2018年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案

……………………… 20 分
设 y2＝ 1－x2＋12( 2－1)在［0，1］中的两端点分别为 A，B， 则 A，B 的坐标分别为(0，12( 2＋1))，(1，12( 2－1))， 因此直线 AB 的方程为 y＝－x＋12( 2＋1)， 而点 D(0，－12( 2－1))到直线 AB 的距离为 1，所以线段 AB 与四分之一圆周相切(如图)， 由此可见，对任意 x∈［0，1］，使 y3≤y1≤y2 恒成立的唯一线段是 y＝－x＋12( 2＋1)，
若{bn}是等比数列，且 a2＋b2＝108，
an+1 ，n为偶数．
则数列{an}的通项公式为
．
答案：an＝9n．
解：因为{bn}是等比数列，所以其子列{b2n－1}也成等比数列， 而 b2n－1＝an，故{an}也是等比数列，设其公比为 q．
又 b1＝a1，b2＝ a3，b3＝a2，得 a3＝a1a2，即 a1＝q．
x∈［0，1］．
所以 a＝－1，b＝12( 2＋1)．
……………………… 40 分
二、（本题满分 40 分）
如图，大圆和小圆为同心圆，其圆心为 O．过大圆上一点 A 作小圆的切线 AC，切点为
B，点 C 在大圆上，D 为 AB 的中点．△ACE 的顶点 E 在小圆上，AE 交小圆于 F．设 CE，
2．在平面直角坐标系
xOy
中
，
若
双
曲
线
x2 a2
－
y2 b2
＝
1
(
a
＞
0
，
b
＞
0
)
的
渐
近
线
与
圆 x2＋y2－6y＋5＝0 没有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是
．
答案：(1，32)． 解：由题设，圆心(0，3)到渐近线的距离大于 2，即
故该双曲线的离心率 e∈(1，32)．
a32＋a b2＞2，
3．在△ABC 中，AB＝2AC，且 S△ABC＝1，则 BC 的最小值是
二、解答题（本题满分 16 分）
已知(sinα，sinβ) 是函数 f(x)＝ 3 x3 + t 3 和 g(x)＝3tx2＋(3t2＋1)x＋t 图象的公共点， 求证：|t|≤1．
证明：因为(sinα，sinβ) 是两函数 f(x)＝ 3 x3 + t 3 和 g(x)＝3tx2＋(3t2＋1)x＋t 图象的公共点，
所以 sinβ＝ 3 sin 3 + t 3 ，
①
sinβ＝3tsin2α＋(3t2＋1)sinα＋t． ②
由①得，sin3β＝sin3α＋t3．
③
②＋③，得 sin3β＋sinβ＝(sinα＋t)3＋sinα＋t．
令 f(x)＝x3＋x，则 f(sinβ)＝f(sinα＋t)．
因为函数 f(x)＝x3＋x 是 R 上的单调增函数，
则当 n＝k＋1 时，fk＋1(4)－2×4＝ 42＋6fk(4)－8＝ 16＋6×8－8＝0， 所以 x＝4 也是方程 fk+1(x)＝2x 的解．
综上可知，x＝4 是方程 fn(x)＝2x 的解，对 n∈N* 恒成立．
……………………… 10 分
其次，证明方程 fn(x)＝2x 无其它解．
（1）若 x＞4，则 8＜ x2＋48＜2x，所以 8＜f1(x)＜2x．
假设 8＜fk(x)＜2x，则 8＜ x2＋48＜ x2＋6 fk(x)＜ x2＋12x ＜2x． 即 8＜fk+1(x) ＜2x．
所以当 x＞4 时，由数学归纳法知 8＜fn(x)＜2x，所以方程没有 x＞4 的实数解．
（2）当 0＜x＜4 时，同理可证：2x＜fn(x)＜8．从而方程 fn(x)＝2x 没有小于 4 的解．
的实数解． 解：因 fn(x)＝ x2＋6fn－1(x)＞0，所以方程 fn(x)＝2x 的实数解必须是正数．
首先，证明 x＝4 是方程 fn(x)＝2x 的解．下面用数学归纳法证明： (i)当 n＝1 时，f1(x)＝ x2＋48＝2x，两边平方得 x2＝16．又 x＞0，所以 x＝4．
所以当 n＝1 时，方程 fn(x)＝2x 的解为 x＝4； (ii)假设当 n＝k 时，x＝4 是方程 fk(x)＝2x 的解，即 fk(4)＝8，
．
答案： 3．
解：设
AC＝b，由
S△ABC＝1，得，b2sinA＝1，即
b2＝
1 sinA
．
由余弦定理得 BC2＝5b2－4b2cosA＝5－si4ncAosA＝1＋9tanA2 A2 ≥3， 2 tan 2
所以 BC≥ 3．当且仅当 tanA2＝13时等号成立．
an+1， n为奇数，
4．已知数列{an}，{bn}满足： bn＝ 2
当 a＝3，b＝4.5 时，3a＋4b 取到最大值 27，即 3a＋4b 的取值范围为[24，27]．
6．如图，球 O 的内接八面体 PABCDQ 中，顶点 P，Q 分别在平面 ABCD 两侧，且四棱锥 P
－ABCD 与 Q－ABCD 都是正四棱锥．设二面角 P－AB－Q
P
的平面角的大小为 θ，则 tanθ 的取值范围是
DF 的垂直平分线的交点 P 在直线 AC 上．
C
求证：CF⊥DF．
E O
P B
D F
A
（第二题图）
证明：连 OB，PE，PF．
C
由 AC 是小圆的切线，得 OB⊥AC．
又 AC 是大圆的弦，所以 AB＝BC． 由切割线定理得 AB2＝AF·AE． ① 又由 D 为 AB 中点，
P E
B
可得 AB＝2AD，又 AB＝12AC， 代入①得 AD·AC＝AF·AE，
所以 PA·PB＝PC·PD．
……………………… 10 分
（2）xi＝2＋ticosα (i＝1，2)，xi＝2－ticosα (i＝3，4)，yi＝2＋tisinα (i＝1，2，3，4)．
由（1）可知，t1t2＝t3t4．
所以
k1＋k2＝yx33－ －yx11＋yx44－ －yx22
＝
t1－t3 t1＋t3
如果不然，则 a1≤［20318］，那么 a1≤［20318］＜20318．
因此 2a1＜3a1＜2018，从而 2a1，3a1，a2，…，a1009 均为 1，2，…，2018 中的数，
从而
tanθ＝tan(α＋β)＝ 1－
1－d2 2(1－d)× 1－d2
12－(1d＋2 d)＝ －12－d22∈(－∞，－2 1－d2
2]．
7．已知实数 a＞b＞0，函数 f(x)＝
x a－x2－
的最大值是 b－x2
．
答案：a－abb．
解：显然，当 x＜0 时，f(x)＜0，当 x＞0 时，f(x)＞0．故只需考察 x＞0．
．
D
A
C
答案：(－∞，－2 2]．
B O
解：设二面角 P－AB－C 的大小为 α，二面角 Q－AB－C 的大
小为 β，球心到平面 ABCD 的距离为 d，球半径为 1， 则 tanα＝ 21(1－－dd2)，tanβ＝ 21(1－＋dd2)，d∈[0，1），
Q （第 6 题图）
2(1－d)＋ 2(1＋d)
f(x)＝
x a－x2－
＝x( b－x2
a－x2＋ b－x2) a－b
＝a－1 b x2(a＋b)－2x4＋2x2 (a－x2)(b－x2)
＝a－1 b ab－(x2－ (a－x2)(b－x2))2≤a－abb，
当 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2＝ (a－x2)(b－x2)，即 x＝ aa＋bb时取得等号．
8．设 4 次整系数多项式 f(x)满足 f(1＋ 3 3)＝1＋ 3 3，f(1＋ 3)＝7＋ 3，则 f(x)＝
所以 sinβ＝sinα＋t． ④
将④代入②，得 3tsin2α＋3t2sinα＝0，
所以 t＝0 或 t＝－sinα 或 sinα＝0，
即 t＝0 或 t＝－sinα 或 t＝sinβ．
因此|t|≤1．
……………………… 8 分 ……………………… 16 分
三、解答题（本题满分 20 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x62＋y32＝1，过点 P(2，2)作直线 l1，l2 与椭圆 C
分别交于 A，B 和 C，D，且直线 l1，l2 的斜率互为相反数． （1）证明：PA·PB＝PC·PD； （2）记直线 AC，BD 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1＋k2 为定值．
解：（1）设直线 l1 的倾斜角为 α，则直线 l2 的倾斜角为 π－α． 直线 l1 的参数方程为：xy＝ ＝22＋ ＋ttcsionsαα，，(t 为参数)， 直线 l2 的参数方程为：xy＝＝22＋＋ttcsions((ππ－－αα))，，(t 为参数)， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，对应的参数分别为 t1，t2，t3，t4． 将直线 l1 的参数方程代入椭圆 C：x62＋y32＝1， 整理得 (1＋sin2α)t2＋4(cosα＋2sinα)t＋6＝0，从而 t1t2＝1＋6sin2α ． 由 t 的几何意义得 PA·PB＝|t1t2|＝1＋6sin2α． 同理可得 PC·PD＝|t3t4|＝1＋sin62(π－α)＝1＋6sin2α．
又 a2＋b2＝108，故 q2＋q32＝108，得 q＝9，所以 an＝9n．
经检验 an＝9n 满足题设条件． 5．已知 a，b 为正实数，且 2a＋2b≤15，4a＋3b≤2，则 3a＋4b 的取值范围是________．
答案：[24，27]．
解：由 4a＋3b≤2 得 b≥2a3－a 4． 因此点(a，b)在第一象限，且在由直线 2a＋2b＝15 和双曲线 b＝2a3－a 4所围成的区域内． 从而当 a＝4，b＝3 时，3a＋4b 取到最小值 24，