19.2.1正比例函数教学设计说明

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人教版数学八年级下册19.2.1《正比例函数》教学设计

人教版数学八年级下册19.2.1《正比例函数》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册19.2.1《正比例函数》是学生在学习了初中数学基础知识后，进一步深入研究函数性质的重要内容。

本节课的主要内容是正比例函数的定义、图像和性质。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握正比例函数的概念，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念，具备了一定的函数知识基础。

但是，对于正比例函数的定义和性质，以及如何运用正比例函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和讲解。

三. 教学目标1.理解正比例函数的定义，掌握正比例函数的性质。

2.能够根据正比例函数的性质，解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.正比例函数的定义和性质。

2.如何运用正比例函数解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究正比例函数的定义和性质。

2.利用多媒体辅助教学，展示正比例函数的图像，帮助学生直观地理解正比例函数的性质。

3.通过实例分析，让学生学会如何运用正比例函数解决实际问题。

4.小组讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.正比例函数的相关教学素材，如PPT、例题、练习题等。

3.学生分组合作的准备。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的实例，如速度与时间的关系，引导学生思考这些实例背后的数学规律。

2.呈现（10分钟）介绍正比例函数的定义，引导学生通过观察实例，总结正比例函数的性质。

3.操练（10分钟）分组讨论，让学生通过合作解决问题，进一步理解和掌握正比例函数的性质。

4.巩固（10分钟）针对学生掌握的情况，进行针对性讲解，巩固学生对正比例函数性质的理解。

5.拓展（10分钟）利用正比例函数的性质，解决实际问题。

19.2.1正比例函数概念教案

C. y 2x 2
2、已知正比例函数 y
kxD.，y当x21x 2时，y
，1则k=
。
3、课本98页第1，3两题。杨继琅、陆兴平等人选做：
1、如果 y (m 1)x是m y关于x的正比例函数，则m= 2.、若y关于x成正比例函数，这个正比例函数的图像经过点
8 ，－４，求出这个正比例函数的解析式、判断点（9，4）、
函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
注：1、一定要满足 y kx 的形式。
2、比例系数k是常数，且k o 。
3这里的两个变量不是一定要用x，y表示，也可以用
其他字母表示例如T 2t
（五）、当堂训练，分层巩固
1、下列函数中，y是x的正比例函数的有（ D ）
① y kx ② y x ③ y 2x ④y x 2 ⑤ y 2x 1
的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值
3、函数的三种表达方式分别是什么？
解析是法、列表法、图像法
（二）、揭示目标，明确方向
1、理解正比例函数的概念，能根据实际问题抽象出正比例函数并且确定其解析式。
2、能辨别一个函数是否是正比例函数，能
根据已知条件求出正比例函数的解析式。
问题：1、这四个解析式中有几个变量。
2、这四个解析式中变量的次数是几次。
3、自变量和常量是用什么运算符号连接起来的。
y kx 4、这四个函数解析式都满足什么形式。
归纳总结5、：这里的k可不可以是负数，或0。这里的k可以为负数，但不能为0 正比例函数的概念：一般地，形如y kx（k是常数，k 0）的
பைடு நூலகம்
函数，叫做正比例函数

19.2.1正比例函数教案

19.2.1正比例函数教案
一、教学内容
本节课选自教材第九章《函数》的第二节“正比例函数”，主要内容包括：
1.正比例函数的定义：形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中x是自变量，y是因变量。
2.正比例函数的性质：当k>0时，函数图像是一条通过原点的斜率为正的直线；当k<0时，函数图像是一条通过原点的斜率为负的直线。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论
1.讨论主题：学生将围绕“正比例函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“你能想到的其他正比例关系有哪些？”
总体来说，今天的课堂让我感受到了学生们对数学学习的热情。然而，我也认识到，作为教师，我需要在教学策略和方法上不断调整和完善，以便更好地满足学生的需求。特别是在难点解析和数学语言表达方面，我需要在今后的教学中给予更多的关注和指导。
3.正比例函数的图像：在直角坐标系中，正比例函数的图像是一条直线，且该直线必经过原点。
4.正比例函数的应用：结合实际情境，解决一些简单的正比例函数问题。
二、核心素养目标1.理解并 Nhomakorabea握正比例函数的定义、性质及图像，培养数学抽象和逻辑推理素养。
2.能够运用正比例函数解决实际问题，提高数学建模和数学应用能力。
3.通过观察、分析、归纳正比例函数图像，培养直观想象和数据分析素养。
4.在小组合作探讨正比例函数性质的过程中，提升团队合作和交流表达能力，增强数学交流素养。

19.2.1正比例函数(第1课时)教案

19.2.1 正比例函数
年级八年级课题19.2.1 正比例函数课型新授
教学媒体多媒体
教学目标知
识
技
能
1.理解正比例函数，掌握正比例函数解析式特点；
2.会从实际问题中抽象出正比例函数的解析式；
过
程
方
法
1.经历从实际问题抽象得出正比例函数的过程,体会建立数学模型思想。

情
感
态
度
1.通过正比例函数的引入，使学生认识到数学与现实世界密切相关。

同时渗透热爱自然和生活的教育。

教学重点理解正比例函数的概念
教学难点从实际问题抽象得出正比例函数的概念，并掌握正比例函数解析式特点。

教学过程设计
教学程序及教学内容师生行为设计意图一、情景诱导
紫阳到红椿中学全长约30km.汽车的平均速度为
30km/h.思考以下问题：
（1）汽车从紫阳到红椿中学，需要多少小时？
（2）汽车行驶1h、2h、3h的行程分别是多少km？
（3）汽车的行程y（单位：km）与行驶时间t（单位：h）之间有何数量关系？y是t的函数吗？教师出示图片并
给出问题：
学生观察思考列
关系式
教师在学生回答
后板书
从具体情境入
手，使学生认
识到数学与现
实问题总是密
不可分的，人
们的需要产生
了数学。

路程、速度与时
间之间的关系
学生较熟悉，当
速度一定时，路
程是时间的函
数，用简单的实
例从现实世界
中抽象出数学
模型。

19.2.1 正比例函数教学设计

19.2.1正比例函数的概念教学设计一、教学目标：1.理解正比例函数的概念；2.会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题.二、教学重、难点：重点：正确理解正比例函数的概念.难点：根据己知条件写出正比例函数解析式.三、教学过程：知识精讲思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.(1)圆的周长1随半径r的变化而变化；.(2)铁的密度为7.8g∕c*铁块的质量m(单位:g)随它的体积V(单位:(W)变化而变化；.(3)每本练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:Cm)随这些练习本的本数n的变化而变化；.(4)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃,物体的温度T(单位:°C)随冷冻时间t(单位:min)的变化而变化..认真观察以上出现的四个函数有什么共同特点？(1)1=211r(2)m=7.8V(3)h=0.5n(4)T=-2t正如函数y=300t一样，上面这些函数都是常数与自变量的积的形式.一般地，形如y=kx(k是常数，kW0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：(Dk是常数，且k#0；(2)自变量X的次数是1；(3)自变量X的取值范围是一切实数；(4)y=kx,则称y与X成正比例；反之，若y与X成正比例，则可设y=kx.问题1：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车的平均速度为300km∕h.考虑以下问题：(1)乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时(结果保留小数点后一位)？(2)京沪高铁列车的行程y(单位：km)与运行时间t(单位：h)之间有何数量关系？(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h 后，是否已经过了距离始发站IloOkm 的南京南站？解：(1)京沪高铁列车全程运行时间约需1318÷300≈4.4（三）(2)京沪高铁列车的行程y 是运行时间t 的函数，函数解析式为：y=300t(0≤t≤4.4)(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h 的行程，是当t=2.5时函数y=300t 的值，即y=300×2.5=750(km)这时列车尚未到达距始发站HOOkm 的南京南站. 典例解析例1.判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？(1)y=3x;(2)y=2x+l; (3)y=~^y=-√3x. 解：(1)是正比例函数，比例系数为3；(2)不是正比例函数；(3)是正比例函数，比例系数为T ；(4)不是正比例函数；(5)是正比例函数，比例系数为「；(6)是正比例函数，比例系数为-遮；【针对练习】下列式子，哪些y 是X 的正比例函数？如果是，请你指出正比例系数k 的值.(l)y=-O.lx ； (2)y=j ； (3)y=2x 2; (4)y 2=(4)y=-; (5)y=11x ；(6)X4x(5)y=-4x÷3;(6)y=2(x—x2)÷2x2. 解：(1)是正比例函数，正比例系数是-0.1(2)是正比例函数，正比例系数是T(3)不是正比例函数(4)不是正比例函数(5)不是正比例函数⑹是正比例函数，正比例系数是2例2.已知y=(m+2)x∣ml-1,当m为何值时，y是％的正比例函数？解：由题意得，｛∣^∣^21t°r解得m=2工当m=2时，y是X的一次函数.【针对练习】若y=(τn-2)%+m2-4是y关于％的正比例函数，求该正比例函数的解析式.解：=(m-2)x+m2-4是y关于X的正比例函数，・'・m—2≠0,τn2—4=0,解得m=-2.・・・该正比例函数的解析式为y=-4x.问题2.已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油151..所使用的汽油为5元/ 1..(1)写出汽车行驶途中所耗油费y(元)与行程X(km)之间的函数关系式，并指出y是X的什么函数；(2)计算该汽车行驶220km所需油费是多少？解：⑴y=5×15x÷100,即y⅛(x⅛O),y是X的正比例函数.4(2)当x=220时,3y=^×220=165答：该汽车行驶220km所需油费是165元.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。

正比例函数》教案

正比例函数》教案19.2.1正比例函数》教案一、教材分析：正比例函数是八年级下册数学中非常重要的内容，它是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型之一。

正比例函数是一次函数的特例，也是初中数学中最简单、最基本的函数之一。

掌握好正比例函数对后面研究一次函数打下基础。

函数思想是一种重要的数学思想，它体现了运动变化和对立统一的观点，体现了数学的建模思想和数形结合思想。

因此，在教学中通过生活实际，引导学生观察探索，让学生在研究过程中感悟函数思想，从而激发学生研究函数的信心和兴趣。

二、学情分析：学生在小学已经研究了比例的意义与性质，在这个基础上，学生能很容易接受正比例概念。

然而，从正比例关系到正比例函数，这个年龄段的学生以感性认识为主，加上本节课内容的概念性和理论性较强，并向理性认知过渡，学生可能缺乏研究兴趣。

因此，本节课的设计是通过学生所熟悉的问题情境出发，让学生的自主探索贯穿课堂全过程。

同时，注意教师与学生的互动，加强教师的引导和示范，在对比和分组讨论中让学生在“做中学”，提高学生利用已学知识去主动获取新知识的能力。

三、教学目标：1）知识目标：掌握正比例函数的概念，理解正比例函数解析式的特点，根据正比例函数的意义，判断两个相关联的量是否成正比例。

2）能力目标：经历思考、探究过程，发展总结归纳能力，体验数形之间联系，逐步学会利用数形结合思想分析解决有关问题。

3）情感态度：积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲，形成合作交流的研究惯。

四、教学重、难点：教学重点：理解正比例函数的概念及形式。

教学难点：利用正比例函数解决相关问题。

五、教法学法：本节课的重点是理解正比例函数的概念，利用正比例函数解决生活实际问题。

在教学过程中，抓住学生已有的知识点，在学生主动参与和教师引导下充分调动学生的研究积极性和主动性，使学生在自主探索的过程中掌握新知识。

教师的主导作用与学生主体地位达到了相互统一。

为了提高课堂效果，适当辅以多媒体技术，使学生获得直观的印象，激发学生的研究兴趣，增强对知识点的理解。

人教版初中数学八年级下册19.2.1《正比例函数的图像和性质》教案[001]

19.2 一次函数19.2.1 正比例函数——正比例函数的图象与性质【知识与技能】1.能够画出正比例函数的图象.2.能够根据正比例函数的图象归纳正比例函数图象的性质.3.能够利用正比例函数解决简单的数学问题.【过程与方法】1.通过实例，体会建立数学模型的思想.2.通过正比例函数图象的学习与研究，感知数形结合思想.【情感态度】结合描点作图，培养学生认真、细心、严谨的学习态度.【教学重点】正比例函数的图象与性质.【教学难点】正比例函数的图象与性质一、复习回顾正比例函数的概念（练习回顾）已知y-3与x成正比例，当x=2时，y=7，求y与x之间的函数解析式. 解：设y-3=kx，∵当x=2时，y=7，代入得7-3=2k，∴k=2，即y-3=2x，则y=2x＋3二、思考探究，获取新知例1.画出下列正比例函数的图象（1）y=2x，y=1/3x；（2）y=-1.5x，y=-4引导学生用描点法将这四个正比例函数的图象画在同一个平面直角坐标系中，鼓励学生探索图象特征，引导学生归纳的结果围绕以下几个方面：(1)图象都是经过原点的直线.(2)函数y=2x和y=1/3x的图象从左向右递增，经过一、三象限.(3)函数y=-1.5x和y=-4x的图象从左向右递减，经过二、四象限.教师总结正比例函数的图象与性质：一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，当k＞0时，直线过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线过第二、四象限，y 随x的增大而减小.例1已知正比例函数的图象过点(2m，3m)，m≠0，求这个正比例函数的解析式.解：设正比例函数的解析式为：y=kx.把(2m，3m)代入得3m=k·2m，解得k=3 2 .∴解析式为y=32 x.【教学说明】正比例函数中只含有一个待定系数，只需知道一点坐标即可求得其解析式.例2 已知(x1,y1)、(x2，y2)是直线y=-2x上的两点，若x1＞x2，则y1，y2的大小关系是( ).A.y1＜y2B. y1＞y2C. y1= y2D.不能比较【分析】因为y=-2x中-2＜0，即直线y=-2x的函数值是随x的增大而减小的，所以当x1＞x2时，y1＜y2，故选A.【教学说明】通常我们在x的某一范围内取x1＜x2，若点(x1，y1)，(x2，y2)为函数图象上的两点，当y1＜y2时，该函数在这个范围内y随x的增大而增大；当y1＞y2时，该函数在这个范围内y随x增大而减小.三、运用新知，深化理解1.已知正比例函数y=(k+3)x.(1)k为何值时，函数的图象经过一、三象限.(2)k为何值时，y随x的增大而减小.(3)k为何值时，函数图象经过点(1，1).2.已知（x1，y1）、（x2、y2）是直线y = x上的两点，若x1＞x2，则y1，y2的大小关系是（）.A.y1＜y2B.y1＞y2C.y1=y2D.不能比较3.在函数y=-3x的图象上取一点P，过P点作PA⊥x轴，已知P点横坐标为-2，求△POA的面积(O为坐标原点).【教学说明】以上各题由学生自主探究，有疑问的教师加以指导，最后评析.四、师生互动，课堂小结问题1.正比例函数的图象是什么？它有什么特征？2.如何简便地画出正比例函数的图象？3.本节课的学习经历了怎样的过程？你有何感悟？1.布置作业：从教材“习题19.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.因从本课时开始，学生将逐渐认识并理解各类具体的函数图象，一般的基本方法是由解析式画图象，再由图象得出性质，再反过来由函数性质研究图象的其他特征，结合学生已有的知识与经验和后面的学习内容与要求，本课时重在引领学生认识正比例函数的概念、图象的画法和应用性质的基本步骤，为后续学习指明方向和打下坚实的基础，利于研究更复杂的具体函数.教学中引导学生观“形”识“信息”，逐步形成读图能力，以及解题能力.。

人教版数学八年级下册19.2.1《正比例函数教案

人教版数学八年级下册19.2.1《正比例函数教案一. 教材分析人教版数学八年级下册19.2.1节讲述了正比例函数的概念、性质及其在实际问题中的应用。

本节内容是学生学习函数的基础，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力具有重要意义。

教材通过具体的例子引入正比例函数，使学生能够直观地理解概念，并通过大量的练习题让学生熟练掌握正比例函数的性质和运用。

二. 学情分析学生在八年级上学期已经学习了代数基础知识，对变量、常量、方程等概念有了一定的理解。

但正比例函数作为一种特殊的函数，学生可能对其概念和性质认识不足，需要通过本节课的学习来进一步掌握。

此外，学生可能对于实际问题中如何运用正比例函数解决有一定困难，需要通过实例分析和练习来提高。

三. 教学目标1.了解正比例函数的概念，掌握正比例函数的性质。

2.能够运用正比例函数解决实际问题，提高解决问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

四. 教学重难点1.正比例函数的概念和性质。

2.正比例函数在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、练习法、小组讨论法等教学方法。

通过具体的例子引入正比例函数，让学生在实际问题中感受正比例函数的应用，通过练习题让学生巩固所学知识，通过小组讨论培养学生的团队协作能力和逻辑思维能力。

六. 教学准备1.准备相关的例子和练习题，用于课堂讲解和练习。

2.准备多媒体教学设备，用于展示例子和讲解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入正比例函数的概念，如“一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶1小时后，行驶的路程是多少？”让学生思考并回答，引出正比例函数的概念。

2.呈现（10分钟）讲解正比例函数的定义和性质，通过多媒体展示相关的图片和实例，让学生直观地理解正比例函数的概念。

同时，给出正比例函数的一般形式y=kx（k为常数，k≠0），并讲解其性质。

3.操练（10分钟）让学生进行一些有关正比例函数的练习题，巩固所学知识。

19.2.1-正比例函数-第一课时教学设计

《正比例函数》教学设计【教学目标】知识与技能：1.理解正比例函数的概念及解析式的特征2.能够判断两个变量是否成正比例函数关系3.会用正比例函数解决简单的实际问题情感态度与价值观：1.让学生认识到生活实例中有大量的函数模型，激发学生学习数学的兴趣．2.培养学生热爱自然、热爱生活的优秀品质.【教学重点】正比例函数的概念及解析式的特征.【教学难点】正比例函数的应用【教学过程】一.回顾旧知，引入新知复习回顾什么是自变量？什么是函数？师生活动：学生独立思考、回答，教师并补充。

设计意图：让学生理解函数的实质：两个变量的关系导课：前面我们大家已经知道了函数的概念及其图象，今天我们继续学习一种具体的函数——正比例函数(书写课题, 出示学习目标，明确学习任务)二、情境引学2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318km.设列车平均速度为300km/h.考虑以下问题：（1）乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点站海虹桥站，约需要多少小时（结果保留小数点后一位）？（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过了距始发站1 100 km的南京站？三、观察思考、归纳概念下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式？1.圆的周长L 随半径r 的变化而变化？2.铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m(单位;g)随它的体积V 的变化而变化。

3.每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位：cm)随联系标的本数n 的变化而变化.4.冷冻一个0°C 的物体，使它每分下降2°C,物体的温度T(单位：°C ）随冷冻时间t(单位：min ）的变化而变化.师生活动：教师多媒体呈现上述四个实际问题.学生独立解答，解答后小组交流，出代表进行反馈.教师要重点关注：（1）题中学生易将写成.（4）题中每分钟下降2℃应记为“-2℃”，避免学生将写为.关注学生能否准确找出中的常量.设计意图：通过指出常数、自变量、自变量的函数，对函数的概念进行回顾，从而为后续环节找正比例函数的共同点建立生长点. 通过对实际问题讨论，使学生体验从具体到抽象的认识过程.问题2：思考：四个函数有什么共同特点？函数解析式常数自变量函数（1）l=2πr 2π r l （2）S=30t 30 t S （3）h=0.5n 0.5 n h （4）T= －2t -2 t T师生活动：学生观察、思考.小组交流，分析、归纳共同特点，出代表反馈.教师要根据学生的具体表现，通过引导、点拨，使学生比较、观察得出共同点.教师根据学生的表述板书：共同点：常数×自变量．教师板书：y=kx概念：一般地，形如y=kx （k 是常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．教师追问：这里为什么强调k 是常数，k ≠0呢？学生交流、讨论，互相补充.设计意图：通过将前四个函数进行比较，学生通过比较、观察、分析、概括出正比例函数的共同特点，使学生明白正比例函数的特征，从而归纳出正比例函数的概念.有效地克服了因没有对比直接观察使学生出现的不适性、盲目性.培养学生的观察、分析、归纳、概括等思维能力.三、练习运用，内化概念师生活动：1.下列式子，哪些表示y 是x 的正比例函数？如果是，请你指出正比例系数k 的值．（1）y=-0.1x （2）2x y = （3）22x y = （4） x y 42= （5）y=-4x+3 （6）()2222x x x y +-=2.如果x m y )3(-=，是y 关于x 的正比例函数，则m 的取值范围是_________.3.如果12m y x -= ，是y 关于x 的正比例函数，则m 的取值是__________.4.已知一个正比例函数的比例系数是-5，则它的解析式为_________.5.若y 与1-x 成正比例，x =2时，y =8，求y 与x 之间的函数关系式.变式：若2 y与x成正比例，x=2时，y=8，求y与x之间的函数关系式.学生独立解答，教师根据学生反馈情况，引导学生根据“常数×自变量”归纳辨别正比例函数要注意的问题.设计意图：使学生结合实例深入理解概念的内涵，做到具体问题具体分析.并且规范解题过程.四．学以致用-----正比例函数的应用点燃蜡烛，蜡烛减少的长度与其燃烧时间成正比例. 长为20cm的蜡烛，点燃6分钟时，蜡烛变短了3cm，设蜡烛点燃x分钟时变短了 ycm.(1)求y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；(2)点燃10分钟时，蜡烛的长度是多少？你还能举出哪些生活中可以用正比例函数刻画的实例？通过此活动激发学生的学习数学的兴趣，使学生意识到数学也并不是枯燥乏味的，数学中也有乐趣！五.课堂小结本节课你有哪些收获？用你的语言说一说.作业：必做题：习题19.2 1、2、3题。

人教版八年级数学下册 19.2.1 正比例函数教案

教
学过程一、情境展示：
1、展示高铁列车以及线路图。

同学们知道这是什么吗？
同学们知道这条高铁是哪条线路吗？这
列高铁正在那个城市里穿行？
教师顺次展示高
铁图片，并根据
图片的出现顺序
依次提出问题或
进行说明。

教学
过
程
我们芜湖也通高铁了。

二、新课引入
教师：要知道高铁的建造以及运行都离
不开数学知识，今天我们就来研究一下
高铁在运行过程中，列车的行程和运行
时间之间究竟有什么样的数学关系。

三、新课推进
请同学们解答下面的问题：教师指出这是我们芜湖的第一个高铁线路。

19.2.1正比例函数教学设计第2课时

教学过程三、课堂练习四、课堂小结正比例函数的图象特征：1、 (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线.2、当k>0时，经过第一、三象限；当k<0时，经过第二、四象限。

思考：你能用最简单的方法画出下列函数的图象吗？(1)3y x=-活动二、探究正比例函数的性质1、在函数 , , 和中，随着x的增大,y的值分别是如何变化的?2、我们还可以借助函数图象分析此问题观察图象可以发现：①当k>0时，从左向右逐渐上升, 即y的值随x的增大而增大；②当k<0时，从左向右逐渐下降，即y的值随x的增大而减小。

课堂练习见PPT通过本节课的学习，你所学到的正比例函数的图象是什么样的？它具有哪些特征？它又具有哪些性质呢？板书设计19.2.1正比例函数的图象与性质一、图象：经过原点的一条直线.当k>0时，经过第一、三象限；当k<0时，经过第二、四象限.二、性质：当k>0时，y的值随x值的增大而增大；当k<0时，y的值随x值的增大而减小.作业布置1、用两点法画出下列函数的图象2、课本第98页，第1、2题。

课题19.2.1正比例函数的图象与性质课型新授课时第2课时核心素养1.会画正比例函数的图象 .2.根据正比例函数的图象探究图象的特征与性质.3.利用正比例函数的性质解答有关的问题.教学重点难点重点：正比例函数的图象与性质难点：探究正比例函数的性质及其性质的应用教学准备课件、三角尺教学方法合作探究教学过程教学程序师生活动一、复习回顾二、探究新知1、用描点法画函数图象有哪几个步骤？①列表②描点③连线2、正比例函数的定义是什么？一般地，形如式（ k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k是比例系数。

活动一、探究正比例函数的图象特征1、画出下列正比例函数的图象观察函数图象，它是一条经过的直线，并且经过了象限。

2、画出下列正比例函数的图象观察函数图象，它是一条经过的直线，并且经过了象限。

人教版八年级数学19.2.1 正比例函数教学设计

人教版八年级数学19.2.1 正比例函数教学设计一、教材分析1、教材的地位和作用《正比例函数》是九年制义务教育新课程标准八年级第一学期第十九章的内容。

从比例中的两个量的比值是一个定值，得出两个量成正比例的概念。

学生已经学习了比例的意义与性质，在这个基础上，学生能很容易接受正比例概念。

再从正比例关系到正比例函数，从互相联系的两个变量在变化过程中有互相依从，互相制约的关系，初步引出函数的概念。

因此，本节课具有承上启下的重要作用，函数思想是一种重要的数学思想，它体现了运动变化和对立统一的观点，体现了数学的建模思想和数形结合思想，对于初次接触到函数的学生而言，理解函数的意义是个难点。

因此本节课在教学中力图向学生展示常见问题中的变量，和变量之间的关系，使学生对以后函数的定义有一定的了解2教学目标根据上述教材结构与分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下目标：知识与技能：⑴理解正比例函数及正比例的意义；⑵根据正比例的意义判定两个变量之间是否成正比例关系；⑶识别正比例函数，根据已知条件求正比例函数的解析式或比例系数。

过程与方法：⑴通过现实生活中的具体事例引入正比例关系通过画图像的操作实践，体验“描点法”；⑵经历利用正比例函数图像直观分析正比例函数基本性质的过程，体会数形结合的思想方法和研究函数的方法情感态度与价值观: 积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲．形成合作交流、独立思考的学习习惯．3、教学重点：理解正比例和正比例函数的意义4、教学难点：判定两个变量之间是否存在正比例的关系二．学生情况分析在这节课之前，学生已经掌握了比例的意义和性质，对正比例的定义的掌握没有什么问题。

对根据给出的实际问题，列代数式或是列方程都有一定的训练。

三．教学方法本节课的难点是理解现实问题中是否存在变量，并能判定两个变量之间是否存在正比例的关系，通过教师的引导，启发调动学生的积极性，让学生在课堂上多观察，多练习，主动参与到整个教学活动中来，通过观察能发现正比例函数的特点，教师的主导作用与学生主体地位达到了相互统一。

人教版数学八年级下册《19.2.1 正比例函数》教学设计

人教版数学八年级下册《19.2.1 正比例函数》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册《19.2.1 正比例函数》是学生在学习了初中数学基础知识后，进一步深入研究函数的性质和应用。

本节内容主要包括正比例函数的定义、图象和性质，以及正比例函数在实际生活中的应用。

通过本节的学习，使学生能够理解正比例函数的概念，掌握正比例函数的图象和性质，并能运用正比例函数解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了初中数学的基本知识，对函数有一定的了解。

但学生对正比例函数的概念和性质的认识还不够深入，需要通过本节课的学习来进一步理解和掌握。

同时，学生对于正比例函数在实际生活中的应用还不够熟悉，需要通过实例来引导学生理解和运用。

三. 教学目标1.理解正比例函数的概念，掌握正比例函数的图象和性质。

2.能够运用正比例函数解决实际问题，提高学生的应用能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。

四. 教学重难点1.正比例函数的概念和性质。

2.正比例函数在实际生活中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究正比例函数的性质和应用。

2.利用数形结合法，通过图象来直观展示正比例函数的性质。

3.采用实例教学法，让学生通过实际问题来理解和运用正比例函数。

六. 教学准备1.教学PPT，包括正比例函数的定义、图象和性质等内容。

2.实例题库，用于巩固和拓展学生的知识。

3.板书设计，包括正比例函数的定义、图象和性质等重要内容。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入正比例函数的概念，例如：一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶3小时后，行驶的路程是多少？引导学生思考速度、时间和路程之间的关系，从而引出正比例函数的概念。

2.呈现（10分钟）利用PPT呈现正比例函数的定义、图象和性质。

引导学生通过观察图象来理解正比例函数的性质，如过原点、斜率为正等。

同时，给出正比例函数的数学表达式y=kx（k为常数，k≠0）。

人教版八下数学19.2.1 课时1正比例函数的概念教案+学案

人教版八年级下册数学第19章一次函数19.2一次函数19.2.1正比例函数课时1正比例函数的概念教案【教学目标】知识与技能目标认识正比例函数的意义,掌握正比例函数解析式特点．过程与方法目标能利用正比例函数知识解决相关实际问题．情感、态度与价值观目标通过对实际问题的解决,亲身感受数学来源于生活,体会在学习中与同学合作交流获得成功的喜悦,增强学习的自信心．【教学重点】理解正比例函数意义及解析式特点.【教学难点】掌握正比例函数的解析式的求法.【教学过程设计】一、情境导入导入一:2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318 km.设列车平均速度为300 km/h.考虑以下问题:(1)乘京沪高铁列车,从始发站北京南站到终点站海虹桥站,约需多少小时(结果保留小数点后一位)?(2)京沪高铁列车的行程y(单位:km)与运行时间t(单位:h)之间有何数量关系?(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后,是否已经过了距始发站1100 km的南京南站?学生先独立思考上面提出的问题,再以小组为单位进行交流.教师解析:(1)1318÷300≈4.4(h).(2)y=300t.(3)y=300×2.5=750(km), 故列车尚未到达距始发站1100 km的南京南站.y=300t中,变量和常量分别是什么?其对应关系是函数关系吗?谁是自变量,谁是函数?自变量与常量按什么运算符号连接起来的?由此引出今天学习的课题:正比例函数.[设计意图]通过这一环节,让学生体会到正比例函数来源于生活实际,通过实例引入,激发学生学习数学的兴趣.导入二:一九九六年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环.4个月零1周后人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它.1.这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米(精确到1千米)?2.这只燕鸥的行程y(千米)与飞行时间x(天)之间有什么关系?3.这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米?学生在练习本上独立完成,有困难的小组讨论、交流.教师总结,全班讲评.一个月按30天计算,这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于:25600÷(30×4+7)≈202(千米).若设这只燕鸥每天飞行的路程为202千米,那么它的行程y(千米)就是飞行时间x(天)的函数.函数解析式为y=202x(0≤x≤127).这只燕鸥飞行1个半月的行程,大约是x=45时函数y=202x的值.即:y=202×45=9090(千米).以上我们用y=202x对燕鸥在4个月零1周的飞行路程问题进行了刻画.尽管这只是近似的,但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型.类似于y=202x这种形式的函数在现实世界中还有很多.它们都具备什么样的特征呢?今天学习的课题:正比例函数.[设计意图]通过这一环节,使学生认识到数学总是与现实问题密不可分的,人们的需要产生数学.二、新知构建1.正比例函数概念思路一下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?(1)圆的周长l随半径r的大小变化而变化;(2)铁的密度为7.8 g/cm3,铁块的质量m(单位:g)随它的体积V(单位: cm3)的大小变化而变化;(3)每个练习本的厚度为0.5 cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:cm)随这些练习本的本数 n 的变化而变化;(4)冷冻一个0 ℃物体,使它每分下降2 ℃,物体的温度T (单位: ℃)随冷冻时间t (单位:分)的变化而变化.学生先独立思考上面提出的问题,再以小组为单位进行交流.教师解析: (1)l =2πr ;(2)m = 7.8V ;(3)h =0.5 n ;(4)T =-2t.引导学生认真观察以上出现的四个函数解析式,分别说出哪些是常数、自变量和函数.函数解析式常数自变量函数 (1)l =2πr2π r l (2)m =7.8V7.8 V m (3)h =0.5n0.5 n h (4)T =-2t -2 t T提问:这些函数有什么共同点?学生观察这些函数关系式,发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式,和y =300t ,y =200x 的形式一样.教师归纳:一般地,形如y =kx (k 是常数,k ≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数.[设计意图] 由实际问题入手,设置情境问题,激发学生的兴趣,体会数学来源于生活,又应用于生活,让学生初步感受正比例函数在实际生活中的应用.思路二前面我们学习了函数的概念,学会了用描点法来画函数的图象,观察下列函数的解析式,发现它们有什么特点?(1)y =3x ; (2)y =-6x ; (3)y =x ; (4)y =-x.师生共同分析:上述这些函数都是常数与自变量乘积的形式,我们把形如这样的函数叫做正比例函数.一般地,形如y =kx (k 是常数,k ≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数. 教师强调:(1)常量:k ,变量:x ,y ,自变量取值范围:全体实数;(2)正比例函数的函数y 与自变量x 之间就是正比例关系的量.[设计意图] 通过观察所给函数的结构特点,让学生寻找这些函数具有的规律,让学生体会由特殊到一般来解决问题的方法.2.例题讲解例1 (补充)下列式子,哪些表示y 是x 的正比例函数?如果是,请你指出正比例系数k 的值.① y =31x ;② y =x32;③ y =﹣x 6;④ y =2x ;⑤y =x 2+1;⑥ y =5x +2. 〔解析〕观察所给的函数表达式,看是否满足正比例函数y =kx 的形式来求解.解:① y =31x 是正比例函数,正比例系数k =31. ④ y =2x 是正比例函数,正比例系数k =2.②,③,⑤,⑥ 都不是正比例函数.[设计意图] 通过设计一组函数,让学生利用正比例函数的定义进行判断求解,帮助学生及时复习所学的概念.例2 (补充)①若y =(k -1)x 是正比例函数,则 ;②若y =2x m 是正比例函数,则m = .③在函数y =(k －2)中,当k = 时,为正比例函数.〔解析〕根据正比例函数定义,利用比例系数k ≠0,或者x 的指数为1列不等式或方程进行求解.①∵y =(k -1)x 是正比例函数,∴k -1≠0,∴k ≠1.②∵y =2x m 是正比例函数,∴m =1.③∵函数y =(k -2)为正比例函数,∴∴k =-2.答案:①k ≠1 ②1 ③-2[设计意图] 通过设计一组填空题,让学生根据正比例函数的比例系数和未知数的指数来列不等式或方程来求字母的取值.例3(补充)若y 与x -2成正比例关系,且x =4时,y =5.求y 关于x 的函数关系式. 〔解析〕先根据y 与x -2成正比例关系可设y =k (x -2),再把x =4时,y =5代入求出k 的值即可.解:设y =k (x －2),则有k (4－2)=5,解得k =25. 所以y 关于x 的函数关系式为y =25x －5. [设计意图] 通过设计代数式之间成正比例关系,利用方程的思想进行求解,让学生更深刻理解正比例函数的定义.三、教学小结本节课学习了正比例函数的概念:形如y =kx (k 是常数,k ≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数;会用正比例函数定义来判断函数是否为正比例函数;并且会用正比例函数定义来求一些字母的取值;解题时注意:判定一个函数是否为正比例函数,要化简后再判断.【板书设计】19.2 一次函数 19.2.1 正比例函数课时1正比例函数的概念1.正比例函数概念2.例题讲解例1 例2 例3【课堂检测】1.下面四个小题中两个变量成正比例的是( )A.儿童的身高和年龄B.等腰梯形的上底固定时,下底和面积C.圆柱的高和体积D.长方体的底面是边长为定值a 的正方形,它的体积和高解析:儿童的身高与年龄不成正比例关系;由等腰梯形的面积公式、圆柱的体积公式可知B,C 不正确;由题意知长方体的体积=a 2×高,且a 为定值,所以它的体积和高是成正比例的.故选D .2.若y =5x 3m -2是正比例函数,则m = .解析:根据正比例函数定义,得3m -2=1,解得m =1.故填1.3.y =(k -2)x 2+5x 是正比例函数,则k 的值为 .解析:根据正比例函数定义,得k -2=0,解得k =2.故填2.4.下列式子,哪些表示y 是x 的正比例函数?如果是,请你指出正比例系数k 的值.(1)y =-0.1x ; (2)y =53x ; (3)y =2x 2; (4)y 2=4x ;(5)y =-4x +3; (6)y =2(x -2x 2)+2x 2.解:(1) 表示y 是x 的正比例函数;正比例系数k =-0.1.(2) 表示y 是x 的正比例函数;正比例系数k =53.(3),(4),(5),(6)都不是正比例函数. 5.如果y =kx (k ≠0),当x =4时,y =2;那么x =-3时,y 的值是多少?解:∵y =kx ,当x =4时,y =2,∴4k =2,∴k =21,∴y =21x ,∴当x =-3时,y =23.【教学反思】成功之处：在本节课通过实际问题的引入,激发学生的学习兴趣,再通过设计一组问题,让学生观察、对比、归纳出正比例函数定义,通过例题来巩固新知识,利用一组由浅入深、由易到难的题,逐题递进,落实本节课的教学重点.在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法,激发学生思维,营造良好的课堂气氛.不足之处：由于课堂的容量较大,学生思考问题的时间显得相对不足,学困生就显得很吃力.再教设计：教学设计时可以进行分层设计,一组基础题让学困生完成,另一组难的让基础好的学生完成.．人教版八年级下册数学第19章平行四边形19.2一次函数19.2.1正比例函数课时1正比例函数的概念学案【学习目标】1．理解正比例函数的概念；2．会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题．【学习重点】正比例函数的概念及其简单应用．【学习难点】会求正比例函数的解析式．【自主学习】一、知识链接1.若香蕉的单价为5元/千克，则其销售额m（元）与销售量n（千克）成比例，其比例系数为.2.举例说明什么是函数及自变量.二、新知预习1.下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：（1）圆的周长l随半径r的变化而变化．（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．（3）每个练习本的厚度为0.5cm ，一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm ）随练习本的本数n 的变化而变化．（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体问题T （单位：℃）随冷冻时间t （单位：min ）的变化而变化．（5）以上出现的四个函数解析式都是常数与自变量的形式.2.自主归纳：一般地，形如（k 是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．三、自学自测1.判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？2(1)3;(2)21;(3);(4);(5)π ;(6).2x y x y x y y y x y x ==+=-===2. 回答下列问题：(1)若y=(m-1)x 是正比例函数，m 取值范围是；(2)当n 时，y=2x n 是正比例函数； (3)当k 时，y=3x+k 是正比例函数. 四、我在自学过程中产生的疑惑【构建新知】一、新知梳理知识点1：正比例函数的概念问题1：正比例函数的定义是什么？需要注意哪些问题？【典例探究】例 1 已知函数 y=(m-1)2m x 是正比例函数，求m 的值.方法总结:正比例函数满足的条件：（1）自变量的指数为1；（2）比例系数为常数，且不等于0.知识点2：求正比例函数的解析式例2若正比例函数当自变量x等于-4时，函数y的值等于2.（1）求正比例函数的解析式；（2）求当x=6时函数y的值.方法总结:求正比例函数解析式的步骤：（1）设：设函数解析式为y=kx；（2）代：将已知条件带入函数解析式；（3）求：求出比例系数k；（4）写：写出解析式.知识点3：正比例函数的简单应用问题2：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米.设列车的平均速度为300千米每小时.考虑以下问题：（1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时（保留一位小数）？（2）京沪高铁的行程y（单位：千米）与时间t（单位：时）之间有何数量关系？（3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米的南京南站？例3已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15 L．所使用的汽油为5元/ L ．（1）写出汽车行驶途中所耗油费y （元）与行程 x （km ）之间的函数关系式，并指出y 是x 的什么函数；（2）计算该汽车行驶220 km 所需油费是多少？方法总结:判断是否为正比例函数的依据是函数解析式能否化为y=kx （k 是常数，k≠0）的形式.【跟踪练习】1.(1)若y=(m-2)x |m|-1是正比例函数，则m= ；(2)若y=(m-1)x+m 2-1是正比例函数，则m= . 2.已知y 与x 成正比例，当x 等于3时，y 等于-1.则当x=6时，y 的值为____________.【学习检测】1.下列说法正确的打“√”,错误的打“✕”(1)若y =kx ,则y 是x 的正比例函数. ( )(2)若y =26x 2,则y 是x 的正比例函数. ( ) (3)若y =2(x -1)+2,则y 是x 的正比例函数. ( )(4)若y =2(x -1),则y 是x -1的正比例函数. ( )(1)✕ (2)✕ (3)√ (4)√(解析:先把所给的代数式化成最简形式,再根据正比例函数定义进行判断求解.)2.下列函数关系中，属于正比例函数关系的是（）A.圆的面积S 与它的半径rB.行驶速度不变时，行驶路程s与时间tC.正方形的面积S与边长aD.工作总量（看作“1” ）一定，工作效率w与工作时间t3.下列说法正确的打“√”，错误的打“×”.（1）若y=kx，则y是x的正比例函数（）（2）若y=2x2，则y是x的正比例函数（）（3）若y=2(x-1)+2，则y是x的正比例函数（）（4）若y=(2+k2)x，则y是x的正比例函数（）4.填空（1）如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k满足_______.（2）如果y=kx k-1，是y关于x的正比例函数，则k=____.（3）如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=_____.（4）若23=-是关于x的正比例函数，m=_____.(2)my m x-5.汽车以40千米/时的速度行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数解析式为, y是x的函数.y=40x正比例(解析:根据路程=速度×时间和正比例函数的定义进行判断.) 6.填空(1)若函数y=(a-3)x+a2-9是正比例函数,则a =;(2)若y=(k+3)是y关于x的正比例函数,则k=;(3)若y与x-2成正比例,当x=3时,y=-4.试求出y与x的函数关系式.解析:由正比例函数解析式为y=kx,根据题意列方程或不等式进行求解.解:(1)∵函数y=(a-3)x+a2-9是正比例函数,∴a=-3.(2)∵y=(k+3)x|k|-2是y关于x的正比例函数,∴k=3.(3)∵y与x-2成正比例,∴设y=k(x-2),∵当x =3时,y =-4,∴k =-4,∴y 与x 的函数关系式为y =-4x +8.7.已知函数y =2x 2a ＋3+a +2b 是正比例函数,则a = ,b = .﹣1 21 8.若x ,y 是变量,且函数y =(k +1)是正比例函数,则k = .1(解析:由正比例函数定义,可知故k =1.)9.若y =kx +2k -3是y 关于x 的正比例函数,则k = .(解析:由正比例函数定义可知2k －3=0,且k ≠0,故k =23.) 10.已知y-3与x 成正比例，并且x=4时，y=7，求y 与x 之间的函数关系式.11.已知y -6与x +3成正比例,且x =1时,y =26,试写出y 与x 的函数关系式. 解:∵y -6与x +3成正比例,∴设y -6=k (x +3).又∵x =1时,y =26,∴4k =20,∴k =5,∴y -6=5(x +3),∴y 与x 的函数关系式为y =5x +21.12.有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0.5公顷每小时的小麦收割机来收割.（1）求收割的面积y （单位：公顷）与收割时间x （单位：时）之间的函数关系式；（2）求收割完这块麦田需用的时间.13.汽车由天津驶往相距120千米的北京,s (千米)表示汽车离开天津的距离,t (小时)表示汽车行驶的时间,如图所示.(1)汽车用几小时可到达北京?速度是多少?(2)汽车行驶1小时,离开天津有多远?(3)当汽车距北京20千米时,汽车出发了多长时间?解:(1)由图象可知:s与t成正比例,设s=kt,当t=4时,s=120.即120=k×4,∴k=30.∴s=30t.∴汽车用4小时可到达北京,速度是30千米/时.(2)当t=1时,s=30×1=30(千米).∴汽车行驶1小时,离开天津30千米.(3)当s=100时,100=30t,t=(小时).∴当汽车距北京20千米时,汽车出发了小时.。

人教版数学八年级下册19.2第1课时正比例函数优秀教学案例

人教版数学八年级下册19.2第1课时正比例函数优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，正比例函数是学生接触到的第一个具有明显线性特征的函数类型，对于培养他们的数学思维与解决实际问题的能力具有重要意义。本教学案例以人教版数学八年级下册19.2第1课时正比例函数为主题，通过设计丰富多样的教学活动，旨在帮助学生理解正比例函数的概念、图像及性质，并能将其应用于解决生活中的实际问题。
在教学正比例函数这一课时，我将通过创设贴近学生生活的情景，激发他们的学习兴趣。例如，可以引入购买商品时的单价与总价关系、速度与时间关系等实例，让学生在具体情境中感知正比例函数的存在。这样既能帮助学生理解正比例函数的定义，又能使他们体会到数学知识在实际生活中的应用。
（二）问题导向
以问题为导向的教学策略，可以引导学生主动探究、积极思考。在教学中，我将设计一系列具有启发性和挑战性的问题，如“如何表示两个变量的正比例关系？”“正比例函数的图像有什么特点？”等。通过这些问题，让学生在解答过程中掌握正比例函数的知识点，培养他们分析问题和解决问题的能力。
4.反思与评价的有机结合
本案例注重学生的反思与评价，引导他们在学习过程中及时总结经验教训，调整学习策略。同时，教师采用多元化的评价方式，关注学生的全面发展。这种反思与评价的有机结合，有助于提高学生的学习效率，增强他们的自信心。
5.丰富的教学内容与过程设计
本案例在教学内容与过程设计方面，充分考虑了学生的认知规律和教学目标。从导入新课、讲授新知、小组讨论、总结归纳到作业小结，各个环节紧密相连，层层递进。这种设计有助于学生系统、全面地掌握正比例函数的知识，提高他们的数学素养。
3.引导学生运用数形结合的思想，将正比例函数的图像与性质相结合，提高他们解决问题的直观想象和逻辑推理能力。

教学设计5：19.2.1正比例函数（1）

19.2.1正比例函数（1）一、教学目标：1、知识与技能：使学生理解正比例函数的概念，会用描点法画正比例函数图象，掌握正比例函数的性质．2、过程与方法：在理解、掌握正比例函数概念的过程中感受阅读理解能力的重要性，在探索正比例函数性质的过程中培养学生的归纳总结能力。

3、情感态度与价值观：实例引入，激发学生学习数学的兴趣．二、教学重点：探索正比例函数的性质．三、教学难点：探索正比例函数的性质．四、教学模式：问题导引式五、学习方式：自学法，问题导学法、合作交流，讨论法六、教学程序：导入新课—合作探究—学生展示—总结要点—课堂反馈—小结－布置作业七、教学流程：（一）、导入新课问题情境1：汽车以60km/h的速度匀速前进，行驶里程为s km，行驶的时间为t h，先填写下面的表格，在试用含t的式子表示s.t/h12345s/km1、填表2、计算出表中每一组数据s/t的值，并指出t与s之间的关系。

3、写出问题情境1中路程s关于时间t的关系式。

问题情境2：下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？（1）圆的周长l随半径r的大小变化而变化；（2）每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化；（3）冷冻一个0 ℃物体，使它每分下降2 ℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化．回答问题：1、写出上边三个问题的函数表达式。

2、这些函数有什么共同点？发现：它们都是常数与自变量的乘积的形式．这函数叫什么函数？合作探究一、看书回答问题：1、一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0) 的函数，叫做________。

其中k叫做____________．2、y＝kx(k≠0)的图象是一条经过_____的_______，我们称它为________函数。

3、当k_______时，直线y＝kx(k≠0)的图象经过第_____象限，且y随x的增大而______，直线呈________状态；当k_______时，直线y＝kx(k≠0)的图象经过第________象限，且y随x的增大而_______，直线呈__________状态。

人教版初中数学八年级下册19.2.1《正比例函数的图像和性质》教案设计

19.2.1正比例函数图像与性质一、教学目标（1）知识目标：能根据正比例函数的图像，观察归纳出函数的性质；并会简单应用。

（2）能力目标：逐步培养学生的观察能力，概括的能力，通过教师指导发现知识，初步培养学生数形结合的思想以及由一般到特殊的数学思想。

（3）情感目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，逐步培养学生实事求是的科学态度。

二、教学的重点和难点教学重点：正比例函数的性质及其应用。

教学难点：发现正比例函数的性质。

三、教学方法与学法指导教学方法：通过本节课的教学，我选用引导发现法和直观演示法，本节课的难点是发现正比例函数的性质，通过教师的引导，启发调动学生的积极性，让学生在课堂上多活动（画图）、多观察（图像），主动参与到整个教学活动中来，最后发现其性质。

学法指导：教师引导学生学会观察、归纳的学习方法。

四、教学过程：（一）情景引入当今网络已经越来越普及,可以用电脑上网,手机上网等,我们班级有位同学经常上网,他的打字速度非常快,达到每分钟可以输入两百个汉字,真是高手!如果他输入的汉字个数用y(单位:百个)来表示,那么y与输入时间x(单位:分钟)的函数关系式是什么?这个函数是我们前面学习的正比例函数吗?用描点法,你能画出这个函数的图象吗?（二）学习新知画出下列正比例函数的图象,并进行比较, (1)y=2x;解:(1)列表:函数y=2x中自变量x可以是任意实数.列表表示几组对应值:描点,连线,画出图象,如图所示:练习:在同一坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行比较：y=2x y=-2x问题:观察所画的四个函数图象,填写你发现的规律:①四个函数图象都是经过的直线.②函数y=2x 的图象经过第象限,从左向右 (呈什么趋势),即y 随x 的增大而；③函数y=-2x 的图象经过第象限,从左向右,即y 随x 的增大而。

小结正比例函数y=kx (k ≠0)的性质:(1)图象是经过原点的一条直线.(2)当k >0时,图象经过第一、三象限,从左向右上升,y 随x 的增大而增大(递增).(3)当k <0时,图象经过第二、四象限,从左向右下降,y 随x 的增大而减小(递减).思考画正比例函数的图象时,怎样画最简单?为什么?正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是经过原点的一条直线,由于两点确定一条直线,因此画正比例函数图象时我们只需描点(0,0),点(1,k),两点连线即可.说明:正是由于正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条直线,我们可以称它为直线y=kx知识拓展(1)正比例函数y=kx可以说成y与x成正比例,要求函数关系式,只需通过x,y 的一组对应值求出k,从而确定关系式.(2)正比例函数的图象是过原点的直线,当k>0时,直线从左到右呈上升趋势,经过第一、三象限;当k<0时,直线从左到右呈下降趋势,经过第二、四象限.画正比例函数的图象时,只需要选取除原点外的一点,再过原点和选取点画直线即可,选取的点一般为点(1,k).(3)正比例函数的性质可以逆用.如当正比例函数y=kx(k≠0)中y随x的增大而增大时,k>0,反之,k<0;若正比例函数的图象过第一、三象限,则k>0等.例：(补充)(1)已知一个正比例函数的图象经过点(-1,3),则这个正比例函数的表达式是？〔解析〕设正比例函数的解析式为y=kx,把点(-1,3)代入解析式求出k的值即可.解:(1)设正比例函数的解析式为y=kx,∵正比例函数的图象经过点(-1,3),∴-k=3,∴k=-3,∴这个正比例函数的表达式是y=-3x.例：(补充) 已知点(2,-4)在正比例函数y=kx的图象上.（1）求k的值;〔解析〕把点(2,-4)代入y=kx中列方程进行求解.解:∵点(2,-4)在正比例函数y=kx的图象上,∴2k=-4, ∴k=-2.(2)若点(-1,m)在函数y=kx的图象上,试求出m的值;〔解析〕把点(-1,m)代入(1)中函数解析式列方程进行求解.解：由k=-2得y=-2x,∵点(-1,m)在函数y=-2x的图象上,∴m=-2×(-1)=2.教学反思由于课堂的容量较大，学生思考问题的时间显得相对不足，学困生就显得很吃力。