物理学9刚体定轴转动定律的应用举例

力矩是使刚体转动状态发生改变而产生 角加速度的原因。
刚体定轴转动的转动定律的应用
例1、一个质量为M、半径为R的定滑
轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，
绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
一质量为m的物体而下垂。忽略轴处
mg
Fra Baidu bibliotek
摩擦，求物体m由静止下落高度h时
的速度和此时滑轮的角速度。
解： 对M：M ＝TR＝I 对m : mg T ma
O 力矩为重力对O的力矩。 棒
上取质元dm,当棒处在下摆
l
角时，该质量元的重力对轴
的元力矩为
dm dl
gdm
dM l cosgdm gl cosdl
dM l cosgdm gl cosdl O
重力对整个棒的合力矩为
l
M＝
dM
L
0
gl
cosdl
gL2 cos 1 mgL cos
2
2
代入转动定律，可得
Ek
n i 1
1 2
mi
ri
2
2
1( n 2 i1
mi ri 2 ) 2
1 2
I 2
刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量
与角速度平方乘积的一半。
比较：
Ek
1 2
I 2
Ek
1 2
mv 2
Ek
L2 2I
Ek
p2 2m
2、力矩的功
dAi Fidsi Firid Mid 式中 Fi Fi cos i
物理学 9 刚体定轴转动定律的应用举例
张宏浩
1
回顾第7讲的知识
回顾：刚体的转动定律
n
Miz
i 1
I
d
dt
I
n
i 1
M iz
d dt
(I )
dLz dt
刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚
体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量
成反比。
刚体定轴转动的转动定律
M＝I
与
F
ma 地位相当
m反映质点的平动惯性，I反映刚体的转动惯性
若 Mz 0 有I I0
对轴的角动量守恒定律 外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对
同一轴的角动量守恒。
角动量守恒定律的两种情况：
1、转动惯量保持不变的刚体 当M 0时，I I0 ,则 0
例：回转仪
2、转动惯量可变的物体
当I增大时，就减小； 当I减小时， 就增大，从而 I保持不变
例：旋转的舞蹈演员
O
dri
dri i
Fi
M i Fi ri
对i求和，得： dA ( Mi )d Md
A 2 Md 1
力矩的功率为：
P dA M d M
dt
dt
当输出功率一定时, 力矩与角速度成反比。
3、刚体定轴转动的动能定理
M I d I I d d I d
dt
d dt d
当θ=θ1时，ω=ω1 所以：
M
1 mgL cos
2
3g cos
I
1 mL2
2L
3
dm dl
gdm
2
1
Md
1 2
I22
1 2
I12
代入M＝1 mgl cos
2
1 mgL cosd 1 I 2
02
2
1 mgL sin 1 I 2
2
2
mgL sin 3g sin
I
L
I 1 mL2 3
三、定轴转动的动能定律
1、转动动能
I＝1 MR2 2
a R
解方程得： a
m
m M
2
g
mg
4mgh v 2ah
2m M
v 1 4mgh
R R 2m M
例2、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有 一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。
最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加
速度和角速度。
解：棒下摆为加速过程，外
2
1
Md
1 2
I
2 2
1 2
I12
刚体定轴转动的动能定理
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体 转动动能的增量。
四、刚体组对轴的角动量守恒定律
n
i 1
Miz
d dt
(I )
dLz dt
t
L
(
t0
M z )dt L0 dLz I I0
冲量矩
定轴转动刚体的角动量的增量等于 合外力矩对冲量矩。