《复变函数》教学资料 第八章第三节
复变函数 全套课件
w1
8
2cos
9 16
i
sin
9 16
,
23
w2
8
2
cos
17 16
i sin 1176,
w3
8
2cos
25 16
i sin 2156.
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
w2
o
w0 x
w3
24
三、典型例题
例1 对于映射 w z 1 , 求圆周 z 2的象. z
3
三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
指数表示法
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
复数可以表示成 z rei 称为复数 z 的指数表示式.
4
方根
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
6
2cos
12
i
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
22
例 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8
复变函数-第8章
设 u ( x, y ) ≡ a ∈ R, 根据C-R方程求它的共轭调和函数 v( x, y ).
∂v ∂u = = 0, ∂y ∂x ∂v ∂u =− = 0. ∂x ∂y
⇒ v ( x, y ) ≡ b ∈ R ⇒ f ( z ) ≡ a + ib.
10
§8.2 平均值定理与极值定理
1. 平均值定理
6
不唯一
例8.1.1 构造一个实部为 u ( x, y ) = x 3 − 3 xy 2 + y 的解析函数. 解: 由于
∂ 2u ∂ 2u + 2 = 6x − 6x = 0 2 ∂x ∂y
所以 u ( x, y ) 在整个平面上调和. 下面求函数 v( x, y ) , 使得函 数 u ( x, y ) 和 v( x, y ) 满足看柯西-黎曼方程. 由于
e
f (z)
=e
u ( z ) + iv ( z )
=e
u( z)
e
iv ( z )
=e
u(z)
实指数函数
再由实指数函数的单调性知 u ( z ) 的极值只能在边界上取到. 15
§8.3 泊松(Poisson)积分公式与狄利克雷 (Dirichlet) 问题
1. 泊松积分公式
u ( x, y ) = u ( z ) = u (r , θ ) = u (re iθ ) ∈ R
∂ 2u ∂ 2u 调和函数是拉普拉斯方程 + 2 = 0 的二次连续可微解. 2 ∂x ∂y
上节已经证明解析函数的实部和虚部都是调和函数. 同时也 讨论了, 给定一个调和函数如何构造其共轭调和函数. 为了 方便起见, 有时利用 u (z ) 来代替 u ( x, y ) . 定理 8.2.1 (平均值定理)如果函数 u (z ) 是圆 | z − z0 |< R 内的 一个调和函数, 在闭圆 | z − z0 |≤ R 上连续, 则
复变函数与积分变换第八章
证明
令
二、延迟性质与位移性质
1. 延迟性质
性质 设当 t < 0 时
则对任一非负实数 有
注意 在延迟性质中专门强调了当 t < 0 时 因此，本性质也可以直接表述为：
这一约定。
可见，在利用本性质求逆变换时应为：
解 方法一 已知 根据延迟性质有
方法二
方法一 先充零再平移 方法二 先平移再充零
两种方法为什么会得到不同的结果？
一、Laplace 变换的引入
1. Fourier 变换的“局限性”？
广义 Fourier 变换的引入，扩大了古典 Fourier 变换的适 用范围，使得 “缓增” 函数也能进行 Fourier 变换，而且 将周期函数的 Fourier 级数与 Fourier 变换统一起来。
广义 Fourier 变换对以指数级增长的函数如
积分在
上处处发散.
根据定理8.2，存在实数s (或是)使得在
上, 积分
收敛, 而在
上，积分
处处发散. 在收敛区域内，
Laplace变换的像函数
虚轴
析函数.
是s的解
Os
实轴
四、几个常用函数的 Laplace 变换
(1) [1]= [ ] (2) [ ]
解 (2)
含脉冲函数的 拉氏变换问题
四、几个常用函数的 Laplace 变换
因此在进行Laplace变换时，常常略去存在域， 只有在非常必要时才特别注明。
(2) 在 Laplace 变换中的函数一般均约定在 t < 0 时为零， 即函数 等价于函数
比如
类似于幂级数中
，有下面定理.
定理8.2 如果
在
处收敛，则这个积分在 由这个积分确定的函数
弹性力学课件：第八章复变函数解
第六章平面问题——的复变函数解弹性力学解法的限制边界条件的描述和表达多连域变形单值连续条件应用复变函数数学基础目录§6.10应力函数的复变函数形式§6.11应力与位移的K-M函数表示§6.12多连域应力与位移单值条件§6.13保角变换§6.14孔口问题应力函数可以用两个解析函数表示§6.10应力函数的复变函数形式古尔萨（Goursat ）公式应力解法)()()()(),(2f f z z z z z z z z U χχϕϕ+++=或者)]()(Re[),(f z z z z z U χϕ+=ϕf (z)和χ(z)均为单值解析函数。
克罗索夫－穆斯赫利什维利函数简称K-M 函数——应力函数——复变函数描述§6.11应力与位移的K-M 函数表示罗克索夫公式应力分量的复变函数表达——ϕf (z)和y (z)表示的应力分量)('Re 4])(')('[2f f f z z z y x ϕϕϕσσ=+=+)]()('[2z Ψz Φz +=])()([2z Φz Φ+=)](')(''[22f z z z i xy x y y ϕτσσ+=+-)('d )(d )(f f z z z z Φϕϕ==z z z Ψd )(d )(y =引入•位移的复变函数表达)()(')(13)i (2f f z z z z vv v u G y ϕϕ--+-=+•已知ϕf (z)和y (z), 可以确定位移分量。
•对于平面应变问题，只须将弹性模量和泊松比作对应的替换则可。
K-M 函数ϕf (z)和y (z)描述的面力边界条件。
sF F z z z z sy sx AB d )i (i )()(')(f f +=++⎰y ϕϕ边界点的确定函数K-M 函数由内向边界趋近值•求解弹性力学平面问题•——给定边界条件下求解双调和方程•变换为在给定的边界条件下寻找解析函数•确定K-M 函数ϕf (z)和y (z)，则应力、位移和应变就可以完全确定。
第八章 拉氏变换
例1. 求f ( t ) cos kt的Lapace 变换，k为实数。
1 ikt L[cos kt] L[ (e e ikt )] 2 1 1 ikt L[e ] L[e ikt ] 2 2 1 1 1 2 s ik s ik
s 2 2 s k
当Re(s)-k>0时收敛，于是当Re(s)>k 时，上述积分收敛 而且
L[ f ( t )]
1 ( s k ) t e sk
0
1 (Re( s ) k ) sk
华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教 案 East china university of science and technology
一、 Laplace变换的定义
0, t 0 设指 数衰减函 数 ( t ) t ( 0) e , t 0
考虑f ( t ), t (,), 有
若存在 0, 使 lim e
t t
f (t )u(t ) f ( t ), t 0时.
同理可得
k L[sin kt ] 2 s k2
华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教 案 East china university of science and technology
相似性质
若L[ f ( t )] F ( s ), 则 1 L[ f (at )] F ( s / a ) a 例2 求L[sinat]
1 解： L[t cos t ] L[t 2 (1 cos 2t )] 2
2 2
1 d2 2 ds2
s 1 s s2 4
2( s 6 24s 2 32) s 3 ( s 2 4) 3
【复变函数】-史上最全--上资料PPT课件
复变函数的积分、级数、留数、
共形映射、傅立叶变换和拉普
拉斯变换等
2021
3
学习方法 复变函数中许多概念、理论、和
方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处. 但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的性质与结果
2021
4
背景
•十六世纪,在解代数方程时引进复数 •为使负数开方有意义，需要扩大数系，使实数域扩 大到复数域
例2:求
1i 4
1i
1 i i 1 i
2021
12
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
2021
13
1. 点的表示
易见 z， xiy 一对有(序 x,y)实 , 数 在平面上取定直系角，坐则标
任意P点(x, y)一对有序(实 x, y数 ) zxiy平面上的 P(x点 , y) 复z数 xiy可 用 平 面(x上 ， y)的 坐P 点 标 表为 .示 此时 x轴， —实 轴 y轴—虚 轴
•在十八世纪以前，对复数的概念及性质了解得不清 楚，用它们进行计算又得到一些矛盾.在历史上长时 期人们把复数看作不能接受的“虚数”
•直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与 L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意 义和物理意义，澄清了复数的概念
•应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些 问题.复数被广泛承认接受，复变函数论顺利建立和 发展.
z=0时，辐角不确定.
计算
argz(z≠0) 的公式
arg
z
arctan y x
2
arctan
《复变函数》教案
《复变函数》教案第一章：复数的概念与运算1.1 复数的基本概念介绍复数的定义：形如a + bi 的数，其中i 是虚数单位，i^2 = -1。
解释实部和虚部的概念。
强调复数是实数域的拓展。
1.2 复数的运算掌握复数加法、减法、乘法和除法的运算规则。
举例说明复数运算的实质：代数形式的运算。
1.3 复数的几何表示引入复平面（复数坐标系）。
讲解复数在复平面上的表示：点的坐标。
介绍共轭复数的概念及其在复平面上的表示。
第二章：复变函数的定义与基本性质2.1 复变函数的定义给出复变函数的定义：定义在复平面上的函数，输入为复数，输出也为复数。
强调函数的连续性和可导性。
2.2 复变函数的基本性质介绍复变函数的奇偶性、周期性和可积性等基本性质。
举例说明这些性质的应用和判定方法。
2.3 复变函数的极限与连续性讲解复变函数在一点或一点的邻域内的极限概念。
强调复变函数的连续性及其与实变函数连续性的联系。
第三章：解析函数3.1 解析函数的定义引入解析函数的概念：在其定义域内具有无穷导数的复变函数。
解释解析函数的导数性质：解析函数是解析的，即在其定义域内每个点上都可以求导。
3.2 解析函数的例子举例说明常见解析函数：三角函数、指数函数、对数函数等。
强调解析函数在复平面上的图形特点：没有奇点。
3.3 解析函数的积分讲解解析函数的积分性质：解析函数在其定义域内积分路径无关。
介绍柯西积分定理和柯西积分公式。
第四章：积分变换4.1 傅里叶变换引入傅里叶变换的概念：将一个函数从时域转换到频域的积分变换。
讲解傅里叶变换的数学表达式及其物理意义。
4.2 拉普拉斯变换介绍拉普拉斯变换的概念：解决偏微分方程的积分变换方法。
强调拉普拉斯变换的应用领域：工程和物理学。
4.3 其他积分变换简要介绍希尔伯特变换、哈特莱变换等其他积分变换。
强调这些变换在信号处理等领域的应用。
第五章：复变函数在几何中的应用5.1 复数与几何的关系强调复变函数与复数几何的紧密联系。
复变函数第八章 场论
其模也正好是这个最大变化率的数值。G称作函数u在给
定点处的梯度，定义如下：
定义3 若在数量场u中的一点M处，存在这样一个矢量G， 其方向为函数u在点M处变化率最大的方向，其模也正好 是这个最大变化率的数值，则称矢量G为函数u在点M处的
梯度，记作gradu，即
grad u
r G
u i u
二、方向导数的定义
讨论函数u=u(x, y)在场中每一点M沿每一方向的变化情况。
设函数u=u(x, y)在点M(x, y)的某一 邻域u(M)内有定义，
如图所示：
Q | MM1 | (x)2 (y)2 ,
且 u u(x x, y y) u(x, y),
考虑 u ,
j u k
x y y
2) 梯度的性质
a. 函数u沿l方向的方向导数等于梯度在
该方向上的投影。
y
u l
gradl
u
b. 函数u中每一点M处的梯度，垂直于过该
o
点的等直面，且指向函数u增大的一方。
由此可知，在等直面上任一点处的单位法矢
量n0，可以用通过该点处的梯度表示如下：
nr 0 grad u | grad u |
u c1 u c2 u c3
等值面
u=c1 u=c2 u= c3
等值线
等值线 在函数 u u(x所, y表) 示的平面数量场中，具有相同c 的点，组成等值线， u(x, y) c
等值面、等值线研究的意义:可以直观的帮助我们了解场中 的物理量的分布情况。例如：
100m
缓
400m
300m 200m
上的任意一点，从点M出发沿C之正向取一点M1，记弧长
复变函数--第八章
例8.6 求单位脉冲函数 d (t) 的Laplace变换.
解 因为
所以
d (t) f (t)dt f (0),
L [d (t)] L [d (t)]
d (t )estdt 0
d
(t )estdt
1.
例8.7 求 f (t ) etd (t ) etu(t ) ( 0)
的Laplace变换(其中 u(t)为单位阶跃函数).
cos
t
]
0
omega/(s^2+osm2 ega^22,)
于是
L
[sint]
s2
2
(Re s 0).
类似可得 L
[cost]
s2
s
2
(Re s 0).
例8.4 求 f (t) t ( 1)的Laplace变换.
解 如果是正整数 m, 则由分部积分法, 易
求得
L
t m
m! sm1
(Re s 0).
当 1 不是正整数时, 利用复变函数论的
方法, 可求出
L
[t ]
1 s 1
(
1)
(Re s 0),
其中 ( 1) xe xdx 是函数. 0
8.1.2 周期函数和d 函数的Laplace变换
设 f (t)是以T 为周期的函数, 即
f (t T ) f (t) (t 0),
s 收敛，则由这个积分确定的函数
F (s) f (t )estdt, 0
称为函数 f (t) 的Laplace变换, 并记做 L [ f (t)], 即
L [ f (t)] F (s) f (t)estdt. 0
F(s)称为 f (t) 的像函数，f (t) 称为 F(s) 的像原函数.
复变函数与积分变换教案
教案复变函数与积分变换课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；复变函数与积分变换课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；复变函数与积分变换课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；。
《复变函数》教案
《复变函数》教案第一章：复变函数概述1.1 复数的概念1. 实数与虚数2. 复数的表示方法3. 复数的运算规则1.2 复变函数的定义1. 函数的概念2. 复变函数的表示方法3. 复变函数的运算规则1.3 复变函数的性质1. 解析函数的概念2. 奇函数与偶函数3. 周期函数第二章：复变函数的积分2.1 复变函数的积分概念1. 积分的基本概念2. 复变函数的积分表示3. 积分的性质2.2 复变函数的积分计算1. 柯西积分定理2. 柯西积分公式3. 复变函数的积分计算方法2.3 复变函数的积分应用1. 解析函数的奇偶性2. 解析函数的周期性3. 复变函数的图像与性质第三章：复变函数的级数3.1 复变函数的级数概念1. 级数的基本概念2. 收敛级数与发散级数3. 复变函数的级数表示3.2 复变函数的级数计算1. 泰勒级数展开2. 洛朗级数展开3. 复变函数的级数计算方法3.3 复变函数的级数应用1. 解析函数的逼近2. 解析函数的计算3. 复变函数的图像与性质第四章：复变函数的微分4.1 复变函数的微分概念1. 微分的定义2. 微分的表示方法3. 微分的性质4.2 复变函数的微分计算1. 复变函数的求导法则2. 复变函数的高阶微分3. 复变函数的微分计算方法4.3 复变函数的微分应用1. 解析函数的单调性2. 解析函数的极值3. 复变函数的图像与性质第五章：复变函数的积分变换5.1 复变函数的积分变换概念1. 积分变换的定义2. 积分变换的表示方法3. 积分变换的性质5.2 复变函数的积分变换计算1. 傅里叶积分变换2. 拉普拉斯积分变换3. 复变函数的积分变换计算方法5.3 复变函数的积分变换应用1. 解析函数的变换2. 解析函数的计算3. 复变函数的应用领域第六章：复变函数的方程6.1 复变函数方程的概念1. 方程的定义2. 复变函数方程的表示方法3. 复变函数方程的性质6.2 复变函数方程的求解方法1. 解析函数的方程求解2. 非解析函数的方程求解3. 复变函数方程的求解技巧6.3 复变函数方程的应用1. 复变函数方程在数学分析中的应用2. 复变函数方程在物理学中的应用3. 复变函数方程在其他领域的应用第七章：复变函数的极限7.1 复变函数极限的概念1. 极限的定义2. 复变函数极限的表示方法3. 复变函数极限的性质7.2 复变函数极限的计算方法1. 复变函数的无穷小与无穷大2. 复变函数的极限计算法则3. 复变函数极限的计算技巧7.3 复变函数极限的应用1. 解析函数的连续性2. 解析函数的导数3. 复变函数极限在其他领域的应用第八章：复变函数的泰勒级数8.1 泰勒级数的概念1. 泰勒级数的定义2. 泰勒级数的表示方法3. 泰勒级数的性质8.2 泰勒级数的计算方法1. 泰勒公式的推导2. 泰勒级数的展开与收敛性3. 泰勒级数的计算技巧8.3 泰勒级数在复变函数中的应用1. 解析函数的逼近与计算2. 解析函数的图像与性质分析3. 泰勒级数在其他领域的应用第九章：复变函数的洛朗级数9.1 洛朗级数的概念1. 洛朗级数的定义2. 洛朗级数的表示方法3. 洛朗级数的性质9.2 洛朗级数的计算方法1. 洛朗公式的推导2. 洛朗级数的展开与收敛性3. 洛朗级数的计算技巧9.3 洛朗级数在复变函数中的应用1. 解析函数的逼近与计算2. 解析函数的图像与性质分析3. 洛朗级数在其他领域的应用第十章：复变函数的选讲10.1 复变函数的解析延拓1. 解析延拓的概念2. 解析延拓的方法3. 解析延拓的应用10.2 复变函数的解析函数族1. 函数族的概念2. 解析函数族的性质3. 解析函数族的应用10.3 复变函数的积分变换及其他1. 其他积分变换的介绍2. 积分变换的应用3. 复变函数在其他领域的应用重点和难点解析重点环节一：复数的概念和运算规则重点：理解实数与虚数的概念，掌握复数的表示方法，熟悉复数的四则运算规则。
渗流力学-第八章渗流力学中的复变函数
8 渗流力学中的复变函数 (193)8.1 复势、势函数与流函数 (193)8.1.1 势函数 ............................................................................................................ 193 8.1.2 流函数 ............................................................................................................ 195 8.1.3 柯西-黎曼条件与复势 .................................................................................. 196 8.1.4 复势 ................................................................................................................ 197 8.2 复势在渗流动力学中的应用 ................................................................................... 199 8.3 保角映射 . (203)8.3.1 单叶映照 ........................................................................................................ 203 8.3.2 第一保角变换 ................................................................................................ 203 8.3.3 分式线性变换 ................................................................................................ 204 8.3.5 保角变换在渗流动力学中的应用 . (206)8 渗流力学中的复变函数8.1 复势、势函数与流函数令 ϕμk=Φ，z p γϕ+=，则Φ-=grad (8.1.1) 假设 ① 不可压缩流体或可压缩流体稳定流动② 平面流动：垂直与某一平面的每一垂线上的所有质点的速度相同的流动称为平面流动。
复变函数与积分变换-第八章-Laplace变换
e 2j
jkt
e st dt
例3： 解：
求函数 f (t ) t m （m为正整数）的 Laplace变换。
1 m st m 1 st [ t e mt e dt ] L [t ] t e dt | 0 0 0 s m m m 1 st [ t m 1］ (Re(s) 0) t e dt L ［ s s 0 m m( m 1) m m 1 m2 故 L [t ] L [t ] L [ t ] 2 s s m! m( m 1) 2 1 m 1 L [ u ( t )] s sm
证明：
L [u(t ) f (t )]
st
0
u(t ) f (t )e st dt
s ( x ) dx f ( t )e dt 0 f ( x )e
x t
e
s
0
f ( x )e
sx
0
t
称为函数 f1 ( t )和 f 2 ( t )的拉氏卷积，有时也记为 ( L ) f1 ( t ) f 2 ( t ) 。
2、拉氏卷积和傅氏卷积的关系
( L ) f1(t ) f 2 (t ) (F )[ f1(t )u(t )] [ f 2 (t )u(t )]
由于拉氏卷积和傅氏卷积本质上的一致性，与傅氏 卷积一样，拉氏卷积也具有交换律、结合律、分配律， 即：
1)、为什么要引入Laplace变换 经典Fourier变换的存在性定理要求原函数在实轴上
•
绝对可积，但许多常见函数并不满足该条件，例如sin t , cos t , t n。
《复变函数》课件
设 ①B是 由
C
C1
C
2
C
所
n
围
成
的
有界多连通区域.且B D, ②f (z)在D内解析,则
f (z)dz 0 (1)
n
或
f (z)dz
f (z)dz (2)
c
其中:闭C
D
,
i 1
C1 , C
ci
2 ,
C
是
n
在C的内部
的
简
单
闭曲线(互不包含也不相交), 每一条曲线C及Ci
是逆时针,
C
i
c
c1
ck
f ( z)dz f ( z)dz
此式说c明一个解析c1 函 数沿闭曲线的积分， 不因闭曲线在区域内 作连续变形而改变它 的积分值，只要在变 形过程中曲线不经过 的f(z)的不解析点. —闭路变形原理
D
CCC1 11
C
例2 计 算
2z 1 z2 z dz
: 包 含 圆 周z 1在 内 的
1 z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
由柯西-古萨基本定理有
y
11
C
dz 0,
C1 2 z i
1 1 dz 0,
C1 2 z i
C2
•i
C1
1
11
O
x
dz 0, dz 0,
C2 z
C2 2 z i
• i
22
1
1
1
C
z(z2
dz 1)
C1
dz z
C2
2( z
i)
北京大学复变函数讲义第八章：Γ函数
再令 p = 1, 2, q = 3, 又得
1
ψ
= −γ − 2 ln 2
2
q−1
2πnp
πn
+ cos
ln 2 sin .
q
q
n=1
1
π
ψ
= −γ − − 3 ln 2
4
2
3
π
ψ
= −γ + − 3 ln 2
4
2
1
π3
ψ
= −γ − √ − ln 3
3
23 2
2
π3
ψ
= −γ + √ − ln 3
由此 上面公式在统计物理学中经常用到.
ln n! = ln Γ(n + 1) ∼ n ln n − n
3
Γ 函数的渐近展开 z 为实数 x 的情形,
∞
Γ(x + 1) = e−ttxdt.
0
假设 x > 0, 分析一下积分的被积函数, 它在 t = 0 时为 0, 随着 t 的增大而增大, 当 t = x 时达到极大, 而后又
n=0
q−1
s(t) = − tp−q ln(1 − tq) + ω−np ln(1 − ωnt)
n=0
= − tp−q ln 1 − tq − (tp−q − 1) ln(1 − t) 1−t
q−1
+ ω−np ln(1 − ωnt)
n=1
6
令 t → 1−, 得 将 p 换成 q − p 再两式相加
性质4: 倍乘公式
Γ(2z)
=
22z−1π−1/2Γ(z)Γ(z
+
1 )
(5)
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由题中给出的
x
，y
s s ，
2 1
及
2 2
求T
的
观察值
t x y n 0.1405 0.1385
6 1.28.
s12 s22
0.75105 0.71105
由于 t 1.28 2.2281 即 t W 。因此，
接受原假设 H 0 ，即认为两批元件的电 阻无显著差异
例4 从两处煤矿各抽样次数，分析 得到煤的含灰率（单位：%）如下：
解 两批元件的电阻有无显著差异
就是说两个总体均值是否相等，即检验
假设
H H : ; : .
0
0
1
0
对于显著性水平检验 0.05 ，因为
t n1 n2 6，由
分布表查得 t (10) 2.2281 2
使
P(T 2.2281) 0.05.
因此，该检验的拒绝域为
W (T 2.2281).
T
1
2
X Y
,
11
S12
n n 1
2
11
S12
n n 1
2
其中
n S n S 2
(
1)
1
2 ( 1)
1
2
2
2.
S12
2
n n 1
2
由抽样分布知
T ~ t(n1 n2 2).
对于给定的显著性水平 (0 1) ，由
t 分布表查得 t (n1 n2 2) ，使 2 P( T t (n1 n2 2)) . 2
例1 从经验值知，灯泡寿命服从 正态分布，现从一批灯泡中随即抽取
20个，算得平均寿命 x 1900h ，样本
标准差 S 490h 。检验该批灯泡的平
均寿命是否为2000h( 0.01).
解 这是一个正态总体，方差未知
对总体均值 是否为 2000h 的检验问
题。因此采用 t 检验法进行检验，要检
8.3 t 检验法 t 检验法是使用服从 t 分布的统计
量来进行检验，当总体服从正态分布且
方差未知时，对总体的数学期望 进行
检验，可用 t 检验法。检验步棸同U 检验法，只是使用 t 统计量来进行。因
此称为 t 检验法。
8.3.1 单一正态总体均值的检验
设
(X
,
1
X
,...,
2
X
)
n
是来自正态总体
度算得样本均值 x 10631 .4 N cm2 ， 样本标准差 s 81.00N / cm2 。设弦线 的抗拉强度服从正态分布。问这批弦 线的抗拉强度是否较以往生产的弦线 的抗拉强度为高 ( 0.05) ？
解 本例是单侧检验问题，在
0.05 下，检验假设
H 0 : 10560; H1 : 10560.,来自1X2
,...,X
n1)
和
分别是从 X 和 Y 中抽取的两个独立样
本，X
，Y
和
S2 1
，S
2 2
分别为两个样本的
均值和方差，设两总体方差
2 1
2 2
2
未知。现对两总体均值
1
与 2
是否存
在差异进行检验，即假设检验
H H : ; : .
0
0
1
0
在 H 0 为真的条件下，可构造统计量
X Y ( _ )
T (n1
1) s2 1
30.02
，(n2
1) s2 2
7.78
，得
的
观察值为
t
21.5 18.0
2.245 .
30.02 7.78 1 1
7
54
由于t 2.245 2.3646 ，即t W ，因 此，接受原假设 H 0，即认为两煤矿的
含灰率无显著差异。但是由于2.245与 临界值2.3646比较接近，为稳妥起见， 最好再抽一次样，重做一次实验。
因为自由度 n 1 9 ，由 t 分布表查 t 得 (9) 1.8331，使
0.05
t P(T (9) 1.8331) 0.05. 0.05
因此，该检验的拒绝域为
W (T 1.8331).
由x 10631.4，s 81.00 及 n 10 ，计算
T 的观察值为
x
t
0 n 10631.4 10560 10 27874.
H H : ; : .
0
0
1
0
对于显著性水平 0.05，由于 n1 5 ，
n2 4 查得 t 分布表得
t (n1 n2 2) t 0.025 (7) 2.3646 使
2
P(T 2.3646) 0.05.
所以该检验的拒绝域为
W (T 2.3646).
有样本值计算得：x 21.5 ，y 18.0 ，
s
81
由于t 2.7874 1.8331 ，即 T 的观察值落
在拒绝域W 中，故拒绝 H 0，即接受 H 1 。
所以可以认为这批弦线较以往生产的弦
线在抗拉强度方面有显著提高。
8.3.2 两个正态总体均值差的检验
设两个正态总体
X
和Y
，X
~
Y ( , 2) 11
及 Y ~ N(
,
2
2)
2
，( X
0 n 1900 2000 20 0.9126.
s
490
由于 t0.91262.8609 tW
受假设 H 0 ，即可认为该批灯泡的平均寿
命为2000h 。
例2 某厂生产乐器用的一种镍合金
弦线，长期以来，其抗拉强度的总体均值
为 10560N / cm2 今生产了一批弦线，随机
抽取10根弦线做抗拉实验，由测得抗拉强
验假设
H H : ; : .
0
0
1
0
对于检验水平 0.01 。因为自由度
t n 1 19 ，由 分布表查得t0.005(19) 2.8609
从而检验的拒绝域为
W (T 2.8609).
由样本均值 x 1900h 及样本标准差
s
490h
，计算T
X
0
n 的观察值
S
x
t
甲矿：24.3,20.3,23.7,21.3,17.4. 乙矿：18.2,16.920.216.7.
假定各煤矿的含灰率都服从正态分布， 且方差相等。问甲、乙两煤矿的含灰
率有无显著差异 ( 0.05)？
解 根据题意，设甲煤矿的含灰率
X
~
N
( 1
,
2) 。乙煤矿的含灰率
Y
~
N ( 2 ,
2)
要检验假设
t 由 分布表查得 t (n 1) ，使 2 P( T t (n 1)) . 2
如图8-4所示，得检验的拒绝域为
W ( T t (n 1)). 2
t(x, n)
2
2
t
0
t
x
2
2
图8-4
这种利用 t 分布统计量的检验方法
称为 t 检验法。上面进行的是 t 双侧
检验。类似的也可以进行单侧检验。
从而检验的拒绝域为
W ( T t (n1 n2 2)). 2
特别地，若两样本容量 n1 n2 n 时
T X Y n ~ (2n 2).
S12
S
2 2
以上进行的是双侧检验，类似地可 以进行单侧检验。
例3 对于 A ，B 两批无线电元件 的电阻进行测试，各随机抽6件，由测试 结果计算得x 0.1405，y 0.1385，s12 0.75 105 s22 0.7110。5 根据经验，元件的阻值服从 正态分布。已知两总体方差相等，能否认 为；两批元件的阻值无显著差异( 0.05)？
N(, 2) 的一个样本，其中方差 2 未
知，要检验假设
H0 : 0; H1 : 0.
若 H 0 为真，由于方差 2 未知，用样本
均值 X 及样本方差 S2 可构造统计量
X
T
0 n,
S
由抽样分布知 T ~ t(n 1).
这就表明，H 0 为真时，T 的观察值
较集中在零的附近。对于显著性水平 ，