判断增减函数的两种常用方法
函数增减性与奇偶判断准则
一复合函数1.增减性对于 F(x)=f[g(x)] 的复合函数,其增减性满足乘法定则即: 增复合增=增, 减复合减=增 ,减复合增=减,由此可推出更高阶规律,例如增复合增复合减=增复合减=减.2.奇偶性对于F(x)=f[g(x)] 的复合函数,其实只要掌握好奇偶函数的定义，自己推一下是非常容易的。
记F(x)=f[g(x)]——复合函数，则F(-x)=f[g(-x)]，如果g(x)是奇函数，即g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f[-g(x)]，则当f(x)是奇函数时，F(-x)=-f[g(x)]=-F(x)，F(x)是奇函数；当f(x)是偶函数时，F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。
如果g(x)是偶函数，即g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。
所以由两个函数复合而成的复合函数，当里层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数，不论外层是怎样的函数；当里层的函数是奇函数、外层的函数也是奇函数时，复合函数是奇函数，当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数。
在其它的场合，就不能如此单纯地判断复合函数的奇偶性了。
E 相乘函数1.增减性对于F(x)=g(x)*f(x) ,一切皆无定则.知道你会不信,很好,我来举个例子:f(x)=g(x)=-x ,都是减函数,而F(x)=x^2,有增有减.2.奇偶性对于F(x)=g(x)*f(x), 同样满足乘法定则(其实这名字是我取的,不要说出去,不然没人听的懂). 即奇*偶=奇 ,偶*偶=偶 ,奇*奇=偶除法就不用说了,F(x)=g(x)/f(x) ,可以看成F(x)=g(x)[1/f(x)], 自己推. 不过最重要的是,上述所说的都要符合在相同定义域内,否则...都是枉然。
证明函数单调性的方法
证明函数单调性的方法证明一个函数的单调性是数学分析中的重要内容，它涉及到函数的增减性质，对于函数的研究具有重要意义。
在数学分析中，我们常常需要证明一个函数在某个区间上是单调递增或者单调递减的。
下面，我将介绍几种常见的方法来证明函数的单调性。
1. 导数法。
导数法是证明函数单调性常用的方法之一。
对于给定的函数f(x)，如果它在某个区间上具有一阶导数，那么我们可以通过导数的正负来判断函数的单调性。
具体来说，如果在某个区间上f'(x)大于0，则函数在该区间上是单调递增的；如果f'(x)小于0，则函数在该区间上是单调递减的。
2. 函数的增减表。
函数的增减表是一种通过导数的符号来判断函数单调性的方法。
我们可以通过求出函数的导数，并列出导数的符号随着自变量的变化而变化的情况，从而得出函数在某个区间上的单调性。
通过增减表，我们可以清晰地看出函数的单调性，并进行证明。
3. 极值点和拐点。
对于一个函数f(x)，它的极值点和拐点也可以帮助我们证明函数的单调性。
如果在某个区间上f'(x)恒大于0，并且f''(x)恒大于0，那么函数在该区间上是单调递增的；如果f'(x)恒小于0，并且f''(x)恒小于0，那么函数在该区间上是单调递减的。
通过分析极值点和拐点，我们可以得出函数的单调性。
4. 函数图像法。
最直观的方法是通过函数的图像来观察函数的单调性。
我们可以通过绘制函数的图像，并观察函数在某个区间上的变化趋势，从而得出函数的单调性。
通过观察函数的图像，我们可以直观地理解函数的单调性，并进行证明。
综上所述，证明函数单调性的方法有多种多样，我们可以根据具体的函数和问题选择合适的方法进行证明。
在实际应用中，我们需要灵活运用这些方法，从而准确地判断函数的单调性，为数学分析和实际问题的解决提供有力的支持。
判断增减函数的两种常用方法
判断增减函数的两种常用方法判断一个函数是增函数还是减函数是数学中一种常见的问题。
在分析函数的增减性时，有两种常用的方法：一阶导数法和二阶导数法。
一阶导数法是通过求函数的一阶导数来判断其增减性。
函数的一阶导数描述了函数在其中一点的斜率或变化率。
如果函数的一阶导数在定义域上大于0，则该函数在该区间上是增函数；如果一阶导数小于0，则函数是减函数。
需要注意的是，一阶导数为0的点是可能存在的转折点或极值点。
当一阶导数为0时，我们需要结合其他方法来确定其增减性。
举例说明一阶导数法。
考虑函数f(x)=x^2，我们可以计算它的一阶导数f'(x)=2x。
在定义域上，2x大于0，说明f(x)是增函数。
然而，一阶导数法有一些局限性。
首先，一阶导数只能告诉我们函数的整体趋势，但不能提供确切的增减区间。
其次，一阶导数法对于具有多个转折点的函数来说不是很有效。
在这种情况下，我们可以考虑使用二阶导数法。
二阶导数法是通过求函数的二阶导数来判断其增减性。
函数的二阶导数描述了函数的曲率或者一阶导数的变化率。
如果函数的二阶导数在定义域上大于0，则该函数是凸函数，即是增函数；如果二阶导数小于0，则函数是凹函数，即是减函数。
再次需要注意的是，二阶导数为0的点可能存在拐点。
举例说明二阶导数法。
考虑函数g(x)=x^3，我们可以计算它的二阶导数g''(x)=6x。
对于所有x，6x大于0，说明g(x)是一个增函数。
二阶导数法在一些情况下更有优势，因为它可以提供更多的信息。
例如，当函数的一阶导数为0时，我们可以看一下二阶导数来确定是极大值或极小值。
当函数的一阶导数一直大于0，而二阶导数在其中一点变为小于0时，我们可以确定在那个点函数发生了从增加到减少的反转。
总之，判断增减函数的两种常用方法是一阶导数法和二阶导数法。
一阶导数法通过一阶导数的正负来判断函数的增减性，但对于具有多个转折点的函数有一定的局限性。
而二阶导数法通过二阶导数的正负来判断函数的增减性，可以提供更多的信息。
高一上数学：函数复合及加减乘除的增减性与奇偶性一般快速判断方法
函数增减性与奇偶性一般快速判断方法
一、复合函数
1.增减性：同增异减
2.奇偶性：一偶得偶，同奇为奇
（1）由两个函数复合而成的复合函数，当里层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数，不论外层是怎样的函数；
（2）当里层的函数是奇函数、外层的函数也是奇函数时，复合函数是奇函数；
（3）当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数。
（4）当里层的函数是非奇非偶时，外层函数是偶函数时，复合函数是非奇非偶函数。
二、加减函数（同性加减为同性，异性加减无定则）
1.增减性
对于F(x)=g(x)+f(x)，增+增=增，减+减=减，减+增则无定则。
注意同性减也无定则，可用y=kx线性函数判断。
2.奇偶性
对于F(x)=g(x)+f(x)，奇+奇=奇,奇-奇=奇, 偶+偶=偶 ,偶-偶=偶.奇+偶无定则
三、相乘函数
1.增减性（增减乘除无定则）
对于F(x)=g(x)*f(x) ,一切皆无定则.知道你会不信,很好,我来举个例子:f(x)=g(x)=-x ,都是减函数,而F(x)=x^2,有增有减。
2.奇偶性（奇偶乘除看负号，负负得正是关键）
对于F(x)=g(x)*f(x), 同样满足乘法定则(其实这名字是我取的,不要说出去,不然没人听的懂). 即奇*偶=奇,偶*偶=偶,奇*奇=偶。
除法和乘法一样,F(x)=g(x)/f(x) ,可以看成F(x)=g(x)[1/f(x)], 自己推.
不过最重要的是,上述所说的都要符合定义域要求,否则都是枉然。
函数的增减性与函数最值的判定与求解
利用单调性研究最值：在闭区间上连续的函数，如果在区间内单调递增或递减，则该函数在此区间内必存在最值点
添加项标题
实际应用举例
06
利用函数的增减性与最值解决实际问题的方法
验证解的正确性和可行性
Байду номын сангаас
利用最值点进行实际问题的求解
分析函数的增减性，确定最值点
确定问题中函数的表达式和定义域
数学建模中函数的增减性与最值的应用
首先确定函数的增减性
利用增减性判断函数的最值
结合函数图像确定最值位置
计算最值并得出结论
利用函数最值研究函数的增减性
函数最值与增减性的关系：函数的最值点是函数增减性变化的转折点
添加项标题
利用最值点判断增减性：在闭区间上连续的函数，如果在区间两端取到的函数值异号，则函数在此区间内必有最值点
添加项标题
利用导数研究增减性：通过求导数可以判断函数的增减性，导数大于0表示函数递增，导数小于0表示函数递减
增减函数的应用
增减函数在经济学中的应用
增减函数的定义和性质
增减函数在数学分析中的应用
增减函数在物理学中的应用
函数最值的判定
03
函数最值的定义与性质
函数最值的定义：函数在某点处取得最大值或最小值
函数最值的性质：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值
判定函数最值的方法
二次函数判别式法：对于二次函数，通过判别式判断最值
函数最值与增减性的关系
05
增减性对函数最值的影响
增减性与最值的关系可以通过导数来判断
单调递减函数的最值为极小值
单调递增函数的最值为极大值
增减性决定了函数最值的性质
函数最值与增减性的相互转化
函数的增减性
函数的增减性
增函数与减函数的概念是减函数减增函数是减函数，减函数是指在定义域内，函数值随自变量的增大而减小，随自变量减小而增大的函数。
在定义域内函数y的值随着x的增大而增大，是增函数，函数y的值随着x的减小而减小，是减函数。
图像上看沿着x轴正向图像上升就是增函数，图像上看沿着x轴正向图像上升就是增函数
函数增减性。
主要有图像法，导数法，定义法三种。
图像法：如果函数图像在定义域内一直上升，则说明函数是增函数，如果图像在定义域内一直下降，则为减函数，否则就是非增非减函数。
定义法：设函数f（x）在定义域内存在任意的x1，x2，且x1\uex2，然后用发f（x1）-f（x2），判断f（x1）-f（x2）与零的大小，若f（x1）-f（x2）\ue0，则函数f（x）为增函数，若f（x1）-f（x2）0，则f（x）为增函数，若f（x）’\uc0，f（x）为减函数。
增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；增函数-减函数=增函数；减函数-增函数=减函数。
增函数：一般地,设函数f(x)的定义域为d,如果对于定义域d内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1\ucx2时,都有f(x1)\uc f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数。
此区间就叫做函数f(x)的单调增区间。
也就是在某个区间，y随x的增大而增大减函数：一般地,设函数f(x)的定义域为d,如果对于定义域d内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1 f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数。
此区间叫做函数f(x)的单调减区间。
也就是在某个区间，y随x的增大而减小。
证明函数单调性的方法
证明函数单调性的方法在数学中，证明函数的单调性是一个非常重要的问题。
函数的单调性指的是函数在定义域内的增减性质，即函数的取值随自变量的增减而增加或减少。
证明函数的单调性有多种方法，下面我们将介绍几种常见的方法。
一、导数法。
证明函数单调性的常用方法之一是利用导数。
对于给定的函数，我们可以求出其导数，并通过导数的正负性来判断函数的单调性。
具体来说，如果函数在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上就是单调递增（或单调递减）的。
以求证函数f(x)在区间(a, b)上单调递增为例，我们可以先求出函数f(x)在该区间上的导数f'(x)，然后证明f'(x)恒大于零。
如果能够证明f'(x)>0，那么就可以得出函数f(x)在区间(a, b)上单调递增的结论。
二、一阶导数和二阶导数法。
除了利用导数的正负性来证明函数的单调性外，我们还可以利用一阶导数和二阶导数的关系来进行证明。
具体来说，如果函数在某个区间上的一阶导数恒大于零，而二阶导数恒大于或恒小于零，那么函数在该区间上就是单调递增的。
同理，如果一阶导数恒小于零，而二阶导数恒大于或恒小于零，那么函数在该区间上就是单调递减的。
三、零点法。
另一种证明函数单调性的方法是利用函数的零点。
具体来说，如果函数在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上就是单调递增（或单调递减）的。
而函数的导数恒大于零（或恒小于零）又可以通过证明函数的导数在该区间上没有零点来得到。
因此，我们可以通过证明函数的导数在某个区间上没有零点来证明函数在该区间上的单调性。
四、其他方法。
除了上述方法外，还有一些其他方法可以用来证明函数的单调性，比如利用函数的图像、利用函数的定义等。
在具体问题中，我们可以根据函数的性质和给定条件选择合适的方法来进行证明。
总结。
综上所述，证明函数的单调性有多种方法，包括导数法、一阶导数和二阶导数法、零点法以及其他方法。
判断增减函数的两种常用方法
判断增、减函数常用的两种方法有关函数的单调性问题是高考久考不衰的热点，判断函数单调性的基本方法有：①定义法②图像法③复合函数法④导数法等等。
而定义法和导数法是做题中最常用的两种方法。
今天我们主要来讲这两种方法，我们先来讲定义法。
现在一起来回顾下函数的单调性是怎么定义的。
定义：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。
根据定义，我们可以归纳出用定义法证明函数单调性的思路为：（1）取值：设21,x x 为该相应区间的任意两个值，并规定它们的大小，如21x x <；（2）作差：计算)()(21x f x f -，并通过因式分解、配方、有理化等方法作有利于判断其符号的变形；（3）定号：判断)()(21x f x f -的符号，若不能确定，则可分区间讨论；（4）结论：根据差的符号，得出单调性的结论。
好，现在根据归纳出的思路来做几道题例1试讨论函数2()=-1x f x x [(-1,1)]x ∈的单调性。
解：设12-1<<<1x x 则1221121222221212(-)(+1)()-()=-=-1-1(-1)(-1)x x x x x x f x f x x x x x . 12-1<<<1,x x 1221<1,<1,->0,x x x x ∴221212-1<0,-1<0,<1x x x x ，即12-1<<1x x ，∴12+1>0x x21122212(-)(+1)>0(-1)(-1)x x x x x x ∴. 所以函数为减函数。
这个时候我们在题目上做个小变动，加个a 之后函数的单调性还一样吗？我们同样可以用定义来证明。
函数增减性方法和各种问题
函数增减性方法和各种问题引言函数增减性是一种常见的数学概念，用于描述函数在给定区间内的增减趋势。
判断函数的增减性对于解决许多数学问题非常重要。
本文将介绍函数增减性的定义和判断方法，并讨论一些与函数增减性相关的常见问题。
函数增减性的定义函数增减性描述了函数在给定区间内的单调性，即函数的增加或减少的趋势。
如果对于区间内的任意两个数值x1和x2（x1 <x2），函数f(x1)小于等于f(x2)，则函数f(x)在该区间上是递增的。
同样地，如果f(x1)大于等于f(x2)，则函数f(x)在该区间上是递减的。
判断函数增减性的方法1. 求函数的导数：对于可导函数，可以通过求导数来判断函数的增减性。
如果导数大于0，则函数在该区间上递增；如果导数小于0，则函数在该区间上递减。
2. 利用一阶导数的零点：函数在一阶导数的零点处可能存在增减的转折点，即临界点。
通过求解导数为0的方程，可以找到这些临界点，并进一步判断函数的增减性。
3. 分段函数的判断：对于分段函数，可以将函数在每个区间内分别判断增减性。
在每个区间内，可以采用导数或零点的方法来判断函数的增减性。
常见问题1. 如何判断函数在给定区间上的增减性？可以通过求函数的一阶导数，并观察导数的正负来判断函数的增减性。
如果导数大于0，则函数递增；如果导数小于0，则函数递减。
2. 如何判断函数的极值点？函数的极值点包括极大值点和极小值点。
可以通过求解导数为0的方程，找到临界点，然后通过二阶导数的符号来判断这些临界点是极大值点还是极小值点。
3. 如何判断函数在给定区间上的凹凸性？函数的凹凸性可以通过求解函数的二阶导数来判断。
如果二阶导数大于0，则函数在该区间上是凹的；如果二阶导数小于0，则函数在该区间上是凸的。
4. 如何判断函数的拐点？函数的拐点是函数图像上凹凸性发生改变的点。
可以通过找到函数的二阶导数的零点来确定函数的拐点。
5. 是否所有函数都具有增减性？不是所有函数都具有增减性。
判断单调性的5种方法
判断单调性的5种方法单调性是数学中一个非常重要的概念，它描述了函数在定义域内的增减规律。
在学习数学的过程中，我们经常需要判断一个函数的单调性，因此掌握判断单调性的方法是十分必要的。
在本文中，我将介绍判断单调性的5种方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
方法一，利用导数。
判断函数的单调性最直接的方法之一就是利用导数。
对于函数f(x)，如果在定义域内f'(x)>0，那么函数f(x)在该区间上是单调递增的；如果f'(x)<0，那么函数f(x)在该区间上是单调递减的。
当f'(x)=0时，需要额外考虑临界点处的单调性。
利用导数判断单调性是一种非常常用也非常有效的方法。
方法二，利用一阶导数的符号变化。
除了直接利用导数的大小来判断单调性外，我们还可以通过观察一阶导数的符号变化来判断函数的单调性。
具体来说，我们可以找到函数f(x)的一阶导数f'(x)，然后观察f'(x)在定义域内的符号变化。
如果f'(x)在某一区间内始终大于0，则说明函数f(x)在该区间上是单调递增的；如果f'(x)在某一区间内始终小于0，则说明函数f(x)在该区间上是单调递减的。
方法三，利用二阶导数。
除了一阶导数外，我们还可以通过观察函数的二阶导数来判断单调性。
对于函数f(x)，如果f''(x)>0，那么函数f(x)在该区间上是凹的，也就是说在该区间上是单调递增的；如果f''(x)<0，那么函数f(x)在该区间上是凹的，也就是说在该区间上是单调递减的。
利用二阶导数判断单调性在一些特定的函数中会更加方便和直观。
方法四，利用函数图像。
观察函数的图像也是判断单调性的一种方法。
通过观察函数的图像，我们可以直观地了解函数在定义域内的增减规律。
当然，这种方法对于一些复杂的函数可能并不太方便，但在一些简单的情况下，利用函数图像来判断单调性是非常直接和有效的。
高中数学公式大全函数的增减性与极值点的判定公式
高中数学公式大全函数的增减性与极值点的判定公式高中数学公式大全——函数的增减性与极值点的判定公式函数是数学中非常重要的概念，它描述了不同变量之间的关系。
在高中数学中，我们经常需要分析函数的性质，特别是函数的增减性和极值点的判定。
本文将介绍函数的增减性和极值点的判定公式，帮助高中学生更好地理解和应用相关概念。
一、增减性的定义及判定1. 定义函数的增减性描述了函数随自变量的增大或减小而产生的变化规律。
如果函数随自变量的增大而增大，我们称其具有增性；如果函数随自变量的增大而减小，我们称其具有减性。
2. 判定方法函数的增减性可以通过导数的正负来判定。
具体而言，设函数f(x)在开区间(a,b)上可导：（1）若对于任意x1、x2∈(a,b)，若x1<x2，则有f'(x1)<f'(x2)，则函数f(x)在区间(a,b)上是增函数。
（2）若对于任意x1、x2∈(a,b)，若x1<x2，则有f'(x1)>f'(x2)，则函数f(x)在区间(a,b)上是减函数。
二、极值点的定义及判定1. 定义函数的极值点指的是函数在某一点上取得最大值或最小值的点。
2. 判定方法函数的极值点可以通过导数的变号来判定。
具体而言，考虑函数f(x)在点x0处的情况：（1）若f'(x0)>0，且f'(x)从正数变为负数，即在x0的左侧为增函数，在x0的右侧为减函数，则函数f(x)在点x0处取得极大值。
（2）若f'(x0)<0，且f'(x)从负数变为正数，即在x0的左侧为减函数，在x0的右侧为增函数，则函数f(x)在点x0处取得极小值。
需要注意的是，以上判定方法仅适用于函数在开区间内的极值点。
对于函数在闭区间的极值点，还需要考虑函数的端点情况。
三、函数增减性与极值点的实例分析为了更好地理解函数的增减性与极值点的判定，我们来看一个具体的例子。
例：考虑函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1。
函数单调性方法和各种题型
函数单调性方法和各种题型函数的单调性是数学中一个重要的概念，它描述了函数在定义域上的增减性质。
通过研究函数的单调性，可以帮助我们解决各种数学问题，特别是在数学建模、最优化等领域中起到关键作用。
本文将介绍函数单调性的方法以及一些常见的相关题型。
一、函数单调性的定义与判定方法函数的单调性可以分为单调增和单调减两种情况。
我们先来定义函数的单调性：定义：设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，若对于任意的x1，x2∈[a, b]，且x1 < x2，有f(x1) ≤ f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上单调不减；若对于任意的x1，x2∈[a, b]，且x1 < x2，有f(x1) ≥ f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上单调不增。
函数的单调性可以通过导数的正负来进行判定。
具体地，我们有以下定理：定理1：设函数f(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，则：1. 若在(a, b)内f'(x) > 0，则函数f(x)在区间[a, b]上单调不减；2. 若在(a, b)内f'(x) < 0，则函数f(x)在区间[a, b]上单调不增。
根据定理1，我们可以得到如下方法来判断函数的单调性：1. 求解函数的导数f'(x)；2. 分析f'(x)的符号变化，确定函数的单调性。
需要注意的是，当f'(x) = 0时，函数可能存在取值的极值点。
此时，我们需要结合函数的定义域以及f''(x)的符号来综合判断函数的单调性。
二、函数单调性的题型1. 求函数的单调区间：已知函数f(x)在某个区间内连续，并可导，要求确定函数的单调区间。
解题方法：1. 求解函数的导数f'(x)；2. 分析f'(x)的符号变化，确定函数的单调区间。
2. 求函数的最值：已知函数f(x)在某个区间内连续，并可导，要求确定函数在该区间上的最大值或最小值。
函数的单调性求解技巧
函数的单调性求解技巧函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质，也就是函数图像的上升或下降趋势。
在数学中，确定函数的单调性是解决不等式和优化问题的重要步骤。
本文将介绍一些常用的技巧和方法，帮助读者更好地求解函数的单调性。
一、导数法求解函数的单调性最常用的方法就是使用导数。
利用导数可以确定函数的增减性。
具体步骤如下：1.求函数的导数。
设函数为f(x)，则求导得到f'(x)。
2.求出f'(x)的零点。
零点即为f(x)的增减区间的分界点。
3.根据f'(x)的正负确定f(x)的单调性。
当f'(x)>0时，f(x)在该区间上单调递增；当f'(x)<0时，f(x)在该区间上单调递减。
例如，求解函数f(x) = x^2 + 3x + 2的单调性：1.求导得到f'(x) = 2x + 3。
2.令f'(x) = 0，解得x = -3/2。
3.当x < -3/2时，f'(x) < 0，函数f(x)在该区间上单调递减；当x > -3/2时，f'(x) > 0，函数f(x)在该区间上单调递增。
二、二阶导数法除了使用一阶导数外，还可以通过二阶导数的正负确定函数的凹凸性，从而进一步确定函数的单调性。
1.求函数的二阶导数。
设函数为f(x)，求导得到f''(x)。
2.求出f''(x)的零点。
零点即为f(x)的拐点。
3.根据f''(x)的正负确定f(x)的凹凸性。
当f''(x)>0时，f(x)在该区间上为凹函数，即函数图像上凹；当f''(x)<0时，f(x)在该区间上为凸函数，即函数图像下凸。
4.进一步根据一阶导数f'(x)的正负确定f(x的单调性。
当f''(x)>0且f'(x)>0时，f(x)在该区间上单调递增；当f''(x)>0且f'(x)<0时，f(x)在该区间上单调递减。
初三数学函数增减区间判断方法详解
初三数学函数增减区间判断方法详解函数是数学中一种非常重要的概念，它描述了数值之间的关系。
在函数中，常常需要判断函数的增减区间，也就是函数在某一区间内是递增还是递减。
本文将详细介绍初三数学中函数增减区间判断的方法。
一、函数的增减性在讨论函数的增减区间之前，我们首先来了解函数的增减性。
如果一个函数在某一区间内递增，那么函数的值随着自变量的增大而增大；如果一个函数在某一区间内递减，那么函数的值随着自变量的增大而减小。
二、函数的是增还是减为了判断函数的增减性，我们可以通过求导数的方法来进行。
当我们得到函数的导函数后，通过导函数的正负性就可以判断函数的增减性。
具体的方法如下：1. 按照给定的函数，求出函数的导函数。
2. 在导函数的定义域内，求出导函数的零点，也就是求出使导函数等于零的自变量的值。
3. 通过导函数的正负性来判断函数的增减性。
a. 如果导函数在某个零点的左边是负数，右边是正数，那么函数在这个零点左边是递减的，在这个零点右边是递增的。
b. 如果导函数在某个零点的左边是正数，右边是负数，那么函数在这个零点左边是递增的，在这个零点右边是递减的。
c. 如果导函数在某个零点两侧都是正数或都是负数，那么函数在这个零点两侧都是递增或都是递减的。
三、函数增减区间判断的例题分析我们通过几个例题来详细说明函数增减区间的判断方法。
例题一：函数f(x) = x^2 - 2x。
判断函数f(x)在定义域内的增减区间。
解析：首先求出函数的导函数f'(x) = 2x - 2。
然后解方程2x - 2 = 0，得到x = 1。
接下来我们可以根据导函数f'(x)的正负性来判断函数f(x)的增减性。
当x < 1时，导函数 f'(x) = 2x - 2 < 0，即导函数在x < 1的区间内为负数，说明函数f(x)在x < 1的区间内是递减的。
当x > 1时，导函数 f'(x) = 2x - 2 > 0，即导函数在x > 1的区间内为正数，说明函数f(x)在x > 1的区间内是递增的。
函数的单调性自己总结
函数的单调性(局部性质)及最值1、增减函数（1）设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x 1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.（2）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种2、图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3、单调性的判定方法(A) 定义法：○1任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.习 题1、判断函数单调性（1）下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ）A. y=-x+1B. y=xC. y=x2-4x+5D. y=x 2（2）已知f(x)是R 上的增函数，若令F （x ）=f(1-x)-f(1+x)，则F （x ）是R 上的（ ）A.增函数B.减函数C.先减后增的函数D.先增后减的函数 (3) 在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y=2x ＋1B ．y=3x2＋1C ．y=x 2D ．y=2x2＋x ＋1（4）下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝3x2＋1C ．y ＝2xD ．y ＝|x|(5) 下列函数中,在)0,(-∞上为减函数的是( )A.y=3xB.y=-x2C.y=︱x ︱D.y=2x+1(6) 下列函数中,在区间上为增函数的是( ).A ．B ．C ．D ．（7）定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≥0，x 3＋1，x <0D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0，e －x ，x <0以下注意复合函数单调性的判断（8）已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ）A ．在区间(－1，0)上是减函数B ．在区间(0，1)上是减函数C ．在区间(－2，0)上是增函数D ．在区间(0，2)上是增函数答案：（1）B （2）B (3) C （4）C (5) C (6) D （7）C （8）A2、 求函数的单调区间（1） 函数y=542)21(--x x 的递减区间是__________________.（2） 函数y ＝－(x －3)|x|的递增区间是________．（分段函数作图） （3） 函数|1|ln )(-=x x f 的单调递减区间为 ________．（分段函数作图） （4） 函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是（ ）A ．(3，8)B ．(－7，－2)C ．(－2，3)D ．(0，5)（5）函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞（6） 求函数f (x )＝x ＋a 2x (a >0)的单调区间．答案：（1）［2，+∞］ （2）[0，32] （3）)1,(-∞ （4）B （5）C（6）解：∵函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，设x 1、x 2≠0，且x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a 2x 1－x 2－a 2x 2＝(x 1－x 2)＋a 2x 2－x 1x 1·x 2＝x 1－x 2x 1·x 2－a 2x 1·x 2.(1)当x 1<x 2≤－a 或a ≤x 1＜x 2时，x 1－x 2<0，x 1·x 2>a 2，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－a ]上和在[a ，＋∞)上都是增函数．(2)当－a ≤x 1<x 2<0或0<x 1<x 2≤a 时，x 1－x 2<0， 0<x 1·x 2<a 2，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在[－a,0)和(0，a ]上都是减函数．3、 根据函数单调性求得参数的取值范围（x 的取值范围）（1）函数y=(2k+1)X+b 在(-∞，+∞)上是减函数，则（ ）A.k>21 B.k<21 C.k>-21 D.k<-21 (2) 函数f(x)=21++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0<a<21 B.a<-1或a>21 C.a>21D.a>-2 (3) 函数y ＝2x2－(a －1)x ＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a 的值是( )A ．1B ．3C ．5D ．－1（4）已知函数f(x)=ax+logax （a ＞0且a ≠1）在［1，2］上的最大值与最小值之和为loga2+6，则a 的值为________．（5）已知关于x 的函数y=loga(2-ax)在［0，1］上是减函数，则a 的取值范围是________ （6）函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．(21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)（7）已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥3(8) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)(9)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x(x >1)⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)(10) 若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．(11)设函数f(x)=x+xa(a>0). ①求函数在（0，+∞）上的单调区间，并证明之； ②若函数f(x)在［a-2,+∞］上递增，求a 的取值范围.(12) 已知函数f (x )＝a －1|x |.①求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；②若f (x )＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．(13) 函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a 的取值范围．答案：(1)D (2)C (3)C (4) 2 （5）（1，2） （6）B （7）A (8)C(9)B (10) 12<a ≤23（11）解析：（1）f(x)在(0,+∞)上的增区间为［a ,+∞］，减区间为（0，a ）. 证明：∵f ′(x)=1-2xa,当x ∈［a ,+∞］时， ∴f ′(x)>0,当x ∈（0，a ）时，f ′(x)<0.即f(x)在［a +∞］上单调递增，在（0，a ）上单调递减.（或者用定义证） （2）［a-2,+∞］为［a ，+∞］的子区间，所以a-2≥a ⇒a-a -2≥0⇒(a +1)( a -2)≥0⇒a -2≥0⇒a ≥4.（12）解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0. f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0. ∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由题意a －1x ＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a ＜h (x )在(1，＋∞)上恒成立．可证h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3，∴a 的取值范围为(－∞，3]． （13）解：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2ax ＋2＋a .任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2a x 1＋2－1－2ax 2＋2＝(1－2a )(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，∴f (x 1)－f (x 2)<0.∵x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴1－2a <0，a >12.即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.4、根据函数单调性求x 的取值范围（1）若函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f(x)>f(8x-16)的解集为_______________. （2）已知函数f(x)为R 上的减函数，则满足f(|x|)<f(1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)（3）已知函数f(x)是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f(x ＋1)|＜1的解集的补集是（ ）A ．(－1，2)B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）（4）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是A ．（13，23）B ．（∞-，23）C ．（12，23）D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32答案：（1）（2，716） （2）D （3）D （4）C5、根据函数单调性求函数最值（1）已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在区间[3,5]上单调递增，则函数f(x)在区间[1,3]上的( )A ．最大值是f(1)，最小值是f(3)B ．最大值是f(3)，最小值是f(1)C ．最大值是f(1)，最小值是f(2)D ．最大值是f(2)，最小值是f(3)（2）定义新运算⊕：当a≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a<b 时，a ⊕b ＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x －(2⊕x)， x ∈[－2,2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6D ．12（3）函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为a ，则a ＝________.（4）已知定义域为[0,1]的函数f (x )同时满足：①对于任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)．Ⅰ求f (0)的值； Ⅱ求f (x )的最大值；Ⅲ若对于任意x ∈[0,1)，总有4f 2(x )－4(2－a )f (x )＋5－4a ≥0，求实数a 的取值范围．答案：（1）A （2）C （3）12（4）解：Ⅰ对于条件③，令x 1＝x 2＝0得f (0)≤0， 又由条件①知f (0)≥0，故f (0)＝0. Ⅱ设0≤x 1<x 2≤1，则x 2－x 1∈(0,1)，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)≥f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)≥0. 即f (x 2)≥f (x 1)，故f (x )在[0,1]上递增，从而f (x )的最大值是f (1)＝1.Ⅲ因f (x )在[0,1]上是增函数，则f (x )∈[0,1]，又4f 2(x )－4(2－a )f (x )＋5－4a ≥0⇒a ≤4f 2(x )－8f (x )＋54－4f (x )对x ∈[0,1)恒成立，设y ＝4f 2(x )－8f (x )＋54－4f (x )＝1－f (x )＋14[1－f (x )]≥1，则a ≤1.6、 根据函数单调性判断函数值大小（1）设函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，则下列不等式正确的是（ ）A.f(2a)<f(a)B.f(a 2)<f(a) C.f(a 2+a)<f(a) D.f(a 2+1)<f(a) 答案：D（2）定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)（3）已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是（ ）A ．f (－1)＜f (9)＜f (13)B ．f (13)＜f (9)＜f (－1)C ．f (9)＜f (－1)＜f (13)D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) （4）已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ）A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )C ． f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) （5）定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，当x >2时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2<4，且(x 1－2)(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负答案：（1）D （2）A （3）C （4）B （5）A。
增函数判定方法-概述说明以及解释
增函数判定方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述增函数是数学上常见的一类函数，它在自变量增加的情况下，函数值也随之增加。
在数学建模、经济学、物理学等领域中，增函数的性质和应用非常广泛。
本文旨在探讨增函数的判定方法，通过研究和总结已有的方法，以期在实际问题中更准确地判断函数的趋势和特性，为决策提供有力的依据。
在正文部分，我们将首先对增函数进行定义和特性的介绍，详细阐述其数学表达以及在实际问题中的应用场景。
然后，我们将介绍两种常见的增函数判定方法，分别从数学推导和图像分析的角度进行说明，并提供相应的实例进行验证和解释。
在结论部分，我们将对本文所介绍的增函数判定方法进行总结，概括其优缺点和适用范围，并展望未来研究的方向，以期进一步完善和发展增函数判定方法，提高其应用的准确性和可靠性。
通过本文的阐述和总结，读者将能够更深入地理解增函数的概念、特性和判定方法，从而在实际问题中更灵活地运用增函数的知识，为解决复杂的决策问题提供科学的依据。
1.2文章结构文章结构部分的内容应该包括对整篇文章的组织结构进行介绍和说明。
以下是对文章结构的一种可能的描述：在本篇长文中，我们将探讨增函数判定方法。
文章主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先将概述增函数判定方法的背景和意义，介绍该主题在数学领域的重要性以及相关研究的现状。
接着，我们将介绍本篇文章的整体结构和内容安排，指引读者了解文章的脉络和逻辑。
正文部分是本篇文章的核心部分，将详细讨论增函数的定义和特性。
我们将会介绍增函数的概念，以及它在数学领域中的应用。
此外，我们还将详细介绍两种增函数判定方法，分别探讨它们的原理和应用场景。
这些方法将会提供给读者一种判断某个函数是否是增函数的工具和思路。
结论部分将对本篇文章的主要内容进行总结。
我们将回顾文章中介绍的增函数判定方法，并强调它们的重要性和有效性。
同时，我们还将展望未来研究方向，探讨增函数判定方法在相关领域中的潜在应用和发展前景。
增减函数的加减乘除口诀
增减函数的加减乘除口诀增减函数是一种特殊的数学函数，它满足以下条件：1. 当两个函数的绝对值都在某一定义域内单调递增或单调递减时，我们称它们为增减函数。
2. 增减函数的加减乘除口诀是一种常用的方法，用来快速解决增减函数的加减乘除运算问题。
加减乘除口诀的具体内容如下：- 对于两个增减函数的加法，如果它们的定义域有交集，则只需比较它们的绝对值大小，如果某一点处绝对值大的函数大，则整个函数也大；如果某一点处绝对值小的函数大，则整个函数也小。
如果两个函数的定义域没有交集，则直接将它们相加即可。
- 对于两个增减函数的减法，与加法类似，如果它们的定义域有交集，则只需比较它们的绝对值大小，如果某一点处绝对值大的函数大，则整个函数也大；如果某一点处绝对值小的函数大，则整个函数也小。
如果两个函数的定义域没有交集，则直接将它们相减即对于两个增减函数的乘法，如果它们的绝对值都在某一定义域内单调递增或单调递减，则可以比较它们的绝对值的大小，如果某一点处绝对值大的函数乘以绝对值小的函数，则整个函数的值会变小；如果某一点处绝对值小的函数乘以绝对值大的函数，则整个函数的值会变大。
如果两个函数的绝对值有一个函数单调递增，一个函数单调递减，则可以直接将它们相乘，得到的结果为一个常数。
对于两个增减函数的除法，需要注意以下几点：1. 当两个函数的定义域有交集时，可以比较它们的绝对值的大小，如果某一点处绝对值大的函数除以绝对值小的函数，则整个函数的值会变大；如果某一点处绝对值小的函数除以绝对值大的函数，则整个函数的值会变小。
2. 当两个函数的定义域没有交集时，可以直接将它们相除，得到的结果为一个常数。
3. 当两个函数的定义域有交集，但其中一个函数在某一点处取值为 0对于两个增减函数的除法，需要注意以下几点：3. 当两个函数的定义域有交集，但其中一个函数在某一点处取值为 0 时，需要特别注意。
因为在数学中，任何数除以 0 都是无意义的，因此在这种情况下，需要进行特殊处理。
判断增减函数的两种常用方法
判断增、减函数常用的两种方法有关函数的单调性问题是高考久考不衰的热点，判断函数单调性的基本方法有：①定义法②图像法③复合函数法④导数法等等。
而定义法和导数法是做题中最常用的两种方法。
今天我们主要来讲这两种方法，我们先来讲定义法。
现在一起来回顾下函数的单调性是怎么定义的。
定义：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说在()f x 这个区间上是增函数（或减函数）。
根据定义，我们可以归纳出用定义法证明函数单调性的思路为：（1）取值：设为该相应21,x x 区间的任意两个值，并规定它们的大小，如21x x <；（2）作差：计算)()(21x f x f -，并通过因式分解、配方、有理化等方法作有利于判断其符号的变形；（3）定号：判断的符号)()(21x f x f -，若不能确定，则可分区间讨论；（4）结论：根据差的符号，得出单调性的结论。
好，现在根据归纳出的思路来做几道题例1试讨论函数的单调2()=-1x f x x [(-1,1)]x ∈性。
解：设12-1<<<1x x 则1221121222221212(-)(+1)()-()=-=-1-1(-1)(-1)x x x x x x f x f x x x x x . 12-1<<<1,x x 1221<1,<1,->0,x x x x ∴221212-1<0,-1<0,<1x x x x ，即12-1<<1x x ， ∴12+1>0x x21122212(-)(+1)>0(-1)(-1)x x x x x x ∴. 所以函数为减函数。
减函数的判定范文
减函数的判定范文减函数也称为递减函数，是指函数的值随着自变量的增加而逐渐减小的函数。
判定一个函数是否为减函数可以通过以下几种方法进行。
方法一：导数判定法对于定义在区间上的函数，可以通过计算其导数来判断函数的增减性。
如果导函数小于零，就说明函数是递减函数；如果导函数大于零，就说明函数是递增函数。
具体步骤如下：1.计算函数的导函数；2.判断导函数的符号；3.如果导函数小于零，函数为减函数；如果导函数大于零，函数为增函数。
例如，对于函数f(x)=x^2-3x+2，先计算它的导函数：f'(x)=2x-3然后判断导函数的符号：当2x-3<0时，即x<3/2时，函数为减函数；当2x-3>0时，即x>3/2时，函数为增函数。
方法二：求函数的极值点一个减函数在自变量的一些范围内可能会有一个或多个极值点。
求出函数的极值点，并根据极值点判断函数的减增性。
具体步骤如下：1.求出函数的一阶导数；2.求出一阶导数的零点，即求出函数的极值点；3.利用极值点判断函数的减增性。
例如，对于函数f(x)=x^3-3x^2，先计算它的一阶导数：f'(x)=3x^2-6x然后求出一阶导数的零点：3x^2-6x=0得到x=0和x=2两个零点，即函数f(x)在x=0和x=2处可能有极值点。
最后，通过x=0和x=2两个点的位置来判断函数的减增性：当x<0时，函数递减；当0<x<2时，函数递增；当x>2时，函数递减。
方法三：函数图像判定法函数的减增性可以通过观察函数图像的趋势来判断。
如果函数图像整体上是逐渐下降的，则说明函数是递减函数；如果函数图像整体上是逐渐上升的，则说明函数是递增函数。
例如，对于函数f(x)=-x^2+2x+3，通过绘制函数的图像可以观察到整体上是逐渐下降的，因此函数是递减函数。
无论是使用导数判定法、求极值点法还是函数图像判定法，都可以判断一个函数是否是减函数。
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判断增、减函数常用的两种方法
有关函数的单调性问题是高考久考不衰的热点，判断函数单调性的基本方法有：①定义法②图像法③复合函数法④导数法等等。
而定义法和导数法是做题中最常用的两种方法。
今天我们主要来讲这两种方法，我们先来讲定义法。
现在一起来回顾下函数的单调性是怎么定义的。
定义：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个
自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或
都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。
根据定义，我们可以归纳出用定义法证明函数单调性的思路为：
（1）取值：设21,x x 为该相应区间的任意两个值，并规定它们的大小，如21x x <；
（2）作差：计算)()(2
1x f x f -，并通过因式分解、配方、有理化等方法作有利于判断其符号的变形；
（3）定号：判断)()(2
1x f x f -的符号，若不能确定，则可分区间讨论；
（4）结论：根据差的符号，得出单调性的结论。
好，现在根据归纳出的思路来做几道题 例1试讨论函数2
()=-1x f x x [(-1,1)]x ∈的单调性。
解：设12
-1<<<1x x 则122112122
2221212
(-)(+1)()-()=-=-1-1(-1)(-1)x x x
x x x f x f x x x x x . 12-1<<<1,x x Q 1221<1,<1,->0,x x x x ∴221212-1<0,-1<0,<1x x x x ，即12-1<<1x x ，
∴12+1>0x x
21122212(-)(+1)>0(-1)(-1)x x x x x x ∴
. 所以函数为减函数。
这个时候我们在题目上做个小变动，加个a 之后函数的单调性还一样吗我们同样可以用定义来证明。
好，自己先动手做做。
例2试讨论函数2
()=-1ax f x x [(-1,1)]x ∈的单调性. 解：设12
-1<<<1x x
则1221
12122
2221212
(
-)(+1)()-()=-=-1-1(-1)(-1)ax ax a x x x x f x f x x x x x . 根据例1我们知道21
122
212
(-)(+1)>0(-1)(-1)x
x x x x x ，所以要想知道12()-()f x f x 的符号情况，我们必须还要知道a 的情况，对于含参数的情况我们一般怎么做呢对了，我们需要讨论它值的情况。
当<0a 时，12()-()<0f x f x ，即12()<()f x f x ，此时函数为增函数。
当>0a 时，12()-()>0f x f x ，即12()>()f x f x ，此时函数为减函数。
当用定义法比较难判断)()(2
1x f x f -的符号情况的时候，我们怎么办呢这个时候我们想到了一个通用方法——导数法。
导数法是高考中最常用的一种方法。
它是一个通法，而且不要过多的技巧，但要注意本法只对于给定区间上的可导函数而言才可以用。
现在一起回顾下导数法是怎么说的。
导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0f x '>那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0f x '<那么就说()f x 在这个
区间上是减函数。
我们也可以归纳出用导数法证明函数单调性的基本思路：
一般应先确定函数的定义域，再求导数)(x f '，通过判断函数定义域被导数为零的点（()=0f x '）所划分的各区间内)(x f '的符号来确定函数)(x f 在该区间上的单调性。
例3判断下列函数的单调性
33)(x x x f -=
解：函数33)(x x x f -=的定义域是R ， 233)(x x f -='∴
令0)(='x f ，即0332=-x ，解得1
=x 或1-=x
当0)(>'x f ，即11<<-x 时，函数
33)(x x x f -=单调递增；
当0)(<'x f ，1-<x 或1>x 时，函数
33)(x x x f -=单调递减。
故，在(1,1)-上函数33)(x x x f -=是
增函数，在(,1)(1,+)-∞-∞、
上函数3
3)(x x x f -=是减函数。
注意：这道题中的两个单调递减区间是不能写成是并集形式的。
根据由浅入深的道理呢，我们再来看道比例3难点的一道题。
例4判断函数32
1()++3f x x x ax =的单调性。
解：函数的定义域为R ，
2
()=+2+f x x x a '∴ 当=4-40a ∆≤即1a ≥时，2+2+0x x a ≥恒成
立，故()0f x '≥，所以函数()f x 在R 上单调递增；
当=4-4>0a ∆即<1a 时，2
()=+2+=0f x x x a '有两个相异
的实根（根据求根公式）
12=2x x 12
<x x 故由
2()=+2+>0f x x x a ' (-x ⇒∈∞和
)x ∈∞，此时函数()f x 单调递增； 由
2()=+2+<0f x x x a '⇒ x 此时函
数()f x 单调递减；
综上可知
当1a ≥时，函数()f x 在R 上单调递增；当
<1a 时，()f x 在(-∞和)∞上单调递增，在
上单调递减。
反思：上课的时候一直看教案，对自己不够自信，讲话语调一沉不变，显得没有色彩，这样会造成：带给学生的吸引力不够。
内容过于单薄，偏于简单。
有
点方法没有讲，对考试哪些是重、难点研究不透。
下次上课要对自己自信，尽量避免看教案，语调要丰富些，备课要充分。