信号的频域分析教学课件

证明：由傅里叶变换定义有
F[ f (t) e j0t ] = f (t)e j0t ejt dt = f (t)e j(0 )t dt = F[ j( 0 )]
6. 频移特性（调制定理）
F[
f
(t) cos 0t]
=
1 2
F[
f
(t)e j0t
]
1 2
F[
f
(t )e j0t
]
=
1 2
F[ j(
2/ 2 0
t
/22
p1(t) Sa ( / 2)
1 f(t)
2
由f1 (t) f 2 (t) F F1 ( j) F2 ( j)
f1(t) F Sa2 (/2)
21 0
t
21
f
(t) =
A
f1
(
t ) F /2
A
2
Sa2 (
4
)
8. 乘积特性
若f1 (t) F F1 ( j)
f 2 (t) F F2 ( j)
信号的频域分析
连续周期信号的频域分析 连续非周期信号的频谱 常见连续时间信号的频谱 连续时间Fourier变换的性质 离散周期信号的频域分析 离散非周期信号的频域分析
傅立叶变换的基本性质
1. 线性特性 2. 共轭对称特性 3. 对称互易特性 4. 展缩特性 5. 时移特性 6. 频移特性
7. 时域卷积特性 8. 频域卷积特性 9. 时域微分特性 10. 积分特性 11. 频域微分特性 12. 能量定理
解调： f (t) 的频谱原来在 = 0附近（高频信号），使其频谱搬
移至 = 0 附近（低频信号）的过程． 变频：信号的频谱原来是在 = 1 附近，使其频谱搬移到
= 1 0附近
调制定理：若 f (t) F( )
则
f
(t )c os 0t
1 2
F (
0
)
F
(
0
)
调制 信号
载波（高 频信号）
已调制信号 （高频振荡）
则f1(t)
f 2 (t) F
1 2π
[F1
(
j)
F2 ( j)]
证明： F[ f1(t) f2 (t)] = [ f1(t) f2 (t)]ejωtdt
=
f
2
(t
)e
jωt
[
1 2π
F1( j )e jΩtd ]dt
=
1 2π
F1 ( j )d
[
f 2 (t)ej( )t dt]
=
1 2π
当f(t)为实偶函数时，有
F(j) = F*(j) ， F(j)是的实偶函数
当f(t)为实奇函数时，有
F(j) = F*(j) ， F(j)是的虚奇函数
3. 互易对称特性
若f (t) F F ( j)
f (t)
A
则F ( jt) F 2πf ()
F(j) A
0
t
2
2
F(jt)/2 A
t
4π 2π 2π 4π
度 函数，简称能量谱。
G() = 1 | F( j) |2
2π
傅里叶变换性质一览表
1. 线性特性 2. 对称互易特性 3. 展缩特性 4. 时移特性 5. 频移特性 6. 时域卷积特性 7. 频域卷积特性 8. 时域微分特性 9. 积分特性 10. 频域微分特性
af1 (t) bf 2 (t) F aF1 ( j) bF2 ( j)
1 2π
[
F1
(
j
n F ( j)
)
F2
(
j)]
dt n
t
f
(
)d
F
1
j
F(
j)
πF (0)
()
t n f (t) F jn dF n ( j) d n
傅里叶反变换
1 利用傅里叶变换互易对称特性
若 f (t) F( ) ，则 F(t) 2f ( ) 。
因此，在已知 F ( )前提下，可以先求出其时域形式
4. 展缩特性 若f (t) F F(j)
则f
(at) F
1
F(j )
aa
f (1 t) 2
2F (2 ) 2 A
t
0
f (t)
t
2
2
f (2t)
A
t
44
0
F ( ) A
2 0 2
1 F(1)
22
1 A
2
4
0
4
例5-5 求抽样信号f(t)=Sa(ω0t)的Fourier 变换
解:
p1(t) F Sa( / 2) 由互易对称性，Sa(t / 2) F 2p1() = 2p1()
若 f (t) F F ( j)
则t f (t) F j dF( j) d
t n f (t) F jn dF n ( j) d n
证明： F(j) = f (t)ejt dt
dF( j) d
=
f
(t)
d
d
e
jt
d
=
[(
jt)
f
(t )]e
jt
dt
将上式两边同乘以j得
j
dF( j) d
F1
(
j
)F2
[
j(
)]d
]
=
1 2π
[F1
(
j)
F2
(
j)]
9. 时域微分特性
若
f (t) F F ( j)
则
df (t) F ( j) F( j)
dt
d n f (t) F ( j)n F ( j)
dt n
注：若f(t)有直流分量，应先取出单独求傅立叶变换，余下 部分再用微分性质。
例5 -11 试利用微分特性求图5-17（ｂ）示信号的频谱函数。
= f (t)[ 1 F *( j)ejtd]dt
2π
= 1 F *( j)[ f (t)ejtdt] d
2π
= 1 F*( j) F( j)d
2π
= 1 | F( j) |2 d
2π
12.帕什瓦尔能量守恒定理
帕什瓦尔能量守恒定理：
f (t) 2 dt = 1 | F ( j) |2 d
证明：
F[ f1(t) f2 (t)] = [ f1( ) f2 (t )d ]ejt dt
=
f1( )[
f2 (t
)ejt dt]d
=
f1( )F2 ( j)ej d
= F1 ( j) F2 ( j)
例5-9 求如图所示信号的频谱。
f(t) A2
解： f1(t) = p1(t) * p1(t)
4π 2π 2π 4π
f () A
0
2
2
例5-4 求信号f(t)=1/πt的Fourier变换。
解： 由 s gn(t) F 2
j
由互易对称性可得
2 F 2 sgn() = 2 sgn()
jt 由Fourier变换的线性特性可得
1 F j sgn() t
0
)]
1 2
F[ j(
0
)]
信号f(t)与余弦信号cos0 t相乘后，其频谱是将 原来信号频谱向左右搬移0，幅度减半。
同理
F[
f
(t) sin 0t] =
1 2j
F[
f
(t)e j0t
]
1 2j
F[
f
(t)e j0t
]
=
j 2
F[
j(
0
)]
j 2
F[ j(
0
)]
调制：各类电子系统中，经常需要搬移频谱，此过程称为调制．
j
10. 积分特性
若f (t) F F ( j)
则t
f
( )d
F
1
j
F( j)
πF(0) ()
证明:
f
(t)u(t) =
f
(
wk.baidu.com
)u(t
)d
=
t
f
(
)d
F (0)
=
f
(t )dt
再利用时域卷积性质
f
(t)u(t) =
t
f
(
)d
F ( )
1
j
()
=
F()
j
F (0)
()
如果f (t ) 的积分为零（直流分量为0），则 F(0) = 0,
f '(t) = p (t 1/ 2) p1(t 1/ 2) F
f(t)
12
Sa( / 2)e j /2 Sa( / 2)e j /2
= 2 jSa( / 2) sin( / 2)
由时域微分性，
21 0
t
12
f (t) F F[ f '(t)] = 2Sa( / 2) sin( / 2) = Sa2 ( / 2)
4. 展缩特性
若f (t) F F ( j)
则f (at) F 1 F ( j )
aa
证明:
F[ f (at)] = f (at)ejt dt
令 x = at，则 dx = adt ，代入上式可得
F[ f (at)] =
1 a
j x
f (x)e a dx =
1
F(j)
aa
时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。
F ( jt) F 2πf ()
f
(at) F
1
F(j )
aa
f (t t0 ) F F ( j) e jt0
f (t) e j0t F F[ j( 0 )]
f1 (t) f 2 (t) F F1 ( j) F2 ( j)
f1(t) d n f (t
f 2 (t) F ) F ( j)
f(t) 2 1
解： 将f(t)表示为f1(t)+ f2(t)
1 f1(t)
0
1
f2(t) 1
t
0
1
0
1
即
f (t) =1 t p(t 0.5)dt
F ( j) = 1 Sa (0.5)ej0.5 3π () j
t t
例 试利用修正的微分特性求图示信号f(t)的频 谱函数。
f(t) 2 1
f '(t) 1
1. 线性特性
若f1 (t) F F1 ( j)； f 2 (t) F F2 ( j)， 则af1 (t) bf 2 (t) F aF1 ( j) bF2 ( j) 其中a和b均为常数。
2. 共轭对称特性
若 f (t) F F ( j)
则 f * (t) F F * ( j) f * (t) F F * ( j) F(j)为复数，可以表示为
F ( j) = F ( j) e j() = FR ( j) jFI ( j)
当f(t)为实函数时，有
|F(j)| = |F(j)| ， () = ()
FR ( j) = FR ( j), FI ( j) = FI ( j)
2. 共轭对称特性
若 f (t) F F ( j)
则 f * (t) F F * ( j) f * (t) F F * ( j)
t
0
1
t
0
1
解： f (t) = t p(t 0.5)dt = t y(t)dt
由于 p(t 0.5) F Y ( j) = Sa (0.5)e j0.5
利用时域积分特性，可得
F( j) = 1 Y ( j) πY (0) () j
= 1 Sa (0.5)ej0.5 π () j
例 试利用积分特性求图示信号f(t)的频谱函数。
t
f
( )d
F( )
j
修正的时域微分特性
记 f '(t)=f1(t) 若 f (t) F F ( j)
f1 (t) F F1 ( j)
则 F( j) = π( f () f ()) () F1 ( j) j
例5-12 试利用积分特性求图示信号f(t)的频谱函数。
f(t) 1
y(t)=p(t0.5) 1
2π
上式表明信号的能量也可以由|F(j)|2在整
个频率范围的积分乘以1/2 来计算。
物理意义：非周期能量信号的归一化能量 在时域中与在频域中相等，保持能量守恒。
12. 非周期信号的能量谱密度
帕什瓦尔能量守恒定理：
f
2 (t)dt
=
1 2π
|
F( j) |2
d
定义单位角频率的信号能量为能量频谱密
F[ f (t t0 )] = f (x)ej(t0 x)dx = F ( j) e jt0
信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域 中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。
6. 频移特性（调制定理）
若
f (t) F F ( j)
则
f (t) e j0t F F[ j( 0 )]
式中0为任意实数
t
0
1
解：
t
0
1
f '(t) =
p(t 0.5) =
f1 (t )
F F1 ( j)
1 Sa (0.5)e j0.5 j
利用修正的微分特性，可得
F( j) = π( f () f ()) () F1 ( j) j
= 3π () 1 Sa (0.5)ej0.5 j
与例4结果 一致！
9. 频域微分特性
( t)F(t)的傅里叶变换 FF(t)，也就是2f ( ) ，
再求得f
(t) =
1
2
F F (t ) t 。
=
[t
f
(t)]
ejt dt
例5-13 试求单位斜坡信号tu(t)的频谱。
解： 已知单位阶跃信号傅里叶变换为:
F[u(t)] = π () 1 j
故利用频域微分特性可得:
F[tu(t)] = j d [π () 1 ] = π () 1
d
j
2
12.帕什瓦尔能量守恒定理
W = | f (t) |2 dt
频分复用多路通信：利用调制原理，可将需要传输的若干低频信 号分别搬移到不同的载波频率附近，并使它们的频谱互不重叠， 这样就可以在同一信道内传送许多路信号。
7. 卷积特性
若f1 (t) F F1 ( j)
f 2 (t) F F2 ( j)
则f1 (t) f 2 (t) F F1 ( j) F2 ( j)
由展缩特性，
Sa(0t) = Sa(20
t ) F 2
2
20
p1( 20 ) = 0
p20 ()
5. 时移特性
若f (t) F F ( j) 则f (t t0 ) F F ( j) e jt0
式中t0为任意实数
证明：
F[ f (t t0 )] = f (t t0 )ejt dt
令x = tt0，则dx = dt，代入上式可得