数系的扩充ppt课件
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数系的扩充与复数的概念 课件
复数的分类 m 取何实数时，复数 z＝m2m－＋m3－6＋(m2－2m－
15)i. (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？ [分析] 在本题是复数的标准形式下，即 z＝a＋bi(a，b∈
R)，根据复数的概念，只要对实部和虚部分别计算，总体整合 即可．
[解析] (1)由条件得mm＋2－32≠m0－，15＝0， ∴mm＝ ≠5－或3m. ＝－3， ∴当 m＝5 时，z 是实数． (2)由条件得mm＋2－32≠m0－. 15≠0， ∴mm≠ ≠5－且3m. ≠－3， ， ∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
3．复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中 i叫做虚数单位，满足i2＝___－__1___.
这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的 __复__数_集___与__虚_部_____．全体复数构成的集合叫做 实部
复数的相等与复数的分类
4．复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋ di⇔a_＝__c且__b_＝_d_______.
数系的扩充与复数的概念
数系的扩充与复数的概念
我们认识数的过程是先认识了自然数，又扩充到整数集，再扩充到有 理数(分数、有限小数和无限循环小数)，再扩充无理数到实数集，但 在实数集中，我们已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ＝ b2－4ac<0时无实数解，我们能否设想一种方法使得Δ<0时方程也有 解呢？
1．数系扩充的原因、脉络、原则
脉 络 ： 自 然 数 系 → 整 数 系 → 有 理 数 系 → 实 数 系 → _ _ _ _复_ _数_系_
原因：数系的每一次扩充都与实际需求密切相关，实际需求与 数学内部的矛盾在数系扩充中起了主导作用．
( 人教A版)数系的扩充和复数的概念课件 (共29张PPT)
(3)要使 z 为纯虚数，必须有 m2－4≠0， m2－3m＋2＝0. 所以mm≠ ＝－1或2m且＝m≠ 2，2， 所以 m＝1，即 m＝1 时，z 为纯虚数．
探究三 复数相等
[典例 3] 根据下列条件，分别求实数 x，y 的值． (1)x2－y2＋2xyi＝2i； (2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i. [解析] (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，x，y∈R， ∴2xx2－y＝y22＝，0， 解得xy＝＝11，， 或xy＝＝－－11.， (2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且 x，y∈R，
－2i. 答案：A
3．下列命题： ①若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数； ②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则 x＝±1； ③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________． 解析：当 a＝－1 时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对； 若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，则xx22－ ＋13＝ x＋0， 2≠0， 即 x＝1，故②错． 答案：③
解析：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为 b，故选 B.
答案：B
2．下列复数中，和复数－1＋i 相等的复数为( )
A．－1－i
B．1－i
C．1＋i
D．i2＋i
解析：∵i2＝－1，∴i2＋i＝－1＋i，故选 D.
答案：D
3．z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则有( )
A．m＝±1
A．0
B．1
C．
D．3
解析：27i，(1－ 3)i 是纯虚数，2＋ 7，0,0.618 是实数，8＋5i 是虚数． 答案：C
2．以－ 5＋2i 的虚部为实部，以 5i＋2i2 的实部为虚部的复数是( )
数系的扩充和复数的概念课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
实数a与数i相加记为：a+i 实数b与数i相乘记为：bi ，并规定0• i =0 实数a与 bi相加记为：a+bi （3）实数与i进行四则运算时，原有的加法、乘法运算 律仍然成立。
新知研学 2、复数的概念
我们把形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数。 通常用字母 z 表示。
全体复数组成的集合叫做复数集，记作C。
z= a + bi（a∈R，b∈R）
实部 虚部 其中 i 为虚数单位。
Байду номын сангаас
新知研学
即学即练 说出下列复数的实部和虚部：
1 3i 2
2 3i
5i - 2
2 i - 3i 0 2
虚部为0
实数
虚部不为0
虚数
纯虚数 虚部不为0，实部为0
新知研学
思考:复数集C和实数集R之间有什么关系？ 实数集R是复数集C的真子集
若在复数集中任取两个数a bi, c di(a,b,c, d R)
a bi c di
注意：一般对两个虚数只能说相等或不相等； 不能比较大小。
学以致用
例1. 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 m 1时，复数z是实数； （2）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z是虚数；
虚数集
纯虚数集
实数集
新知研学
即学即练 说出下列各数中，哪些是实数，哪些是
虚数，哪些是纯虚数：
2 7
实数
0.618
2i
实数 纯虚7 数
0
i
实数 纯虚数
i2 5i+8 3 9 2i i 1 3
新知研学 2、复数的概念
我们把形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数。 通常用字母 z 表示。
全体复数组成的集合叫做复数集，记作C。
z= a + bi（a∈R，b∈R）
实部 虚部 其中 i 为虚数单位。
Байду номын сангаас
新知研学
即学即练 说出下列复数的实部和虚部：
1 3i 2
2 3i
5i - 2
2 i - 3i 0 2
虚部为0
实数
虚部不为0
虚数
纯虚数 虚部不为0，实部为0
新知研学
思考:复数集C和实数集R之间有什么关系？ 实数集R是复数集C的真子集
若在复数集中任取两个数a bi, c di(a,b,c, d R)
a bi c di
注意：一般对两个虚数只能说相等或不相等； 不能比较大小。
学以致用
例1. 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 m 1时，复数z是实数； （2）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z是虚数；
虚数集
纯虚数集
实数集
新知研学
即学即练 说出下列各数中，哪些是实数，哪些是
虚数，哪些是纯虚数：
2 7
实数
0.618
2i
实数 纯虚7 数
0
i
实数 纯虚数
i2 5i+8 3 9 2i i 1 3
7.1.1数系的扩充和复数的概念课件(人教版)
A.2，3
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义
【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义
【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件高一下学期数学 人教A版(2019)必修第二册
例4，下列命题中
1.复数 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫 做 虚数单位，a叫做复数的 实部，b叫做复数的 虚部. (2)表示方法：复数通常用 字母z 表示， 即 z＝a＋bi(a，b∈R) ，这一表示形式叫做复数的代数形式. 2.复数集 (1)定义：全体复数 所成的集合叫做复数集. (2)表示方法：通常用 C 表示.
7.1.1 数系的扩充与复数的概念
引入：
数系的发展史
自然数
整数
负数
有理数
分数
实数
无理数
?
?
可以看到，数系的每一次扩充都与实际需求密切相关。
我们知道，在实数集内，像x2+1=0这样的 方程是没有根的。因此在研究代数方程的过程 中，如果仅限于实数系，有些问题就无法解决。 一个自然的想法是，能否像引进无理数而把有 理数系扩充到实数系那样，通过引进新的数而 使实数系得到进一步扩充，从而使问题变得可 以解决呢？复数概念的引入与这种想法直接相 关。
复数的定义
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R,b R)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
思考 复数集C和实数集R之间有什么关系呢？
复数z a bi(a, b R)
解 （1）当m -1 = 0,即m = 1时,复数z是实数; （2）当m -1≠ 0,即m ≠1时,复数z是虚数; （3）当m +1 = 0 ,且m -1≠ 0 ,即m = -1时,复数 z 是纯虚数 .
例2 已知（x+y）+（x-2y）i=（2x-5）+（3x+y）i， 求实数x,y的值.
数系的扩充和复数的概念公开课ppt课件
abi
RQZ N
扩
b0虚数
集
特别地，a0 纯虚数
复数集C和实数集R之间有什么关系？
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7
数
系 充
的
虚数 复？数
无理数 实数
扩
分数 有理数
负数
整数
自然数
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8
练习：说明下列数是否是虚数，
并说明各数的实部与虚部.
1 3i
1i
1 3
7
(1)i 5i 8
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9
在复数集 C a b|a i,b R 任
求实x数 , y的值 .
固题
巩 变：已知 x2 y2 2xyi00,
求 实x数 , y的 值 .
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13
1.若复数(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i
(mR) 表示纯虚数的充要条件是_____
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14
2.以2i－5的虚部为实部，以 5 2i
的实部为虚部的复数是______
等 复 取两个数 a b与 ic d（ a i,b ,c,d R )
数 a b c i d ia c,b d
相 特别地，abi0 a0,b0
作用
1.判断两个复数是否相等； 2.求复数值的依据.
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10
例 例1 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1 )i
固 题 是（1）实数？
的i
引 （1）i2 1
入
（2）可以和实数一起进行的四 则运算,原有的加法乘法运算律
仍成立
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5
念复 数 的 概
定义：把形如a+bi的数叫做复数 （a,b 是实数）
数系的扩充ppt课件
• 康托尔的超限数
超限数是大于所有有限数（但不必为绝对无限）的基数 或序数，分别叫做超穷基数和超穷序数。
• 罗宾逊的非标准实数系
是罗宾逊推出的超实数R * ，即非标准实数系，他的基本
思青想是将“无限小”和“无限大” 作为R 以外的超实
数衣。
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16
总结中学中涉及到的数系的扩充
• 自然数中减法产生了（
12
实数系R 复数系C
观察方程 x，2 它在1 R中没有解，为此，并i 定义： i2 1
为了让符号 能i 像普通的实数那样进行加、乘，我
们造出形如 a b这i样的符号，这里的 a是, 任b
意两个实数， 称a 为 复bi数， 称为虚数i 单位。
系是具备这样的性质的。
青 衣
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6
数系扩充的原则
• 原则三：旧数系是新数系的一部分，而且把旧数 系的元素看成新数系时，服从同样的运算规律， 及构成一种“嵌入”。
• 例如：自然数系N扩充到整数系Z，旧数系N是新数系Z中 的一部分，而且N中的元素还是符合Z中的运算规律的。
青
衣
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• 例如：自然数系N扩充到整数系Z，整数系Z失去了自然数
系N中任何子集都有最小元素的良序性质，但是获得对减
法封闭的特性。
青 衣
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5
数系扩充的原则
原则二:用旧数系为材料构成一个对 象，称之为新数，定义并验证这些
新数符合扩张的要求，或者具有新
数应具备的性质。
例如：将自然数系扩充到整数系，扩张的 要求是满足减法运算的需要，所以整数
7
自然数系N 整数系Z
青
衣
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数系的扩充PPT优秀课件
数系的扩充___复数
章
4.3 数系的扩充
二新课－数系的扩 1. 数的发展充过程(经历):
计数的需要 自然数(正整数和零)
—表—示相—反—意—义—的—量负数 —测量—、—分—配—中—的—等分—分数
解方程x+3=1
解方程3 x=5
(分数集有理数集 循环小数集 )
度量
__循_环__小__数___
的虚数根，x=
-b±
4ac - b2i .
2a
在有两个虚数根的情况下，韦达定理仍
然成立，即 x1+x2=
-
b a
；
x1x2=
c a
.
二新课－例题剖 例1:设方析程x2-2x+2=0的两根为x1,x2,求
x14+x24的值.
解: x1,21i,
x 4 x 4 ( 1 i)4 ( 1 i)4 12
对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a, b, c∈R)，
当△=b2－4ac>0时, 方程有两个不同的实根，
x=
-b± b2 ；- 4当a△c =b2－4ac=0时, 方程
2a
有两个相同的实根，x1=x2=
；- b 2a
二新课－数系的扩 4.实系数充一元二次方程的根
当△=b2－4ac<0时, 方程有两个共轭
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
章
4.3 数系的扩充
二新课－数系的扩 1. 数的发展充过程(经历):
计数的需要 自然数(正整数和零)
—表—示相—反—意—义—的—量负数 —测量—、—分—配—中—的—等分—分数
解方程x+3=1
解方程3 x=5
(分数集有理数集 循环小数集 )
度量
__循_环__小__数___
的虚数根，x=
-b±
4ac - b2i .
2a
在有两个虚数根的情况下，韦达定理仍
然成立，即 x1+x2=
-
b a
；
x1x2=
c a
.
二新课－例题剖 例1:设方析程x2-2x+2=0的两根为x1,x2,求
x14+x24的值.
解: x1,21i,
x 4 x 4 ( 1 i)4 ( 1 i)4 12
对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a, b, c∈R)，
当△=b2－4ac>0时, 方程有两个不同的实根，
x=
-b± b2 ；- 4当a△c =b2－4ac=0时, 方程
2a
有两个相同的实根，x1=x2=
；- b 2a
二新课－数系的扩 4.实系数充一元二次方程的根
当△=b2－4ac<0时, 方程有两个共轭
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
数系的扩充
4、求满足下列条件的������, ������的值
(1) ������ − 3������ + 2������ + 3������ ������ = 5 + ������ 2 ������2 − ������2 + 2������������������ = 6������ − 8 3 2������2 − 5������ + 3 + ������2 + ������ − 6 ������ = 0
练习2 当m为何实数时，复数 Z＝m 2＋m－2＋(m 2－1) i 是
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数．
实部 ������������ + ������ − ������
虚部 ������������ − ������
(1)m＝ ± 1 (2)m ≠± 1
(3)m＝－2
【思考】复数 ������ = ������ ������ − 1 + ������ − 1 ������，当m取何值时，复数������是6 + 2������
2.复数有关概念：
复数的代数形式: z＝a＋bi (a∈R，b∈R)
复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
3.自然数复集数N相等整数a集＋Z bi＝ 有理c数＋集dQi实数ba集＝＝Rdc 复数集C
课堂练习
1、再复数1 − 2������, 2 +
3,
1 2
�பைடு நூலகம்����,
−5
+
2������, ������ sin ������ , ������2, 7 +
������ ������ ������ ������ ������
人教版数学 选修1-2 1 数系的扩充和复数的概念(共14张ppt)教育课件
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
数系的扩充数学史课件
唯物辨证法认为, 事物是发展变化的, 事物 内部的矛盾运动是推动事物向前发展的根本动力. 由于实数的局限性, 导致某些数学问题出现矛盾 的结果, 数学家们预测, 在实数范围外还有一类 新数存在, 还有比实数集更大的数系.
3
自然数
自然数是“数”出来的, 其历史最早可以追溯到五万 年前.
4
负数
负数是“欠”出来 的.它是由于借贷关
13
系中量的不同意义 而产生的.我国三国
时期数学家刘徽 （公元250年前后）
首先给出了负数的 定义、记法和加减 运算法则.
刘徽（公元250数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期, 人类已 经对有理数有了非 常清楚的认识, 而且 他们认为有理数就 是所有的数.
6
无理数
地,人们才最终承认了复数.到今天复数已经成 为现代科技中普遍运用的数学工具之一.
关于无理数的发现
古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都可 以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有 一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为 1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终 于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达 哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传. 但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒, 要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被 扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯 发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导致了 第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.
BD2 2AB2
BD2= 2
BD = ？
10
复数的发展史
虚数这种假设,是需要勇气的,人们在当时 是无法接受的,认为她是想象的,不存在的,但 这丝毫不影响数学家对虚数单位 的假设研究: 第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意 大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年开 始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩 量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻 之数”取了一个名字——虚数.
3
自然数
自然数是“数”出来的, 其历史最早可以追溯到五万 年前.
4
负数
负数是“欠”出来 的.它是由于借贷关
13
系中量的不同意义 而产生的.我国三国
时期数学家刘徽 （公元250年前后）
首先给出了负数的 定义、记法和加减 运算法则.
刘徽（公元250数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期, 人类已 经对有理数有了非 常清楚的认识, 而且 他们认为有理数就 是所有的数.
6
无理数
地,人们才最终承认了复数.到今天复数已经成 为现代科技中普遍运用的数学工具之一.
关于无理数的发现
古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都可 以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有 一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为 1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终 于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达 哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传. 但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒, 要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被 扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯 发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导致了 第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.
BD2 2AB2
BD2= 2
BD = ？
10
复数的发展史
虚数这种假设,是需要勇气的,人们在当时 是无法接受的,认为她是想象的,不存在的,但 这丝毫不影响数学家对虚数单位 的假设研究: 第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意 大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年开 始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩 量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻 之数”取了一个名字——虚数.
数系的扩充和复数的概念(课件)-人教A版(2019)必修第二册
无理数
为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理量（例如速率、力 的大小），人类很早已发现有必要 引进无理数。约在公元前530，毕达哥拉 斯学派已知道边长为1的正方形的对角线的长度（即 ）不能是有理数。
15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci2, 1452- 1519） 把它们称为是“无理的 数”（irrational number），开普勒（J. Kepler, 1571- 1630）称它们是“不可 名状”的数。 法国数学家柯西（A.Cauchy,1789- 1875）给出了回答：无理数是有理数序列 的极限。
由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用“无限不循 环小数”来定义无理数，这也是直至19世纪中叶以前的实际做法。
实数
实数系的逻辑基础直到19世纪70年代才得以奠定。从19世纪20年代 肇始的数学分析严密化潮流，使得数学 家们认识到必须建立严格的实 数理论，尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面，外尔斯特拉斯 （1859年 开始）、梅雷（1869）、戴德金（1872）与康托尔（1872 ） 作出了杰出的贡献。
整数集
有理数集
“数”是万物的本 源，支配整个自然界和 人类社会．世间一切事 物都可归结为数或数的 比例，这是世界所以美 好和谐的源泉．
毕达哥拉斯（约公元前560—480年）
数系的扩充
自然数集
整数集
有理数集
问题：边长为1的正方形的对角线长度为多少？
1 1
数系的扩充
自然数集
整数集
有理数集
实数集
实数
பைடு நூலகம்有理数 无理数
7.1复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
09人教A版 必修二
数系的扩充与复数的引入公开课课件
控制工程
在控制工程中，复数用于描述系统的传递函数和稳定性，对于系统分析和设计至关重要。
感谢您的观看
THANKS
微积分中的连续性讨论
在微积分中，连续性是一个重要的概念。在实数范围内，连续性可以通过极限来定义和讨论。但在处理一些涉及无穷大或无 穷小的数学问题时，实数范围的局限性可能会限制讨论的深入。
通过引入复数，可以扩展连续性的定义和讨论范围。例如，在复变函数中，函数在复平面上的连续性和可导性得到了广泛的 研究和应用。这使得复数在处理涉及连续性和无穷大/无穷小的数学问题时更加有效和精确。
无理数是不能表示为两个整数的比的 无限不循环小数。
虽然无理数系能够表示无理数，但它 无法表示某些超越无理数，如某些高 阶无穷小量和高阶无穷大量。
无理数系的作用
无理数系使得数学能够处理所有的无 理数，如常见的圆周率π和自然对数 的底数e。
02
复数的引入
复数的定义
总结词
复数是实数域的扩充，由实部和虚部组成，表示为a+bi的形式，其中a和b是实 数，i是虚数单位。
04
复数在物理中的应用
交流电的分析
交流电的频率和相位分析
复数可以用于表示交流电的电压和电流，通过分析复数的模和辐角，可以得出电压和电流的有效值和 相位信息。
阻抗匹配
在电子和电气工程中，阻抗匹配是非常重要的概念。利用复数表示阻抗，可以方便地分析电路中的电 压和电流关系，实现阻抗匹配。
波动方程的求解
算符和矩阵
在量子力学中，算符和矩阵是非 常重要的概念。利用复数表示算 符和矩阵，可以简化计算过程， 并方便地描述量子态的变化。
05
复数的历史与文化背景
复数在数学史中的地位
数学发展里程碑
在控制工程中，复数用于描述系统的传递函数和稳定性，对于系统分析和设计至关重要。
感谢您的观看
THANKS
微积分中的连续性讨论
在微积分中，连续性是一个重要的概念。在实数范围内，连续性可以通过极限来定义和讨论。但在处理一些涉及无穷大或无 穷小的数学问题时，实数范围的局限性可能会限制讨论的深入。
通过引入复数，可以扩展连续性的定义和讨论范围。例如，在复变函数中，函数在复平面上的连续性和可导性得到了广泛的 研究和应用。这使得复数在处理涉及连续性和无穷大/无穷小的数学问题时更加有效和精确。
无理数是不能表示为两个整数的比的 无限不循环小数。
虽然无理数系能够表示无理数，但它 无法表示某些超越无理数，如某些高 阶无穷小量和高阶无穷大量。
无理数系的作用
无理数系使得数学能够处理所有的无 理数，如常见的圆周率π和自然对数 的底数e。
02
复数的引入
复数的定义
总结词
复数是实数域的扩充，由实部和虚部组成，表示为a+bi的形式，其中a和b是实 数，i是虚数单位。
04
复数在物理中的应用
交流电的分析
交流电的频率和相位分析
复数可以用于表示交流电的电压和电流，通过分析复数的模和辐角，可以得出电压和电流的有效值和 相位信息。
阻抗匹配
在电子和电气工程中，阻抗匹配是非常重要的概念。利用复数表示阻抗，可以方便地分析电路中的电 压和电流关系，实现阻抗匹配。
波动方程的求解
算符和矩阵
在量子力学中，算符和矩阵是非 常重要的概念。利用复数表示算 符和矩阵，可以简化计算过程， 并方便地描述量子态的变化。
05
复数的历史与文化背景
复数在数学史中的地位
数学发展里程碑
数学：3.1《数系扩充和复数概念》PPT课件(新人教选修2-2)
a
一一对应
面 y 向 量
b
o
x
复数的绝对值 (复数的模)的几何意义: 对应平面向量 OZ 的模| OZ |，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离。
y
| z | = a 2 b2
z=a+bi Z (a,b)
O
| z || z | a2 b2
练习1:
设z1,z2∈C, |z1|= |z2|=1
|z2+z1|=
2,
求|z2-z1|
2
练习2:复数z1,z2分别对应复 平面内的点M1,M2,,且| z2+ z1|=
| z2- z1|,线段M1M2,的中点M对应
的复数为4+3i,求|z1|2+ |z2|2
y
满 足 |z|=5(z∈C) 的 复 +yi(x,y∈R)
5
5 O x
0 3 4 5 4 3 0 y 5 4 3 0 3- 4- 5- x
5 2 y 2x z
–5
复数的几何意义（一）
复数z=a+bi （数） z=a+bi Z(a,b)
引言：在人和社会的发展过程中，常 常需要立足今天，回顾昨天，展望明天。 符合客观发展规律的要发扬和完善，不符 合的要否定和抛弃。那么，在实数集向复 数集发展的过程中，我们应该如何发扬和 完善，否定和抛弃呢？
如何探索复数集的性质和特点？ 探索途径： (1) 实数集原有的有关性质和特点能否
推广到复数集？
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对 C 应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件
一一对应
面 y 向 量
b
o
x
复数的绝对值 (复数的模)的几何意义: 对应平面向量 OZ 的模| OZ |，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离。
y
| z | = a 2 b2
z=a+bi Z (a,b)
O
| z || z | a2 b2
练习1:
设z1,z2∈C, |z1|= |z2|=1
|z2+z1|=
2,
求|z2-z1|
2
练习2:复数z1,z2分别对应复 平面内的点M1,M2,,且| z2+ z1|=
| z2- z1|,线段M1M2,的中点M对应
的复数为4+3i,求|z1|2+ |z2|2
y
满 足 |z|=5(z∈C) 的 复 +yi(x,y∈R)
5
5 O x
0 3 4 5 4 3 0 y 5 4 3 0 3- 4- 5- x
5 2 y 2x z
–5
复数的几何意义（一）
复数z=a+bi （数） z=a+bi Z(a,b)
引言：在人和社会的发展过程中，常 常需要立足今天，回顾昨天，展望明天。 符合客观发展规律的要发扬和完善，不符 合的要否定和抛弃。那么，在实数集向复 数集发展的过程中，我们应该如何发扬和 完善，否定和抛弃呢？
如何探索复数集的性质和特点？ 探索途径： (1) 实数集原有的有关性质和特点能否
推广到复数集？
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对 C 应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件
数系的扩充ppt课件
Zm 2m 2(m 21 )i
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
精品
18
数系的扩充
复数的概念
B
nZ*
i4n 1 i4n1 i
i i4n2 -1 i4n3
精品
19
数系的扩充
复数的概念
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
复数的代数形式 复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
精品
20
数系的扩充
17
数系的扩充
复数的概念
例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1 )i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 10，即 m1时，复数z 是实数．
（2）当 m 10，即 m1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数
精品
10
正数与负数， 有理数与无理数， 都是具有“实际意义的量”， 称之为“实数”，构成实数系统. 实数系统是一个没有缝隙的连续系统.
实数集能否继续扩充呢?
精品
11
虚数
虚数是“算”出来 的. 1637年，法国数学 家笛卡尔把这样的 数叫做“虚数” （“想象中 (imaginary)的数”）.
精品
精品
6
数集扩充到有理数集
精品
7
边长为1的正方形的对角线长 度为多少？
1
？
1精品
8
无理数
无理数是“推”出来
的.公元前六世纪，古
希腊毕达哥拉斯学派
利用毕达哥拉斯定理，
发现了“无理数”.
“无理数”的承认
3.1.1数系的扩充和复数的概念课件人教新课标
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
[问题1] 方程2x2－3x＋1＝0.试求方程的整数解？方程的 实数解？
[提示 1] 方程的整数解为 1，方程的实数解为 1 和12. [问题2] 方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？ [提示2] 没有解．
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2．实数 x 分别取什么值时，复数 z＝x2－x＋x－3 6＋(x2－2x－ 15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解析： (1)要使 z 是实数，必须且只需
x＋3≠0 x2－2x－15＝0
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(2)由复数相等的充要条件知
x＋32＝y，
①
2y＋1＝4x，
②
2x＋ay＝9，
③
－4x－y＋b＝－8， ④
由①②得x＝52， y＝4，
代入③④得ab＝＝12 .
数学 选修2-2
第三章 数合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
答案： A
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
复数的概念
已知复数 z＝a2－a27－a＋1 6＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求 实数 a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚 数．
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
解析： (1)由复数相等的充要条件知
311数系的扩充与复数的概念课件---高二数学人教A版选修2-2第三章
(2) 2x2-x+1=0.
答案：1x 1 3i
22
2x 1 7i
44
1.虚数单位i的引入: 2.复数有关概念：
复数的代数情势:z a bi (a R,b R)
复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
复数相等
若a,b, c,
a bi
d R,
c
di
a b
c d
课后作业：
1 已知复数Z= 3x-1 x (x2 4x 3)i 0,求实数x
说明下列数中，哪些是实数，哪些是虚数， 哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。
2 7 , 0.618, 2 i, 0，
7
i i 2 , i 1 3 , 3 9 2i, 5 +8
复数z=a+bi(a,b∈R)
实数：2 7
0.618
0
i2
虚数： i 1 3
2
纯虚数
i
7
3 9 2i
5 i+8
0
0
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
虚数集 复数集
纯虚数集
实数集
二、复数相等的定义
如果两个复数的实部和虚部分别相等，
那么我们就说这两个复数相等．
若a,b, c, d R,
a bi c di
a c b d
注意： 除了复数的相等之外，还规定： 只有当两个复数都是实数时，它们才能比较大小。
知识引入
我们已经知道：
对于一元二次方程 x2 1 0 没有实数根．
x2 1
i 引入一个新数： 满足 i21
一、复数的概念
引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：
（1）i21；
答案：1x 1 3i
22
2x 1 7i
44
1.虚数单位i的引入: 2.复数有关概念：
复数的代数情势:z a bi (a R,b R)
复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
复数相等
若a,b, c,
a bi
d R,
c
di
a b
c d
课后作业：
1 已知复数Z= 3x-1 x (x2 4x 3)i 0,求实数x
说明下列数中，哪些是实数，哪些是虚数， 哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。
2 7 , 0.618, 2 i, 0，
7
i i 2 , i 1 3 , 3 9 2i, 5 +8
复数z=a+bi(a,b∈R)
实数：2 7
0.618
0
i2
虚数： i 1 3
2
纯虚数
i
7
3 9 2i
5 i+8
0
0
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
虚数集 复数集
纯虚数集
实数集
二、复数相等的定义
如果两个复数的实部和虚部分别相等，
那么我们就说这两个复数相等．
若a,b, c, d R,
a bi c di
a c b d
注意： 除了复数的相等之外，还规定： 只有当两个复数都是实数时，它们才能比较大小。
知识引入
我们已经知道：
对于一元二次方程 x2 1 0 没有实数根．
x2 1
i 引入一个新数： 满足 i21
一、复数的概念
引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：
（1）i21；
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复数集
复数集，虚数集，实数集， 虚数集 纯虚数集之间的关系？
纯虚数集
实数集
精品ppt
16
数系的扩充
复数的概念
1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数， 哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。
2 7 0.618 2 i 0
7
i 2 i1 3 5 i+8， 39 2i
2、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
复数的概念
------数系的扩充 洩湖中学：王艳
精品ppt
1
3.1 数系的扩充
❖ 从社会生活来看为了满足生活和生产实 践的需要，数的概念在不断地发展.
❖ 从数学内部来看，数集是在按某种 “规 则”不断扩充的.
精品ppt
2
自然数
❖ 自然数是“数”出来的，其历史最早可以追 溯到五万年前.
精品ppt
3
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定：
（1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运
算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 合率和分配率)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集，
一般用字母C表示 . 精品ppt
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数
Zm 2m 2(m 21 )i
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
精品ppt
18
数系的扩充
复数的概念
B
nZ*
i4n 1 i4n1 i
i iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn2 -1 i4n3
精品ppt
19
数系的扩充
复数的概念
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
笛卡尔
(R.Descartes,1596--
精品ppt
12
1661)
数系的扩充
复数的概念
知识引入
我们已知知道：
对于一元二次方程 x2 10没有实数根．
x2 1
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数 集中，该问题能得到圆满解决呢？
i 引入一个新数：
满足
精品ppt
i2 1 13
数系的扩充
复数的概念
9
数集扩充到实数集
精品ppt
10
正数与负数， 有理数与无理数， 都是具有“实际意义的量”， 称之为“实数”，构成实数系统. 实数系统是一个没有缝隙的连续系统.
实数集能否继续扩充呢?
精品ppt
11
虚数
虚数是“算”出来
的. 1637年，法国数学
家笛卡尔把这样的
数叫做“虚数”
（“想象中
(imaginary)的数”）.
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z= 精a品一ppt 定不是虚数
17
数系的扩充
复数的概念
例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1 )i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 10，即 m1时，复数z 是实数．
（2）当 m 10，即 m1时，复数z 是虚数．
负数
负数是“欠”出来
的.它是由于借贷关
系中量的不同意义
而产生的.我国三国
时期数学家刘徽
（公元250年前后）
首先给出了负数的
定义、记法和加减
刘徽（公元250年前后）
运算法则.
精品ppt
4
数集扩充到整数集
精品ppt
5
分数（有理数）
❖ 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类已 经对有理数有了非常 清楚的认识，而且他 们认为有理数就是所 有的数.
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数系的扩充
复数的概念
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
zabi(aR,bR)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数 b0
R C
复数a+bi虚数 b0精品p非 纯 pt 纯 虚a虚 数 a0数 ， 0b，b1500
数系的扩充
复数的概念
思 考？
复数的代数形式 复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
精品ppt
20
数系的扩充
数集再次扩充
复数的概念
精品ppt
21
数系的扩充
复数的概念
数系扩充的科学道理
从数学内部来看，数集是在按某种 “规则”不断扩充的。
自然数中减法产生 负数 ；
， 整数系统
整数中除法产生 分数 ， 有理数系统；
自然数中开方产生 无理数 ， 实数系统；
精品ppt
6
数集扩充到有理数集
精品ppt
7
边长为1的正方形的对角线长 度为多少？
1
？
1精品ppt
8
无理数
无理数是“推”出来
的.公元前六世纪，古
希腊毕达哥拉斯学派
利用毕达哥拉斯定理，
发现了“无理数”.
“无理数”的承认
（公元前4世纪）是数
学发展史上的一个里
程碑.
毕达哥拉斯(约公元前
精品ppt 560——480年）
负数中开方产生 虚数 ， 新的系统.
精品ppt
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数系的扩充
复数的概念
数系扩充的科学道理
逆运算在数系的扩充中扮演着极为 重要的角色；
逆运算的运算法则来源于正运算， 因此比正运算困难，以致可能出现 无法进行的现象，从而必须引进新 东西，使数系得以扩展.
精品ppt
23
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