x 上的情形：令拉格朗日函数为 )14(),(),,(22-++=y x y x f y x F λλ， 解 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+='=+-=+∂∂='=+=+∂∂=',014,02122,0)1(2222y x F y y y y f F x x x f F y x λλλλλ 得可能极值点4,2,0===λy x ；4,2,0=-==λy x ；1,0,1-===λy x ；.1,0,1-==-=λy x 代入f(x,y)得,2)2,0(-=±f 3)0,1(=±f ，可见z=f(x,y)在区域}14),{(22≤+=y x y x D 内的最大值为3，最小值为-2. （21）（本题满分9分） 计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解】 记}),(,1),{(221D y x y x y x D ∈≤+=，}),(,1),{(222D y x y x y x D ∈>+=，于是 σd y x D ⎰⎰-+122=⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x ⎰⎰-++2)1(22D dxdy y x=⎰⎰--20210)1(πθrdr r d ⎰⎰-++D dxdy y x )1(22⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x =8π+⎰⎰⎰⎰---+20102210210)1()1(πθrdr r d dy y x dx =.314-π （22）（本题满分9分）确定常数a,使向量组,),1,1(1T a =α,)1,,1(2T a =αT a )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.【分析】向量组321,,ααα可由向量组321,,βββ线性表示，相当与方程组：3,2,1,332211=++=i x x x i βββα.均有解，问题转化为),,(321βββr =3,2,1),,,(321=i r i αβββM是否均成立？这通过初等变换化解体形讨论即可. 而向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示，相当于至少有一个向量)3,2,1(=j j β不能由321,,ααα表示，即至少有一方程组3,2,1,332211=++=j x x x j αααβ，无解.【详解】 对矩阵),,,,(321321αααβββM=A 作初等行变换，有 ),,,,(321321αααβββM =A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11411111221a a a a a a a M M M →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----++--a a a a a a a 1)1(3040001022011221M M M ，当a=-2时，→A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----330600030000211221M M M , 显然2α不能由321,,βββ线性表示，因此2-≠a ；当a=4时， →A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----390000030660411221M M M ，然32,αα均不能由321,,βββ线性表示，因此4≠a . 而当2-≠a 且4≠a 时，秩3),,(321=βββr ，此时向量组321,,ααα可由向量组321,,βββ线性表示. 又⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==a a a a a a a B 41111122111),,,,(321321M M M M βββααα ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--++----→24360200220110221112a a a a a a a a a M M M ， 由题设向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示，必有01=-a 或022=--a a ，即a=1或2-=a .综上所述，满足题设条件的a 只能是：a=1.（23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相当于告之B 的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩.【详解】 由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，且.3)()(≤+B r A r（1）若k 9≠, 则r(B)=2, 于是r(A)1≤, 显然r(A)1≥, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：2121,,63321k k k k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而.2)(1≤≤A r1）若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：11,321k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.2）若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：0321=++cx bx ax ,不妨设0≠a ,则其通解为2121,,1001k k a c k a b k x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=为任意常数.。
考研数学一-高等数学常微分方程(一)
考研数学一-高等数学常微分方程(一)(总分：178.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：11，分数：11.00)1.以下可以看作某个二阶微分方程的通解的函数是(A) y=C1x2+C2x+C3． (B) x2+y2=C．(C) y=ln(C1x)+ln(C1sinx)． (D) y=C1sin2x+C2cos2x．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由二阶微分方程的通解需含两个任意的独立常数可知，仅(D)符合要求，故应选(D)．2.微分方程y"+2y'+y=3xe-x的特解形式为(A) axe-x． (B) (ax+b)e-x． (C) (ax+b)xe-x． (D) (ax+b)x2e-x．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由于方程对应的特征方程为λ2+2λ+1=0，故特征根为重根λ1=λ2=-1，方程的非齐次项为Q(x)e-x且Q(x)=3x为一次多项式，因此待定特解的形式为(ax+b)x2e-x．故应选(D)．3.微分方程y"-3y'+2y=3x-2e x的特解形式为(A) (ax+b)e x． (B) (ax+b)xe x．(C) (ax+b)+ce x． (D) (ax+b)+cxe x．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由于特征方程为λ2-3λ+2=0，所以特征根为λ1=1，λ2=2．从而方程y"-3y'+2y=3x待定特解形式为；方程y"-3y'+2y=-2e x待定特解形式为，是原方程的一个特解，故选(D)．4.微分方程y"+2y'+y=(x+1)e-x+2x+1有一个特解y*形式为(A) y*=x(ax+b)e-x+(cx+d)． (B) y*=(ax+b)e-x+x2(cx+d)．(C) y*=x2(ax+b)e-x+(cx+d)． (D) y*=(ax+b)e-x+x(cx+d)．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 因为特征方程为λ2+2λ+1=0，特征根为重根λ1=λ2=-1，所以对应于非齐次项(x+1)e-x应设特解，对应非齐次项2x+1，再由迭加原理知应设特解y*=x2(ax+b)e-x+(cx+d)，故应选(C)．5.若A，B为非零常数，c1，c2为任意常数，则微分方程y"+k2y=cosx的通解应具有形式(A) c1coskx+c2sinkx+Asinx+Bcosx． (B) c1coskx+c2sinkx+Axsinx．(C) c1coskx+c2sinkx+Axcosx． (D) c1coskx+c2sinkx+Axsinx+Bxcosx．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由于对应的齐次方程的通解为c1coskx+c2sinkx．这样需验证的是哪一个是非齐次方程的特解．如果非齐次方程的特解有形式Asinx+Bcosx，说明此时k≠1，经验证可知特解为，即A=0，．而根据题设，A，B均为非零常数，说明它不符合题意，故选项(A)错误．如果k=1，则特解应具有形式Axsinx+Bxcosx，B=0，由此可见，应选(B)．6.设y1(x)，y2(x)，y3(x)是二阶线性非齐次微分方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的三个线性无关解，C1，C2是任意常数，则此微分方程的通解是(A) C1y1+C2y2+y3． (B) C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3．(C) C1y1+C2y2-(C1+C2)y3． (D) C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 因为y1(x)，y2(x)，y3(x)是线性微分方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的解，所以y1-y3和y2-y3都是相应的二阶齐次微分方程的解．由于y1(x)，y2(x)，y3(x)线性无关，若令k1(y1-y3)+k2(y2-y3)=0，即 k1y1+k2y2-(k1+k2)y3=0，则必有k1=k2=0，故y1-y3和y2-y3线性无关．所以原方程的通解为y=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3=C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3，故正确选项为(B)．7.已知y1=xe x+e2x，y2=xe x+e-x是二阶非齐次线性微分方程的解，则此方程为(A) y"-y'-2y=e x-2xe x． (B) y"+y'+2y=e x-2xe x．(C) y"-y'-2y=-e x+2xe x． (D) y"+y'+2y=-e x+2xe x．（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 因y1-y2=e2x-e-x为对应齐次方程的解，故特征方程为(λ-2)(λ+1)=λ2-λ-2=0，从而对应齐次方程为y"-y'-2y=0．把特解y1代入方程得y"1-y'1-2y1=e x-2xe x，因此所求方程为y"-y'-2y=e x-2xe x．所以应选(A)．8.设y1(x)，y2(x)为二阶常系数齐次线性方程y"+py'+qy=0的两个特解，则c1y1(x)+c2y2(x)(c1，c2为任意常数)是该方程通解的充分必要条件是(A) y1(x)y'2(x)-y2(x)y'1(x)=0． (B) y1(x)y'2(x)-y2(x)y'1(x)≠0．(C) y1(x)y'2(x)+y2(x)y'1(x)=0． (D) y1(x)y'2(x)+y2(x)y'1(x)≠0．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 根据题设，y1(x)与y2(x)应线性无关，也就是说(常数)．反之若这个比值为常数，即y1(x)=λy2(x)，则y1(x)与y2(x)线性相关．由y1(x)=λy2(x)可得：y'1(x)=λy'2(x)，所以y1(x)y'2(x)-y2(x)，y'1(x)=0，因此应选(B)．9.下列结论不正确的是(A) 若已知y'=P(x)+Q(x)y+R(x)y2的一个特解，则必定可将该方程化为伯努利方程．(B) 若微分方程P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0有积分因子μ(x，y)，则μ(x，y)必定满足(C) 是微分方程y'+y2=0的解，则y=Cy1也是该方程的解．(D) 方程y"-y'2+2y=0的任何积分曲线在下半平面内不能有拐点．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 对于(A)：设y*是微分方程y'=P(x)+Q(x)y+R(x)y2的一个特解．令y=z+y*，代入方程化简得z'=[Q(x)+2R(x)y*]z+R(x)z2，这正是伯努利方程，故(A)正确．对于(B)：函数μ=μ(x，y)是微分方程Pdx+Qdy=0的积分因子的充分必要条件是即．故(B)正确．对于(C)不满足方程y'+y2=0，故(C)不正确．对于(D)：用反证法．假设下半平面(y＜0)的点(x0，y0)是积分曲线的拐点，则y"(x0)=0，于是与题设条件矛盾．故(D)正确．综上分析，应选(C)．10.在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是(A) y'"+y"-4y'-4y=0． (B) y'"+y"+4y'+4y=0．(C) y'"-y"-4y'+4y=0． (D) y'"-y"+4y'-4y=0．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是：1方程是(λ-1)(λ+2i)(λ-2i)=(λ-1)(λ2+4)=λ3-λ2+4λ-4=0，因此所求的微分方程是y'"-y"+4y'-4y=0．选(D)．11.具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是(A) y'"-y"-y'+y=0． (B) y'"+y"-y'-y=0．(C) y'"-6y"+11y'-6y=0． (D) y'"-2y"-y'+2y=0．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为r1=r2=-1，r3=1，从而特征方程为(r+1)2(r-1)=0，即r3+r2-r-1=0，由此，微分方程为y'"+y"-y'-y=0．应选(B)．二、填空题(总题数：22，分数：22.00)12.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：解析：[解析] 原方程可化为，这是一阶线性微分方程，所以其通解为13.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y(x-1)=Cx）解析：[解析]y(x-1)=Cx．14.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：解析：[解析] 此微分方程既不是齐次微分方程也不是可分离变量的微分方程．若以y为未知函数也不是一阶线性微分方程．但注意到其特点，把它改写成以x为未知函数的微分方程，即这是以x为未知函数的一阶线性微分方程，由通解公式得：15.微分方程2x3y'=y(2x2-y2)的通解为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ 是不为零的任意常数)）解析：[解析] 原方程可改写为，从而是齐次微分方程，令得方程(*)是变量可分离的，其通解为(C是不为零的任意常数)．16.微分方程x3yy'=1-xyy'+y2的通解为______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 原方程经整理后化成可分离变量的方程两边积分得17.微分方程3e x tanydx+(1-e x)sec2ydy=0的通解是______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：tany=C(e x-1)3）解析：[解析] 在原方程两边同乘以，经分离变量可化为积分得 ln|tany|=3ln|e x-1|+ln|C|，所以方程有通解为tany=C(e x-1)3．18.微分方程(2y-x)dy=ydx的通解是 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y2-xy=C）解析：[解析] 题设方程可变形为2ydy-(xdy+ydx)=0即d(y2-xy)=0，故通解为y2-xy=C．19.y(0)=1的特解为 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] 方程是齐次微分方程，令，则原方程变为，由此可得方程的通解为，由y(0)=1可得C=1．20.______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 因为，令，则原方程可化为这是一个一阶线性微分方程，解得所以原微分方稗的通解为21.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：siny=Ce-x+x-1．）解析：[解析] 因为y'cosy=(siny)'，令u=siny，则原微分方程化为u'+u=x．这是关于未知函数u(x)的一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为所以原微分方程的通解为siny=Ce-x+x-1．22.设函数y1(x)，y2(x)，y3(x)是二阶线性微分方程y"+a(x)y'+b(x)y=f(x)该微分方程的通解为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=y1(x)+C1[y2(x)-y1(x)]+C2[y3(x)-y1(x)]）解析：[解析] 根据线性微分方程解的叠加原理及题中条件知函数y2(x)-y1(x)和y3(x)-y1(x)都是原方程所，所以函数y2(x)-y1(x)和y3(x)-y1(x)线性无关．根据线性微分方程解的结构知原方程的通解为y=y1(x)+C1[y2(x)-y1(x)]+C2[y3(x)-y1(x)]．23.已知(x-1)y"-xy'+y=0的一个解是y1=x，又知y=e x-(x2+x+1)，y*=-x2-1是(x-1)y"-xy'+y=(x-1)2的两个解，则此方程的通解是y=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=C1x+C2e x-x2-1）解析：[解析] 由非齐次方程(x-1)y"-xy'+y=(x-1)2①的两个特解与y*可得它的相应的齐次方程(x-1)y"-xy'+y=0②的另一特解．事实上 y2=(e x-x)+x=e x也是②的一个解，又e x与x线性无关，因此非齐次方程①的通解为y=C1x+C2e x-x2-1．24.已知y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+e x都是微分方程(x2-2x)y"-(x2-2)y'+(2x-2)y=6x-6的解，则此方程的通解为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=C1(y2-y1)+C2(y3-y2)+y1=C1x2+C2e x+3）解析：[解析] 根据解的结构定理，方程的通解为y=C1(y2-y1)+C2(y3-y2)+y1=C1x2+C2e x+3．25.设二阶线性微分方程y"+p(z)y'+q(x)y=f(x)有三个特解y1=e x，y3=e x+e-x，则该方程为______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 因为y2-y1，y3-y1是对应的齐次方程的解，代入齐次方程可求得，q(x)=，再将y1代入原方程可得f(x)=e x．．26.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y"-4y'+7y=0）解析：[解析] 由给定的两个线性无关的特解可知：该二阶常系数线性齐次方程对应的特征方程的特征根为．由根与系数的关系知：相应的特征方程为λ2-4λ+7=0．因此该二阶常系数线性齐次方程为：y"-4y'+7y=0．27.以y=(C1+C2x)e-x+x2e-x(其中C1，C2为任意常数)为通解的微分方程为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y"+2y'+y=2e-x）解析：[解析] 设所求微分方程为y"+py'+qy=f(x)，其对应的齐次微分方程的特征方程的根为r1=r2=-1，因而特征方程为(r+1)2=0，即r2+2r+1=0，其对应的齐次微分方程为y"+2y'+y=0．非齐次微分方程对应的特解为y*=x2e-x，代入微分方程即得=2e-x．故所求微分方程为y"+2y'+y=2e-x．28.以y=C1e-x+C2e2x+sinx为通解的二阶常系数非齐次微分方程为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y"-y'-2y=-3sinx-cosx）解析：[解析] 由所给通解知二阶常系数线性微分方程的二特征根分别为λ1=-1与λ2=2，从而特征方程为(λ+1)(λ+2)=0，即λ2-λ-2=0，又方程的非齐次项f(x)=(sinx)"-(sinx)'-2sinx=-sinx-cosx-2sinx=-3sinx-cosx．故以y=C1e-x+C2e2x+sinx为通解的二阶常系数非齐次微分方程为y"-y'-2y=-3sinx-cosx．29.微分方程y"+2y'=12x2-10的通解是______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=C1+C2e-2x+2x3-3x2-2x）解析：[解析] 方程对应的齐次方程的特征方程为λ2+2λ=0，所以特征根为λ=-2，λ=0．从而对应的齐次方程有二线性无关特解y*1=1与y*2=e-2x．设原方程的一个特解为y*=x(ax2+6x+c)，代入原方程得6ax+2b+2(3ax2+2bx+c)=12x2-10，不难求得：a=2，b=-3，c=-2．故非齐次方程有一个特解y*=2x3-3x2-2x．因此原方程的通解为：y=C1+C2e-2x+2x3-3x2-2x．30.微分方程y"+4y=cos2x的通解为y=______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 方程对应的齐次方程的特征方程为λ2+4=0，它的特征根为λ1，2=±2i．因此对应齐次方程二线性无关的特解为．设原非齐次方程的一个特解为y*=x(Acos2x+Bsin2x)，代入原方程得-4Asin2x+4Bcos2x=cos2x．所以A=0，．因此原方程的通解为．31.微分方程y"-3y'+ay=e-x有一特解为Axe-x，则a=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：-4）解析：[解析] 将y=Axe-x代入方程y"-3y'+ay=e-x得A(a+4)xe-x-5Ae-x=e-x．所以a=-4．32.微分方程(2xsiny+3x2y)dx+(x3+x2cosy+y2)dy=0的通解是______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 令P(x，y)=2xsiny+3x2y，Q(x，y)=x3+x2cosy+y2，则它们在整个平面上都有一阶连续偏导数，且，故方程是全微分方程，它的通解为33.已知，及相应的齐次方程，分别有特解则方程满足y(0)=1的特解是y=______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 由一阶线性方程通解的结构得该一阶线性非齐次方程的通解为由y(0)=1C=-1．因此特解为三、解答题(总题数：29，分数：145.00)34.求微分方程xy'=y(1+lny-lnx)的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(方程可变形为，是一阶齐次微分方程．令，则原方程变为(*)(*)是变量可分离的微分方程，分离变量得．上式两端求不定积分得u=e Cx．从而原方程的通解为y=xe Cx．)解析：35.求微分方程(1+y2)dx+(x-arctany)dy=0的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(原微分方程可变形为，这是一阶线性微分方程，其通解为)解析：36.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(原微分方程两边同除以x，得当x＞0时，这是齐次微分方程．作变换，有，即．解之，得arcsinu=lnCx．再以代回，便得原方程的通解：，即y=xsin(lncx)．)解析：37.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(方程变形为，是齐次微分方程．令，则，两边积分得所以有即代回即得原方程通解为)解析：38.设求微分方程y(0)=0的连续解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(当0≤x≤1时，微分方程为，这是一阶线性微分方程，通解为y=C1e-x+2；当x＞1时，微分方程为，这是变量可分离的微分方程，通解为y=C2e-x．根据y(x)的连续性知：，所以C2=C1+2e．故原方程的通解为由于y(0)=0，所以C=-2，故满足条件的特解为)解析：39.求微分方程y"-2y'-3y=3x+1+e-x+sin2x的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(将方程右端作变形，得(1)特征方程λ2-2λ-3=0，特征根λ1=-1，λ2=3，则相应齐次微分方程通解(2)求原方程一个特解y*．因为有特解=ax+b；y"-2y'-3y=e-x有特解有特解=dcos2x+esin2x，所以其中a，b，c，d，e为待定系数．将y*代入原方程得待定系数于是(3)原方程通解为)解析：40.求微分方程y"+4y'+4y=cos2x满足条件y(0)=y'(0)=0的特解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(先求方程对应的齐次方程的通解．特征方程为λ2+4λ+4=0，特征根为λ1=λ2=-2，所以对应的齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e-2x．再求原方程的一个特解．设y*=acos2x+bsin2x是原方程的一个特解，代入原方程得：a=0，，因此是原方程的一个特解．从而原方程的通解为．又因为y(0)=y'(0)=0，代入通解可得C1=0，．所以满足初始条件的特解为)解析：41.求微分方程y"+4y=3|sinx|在[-π，π]（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(当-π≤x≤0时，方程为y"+4y=-3sinx，可求得该方程的通解为y=C1cos2x+C2sin2x-sinx．当0＜x≤1T时，方程为y"+4y=3sinx，可求得此方程的通解为y=C3cos2x+C4sin2x+sinx．由于方程的解y(x)及其导函数y'(x)都在分段点x=0处连续，所以从而C1=C3，C2=C4+1．故原方程通解为又因为因此所求特解为)解析：42.求常数a，b，c，d的值，使得微分方程y"+ay'+by=(cx+d)e2x有一个解是y=e x+x2e2x．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(将y=e x+x2e2x代入原方程得(1+a+b)e x+[2+(8+2a)x+(4+2a+b)x2]e2x≡(cx+d)e2x，从而)解析：43.求微分方程3y'-ysecx=y4tanx的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(这是伯努利方程．令z=y-3，于是原方程化为一阶线性方程上述方程的通解为因此原方程的通解为)解析：44.已知方程(6y+x2y2)dx+(8x+x3y)dy=0的两边乘以y3f(x)后便成为全微分方程，试求出可导函数f(x)，并解此微分方程．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(设P(x，y)=(6y4+x2y5)f(x)，Q(x，y)=(8xy3+x3y4)f(x)，由得(8y3+3x3y4)f(x)+(8xy3+x3y4)f'(x)=(24y2+5x2y4)f(x)．消去y3得 16f(x)-8xf'(x)+y[2x2f(x)-x3f'(x)]=0，有且全微分方程为(6y4+x2y5)C1x2dx+(8xy2+x3y4)C1x2dy=0，故微分方程的通解为 10x3y4+x5y5=C．)解析：45.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(这是欧拉方程，令x=±e t即t=ln|x|，方程变成(*)特征方程λ2+2λ+1=0，特征根λ1=λ2=-1．(*)的通解为y=e-t(C1t+C2)．因此，原方程的通解为，C1，C2常数．)解析：46.设f(x)在(-∞，+∞)上满足对任意x，y恒有f(x+y)=e2y f(x)+f(y)cosx，又f(x)在x=0处可导，且f'(0)=1，求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(由于对任意x∈(-∞，+∞)，由于f(x+y)=e2y f(x)+f(y)cosx，所以f(0)=0，因此=2f(x)+f'(0)cosx=2f(x)+cosx．从而得到f(x)满足的微分方程f'(x)-2f(x)=cosx．这是一阶线性微分方程，其通解为记所以从而．由f(0)=0，可得，所以)解析：47.设函数f(x)在[0，+∞)上可导，且f(1)=3，若f(x)的反函数g(x)满足求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(这是含变上限定积分的方程，两端对x求导得因为f(x)与g(x)互为反函数，所以gf(u)]=u，从而上式变为令x=e t-1，且f'(t)=e t-1，积分得f(t)=e t-1+C．由f(1)=3可得C=2，故f(x)=e x-1+2．)解析：48.设f(x)f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(这是含变上限积分的方程，且被积函数中含有参变量，所以应首先去掉被积函数中的参变量，化为被积函数中不含参变量的情况．令x-t=u，原方程变为，即．将以上方程求导两次可转化为微分方程为f"(x)=2+f(x)且f(1)=0，f'(1)=0．方程f"(x)=2+f(x)的通解为f(x)=C1e-x+C2e x-2．由f(1)=0，f'(1)=0可得：C1=e，C2=e-1．因此f(x)=e1-x+e x-1-2．) 解析：49.若y(x)是[0，1]上的连续可微函数，且满足条件求y(x)的表达式．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(原方程两边关于x求导两次，得到分离变量后再积分，得．因为函数y(x)在点x=0处右连续，则所以方程的通解为将初始条件y(1)=2代入，得C=2e，故所求函数为)解析：50.设函数f(x)在(-∞，+∞)内有连续导数，且满足求f(t)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令x=rcosθ，r=sinθ，由可得所以f'(t)=4πt3f(t)+4t3，且f(0)=0，即，且f(0)=0．因此，将，f(0)=0代入可得C=0)解析：51.设函数u的全微分du=[e x+f'(x)]ydx+f'(x)dy，其中f在(-∞，+∞)内具有二阶连续的导数，且f(0)=4，f'(0)=3，求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(，且由于f有二阶连续的导数，则u，即f"(x)-f'(x)=e x．方程的通解为 f(x)=C1+C2e x+xe x，由条件f(0)=4，f'(0)=3求得C1=2，C2=2．因而 f(x)=2+(2+x)e x．)解析：52.设f(x)在区间[0，+∞)上连续，且，求证：微分方程x→+∞时都趋于1．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(这是一阶非齐次线性微分方程，其通解为因为，所以存在X＞0，当x＞X时，．因此当x＞X时，．于是)解析：53.设f(x)二阶连续可导，且f(0)=0，f'(0)=1，求u(x，y)，使du=y[f(x)+3e2x]dx+f'(x)dy．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(，由Pdx+Qdy是u(x，y)的全微分知：，从而f"(x)-f(x)=3e2x，解此微分方程得f(x)=-e x+e2x．于是)解析：54.设当x＞0时，f(x)存在一阶连续导数，且f'+(0)存在，并设对于半空间x＞0内的任意光滑封闭曲面∑，恒有求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(根据高斯公式可得即 f(x)+xf'(x)-y+f(x)+2yz+y-2yz-x2=0，解得：．由于f'+(0)存在，所以C=0．)解析：55.作变换t=tanx y关于t的微分方程，并求原微分方程的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于，，解之得：y=(C1+C2t)e-t+t-2．故原方程的通解为y=(C1+C2tanx)e-tanx+tanx-2．)解析：56.若一曲线上任一点M(x，y)处的切线斜率为，且过点，求此曲线方程．又当x取何值时，．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(所求曲线方程为如下齐次微分方程定解问题的特解令，方程可化为，其通解为从而原方程的通解为，由得，故所求曲线方程为欲使即，解得y=x，代入曲线方程程得，即当时，切终斜率为1/4．)解析：57.在xOy平面的第一象限求一曲线，使由其上任一点P处的切线，x轴与线段OP所同成的三角形的面积为常数k，且曲线通过点(1，1)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设P点坐标为(x，y)，曲线方程为y=y(x)，该曲线在点P的切线方程为Y-y=y'(X-x)，它与x轴交点Q坐标为，从而所围成三角形的面积为这是以x为未知函数，并以y．由初始条件y(1)=1，可确定C=1-k，于是所求曲线为xy=(1-k)y2+k．)解析：58.对任意实数x＞0，设曲线y=f(x)上点(x，f(x))处的切线在y[0，x2]上的平均值，求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(25，曲线y=f(x)上点(x，f(x))处的切线方程为Y-f(x)=f'(x)(X-x)，它在y轴上的截距等于f(x)-f'(x)x．由题设可得：，即．上式两端求导数可得-x3f"(x)一2x2J。
考研数学备考各个阶段的复习建议及资料
考研数学备考各个阶段的复习建议及资料考研数学备考各个阶段的复习建议及资料推荐数学是一个比较抽象的学科，复习起来并不容易，所以基础差的同学一定要早早地开始复习。
店铺为大家精心准备了考研数学备考阶段复习意见和资料指导，欢迎大家前来阅读。
考研数学备考阶段复习意见和资料基础阶段(现在——20xx.6)基础阶段的主要任务是复习基础知识，掌握基本解题能力。
主要工作是把课本上的重要公式、定理、定义概念等熟练掌握，将课本例题和习题研究透彻。
复习完基础知识之后要做课后习题，进行知识巩固，确保能够准确、深刻地理解每一个知识点。
【切忌】1.先做题再看书。
2.做难题。
这一阶段不易做难题。
难的题目往往会打击考生基础阶段复习的信心，即使答案弄懂了也达不到复习的效果。
【复习建议】1.以教材中的例题和习题为主，不适宜做综合性较强的题目。
做习题时一定要把题目中的考点与对应的基础知识结合起来，达到巩固基础知识的目的，切忌为了做题而做题。
2.在18考研大纲出来之前，不要轻易放弃任何一个知识点。
在基础复习阶段放弃的知识点，非常有可能成为后期备考的盲点，到最后往往需要花更多的时间来弥补。
3.准备一个笔记本，用来整理复习当中遇到过的不懂的知识点。
弄懂后，写上自己的理解，并且将一些易出错、易混淆的概念、公式、定理内容记录在笔记本上，定期拿出来看一下，避免遗忘出错。
4.对于基本知识、基本定理和基本方法，关键在理解，并且存在理解程度的问题。
所以不能仅仅停留在“看懂了”的层次上。
对一些易推导的定理，有时间一定要动手推一推;对一些基本问题的描述，特别是微积分中的一些术语的描述，一定要自己动手写一写。
这些基本功都很重要，到临场考试时就可以发挥作用了。
PS：复习不下去的时候建议看看数学视频。
【基础阶段复习教材】数学考试大纲：可先对照17考研大纲复习，一般变动不大。
高数：同济版，讲解比较细致，例题难度适中，涉及内容广泛，是现在高校中采用比较广泛的教材，配套的辅导教材也很多。
高等数学考研复习题及答案
高等数学考研复习题及答案一、填空题1．设2)(xx a a x f -+=，则函数的图形关于 对称。
2．若⎩⎨⎧<≤+<<-=20102sin 2x x x x y ，则=)2(πy .3． 极限limsinsin x x x x→=021。
4.已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则=a _____, =b _____。
5.已知0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a = 6.设)(22y z y z x ϕ=+，其中ϕ可微，则yz∂∂= 。
7.设2e yz u x=，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则=∂∂)1,0(xu 。
8.设ϕϕ,),()(1f y x y xy f xz ++=具有二阶连续导数，则=∂∂∂y x z 2 。
9.函数y x xy xy y x f 22),(--=的可能极值点为 和 。
10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则_____________)0,1('=y f . 11.=⎰xdx x 2sin 2 .12.之间所围图形的面积为上曲线在区间x y x y sin ,cos ],0[==π .13．若21d e 0=⎰∞+-x kx ，则_________=k 。
14.设Ｄ：122≤+y x ,则由估值不等式得 ⎰⎰≤++≤Ddxdy y x )14(2215.设D 由22,2,1,2y x y x y y ====围成（0x ≥），则(),Df x y d σ⎰⎰在直角坐标系下的两种积分次序为_______________和_______________.16.设D 为01,01y x x ≤≤-≤≤，则Df dxdy ⎰⎰的极坐标形式的二次积分为____. 17.设级数∑∞=+121n pn收敛，则常数p 的最大取值范围是 .18.=+-+-⎰10 642)!3!2!11(dx x x x x . 19. 方程01122=-+-ydy xdx 的通解为20．微分方程025204=+'-''y y 的通解为 .21.当n=_________时，方程ny x q y x p y )()('=+ 为一阶线性微分方程。
考研数学二公式高数线代(整理)技巧归纳(精选.)
高等数学公式一、常用的等价无穷小当x →0时x x x x x （1+x ） ~-11x a(1+x )α-1 ~ αx (α为任意实数，不一定是整数)1x ~21x 2增加x x ~61x 3 对应 x –x ~ 61x 3x –x ~ 31x 3 对应 x - x ~ 31x 3二、利用泰勒公式= 1 + x + +！22x o （2x ） ） （33 o !3sin x x x x +-=x 1 – +！22x o （2x ） （1+x ）=x – +22x o （2x ）导数公式： 基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（）公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμαααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
考研复试数学面试题目(3篇)
第1篇一、数学分析1. 请解释实数的完备性及其意义。
2. 证明：若数列{an}单调有界，则{an}收敛。
3. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)。
4. 证明：若函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≤0，则f(x)在[a, b]上单调递减。
5. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)。
6. 证明：若函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≤0，则f(x)在[a, b]上单调递减。
7. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)。
8. 证明：若函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≤0，则f(x)在[a, b]上单调递减。
9. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)。
10. 证明：若函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≤0，则f(x)在[a, b]上单调递减。
二、高等代数1. 请解释行列式的定义及其性质。
2. 证明：若矩阵A可逆，则|A|≠0。
3. 设矩阵A为n阶方阵，求证：A的行列式|A|等于其特征值的乘积。
4. 证明：若矩阵A为n阶方阵，且|A|=0，则A不可逆。
5. 设矩阵A为n阶方阵，求证：A的行列式|A|等于其特征值的乘积。
一阶与二阶常系数线性微分方程及其解法
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*例2-2 求一阶非线性微分方程
的通解。 解
dy
y2
dx xy x2
dy
y2
dx xy x2 ,
( xy x2 )dy y2dx ;
xydy y2dx x2dy ,
可见，
x2 xdy ydx dy ;
y
xdy ydx dy
x2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
; y
d( y ) d(ln | y |) ; x
在极理想的情况下，原方程有可能被 重组成因变量与自变量全都各居一侧的形式，
人们常称其为已分离变量的形式。 这种方程的解几乎显而易见：
若 f ( x)dx g( y)dy,
则 d
x
f (t)dt d
y
g(t )dt ,
0
0
通解即
x
f (t)dt
y
g(t )dt C .
0
0
解微分方程的过程，本质上是
x2 d( ) dy ;
y x2 d( y) 0 . y
故原方程的通解为
x2 yC
即
y
x2 y2 Cy .
非线性方程的通解（包括特解）
往往用隐函数的形式书写比较简洁。
有些非线性方程偶尔可经变元代换化 成线性方程再求解（有兴趣者可参阅教材 P236之例4与例5），但转换过程琐碎，明 显不如凑微分法来得直接和明快。
(1) y 1 y 0 x
*(2) y 2 y 0
dy 2 ydx 0 , dy yd(2x) 0 ,
解 (1)
y 1 y 0 x
xy y 0 ,
xdy ydx 0 ,
d( xy) 0 ;
故原方程的通解为 xy C 或者
5二阶线性微分方程解的结构与通解性质
y 1 z ( 2 y 1 P y 1 ) z f (一阶线性方程)
设其通解为 z C 2 Z (x ) z (x )
积分得
u C 1 C 2 U (x ) u (x )
kk11
2k2 4k2
0 0
x ex
C,
x,ex 线性无 . 关
只有零解。
故得齐次方程的两个线性无关的特解， 非齐方程的通解为：
y x ( x 1 ) 2 C 1 ( x e x ) C 2 ( 2 x 4 e x )
y(0)0 0 1 C 1 4 C 2
二. 二阶线性微分方程解的性质 与通解的结构
设有二阶线性齐次微分方程
d d2y 2xa(x)d dx y b(x)y0
(2)
关于(2)的解，我们有：
定理1 若y1(x),y2(x)是方(2程 )的解，则它们 的任意组合
y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x )
都是方程(2)的解，其中C1,C2 为任意常数。 线性齐次方程的解具有可叠加性。
将yy1Y代入非齐次方 ，程 得的 ：左端 ( y 1 Y ) a ( x ) y 1 Y ( ) b ( x ) y 1 Y ( )
( Y a ( x ) Y b ( x ) Y ) ( y 1 a ( x ) y 1 b ( x ) y 1 ) 0f(x) f(x) 即yy1Y是非齐次方程的 由解 于 Y， 是又 对应 齐次方程的通解 两， 个含 独有 立的任意 所常数 以y中含有两个独立 故常 为数 通， 解。
y y 1 ( x )v1(x) y 2 ( x )v2(x) 只有一个必须满足的条件即方程③, 因此必需再附加一
考研数学二公式高数线代(费了好大的劲)技巧归纳
高等数学公式一、常用的等价无穷小当x →0时x ~sin x ~tan x ~arcsin x ~arctan x ~ln （1+x ） ~ e x -1a x -1~x ln a(1+x )α-1 ~ αx (α为任意实数，不一定是整数)1-cos x ~21x 2增加x -sin x ~61x 3 对应 arcsin x –x ~ 61x 3 tan x –x ~ 31x 3 对应 x - arctan x ~ 31x 3二、利用泰勒公式e x = 1 + x ++！22x o （2x ） ） （33 o !3sin x x x x +-=cos x = 1 – +！22x o （2x ） ln （1+x ）=x – +22x o （2x ） 导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x xctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
关于考研数学复习计划(系列)
关于考研数学复习计划(系列)考研数学复习计划(篇1)主要任务：将强化阶段所学知识进行归纳和整理，有效形成系统。
总结在上一阶段的复习过程中遇到的问题，并一一解决。
做真题，以知识点为内容进行分类练习。
反思自问：知识层面达到什么样的高度?知识点掌握的程度如何?此时你的知识水平距离考试的要求还有多远?重点掌握:在这一阶段的复习中，大家至少要掌握极限、导数、不定积分这三方面的内容，才能在接下来的复习中有好的收效。
x月的前半个月，我们应该怎么对强化阶段做一个良好的收尾呢。
第一，复习方法采用“两端看法”,就是对强化阶段的所学过的知识和做题方法做一个总结和归纳。
总结和归纳结束之后，采用高等数学、概率论一起交叉、轮流来看，最后汇集到线性代数上。
我们也把这个阶段用一个字来形容“啃”，所以也可以叫做“啃”强化阶段所学过到的知识。
这里的“啃”是来形容这个阶段的艰难程度，大家到了这个阶段普遍感到压力陡增，即使那些在第一阶段认真完成的同学也一样，这里的主要原因是这一阶段大家所学到的知识和解题方法普遍特点是对知识点的总结是高度的概括的，虽然老师在强化阶段帮助大家将知识体系化和系统化，但是那毕竟是老师的东西，考生应该学着将这些东西变成自己的。
第二，所选的题目不论是例题还是课后的练习题都具有一定的综合性，这些题目不再是只考查单一的知识点，单一的解题能力，而是对同学们能力的全方位考查，不仅考查同学们的计算能力、抽象概括能力、空间想象能力还考查同学们应用所学的知识解决实际问题的能力。
大家在平时练习的时候做适量难度稍大的题，会有助于大家在考试过程中保持平和的心态，遇到难题不会慌。
但这并不是说让大家在复习的过程中就只钻研难题，而对于容易的题和中等难度的题不屑一顾，这样只会导致考研失败。
我们做题难度要适当，题量要适当。
所以，大家不要进入做题的误区，要难度适当地练习，不要死扣难题，毕竟考研考察的是基础知识，使大家都能接受的水平。
这就要求同学们在这个阶段付出巨大的努力，但是无论你多累都是值得的，通过这个阶段洗礼，无论是你对三基的掌握程度，还是你的解题能力都会有质的提高。
考研数学(二)考试大纲解析(常微分方程)【圣才出品】
第 5 章 常微分方程
一、微分方程
表 5-1 微分方程
微分方程
概念 凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之问的关系的方程，称为微分方程．
阶
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶．
设函数 y (x) 在区间 I 上有 n 阶连续导数，如果在区间 I 上，有
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如果一个一阶微分方程能写成
g y dy f x dx
的形式，则原方程称为可分离变量的微分方程．
2．解法
设 y x 是方程 g y dy f x dx 的解，代入得
三、一阶线性微分方程 1．一阶线性微分方程
dy P(x) y Q(x) dx
2．齐次线性方程 （1）表达式
（2）通解
dy P(x) y 0 dx
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y CeP(x)dx (C eC1 ) (C1为常数)
F[x, (x), (x), , (n)(x)] 0
解
则函数 y (x) 就称为微分方程
F(x, y, y, , y(n)) 0
在区间 I 上的解．
通解
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相
同，则这样的解称为微分方程的通解．
设微分方程中的未知函数为 y (x) ，则：
方程
y f ( y, y)
令 y p
得
y dp dp dy p dp dx dy dx dy
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明来源：文都教育在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。
一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C eC e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112xx y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+；证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++=212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=，令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dxλλλ'-=⇒=⇒=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----⎰⎰=+=+⎰⎰ …（1） 1）当12λλ≠且为实数时，由（1）式得原方程的通解为21212()121212[]x x x x c y e e C C e C e λλλλλλλ-=+=+-，其中1112c C λλ=-，12C C 和为任意常数。
考研数学一-421 (1)
考研数学一-421(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：5，分数：5.00)1.微分方程 1．（分数：1.00）解析：[解析] 由，得，令，则，解得arcsinu=ln|x|+C，则原方程通解为．2.设二阶常系数非齐次线性微分方程y"+y"+qy=Q(x)有特解y=3e -4x +x 2 +3x+2，则Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2．（分数：1.00）解析：y=C 1e -4x+C 2e 3x+x 2+3x+2(其中C 1，C 2为任意常数) [解析] 显然λ=-4是特征方程λ2+λ+q=0的解，故q=-12，即特征方程为λ2 +λ-12=0，特征值为λ1 =-4，λ2 =3．因为x 2 +3x+2为特征方程y"+y"-12y=Q(x)的一个特解，所以Q(x)=2+2x+3-12(x 2 +3x+2)=-12x 2 -34x-19，且通解为y=C 1 e -4x +C 2 e 3x +x 2 +3x+2(其中C 1，C 2为任意常数)．3.以y=C 1 e -2x +C 2 e x +cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1．（分数：1.00）解析：y"+y"-2y=-sinx-3cosx [解析] 特征值为λ1 =-2，λ2 =1，特征方程为λ2 +λ-2=0，设所求的微分方程为y"+y"-2y=Q(x)，把y=cosx代入原方程，得Q(x)=-sinx-3cosx，所求微分方程为y"+y"-2y=-sinx-3cosx．4.设y"-3y"+ay=-5e -x的特解形式为Axe -x，则其通解为 1．（分数：1.00）解析：y=C 1e -x+C 2e 4x+xe -x[解析] 因为方程有特解Axe -x，所以-1为特征值，即(-1) 2-3×(-1)+a=0a=-4，所以特征方程为λ2 -3λλ1 =-1，λ2 =4，齐次方程y"-3y"+ay=0的通解为y=C 1 e -x +C 2 e 4x，再把Axe -x代入原方程得A=1，原方程的通解为y=C 1 e -x +C 2 e 4x +xe -x．5.设f(x)连续，且f(x)= 1．（分数：1.00）解析：e -x [解析] 由得，整理得，两边对x求导得f"(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce -x，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e -x．二、选择题(总题数：5，分数：5.00)6.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y 1 =e x，y 2 =2xe x，y 3 =3e -x，则该微分方程为______．（分数：1.00）A.y""-y"-y"+y=0 √B.y""+y"-y"-y=0C.y""+2y"-y"-2y=0D.．y""-2y"-y"+2y=0解析：[解析] 由y 1 =e x，y 2 =2xe x，y 3 =3e -x为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1 =λ2 =1，λ3 =-1，其特征方程为(λ-1) 2 (λ+1)=0，即λ3 -λ2 -λ+1=0，所求的微分方程为y""-y"-y"+y=0，选A．7.设φ1 (x)，φ2 (x)为一阶非齐次线性微分方程y"+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为______．（分数：1.00）A.C[φ1(x)+φ2(x)]B.C[φ1(x)-φ2(x)]C.C[φ1(x)+φ2(x)]+φ2(x) √D.[φ1(x)-φ2(x)]+Cφ2(x)解析：[解析] 因为φ1 (x)，φ2 (x)为方程y"+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以φ1 (x)-φ2 (x)为方程y"+P(x)y=0的一个解，于是方程y"+P(x)y=Q(x)的通解为C[φ1 (x)-φ2 (x)]+φ2 (x)，选C．8.设y=y(x)为微分方程2xydx+(x 2 -1)dy=0满足初始条件y(0)=1的解，则为______A．-ln3B．ln3C．D．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由2xydx+(x 2 -1)dy=0得，积分得ln(x 2 -1)+lny=lnC，从而，由y(0)=1得C=-1，于是，故，选D．9.微分方程y"-4y=e 2x +x的特解形式为______．∙ A.ae2x+bx+c∙ B.ax2e2x+bx+c∙ C.axe2x+bx2+cx∙ D.axe2x+bx+C（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] y"-4y=0的特征方程为λ2 -4=0，特征值为λ1 =-2，λ2 =2．y"-4y=e 2x的特解形式为y 1=axe 2x，y"-4y=x的特解形式为y 2=bx+c，故原方程特解形式为axe 2x+bx+c，应选D．10.微分方程y"-4y=x+2的通解为______．A．B．C．D．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 微分方程y"-4y=0的特征方程为λ2-4=0，特征值为-2，2，则方程y"-4y=0的通解为C 1e2x，显然方程y"-4y=x+2有特解，选D．-2x +C2 e三、解答题(总题数：34，分数：90.00)11.求微分方程（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解可写为，令．原方程化为，变量分离得ln(lnu-1)=lnx+lnC，即lnu-1=Cx，或u=e Cx+1，故原方程的通解为y=xe Cx+1．12.求微分方程xy"+2y"一e x的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解方法一令y"=p．则原方程化为，解得，故．方法二 xy"+2y"=e x两边乘以x得x 2 y"+2xy"=xe x，即(x 2 y")"=xe x，积分得x 2 y"=(x-1)e x +C 1，即，再积分得原方程通解为．13.求微分方程（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解由得，分离变量得，两边积分得．14.求微分方程y(1)=0的解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解由，得．令，则原方程化为，积分得，即，将初始条件y(1)=0代入得C=1．由，即满足初始条件的特解为．15.求微分方程(y-x 3 )dx-2xdy=0的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解由(y-x 3 )dx-2xdy=0，得，则即原方程的通解为(其中C为任意常数)．16.求微分方程y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解由y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0得，令，则，解得，所以原方程的通解为y 2 (y+3x)=C．17.求微分方程（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解由，令u=siny，则，令u -1 =z，则解得则．18.求微分方程y(e)=2e的特解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解方法一由，令，得，解得u 2 =lnx 2 +C，由y(e)=2e，得C=2，所求的通解为y 2 =x 2 lnx 2 +2x 2．方法二由，得，令z=y 2，则，解得，由初始条件得C=2，则原方程的通解为y 2 =x 2 lnx 2 +2x 2．19.求微分方程x 2 y"+xy=y 2满足初始条件y(1)=1的特解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解由x 2 y"+xy=y 2得，两边积分得，因为y(1)=1，所以C=-1，再把代入得原方程的特解为．20.求微分方程(xy 2 +y-1)dx+(x 2 y+x+2)dy=0的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解令P(x，y)=xy 2 +y-1，Q(x，y)=x 2 y+x+2，因为，所以原方程为全微分方程，令则原方程的通解为．21.求微分方程（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解由22.求微分方程（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解令x+y=u，则，于是有，变量分离得u-arctanu=x+C．所以原方程的通解为y-arctan(x+y)=C．23.设y=e x为微分方程xy"+P(x)y=x的解，求此微分方程满足初始条件y(ln2)=0的特解．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解把y=e x代入微分方程xy"+P(x)y=x，得P(x)=xe -x-x，原方程化为y"+(e -x-1)y=1，则y=[∫1×e∫(e-x-1)dx dx+C]e -∫(e-x-1)dx =Ce x+e-x +e x，将y(ln2)=0代入y=Ce x+e-x +e x中得，故特解为．24.设f(x)连续，求f(x)．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解由，得，两边对x求导，得，两边再对x求导得f"(x)+f(x)=e x，其通解为f(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+ ．在中，令x=0得f(0)=1，在f"(x)=e x - 中，令x=0得f"(0)=1，于是有，故．25.用变量代换x=lnt将方程y关于t的方程，并求原方程的通解．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解，，代入原方程得．的通解为y=C 1 cost+C 2 sint，故原方程的通解为y=C 1 cose x +C 2 sine x．26.设当x＞0时，f(x)满足f(x)．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解由f(x)-f"(x)=1，解得f(x)=Ce x +1，而f(1)=-1，所以f(x)=1-2e x-1．27.求满足初始条件y"+2x(y") 2 =0，y(0)=1，y"(0)=1的特解．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解令y"=p，则，代入方程得，解得，由y"(0)=1得C 1 =1，于是，y=arctanx+C 2，再由y(0)=1得C 2 =1，所以y=arctanx+1．28.求微分方程yy"=y" 2满足初始条件y(0)=y"(0)=1的特解．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解令y"=p，则，代入原方程得．当p=0时，y=1为原方程的解；当p≠0时，由，解得，由y(0)=y"(0)=1得C 1=1，于是，解得y=C 2e -∫-dx=C 2e x，由y(0)=1得C 2=1，所以原方程的特解为y=e x．29.一条曲线经过点(2，0)，且在切点与y轴之间的切线长为2，求该曲线．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解曲线在点(x，y)处的切线方程为y-y=y"(X-x)，令X=0，则Y=y-xy"，切线与y轴的交点为(0，y-xy")．由题意得x 2 +x 2 y" 2 =4，解得，变量分离得，积分得，因为曲线经过点(2，0)，所以C=0，故曲线为．30.设曲线L 1与L 2皆过点(1，1)，曲线L 1在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为2，曲线L 2在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为2，求两曲线所围成区域的面积．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解对曲线L 1，由题意得，解得y=x(2x+C 1 )，因为曲线L 1过点(1，1)，所以C 1 =-1，故L 1：y=2x 2 -x．对曲线L 2，由题意得，解得，因为曲线L 2过点(1，1)，所以C 2 =-1，故．由得两条曲线的交点为及(1，1)，故两条曲线所围成区域的面积为．31.用变量代换x=sint将方程y关于t的方程，并求微分方程的通解．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解，代入原方程得．的通解为y=C 1 e -2t +C 2 e 2t，故原方程的通解为y=C 1 e -2arcsinx +C 2 e 2arcsinx．32.设二阶常系数齐次线性微分方程以y 1 =e 2x，y 2 =2e -x -3e 2x为特解，求该微分方程．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解因为y 1 =e 2x，y 2 =2e -x -3e 2x为特解，所以e 2x，e -x也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为λ1 =-1，λ2 =2，特征方程为(λ+1)(λ-2)=0即λ2 -λ-2=0，所求的微分方程为y"-y"-2y=0．33.求微分方程y"+2y"-3y=(2x+1)e x的通解．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解特征方程为λ2 +2λ-3=0，特征值为λ1 =1，λ2 =-3，则y"+2y"-3y=0的通解为y=C 1 e x +C2 e -3x．令原方程的特解为y0 =x(ax+b)ex，代入原方程得，所以原方程的通解为34.求y"-2y"-e 2x =0满足初始条件y(0)=1，y"(0)=1的特解．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解原方程可化为y"-2y"=e 2x，特征方程为r 2 -2r=0，其对应的齐次线性微分方程的通解为y=C 1+C 2 e 2x．令原方程的特解为y * =Axe 2x，代入原方程得，从而原方程的通解为．35.求微分方程y"+4y"+4y=e ax的通解．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解特征方程为λ2 +4λ+4=0，特征值为λ1 =λ2 =-2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为y=(C 1 +C 2 x)e -2x．(1)当a≠-2时，因为a不是特征值，所以设原方程的特解为y 0 (x)=Ae ax，代入原方程得，则原方程的通解为；(2)当a=-2时，因为a=-2为二重特征值，所以设原方程的特解为y 0 (x)=Ax 2 e -2x，代入原方程得，则原方程的通解为．36.求微分方程y"+y=x 2 +3+cosx的通解．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解特征方程为λ2 +1=0，特征值为λ1 =-i，λ2 =i，方程y"+y=0的通解为y=C 1 cosx+C 2 sinx．对方程y"+y=x 2 +3，特解为y 1 =x 2 +1；对方程y"+y=cosx，特解为，原方程的特解为，则原方程的通解为y=C 1 cosx+C 2 sinx+x 2．37.求微分方程x 3 y""+2x 2 y"-xy"+y=0的通解．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解令x=e t，则xy"=D，x 2 y"=D(D-1)，x 3 y""=D(D-1)(D-2)，即原方程化为，特征方程为λ3-λ2-λ+1=0，解得特征值为λ1=-1，λ2=λ3=1，则方程的通解为y=C 1 e -t +(C 2 +C 3 t)e t，原方程的通解为．38.求微分方程x 2 y"-2xy"+2y=2x-1的通解．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解令x=e t，则，原方程化为，的通解为y=C 1 e t +C 2 e 2t，令的特解为y 0 (t)=ate t，代入，得a=-2，显然的特解为，所以方程的通解为，原方程的通解为．39.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v| t=0 =v 0．已知阻力与速度成正比(比例系数为1)，问t 为多少时此质点的速度为?并求到此时刻该质点所经过的路程．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解设t时刻质点运动的速度为v(t)，阻力，则有解此微分方程得v(t)=v 0e -t．由得t=ln3，从开始到t=ln3的时间内质点所经过的路程为．40.设f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)＞0，设f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均数，求f(x)．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解根据题意得，令，则有，两边求导得，即，令，则有，解得．41.设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任意一点M处的切线与y轴总相交，交点为A，已知|MA|=|OA|，且L经过点，求L的方程．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解设点M的坐标为(x，y)，则切线MA：Y-y=y"(X-x)．令X=0，则Y=y-xy"，故A点的坐标为(0，y-xy")．由|MA|=|OA|，得即，或者，则因为曲线经过点，所以C=3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为42.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与z轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解设所求曲线为y=y(x)，该曲线在点P(x，y)的法线方程为令Y=0，得X=x+yy"，该点到x轴法线段PQ的长度为由题意得，即yy"=1+y" 2．令y"=p，则，则有，或者，两边积分得，由y(1)=1，y"(1)=0得C 1=0，所以，变量分离得，两边积分得，由y(1)=1得C 2 = 1，所以，即，又，所以，两式相加得43.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为k＞0，设融化过程中形状不变，设半径为r 0的雪堆融化3小时后体积为原来的，求全部融化需要的时间．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解设t时刻雪堆的半径为r，则有，则，于是有，由r(0)=r 0，，得C 0 =r 0，，于是，令r=0得t=6，即6小时雪堆可以全部融化．44.设f(x)在[0，1]上连续且满足f(0)=1，f"(x)-f(x)=a(x-1)．y=f(x)，x=0，x=1，y=0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(x)．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解由f"(x)-f(x)=a(x-1)得f(x)=[a∫(x-1)e ∫-1dx +C]e -∫-dx =Ce x -ax，由f(0)=1得C=1，故f(x)=e x -ax．由得a=3，因为，所以当a=3时，旋转体的体积最小，故f(x)=e x -3x．。
考研数学冲刺：高等数学考察形式分析
考研数学冲刺：高等数学考察形式分析考研数学冲刺：高等数学考察形式分析1、函数、极限与连续。
主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数、讨论函数连续性和判断间断点类型、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。
求分段函数的复合函数;求极限或已知极限确定原式中的常数;讨论函数的连续性，判断间断点的类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。
这一部分更多的会以选择题，填空题，或者作为构成大题的一个部件来考核，关键是要对这些概念有本质的理解，在此基础上找习题强化。
2、一元函数微分学。
主要考查导数与微分的定义、各种函数导数与微分的计算、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值、方程的的个数、证明函数不等式、与中值定理相关的证明、最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用、用导数研究函数性态和描绘函数图形、求曲线渐近线。
求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论;利用洛比达法则求不定式极限;讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式;利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，此类问题证明经常需要构造辅助函数;几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间;利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。
3、一元函数积分学。
主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算、变上限积分的求导、极限等、积分中值定理和积分性质的证明、定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等计算题：计算不定积分、定积分及广义积分;关于变上限积分的题：如求导、求极限等;有关积分中值定理和积分性质的证明题;定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等;综合性试题。
考研数学-二阶微分方程
题型1８ 二阶线性微分方程解的性质与结构一、基础知识二、例题例1.(06-34)设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解1()y x ，2()y x ，C 为任何常数，则该方程通解是 【B 】（A ）12[()()]C y x y x - （B ）112()[()()]y x C y x y x +- （C ）12[()()]C y x y x +（D ）112()[()()]y x C y x y x ++例 2.设函数1()y x ,2()y x ,3()y x 线性无关,而且都是非齐次线性微分方程)()(')(''x f y x q y x p y =++的解,1C ,2C 为任意常数,则该非齐次线性微分方程的通解是【D 】（Ａ）11223C y C y y ++. （Ｂ）1122123()C y C y C C y +-+. （Ｃ）1122123(1)C y C y C C y +---. （Ｄ）1122123(1)C y C y C C y ++--. 例 3.设函数1()y x ,2()y x 为二阶变系数齐次线性方程''()'()0y p x y q x y ++=的两个特解,则1122C y C y +(1C ,2C 为任意常数)是该方程通解的充分条件是 【B 】（Ａ）1221()'()()'()0y x y x y x y x -=. （Ｂ）1221()'()()'()0y x y x y x y x -≠. （Ｃ）1221()'()()'()0y x y x y x y x +=. （Ｄ）1221()'()()'()0y x y x y x y x +≠.题型１９ 二阶线性微分方程求解一、基础知识1．二阶常系数齐次线性微分方程及其解法二阶常系数齐次线性微分方程形为0'''=++qy py y ,其中q p ,为常数.求解步骤:a.写出特征方程02=++q pr r . b .求出特征方程的两个根21,r r .2．阶常系数齐次线性微分方程及其解法n 阶常系数齐次线性微分方程形为0)2(2)1(1)(=++++--y p y p y p y n n n n ,其中),,2,1(n i p i =为常数.求解步骤:a.写出特征方程0)2(2)1(1)(=++++--n n n n p r p r p r.b .求出特征方程的n 个根n r r r 21,. c.依据特征根的形式写出通解形式.[注] 表中的)(x R n 与)(x S n 为待定的n 次多项式. 以上方法对高阶的情形也适应. 二、例题1．二阶线性常系数微分方程求解例 1.(07-12)二阶常系数非齐次线性微分方程2432xy y y e '''-+=的通解为32122.x x x y C e C e e =+-(其中21,C C 为任意常数)例2.（06-2）函数212x x xy C e C e xe -=++满足一个微分方程是 【D 】（A ）23.xy y y xe '''--= （B ）23.xy y y e '''--=（C ）23.xy y y xe '''+-=（D ）23.xy y y e '''+-=例3. (04-2)微分方程2''1sin y y x x +=++的特解形式可设为 【A 】(A)2()(sin cos )y x ax bx c x A x B x *=++++. (B)2()(sin cos )y x x ax bx c A x B x *=++++. (C)2()sin y x ax bx c A x *=+++. (D)2()cos y x ax bx c A x *=+++. 例4.(91-2)求微分方程''cos y y x x +=+的通解. 【答案】121cos sin sin 2y C x C x x x x =+++例 5. (93-2)设二阶常系数线性微分方程'''xy y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++,试确定常数,,αβγ,并求该方程的通解.【答案】3,2,1αβγ=-==-.212x x xy C e C e xe =++例6.(00-2)具有特解123,2,3x x xy e y xe y e --===的二阶常系数齐次线性微分方程是【B 】（A ）0y y y y ''''''--+=. （B ）0y y y y ''''''-=＋－.（C ）61160y y y y ''''''-=＋－. （C ）220y y y y ''''''--+=. 练习1.(99-12)微分方程2''4xy y e -=的通解为222124xx x xy C eC e e -=++ .2. (96-2)微分方程''2'50y y y ++=的通解为12[cos 2sin 2]xy e C x C x -=+ .3.(92-2)求微分方程''3'2xy y y xe -+=的通解. 【答案】 2121(2)2xxx y C e C ex x e =+-+ 4.(95-2)微分方程''2y y x +=-的通解为12cos sin 2y C x C x x =+-. 5.(96-2)求微分方程2'''y y x +=的通解. 【答案】3212123x y x x x C C e -=-+++ 6. 求微分方程(4)0y y -=的通解.【答案】1234cos sin x xy C e C e C x C x -=+++2．二阶线性变系数微分方程例7. (05-2)利用代换cos (0)x t t π=<<化简微分方程2(1)'''0x y xy y --+=,并求其满足01,'2x x yy ====的特解.【答案】2y x =例8. (98-2)利用代换cos u y x=将方程''cos 2'sin 3cos xy x y x y x e -+=化简,并求原方程的通解.【答案】12cos 22sin cos 5cos xx e y C C x x x=++ 3．欧拉方程例9. (04-1)欧拉方程222420(0)d y dy x x y x dx dx ++=>的通解为122C C y x x=+. 练习1.求欧拉方程322'''''4'3x y x y xy x +-=的通解. 【答案】3221312C y C C x x x =++-。
2004【考研数二】真题及解析
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x =.(2) 设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为.(3)121dx x x +∞=-⎰.(4) 设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂.(5) 微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为.(6) 设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵, E是单位矩阵, 则B =.二、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰,2tan x t dt β=⎰, 30sin x t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是 ( )(A),,.αβγ (B),,.αγβ(C),,.βαγ (D),,.βγα (8) 设()(1)f x x x =-, 则 ( )(A) 0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. (B) 0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. (C) 0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点.(D) 0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.(9) 22212lim ln(1)(1)(1)nn nn nn→∞+++等于 ( )(A)221ln xdx ⎰. (B)212ln xdx ⎰.(C)212ln(1)x dx +⎰. (D)221ln (1)x dx +⎰(10) 设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得 ( )(A)()f x 在(0,)δ内单调增加. (B)()f x 在(,0)δ-内单调减小. (C)对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >. (D)对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.(11) 微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为 ( )(A)2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. (B)2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. (C)2sin y ax bx c A x *=+++. (D)2cos y ax bx c A x *=+++(12) 设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于 ( )(A)221111()x xdx f xy dy ----⎰⎰. (B)22202()y y dy f xy dx -⎰⎰.(C)2sin 20(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰. (D)2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰(13) 设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为 ( )(A)010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B)010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (C)010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (D)011100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(14) 设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有 ( )(A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(16)(本题满分10分)设函数()f x 在(,-∞+∞)上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(I)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (II)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.(17)(本题满分11分)设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(I)证明()f x 是以π为周期的周期函数; (II)求()f x 的值域.(18)(本题满分12分)曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(I)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim ()t S t F t →+∞.(19)(本题满分12分)设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e ->-.(20)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少? (注：kg 表示千克,/km h 表示千米/小时)(21)(本题满分10分)设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z z x y x y∂∂∂∂∂∂∂.(22)(本题满分9分)设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解(23)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题 (1)【答案】0.【详解】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点. 对不同的x , 先用求极限的方法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.由2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+，显然当0x =时,()0f x =；当0x ≠时, 2(1)()lim 1n n x f x nx →∞-=+22211(1)lim(1)lim 11lim n n n x xx n n x x x n n →∞→∞→∞--===⎛⎫++ ⎪⎝⎭1x =, 所以 ()f x 0,01,0x x x=⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠，故 0x =为()f x 的间断点.(2)【详解】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩定义的参数方程求出二阶导数22d y dx , 再由220d ydx <确定x 的取值范围. ()323133dy t t t dt '=-+=-，()323133dxt t t dt'=++=+ 所以 2222331331dy dy dt t t dx dx dt t t --===++221111t t +--=+2211t =-+ 222221113(1)d y d dy dt dx dt dx dx t t '⎛⎫⎛⎫==-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()222413(1)1t t t =⋅++2343(1)t t =+, 令220d y dx <(或220d y dx≤)，即23403(1)t t <+(或23403(1)tt ≤+) ⇒0t <()0t ≤或 又331x t t =++， 2330x t '=+>，所以()x t 单调增, 当0t =时，1x =，所以当0t <时()()01x t x <=(或当0t ≤时，()()01x t x ≤=)，即(,1)x ∈-∞(或(,1]x ∈-∞)时，曲线凸(3)【答案】2π. 【详解】利用变量代换法可得所求的广义积分值. 方法1：作积分变量变换，令sec x t =，则2221sec 1tan x t t -=-=，sec sec tan dx d t t tdt ==，:02t π→，代入原式：221002sec tan sec sec tan 21dxt t x t dt dt t t x x πππ+∞⋅===⋅-⎰⎰⎰.方法2：令1x t =，则211dx d dt t t ==-，:10t →，代入原式：1120110222111()arcsin 21111dxt x dt dt ttt x x t t π+∞=-===---⎰⎰⎰.(4)【答案】2.【详解】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解. 方法1：复合函数求偏导，在 232x zz ey -=+ 的两边分别对x ,y 求偏导,z 为,x y 的函数.23(23)x z z ze x x-∂∂=-∂∂, 23(3)2x z z z e y y -∂∂=-+∂∂, 从而 2323213x z x z z e x e--∂=∂+, 23213x z z y e -∂=∂+ 所以 3z zx y ∂∂+∂∂2323232231313x z x z x z e e e ---=⋅+++2323132213x z x ze e--+=⋅=+ 方法2：令23(,,)20x zF x y z ey z -=+-=，则232x z F e x -∂=⋅∂, 2F y ∂=∂, 23(3)1x z Fe z-∂=--∂ 所以2323232322(13)13x z x z x z x zz e e FFx z x e e ----∂⋅∂∂=-=-=∂∂∂-++, 232322(13)13x z x z z FFy z y e e--∂∂∂=-=-=∂∂∂-++, 从而 3z zx y ∂∂+∂∂2323232231313x z x z x z e e e ---=⋅+++2323132213x z x ze e--+=⋅=+ 方法3：利用全微分公式,得23(23)2x z dz e dx dz dy -=-+2323223x z x z e dx dy e dz --=+-即2323(13)22x zx zedz edx dy --+=+，得232323221313x z x z x ze dz dx dy e e ---=+++所以 2323213x z x z z e x e --∂=∂+, 23213x zz y e -∂=∂+从而 3z zx y ∂∂+∂∂2323232231313x z x z x z e e e ---=⋅+++2323132213x z x ze e--+=⋅=+(5)【答案】315y x x =+. 【详解】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解. 方法1：原方程变形为21122dy y x dx x -=, 先求齐次方程 102dy y dx x-= 的通解:分离变量：12dy dx y x= 两边积分得： 1ln ln ln 2y x c =+ y c x ⇒=用常数变易法，设()y c x x =为非齐次方程的通解，则1()()2y c x x c x x''=+，代入21122dy y x dx x -=，得2111()()()222c x x cx c x x x xx '+-=，即321()2c x x '=,积分得352211()25c x x dx x C ==+⎰,于是非齐次方程的通解为：53211()55y x x C C x x =+=+又由于165x y==代入通解，得3161155C += 1C ⇒=, 故所求特解为 315y x x =+.方法2：原方程变形为 21122dy y x dx x -=,由一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx+=通解公式：()()()()()P x dx P x dx P x dx f x Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰这里()()211,22P x Q x x x =- =，代入上式得：1122212dx dx x x y e x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 由于方程0x =处方程无定义，所以解的存在区间内不能含有点0x =.因此解的存在区间要么为0x >的某区间，要么为0x <的某区间. 现在初值给在1x =处，所以0x >，于是11ln ln 22212x x y ex e dx C -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰35221125x x dx C x x C ⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰再6(1)15y C =⇒=, 从而特解为 315y x x =+.(6) 【答案】91 【详解】方法1：已知等式两边同时右乘A ，得**2ABA A BA A A =+，由伴随矩阵的运算规律：**A A AA A E ==，有2AB A B A A =+，而210120001A =3321(1)12+=-2211=⨯-⨯3=，于是有 A B AB +=63，移项、合并有 A B E A =-)63(，再两边取行列式，由方阵乘积的行列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，有(36)363A E B A E B A -=-==，而 36A E -21010031206010001001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦63060003036006030003006003⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 3303(1)(3)(3)3330+=--=-⨯⨯27=，故所求行列式为B 33627A A E ==-19= 方法2：由题设条件**2ABA BA E =+，得 **2ABA BA -=*(2)A E BA E -=由方阵乘积行的列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，故两边取行列式，有 **(2)21A E BA A E B A E -=-==其中210120001A =3321(1)12+=-2211=⨯-⨯3=；由伴随矩阵行列式的公式：若A 是n 阶矩阵，则 1n A A-*=.所以，312A AA -*===9 ； 又 0102100001A E -=1210(1)01+=-=1. 故1192B A E A*==-.二、选择题 (7)【答案】 (B) 【详解】方法1：202200tan tan 2lim limlim 0cos cos x xx x x tdt x xxt dtβα+++→→→⋅= =⎰⎰洛必达，则β是α的高阶无穷小，根据题设，排在后面的是前一个的高阶无穷小，所以可排除(C),(D)选项，又23230001sin sin 2lim lim lim 2tan tan xx x x x x t dtx x xtdtγβ+++→→→⋅= ⎰⎰洛必达 201lim 4x x x +→=∞等价无穷小替换， 可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B). 方法2：用kx (当0x →时)去比较.22100cos cos lim limlim ,xkkk x x x t dt x xxkxα+++-→→→=⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取1k =，有2200lim cos cos lim lim 1lim x x x x t txx x α++++→→→→===，所以(当+→0x 时)α与x 同阶.211300000tan tan 222lim limlim lim lim x k k k k k x x x x x tdtx x x x x x kx kx kx β+++++---→→→→→⋅⋅===⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取3k =, 有3320002tan 2tan 2lim lim lim 333x x x x x x x x β+++-→→→===， 所以(当+→0x 时)β与3x 同阶.3131322221110000sin sin lim limlim lim lim ,222xkkk k k x x x x x t dt x x x x xx x kx kx kxγ+++++-----→→→→→⋅⋅===⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取2k =, 有22101lim lim 224x x x x x γ++-→→==⋅， 所以(当+→0x 时)γ与2x 同阶.因此，后面一个是前面一个的高阶小的次序是,,αγβ，选(B).(8)【答案】C【详解】由于是选择题，可以用图形法解决，也可用分析法讨论.方法1：由于是选择题，可以用图形法解决, 令()(1)x x x ϕ=-，则211()24x x ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，是以直线12x =为对称轴，顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，开口向上的一条抛物线，与x 轴相交的两点坐标为()()0,0,1,0，()()y f x x ϕ==的图形如图.点0x =是极小值点；又在点(0,0)左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近曲线是凸的，所以点(0,0)是拐点，选C.方法2：写出()y f x =的分段表达式： ()f x =(1),10(1),01x x x x x x ---<≤⎧⎨-<<⎩,从而()f x '=12,1012,01x x x x -+-<<⎧⎨-<<⎩, ()f x ''=2,102,01x x -<<⎧⎨-<<⎩,()00lim ()lim 1210x x f x x ++→→'=-=>，所以01x <<时，()f x 单调增， ()0lim ()lim 1210x x f x x --→→'=-+=-<，所以10x -<≤时，()f x 单调减， 所以0x =为极小值点.当10x -<<时,()20f x ''=>，()f x 为凹函数； 当10x >>时,()20f x ''=-<，()f x 为凸函数, 于是(0,0)为拐点.(9)【答案】 By2【详解】由对数性质，22212lim ln (1)(1)(1)n n n n nn →∞+++ 212lim ln (1)(1)(1)nn nn n n →∞⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦212limln(1)ln(1)ln(1)n n n n n n →∞⎡⎤=++++++⎢⎥⎣⎦11lim 2ln(1)nn i i n n →∞==+∑102ln(1)x dx =+⎰2112ln x t tdt +=⎰212ln xdx =⎰(10)【答案】 (C)【详解】函数()f x 只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B).由导数的定义，知 0)0()(lim)0(0>-='→xf x f f x根据极限的保号性，知存在0>δ，当),0()0,(δδ -∈x 时，有0)0()(>-xf x f .即当)0,(δ-∈x 时，0x <，有()(0)f x f <；而当),0(δ∈x 时，0x >有()(0)f x f >.(11)【答案】A【详解】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式.对应齐次方程 0y y ''+= 的特征方程为 210λ+=, 则特征根为 i λ=±,对2021(1)y y x e x ''+=+=+为()()x m f x e P x λ=型，其中()20,1m P x x λ= =+，因0不是特征根, 从而其特解形式可设为2021()y ax bx c e ax bx c *=++=++对 sin y y x ''+=, 为()()()cos sin xl n f x eP x x P x x λωω=+⎡⎤⎣⎦型，其中0λ=，()()0,1l n P x P x ω=1,= =，因0i i i λω+=+=为特征根, 从而其特解形式可设为2(sin cos )y x A x B x *=+由叠加原理，故方程 21sin y y x x ''+=++ 的特解形式可设为2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++(12)【答案】D【详解】由{}22(,)2D x y x y y =+≤，则积分区域是以()0,1 为圆心，1为半径的圆及其内部， 积分区域见右图.在直角坐标系下, 先x 后y ，2222y y x y y --≤≤-，02y ≤≤则应是222202()()y y y y Df xy dxdy dy f xy dx ---=⎰⎰⎰⎰先y 后x ，由()2211x y +-≤221111,11x y x x ⇒--≤≤+- -≤≤，则应是22111111()()x xDf xy dxdy dx f xy dy +----=⎰⎰⎰⎰故应排除[],[]A B .在极坐标系下, cos ,sin x r y r θθ== ,2sin 20()(sin cos )Df xy dxdy d f r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰, 故应选D.或直接根据极坐标下，其面积元素为rdrd θ，则可排除C(13)【答案】(D)【详解】由题设，将A 的第1列与第2列交换，即12010100001AE A B ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，将B 的第2列加到第3列，即100010100011011100011100.001001001001B A A AQ ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故011100001Q ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，应选(D).(14)【答案】(A)【详解】方法1：由矩阵秩的重要公式：若A 为n m ⨯矩阵，B 为n p ⨯矩阵，如果0AB =，则()()r A r B n +≤设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，由0AB =知，()()r A r B n +≤，其中n 是矩阵A 的列数，也是B 的行数因A 为非零矩阵，故()1r A ≥，因()()r A r B n +≤，从而()1r B n n ≤-<，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知B 的行向量组线性相关.因B 为非零矩阵，故()1r B ≥，因()()r A r B n +≤，从而()1r A n n ≤-<，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知A 的列向量组线性相关.故应选(A).方法2：设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，将B 按列分块，由0AB =得，[]12,,,0,0,1,2,,.s i AB A A i s ββββ====因B 是非零矩阵，故存在0i β≠，使得0i A β=. 即齐次线性方程组0Ax =有非零解. 由齐次线性方程组0Ax =有非零解的充要条件()r A n <, 知()r A n <. 所以A 的列向量组线性相关.又()0T T TAB B A ==，将TA 按列分块，得12[,,,]0,0,1,2,,.T T T T TTT T m i B A B B i m αααα====因A 是非零矩阵，故存在0T i α≠，使得0T Ti B α=，即齐次线性方程组0Bx =有非零解. 由齐次线性方程组0Bx =有非零解的充要条件，知TB 的列向量组线性相关，由TB 是由B 行列互换得到的，从而B 的行向量组线性相关，故应选(A). 方法3：设 (),i j m n A a ⨯=()i j n s B b ⨯=, 将A 按列分块，记 ()12n A A A A =由0AB =⇒()11121212221212s s n n n ns b b b b b b A A A b b b ⎛⎫⎪ ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⎝⎭()111111,,0n n s ns n b A b A b A b A =++++= (1)由于0B ≠, 所以至少有一个 0i j b ≠(1,1i n j s ≤≤≤≤), 又由(1)知,11220j j i j i nj n b A b A b A b A +++++=, 所以12,,,m A A A 线性相关. 即A 的列向量组线性相关.(向量组线性相关的定义：如果对m 个向量12,,,n m R ααα∈，有m 个不全为零的数12,,,m k k k R ∈，使11220m m k k k ααα++=成立，则称12,,,m ααα线性相关.)又将B 按行分块，记 12n B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 同样，0AB =⇒11121121222212n n m m mn n a a a B a a a B a a a B ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭111122121122221122n n n n m m mn n a B a B a B a B a B a B a B a B a B +++⎛⎫⎪+++ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭0= 由于0A ≠,则至少存在一个0i j a ≠(1,1i m j n ≤≤≤≤), 使11220i i i j j in n a B a B a B a B ++++=,由向量组线性相关的定义知，12,,,m B B B 线性相关, 即B 的行向量组线性相关，故应选(A).方法4：用排除法.取满足题设条件的,A B .取001000,10010001A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=≠=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，有00100100,10001AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A 的行向量组，列向量组均线性相关，但B 的列向量组线性无关，故(B)，(D)不成立.又取110100,00000100A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=≠=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，有1101000000100AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性相关，故(C)不成立.由排除法知应选(A).三、解答题.(15)(本题满分10分)求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【答案】16-【详解】此极限属于型未定式.可利用洛必达法则,并结合无穷小代换求解.方法1： 2cos 2cos ln ln 332cos 3xxx x x x ee++⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭+⎛⎫== ⎪⎝⎭原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫ ⎪⎝⎭→-=1x e x -302cos ln 3limx x x x →+⎛⎫ ⎪⎝⎭202cos ln 3lim x x x →+⎛⎫ ⎪⎝⎭=20ln 2cos ln 3limx x x →+-=（）20(ln 2cos ln 3)lim()x x x →'+-'（）洛01sin 2cos lim2x x x x →⋅-+（）=011sin lim 22cos x x x x →=-⋅+ 0011sin 11lim lim 122cos 23x x x x x →→=-⋅=-⋅⋅+16=-方法2：原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫⎪⎝⎭→-=1x e x -202cos ln 3limx x x →+⎛⎫⎪⎝⎭20cos 1ln 3limx x x→-+=（1）()ln 1x x +2200cos 11cos limlim 33x x x xx x→→--=- 222021cos lim 23x x x xx → - -16=-.(16)【详解】(I)当20x -≤<,则022x ≤+<,由题设：区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-知,()(2)f x k f x =+2(2)[(2)4]k x x =++-2(2)(4)k x x x =++(2)(4)kx x x =++.(II) 由(I)知：[][)2(4),0,2()(2)(4),2,0x x x f x kx x x x ⎧- ∈⎪=⎨++ ∈-⎪⎩，所以2(0)0(04)0f =⋅-=，按函数在某点可导的充要条件：在这点的左右导数存在且相等. 所以根据导数的定义求()f x 在0x =的左右导数，使其相等，求出参数k .200()(0)(4)0(0)lim lim 40x x f x f x x f x x+++→→---'===--00()(0)(2)(4)0(0)lim lim 80x x f x f kx x x f k x x---→→-++-'===-.令(0)(0)f f -+''=, 得12k =-. 即当12k =-时, ()f x 在0x =处可导.(17)【详解】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域.(I) 要证()f x 是以π为周期的周期函数，即证：()()f x f x π=+因为2()sin x xf x t dt π+=⎰，所以()f x π+()()2sin x x t dt πππ+++=⎰32sin x x t dt ππ++=⎰利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性，设t u π=+, 因为3:2t x x ππ+→+，所以:2u x x π→+，则有()f x π+=2sin()()x xu d u πππ+++⎰()sin sin u uπ+=-2sin x xu du π+⎰()f x =,故()f x 是以π为周期的周期函数.(II) 因为()f x 是以π为周期的周期函数, 故只需在[0,]π上讨论其值域. 又因()f x 为积分函数，则一定连续，根据有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值，所以()f x 的值域就是区间[min (),max ()]f x f x .令 ()s i n()s i n c o s s i n 02f x x x x x π'=+-=-=, 在区间[0,]π内求得驻点，14x π=, 234x π=, 且 334444()sin sin 0sin 24f t dt t t dt πππππ= > =⎰⎰, 554433443()sin sin sin 224f t dt t dt t dt πππππππ==-=-⎰⎰⎰, 又 2200(0)sin sin 1f t dt t dt ππ===⎰⎰, 3322()sin (sin )1f t dt t dt πππππ==-=⎰⎰,比较极值点与两个端点处的值，知()f x 的最小值是22-, 最大值是2, 故()f x 的值域是[22,2]-.(18)【详解】(I) 旋转体体积：2200()2x x tte e V t y dx dx ππ-⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎰⎰旋转体的侧面积：20()21tS t yy dx π'=+⎰202122x x x x te e e e dx π--'⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰202122x x x x t e ee e dx π--⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 22022124x x x x te e e e dx π--⎛⎫+-+=+ ⎪⎝⎭⎰2202224x x x x t e e e e dx π--⎛⎫+++= ⎪⎝⎭⎰ 20222x x x x te e e e dx π--⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰2022x x t e e dx π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰, 所以 ()()S t V t 2020222x x tx x t e e dx e e dx ππ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰2=. (Ⅱ) 在x t =处旋转体的底面积为2()x tF t y π==22x x x te e π-=⎛⎫+= ⎪⎝⎭22t t e e π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以20222()lim lim ()2xxt t t t t e e dx S t F t e e ππ-→+∞→+∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰20222=lim 2x x t t t t e e dx e e -→+∞-'⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰222lim 222t t t t t t t e e e e e e ---→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=lim t t t t t e e e e --→+∞+=-221=lim 1t t t e e --→+∞+-1=(19) 【详解】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.方法1：因为函数()2ln f x x =在()2[,],a b e e⊂上连续，且在(),a b 内可导，所以满足拉格朗日中值定理的条件，对函数()2ln f x x =在[,]a b 上应用拉格朗日中值定理，得()()()22222ln ln ln ln ,b a b a b a e a b e ξξξξ'-=-=- <<<<下证：22ln 4eξξ>. 设t t t ln )(=ϕ，则2ln 1)(tt t -='ϕ，当t e >时，1ln 1ln 0t e -<-= ，即,0)(<'t ϕ 所以)(t ϕ单调减少，又因为2e ξ<，所以)()(2e ϕξϕ>，即2222ln ln ee e =>ξξ，得22ln 4e ξξ> 故 )(4ln ln 222a b ea b ->-. 方法2：利用单调性， 设x ex x 224ln )(-=ϕ，证()x ϕ在区间()2,e e 内严格单调增即可. 24ln 2)(e x x x -='ϕ，(222222ln 444()20e e e e e e ϕ'=-=-=，)2ln 12)(x x x -=''ϕ, 当x e >时，1ln 1ln 0x e -<-=，,0)(<''x ϕ 故)(x ϕ'单调减少，从而当2e x e <<时，2()()0x e ϕϕ''>=，即当2e x e <<时，)(x ϕ单调增加.因此当2e x e <<时，)()(a b ϕϕ>，即a e a b e b 22224ln 4ln ->-， 故 )(4ln ln 222a b ea b ->-. 方法3：设2224()ln ln ()x x a x a eϕ=---, 则2ln 4()2x x x e ϕ'=-，21ln ()2x x x ϕ-''=, ⇒x e >时, 1ln 1ln 0x e -<-=，得()0x ϕ''<，⇒()x ϕ'在2(,)e e 上单调减少, 从而当2e x e <<时, 22244()()0x e e eϕϕ''>=-=，⇒()x ϕ在2(,)e e 上单调增加. 从而当2e a x b e <<≤<时, ()()0x a ϕϕ>=. ⇒()0b ϕ>，即2224ln ln ()b a b a e ->-.(20) 【详解】 本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可. 方法1：由题设，飞机质量9000m kg =，着陆时的水平速度h km v /7000=. 从飞机接触跑道开始计时，设t 时刻飞机的滑行距离为()x t ，速度为()v t ，则 0)0(,)0(0==x v v .根据牛顿第二定律，得kv dt dv m-=. 又dxdv v dt dx dx dv dt dv =⋅=.由以上两式得dv k m dx -=，积分得.)(C v kmt x +-= 由于0)0(,)0(0==x v v ，所以0(0)0.m x v C k =-+= 故得0v kmC =，从而)).(()(0t v v kmt x -=当0)(→t v 时，).(05.1100.67009000)(60km k mv t x =⨯⨯=→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km. 方法2：根据牛顿第二定律，得 kv dtdvm-=, 分离变量：dv k dt v m =-，两端积分得：1ln kv t C m=-+， 通解：t mk Cev -=，代入初始条件00v vt ==，解得0v C =，故.)(0t mk ev t v -=飞机在跑道上滑行得距离相当于滑行到0v →，对应地t →+∞. 于是由dx vdt=，有 0000() 1.05().kk t t mmmv mv x v t dt v edt ekm kk+∞--+∞+∞===-==⎰⎰ 或由()0kt mdx v t v e dt-==，知)1()(000--==--⎰t m kt t m ke m kv dt e v t x ，故最长距离为当∞→t 时，).(05.1)(0km mkv t x =→方法3：由kv dtdv m -= ，dxv dt =，化为x 对t 的求导，得dt dx k dt x d m -=22, 变形为 022=+dt dxm k dtx d ，0(0)(0),(0)0v x v x '=== 其特征方程为 02=+λλm k ，解之得mk-==21,0λλ，故.21t m ke C C x -+=由 2000000,kt m t t t t kC dxx v e v dt m -=======-=，得,021kmv C C =-= 于是 ).1()(0t m ke k mv t x --= 当+∞→t 时，).(05.1)(0km kmv t x =→ 所以，飞机滑行的最长距离为1.05km .(21)【详解】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算.令 22,xyu x y v e =-=，则22(,)(,)xyz f x y e f u v =-=， 所以2,2u u x y x y ∂∂==-∂∂，,xy xy v v ye xe x y∂∂= =∂∂ 所以z x ∂=∂f u f vu x v x∂∂∂∂+∂∂∂∂122xy x f ye f ''=+，z y ∂=∂f u f v u y v y ∂∂∂∂+∂∂∂∂122xy y f xe f ''=-+ 2zx y ∂=∂∂()122xy z y f xe f x y x⎛⎫∂∂∂''=-+ ⎪∂∂∂⎝⎭11122221222xy xy xy u v u v y f f e f xye f xe f f x x x x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=-+++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()1112222122222xy xy xy xy xy y xf ye f e f xye f xe xf ye f ''''''''''=-+++++ 2221112222=42()(1)xy xy xy xyf x y e f xye f e xy f '''''''-+-++++(22) 【详解】方法1：对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有11112222aa A nn nn a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦1()(2,)i i i n ⨯-+=行行11112000a a a B naa +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦对||B 是否为零进行讨论：当0a =时，()1r A n =<，由齐次方程组有非零解的判别定理：设A 是m n ⨯矩阵，齐次方程组0Ax =有非零解的充要条件是()r A n <. 故此方程组有非零解，把0a =代入原方程组，得其同解方程组为,021=+++n x x x ()*此时，()1r A =，故方程组有1n r n -=-个自由未知量. 选23,,,n x x x 为自由未知量，将他们的1n -组值(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)分别代入()*式，得基础解系,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当0≠a 时，对矩阵B 作初等行变换，有1111210001a B n+⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(1)12,3i i n ⨯-+=行()(1)0002210001n n a n +⎡⎤+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 可知2)1(+-=n n a 时，n n A r <-=1)(，由齐次方程组有非零解的判别定理, 知方程组也有非零解，把2)1(+-=n n a 代入原方程组，其同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x 此时，()1r A n =-，故方程组有(1)1n r n n -=--=个自由未知量.选2x 为自由未量，取21x =，由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.方法2：计算方程组的系数行列式：11112222aa A nn nn a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦000111100022220aa a nnnn ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦矩阵加法 aE =+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n 22221111aE Q ∆ +， 下面求矩阵Q 的特征值：11112222E Q nnn n λλλλ---------=----1111201(-)(2,3,,)00i i i n n λλλλλ-----⨯+=-行行(1)1112()1000(2,3,,)n n i i i n λλλ+----⨯+=列列1(1)2n n n λλ-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 则Q 的特征值2)1(,0,,0+n n ，由性质：若Ax x λ=，则()(),m m kA x k x A x x λλ==，因此对任意多项式()f x ，()()f A x f x λ=，即()f λ是()f A 的特征值.故，A 的特征值为(1),,,2n n a a a ++, 由特征值的乘积等于矩阵行列式的值，得 A 行列式.)2)1((1-++=n a n n a A 由齐次方程组有非零解的判别定理：设A 是n 阶矩阵，齐次方程组0Ax =有非零解的充要条件是0=A . 可知，当0=A ，即0a =或2)1(+-=n n a 时，方程组有非零解.当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有11112222A nnnn ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1)(2,)i i i n ⨯-+=行（行1111000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，. 故方程组的同解方程组为,021=+++n x x x此时，()1r A =，故方程组有1n r n -=-个自由未知量.选23,,,n x x x 为自由未知量，将他们的1n -组值(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)分别代入()*式， 由此得基础解系为,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当2)1(+-=n n a 时， 1111210001aB n+⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(1)1(2,3)i i n ⨯-+=行(1)0002210001n n a n +⎡⎤+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，即 0000210001n⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，其同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x 此时，()1r A n =-，故方程组有(1)1n r n n -=--=个自由未知量. 选2x 为自由未量，取21x =，由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.(23) 【详解】A 的特征多项式为12314315E A aλλλλ---=----2(2)021114315aλλλλ---⨯-+----行（）行111(2)14315a λλλ------提出行公因数111(1)2(2)03315a λλλ-⨯-+-----行行 11012(2)033015a λλλ-+-----行行33(2)15a λλλ-=----(2)[(3)(5)3(1)]a λλλ=---++2(2)(8183).a λλλ=--++已知A 有一个二重特征值，有两种情况，(1)2=λ就是二重特征值，(2)若2=λ不是二重根，则28183a λλ-++是一个完全平方(1) 若2=λ是特征方程的二重根，则有,03181622=++-a 解得2a =-. 由E A λ-2(2)(8183(2))λλλ=--++⨯-2(2)(812)λλλ=--+2(2)(6)0λλ=--=求得A 的特征值为2,2,6, 由1232123123E A -⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1231(-1)2,000113000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦行倍加到行行的倍加到行，知()21E A -=秩，故2=λ对应的线性无关的特征向量的个数为312n r -=-=，等于2=λ的重数. 由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数, 从而A 可相似对角化.(2) 若2=λ不是特征方程的二重根，则a 31882++-λλ为完全平方，从而18316a +=，解得 .32-=a 当32-=a 时，由E A λ-=22(2)(8183())3λλλ=--++⨯-2(2)(816)λλλ=--+2(2)(4)0λλ=--=知A 的特征值为2，4，4，由32341032113E A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦1133⨯+行行323103000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦知()42E A -=秩，故4=λ对应的线性无关的特征向量有321n r -=-=, 不等于4=λ的重数，则由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数, 知A 不可相似对角化.。
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2018考研数学复习：一阶和二阶线性微
分方程的通解分析
一阶和二阶线性微分方程是高等数学中微分方程的主要内容，也是考研数学中的一个重要考点，每年必考，因此大家对这部分内容应该尽量理解得透彻一些。
这方面的问题主要有两类：一类是具体求解一个微分方程，另一类是关于微分方程的解的结构问题，为了使各位同学对解的结构有一个清晰深入的理解，本文对一阶和二阶线性微分方程的通解形式做些分析总结，供2018考研的学生参考。
一、一阶线性微分方程的通解分析。