第五章时变电磁场题解

第五章 时变电磁场

5-1 如图5-1所示，一个宽为a 、长为b 的矩形导体框，放置在磁场中，磁感应强度为B e =B t y 0sin ω。导体框静止时其法线方向e n

与y e 呈α角。求导体框静止时或以角速度ω绕x 轴旋转（假定t =0时刻，α=0）时的感应电动势。

解 由于 y t B e B ωsin 0=，据 ⎰⎰

⋅∂∂-=s

t

e s B

d ， 导体框静止时，

t B ab ab t

B

e ωωααcos cos cos 0-=⋅∂∂-

= 导体框旋转时，

()()

t

abB t ab B t ab t B t t ab B t t e ωωωωωωω2cos 2cos 221

cos sin cos d 000s -=⨯⨯-=⋅∂∂

-=⋅∂∂-=⋅∂∂-=⎰⎰s B

5-2 设图5-2中随时间变化的磁场只有z 轴分量，并沿y 轴按

B B y t B t ky z ==-(,)cos()m ω的规律分布。现有一匝数为N 的线圈平行于xoy 平面，以速度v 沿y 轴方向移动（假定t =0时刻，线圈几何中心处y =0）。求线圈中的感应电动势。 解 据 ()⎰⋅⨯=l

e l B v d

设 2

,

2

21a

vt y a

vt y +

=-=，则有 ()()[]()

kvt vB Nb a vt k a vt k vB Nb y B y B v Nb e m m sin 2cos 2cos 2211⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛

++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+⋅=

5-3 一半径为a 的金属圆盘，在垂直方向的均匀磁场B 中以等角速度ω旋转，其轴线与磁场平行。在轴与圆盘边缘上分别接有一对电刷，如图5-3所示。这一装置称为法拉第发电机。

试证明两电刷之间的电压为22B

a ω。

解 由于t

d d α

ω=

，αωd d =t ，t ωα=，ωr v =

则有 ()⎰⎰=

⋅=⋅⨯=a

l

Ba r B r e 0

2

2

d d ωωl B v

5-4 设平板电容器极板间的距离为d ，介质的介电常数为ε0，极板间接交流电源，电压为u U t =m sin ω。求极板间任意点的位移电流密度。 解 对于平板电容器，极间电场为均匀场，

则有 t d U E m ωsin =，t d

U E D m ωεεsin 0==，t d U e D J m

D ωωεcos 0=∂∂=

5-5 一同轴圆柱形电容器，其内、外半径分别为cm 11=r 、cm 42=r ，长度m 5.0=l ，

极板间介质的介电常数为04ε，极板间接交流电源，电压为

t u π=100sin 26000 V 。求t =10. s 时极板间任意点的位移电流密度。

解 对于同轴圆柱形电容器，由于l r <<，则极间电场强度和电压分别为

r

E πετ

2=

，12ln 2r r u πετ=，因此 4ln ln 21

2u r r u ==πετ， r

u E 1

4ln ⋅=

，r u D 14ln 40⋅=ε，r t t D 14ln 100cos 1002600040⋅⨯⨯=∂∂=ππεJ ()25

0A/m 1081.64ln 100260004s 1r r r

r t e e J -⨯=⋅⨯⨯==πε

5-6 当一个点电荷以角速度ω作半径为R 的圆周运动时，求圆心处位移电流密度的表达式。 解 在圆心处，电位移矢量3

244R q R q r

ππR

e D ==， 由于

αωe v r

r t ==∂∂，则可得圆心处位移电流为 ()y x D t t R q R q R R q t R q t J e e e e R D ωωπω

ωπωππα

αcos sin 44442

233-=⋅=⋅=∂∂⋅=∂∂=

5-7 一个球形电容器的内、外半径分别为a 和b ，内、外导体间材料的的介电常数为ε、电导率为γ，在内、外导体间加低频电压u U t =m cos ω。求内、外导体间的全电流。

解 对于球形电容器，极间电场强度为 2

4r q

E πε=

， 电压 ab a b q b a q u --=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=πεπε4114，则有r a b uab E 1⋅-=，2

1r a b uab D ⋅-=ε 因此，传导电流密度 221

cos 1r

t a b ab U r a b uab E J m c ⋅⋅-=⋅-=

=ωγγγ

位移电流密度 21

sin r t U a b ab t D J m D ⋅⋅⋅--=∂∂=

ωωε 全电流密度 ()20

sin cos r

t t a b ab U m r J ⋅--=

ωεωωγ 全电流 ()t t r a

b ab

U J r I m ωεωωππsin cos 442--=

⋅=

5-8 在一个圆形平行平板电容器的极间加上低频电压u U t =m sin ω，设极间距离为d ，极间绝缘材料的介电常数为ε，试求极板间的磁场强度。 解 圆形平行平板电容器极间的电场强度、电位移矢量及位移电流密度均为均匀

场，即 t d U

d u E m ωsin ==，t d U E D m ωεεsin ==，t d

U t D J m D ωωεcos =∂∂=

据安培环路定律，可得 D J r r H 22ππ=，则 αωωεe H r d t

U r J m D 2cos 2⋅==

5-9 在交变电磁场中，某材料的相对介电常数为εr =81、电导率为γ=42. S /m 。

分别求频率f 11=kHz 、f 21=MHz 、以及f 31=GHz 时位移电流密度和传导电流密度的比值。

解 据 f f

J J c 9121007.12

.421085.881--⨯=⨯⨯⨯==πγεωα，可得

f 11=kHz 时，61007.1-⨯=c

D J J ；f 21=MHz 时，31007.1-⨯=c D J J

；

f 31=GHz 时，

07.1=c

D

J J

5-10 一矩形线圈在均匀磁场中转动，转轴与磁场方向垂直，转速

min /r 3000=n 。线圈的匝数100=N ，线圈的边长cm 2=a 、cm 5.2=b 。磁感应强度B =01. T 。计算线圈中的感应电动势。

解 转速 r/sec 50r/sec 60

3000

r/min 3000==

=n ，角频率 rad/sec 100πω= 线圈截面 ab S =，磁通 t ab B ωφcos ⋅⋅=，磁链 t NBab N ωφψcos ⋅==

线圈中的感应电动势

t t t NBab t

e ωωπωψsin 57.1sin 250025.002.01.0100sin d d =⨯⨯⨯⨯⨯==-=

V 11.1=有效值e

5-11图5-4所示的一对平行长线中有电流i t I t ()sin =m ω。求矩形线框中的感应电动势。