人工肾数学模型

人工肾数学模型
一、摘要
本文主要是研究单位时间内人工肾带走的废物数量，针对该问题.我们利用了微分的方法，建立了微分模型。

通过MATLAB6.5软件计算，得到了一个单位时间内人工肾带走废物数量的模型：
通过分析在人工肾的一段距离l ,在这段距离中废物浓度时不相同的，所以我们取了其中的一小段],[x x x ∆+，对其分析，研究了血液中废物浓度的变化，单位时间内人工肾带走的血液中的废物量:
al
v
u al
u u l l e k k e
k u l u u k dx dx du dx v u Q --=---=--=-=⎰⎰11)]([)(0000λ 关键词： 人工肾 清除率 浓度 微积分.
二、 问题重述
人工肾是帮助人体从血液中带走废物的装置，它通过一层薄膜与需要带走废物的血管相通，如下图，人工肾中通以某种液体，其流动方向与血液在血管中的流动方向相反，血液中的废物透过薄膜进入人工肾.
设血液和人工肾中液体的流速均为常数，废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的浓度差成正比.人工肾总长为l .我们建立单位时间内人工肾带走废物数量的模型.
二、问题分析
通过医学资料了解到肾脏是一个产生尿液、排泄废物的器官，从心脏输出血量的25%经过肾脏，通过肾脏的滤过、重吸收和稀释浓缩功能，保留人体所必需的物质，排泄无用的代谢废物及毒性物质；同时它又是一个调节器官，通过分泌激素样的物质调节体内的代谢.
通过查找资料得知：肾脏清除率是指某一种物质在一定时间内(通常以1 min 为单位)由尿液排出的量相当于多少毫升血浆含该物质的量.以公式表示，即
P V U C /*=.其中C 为清除率(ml ／min)；
V 为每分钟排尿量(ml)；u 和P 分别为测定的尿液和血浆的物质浓度.
C 清除率(ml ／min) =U 测定的尿液的物质浓度×V 每分钟排尿量(ml) ／P 血浆的物质浓度
我们便从人工肾总长为l 中取了一小段],[x x x ∆+，在很短的时间内.
计算人工肾带走的废物量，然后再进行微分.得到单位时间内人工肾带走废物数量. ⎰-=l
dx v u Q 0)(λ
血管
人工肾
薄膜
血液流动方向
液体流动方向
三、模型的假设
1、假设在整个血管和人工肾的透析过程中血管舒张程度不发生变化.
2、假设在整个血管和人工肾的透析中只进行单向渗透.
3、血液和人工肾中液体的流速均为常数.
4、废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的浓度差成正比.
四、模型的建立及求解
设血液和人工肾中液体的流速均为常数，废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的浓度差成正比，人工肾总长l ，建立单位时间内人工肾带走废物数量的模型.
以血液流动方向为正方向建立坐标x ，如图1所示：
x
图1
本模型中的主要符号说明为：
l --人工肾总长度 ()x u --血液中废物浓度 ()x v --人工肾中废物浓度 u k --血液中液体流动速度 v k --人工肾中液体流动速度
Q --血液中的废物量单位时间内人工肾带走
I --人工肾的清除率
（血管）
（人工肾）
k u
k v
)(x u
)(x v
x
x x ∆+
血液中废物的浓度:
考察),(x x x ∆+血液中废物浓度的变化，得
)
1
1()()(,0)(,)0(),(,.
0),(),()]()([)(0
00v u v al u ax u al u v
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u u x u x u k k a k e k e k e k u x v k e k e k e k u x u l v u u v u d d k v u d d k d x u k d x v x u x k -=--=--===--=>--=++-=-----λλλλλ其中可解得
边界条件为同理于是 将人工肾模型结合人体肾脏的实际情况考虑；
血液中废物浓度ｕ（0）相当于人体血浆中某物质的浓度P ； 单位时间内人工肾带走的血液中的废物量为：
()()[]v
al
u al
u
l u u l
k e k e k u l u u k dx du k vdx u Q --
-=-=-=-=⎰⎰110000λ 将人工肾模型结合人体肾脏的实际情况考虑：
单位时间内人工肾带走的血液中的废物量Q 相当于人体尿中某物质的浓度U 与每分钟尿量V 的乘积，即U ×V
表示人工肾性能的指标——清除率I 定义为
()
al v
u al
u al
v u al
u e k k e k u e k k
e k u u Q I ------=--==11110
00
五、模型的检验
将人工肾模型结合人体肾脏的实际情况考虑： 人工肾的清除率I 相当于人体肾清除率()P V U C /⨯= 把Q V U =⨯，0u P =代入人体肾清除率的计算公式得： 证明这个人工肾的微分方程模型是可行的.
al v
u al
u
e k k e k I u Q C ----===110
六、模型的评价
优点：该模型设计比较简单，针对医学方面的这类问题具有很大的实用性，若必要时可根据此模型设定相应的方案，从而也可以进一步对此模型在实践中检验，进一步的完善优化.我们还可以用建立该模型的设计方法用来类似的问题.
缺点：该模型太过理想化，往往在实际情况中是比较复杂的，而我们知道人的血液是不可压缩的黏滞流体，所以血液在血管中心和边缘的流速是不同的.因此，该模型还有待改进.
七、模型的改进
由于人的血液是不可压缩的黏滞流体，所以血液在血管中心和边缘的流速是不同的.由牛顿黏滞定律，牛顿黏滞定律是描述流体中黏性现象的宏观规律.黏性也称黏滞，是指流体中由于存在定向运动速度的不平均性时，在流体中出现一种使流动较快的流体受到减速力，流动较慢的流体受到加速力的现象（即内摩擦现象）.这种减速力及加速力统称为黏性力（或黏滞力、内摩擦力）.牛顿黏性定律可表述为：当流体的流动为层流时，则在层与层之间所作用的黏性力f 分别与流体中定向运动的速度梯度du/dz 及与流动方向切向面积A 成正比的关系，其比例系数η称为黏度或黏性系数，即
η的单位是N·m -2·s ，也有用泊（poise ）为单位的，1泊（P ）=10-1kg·m -1·s -1.从而建立血液流动微分方程.
取长度为l 的血管，左端血压为P 1 ,右段血压为P 2(P 1>P 2),血管半径为R,由于流速稳定，所以由牛顿黏滞性定律和力平衡原理，推动半径为r
推进力有()2121P P r F -=π （1） 阻力有dr
dv
rl
F πη22-= （2） l
21F F = ()dr
dv rl
p p r πηπ2212-=-即 对两边积分，当r=0处流速最大 r=R 处流速为0
)(4)(22
21r R l
P P r v --=
η （3）
为血液黏滞系数η
将血管中的圆截面分成多个圆环，圆环厚度为dr,1秒内通过该圆环的流量为
rdr r v π2)(,所以，一秒内通过半径为R 圆截面的流量为()dr r rv Q E
⎰=02π (4)
（3）和（4）联立，得：4
218)(R l
P P Q ηπ-=
八、参考文献
[1] 姜启源 谢金星，数学建模，北京：高等教育出版社，2003年.
[2] 北京：高等教育出版社，2003.8.数学建模（第三版）习题/姜启源等编. [3] 数学建模案例选集/姜启源，谢金星主编——北京：高等教育出版社，2006.7.。