判断增减函数的两种常用方法

判断增、减函数常用的两种方法

有关函数的单调性问题是高考久考不衰的热点，判断函数单调性的基本方法有：①定义法②图像法③复合函数法④导数法等等。而定义法和导数法是做题中最常用的两种方法。今天我们主要来讲这两种方法，我们先来讲定义法。

现在一起来回顾下函数的单调性是怎么定义的。

定义：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个

自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或

都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。

根据定义，我们可以归纳出用定义法证明函数单调性的思路为：

（1）取值：设21,x x 为该相应区间的任意两个值，并规定它们的大小，如21x x <；

（2）作差：计算)()(2

1x f x f -，并通过因式分解、配方、有理化等方法作有利于判断其符号的变形；

（3）定号：判断)()(2

1x f x f -的符号，若不能确定，则可分区间讨论；

（4）结论：根据差的符号，得出单调性的结论。

好，现在根据归纳出的思路来做几道题 例1试讨论函数2

()=-1x f x x [(-1,1)]x ∈的单调性。 解：设12

-1<<<1x x 则122112122

2221212

(-)(+1)()-()=-=-1-1(-1)(-1)x x x

x x x f x f x x x x x . 12-1<<<1,x x Q 1221<1,<1,->0,x x x x ∴221212-1<0,-1<0,<1x x x x ，即12-1<<1x x ，

∴12+1>0x x

21122212(-)(+1)>0(-1)(-1)x x x x x x ∴

. 所以函数为减函数。

这个时候我们在题目上做个小变动，加个a 之后函数的单调性还一样吗我们同样可以用定义来证明。好，自己先动手做做。

例2试讨论函数2

()=-1ax f x x [(-1,1)]x ∈的单调性. 解：设12

-1<<<1x x

则1221

12122

2221212

(

-)(+1)()-()=-=-1-1(-1)(-1)ax ax a x x x x f x f x x x x x . 根据例1我们知道21

122

212

(-)(+1)>0(-1)(-1)x

x x x x x ，所以要想知道12()-()f x f x 的符号情况，我们必须还要知道a 的情况，对于含参数的情况我们一般怎么做呢对了，我们需要讨论它值的情况。

当<0a 时，12()-()<0f x f x ，即12()<()f x f x ，此时函数为增函数。

当>0a 时，12()-()>0f x f x ，即12()>()f x f x ，此时函数为减函数。

当用定义法比较难判断)()(2

1x f x f -的符号情况的时候，我们怎么办呢这个时候我们想到了一个通用方法——导数法。导数法是高考中最常用的一种方法。它是一个通法，而且不要过多的技巧，但要注意本法只对于给定区间上的可导函数而言才可以用。现在一起回顾下导数法是怎么说的。

导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0f x '>那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0f x '<那么就说()f x 在这个

区间上是减函数。

我们也可以归纳出用导数法证明函数单调性的基本思路：

一般应先确定函数的定义域，再求导数)(x f '，通过判断函数定义域被导数为零的点（()=0f x '）所划分的各区间内)(x f '的符号来确定函数)(x f 在该区间上的单调性。

例3判断下列函数的单调性

33)(x x x f -=

解：函数33)(x x x f -=的定义域是R ， 233)(x x f -='∴

令0)(='x f ，即0332=-x ，解得1

=x 或1-=x

当0)(>'x f ，即11<<-x 时，函数

33)(x x x f -=单调递增；

当0)(<'x f ，1-x 时，函数

33)(x x x f -=单调递减。

故，在(1,1)-上函数33)(x x x f -=是

增函数，在(,1)(1,+)-∞-∞、

上函数3

3)(x x x f -=是减函数。

注意：这道题中的两个单调递减区间是不能写成是并集形式的。

根据由浅入深的道理呢，我们再来看道比例3难点的一道题。

例4判断函数32

1()++3f x x x ax =的单调性。 解：函数的定义域为R ，

2

()=+2+f x x x a '∴ 当=4-40a ∆≤即1a ≥时，2+2+0x x a ≥恒成

立，故()0f x '≥，所以函数()f x 在R 上单调递增；

当=4-4>0a ∆即<1a 时，2

()=+2+=0f x x x a '有两个相异

的实根（根据求根公式）

12=2x x 12

2()=+2+>0f x x x a ' (-x ⇒∈∞和

)x ∈∞，此时函数()f x 单调递增； 由

2()=+2+<0f x x x a '⇒ x 此时函

数()f x 单调递减；

综上可知

当1a ≥时，函数()f x 在R 上单调递增；当

<1a 时，()f x 在(-∞和)∞上单调递增，在

上单调递减。

反思：上课的时候一直看教案，对自己不够自信，讲话语调一沉不变，显得没有色彩，这样会造成：带给学生的吸引力不够。内容过于单薄，偏于简单。有