高中奥林匹克物理竞赛解题方法十四：近似法

高中奥林匹克物理竞赛解题方法

近似法

方法简介

近似法是在观察物理现象、进行物理实验、建立物理模型、推导

物理规律和求解物理问题时，为了分析认识所研究问题的本质属性，往往突出实际问题的主要方面，忽略某些次要因素，进行近似处理.在求解物理问题时，采用近似处理的手段简化求解过程的方法叫近似法.近似法是研究物理问题的基本思想方法之一，具有广泛的应用.善于对实际问题进行合理的近似处理，是从事创造性研究的重要能力之

一.纵观近几年的物理竞赛试题和高考试题，越来越多地注重这种能力

的考查.

赛题精讲

例1：一只狐狸以不变的速度1υ沿着直线AB 逃跑，一只猎犬

以不变的速率2υ追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F 处， 猎犬在D 处，FD ⊥AB ，且FD=L ，如图14—1所示，求猎犬的加速 度的大小.

解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，

故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度r r

a ,22

υ=

为猎

犬所在处的曲率半径，因为r 不断变化，故猎犬的加速度 的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在D 处的加

图14—1 图14—2—甲

速度大小，由于2υ大小不变，如果求出D 点的曲率半径， 此时猎犬的加速度大小也就求得了.

猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在

所求时刻开始的一段很短的时间t ∆内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R ，则加速度 =a R

22

υ

其方向与速度方向垂直，如图14—1—甲所示.在t ∆时间内，设狐

狸与猎犬分别 到达D F ''与，猎犬的速度方向转过的角度为=α2υt ∆/R

而狐狸跑过的距离是：1υt ∆≈L α 因而2υt ∆/R ≈1υt ∆/L ，

R=L 2υ/1υ 所以猎犬的加速度大小为=a R

22

υ=1υ2υ/L

例2 如图14—2所示，岸高为h ，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当

绳与水平方向为θ时，收绳速率为υ，则该位置船的速率为多大？

图14— 2 图14—2—甲

解析 要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一

小段时间求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率.

设船在θ角位置经t ∆时间向左行驶x ∆距离，滑轮右侧的绳长缩短

L ∆，如图

14—2—甲所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC

可近似看做是一直角三角形，因而有

L ∆=θcos x ∆

两边同除以t ∆得：

θcos t

x

t L ∆∆=∆∆，即收绳速率θυυcos 船= 因此船的速率为θ

υ

υcos =

船

例3 如图14—3所示，半径为R ，质量为m 的圆形绳圈，

以角速率ω绕中心轴O 在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张 力为多大？

解析 取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角θ∆很小时，有近似关系式.sin θθ∆≈∆

若取绳圈上很短的一小段绳AB=L ∆为研究对象，设这段绳所对应

的圆心角为θ∆，这段绳两端所受的张力分别为A T 和B T （方向见图14—3—甲），因为绳圈匀速转动，无切向加速度，所以A T 和B T 的大小相等，均等于T . A T 和B T 在半径方向上的合力提供这一段绳做匀速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为m ∆，根据牛顿第二定律有：

R m T 22

sin

2ωθ

∆=∆； 图14— 3

图—14—3—甲

因为L ∆段很短，它所对应的圆心角θ∆很小所以2

2

sin θθ

∆=

∆

将此近似关系和π

θπθ22∆=⋅

∆⋅=∆m R m R m 代入上式得绳中的张力为π

ω22R

m T =

例4 在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道

ABC ，光滑小球从顶点A 处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到 端点C 处所需时间，恰好等于小球从顶点A 处自静止出发自 由地经两直角边轨道滑到端点C 处所需的时间.这里假设铅垂轨 道AB 与水平轨道BC 的交接处B 有极小的圆弧，可确保小 球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计.

在此直角三角形范围内可构建一系列如图14—4中虚线所示的光

滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上），轨道均从A 点出发到C 点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A 点滑行到C 点所经时间的上限与下限之比值.

解析 直角三角形AB 、BC 、CA 三边的长分别记为

1l 、2l 、3l ，如图14—4—甲所示，小球从A 到B 的时间 记为1T ，再从B 到C 的时间为2T ，而从A 直接沿斜边到C

所经历的时间记为3T ，由题意知321T T T =+，可得1l ：2l ：3l =3：4：5，

由此能得

1T 与2T 的关系.

因为2112112

1T gT l gT l ==

所以

2

1212T T l l = 因为1l ：2l =3：4，所以 123

2

T T =

小球在图14—4—乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需

时间之和为11T t =，经各水平段所需时间之和记为2t ，则从A 到C 所经时间总和为21t T t +=，最短的2t 对应t 的下限min t ，最长的2t 对应t 的上限

.max t

小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在

低处运动速度大，所需时间短，因此，所有水平段均处在最低位置（即与BC 重合）时2t 最短，其值即为2T ，故min t =.3

5

121T T T =+

2t 的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，

实现它的方案是垂直段每下降小量1l ∆，便接一段水平小量2l ∆，这两个小量之间恒有αcot 12l l ∆=∆，角α即为∠ACB ，水平段到达斜边边界后，再下降一小量并接一相应的水平量，如此继续下去，构成如图所示的微齿形轨道，由于1l ∆、2l ∆均为小量，小球在其中的运动可处理为匀速率运动，分别所经的时间小量)(1i t ∆与)(2i t ∆之间有如下关联： αcot )()(1

2

12=∆∆=∆∆l l i t i t

于是作为)(2i t ∆之和的2t 上限与作为)(1i t ∆之和的1T 之比也为.cot α故

2t 的上限必为1T αcot ，即得：.3

7

cot 111max T T T t =+=α