2012年北京市高考数学试卷文科教师版

2012年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（2012?北京）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）C．﹙，3﹚D．（．（﹣1，）3，+∞）（﹣∞，﹣A．1）B【分析】求出集合B，然后直接求解A∩B．【解答】解：因为B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，＞}，{x|x3x+2＞0﹜=∈又集合A={xR|＞}∩{x|x＜﹣1或x＞3x|x}={x|x＞3}，∩所以AB={故选：D．对应的点的坐标为（北京）在复平面内，复数）．（5分）（2012?2 D．（3，﹣1）B．（3，1，A．（13））C．（﹣1，3）==1+3i，能求出在复平面内，【分析】由复数对应的点的坐标．【解答】解：∵===1+3i，∴在复平面内，复数对应的点的坐标为（1，3），故选：A．3．（5分）（2012?北京）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）B．A．C．D．【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S=4，1．满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，，π面积为=4﹣P=2的概率∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于故选：D．）2012?北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（4．（5分）（16D．．2B．4C8．A的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．K列出循环过程中【分析】S与，S=1，k=11【解答】解：第次判断后，k=22第次判断后S=2，，S=83第次判断后，k=3第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选：C．x的零点个数为（﹣（北京）函数f（x）=x））5．（5分）（2012?C．A．0B．12D．3【分析】先判断函数的单调性，由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数，故函数f（x）为单调增函数，而f（0）＜0，f（）＞0由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点【解答】解：函数f（x）的定义域为[0，+∞）在定义域上为增函数﹣在定义域上为增函数，y=∵y=在定义域上为增函数=f（x∴函数）而f（0）=﹣1＜0，f（1）=＞0的零点个数为1个f（故函数x）=故选：B．6．（5分）（2012?北京）已知{a}为等比数列，下面结论中正确的是（）n2222aaB．a ≥+≥A．a+a2a231213C．若a=a，则a=aD．若a＞a，则a＞a24131231，当且仅当a，q同为正时，a+a=+a≥2a成立；【分析】a2132132；若a=a，则a=aq，从，所以131122﹣1），其q﹣a=a（，则；若a＞aaqq＞a，而aa=a而可知a或a=﹣12311421121正负由q的符确定，故可得结论．，当且仅当a，qa【解答】解：设等比数列的公比为q，则+a=同为213不正确；成立，故A+正时，aa≥2a213正确；，∴，故B22=1，∴q=±1，∴a=a或a=﹣a，故=a=a若a，则aq，∴qC不正确；2112131122﹣1），其正负由q（q=a﹣a，∴qa，则＞a若a＞aaq的符确定，故D不1411312正确故选：B．7．（5分）（2012?北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）+1212D．60．30+6C．56+A．28+6B利用三视图的数据求出几何体的表面【分析】通过三视图复原的几何体的形状，积即可．的三角形，和5【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4，如图，，底边长为5一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，=10=S所以底，=S后，=10=S右．=S=6左．6S++S=SSS+=30+几何体的表面积为：左后右底．B故选：8．（5分）（2012?北京）某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系如图所示．从n目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）11D．7C．9A．5B．可分析n之间的关系，年的总产量S与【分析】由已知中图象表示某棵果树前n出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案．）点，nP（Sn年的总产量S与n在图中对应【解答】解：若果树前的斜率OP则前n年的年平均产量即为直线的斜率最大OP由图易得当n=9时，直线年的年平均产量最高，9即前．C故选：分．30小题，每小题5分，共二、填空题共622．=4截得的弦长为y=x被圆x）+（y﹣2．9（5分）（2012?北京）直线的距离，利用垂径定理y=x【分析】确定圆的圆心坐标与半径，求得圆心到直线构造直角三角形，即可求得弦长．222），半径为0，2（y﹣2）的圆心坐标为（=4【解答】解：圆x+的距离为∵圆心到直线y=x22截得的弦长为2=∴直线y=x被圆x+（y﹣2）=4故答案为：，=a，S若S为其前n项和，a=}北京）510．（分）（2012?已知{a为等差数列，3n1n2．=S，1=则a n2以及等差数列的从而可求出第二项，根据等差数列的性质可求出公差，【分析】．前n项和．【解答】解：根据{a}为等差数列，S=a+a=a=+a；2322n1∴d=a﹣a=23∴a=+=12=S=n，1故答案为：，，则∠C的大小为，（2012?北京）在△ABC中，若a=3b=11．（5分）．，可求得∠B，从而可得∠利用正弦定理=C的大小．【分析】【解答】解：∵△ABC中，a=3，b=，，，=得：=∴由正弦定理∴sin∠B=．又b＜a，∴∠B＜∠A=．∴∠B=．∴∠C=π﹣﹣=．故答案为：．22）（b）+）ab=1，则f（af（．12（5分）（2012?北京）已知函数fx）=lgx，若f （=2．2222=2lg+b）=lga（=1，知falgb）+f（）），（【分析】由函数fx）=lgxf（ab=lg（ab（ab）．由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，2222lgb）=lgabf（a）+f（+2=2lg（ab）=2）（=lgab．故答案为：2．13．（5分）（2012?北京）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则．1的值为直接利用向量转化，求出数量积即可．【分析】＜＞．===1【解答】解：因为=1故答案为：x．若=22﹣，3）g（x）x）=m（x﹣2m）（x+m+（．14（5分）（2012?北京）已知f，m的取值范围（4（fx）＜0或g（x）＜0，则?x∈R，x）+3（x+m﹣（x）=m（x2m）根据题意有由于【分析】g（x）=22﹣≥0时，x ≥1，f时成立，根据二次函数的性质可求＞1＜0在xx，0（x）≥时，2，当x≥1=2【解答】解：∵g（x）g﹣0）＜（xx（）＜0或g又∵?x∈R，f时恒成立≥10在xm2m）（x++3）＜（（∴此时fx）=mx﹣）的0轴交点都在（1，则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x左面＜＜则＜0m＜＜∴﹣4），40（﹣故答案为：三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．．）=f（x（13分）（2012?北京）已知函数15．）的定义域及最小正周期；（1）求f（x）的单调递减区间．（2）求f（x即可2x﹣）﹣1x）化为（fx）=sin（∈【分析】（1）由sinx≠0可得x≠kπ（kZ），将（f求其最小正周期；x﹣≤2kπ+，2x﹣）﹣1，再由2kπ+≤2x（2）由（1）得f（x）=（sin）的单调递减区间．kπ（k∈Z）即可求f（x≠，x≠kπ（k∈Z）【解答】解：（1）由sinx≠0得．Z}∈≠kπ，k故求f（x）的定义域为{x|x=）∵f（x=2cosx（sinx﹣cosx）=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1=π．x）的最小正周期T=∴f（（2）∵函数y=sinx的单调递减区间为[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）∴由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，x≠kπ（k∈Z）得kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z）∴f（x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]（k∈Z）16．（14分）（2012?北京）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△ADE的位置，1使AF⊥CD，如图2．1（1）求证：DE∥平面ACB；1（2）求证：AF⊥BE；1（3）线段AB上是否存在点Q，使AC⊥平面DEQ？说明理由．11．；ACBAB的中点，易证DE∥平面，（1）DE分别为AC，【分析】1⊥平AFF⊥CD，可证，从而有DE⊥AF，又A）由题意可证（2DE⊥平面ADC1111，问题解决；面BCDE⊥DEDEPDEQ即为平面，由Q，则PQ∥BC，平面C（3）取A，AB的中点P，11CA ⊥平面DEP，从而底边AC的中点，可证AC平面，P是等腰三角形DAC1111．DEQ ⊥平面的中点，ABAC，）∵1D，E分别为【解答】解：（，CB平面A∥BC，又DE?∴DE1．CB∥平面A∴DE1，∥BC⊥BC且DE（2）由已知得AC，⊥AC∴DE，⊥CDD，又DE∴DE⊥A1，DC?平面A⊥平面DEADC，而AF∴111，CDF⊥⊥AF，又ADE∴11，⊥平面BCDEF∴A1．⊥BE∴AF1，C．理由如下：如图，分别取ACQ，使A⊥平面DEQ上存在点）线段（3AB111．BC，则QPQ∥的中点ABP，1，∥DEBC∵．PQ∴DE∥．即为平面∴平面DEQDEP由（Ⅱ）知DE⊥平面ADC，1∴DE⊥AC，1又∵P是等腰三角形DAC底边AC的中点，11∴AC⊥DP，1∴AC⊥平面DEP，从而AC⊥平面DEQ，11故线段AB上存在点Q，使AC⊥平面DEQ．11北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃2012?13分）（17．（圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，1000为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计；吨生活）试估计厨余垃圾投放正确的概率；1（）试估计生活垃圾投放错误的概率；（2箱的投放量分别其他垃圾”可回收物”箱、“3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“（2最大时，写出s，c的方差+c=600．当数据a，ba为ab，，c，其中a＞0，+b2的值．s的值（结论不要求证明），并求此时，ab，c2的平x，x…，=（求：S[，+…++]，其中为数据xn21均数）吨，故可求厨余垃圾投”600（1）厨余垃圾吨，投放到“厨余垃圾箱400【分析】放正确的概率；故可求生活垃圾投放错误的概率；60200）（2生活垃圾投放错误有++20=30020+，=（3）计算方差可得2sc=0时，有，b=0，，因此有当a=600=80000．【解答】解：（1）由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，；故厨余垃圾投放正确的概率为（2）由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错；误的概率为（3）由题意可知：∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均数为200，=∴2222222，因此有当a=600，b=0+c，2bc+2ac≥ac=0∵（a+b+c）+=ab+b时，+c+2ab+2=80000．有s23+bx．（x）=x）+1（a＞0，分）18．（13（2012?北京）已知函数f（x）=axg （1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；（2）当a=3，b=﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．【分析】（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；32﹣9x+=x1+3x，求导函数，确=fx）（x）+g（x）b=（2）当a=3，﹣9时，设h（定函数的极值点，进而可得k≤﹣3时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值为h （﹣3）=28；﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28，由此可得结论．2+1（a＞0），则f′（x）1f（x）=ax）=2ax，k=2a，【解答】解：（132+b，k=3+bbx，则g′（x）=3x，xg（）=x+2由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①又f（1）=a+1，g（1）=1+b，∴a+1=1+b，即a=b，代入①式，可得：a=3，b=3．32﹣9x3x+（x）=x1+=f﹣9时，设h（x）（x）+g（2）当a=3，b=2+6x﹣9，则h′（x）=3x令h'（x）=0，解得：x=﹣3，x=1；21∴k≤﹣3时，函数h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调增，在（﹣3，1]上单调减，（1，2）上单调增，所以在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）=28﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28所以k的取值范围是（﹣∞，﹣3]19．（14分）（2012?北京）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；时，求的面积为k的值．（Ⅱ）当△AMN，可建立方程组，【分析】（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为从而可求椭圆C的方程；22222k+）xx﹣消元可得﹣1）与椭圆C联立（1+2k4ky=k，（Ⅱ）直线（x ﹣4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离，利用△AMN的面积为，可求k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，∴∴b=；的方程为C∴椭圆22222k+﹣4kxx+（消元可得12k）C）﹣（直线，（Ⅱ）y=kx1与椭圆联立﹣4=0，则x+x=，）M（x，y，N（x，y）设212211=MN|=∴|∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为S=的面积∴△AMN∵△AMN的面积为，∴∴k=±1．20．（13分）（2012?北京）设A是如下形式的2行3列的数表，满足性质P：a，b，c，d，e，f∈[﹣1，1]，且a+b+c+d+e+f=0．记r（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），C（A）为A的第j列各数之和（j=1，ji2，3）；记k（A）为|r（A）|，|r（A）|，|c（A）|，|c（A）|，|c（A）32211|中的最小值．）的最大值；A．求≤≤其中﹣1d0k（）的最大值．（kA，求列的数表行的（Ⅲ）对所有满足性质P23Aj【分析】（），i=1行各数之和（的第A）为（Ar1）根据i2的第AC，）为A（ji列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r（A）|，|r（A）|，|c（A）|，121|c（A）|，|c（A）|中的最小值可求出所求；32（2）k（A）的定义可求出k（A）=1+d，然后根据d的取值范围可求出所求；（III）任意改变A三维行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所**）（A（A）得数表A=k仍满足性质P，并且k因此，不防设r（A）≥0，c（A）≥0，c（A）≥0，然后利用不等式的性质可211知3k（A）≤r（A）+c（A）+c（A），从而求出k（A）的最大值．211【解答】解：（1）因为r（A）=1.2，r（A）=﹣1.2，c（A）=1.1，c（A）=0.7，2211c（A）=﹣1.8，3所以k（A）=0.7（2）r（A）=1﹣2d，r（A）=﹣1+2d，c（A）=c（A）=1+d，c（A）=﹣2﹣322112d 因为﹣1≤d≤0，所以|r（A）|=|r（A）|≥1+d≥0，|c（A）|≥1+d≥0321所以k（A）=1+d≤1当d=0时，k（A）取得最大值1（III）任给满足性质P的数表A（如下所示）abcdef任意改变A三维行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数**）A）=k（P，并且k（表AA仍满足性质因此，不防设r（A）≥0，c（A）≥0，c（A）≥0，211由k（A）的定义知，k （A）≤r（A），k（A）≤c（A），k（A）≤c（A），211从而3k（A）≤r（A）+c （A）+c（A）=（a+b+c）+（a+d）+（b+e）=（a+b+c+d+e+f）211+（a+b﹣f）=a+b ﹣f≤3所以k（A）≤1由（2）可知，存在满足性质P的数表A使k（A）=1，故k（A）的最大值为1．。