数列求和(错位相减法)
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3Sn 1 32 3 33 (2n 3) 3n (2n 1) 3n1
两式相减得
2Sn 1 3 2 32 2 3n (2n 1) 3n1
2Sn 3 2 （32 3n ) (2n 1) 3n1
3
2
32
3n 3 13
(2n
1) 3n1
6
(2
2n)
普通高中人教版 数学 必修五
数列求和 专题
复习回顾
前面，我们学习了数列求和的哪些方法？
1、公式法： 等差数列的前n项和公式：
Sn
a1n
n(n 1) 2
d百度文库
或
Sn
a1
an 2
n
等比数列的前n项和公式：
当q
1,Sn
a1 (1 q n ) 1 q
a1 an q 1 q
当q 1,Sn na1
复习回顾
3n1
故Sn 3 (1 n) 3n1
课堂总结
数列求和的新方法：错位相减法
1、什么数列可以用错位相减法来求和？
通项公式是“等差×等比”型的数列
2、错位相减法的步骤是什么？
①展开：将Sn展开 ②乘公比：等式两边乘以等比数列的公比 ③错位：让次数相同的相对齐 ④相减 ⑤解出Sn
作业布置
1、求和：（1）1
银行一次性借给你1000万元，你可以分30个月 偿还，第一个月还2元，第二个月还4元，第三个月 还8元，第四个月还10元，以此类推，每个月的还 款数是前一个月的两倍。
你能接受这个方案吗？
等比数列前n项和公式推导 回顾:
Sn a1 a2 a3 an1 an
后一项都比前 一项多乘个q
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1
n 2n
n (1)n 2
Tn
1 1 2
2(1)2 2
(n 1) ( 1 ) n1 2
n(1)n 2
1 2 Tn
1 ( 1 )2 2 ( 1 )3 (n 1) ( 1 )n n ( 1 )n1
2
2
2
2
① ②得
1 2
Tn
1
1 2
1（ 1 ）2 1（ 1 ）n n ( 1 )n1
错位相减法：
解：anbn n 2n
展开，乘公比，错位，相减
Sn a1b1 a2b2 anbn
即Sn 1 2 2 22 (n 1) 2n1 n 2n
2Sn 1 22 2 23 (n -1) 2n n 2n1
①-②得
Sn 1 2 1 22 1 23 1 2n n 2n1
4 22
6 23
2n 2n
（2）1 3x 5x2 (2n 1)xn1
2、求数列{2n 3n}的前n项和
2
2
2
1 ( 1 ) 2 ( 1 ) n n ( 1 ) n1
22
2
2
1 (1)n 22
1 2
n ( 1 ) n1
1 1
2
2
1 (1)n
n
1 n1
2
2
故Tn
2 ( 1 ) n1 2
n(1)n 2
① ②
课堂练习
求和：1 3 3 32 (2n 1) 3n
解：
记Sn 1 3 3 32 (2n 3) 3n1 (2n 1) 3n
S 30 2 22 23 230 一项多乘个2
2S30 2(2 22 23 230 ).
即2SS3030 22S230223 22431 231
作 减 法
S30 2 231
错位相减法!
S30 231 2 2147483646 元
法例探题：究
数列{an}的通项公式an n， 数列{bn}的通项公式bn 2n , 新问题：求数列{anbn}的前n项和
(1)求数列{an}的前n项和 (2)求数列{bn}的前n项和
公式法
(3)求数列{an bn}的前n项和 分组求和法
新问题：
？ 求数列{an bn }的前n项和
情景重现： 银行贷款问题
N年后，如果你自己开了公司，当了 老板，但是由于资金短缺，需向银行贷款 1000万。银行向你推荐了一个新的贷款 方案：
①
qSn a1q a1q 2 a1q3 a1q n1 a1q n ②
①—② ，得
(1 q)Sn a1 a1q n
(1 q)Sn a1 a1qn
错 位 相
q 1时:
Sn
a1 a1qn 1 q
a1 anq 1 q
减 法
情景重现：
等比数列的前n项和
请同学们考虑如何求出这个和？ 后一项都比前
即 Sn 2 22 23 2n n 2n1
2 2n 2 n 2n1 (1 n)2n1 2 1 2
故Sn 2 (1 n)2n1
变式训练
例：数列{an}的通项公式an n， 数列{bn}的通项公式bn 2n
变式问题：
求数列 {an } 的前n项和 bn
课堂练习 解：an bn
前面，我们学习了数列求和的哪些方法？ 2、分组求和法：
通项公式是“等差 等比”型数列的求和 注：
在求和之前，一定要先判断数列的类型， 如何判断？
通项公式：一次函数 指数型函数
等差数列 等比数列
方法探究
例题：
已知数列{an}的通项公式为an 2n 1，等差数列
数列{bn}的通项公式为bn 2n 等比数列
两式相减得
2Sn 1 3 2 32 2 3n (2n 1) 3n1
2Sn 3 2 （32 3n ) (2n 1) 3n1
3
2
32
3n 3 13
(2n
1) 3n1
6
(2
2n)
普通高中人教版 数学 必修五
数列求和 专题
复习回顾
前面，我们学习了数列求和的哪些方法？
1、公式法： 等差数列的前n项和公式：
Sn
a1n
n(n 1) 2
d百度文库
或
Sn
a1
an 2
n
等比数列的前n项和公式：
当q
1,Sn
a1 (1 q n ) 1 q
a1 an q 1 q
当q 1,Sn na1
复习回顾
3n1
故Sn 3 (1 n) 3n1
课堂总结
数列求和的新方法：错位相减法
1、什么数列可以用错位相减法来求和？
通项公式是“等差×等比”型的数列
2、错位相减法的步骤是什么？
①展开：将Sn展开 ②乘公比：等式两边乘以等比数列的公比 ③错位：让次数相同的相对齐 ④相减 ⑤解出Sn
作业布置
1、求和：（1）1
银行一次性借给你1000万元，你可以分30个月 偿还，第一个月还2元，第二个月还4元，第三个月 还8元，第四个月还10元，以此类推，每个月的还 款数是前一个月的两倍。
你能接受这个方案吗？
等比数列前n项和公式推导 回顾:
Sn a1 a2 a3 an1 an
后一项都比前 一项多乘个q
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1
n 2n
n (1)n 2
Tn
1 1 2
2(1)2 2
(n 1) ( 1 ) n1 2
n(1)n 2
1 2 Tn
1 ( 1 )2 2 ( 1 )3 (n 1) ( 1 )n n ( 1 )n1
2
2
2
2
① ②得
1 2
Tn
1
1 2
1（ 1 ）2 1（ 1 ）n n ( 1 )n1
错位相减法：
解：anbn n 2n
展开，乘公比，错位，相减
Sn a1b1 a2b2 anbn
即Sn 1 2 2 22 (n 1) 2n1 n 2n
2Sn 1 22 2 23 (n -1) 2n n 2n1
①-②得
Sn 1 2 1 22 1 23 1 2n n 2n1
4 22
6 23
2n 2n
（2）1 3x 5x2 (2n 1)xn1
2、求数列{2n 3n}的前n项和
2
2
2
1 ( 1 ) 2 ( 1 ) n n ( 1 ) n1
22
2
2
1 (1)n 22
1 2
n ( 1 ) n1
1 1
2
2
1 (1)n
n
1 n1
2
2
故Tn
2 ( 1 ) n1 2
n(1)n 2
① ②
课堂练习
求和：1 3 3 32 (2n 1) 3n
解：
记Sn 1 3 3 32 (2n 3) 3n1 (2n 1) 3n
S 30 2 22 23 230 一项多乘个2
2S30 2(2 22 23 230 ).
即2SS3030 22S230223 22431 231
作 减 法
S30 2 231
错位相减法!
S30 231 2 2147483646 元
法例探题：究
数列{an}的通项公式an n， 数列{bn}的通项公式bn 2n , 新问题：求数列{anbn}的前n项和
(1)求数列{an}的前n项和 (2)求数列{bn}的前n项和
公式法
(3)求数列{an bn}的前n项和 分组求和法
新问题：
？ 求数列{an bn }的前n项和
情景重现： 银行贷款问题
N年后，如果你自己开了公司，当了 老板，但是由于资金短缺，需向银行贷款 1000万。银行向你推荐了一个新的贷款 方案：
①
qSn a1q a1q 2 a1q3 a1q n1 a1q n ②
①—② ，得
(1 q)Sn a1 a1q n
(1 q)Sn a1 a1qn
错 位 相
q 1时:
Sn
a1 a1qn 1 q
a1 anq 1 q
减 法
情景重现：
等比数列的前n项和
请同学们考虑如何求出这个和？ 后一项都比前
即 Sn 2 22 23 2n n 2n1
2 2n 2 n 2n1 (1 n)2n1 2 1 2
故Sn 2 (1 n)2n1
变式训练
例：数列{an}的通项公式an n， 数列{bn}的通项公式bn 2n
变式问题：
求数列 {an } 的前n项和 bn
课堂练习 解：an bn
前面，我们学习了数列求和的哪些方法？ 2、分组求和法：
通项公式是“等差 等比”型数列的求和 注：
在求和之前，一定要先判断数列的类型， 如何判断？
通项公式：一次函数 指数型函数
等差数列 等比数列
方法探究
例题：
已知数列{an}的通项公式为an 2n 1，等差数列
数列{bn}的通项公式为bn 2n 等比数列