平面向量与复数

平面向量与复数[A 组——“12＋4”限时提速练]一、选择题1．(2016·全国乙卷)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3解析：选A 由题意知(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，则a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A ．2．(2016·全国丙卷)若z ＝4＋3i ，则z |z |＝( )A ．1B ．－1C ．45＋35iD ．45－35i解析：选D ∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5，∴z|z |＝4－3i 5＝45－35i. 3．(2016·武汉调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→等于( )A ．OM ―→B ．2OM ―→C ．3OM ―→D ．4OM ―→解析：选D 因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OM ―→，OB ―→＋OD ―→＝2OM ―→，所以OA ―→＋OB ―→ ＋OC ―→＋OD ―→＝4OM ―→，故选D ．4．(2016·全国丙卷)已知向量BA ―→＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC ―→＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A 因为BA ―→＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC ―→＝⎝⎛⎭⎫32，12， 所以BA ―→·BC ―→＝34＋34＝32.又因为BA ―→·BC ―→＝|BA ―→||BC ―→|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ＝32，所以cos ∠ABC ＝32. 又0°≤∠ABC ≤180°， 所以∠ABC ＝30°.5．(2016·全国甲卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6D ．8解析：选D 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)． 因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a ·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.6．(2017·河北五个一名校联考)在复平面内与复数z ＝2i 1＋i 所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选B 因为z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i(1－i)＝1＋i ，所以A 点坐标为(1，－1)，其对应的复数为1－i ，故选B ．7．(2016·开封模拟)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则λ＋μ的值为( )A ．12B ．13C ．14D ．1解析：选A 依题意12AM ―→＝AN ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，因为M ，B ，C 三点共线，所以λ＋μ＝12. 8．(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ―→·BC ―→的值为( )A ．－58B ．18C ．14D ．118解析：选B 如图所示， AF ―→＝AD ―→＋DF ―→.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 且DE ＝2EF ，所以AD ―→＝12AB ―→，DF ―→＝12AC ―→＋14AC ―→＝34AC ―→，所以AF ―→＝12AB ―→＋34AC ―→.又BC ―→＝AC ―→－AB ―→，则AF ―→·BC ―→＝⎝⎛⎭⎫12AB ―→＋34AC ―→ ·(AC ―→－AB ―→) ＝12AB ―→·AC ―→－12AB ―→2＋34AC ―→2－34AC ―→·AB ―→＝34AC ―→2－12AB ―→2－14AC ―→·AB ―→. 又|AB ―→|＝|AC ―→|＝1，∠BAC ＝60°，故AF ―→·BC ―→＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B ．9．(2015·怀化二模)已知O 为坐标原点，向量OA ―→＝(3sin α，cos α)，OB ―→＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且OA ―→⊥OB ―→，则tan α的值为( ) A ．－43B ．－45C ．45D ．34解析：选A 由题意知6sin 2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，上述等式两边同时除以cos 2α，得6tan 2α＋5tan α－4＝0，由于α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则tan α＜0，解得tan α＝－43，故选A ．10．(2017·东北三校联考)若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π3(－2＜x ＜10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB ―→＋OC ―→)·OA ―→＝( )A ．－32B ．－16C ．16D ．32解析：选D 由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π3＝0 可得πx 6＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝6k －2，k ∈Z.∵－2＜x ＜10，∴x ＝4，即A (4,0)．设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，∵过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，∴B ，C 两点关于A 对称，即x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝0，则(OB ―→＋OC ―→)·OA ―→＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)·(4,0)＝4(x 1＋x 2)＝32.故选D ．11.(2016·嘉兴期末)如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，点P 在线段BC 上运动，且满足CP ―→＝λCB ―→，当PA ―→·PC ―→取到最小值时，λ的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．18解析：选D 如图所示，建立平面直角坐标系．不妨设BC ＝4，P (x,0)(0≤x ≤4)，则A (3，3)，C (4,0)，∴PA ―→·PC ―→＝(3－x ，3)·(4－x,0)＝(3－x )(4－x )＝x 2－7x ＋12＝⎝⎛⎭⎫x －722－14. 当x ＝72时，PA ―→·PC ―→取得最小值－14.∵CP ―→＝λCB ―→，∴⎝⎛⎭⎫－12，0＝λ(－4,0)， ∴－4λ＝－12，解得λ＝18.故选D ．12．(2016·唐山调研)点A ，B 是定义域为[a ，b ]的函数y ＝f (x )图象上的两个端点，M (x ，y )是f (x )图象上任意一点，其中x ＝λa ＋(1－λ)b (λ∈R)，向量ON ―→＝λOA ―→＋(1－λ)OB ―→，其中O 为坐标原点，若不等式，||ON ―→≤k 恒成立，则称函数f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”．若函数y ＝x ＋1x在[1,2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为( )A ．[0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．⎣⎡⎭⎫32－2，＋∞D ．⎣⎡⎭⎫32＋2，＋∞ 解析：选C 由题意知a ＝1，b ＝2，∴A (1,2)，B ⎝⎛⎭⎫2，52，∴直线AB 的方程为y ＝12(x ＋3)．∵x M ＝λ＋2(1－λ)＝2－λ，ON ―→＝λ(1,2)＋(1－λ)⎝⎛⎭⎫2，52＝⎝⎛⎭⎫2－λ，52－λ2， ∴M ，N 两点的横坐标相同，且点N 在直线AB 上， ∴||MN ―→MN ―→＝||y M －y N ＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x －12(x ＋3)＝ ⎪⎪⎪⎪x 2＋1x －32.∵x 2＋1x≥2x 2·1x ＝2，x 2＋1x ≤32， ∴||MN ―→＝32－⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ≤32－ 2. ∴要使||MN ―→≤k 恒成立，则k ≥32－2， ∴实数k 的取值范围为⎣⎡⎭⎫32－2，＋∞.故选C ． 二、填空题13．(2017·开封一中模拟)在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且||BO ―→＝3||CO ―→CO ―→，当AO ―→＝x AB ―→＋y AC ―→时，则x －y ＝________.解析：∵AO ―→＝AB ―→＋BO ―→＝AB ―→＋32BC ―→＝AB ―→＋32(AC ―→－AB ―→)＝－12AB ―→＋32AC ―→，∴x －y＝－2.答案：－214．(2016·山东高考)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(ta ＋b )，则实数t 的值为________．解析：∵a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)， ∴ta ＋b ＝(t ＋6，－t －4)． 又a ⊥(ta ＋b )，则a ·(ta ＋b )＝0， 即t ＋6＋t ＋4＝0， 解得t ＝－5. 答案：－5.15．(2016·贵州模拟)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )∥(m －n )，则λ＝________.解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，又(m ＋n )∥(m －n )，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0.答案：016．(2016·天津模拟)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝60°，E 为DC 的中点，那么AC ―→与EB ―→所成角的余弦值为________．解析：AC ―→＝AB ―→＋AD ―→，||AC ―→2＝||AB ―→＋AD ―→2＝7，EB ―→＝AB ―→－AE ―→＝12AB ―→－AD ―→，||EB ―→ 2＝⎪⎪⎪⎪12AB ―→－AD ―→ 2＝1.故AC ―→·EB ―→＝(AB ―→＋AD ―→)·⎝⎛⎭⎫12AB ―→－AD ―→ ＝12，cos 〈AC ―→，EB ―→〉＝AC ―→·EB ―→||AC ―→ ||EB ―→＝714.答案：714[B 组——重点难点补偿练]1．(2016·晋城二模)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )．且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－2，12 B ．⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－2，＋∞) D ．(－2，＋∞)解析：选B 当a ，b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b >0且a ，b 不共线．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，又k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，选B ． 2．(2016·大庆质检)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选D ∵(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝(OP ―→＋F 1O ―→)·PF 2―→＝F 1P ―→·PF 2―→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∴∠F 1PF 2＝90°.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12，∴2mn ＝4，∴S △F 1PF 2＝12mn ＝1，故选D ．3．在△ABD 中，AB ＝2，AD ＝22，E ，C 分别在线段AD ，BD 上，且AE ＝13AD ，BC ＝34BD ，AC ―→·BE ―→＝113，则∠BAD 的大小为( )A ．π6B ．π4C ．π2D ．3π4解析：选D 依题意，AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝AB ―→＋34BD ―→＝AB ―→＋34(AD ―→－AB ―→)＝14AB ―→＋34AD ―→，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝13AD ―→－AB ―→，所以AC ―→·BE ―→＝⎝⎛⎭⎫14AB ―→＋34AD ―→ ·⎝⎛⎭⎫13AD ―→－AB ―→ ＝－14|AB ―→|2＋14|AD ―→|2－23AD ―→·AB ―→＝－14×22＋14×(22)2－23AD ―→·AB ―→＝113，所以AD ―→·AB ―→＝－4，所以cos ∠BAD ＝AD ―→·AB ―→|AD ―→|·|AB ―→|＝－42×22＝－22，因为0＜∠BAD ＜π，所以∠BAD ＝3π4.4．在平面直角坐标系xOy 中，点A 与点B 关于y 轴对称，若向量a ＝(1，k )，则满足不等式OA ―→2＋a ·AB ―→≤0的点A (x ，y )的集合为( )A ．{(x ，y )|(x ＋1)2＋y 2≤1}B ．{(x ，y )|x 2＋y 2≤k 2}C ．{(x ，y )|(x －1)2＋y 2≤1}D ．{(x ，y )|(x ＋1)2＋y 2≤k 2}解析：选C 由条件得B (－x ，y )，所以OA ―→＝(x ，y )，OB ―→＝(－x ，y )，所以AB ―→＝(－2x,0)，所以OA ―→2＋a ·AB ―→＝x 2＋y 2－2x ≤0，即(x －1)2＋y 2≤1，故选C ．5．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(0，t 2＋1)，则当t ∈[－3，2]时，⎪⎪⎪⎪a －t b|b |的取值范围是__________．解析：由题意知b |b |＝(0,1)，根据向量的差的几何意义，⎪⎪⎪⎪a －t b |b |表示同起点的向量t b |b |的终点到a 的终点的距离，当t ＝3时，该距离取得最小值1，当t ＝－3时，该距离取得最大值13，即⎪⎪⎪⎪a －t b|b |的取值范围是[1，13]． 答案：[1，13]6．(2016·浙江高考)已知向量a ，b ，|a|＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．解析：由于e 是任意单位向量，可设e ＝a ＋b|a ＋b |，则|a ·e |＋|b ·e |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·(a ＋b )|a ＋b |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·(a ＋b )|a ＋b |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·(a ＋b )|a ＋b |＋b ·(a ＋b )|a ＋b | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a ＋b )·(a ＋b )|a ＋b |＝|a ＋b |.∵|a ·e |＋|b ·e |≤6，∴|a ＋b |≤6， ∴(a ＋b )2≤6，∴|a |2＋|b |2＋2a ·b ≤6. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋4＋2a ·b ≤6， ∴a ·b ≤12，∴a ·b 的最大值为12.答案：12。