金融数学课程论文

一、二叉树模型中的参数估计

1.1 二叉树参数估计算法原理

想要预测股价二叉树，在知道初始值的前提下，还需要知道模型中的的u 和d ，但对于一支只知道对应于日期的股票价格，我们应该进行怎样的数据处理呢？下面通过实证数据对二叉树模型中的参数进行估计。 原理：Hull-White 算法

令2

1

=

p ，并用如下公式计算u 和d: t d u ii t

d

u i ∆=-∆+=+σμ2)(12

)

( 我们假设：

k

k k S X S S X S 11011++==，

这里k X 是独立的伯努利随机变量，2

1

]/Pr[]/[Pr 11=====--d S S u S S k k k k 则我们可以得出t u ∆和t ∆2σ的合理估计值为：

∑∑=-=-=-=n

k k k n k k S S n X n U 1

11)1/(1)1(1

其中：

])1/([111

2212

∑=----=n

k k k U n S S n s

U 和2s 是来自实际市场数据n S S S S ，，、、Λ210的样本均值和样本方差，我们可以

得出u和σ的估计值为：

t

s

t

U

u

∆

≈

∆

≈

σ

则：

t

t

d

t

t

u

∆

-

∆

+

=

∆

+

∆

+

=

σ

μ

σ

μ

1

1

1.2举例应用

我选用中国农业银行2013年的股票价格，具体数据见附件1.

由表可知，001986

.0

1

001986

.1=

-

=

U,010568

.0

=

s，这个二叉树中所用的t∆和与数据的t∆相同，公式u和d可以简化成：

56

.

55

0.991418

1

1.012554

1

=

=

-

+

=

=

+

+

=

S

s

U

d

s

U

u

做4期二叉树图为：

这里的t∆是一天，我们通过选择更大的时间间隔，令7

=

∆t，即以一周为一个时间段，则有：

56

.

55

0.977293

)7

(

)7(

1

1.033215

)7

(

)7(

1

=

=

-

+

=

=

+

+

=

S

s

U

d

s

U

u

4期二叉树图变为：

再15=∆t 令即以半个月为一个时间段，则有：

1.07072)15()15(1=++=s U u

988858.0)15()15(1=-+=s U d

56.550=S

4期二叉树图又变为：

由于该题的t ∆可以改变，时间间隔越长，股价“分叉”得更快。

二、 几何布朗运动估计与模拟

2.1几何布朗运动参数估计原理

令)(t S 代表某股票在t 时刻的价格，由以下公式给出S 的模型。 SdB Sdt dS σμ+=

其中，σμ、是常量，B 服从布朗运动，而该方程的解就是几何布朗运动。 即：

])2/(ex p[20t B S S t t σμσ-+=

其中，t B 是均值为0，方差为t 的正态随机变量，由此得到的就是股价的几何布朗运动模型。我们将采用修正的股价模型对欧式看涨期权进行定价，在此之前，要对股价模型进行参数估计，即波动率σ和漂移率μ。

假设我们得到了在一段较长时间[0, T]内的股价数据记录，这段时间由n 个长度相等的子区间t ∆组成，再假设我们知道每个子区间末的股价，将股价表示为：

S i ：第i 个子区间末的股价 样本观测值为n+1个； 令U 表示均值，则：

∑=-=n

i i

U

n U 1

1

样本方差用S 2表示，则：

2

1

1

2)()

1(∑=---=n

i i

U U

n S

而U 的观测值的均值为t ∆-)2/(2σμ，方差为t ∆2σ。 即：

t U ∆-=)2/(2σμ

t S ∆=22σ 最后算的参数μ和σ为：

t

S U ∆+=2

/2μ及t S ∆=/σ

而对于t B ，则需要随机产生一系列标准正态分布，通过累加处理获得计算所需要的值。

也可运用对数正态分布模型,即：

2(/2)0T W T

T S S e

σμσ+-=

其中，T W 是一个均值为0，方差为T 的随机正态分布变量，T W 的获取与t B 相仿。

2.2举例应用

我选用中国农业银行2013年的股票价格，具体数据见附件2.

计算股价，先随机生成均值为0，方差为n t ∆的正态分布随机数，而后进行处理生成预测值，结果如下：

而后将预测值与实际值进行比较，得到：