高考第22题 坐标系与参数方程
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重点主要有两个方面：简单曲线的极坐标方程；二是参 数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．由于本部分在 高考中考查的知识点较为稳定，在备考时应重点关注极 坐标系中直线的方程，或者求解极坐标系中曲线的某个
Hale Waihona Puke Baidu
特征值，及已知直线和圆的参数方程判断直线和圆的位
置关系，求最值问题等．本部分内容在备考中应注意转 化思想的应用，抓住知识，少做难题．
1．(2017· 全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
x＝3cos θ， y＝sin θ
(θ 为参数)，直线 l
x＝a＋4t， 的参数方程为 y＝1－t
(t 为参数)． (1)若 a＝－1，求 C 与 l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a.
ρ2－3 2ρ＋4＝0，解得 ρ1＝2 2，ρ2＝ 2. 故 ρ1－ρ2＝ 2，即|MN|＝ 2. 1 由于 C2 的半径为 1，所以△C2MN 的面积为 . 2
极坐标方程与参数方程的综合应用
[学规范] (1)消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1：y＝k(x－2)；…………1 分 1 消去参数 m 得 l2 的普通方程 l2：y＝k(x＋2). ……………2 分 y＝kx－2， 设 P(x，y)，由题设得 1 y＝ x＋2. k 消去 k 得 x2－y2＝4(y≠0)❶. ………………………………3 分 所以 C 的普通方程为 x2－y2＝4(y≠0). …………………4 分 [防失误]
高考第 22 题
卷别 年份 2017
坐标系与参数方程
考查内容
全国 参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角 卷Ⅰ 2016 坐标方程的互化及应用 2015 极坐标与直角坐标的互化以及极坐标方程的应用 2017 直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、 三角形面积的最值问题
椭圆与直线的参数方程与普通方程的互化、直线 与椭圆的位置关系
全国 极坐标方程与直角坐标方程互化及应用、直线与 卷Ⅱ 2016 圆的位置关系 2015 参数方程和普通方程的互化、三角函数的性质
卷别
年份
2017
考查内容
直线的参数方程与极坐标方程、动点轨 迹方程的求法 参数方程、极坐标方程及点到直线的距 离、三角函数的最值
全国卷 Ⅲ
2016
命题规律分析
坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的
25－
法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 θ＝ α(ρ∈R)． 设 A，B 所对应的极径分别为 ρ1，ρ2，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 ρ2＋12ρcos α＋11＝0， 于是 ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2 ＝ 144cos2α－44. 3 15 由|AB|＝ 10得 cos α＝ ，tan α＝± . 8 3
解：法一：由直线 l 的参数方程
x＝tcos α， y＝tsin α
(t 为参数)，消去参数得 y＝x· tan α.
设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 kx－y＝0. 由圆 C 的方程(x＋6)2＋y2＝25 知，圆心坐标为(－6,0)，半径为 5. |－6k| 又 |AB| ＝ 10 ， 由 垂 径 定理 及 点 到 直 线的 距 离公 式 得 2＝ 1＋k 36k2 90 5 15 10 2 2 ，即 ，整理得 k ＝ ，解得 k＝± ， 2＝ 4 3 3 2 1 ＋ k 15 即 l 的斜率为± . 3
x2 2 解：(1)曲线 C 的普通方程为 ＋y ＝1. 9 当 a＝－1 时，直线 l 的普通方程为 x＋4y－3＝0， 21 x＋4y－3＝0， x＝－25， 2 x＝3， 由x 解得 或 2 24 ＋y ＝1 y＝0 y＝ . 9 25 从而 C 与 l
解：(1)因为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ＝－2， C2 的极坐标方程为 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝ (ρ∈R)， 设 C2 与 C3 的交点 4 为 M，N，求△C2MN 的面积． π 解：将 θ＝ 代入 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 4
B 两点，|AB|＝ 10，求 l 的斜率．
解： (1)由 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ 可得圆 C 的极坐标方程为 ρ2 ＋12ρcos θ＋11＝0.
x＝tcos α， (2)直线 l 的参数方程是 y＝tsin α
(t 为参数)， l 与 C 交于 A，
B 两点，|AB|＝ 10，求 l 的斜率．
2
15 15 所以 l 的斜率为 或－ . 3 3
3．(2015· 全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系． (1)求 C1，C2 的极坐标方程； π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝ (ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点 4 为 M，N，求△C2MN 的面积．
21 24 的交点坐标为(3,0)，－25，25.
(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a.
解：直线 l 的普通方程为 x＋4y－a－4＝0， 故 C 上的点(3cos θ，sin θ)到 l 的距离为 |3cos θ＋4sin θ－a－4| d＝ . 17 a＋9 当 a≥－4 时，d 的最大值为 . 17 a＋9 由题设得 ＝ 17，解得 a＝8； 17 －a＋1 当 a＜－4 时，d 的最大值为 . 17 －a＋1 由题设得 ＝ 17，解得 a＝－16. 17 综上，a＝8 或 a＝－16.
2．(2016· 全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x＋6)2 ＋y2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；
x＝tcos α， (2)直线 l 的参数方程是 y＝tsin α
(t 为参数)， l 与 C 交于 A，
Hale Waihona Puke Baidu
特征值，及已知直线和圆的参数方程判断直线和圆的位
置关系，求最值问题等．本部分内容在备考中应注意转 化思想的应用，抓住知识，少做难题．
1．(2017· 全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
x＝3cos θ， y＝sin θ
(θ 为参数)，直线 l
x＝a＋4t， 的参数方程为 y＝1－t
(t 为参数)． (1)若 a＝－1，求 C 与 l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a.
ρ2－3 2ρ＋4＝0，解得 ρ1＝2 2，ρ2＝ 2. 故 ρ1－ρ2＝ 2，即|MN|＝ 2. 1 由于 C2 的半径为 1，所以△C2MN 的面积为 . 2
极坐标方程与参数方程的综合应用
[学规范] (1)消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1：y＝k(x－2)；…………1 分 1 消去参数 m 得 l2 的普通方程 l2：y＝k(x＋2). ……………2 分 y＝kx－2， 设 P(x，y)，由题设得 1 y＝ x＋2. k 消去 k 得 x2－y2＝4(y≠0)❶. ………………………………3 分 所以 C 的普通方程为 x2－y2＝4(y≠0). …………………4 分 [防失误]
高考第 22 题
卷别 年份 2017
坐标系与参数方程
考查内容
全国 参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角 卷Ⅰ 2016 坐标方程的互化及应用 2015 极坐标与直角坐标的互化以及极坐标方程的应用 2017 直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、 三角形面积的最值问题
椭圆与直线的参数方程与普通方程的互化、直线 与椭圆的位置关系
全国 极坐标方程与直角坐标方程互化及应用、直线与 卷Ⅱ 2016 圆的位置关系 2015 参数方程和普通方程的互化、三角函数的性质
卷别
年份
2017
考查内容
直线的参数方程与极坐标方程、动点轨 迹方程的求法 参数方程、极坐标方程及点到直线的距 离、三角函数的最值
全国卷 Ⅲ
2016
命题规律分析
坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的
25－
法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 θ＝ α(ρ∈R)． 设 A，B 所对应的极径分别为 ρ1，ρ2，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 ρ2＋12ρcos α＋11＝0， 于是 ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2 ＝ 144cos2α－44. 3 15 由|AB|＝ 10得 cos α＝ ，tan α＝± . 8 3
解：法一：由直线 l 的参数方程
x＝tcos α， y＝tsin α
(t 为参数)，消去参数得 y＝x· tan α.
设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 kx－y＝0. 由圆 C 的方程(x＋6)2＋y2＝25 知，圆心坐标为(－6,0)，半径为 5. |－6k| 又 |AB| ＝ 10 ， 由 垂 径 定理 及 点 到 直 线的 距 离公 式 得 2＝ 1＋k 36k2 90 5 15 10 2 2 ，即 ，整理得 k ＝ ，解得 k＝± ， 2＝ 4 3 3 2 1 ＋ k 15 即 l 的斜率为± . 3
x2 2 解：(1)曲线 C 的普通方程为 ＋y ＝1. 9 当 a＝－1 时，直线 l 的普通方程为 x＋4y－3＝0， 21 x＋4y－3＝0， x＝－25， 2 x＝3， 由x 解得 或 2 24 ＋y ＝1 y＝0 y＝ . 9 25 从而 C 与 l
解：(1)因为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ＝－2， C2 的极坐标方程为 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝ (ρ∈R)， 设 C2 与 C3 的交点 4 为 M，N，求△C2MN 的面积． π 解：将 θ＝ 代入 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 4
B 两点，|AB|＝ 10，求 l 的斜率．
解： (1)由 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ 可得圆 C 的极坐标方程为 ρ2 ＋12ρcos θ＋11＝0.
x＝tcos α， (2)直线 l 的参数方程是 y＝tsin α
(t 为参数)， l 与 C 交于 A，
B 两点，|AB|＝ 10，求 l 的斜率．
2
15 15 所以 l 的斜率为 或－ . 3 3
3．(2015· 全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系． (1)求 C1，C2 的极坐标方程； π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝ (ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点 4 为 M，N，求△C2MN 的面积．
21 24 的交点坐标为(3,0)，－25，25.
(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a.
解：直线 l 的普通方程为 x＋4y－a－4＝0， 故 C 上的点(3cos θ，sin θ)到 l 的距离为 |3cos θ＋4sin θ－a－4| d＝ . 17 a＋9 当 a≥－4 时，d 的最大值为 . 17 a＋9 由题设得 ＝ 17，解得 a＝8； 17 －a＋1 当 a＜－4 时，d 的最大值为 . 17 －a＋1 由题设得 ＝ 17，解得 a＝－16. 17 综上，a＝8 或 a＝－16.
2．(2016· 全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x＋6)2 ＋y2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；
x＝tcos α， (2)直线 l 的参数方程是 y＝tsin α
(t 为参数)， l 与 C 交于 A，