2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

2019-2020学年高二上学期期末考试试题【时量：120分 分值：150分】一：选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若0a b <<，则下列不等式成立的是A ．22a b <B ．1a b <C ．11a b <D ．||||a b >2．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 下列各组数能组成等比数列的是A. 31，61，91 B. 3lg ,9lg ,27lg .C 6, 8, 10 D. 3,33-,9 4. 若命题“()p q ∧⌝”为真命题，则A ．p q ∨为假命题B ．q 为假命题C ．q 为真命题D ．()()p q ⌝∧⌝为真命题5. 已知}{n a 为等差数列，其公差为－2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为}{n a 的前n 项和，则10S 的值为A ．－110B ．－90C ．90D ．110 6. 设0>a ,若关于x 的不等式4≥+x a x 在x ∈(0,+∞)恒成立,则a 的最小值为 A. 4 B. 2 C. 16D. 1 7. 已知点0(4,)M y 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，点M 到抛物线C 的焦点F 的距离为5，设O 为坐标原点，则OFM △的面积为A ．1B ．2CD ．8. 已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上不是单调函数，则实数a 的取值范围是A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)B ． (－3，3)C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D ．[－3，3]9. 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，3=AD ，51=AA ，︒=∠90BAD ，︒=∠=∠6011DAA BAA ，则=1ACA. 85B. 25C. 109D. 5510. 已知1>x ，函数11-+=x x y 的最小值是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 411. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件，若使得该女子所织布的尺数不少于10尺，则该女子所需的天数至少为A ．8 B.7 C .6 D.512.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B F ，为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[,]124ππα∈，则该椭圆离心率的最小值为 A. 21 B.63 C.32 D.22 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.双曲线14416922=-y x 的渐近线方程为=y ． 14. 已知变量x ，y 满足约束条件1,0,20,x x y x y ≥-⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则2z x y =+取最大值为．15. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且33a =，36S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为______．16. 函数的定义域为，1)1(=-f ，对任意，4)(>'x f ，则54)(+<x x f 的解集为．)(x f R R ∈x三：解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （10分）已知函数3)(2++=bx x x f ，且不等式0)(≥x f 的解集为),3[]1,(+∞-∞Y（1）求实数b 的值；（2）求不等式29)(x x f -≤的解集；18.（12分）已知等差数列}{n a 前n 项的和为n S ，且c a n S n n ++=2)2(（c 为常数，*N n ∈），41=a ．（1）求c 的值及数列}{n a 的通项公式；（2）设n a n b )2(=（*N n ∈），设数列}{n b 前n 项的和为n T ，求n T ．19.（12分）在长方体ABCD 1111A B C D -中，2=AB ，11==BC BB ,E 是面对角线1CD 上一点，且154CD CE = （1）求证：1CD AE ⊥；（2）设异面直线1AB 与1BD 所成角的大小为α，求αcos 的值.20.（12分）近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式（利润=销售额—成本）；（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？21.（12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点)22,1(P ，离心率22=e ，直线l 的方程为2-=x ．（１）求a ，b 的值；（２）过椭圆左焦点F 的直线l '交椭圆于A ，B 两点，过B 作直线l 的垂线与l 交于点Q ．求证：当直线l '绕点F 旋转时，直线AQ 必经过x 轴上一定点．22.（12分）已知函数x ax x f ln )(+=)(R a ∈，22)(2+-=x x x g ．（1）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点1=x 处的切线方程；（2）当21-=a 时，求函数)(x f 在区间],1[e 上的最大值和最小值； （3）若对任意的]2,1[1-∈x ，均存在),0(2+∞∈x ，使得)()(21x f x g <，求a 的取值范围．【参 考 答 案】一：选择题：DBDBD ABAAC CD12. 因为,B A 关于原点对称，所以B 也在椭圆上，设左焦点为'F ，根据椭圆的定义：'2AF AF a +=，又因为'BF AF =，所以2AF BF a +=，O 是直角三角形ABF 斜边的中点，所以2AB c =,2sin ,2cos AF c BF c αα==，所以()2sin cos 2c a αα+=，所以11sin cos 4c a πααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于[,]124ππα∈，所以23c a ∈⎣⎦. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.=y x 43±． 14.3 15.1009917. )1,(--∞考查函数)54()()(+-=x x f x F 单调性三：解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17（10分）解：（1）Θ0)(≥x f 的解集为),3[]1,(+∞-∞Y ∴1和3是方程0)(=x f 的两个根，（3分）4-=∴b （5分）29)(x x f -≤∴即：22934x x x -≤+-化简得：06422≤--x x （6分）解得：31≤≤-x （9分）∴原不等式的解集为：]3,1[-（10分）18.（12分）解：由c a n S n n ++=2)2( 令1=n 得c a S a +==23111c a 21-=，又41=a 2-=∴c （2分）令2=n 得2242221-==+a S a a 62=a （3分） 所以，等差数列}{n a 的公差2=d （5分）22+=∴n a n （7分）（2）12)2(+==n a n n b 2≥∴n 21=-n n b b （9分） ∴数列}{n b 是首项为4，公比为2的等比数列（10分）)12(4-=∴n n T （12分）19.（12分）解：(1)如图建立空间直角坐标系，（1分）依题意得)0,0,1(A ，)0,2,1(B ，)1,2,1(1B ，)1,0,0(1D)0,2,0(C （3分）设),,0(z y E ，则)1,2,0(1-=CD ),2,0(z y -=154CD CE =Θ)54,58,0(),2,0(-=-∴z y ∴52=y ,54=z )54,52,1(-=∴（5分）0)1,2,0()54,52,1(1=-⋅-=⋅∴CD （7分） 1CD AE ⊥∴（8分） (2))1,2,0(1= ,)1,2,1(1--=（9分） =⋅=><=∴|||||||,cos |cos 111111BD AB BD AB α1030（12分） 20.（12分）解（Ⅰ）当040x <<时，()()227001010025010600250W x x x x x x =-+-=-+-；..............….(2分) 当40x ≥时，()100001000070070194502509200W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.......….(4分)∴()210600250,040100009200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.......................…..........………….(6分) （Ⅱ）若040x <<，()()210308750W x x =--+，当30x =时，()max 8750W x =万元 . ....................……….(8分) 若40x ≥，()10000920092009000W x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭，....…….(10分) 当且仅当10000x x=时，即100x =时，()max 9000W x =万元 . ....….(11分) ∴2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. .….(12分)21.（12分）解：由22=e 得22222)22()(=-=a b a a c 222b a =∴（2分） 又)22,1(P 在椭圆C 上，121122=+∴ba 解得：2=a ，1=b （5分）（1）左焦点)0,1(-F ，设直线l '的方程为：1-=my x （6分） 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12122y x my x 012)2(22=--+⇒my y m 设),(),,(2211y x B y x A 则22122121,22my y m m y y +-=+=+，),2(2y Q -（8分） 直线:AQ )2(21212++-=-x x y y y y 在上述方程中令23-=x 得：)2(21212+-+=x y y y y 将111-=my x 代入一式得：)2(2)1(2)2(212121212+-++=+-+=x y y my y x y y y y)2(2212121+++=x y y m y y )2(22222122++++-=x m m m m 0= 即直线AQ 经过点)0,23(-P （10分） 特别，当l '与x 轴重合时，显然直线AQ 经过点)0,23(-P （11分） 综上所述，直线AQ 过定点)0,23(-P 。