坐标轴平移
数学用坐标表示平移
函数图像的平移
函数图像的平移
在函数图像中，平移可以改变图 像的位置，但不会改变图像的形 状和大小。通过平移，我们可以 更好地理解函数的性质和变化趋
势。
函数图像的对称性
平移可以与函数的对称性相结合， 例如通过平移奇函数或偶函数的 图像，可以更好地理解函数的对
称性质。
函数图像的周期性
在周期函数中，平移可以用于研 究函数的周期性和振幅变化，帮 助我们更好地理解函数的周期性。
平移解释物理现象
在物理现象的解释中，平移可以用来解释物体的运动轨迹 和速度变化的原因，例如在流体动力学中，平移可以用来 解释流体运动的轨迹和速度。
总结与展望
06
平移在数学中的重要地位
基础概念
平移是几何学中的基本概念，是研究图形变换和运动的基础。通过 坐标表示平移，可以更精确地描述图形的位置和方向变化。
数学用坐标表示平移
目录
• 引言 • 平移在坐标系中的表示 • 平移的数学表示 • 平移的性质和定理 • 平移的应用 • 总结与展望
引言
01
平移的定义
01
平移是图形在平面内沿某一方向 移动一定的距离，而不发生旋转 或翻转。
02
平移不改变图形的形状、大小和 方向，只改变其位置。
坐标系简介
坐标系是用来确定点 在平面上的位置的一 组数轴。
物理学
在物理学中，平移可以用于描述物体的位置和速度，特别 是在经典力学和电磁学中，平移是研究物体运动规律和相 互作用的基础。
计算机图形学
在计算机图形学中，平移是计算机图形处理的基础技术之 一，可以用于实现图像的平移、缩放、旋转等变换操作。
经济学
在经济学中，平移可以用于描述经济现象的变化趋势，如 市场供需关系的变化、经济增长率的变动等。
坐标平移变换
展望未来研究方向
进一步研究坐标平移变换的理 论基础，包括变换矩阵的推导 、变换过程的数学描述等方面
。
探索新的坐标平移变换方法， 以适应不同应用场景和需求， 如非线性变换、多维变换等。
研究坐标平移变换与其他图像 处理和计算机视觉技术的结合 ，以提高图像处理和计算机视 觉系统的性能和鲁棒性。
06
总结与展望
总结
坐标平移变换是图像处理和计算机视 觉领域中的一种基本技术，用于将图 像或数据从一种坐标系转换到另一种 坐标系。
坐标平移变换可以通过线性代数和矩 阵运算实现，其中最常用的变换矩阵 是2x2和3x3的变换矩阵。
坐标平移变换通常用于纠正图像的几 何失真、拼接全景图像、增强机器视 觉系统的鲁棒性等方面。
图像旋转
通过坐标平移，可以将图像旋转一 定角度，实现图像的旋转处理。
在物理和工程领域中的应用
物理模拟
在物理模拟中，坐标平移 用于模拟物体在空间中的 运动轨迹和速度。
工程测量
在工程测量中，坐标平移 用于确定物体的位置和尺 寸，如建筑物的位置、桥 梁的长度等。
自动化控制
在自动化控制中，坐标平 移用于调整机器的位置和 方向，如自动化流水线、 机器人手臂等。
三维坐标平移变换的实例
要点一
总结词
三维坐标平移变换是指在空间中的移动，涉及x、y和z三个 坐标轴。
要点二
详细描述
在三维坐标系中，假设有一个点C(x,y,z)在空间中的坐标为 (5,7,9)，现在将点C向右平移3个单位，再向下平移2个单位， 最后向前平移1个单位，新的坐标变为(8,5,8)，即 C'(x',y',z')=C(x,y,z)+(dx,dy,dz)=(5,7,9)+(3,-2,-1)=(8,5,8)。
直角坐标系中的平移
课前检测
在平面内，把一个图形的整体沿某一直 线方向移动一定的距离，会得到一个新图形。
图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
2）图形平移的性质是什么？
新图形与原图形形状和大小完全相同。
对应点的连线平行且相等。
对应线段平行且相等。
对应角相等。
仔细观察，点A、 A1、 A2的位置与 坐标之间的关系，你发现了什么？
-5
-4
-3
-2
-1 0 -1-1
1
2 3 4x
不变，
-2-2
-3 -3
则有A1 (-2,3) ,B1 (-3,1) ,C1 (-5,2) 。 猜想: △ A1B1C1与△ABC的大小、 形状
和位置上有什么关系，为什么？
1.例题探索
如图， △ ABC三个顶点的坐标 A(4,3),B(3,1),C(1,2)
（4）将点A向左平移a(a>o)个单位长度得到点
An´，则 点An ´点的坐标是 （-2-a ，-3） ；
在坐标系中描出点A（-2，-3）并进行如下平移：
（1）将点A向上平移5个单位长度得到点A1，
则 点A1点的坐标是 （-2，2） ；
（2）将点A向上平移6个单位长度得到点A2，
则 点A2点的坐标是 （-2，3） ；
应点Ｐ的坐标应为（＿＿4，＿＿2＿.2＿）＿；
y４
Ｐ
●
３
２
４y
３
Ｐ
●
２
１
１
Ｏ １２ ３４ ５ －１
ⅹ
Ｏ １２ ３４ ５ －１
ⅹ
－２
－２
－３
－３
图１
图２
8、在直角坐标系中描出以下各点：
【数学课件】坐标轴的平移
2019/6/6
13
解：配方，得 （x-1）2+（y+2）2=4
这是以点为圆心，2为半径的圆， 平移坐标轴，将新原点移至点O（1，-2），移轴公式为
x ' = x-1 y ' = y+2 在新坐标系X ' O ' Y '中，圆的方程为 x ' 2+y ' 2=4 新坐标系和圆，如图
练习：P56、2、（1）
坐标轴的平移
2019/6/6
1
实例：
如图：以O为圆心以5为半径的圆
2019/6/6
2
讨论主题
点O的坐标在新、旧系中是否变化？ 曲线方程在新、旧系中是否变化？ 曲线性质在新、旧系中是否变化？
2019/6/6
4
结论：
点的坐标发生改变 曲线的方程发生改变 图象的性质未变
2019/6/6
3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种
最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身
坐标变换与参数方程1坐标轴的平移与旋转1坐标轴的平移
3二题，如果不移动图像，移动坐 标轴，该如何平移？
正好与上面图像平移方向相反
导学
圆心在O1(2，1)，半径为1的圆的方程为
(x2)2(y1)21．
对应图形如图所示．如果不改变坐标轴的方
向和单位长度，将坐标原点移至点O 1 处，那
么，对于新坐标系x1 O 1 y 1，该圆的方程就是
这是以点（－2，1）为圆心，3为半径的圆．平移坐标轴，
使得新坐标原点在点O（1 －2，1），
由公式2.1，得
x y
x1 y1
2, 1.
将上式代入圆的方程，得 x12 y12 9．
这就是新坐标 x 1 O 1 y 1 中圆的方程． 新坐标系和圆的图形如图所示．
练习与评价
1．平移坐标轴，把坐标原点移至O （1 －1，－3），求下列 各点的新坐标：
x12 y12 1．
导学
只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度的 坐标系的变换，叫做坐标轴的平移．
下面研究坐标轴平移前后，同一个点在两个坐标系中的坐标之 间的关系．反映这种关系的式子叫做坐标变换公式．
导学
如图所示，把原坐标系x O y 平移至新坐标系x1O1y1，O1在原坐标 系中的坐标为(x0，y0 )．设原坐标系 x O y 两个坐标轴的单位向量分别 为i和j，则新坐标系x1 O 1 y 1 的单位向量也分别为i和j，
所以方程简化为 x12 y12 11， 新坐标系的原点为 ( 3，2 )．
课堂总结
本次课学了哪些内容？
重点和难点各是什么？
课外能力强化
1、书面作业： 课本习题2.1.1（必做题） 习题集2.1.1（选做题） 学习与训练2.1（选做题）
2、实践作业： 实践指导2.1
坐标轴平移公式口诀讲解
坐标轴平移公式口诀讲解在数学中，坐标轴平移是一种常见的操作。
通过平移，我们可以将一个点或者一组点沿着坐标轴的方向进行移动，从而改变它们的位置。
为了方便计算和描述，数学家们总结出了一套简洁的坐标轴平移公式口诀，下面我们就来详细讲解一下。
我们需要了解一些基本概念。
在二维坐标系中，我们用x轴和y轴来表示平面上的点。
每个点都可以表示为一个有序对(x, y)，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
而坐标轴平移就是将点沿着x轴或y轴的方向进行移动，改变它们的位置。
接下来，让我们来介绍一下坐标轴平移的具体公式口诀。
1. 沿x轴正方向平移a个单位：对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x+a, y)。
2. 沿x轴负方向平移a个单位：对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x-a, y)。
3. 沿y轴正方向平移b个单位：对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x, y+b)。
4. 沿y轴负方向平移b个单位：对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x, y-b)。
通过上面的四条公式，我们可以实现在二维坐标系中沿着x轴和y 轴进行平移。
这些公式口诀非常简洁明了，方便我们进行计算和描述。
除了以上的基本平移方式，我们还可以进行组合和连续的平移操作。
下面我们分别来介绍一下。
1. 组合平移：如果我们需要先沿x轴平移a个单位，再沿y轴平移b个单位，可以使用以下公式口诀：对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x+a, y+b)。
这样就实现了在二维平面上的组合平移。
2. 连续平移：如果我们需要对同一个点进行多次平移操作，可以使用以下公式口诀：对于点(x, y)，先沿x轴平移a个单位，再沿y轴平移b个单位，平移后的点坐标为(x+a, y+b)。
这样就实现了在二维平面上的连续平移。
通过上面的介绍，我们可以看到坐标轴平移公式口诀非常简单易懂，方便我们进行计算和描述。
在实际应用中，我们可以通过这些公式来解决一些平移相关的问题，比如求解平面上两点之间的距离、求解平面上某点的对称点等等。
坐标变换和坐标系的平移
坐标变换和坐标系的平移坐标变换和坐标系的平移是数学中常见且重要的概念，它们在计算机图形学、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍坐标变换和坐标系的平移的基本概念、原理和用途，以及如何进行坐标变换和坐标系的平移。
一、坐标变换的概念和原理坐标变换是一种将一个坐标系中的点的坐标转换到另一个坐标系中的点的坐标的过程。
在二维平面中，我们通常用x、y表示一个点在直角坐标系中的坐标。
当我们需要将一个点从一个坐标系转换到另一个坐标系时，我们需要知道两个坐标系之间的关系。
坐标变换的原理基于线性变换的基本原理。
在二维平面中，我们可以使用矩阵乘法来表示坐标变换。
假设有一个点P=(x, y)在坐标系A中的坐标，我们希望将其转换到坐标系B中。
那么我们可以使用一个2x2的矩阵M，表示从坐标系A到坐标系B的变换。
坐标变换的过程可以表示为：[P'] = [M] [P]其中[P']表示点P在坐标系B中的坐标。
矩阵M的每个元素表示了坐标系的缩放、旋转和错切等变换。
通过选择不同的矩阵M，我们可以实现不同的坐标变换效果。
二、坐标系的平移坐标系的平移是指在原有坐标系的基础上，将整个坐标系沿着某个方向平移一定的距离。
在二维平面中，我们可以将一个坐标系中的点的坐标表示为(x, y)，将坐标系的平移表示为向量(t_x, t_y)。
那么在将点P从坐标系A平移到坐标系B时，我们可以使用以下公式进行计算：[P'] = [P] + (t_x, t_y)其中[P']表示点P在坐标系B中的坐标。
在这个过程中，不仅点的坐标发生了变化，整个坐标系也随之平移。
三、坐标变换和坐标系平移的应用坐标变换和坐标系的平移在计算机图形学、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
它们可以用于处理图像的旋转、缩放和平移，实现图像的变换和变形。
在物理学中，坐标变换可以用于描述和计算粒子在不同坐标系中的运动和相互作用。
在工程学中，坐标变换可以用于处理三维模型的变换和显示。
坐标轴平移及参数方程知识点
坐标轴平移及参数方程知识点一、坐标轴平移的概念坐标轴平移是指将整个坐标系在平面上进行平移操作，使得所有的点都按照同样的方式移动，保持相互之间的相对位置不变。
平移可以沿着水平方向或者垂直方向进行，也可以同时进行。
平移操作可以通过向所有的点添加或者减去一个常数来实现，这个常数就是平移的大小和方向的表示。
二、坐标轴平移的方法1.水平平移：若(x,y)为原坐标系中的任意一点，(x-a,y)就是新坐标系中的对应点。
其中a为平移的水平位移量，若a>0，则为向右平移；若a<0，则为向左平移。
2.垂直平移：若(x,y)为原坐标系中的任意一点，(x,y-b)就是新坐标系中的对应点。
其中b为平移的垂直位移量，若b>0，则为向上平移；若b<0，则为向下平移。
3.综合平移：若(x,y)为原坐标系中的任意一点，(x-a,y-b)就是新坐标系中的对应点。
其中a为平移的水平位移量，b为平移的垂直位移量。
三、参数方程的概念参数方程是一种用参数来表示函数关系的方法。
通常，一个函数y=f(x)可以写成两个参数x=g(t)和y=h(t)的关系，其中t为参数。
这种关系可以用来表示一条曲线在平面上的轨迹。
四、参数方程的性质1.参数方程表示的曲线可以同时考虑x和y的变化情况，可以更全面地描述曲线的特征。
2.参数方程中的参数可以是任意的，常常根据实际需要来选择。
参数的选择不同，可能得到不同的曲线。
五、参数方程的绘制方法1.把参数t的取值范围确定下来。
2.根据参数方程，依次求出对应于不同t值的x和y的坐标。
可以用表格的方式列出，或者直接用计算器求值。
3.连接所有的点，得到曲线的大致形状。
六、常见的参数方程1.直线的参数方程：x = at + b, y = ct + d，其中a、b、c、d为常数。
2.圆的参数方程：x = rcos(t), y = rsin(t)，其中r为半径，t为参数。
七、坐标轴平移与参数方程的关系x'=x+ay'=y+b将参数方程中的x和y分别替换为x'和y'，可以得到平移后的参数方程。
坐标系的平移
∴ 实轴长为 4, 中心 (3,1)
∴ 焦点坐标 (3 + 6 ,1), ( 6 + 3,1)
2 渐近线： y ′ = ± x′ 2 2 ∴ 原坐标系下的渐近线： y 1 = ± ( x 3) 2 (x h)2 ( y k )2 可以证明： = 1渐近线为令右边为 0的 2 2 a b 两条直线
无论 2 a 3的正负，都可设 ( x a ) 2 = 4 ( 2 a 3)( y 1 + a )
( y 2) 2 ∴ 双曲线方程 : ( x 3) 2 =1 4
例：已知双曲线4 x 2 9 y 2 8 x 18 y 5 m = 0的右焦点 为( 13 + 1,1), 求m的值
将原方程配方，得： 4 ( x 1) 2 9 ( y + 1) 2 = m ( m > 0 )
( x 1) 2 ( y + 1) 2 即： =1 m m 4 9
另解：由题意设双曲线 方程为 ( 2 x + y 8 )( 2 x y 4 ) = k
把点 ( 0, 4 2 + 2 ) 代入，得： k = 4
∴ 双曲线方程为 ( 2 x + y 8 )( 2 x y 4 ) = 4 , 整理得： 4 x 2 y 2 24 x + 4 y + 28 = 0
∴ 中心 (1, 1) 半焦距 c = 13
m m ∴ + = 13 m = 36 4 9
例：已知双曲线16 x 2 9 y 2 + 64 x + 18 y 89 = 0, 求顶点 在2 x 5 y 16 = 0上，对称轴为双曲线的虚轴所在的直 线且过双曲线两个焦点的抛物线方程
将原方程配方，得：16 ( x + 2 ) 2 9 ( y 1) 2 = 144
坐标轴平移及参数方程知识点(背诵版)
坐标变换与参数方程（背诵版）
1、坐标轴平移的坐标变换公式
若坐标系xoy 平移后得到新坐标系'''y o x ，'O 在原坐标系xoy 中的坐标是
)(00y x ，，设点P 在原坐标系xoy 中的坐标为)(y x ，，在新坐标系'''y o x 中的
坐标为)(''y x ，则有： ⎩
⎨⎧+=+=0'0'y y y x x x 。
2、已知倾斜角及过定点的直线的参数方程
过点),(00y x P ，倾斜角为θ的直线的参数方程为： )(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩
⎨⎧+=+=θθ 。
3、圆2
22r y x =+的参数方程： )(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x 。
4、圆2
22)()(r b y a x =-+-的参数方程： )(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 。
5、椭圆12222=+b y a x 的参数方程： )(sin cos 为参数θθ
θ⎩⎨⎧==b y a x 。
6、辅助角公式
x b x a y cos sin +=可化为： )sin(22ϕ++=x b a y 。
7、已知),(y x P 是圆222)()(r
b y a x =-+-或椭圆12222=+b
y a x 上的任意一点，求ny mx +的最大值或最小值。
解题方法： 先把圆或椭圆方程设成参数方程，再利用辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y 。
坐标轴的平移
一、教材分析1、坐标变换是化简曲线方程，以便于讨论曲线的性质和画出曲线的一种重要方法。
这一节教材主要讲坐标轴的平移，要求学生在正确理解新旧坐标之间的关系的基础上掌握平移公式;并能利用平移公式对新旧坐标系中点的坐标和曲线的方程进行互化。
这就是本节课的教学目的之一。
2、本教材的重点是平移公式的推导及其简单应用。
为了解决重点，教学中先以圆(x-3)2+(y-2)2=52化为x'2+y'2=52这个例子引入来说明，虽然点的位置没有改变曲线的位置、形状和大小没有改变，但是由于坐标系的改变，点的坐标和曲线的方程也随着改变，而且适当地变换坐标系，曲线的方程就可以化简，以此指明平移坐标轴的意义和作用，并由此引出平移的定义，导出平移公式。
在推导平移公式时，先从特殊到一般，通过观察、归纳、猜想和推导，得出平移公式，还引导学生运用代数中刚学过的复数的几何意义来证明，既开阔视野，沟通学科知识，又培养学生的思维能力，同时还可通过一组练习，让学生正用、逆用、变用平移公式，达到进一步加深理解、熟练掌握公式的目的，进而培养学生的发现、推理能力和教学思想方法。
3、本节教材的难点是平移公式两种形式何时运用，学生易产生混淆，教学中应通过实例让学生自己领会，并及时加以小结，掌握其规律，加强公式的记忆并培养灵活运用知识的能力。
4、本节寓德于教的要点，主要是通过事物变化过程的内在联系，认识变与不变的矛盾对立统一规律，对学生进行辩证唯物主义的教育。
二、教学过程(一)提出问题教师先在黑板上画出图形，让学生观察、思考并提问以下问题:1、如图，点O'和○O'关于坐标系xoy的坐标和方程各是什么?点O'和○O'关于坐标系x'o'y'的坐标和方程各是什么?两个方程，那一个较为简单?(学生回答，教师在黑板上板书:)直角坐标系点O'的坐标○O'的方程<在xoy中(3，2); (x-3)2+(y-2)2=52在x'o'y'中(0，0) x'2+y'2=52两个方程，显然后一个方程简单。
坐标轴的平移与旋转PPT
导学
不改变坐标原点的位置和单位长度，只改变坐标轴方向的
坐标系的变换，叫做坐标轴的旋转．
设点M在原坐标系 x O
y
中的坐标为(x,y)，对应向量ຫໍສະໝຸດ uuuur OM的模
为r，辐角为 ．将坐标轴绕坐标原点，按照逆时针方向旋转角
y
M
x1
形成新坐标系 x1 O y 1，点M在新坐标系x1 O y 1
y1
中的坐标为 (x1 , y1（) 如图），则
新坐标.
A(2， 0)， B(1， 3)， C( 2， 2)．
2.平移坐标轴，把坐标原点移至 π
O
（－1，1），然后再将坐
1
标轴旋转 4
，求原坐标系中点（1，2）的新坐标（精确到0.01）.
(2.12， 0.71)．
9
课堂总结
本次课学了哪些内容？ 重点和难点各是什么？
10
课外能力强化
1、书面作业： 课本习题2.1.2（必做题） 习题集2.1.2（选做题） 学习与训练2.1（选做题）
x1 y1
x y
x0， y0.
由公式（2.3）得
xy22
x1cos y1sin， y1cos x1sin.
因此得 xy2 2 ((xy xy00))ccooss ((yx yx0 0))ssiin n， .
8
练习与评价
π
1. 将坐标轴旋转 4
，求点 A (2 ， 2)， B (2 ， 22)， C (0 ， 2 )的
x 1
1 2
x
3 y， 2
y1
1 2
y
3 x. 2
将各点的原坐标分别代入公式，
得到各点的新坐标分别为
A (1 3 ， 1 3 )， B ( 1 3 ， 1 3 )， C (53 ， 5 )．
坐标轴的平移
x x x0 (2) y y y0
四、练习
P.44 练习A、B
五、作业
P.45 习题9-3A 13、14
例2 平移坐标轴，化简圆的方程x2+y22x+4y+1=0，并画出新坐标系和圆
三、小结
1、坐标变换，就是变换坐标系。适当地变换 坐标系，可以使曲线的方程简化，便于研究 曲线的性质。因此，坐标变换是研究曲线性 质的重要工具。 2、只改变原点位置，而不改变坐标轴的方 向和单位长度的坐标系的变换叫做坐标轴 的平移，简称移轴 3、移轴公式
x x0 x (1) y y0 y
y
y´ P
O´
x x x0 或 (2) y y y0
x´ x
O
公式 (1) 或 (2) 简称为移轴公式
例1 平移坐标轴，将坐标原点移到O´(3,-4), 求下列各点的新坐标：O (0, 0)，A (3, -4)， B (5, 2)，C (3, -2)
二、新课
1、移轴
移轴是坐标系变换的一种。若只改变坐 标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单 位长度的坐标系的变换，便叫做坐标轴的平 移，简称移轴。
x x0 x x x x0 (1) 或 (2) y y0 y y y y0
2、移轴公式 如图，把原坐标系xoy移轴至新坐标系 x´o´y´，o´在原坐标系的坐标为(x0,y0)，点P 在原坐标系的坐标为 (x, y)，在新坐标系的坐 y´ y 标为 (x´, y´)，则 P ∵ OP=OO´+O´P (x, y)=(x0, y0) + (x´,y´) x´ O´ =(x0+x, y0+y) x O
第五册坐标轴的平移
第五册坐标轴的平移简介在数学中，坐标轴的平移是指将坐标轴上的点沿着指定的方向和距离移动到新的位置。
平移是一种常见的坐标变换操作，常用于几何学、物理学和工程学等领域。
平移的定义平移是指将点或物体沿着指定方向移动固定的距离，而不改变其形状和大小。
在二维平面坐标系中，平移是通过将每个点的横轴和纵轴坐标值加上相应的平移量来实现的。
假设原始坐标轴上某点的坐标是(x, y)，平移向量为(a, b)，则平移后该点的坐标为(x + a, y + b)。
平移的性质平移具有以下性质：•平移不改变点的形状和大小，只改变其位置。
•平移是一种向量运算，平移向量的起点和终点分别对应原始点和平移后的点。
•平移是可逆的，即可以通过将平移向量反向使用来还原原始位置。
平移的示例下面通过示例来说明平移的过程和效果。
假设有一个二维平面坐标系，并给定一个点A(2, 3)，现要将该点向右平移3个单位，向上平移2个单位。
平移向量为(3, 2)，将其加在点A的坐标上得到新的坐标(2 + 3, 3 + 2)，即(5, 5)。
如下图所示：原始坐标系：|| A(2, 3)|+-----------------x平移后的坐标系：||| A'(5, 5)|+-----------------x平移的应用平移在几何学和物理学中有广泛应用。
下面列举一些常见的应用场景：几何学中的平移•平移用于构造图形的副本，生成对称图形，例如正方形的四个顶点通过平移可以得到一个新的正方形。
•平移也可用于解决几何中的问题，如两个图形是否重合、两个图形之间的关系等。
物理学中的平移•平移被应用于描述物体的运动，根据物体的位置和速度来计算下一时刻的位置。
•平移可以用于描述光线的传播方向和路径的改变。
工程学中的平移•平移可用于机器人和自动化系统中的路径规划与调整。
•平移也被应用于计算机图形学中的物体变换与动画效果的制作。
总结平移是将坐标轴上的点沿指定方向和距离移动到新位置的操作。
§11-5-坐标轴的平移
( 12 , 1)
( 5, -3 )
( 3,-2)
(-2, 1)
( h, k)
( 0, 0)
( -h, -k )
例1 平移坐标轴，化简圆的方程
x2 y2 2x4y10
并且画出新坐标系和圆．
y y’
o
-1 1
x
-2
O’
x’
例2：平移坐标轴，把原点移到O ' （2，-1），
(x
2)2 4
( y 1)2 9
A．(3，0) B．(1，-2) C．(-1，2) D．(0，3)
(2) 平移坐标轴，把原点移到O′(2，-3)， 使
M(x，y)变成M(-3，1)，则M点在原坐标系 中的坐
标为
[A ]
A．(-1，-2) B．(1，2) C．(-5，4) D．(5，-4)
(3)平移坐标轴，把原点移到O′(-3，-2)，则
可知新系原点在原系中坐 O ' 标为（-1，-3）,即把坐标 系平移到O '(-1,-3)
x'
y ' 2=4x '
例3：已知ΔABC周长为16，且点A、C的坐标 为A（-5,3）,C(1,3),求点B的轨迹方程。
分析：如图AC=6,AB+BC=10, 即点B到A,C的距离之和为10， 所以点B的轨迹是以A,C为两 焦点，10为长轴的椭圆。但 A,B,C三点不能共线。
2.公式：x
y
x’ y’
h k
其中（h，k）是O’在 原坐标系中的坐标
作业：P22 6
1,2,3
该椭圆的标准方程是
B(x,y) A(-5,3)
2x5'2+
y '2 16
坐标轴的平移初中数学教案
坐标轴的平移（初中数学教案）一、教学目标：1. 让学生理解坐标轴平移的概念，掌握坐标轴平移的规律。
2. 培养学生运用坐标轴平移解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作探究、归纳总结的能力。
二、教学内容：1. 坐标轴平移的定义及规律。
2. 坐标轴平移在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 坐标轴平移的规律。
2. 运用坐标轴平移解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究坐标轴平移的规律。
2. 利用实例分析，让学生了解坐标轴平移在实际问题中的应用。
3. 组织小组讨论，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过一个简单的实例，让学生初步了解坐标轴平移的概念。
2. 自主探究：引导学生发现坐标轴平移的规律，学生可以画图、讨论，总结平移的规律。
3. 讲解与演示：讲解坐标轴平移的规律，并通过几何画板或实物演示，让学生更直观地理解平移的过程。
4. 应用拓展：给出一些实际问题，让学生运用坐标轴平移的规律解决问题。
5. 总结与反馈：让学生总结本节课所学内容，并对学生的学习情况进行反馈。
6. 布置作业：设计一些有关坐标轴平移的练习题，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课堂表现，评价学生对坐标轴平移概念和规律的理解程度。
2. 通过小组讨论和问题解答，评估学生在实际问题中应用坐标轴平移的能力。
3. 通过课后练习和拓展活动，检测学生对所学知识的掌握和运用情况。
七、教学资源：1. 教学PPT或黑板，用于展示和讲解坐标轴平移的规律。
2. 几何画板或实物模型，用于演示坐标轴平移的过程。
3. 练习题和实际问题案例，用于学生的应用和实践。
八、教学进度安排：1. 第1-2课时：介绍坐标轴平移的概念和规律。
2. 第3-4课时：讲解坐标轴平移的原理和实际应用。
3. 第5-6课时：进行小组讨论和问题解答，巩固坐标轴平移的应用。
4. 第7-8课时：通过课后练习和拓展活动，评估学生的学习成果。
坐标轴的平移
关于 x ，y 的新方程；
（２）令新方程中一次项的系数和常数项为０,得 到关二 k ， 的方程组； h （３）解这个方程组，求出 k ，h 的值； （４）将 k ，h 的值代入订报方程，就得到曲线 在新坐标系中化简了的新方程。
小结
1、坐标轴平移的特征和作用；
2、坐标平移公式； 3、化简曲线方程；
代入上式，得
y' 4 x'
2
2 2 例2 利用坐标轴平移，化简方程9 x 4 y 18 x 16 y 11 0
使新方程不含x、y的一次项。
解：将方程分别按 x、y配方，得
9( x 2 2 x 1) 4( y 2 4 y 4) 36
即
9( x 1) 2 4( y 2) 2 36
练习：
平移公式 1、如图，把原点O移到O ' （3，-4）， x ' =x-h, 求各点的新坐标： y ' =y-k
A（3，-2）B（6，2）C（-3，-2） 解： x ' =x-h, y ' =y-k
h=3,k=-4 则x ' =3-3=0, y ' =-2+4=2 即A ' （0，2）同理得
C O x A
(1)
即 2 y2 5 x 4(k 3) y (2k 2 5h 12k 13) 0 (2) k 3 0
根据题意，令 解方程组，得
2k
2
5h 12k 13 0
, h 1
2 y 2 5 x 0
k 3
代入（２）式，得新坐标系下的方程为
作业：
1、阅读教材Ｐ194_198
2、书面作业Ｐ199第２、３题
坐标平移规律
坐标平移规律坐标平移规律是指在几何中，将一个图形的所有点按照一定的规律向某一方向进行位置的变换。
它利用了原来位置的坐标信息，以及新位置的坐标信息，来推导出变换规律。
一般来讲，坐标平移规律有三种形式：一、直角坐标系下的平移（以水平和竖直方向平移为例）：对于水平方向而言，新的x坐标 = 传入的x坐标 + 水平平移量；而对于竖直方向而言，新的y坐标 = 传入的y坐标 + 竖直平移量；二、极坐标系下的平移：新的极坐标半径r = 传入的极坐标半径r；新的极坐标角度α = 传入的极坐标角度α + 极坐标平移量；三、椭圆坐标系下的平移：新的椭圆坐标u = 传入的椭圆坐标u + 椭圆坐标平移量；新的椭圆坐标v = 传入的椭圆坐标v + 椭圆坐标平移量；无论是直角坐标系、极坐标系还是椭圆坐标系，坐标平移规律都是一样的，都是以原来位置的坐标信息，加上一定的平移量，来确定新位置的坐标信息。
坐标平移是几何变换的一种，也是一种常见的图形变换方法。
它可以用来将一个图形从某一位置移动到另一位置，或者将一个图形的某一部分移动到另一位置。
坐标平移的基本思想是，将一个图形的所有点按照一定的规律向某一方向进行平移，使得图形的外观不变，只是位置改变了。
坐标平移也可以用来实现多边形的旋转，其思想是，将一个多边形的各个顶点按照一定的规律进行平移，使得多边形的内角不变，只是位置改变了，因此可以实现多边形的旋转。
坐标平移还可以用来实现缩放，其思想是，将一个图形的各个点按照一定的规律进行平移，使得图形的外观不变，但是坐标之间的距离发生变化，从而实现缩放效果。
坐标平移规律可以用来实现各种形状的变换，这在计算机图形学中有重要意义，是计算机图形学中一种重要的算法。
它可以用来实现平移、旋转、缩放等几何变换，也可以用来求解各种形状的外观参数。
坐标平移规律的应用可谓无处不在，它可以作为一种简单而高效的变换方法，用于处理复杂的几何图形。
平面直角坐标系平移问题
平面直角坐标系平移问题说到平面直角坐标系平移问题，咱们可能马上会想到什么复杂的数学公式啦，坐标轴啦，什么X轴、Y轴的，听着就让人有点头大。
其实呢，咱们把它看得简单一点，平移问题就好比你在街上走，突然决定要去另一个地方，怎么走，走多远，走的方向怎么样。
就这么简单！想象一下，你走在大街上，原本站在商店门口，忽然你想到，不如去对面的咖啡馆。
你怎么去？走一步，走两步，走到街角右转，到了咖啡馆。
你只是改变了位置，但你站的地方还是在那条街上。
你理解了吧？平移问题就是这么个意思。
在数学上，平面直角坐标系就是你站在的这个“起点”。
我们常常说，这个起点的位置很重要，它决定了你在哪里。
而且呢，这个坐标系就像一个超大的二维“地图”，在这个地图上，你的位置就是由两个数字来决定的：X和Y。
X决定你横向在哪里，Y决定你纵向在哪里。
简单来说，X轴就像东西走向的街道，Y轴就是南北走向的大道。
你站在这个交点上，位置就确定了。
然后你决定不待在这儿，去另外一个地方。
怎么去呢？你就得“平移”——就是按某个方向走，走多远就看你想去多远。
你可以不光是直线走，还可以偏左偏右，走得快一点慢一点，只要你能理解自己位置的变化，这就是平移。
平移最有趣的地方就是，它不改变你在坐标系里的方向和形状。
说白了，你只是换了一个地方，原地不动，但你的位置完全不同了。
它就像是你穿越到了一个新城市，生活一切照旧，环境不同而已。
举个例子，如果你现在站在坐标(1,2)的地方，想去(4,2)的位置，你就得沿着X轴走3步。
看！你没改变纵向位置，Y值还没动，但横向就完全不同了。
有意思的是，平移的过程可以非常自由。
你可以让X值增加，也可以让Y值减少，甚至让它们都同时发生变化。
这就像你在坐标系里玩儿滑梯，往上滑往下滑，或者左右移动，走得快慢自由自在。
数学上就是这种“转身不换脑袋”的大智慧。
你在变化中，原本的那个形状不会被打乱，完全是新环境里的“复刻品”。
不管怎么转、怎么走，你原本的样子、大小不变。
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讲课人：李洋洋
y
y
吴勇星 张小勇 黄 柳 杨德鑫 薛 聪 姚佳琪
吴春雷
张
丽
高杨杨
曹天祥
陈尔源
沈恒莲
张
诚
章海洋
O
钱培培 刘 玲 张林飞 陈亨宜 胥锡城 陈淑杰
x
石苏琴
x
O 花诚瑶 贾栋梁 冯 茹 于志鹏 王林丽 朱鑫峰 吴宇洋
怎么会这样？
苏轼的《题西林壁》
横看成岭侧成峰，
远近高低各不同。
x x x0 y y y0
其中(x，y)为点在坐标系xOy中的坐标，(x，y)为 点在坐标系xOy中的坐标． 这个公式叫做坐标轴平移的坐标变换公式．
记住公式的特征哦.
y
y
0-4,2 1 -2,2 0,2 1,2 6,3） ,3 ） （ ,3 ） （ 2,3 ） （-1,2 3,3 ） （ 4,3 5,3 （ -3,2 ） （ ） （2,2
B
O O D
A C
x x
在坐标系xOy中， 点 A B C D A、B、C、D各点 坐标 (1,0) (-2,1) (0,-1) (-1,-1) 的坐标是什么？ 新坐标 (3,1) (0,2) (2,0) (1,0) 在坐标系xOy中， A、B、C、D各点 的坐标是什么？
y
y
坐标系xOy是原坐 标系xOy平移后得到的 一个新坐标系． 新坐标系原点O在 坐标系xOy中的坐标是 (-2,-1)． 两个坐标系中的 坐标有何关系？ 点 坐标
探究 1、在数轴上,以 O 为原点,点 A 的坐标是什么？ 以 O 为原点,点 A 的坐标是什么？
O
0 1
A O'
2 3
x
图16-1
探究 2、在坐标系 xOy 中，点 B 的坐标是什么？ 在坐标系xOy中，点 B 的坐标是什么？
y y'
B
2 1
x' x
1 2 3
-1
O
图16-2
y
y
只改变坐标原点位 置，而不改变坐标轴 方向和单位长度的坐 标系变换，叫做坐标 轴平移．
吴春雷
以教室座位为例，我们如果以最后 吴勇星 张小勇 黄 柳 杨德鑫 薛 聪 姚佳琪 面，最左边为坐标原点，向右为轴 （ -4,1 -3,1 ， （ ） （ ） （ 2,1 0 ）（ 1 -2,1 1） 0,1 1,1 ,2正方向，向前为轴正方向，找找自 ,2 ） （ 2,2 ）（-1 3,2 4,2 5,2 6,2） 沈恒莲 张 丽 高杨杨 曹天祥 陈尔源 张 诚 章海洋 己的坐标。如果换成课代表为原点 x O （-4， 0 ） （ -3,0 ） （ -2,0 ）（ -1,0 ） （ 0,0 ） （ 1,0 ） （ 2,0 ） 呢？ 钱培培 2,1 陈亨宜 3,1 胥锡城 4,1 陈淑杰 5,1 石苏琴 6,1 0,1 1,1 刘 玲 张林飞 x （0，-1） （-4，-1） （-3，-1） （-2，-1） （-1，-1） （1，-1） （2，-1） 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
B
O O D
A C
x x
A(-2,1) (0,-1) (-1,-1) (0,2) (2,0) (1,0)
点在xOy中的坐标减 新坐标 (3,1) 去在坐标系xOy的坐 标的差都是(-2,-1)．
坐标系xOy平移后得到新坐标系xOy，O在原坐 标系xOy中的坐标是(x0，y0)，则有
O 花诚瑶 贾栋梁 冯 茹 于志鹏 王林丽 朱鑫峰 吴宇洋