湘教版初中数学八年级下册9.难点探究专题：特殊四边形中的综合性问题
湘教版八年级数学下册9难点探究专题：特殊四边形中的综合性问题(选做)(1)
难点探究专题：特殊四边形中的综合性问题(选做)◆类型一菱形及正方形中利用点的对称性求最小值【方法9】1．设点P是正方形ABCD内任意一点，则PA＋PB＋PC＋PD的最小值是( ) A．边长的两倍B．周长C．两条对角线长之和D．以上都不对2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，点E 是BC中点，点P在对角线AC上滑动，则BP＋EP的最小值是( )A. 2 B．2 C. 5 D．3第2题图第3题图3．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝120°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值是________．◆类型二特殊四边形中的动态问题一、动点问题4．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发，以1cm/秒的速度沿对角线AC运动到点C.设运动时间为t秒，当图中出现等腰三角形个数最多时(不再添加辅助线)，t的值为( )A．3.6 B．4 C．5 D．6第4题图第5题图5．如图，正方形ABCD边长为1，动点P从A点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2016时，点P所在位置为________；当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为________(用含自然数n的式子表示)．6．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P，Q的速度都是1cm/s.(1)在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多长时间，四边形AQCP是菱形？(2)在(1)的条件下，分别求出菱形AQCP的周长、面积．二、图形的变化问题7．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点O旋转，若两正方形的边长相等，则两正方形的重合部分的面积CA．由小变大B．由大变小C．始终不变D．先由大变小，后由小变大8．(临沂中考)如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是__________，位置关系是__________；(2)如图②，若点E，F分别是CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；(3)如图③，若点E，F分别是BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．◆类型三四边形间的综合性问题9．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数是( )A．50°B．55°C．70°D．75°第9题图第10题图10．(南京中考)如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为________cm.11．★如图，以△ABC的三边为边，在BC边的同侧作等边△DBA，△EBC，△FAC.（1）试说明四边形AFED是平行四边形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？并说明理由；(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是正方形？并说明理由；(4)当△ABC满足什么条件时，四边形AFED不存在？参考答案与解析1．C 2.C 3. 3 4.C 5.点A4n＋36．解：(1)可能．∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝8cm，AD∥BC.∵DP ＝BQ，∴AP＝CQ，∴四边形AQCP为平行四边形．设经过x s后，四边形AQCP 是菱形，∴AP＝AQ.由勾股定理得AB2＋BQ2＝AQ2，即16＋x2＝(8－x)2，解得x ＝3，即经过3s后四边形AQCP是菱形．(2)由(1)得菱形的边长为AP＝8－x＝5(cm)，∴菱形AQCP的周长为5×4＝20(cm)，菱形AQCP的面积为5×4＝20(cm2)．7．C 解析：如图，设OE与AB交于点M，OG与BC交于点N.∵四边形ABCD和EFGO是正方形，∴OB＝OC，∠OBM＝∠OCN＝45°，∠BOC＝∠EOG ＝90°，∴∠BOM＝∠CON，∴△BOM≌△CON(ASA)，∴S△BOM＝S△CON，∴S四边形BNOM＝S△BOC＝14S正方形ABCD，即两正方形的重合部分的面积始终不变．故选C.8．解：(1)FG＝CE FG∥CE(2)结论仍然成立．证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠ABC ＝∠BCD＝90°.又∵CE＝BF，∴△FBC≌△ECD，∴CF＝DE，∠FCB＝∠EDC.∵EG ＝DE，∴CF＝GE.∵∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠FCB＋∠DEC＝90°，∴DE⊥CF.∵EG⊥DE，∴CF∥EG，∴四边形GECF是平行四边形，∴FG＝CE，FG∥CE.(3)结论仍然成立．解析：∵四边形ABCD为正方形，∴DC＝BC，∠DCB＝∠ABC＝90°，∴∠DCE＝∠CBF＝90°.∵CE＝BF，∴△DCE≌△CBF，∴DE＝CF，∠CDE＝∠BCF.又∵∠DEC＋∠CEG＝90°，∠CDE＋∠DEC＝90°，∴∠CEG＝∠CDE＝∠BCF，∴FC∥EG.∵EG＝DE，∴EG＝CF，∴四边形ABCD为平行四边形，∴FG＝CE，FG∥CE.9．C10．13 解析：连接AC.因为正方形AECF的面积为50cm2，所以AC＝2×50＝10(cm)．因为菱形ABCD 的面积为120cm 2，所以BD ＝2×12010＝24(cm)，所以菱形的边长为⎝ ⎛⎭⎪⎫1022＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2422＝13(cm)． 11．解：(1)∵△ABD ，△BCE ，△FAC 是等边三角形，∴AB ＝DB ，BC ＝BE ，AC ＝AF ，∠ABD ＝∠EBC ＝60°，∴∠DBE ＝∠ABC .在△BDE 和△BAC 中，DB ＝AB ，∠DBE ＝∠ABC ，BE ＝BC ，∴△DBE ≌△ABC (SAS)，∴DE ＝AC ，∴DE ＝AF .同理可证DA ＝EF ，∴四边形AFED 是平行四边形．(2)当∠BAC ＝150°时，四边形AFED 是矩形．理由如下：∵△ABD ，△ACF 是等边三角形，∴∠DAB ＝∠CAF ＝60°，∠DAF ＝360°－∠DAB －∠BAC －∠CAF ＝360°－60°－150°－60°＝90°，∴▱AFED 是矩形．(3)当△ABC 是顶角为150°的等腰三角形时，四边形AFED 是正方形．理由如下：由(2)可知，当∠BAC ＝150°时，四边形AFED 是矩形．∵AB ＝AC ，∴AD ＝AF ，∴矩形AFED 是正方形．(4)当∠BAC ＝60°时，∠DAF ＝180°，此时D ，A ，F 三点在同一条直线上，以点A ，D ，E ，F 为顶点的四边形就不存在．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一 一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2－4x ＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（ ）A ．5B ．7C ．5或7D ．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m ＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是．12．(甘孜州中考)若函数y＝－kx＋2k＋2与y＝kx(k≠0)的图象有两个不同的交点，则k的取值范围是．.◆类型三一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2 C ．m ≥3 D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m＜0，∴m＜－1，∴m＋1＜1－1，即m＋1＜0，m－1＜－1－1，即m－1＜－2，∴一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k≠013．B 14.k≥1。
湘教版八年级数学下册解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法
解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法◆类型一特殊四边形中求最值、定值问题一、利用对称性求最值【方法10】1．(2017·青山区期中)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，P，Q 分别是AC，AD上的动点，连接DP，PQ，则DP＋PQ的最小值为________．第1题图第2题图2．(2017·安顺中考)如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________．二、利用面积法求定值3．如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，AB＝6，BC＝8，则PE＋PF的值为________．【变式题】矩形两条垂线段之和→菱形两条垂线段之和→正方形两条垂线段之和(1)(2017·眉山期末)如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于________．变式题(1)图变式题(2)图(2)如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点且BE＝BC，点P 为线段CE上一动点，且PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，则PM＋PN的值为________．◆类型二正方形中利用旋转性解题4．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB 于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.求证：S△AEF＝S△ABE＋S△ADF.6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为正方形ABCD 外一点，且BP⊥CP，连接OP.求证：BP＋CP＝2OP.参考答案与解析1.245解析：如图，过点Q 作QE ⊥AC 交AB 于点E ，则PQ ＝PE .∴DP ＋PQ ＝DP ＋PE .当点D ，P ，E 三点共线的时候DP ＋PQ ＝DP ＋PE ＝DE 最小，且DE 即为所求．当DE ⊥AB 时，DE 最小．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝12AC ＝4，OB ＝12BD ＝3，∴AB ＝5.∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝AB ·DE ，∴12×8×6＝5·DE ，∴DE ＝245.∴DP ＋PQ 的最小值为245.2．6 解析：如图，设BE 与AC 交于点P ，连接BD .∵点B 与D 关于AC 对称，∴PD ＝PB ，∴PD ＋PE ＝PB ＋PE ＝BE ，即P 为AC 与BE 的交点时，PD ＋PE 最小，为BE 的长度．∵正方形ABCD 的边长为6，∴AB ＝6.又∵△ABE 是等边三角形，∴BE ＝AB ＝6.故所求最小值为6.故答案为6.3. 245 解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABC ＝90°.∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10，∴OB ＝OC ＝12AC ＝5.如图，连接OP ，∵S △OBP ＋S △OCP ＝S △OBC ，∴OB ·PF2＋OC ·PE 2＝S △OBC ，∴5·PF 2＋5·PE 2＝S △OBC .∵S △OBC ＝14S 矩形ABCD ＝14AB ·BC ＝14×6×8＝12，∴5·PF 2＋5·PE 2＝12，∴PE ＋PF ＝245.【变式题】(1)52 解析：∵菱形ABCD 的周长为40，面积为25，∴AB ＝AD＝10，S △ABD ＝252.连接AP ，则S △ABD ＝S △ABP ＋S △ADP ，∴12×10(PE ＋PF )＝252，∴PE ＋PF ＝52.(2)22 解析：连接BP ，过点E 作EH ⊥BC 于H .∵S △BPE ＋S △BPC ＝S △BEC ，∴BE ·PM 2＋BC ·PN 2＝BC ·EH 2.又∵BE ＝BC ，∴PM 2＋PN 2＝EH 2，即PM ＋PN ＝EH .∵△BEH 为等腰直角三角形，且BE ＝BC ＝1，∴EH ＝22，∴PM ＋PN ＝EH ＝22. 4．3 25．证明：延长CB 到点H ，使得HB ＝DF ，连接AH .∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABH ＝∠D ＝90°，AB ＝AD .∴△ADF 绕点A 顺时针旋转90°后能和△ABH 重合，∴AH ＝AF ，∠BAH ＝∠DAF .∵∠HAE ＝∠HAB ＋∠BAE ＝∠DAF ＋∠BAE＝90°－∠EAF＝90°－45°＝45°，∴∠HAE＝∠EAF＝45°.又∵AE＝AE，∴△AEF 与△AEH关于直线AE对称，∴S△AEF＝S△AEH＝S△ABE＋S△ABH＝S△ABE＋S△ADF.6．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°.将△OCP顺时针旋转90°至△OBE(如图所示)，∴OE＝OP，BE＝CP，∠OBE＝∠OCP，∠BOE ＝∠COP.∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°.∵∠BOC＋∠OBP＋∠BPC＋∠OCP＝360°，∴∠OBP＋∠OCP＝180°，∴∠OBP＋∠OBE＝180°，∴E，B，P在同一直线上．∵∠POC＋∠POB＝∠BOC＝90°，∠BOE＝∠COP，∴∠BOE＋∠POB＝90°，即∠EOP＝90°.在Rt△EOP中，由勾股定理得PE＝OE2＋OP2＝OP2＋OP2＝2OP.∵PE＝BE＋BP，BE＝CP，∴BP＋CP＝2OP.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，则一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k 、b 是一元二次方程(2x ＋1)(3x －1)＝0的两个根，且k ＞b ，则函数y ＝kx ＋b 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是 ．12．(甘孜州中考)若函数y ＝－kx ＋2k ＋2与y ＝kx (k ≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． .◆类型三 一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2C ．m ≥3D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m ＜0，∴m ＜－1，∴m ＋1＜1－1，即m ＋1＜0，m －1＜－1－1，即m －1＜－2，∴一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k ≠013．B 14.k≥1。
2025年湘教版八年级下册数学阶段拔尖专训8 特殊四边形的性质和判定的综合应用
①如图①,任意作两条相交的直线，交点记为；
②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截
取相等的四条线段，，，；
③顺次连接所得的四点得到四边形.
于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定
对角线互相平分的四边形是平行四边形
理是：____________________________________.
（2）猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是
猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四
边形是矩形.并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程.
已知：如图②，四边形是平行四边形， = .
求证：四边形是矩形.
【证明】∵ 四边形是平行四边形，
出△的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加
以证明.
【解】如图②,△共有三个“友好矩形”，分
别为矩形、矩形和矩形，
其中矩形的周长最小.
证明：易知这三个矩形的面积相等,设它们的
面积为,矩形、矩形和矩形的周长分别为
1 ,2 ,3 , = , = , = ，
∠ = ∠,
在△和△中，ቐ = ,
∠ = ∠,
∴ △≌△ ASA . ∴ = .
又∵ ∠ = 60∘ ，∴ △是等边三角
形.
（2）在点，运动的过程中，四边形
的面积是否发生变化？若不发生变
化，求出面积的值；若发生变化，请说明
类型3 特殊平行四边形的阅读理解型问题
5.
阅读以下材料，然后解决问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形
的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边
上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示,矩
2024八年级数学下册第2章四边形练素养2特殊平行四边形间的关系的综合应用习题课件新版湘教版
∠AOE＝∠ACB＝90°，∴AC⊥EF.
∴矩形AECF是正方形.
易知∠D＝∠DFG＝∠FGH＝90°，
∴四边形GHDF是黄金矩形.
应用4
菱形、矩形、正方形的综合应用
7. [新考法 逆向思维法]如图，在△ABC中，点O是AC边上一
个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线
于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)探究OE与OF的数量关系并加以证明.
【解】∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，AB＝BC.
∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，∴OA＝ AC＝1，
∴OD＝OB＝ − ＝ .
由(1)可知，四边形AODE是矩形，
∴矩形AODE的面积＝OA×OD＝1× ＝ .
3.[2023·娄底三中期中]如图，矩形ABCD中，∠ABD，
∴AB＝BE，∠BEF＝∠A＝90°.
∴四边形ABEF是正方形.
(2)四边形GHDF是黄金矩形吗？请说明理由.
【解】四边形GHDF是黄金矩形.理由：
∵矩形纸片ABCD是黄金矩形，
∴
−
＝
，
∴设AB＝( －1)x，BC＝2x.
∵四边形ABEF是正方形，
∴BE＝EF＝AB＝( －1)x.
2.特殊平行四边形间的
关系的综合应用
名师点金
菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，其性质除
具有平行四边形的一切性质外，还都有各自的性质.它们的判
定方法也各不相同，它们的性质和判定的应用很广泛，在应
用中常常将不同的特殊平行四边形综合在同一题中进行考
2024八年级数学下册练册第9招特殊平行四边形的性质和判定的综合应用习题课件新版湘教版
【证明】如图①.延长FG，交AC于点H.
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴BC＝CD，FG＝BG，CD∥AE，FG∥AE，
∠CGH＝∠BGF＝90°，
∴∠CHG＝45°，CD∥FG，
分类训练
∴∠ACB＝∠CHG，∠CDP＝∠HFP，∠DCP＝∠FHP，
∴CG＝GH，∴CG＋BG＝GH＋FG，
∴BC＝FH，
∴CD＝FH，
∴△CDP≌△HFP(ASA)，
∴DP＝FP，
∴点P是DF的中点.
分类训练
(2)小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也
是DF中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断
△APE的形状，并说明理由.
分类训练
【解】△APE是等腰三角形，理由如下：
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
2.[2023·湘潭]小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进
行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点
G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点
B顺时针旋转.
分类训练
(1)当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点
P恰为DF的中点，如图①，针对小红发现的结论，请给
+ －
＝ (b－a)
∵a－b＞0，ab＞S＞0，∴L1－L2＞0，即
L1＞L2.
同理可得L2＞L3，∴L1＞L2＞L3.
∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小.
∴△ABC的两个“友好矩形”的面积相等.
分类训练
(3)若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画
出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形
最新湘教版八年级下册数学难点探究专题：特殊四边形中的综合性问题(选做)
难点探究专题：特殊四边形中的综合性问题(选做)◆类型一菱形及正方形中利用点的对称性求最小值【方法9】1．设点P是正方形ABCD内任意一点，则P A＋PB＋PC＋PD的最小值是()A．边长的两倍B．周长C．两条对角线长之和D．以上都不对2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，点E是BC中点，点P 在对角线AC上滑动，则BP＋EP的最小值是()A. 2 B．2 C. 5 D．3第2题图第3题图3．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝120°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值是________．◆类型二特殊四边形中的动态问题一、动点问题4．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发，以1cm/秒的速度沿对角线AC运动到点C.设运动时间为t秒，当图中出现等腰三角形个数最多时(不再添加辅助线)，t的值为()A．3.6 B．4 C．5 D．6第4题图第5题图5．如图，正方形ABCD边长为1，动点P从A点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2016时，点P所在位置为________；当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为________(用含自然数n的式子表示)．6．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P，Q的速度都是1cm/s.(1)在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多长时间，四边形AQCP 是菱形？(2)在(1)的条件下，分别求出菱形AQCP的周长、面积．二、图形的变化问题7．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点O旋转，若两正方形的边长相等，则两正方形的重合部分的面积CA．由小变大B．由大变小C．始终不变D．先由大变小，后由小变大8．(临沂中考)如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是__________，位置关系是__________；(2)如图②，若点E，F分别是CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；(3)如图③，若点E，F分别是BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．◆类型三四边形间的综合性问题9．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF ＝15°，则∠B的度数是()A．50°B．55°C．70°D．75°第9题图第10题图10．(南京中考)如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为________cm.11．★如图，以△ABC的三边为边，在BC边的同侧作等边△DBA，△EBC，△F AC.（1）试说明四边形AFED是平行四边形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？并说明理由；(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是正方形？并说明理由；(4)当△ABC满足什么条件时，四边形AFED不存在？参考答案与解析1．C 2.C 3.3 4.C 5.点A4n＋36．解：(1)可能．∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝8cm，AD∥BC.∵DP＝BQ，∴AP＝CQ，∴四边形AQCP为平行四边形．设经过x s后，四边形AQCP是菱形，∴AP＝AQ.由勾股定理得AB2＋BQ2＝AQ2，即16＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，即经过3s后四边形AQCP是菱形．(2)由(1)得菱形的边长为AP＝8－x＝5(cm)，∴菱形AQCP的周长为5×4＝20(cm)，菱形AQCP 的面积为5×4＝20(cm2)．7．C解析：如图，设OE与AB交于点M，OG与BC交于点N.∵四边形ABCD和EFGO是正方形，∴OB＝OC，∠OBM＝∠OCN＝45°，∠BOC＝∠EOG＝90°，∴∠BOM＝∠CON，∴△BOM≌△CON(ASA)，∴S△BOM＝S△CON，∴S四边形BNOM＝S△BOC＝14S正方形ABCD，即两正方形的重合部分的面积始终不变．故选C.8．解：(1)FG＝CE FG∥CE(2)结论仍然成立．证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°.又∵CE＝BF，∴△FBC≌△ECD，∴CF＝DE，∠FCB＝∠EDC.∵EG＝DE，∴CF＝GE.∵∠EDC ＋∠DEC＝90°，∴∠FCB＋∠DEC＝90°，∴DE⊥CF.∵EG⊥DE，∴CF∥EG，∴四边形GECF是平行四边形，∴FG＝CE，FG∥CE.(3)结论仍然成立．解析：∵四边形ABCD为正方形，∴DC＝BC，∠DCB＝∠ABC＝90°，∴∠DCE ＝∠CBF＝90°.∵CE＝BF，∴△DCE≌△CBF，∴DE＝CF，∠CDE＝∠BCF.又∵∠DEC＋∠CEG ＝90°，∠CDE＋∠DEC＝90°，∴∠CEG＝∠CDE＝∠BCF，∴FC∥EG.∵EG＝DE，∴EG＝CF，∴四边形ABCD为平行四边形，∴FG＝CE，FG∥CE.9．C10．13解析：连接AC.因为正方形AECF的面积为50cm2，所以AC＝2×50＝10(cm)．因为菱形ABCD的面积为120cm2，所以BD＝2×12010＝24(cm)，所以菱形的边长为⎝⎛⎭⎫1022＋⎝⎛⎭⎫2422＝13(cm)．11．解：(1)∵△ABD，△BCE，△F AC是等边三角形，∴AB＝DB，BC＝BE，AC＝AF，∠ABD ＝∠EBC＝60°，∴∠DBE＝∠ABC.在△BDE和△BAC中，DB＝AB，∠DBE＝∠ABC，BE＝BC，∴△DBE≌△ABC(SAS)，∴DE＝AC，∴DE＝AF.同理可证DA＝EF，∴四边形AFED是平行四边形．(2)当∠BAC＝150°时，四边形AFED是矩形．理由如下：∵△ABD，△ACF是等边三角形，∴∠DAB＝∠CAF＝60°，∠DAF＝360°－∠DAB－∠BAC－∠CAF＝360°－60°－150°－60°＝90°，∴▱AFED是矩形．(3)当△ABC是顶角为150°的等腰三角形时，四边形AFED是正方形．理由如下：由(2)可知，当∠BAC＝150°时，四边形AFED是矩形．∵AB＝AC，∴AD＝AF，∴矩形AFED是正方形．(4)当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时D，A，F三点在同一条直线上，以点A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．。
八年级特殊四边形综合(难).doc
【例1】如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形对角BD折叠，那么图中阴影部分的面积是___。
【分析】依题设可证明△ABF≌△EDF
从而AF=FE，BF=FD．
设AF=x，则BF=4-x，
由 ，有
∴
【练习1】已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形折叠，使点B、D重合，求折痕EF的长。
【分析】BO=1/2BD,OE=1/2EF依题设BO=1/2BD=5，同于上例设AE=x，则BE=DE=8-x
由 有 ， ∴OE=15/4∴EF=15/2．
题型四：矩形的判定
【例1】已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．
【解答】1、解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，下面证明这个结论.
∵CE平分∠BCA，
∴∠BCE=∠OCE.
又∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OCE=∠OEC，
∴OE=OC.
同理可证OF=OC，
∴OE=OF.
又∵点O是AC的中点，∴OA=OC
因此，四边形AECF是平行四边形.
又∵AC=2OC=2OE=EF，
2、矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)矩形性质1:矩形的四个角都是直角。矩形性质2:矩形的对角线相等且互相平分。
3、如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO= AC= BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形的判定方法：
【练习1】已知：如图，矩形ABCD中，CF⊥BD，AE平分∠BAD和FC的延长线交于E点．求证：AC=CE。
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难点探究专题：特殊四边形中的综合性问题(选做)◆
类型一 菱形及正方形中利用点的对称性求最小值【方法9】
1．设点P是正方形ABCD内任意一点，则PA＋PB＋PC＋PD的最小值是( )
A．边长的两倍B．周长
C．两条对角线长之和D．以上都不对
2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，点E是BC中点，点P在对角线AC上滑动，则BP＋EP的最小值是( )
25
A.B．2 C.D．3
第2题图第3题图3．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝120°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值是________．
◆
类型二 特殊四边形中的动态问题
一、动点问题
4．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发，以1cm/秒的速度沿对角线AC运动到点C.设运动时间为t秒，当图中出现等腰三角形个数最多时(不再添加辅助线)，t的值为( )
A．3.6 B．4 C．5 D．6
第4题图第5题图5．如图，正方形ABCD边长为1，动点P从A点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2016时，点P所在位置为________；当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为________(用含自然数n的式子表示)．
6．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P，Q的速度都是1cm/s.
(1)在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多长时间，四边形AQCP是菱形？
(2)在(1)的条件下，分别求出菱形AQCP的周长、面积．
二、图形的变化问题
7．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点O旋转，若两正方形的边长相等，则两正方形的重合部分的面积C
A．由小变大
B．由大变小
C．始终不变
D．先由大变小，后由小变大
8．(临沂中考)如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.
(1)请判断：FG与CE的数量关系是__________，位置关系是__________；
(2)如图②，若点E，F分别是CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；
(3)如图③，若点E，F分别是BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．
◆
类型三 四边形间的综合性问题
9．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝
35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数是( )
A．50° B．55° C．70° D．75°
第9题图第10题图
10．(南京中考)如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为________cm.
11．★如图，以△ABC的三边为边，在BC边的同侧作等边△DBA，△EBC，△FAC.
（1）试说明四边形AFED是平行四边形；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？并说明理由；
(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是正方形？并说明理由；
(4)当△ABC满足什么条件时，四边形AFED不存在？
参考答案与解析
3
1．C 2.C 3. 4.C 5.点A 4n＋3
6．解：(1)可能．∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝8cm，AD∥BC.∵DP＝BQ，∴AP ＝CQ，∴四边形AQCP为平行四边形．设经过x s后，四边形AQCP是菱形，∴AP＝AQ.由勾股定理得AB2＋BQ2＝AQ2，即16＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，即经过3s后四边形AQCP 是菱形．
(2)由(1)得菱形的边长为AP＝8－x＝5(cm)，∴菱形AQCP的周长为5×4＝20(cm)，菱形AQCP的面积为5×4＝20(cm2)．
7．C 解析：如图，设OE与AB交于点M，OG与BC交于点N.∵四边形ABCD和EFGO是正方形，∴OB＝OC，∠OBM＝∠OCN＝45°，∠BOC＝∠EOG＝90°，∴∠BOM＝
∠CON ，∴△BOM ≌△CON (ASA)，∴S △BOM ＝S △CON ，∴S 四边形BNOM ＝S △BOC ＝S 正方形ABCD ，即
1
4
两正方形的重合部分的面积始终不变．故选C.
8．解：(1)FG ＝CE FG ∥CE
(2)结论仍然成立．证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°.又∵CE ＝BF ，∴△FBC ≌△ECD ，∴CF ＝DE ，∠FCB ＝∠EDC .∵EG ＝DE ，∴CF ＝GE .∵∠EDC ＋∠DEC ＝90°，∴∠FCB ＋∠DEC ＝90°，∴DE ⊥CF .∵EG ⊥DE ，∴CF ∥EG ，∴四边形GECF 是平行四边形，∴FG ＝CE ，FG ∥CE .
(3)结论仍然成立．解析：∵四边形ABCD 为正方形，∴DC ＝BC ，∠DCB ＝∠ABC ＝90°，∴∠DCE ＝∠CBF ＝90°.∵CE ＝BF ，∴△DCE ≌△CBF ，∴DE ＝CF ，∠CDE ＝∠BCF .又∵∠DEC ＋∠CEG ＝90°，∠CDE ＋∠DEC ＝90°，∴∠CEG ＝∠CDE ＝∠BCF ，∴FC ∥EG .∵EG ＝DE ，∴EG ＝CF ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴FG ＝CE ，FG ∥CE.
9．C
10．13 解析：连接AC .因为正方形AECF 的面积为50cm 2，所以AC ＝＝2×5010(cm)．因为菱形ABCD 的面积为120cm 2，所以BD ＝＝24(cm)，所以菱形的边长2×120
10
为＝13(cm)． (102)2 ＋(242)
2
11．解：(1)∵△ABD ，△BCE ，△FAC 是等边三角形，∴AB ＝DB ，BC ＝BE ，AC ＝AF ，∠ABD ＝∠EBC ＝60°，∴∠DBE ＝∠ABC .在△BDE 和△BAC 中，DB ＝AB ，∠DBE ＝∠ABC ，BE ＝BC ，∴△DBE ≌△ABC (SAS)，∴DE ＝AC ，∴DE ＝AF .同理可证DA ＝EF ，∴四边形AFED 是平行四边形．
(2)当∠BAC ＝150°时，四边形AFED 是矩形．理由如下：∵△ABD ，△ACF 是等边三角形，∴∠DAB ＝∠CAF ＝60°，∠DAF ＝360°－∠DAB －∠BAC －∠CAF ＝360°－60°－150°－60°＝90°，∴▱AFED 是矩形．
(3)当△ABC 是顶角为150°的等腰三角形时，四边形AFED 是正方形．理由如下：由(2)可知，当∠BAC ＝150°时，四边形AFED 是矩形．∵AB ＝AC ，∴AD ＝AF ，∴矩形AFED 是正方形．
(4)当∠BAC ＝60°时，∠DAF ＝180°，此时D ，A ，F 三点在同一条直线上，以点A ，D ，E ，
F 为顶点的四边形就不存在．
相信自己，就能走向成功的第一步
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
数学思维
可以让他们更理性地看待人生。