(新课标)广西201X高考数学二轮复习 专题对点练14 数列与数列不等式的证明及数列中的存在性问题
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专题对点练14 数列与数列不等式的证明及数列中的存在性问题
1.已知等比数列{a n },a 1=1
3,公比q=13. (1)S n 为{a n }的前n 项和,证明:S n =
1-a a
2
;
(2)设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列{b n }的通项公式.
2.已知数列{a n }满足a 1=3,a n+1=3a a -1
a a
+1. (1)证明:数列{
1
a a -1
}是等差数列,并求{a n }的通项公式;
(2)令b n =a 1a 2…a n ,求数列{1
a a
}的前n 项和S n .
3.已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式;
(2)若S 5=31
32
,求λ的值.
4.在数列{a n }中,设f (n )=a n ,且f (n )满足f (n+1)-2f (n )=2n (n ∈N *
),且a 1=1.
(1)设b n =a
a 2a -1,证明数列{
b n }为等差数列; (2)求数列{a n }的前n 项和S n .
5.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且(3-m )S n +2ma n =m+3(n ∈N *
),其中m 为常数,且m ≠-3. (1)求证:{a n }是等比数列;
(2)若数列{a n }的公比q=f (m ),数列{b n }满足b 1=a 1,b n =3
2f (b n-1)(n ∈N *
,n ≥2),求证:{1
a a
}为等差数列,
并求b n .
6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=-2,且满足S n =1
2a n+1+n+1(n ∈N *
). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =log 3(-a n +1),求数列{1
a
a a a +2
}的前n 项和T n ,并求证T n <3
4.
7.(2018天津模拟)已知正项数列{a n },a 1=1,a 2=2,前n 项和为S n ,且满足a a +1a a -1
+
a a -1a a +1
=
4a a
2a a +1a a -1
-
2(n ≥2,n ∈N *
).
(1)求数列{a n }的通项公式; (2)记c n =1
a
a ·a a +1
,数列{c n }的前n 项和为T n ,求证:13≤T n <1
2.
8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=2,2S n =(n+1)2a n -n 2
a n+1,数列{
b n }满足b 1=1,b n b n+1=λ·2a a . (1)求数列{a n }的通项公式;
(2)是否存在正实数λ,使得{b n }为等比数列?并说明理由.
专题对点练14答案
1.(1)证明 因为a n =1
3×(13)
a -1
=
13a
,S n =
13(1-1
3a )1-1
3
=
1-1
3a 2
,
所以S n =
1-a a 2
.
(2)解 b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n =-(1+2+…+n )=-a (a +1)
2
.
所以{b n }的通项公式为b n =-a (a +1)
2
.
2.解 (1)∵a n+1=3a a -1
a a
+1
,∴a n+1-1=3a a -1
a
a
+1
-1=2(a a -1)
a a +1
,
∴1a a +1
-1=a a
+12(a a
-1)
=1
a a
-1
+1
2, ∴1
a
a +1-1
−1
a
a -1
=1
2.
∵a 1=3,∴1a 1-1
=12,
∴数列{1
a
a -1
}是以12
为首项,12
为公差的等差数列,∴
1
a a -1
=12
+12
(n-1)=1
2
n ,∴a n =
a +2
a
. (2)∵b n =a 1a 2…a n ,
∴b n =3
1×4
2×5
3×…×a
a -2×a +1
a -1×
a +2
a
=
(a +1)(a +2)
2
,
∴1
a a
=2
(a +1)(a +2)=2(1
a +1-1
a +2),
∴S n =2(12−13+13−14+…+1a +1−1a +2)=2(12-1
a +2)=a
a +2.
3.解 (1)由题意得a 1=S 1=1+λa 1,故λ≠1,a 1=1
1-a
,a 1≠0.
由S n =1+λa n ,S n+1=1+λa n+1得a n+1=λa n+1-λa n , 即a n+1(λ-1)=λa n .
由a 1≠0,λ≠0得a n ≠0,
所以a a +1a a
=a a -1.
因此{a n }是首项为11-a ,公比为a
a -1的等比数列, 于是a n =
11-a (a
a -1
)a -1
.
(2)由(1)得S n =1-(a
a -1)a . 由S 5=31
32得1-(a
a -1)5
=31
32, 即(
a a -1
)5
=1
32
.
解得λ=-1.
4.(1)证明 由已知得a n+1=2a n +2n
,
∴b n+1=a a +1
2a =2a a +2a
2a =a
a 2a -1
+1=b n +1,
∴b n+1-b n =1.又a 1=1,∴b 1=1,
∴{b n }是首项为1,公差为1的等差数列.
(2)解 由(1)知,b n =a
a 2a =n ,
∴a n =n·2n-1.
∴S n =1+2×21+3×22+…+n·2n-1,
2S n =1×21+2×22+…+(n-1)·2n-1+n·2n
,
两式相减得-S n =1+21+22+…+2n-1-n·2n =2n -1-n·2n =(1-n )2n
-1, ∴S n =(n-1)·2n +1.
5.证明 (1)由(3-m )S n +2ma n =m+3,