微积分和圆周率

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微积分和圆周率π
PB08207041 池昌标

微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支
微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的
微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行

微积分学是微分学和积分学的总称
它是一种数学思想
'无限细分'就是微分
'无限求和'就是积分
无限就是极限
极限的思想是微积分的基础
它是用一种运动的思想看待问题
比如
子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念
子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念

微积分的基本内容
微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等

积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等


作为微分学基础的极限理论来说
早在古代以有比较清楚的论述
比如我国的庄周所著的《庄子》一书的"天下篇"中
记有"一尺之棰
日取其半
万世不竭"
三国时期的刘徽在他的割圆术中提到"割之弥细
所失弥小
割之又割
以至于不可割
则与圆周和体而无所失矣
"这些都是朴素的、也是很典型的极限概念


圆周率就是圆的周长和同一圆的直径的比
这个比值是一个常数
现在通用希腊字母"π"来表示
圆周率是一个永远除不尽的无穷小数
它不能用分数、有限小数或循环小数完全准确地表示出来
由于现代数学的进步
已计算出了小数点后两千多位数字的圆周率

圆周率的应用很广泛
尤其是在天文、历法方面
凡牵涉到圆的一切问题
都要使用圆周率来推算
西汉末年的刘歆曾经采用过的圆周率是3.547
东汉的张衡也算出圆周率为3.1622
这些数值比起π=3当然有了很大的进步
但是还远远不够精密
到了三国末年
数学家刘徽创造了用割圆术来求圆周率的方法
圆周率的研究才获得了重大的进展

用割圆术来求圆周率的方法
大致是这样：先作一个圆
再在圆内作一个内接正六边形
假设这圆的直径是2
那末半径就等于1
内接正六边形的一边一定等于半径
所以也等于1；它的周长就等于6
如果把内接正六边形的周长6当作圆的周长
用直径2去除
得到周长与直径的比π=6/2=3
这就是古代π=3的数值
但是这个数值是不正确的
我们可以清楚地看出内接正六边形的周长远远小于圆周的周长

如果我们把内接正六边形的边数加倍
改为内接正十二边形
再用适当方法求出它的周长
那么我们就可以看出
这个周长比内按正六边形的周长更接近圆的周长
这个内接正十二边形的面积也更接近圆面积
从这里就可以得到这样一个结论：圆内所

做的内接正多边形的边数越多
它各边相加的总长度（周长）和圆周周长之间的差额就越小
从理论上来讲
如果内接正多边形的边数增加到无限多时
那时正多边形的周界就会同圆周密切重合在一起
从此计算出来的内接无限正多边形的面积
也就和圆面积相等了
不过事实上
我们不可能把内接正多边形的边数增加到无限多
而使这无限正多边形的周界同圆周重合
只能有限度地增加内接正多边形的边数
使它的周界和圆周接近重合
所以用增加圆的内接正多边形边数的办法求圆周率
得数永远稍小于π的真实数值
刘徽就是根据这个道理
从圆内接正六边形开始
逐次加倍地增加边数
一直计算到内接正九十六边形为止
求得了圆周率是3.141O24
把这个数化为分数
就是157/50
刘徽所求得的圆周率
后来被称为"徽率"
他这种计算方法
实际上已具备了近代数学中的极限概念
这是我国古代关于圆周率的研究的一个光辉成就

祖冲之在推求圆周率方面又获得了超越前人的重大成就
祖冲之把一丈化为一亿忽
以此为直径求圆周率
他计算的结果共得到两个数：一个是过剩的近似值
为3.1415927；一个是不足的近似值
为3.1415926
圆周率真值正好在这两个数之间
除了刘徽的割圆术外
还没有更好的方法
祖冲之很可能就是采用了这种方法
因为采用刘徽的方法
把圆的内接正多边形的边数增加到24576边时
便恰好可以得出祖冲之所求得的结果

这两个数可以列成不等式
如：3.1415926（*）＜π（真实的圆周率）＜3.1415927（盈）
这表明圆周率应在这两个数之间
按照当时计算都用分数的习惯
祖冲之还采用了两个分数值的圆周率
一个是355/119（约等于3.1415927）
这一个数比较精密
所以祖冲之称它为"密率"
另一个是了（约等于3.14）
这一个数比较粗疏
所以祖冲之称它为"约率"
因此
日本数学家三上义夫曾建议把355/119这个圆周率数值称为"祖率"
来纪念这位中国的大数学家